2010年高考数学文科试题及答案陕西卷
2010年陕西高考数学文科试卷带详解
2010年高校招生全国统一考试理数（陕西卷）文科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1.集合{}{}12,1A x x B x x =-=<剟,则A B = ( )A. {}1x x <B. {}12x x-剟C. {}11x x-剟D. {}11x x -<…【测量目标】集合的含义与表示、集合的基本运算，数形结合思想. 【考查方式】给出A ，B 的集合，求A ，B 的交集. 【参考答案】D【试题解析】{}{}{}12111A B A x x B x x x =-=<=-< 剟?，故选D.2.复数z =i1+i在复平面上对应的点位于 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【测量目标】复数的运算法则及复数的几何意义.【考查方式】给出复数，求出复数所对应的点在哪个象限. 【参考答案】A 【试题解析】∵()2i 1i i 11i 1+i 1i 22z -===+-，∴复数z 在复平面上对应的点位于第一象限.故选A.3.函数()2sin cos sin 2f x x x x ==是 （ ）A.最小正周期为2π的奇函数B.最小正周期为2π的偶函数C.最小正周期为π的奇函数D.最小正周期为π的偶函数 【测量目标】正弦定理、诱导公式、函数奇偶性的判断. 【考查方式】给出三角函数，求出其最小正周期及其奇偶性.【参考答案】C 【试题解析】 因为()2sin cos sin 2f x x x x ==，所以它的最小正周期为π，且为奇函数，选C.4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A x 和B x ,样本标准差分别为A S 和B S ,则 （ ）A.A B x x >，A B S S >B.A B x x <，A B S S >C.A B x x >，A B S S < D.A B x x <，A B S S <【测量目标】样本分析，标准差与平均数的定义区别. 【考查方式】给出图表，分析标准差与平均数的大小比较.【参考答案】B【试题解析】解析：本题考查样本分析中两个特征数的作10A B x x <<；A 的取值波动程度显然大于B ，所以A B S S >.5.右图是求1210,,,x x x 的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 （ ）A.(1)S S n =*+B.1n S S x +=*C.S S n =*D.n S S x =*【测量目标】算法的定义，理解程序图框的三种基本逻辑结构. 【考查方式】通过程序图框的循环结构求出S 的值. 【参考答案】D【试题解析】 要计算12310S x x x x = ，故选D.6.0a >“”是0a >“”的 （ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 【测量目标】命题的基本条件，充分条件、必要条件的定义及理解. 【考查方式】给出一不等式，判断它与另一个不等式的条件关系.【参考答案】A 【试题解析】00,00>⇒>>⇒>a a a a ，∴ 0a >”是“a ＞0”的充分不必要条件7.下列四类函数中，“对任意的0,0x y >>，函数()f x 满足()()()f x y f x f y +=”的是( )A. 幂函数B.对数函数C.指数函数D.余弦函数【测量目标】指数函数的定义及性质.【考查方式】给出一等式，解出其是哪类函数.【参考答案】C【试题解析】解析：本题考查指数函数的运算性质)()()(y x f a a a y f x f y x y x +===+8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 ( )A.2B.1C.23D.13【测量目标】空间几何体体积的计算、空间想像能力. 【考查方式】给出几何体的三视图，求出其体积. 【参考答案】B.【试题解析】由所给三视图知，对应的几何体为一倒放的直三棱柱ABC A B C '''-（如下图所示），其高为2，底面ABC 满足：1,2,==⊥AC AB AC AB ，故该几何体的体积为1112ABC V S AA ∆⎛⎫'=⋅== ⎪⎝⎭.故选B.9.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为（ ）A.12B. 1C.2D.4【测量目标】抛物线方程、圆的方程及性质，圆与曲线相交的性质. 【考查方式】给出圆的方程，求出抛物线与其相切时，抛物线的方程 【参考答案】C.【试题解析】由题设知，直线2p x -=与圆()16322=+-y x 相切，从而2423=⇒=⎪⎭⎫⎝⎛--p p .故选C.10.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为 ( )A.y =[10x] B. y =[310x +] C.y =[410x +] D.y =[510x +] 【测量目标】函数的列举法.【考查方式】给出定义域与值域的关系，用等式表示出它们之间的关系. 【参考答案】B.【试题解析】（方法一）当x 除以10的余数为6,5,4,3,2,1,0时，由题设知⎥⎦⎤⎢⎣⎡=10x y ，且易验证知此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡10310x x ,当x 除以10的余数为9,8,7时，由题设知110+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x y ，且易验证知此时⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡103110x x ，故综上知，必有⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=103x y ,故选B. 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11.观察下列等式：33233323333212(12),123(123),1234(1234),,+=+++=+++++=+++ 根据上述规律，第四个等式．．．．．为 . 【测量目标】归纳总结.【考查方式】给出三个有规律的等式，归纳出第四个等式. 【参考答案】33333212345(12345)++++=++++.【试题解析】∵所给等式左边的底数依次分别为2,1；3,2,1； ;4,3,2,1，右边的底数依次分别为 ,10,6,3（注意：这里1046,633=+=+），∴由底数内在规律可知：第五个等式左边的底数为6,5,4,3,2,1，右边的底数为216510=++.又左边为立方和，右边为平方的形式，故第四个等式为33333212345(12345)++++=++++（或215）.12.已知向量(2,1),(1,),(1,2)a b m c =-=-=-若()a b c + ，则m = .【测量目标】向量的数量积的定义及其运算法则. 【考查方式】给出向量，由向量的加减法求解.【试题解析】解析：(1,1),()12(1)(1)0a b m a b c m +=-+⨯--⨯-=由得 ，所以1m =-. 【参考答案】1- 13.已知函数()f x =232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+⎩…若((0))4f f a =，则实数a = .【测量目标】分段函数的解析式.【考查方式】考查函数的性质、已知分段函数，求解. 【参考答案】2【试题解析】解析：(0)2,((0))(2)424f f f f a a ===+=，所以2a =14.设,x y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +⎧⎪-⎨⎪+⎩………，则目标函数3z x y =-的最大值为 .【测量目标】线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出约束条件，应用数形结合思想画出不等式组所表示的平面区域，求出线性规划目标函数的最大值． 【参考答案】5【试题解析】解析：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线3z x y =-过点(2,1)C 时，在y 轴上截距最小此时z 取得最大值5【测量目标】含有绝对不等式的解法. 【考查方式】给出不等式，求解. 【参考答案】{}12x x -<<【试题解析】解析：213123312<<-⇔<-<-⇔<-x x xB.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为AB 直径的圆与AB 交于点D ，则BD =cm【测量目标】三角形的勾股定理、射影定理.【考查方式】给出直角三角形的边长，各线段关系，求线段长.【参考答案】165cm 【试题解析】解析：AB CD ⊥ ,由直角三角形射影定理可得216,4,5,5BC BD BA BC BA BD ====又所以C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为.【测量目标】参数方程的性质及其转化.【考查方式】给出参数方程，转化为普通方程. 【参考答案】22(1)1x y +-=【试题解析】解析：1sin cos )1(2222=+=-+ααy x三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）. 16.（本小题满分12分） 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且139,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项;(2）求数列{}2na 的前n 项和nS.【测量目标】等差数列与等比数列的公式、性质.【考查方式】给出等差数列和等比的项，求{}n a 的通项公式及前n 项和n S . 【试题解析】 解 （1）由题设知公差0d ≠， 由11391,,,a a a a =成等比数列得121d +=1812dd++， 解得1,0d d ==（舍去）， 故{}n a 的通项1(1)1n a n n =+-⨯=.(2)由（1）得22na n =，由等比数列前n 项和公式得2312(12)22222212n nn n S +-=++++==-- .17.（本小题满分12分）在ABC △中，已知45B ∠=,D 是BC 边上的一点，10,14,6AD AC DC ===，求AB 的长.【测量目标】勾股定理、正弦定理、余弦定理的应用. 【考查方式】已知三角形的边长及角的度数，求线段长. 【试题解析】解 在ADC △中，10,14,6AD AC DC ===,由余弦定理得cos ADC ∠=2222AD DC AC AD DC+- =10036196121062+-=-⨯⨯, 120,60ADC ADB ∴∠=∠=在ABD △中，10,45,60AD B ADB =∠=∠= ，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,AB ∴=10sin 10sin 60sin sin 45AD ADB B ∠===18.(本小题满分12分)如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形PA ⊥平面A B C D ，,2,,AP AB BP BC E F ===分别是,PB PC 的中点.(Ⅰ)证明：EF 平面PAD ；(Ⅱ)求三棱锥E ABC -的体积V .【测量目标】空间点、线、面的之间的位置关系，线线、线面、面面垂直与平行的性质与判定．【考查方式】线面垂直、线线关系求线面平行及四棱锥的体积． 【试题解析】 (Ⅰ)在PBC △中，,E F 分别是,PB PC 的中点，EF BC ∴ . 又BC AD ,EF AD ∴ ,又AD ⊄ 平面PAD ,EF ⊄平面PAD ,EF ∴ 平面PAD .(Ⅱ)连接,,AE AC EC ,过E 点EG PA 交AB 于点G ,则EG ⊥平面ABCD ,且12EG PA =.在PAB △中，,45A P A B P A B =∠= ,2BP =,AP AB ∴==,EG =. Yxj34122ABC S ∴==△,11323E ABC V EG -∴== △.19 （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（3）从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm 之间的概率。
2010高考全国Ⅰ数学试题与答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(必修+选修> 解读版参考公式：如果事件互斥，那么球的表面积公式如果事件相互独立，那么其中R表示球的半径球的体积公式如果事件A在一次实验中发生的概率是，那么次独立重复实验中事件恰好发生次的概率其中R表示球的半径一、选择题(1>(A> (B>- (C> (D>1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解读】(2>设全集，集合，，则A.B.C. D.2.C 【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识【解读】，，则=(3>若变量满足约束条件则的最大值为(A>4 (B>3 (C>2 (D>13.B 【命题意图】本小题主要考查线性规划知识、作图、识图能力及计算能力.【解读】画出可行域<如右图），，由图可知,当直线经过点A(1,-1>时，z最大，且最大值为.<4）已知各项均为正数的等比数列{}，=5，=10，则(A>(B> 7 (C> 6 (D>A4.A【命题意图】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想.mmVxZudVti【解读】由等比数列的性质知，10,所以,所以(5>的展开式的系数是(A>-6 (B>-3 (C>0 (D>35.A. 【命题意图】本小题主要考查了考生对二项式定理的掌握情况，尤其是展开式的通项公式的灵活应用，以及能否区分展开式中项的系数与其二项式系数，同时也考查了考生的一些基本运算能力.mmVxZudVti【解读】的系数是 -12+6=-6(6>直三棱柱中，若，，则异面直线与所成的角等于(A>30° (B>45°(C>60° (D>90°6.C【命题意图】本小题主要考查直三棱柱的性质、异面直线所成的角、异面直线所成的角的求法.【解读】延长CA到D，使得，则为平行四边形，就是异面直线与所成的角，又三角形为等边三角形，(7>已知函数.若且，，则的取值范围是(A> (B>(C> (D>7.C【命题意图】本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，而利用均值不等式求得a+b=,从而错选D,这也是命题者的用苦良心之处.mmVxZudVti【解读1】因为 f(a>=f(b>,所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去>，或，所以a+b=又0<a<b,所以0<a<1<b，令由“对勾”函数的性质知函数在(0,1>上为减函数，所以f(a>>f(1>=1+1=2,即a+b的取值范围是(2,+∞>.mmVxZudVti【解读2】由0<a<b,且f(a>=f(b>得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题，，过点时z最小为2,∴(C> mmVxZudVti<8）已知、为双曲线C:的左、右焦点，点P在C上，∠=，则A BC DA 1B 1C 1D 1O(A>2 (B>4 (C> 6 (D> 88.B 【命题意图】本小题主要考查双曲线定义、几何性质、余弦定理，考查转化的数学思想，通过本题可以有效地考查考生的综合运用能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】.由余弦定理得cos ∠P =4【解读2】由焦点三角形面积公式得：4<9）正方体-中，与平面所成角的余弦值为 <A ）<B ）<C ） <D ）9.D 【命题意图】本小题主要考查正方体的性质、直线与平面所成的角、点到平面的距离的求法，利用等体积转化求出D 到平面AC 的距离是解决本题的关键所在,这也是转化思想的具体体现.mmVxZudVti 【解读1】因为BB1//DD1,所以B 与平面AC 所成角和DD1与平面AC 所成角相等,设DO⊥平面AC，由等体积法得,即.设DD1=a,mmVxZudVti则,.所以,记DD1与平面AC所成角为,则,所以.【解读2】设上下底面的中心分别为；与平面AC所成角就是B与平面AC所成角，<10）设则<A）<B） (C> (D>10.C 【命题意图】本小题以指数、对数为载体，主要考查指数函数与对数函数的性质、实数大小的比较、换底公式、不等式中的倒数法则的应用.mmVxZudVti【解读1】 a=2=, b=In2=,而,所以a<b,c==,而,所以c<a,综上c<a<b.【解读2】a=2=,b=ln2=, ，； c=，∴c<a<b<11）已知圆的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为(A> (B> (C> (D>11.D【命题意图】本小题主要考查向量的数量积运算与圆的切线长定理，着重考查最值的求法——判别式法,同时也考查了考生综合运用数学知识解题的能力及运算能力.mmVxZudVti 【解读1】如图所示：设PA=PB=,∠APO=,则∠APB=，PO=，，===，令，则，即，由是实数，所以，，解得或.故.此时.【解读2】设，换元：，【解读3】建系：园的方程为，设，<12）已知在半径为2的球面上有A、B、C、D四点，若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为mmVxZudVti(A> (B> (C> (D>12.B【命题意图】本小题主要考查几何体的体积的计算、球的性质、异面直线的距离,通过球这个载体考查考生的空间想象能力及推理运算能力.mmVxZudVti【解读】过CD作平面PCD，使AB⊥平面PCD,交AB与P,设点P到CD的距离为,则有,当直径通过AB与CD的中点时,,故.mmVxZudVti第Ⅱ卷注意事项：1．答题前，考生先在答题卡上用直径0.5毫M黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，然后贴好条形码。
2010年全国高考文科数学试题及答案(全国1卷)
第Ⅱ卷
二填空题：本大题共4小题，每小题5分。
（13）圆心在原点上与直线 相切的圆的方程为-----------。
（14）设函数 为区间 上的图像是连续不断的一条曲线，且恒有 ，可以用随机模拟方法计算由曲线 及直线 ， ， 所围成部分的面积，先产生两组 每组 个，区间 上的均匀随机数 和 ，由此得到V个点 。再数出其中满足 的点数 ，那么由随机模拟方法可得S的近似值为___________
设等差数列 满足 ， 。
（Ⅰ）求 的通项公式；
（Ⅱ）求 的前 项和 及使得 最大的序号 的值。
（18）（本小题满分12分）
如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形， ∥ , ,垂足为 ， 是四棱锥的高。
（Ⅰ）证明：平面 平面 ;
（Ⅱ）若 , 60°,求四棱锥 的体积。
请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。
（Ⅲ）根据（Ⅱ）的结论，能否提出更好的调查办法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由。
附：
K2=
（20）（本小题满分12分）
设 , 分别是椭圆E： + =1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过 的直线 与E相交于A、B两点，且 ， ， 成等差数列。
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若直线 的斜率为1，求b的值。
2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案
一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
（1）D (2) C (3) D (4) A (5) D (6) C
2010年陕西省高考数学试卷及解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1. 复数A. B. 1 C. D.2. 设集合，则集合M，N的关系为A. B. C. D.3. 执行如图所示的程序框图，则输出的n的值为A.5B.6C.7D.84. 已知圆上两点M、N关于直线2x+y=0对称，则圆的半径为A．9 B．3 C．2 D．25. 一空间几何体的三视图如图所示，则此几何体的直观图为6. 设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+2y的最大值为A.1B.4C.5D.67. 在等比数列中，，，则A．64 B．32 C．16 D．1288. 为了解疾病A是否与性别有关，在一医院随机的对入院50人进行了问卷调查得到了如下的列联表：患疾病A 不患疾病A 合计男 20 5 25女 10 15 25合计 30 20 50请计算出统计量，你有多大的把握认为疾病A与性别有关下面的临界值表供参考：0.05 0.010 0.005 0.0013.841 6.635 7.879 10.828A. B. C. D.9. 函数是A．最小正周期为的奇函数 B. 最小正周期为的偶函数C. 最小正周期为的奇函数D. 最小正周期为的偶函数10. 设是空间两条直线， , 是空间两个平面，则下列选项中不正确的是A．当时，“ ”是“ ”的必要不充分条件B．当时，“ ”是“ ”的充分不必要条件C．当时，“ ”是“ ∥ ”成立的充要条件D．当时，“ ”是“ ”的充分不必要条件11. 函数的图象大致为A. B. C. D.12. 已知函数，若函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列，则该数列的通项公式为A．B．C．D．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分.13. 若向量，，，则实数.14. 已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离为，点为坐标原点，则此双曲线的离心率为.15. 在中，，，，则.16. 对大于或等于的自然数的次方幂有如下分解方式：根据上述分解规律，若的分解中最小的数是73，则的值为.三、解答题：本大题共6小题，共74分.17. (本小题满分12分)设函数 (其中＞0)，且函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为 .（1）求ω的值；（2）将函数的图象上各点横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在区间的最大值和最小值.18. (本小题满分12分)为了宣传今年10月在济南市举行的“第十届中国艺术节”，“十艺节”筹委会举办了“十艺节”知识有奖问答活动，随机对市民15～65岁的人群抽样n人，回答问题统计结果如下图表所示：（1）分别求出a，x的值；（2）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，“十艺节”筹委会决定在所抽取的6人中随机抽取2人颁发幸运奖，求所抽取的人中第2组至少有1人获得幸运奖的概率．19. (本小题满分12分)如图，斜三棱柱中，侧面底面ABC，底面ABC是边长为2的等边三角形，侧面是菱形，，E、F分别是、AB的中点．求证：（1）；（2）求三棱锥的体积.20. (本小题满分12分)已知数列的前项和为，且，数列满足，且 .（1）求数列 , 的通项公式；（2）设，求数列的前项和．21．(本小题满分13分)已知函数的图象如右图所示．（1）求函数的解析式；（2）若在其定义域内为增函数，求实数的取值范围．22. (本小题满分13分)已知点F1 和F2 是椭圆M: 的两个焦点，且椭圆M经过点 .（1）求椭圆M的方程；（2）过点P(0,2)的直线l和椭圆M交于A、B两点，且 ,求直线l的方程；（3）过点P(0,2)的直线和椭圆M交于A、B两点，点A关于y轴的对称点C，求证：直线CB必过y轴上的定点，并求出此定点坐标.2013年4月济南市高三巩固性训练文科数学参考答案1.D2.D3.C4.B5.A6.D7.A8. C9.B 10. A 11.B 12.C13. 14.2 15. 1或 16.917.解：（1）= . ………………………………3分∵函数f(x)图象的两条相邻的对称轴间的距离为，∴ . ………………………………5分∴ . ………………………………6分（2）由（1）得，∴ . ………………………………8分由x 可得，……………………………10分∴当，即x= 时，取得最大值 ;当，即x= 时，取得最小值. …………12分18. 解：（1）由频率表中第1组数据可知，第1组总人数为，再结合频率分布直方图可知. ………………………………2分∴a=100×0.020×10×0.9=18，………………………………4分, ………………………………6分（2）第2，3，4组中回答正确的共有54人．∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人，第3组：人，第4组：人．………………………………8分设第2组的2人为、，第3组的3人为、、B3，第4组的1人为，则从6人中抽2人所有可能的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，共15个基本事件，………………………………10分其中第2组至少有1人被抽中的有，，，，，，，，这9个基本事件．∴第2组至少有1人获得幸运奖的概率为. ………………………………12分19. 证明：（1）在平面内，作，O为垂足．因为，所以，即O为AC的中点，所以.……3分因而．因为侧面⊥底面ABC，交线为AC，，所以底面ABC．所以底面ABC. ……6分（2）F到平面的距离等于B点到平面距离BO的一半，而BO= . ……8分所以. ……12分20.解：（1）当，；…………………………1分当时，，∴ . ……………2分∴是等比数列，公比为2，首项，∴ . ………3分由，得是等差数列，公差为2. ……………………4分又首项，∴ . ………………………………6分（2）……………………8分……………10分．……………………………12分21.解：（1）∵，…………………………………………2分由图可知函数的图象过点，且 .得 , 即 . ………………………………………………4分∴ . ………………………………………………5分（2）∵ , ………………………………6分∴ . …………………………………………8分∵函数的定义域为, …………………………………………9分∴若函数在其定义域内为单调增函数，则函数在上恒成立，即在区间上恒成立. ……………………………10分即在区间上恒成立.令，，则（当且仅当时取等号）. …………………12分∴ . …………………………………………………………………………13分22.解：（1）由条件得：c= ，设椭圆的方程，将代入得，解得，所以椭圆方程为 . --------4分（2）斜率不存在时，不适合条件；----------------------5分设直线l的方程，点B(x1,y1), 点A(x2,y2),代入椭圆M的方程并整理得： .，得 .且 . -------------------7分因为 ,即，所以 .代入上式得，解得，所以所求直线l的方程： . --------------------9分（3）设过点P(0,2)的直线AB方程为：，点B(x1,y1), 点 A(x2,y2), C(-x2,y2).将直线AB方程代入椭圆M: ，并整理得：，，得 .且 .设直线CB的方程为：，令x=0得： .----------11分将代入上式得：.所以直线CB必过y轴上的定点，且此定点坐标为 . ---------12分当直线斜率不存在时，也满足过定点的条件。
2010年高考新课标全国卷_文科数学(含答案)
2010年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝{x ||x |≤2，x ∈R}，B ＝{x |x ≤4，x ∈Z}，则A ∩B ＝( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．{0,2}D ．{0,1,2}2．已知复数z ＝3＋i(1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z ＝( )A.14B.12C ．1D ．23．曲线y ＝xx ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x －1C ．y ＝－2x －3D ．y ＝－2x －24．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )5．已知命题p 1：函数y ＝2x －2－x在R 为增函数．p 2：函数y ＝2x ＋2－x在R 为减函数．则在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：p 1∧p 2，q 3：(綈p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(綈p 2)中，真命题是( ) A ．q 1，q 3 B ．q 2，q 3 C ．q 1，q 4D ．q 2，q 46．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )A ．100B ．200C ．300D ．4007．如果执行如图的框图，输入N ＝5，则输出的数等于( )A.54B.45C.65D.568．设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( ) A ．{x |x <－2或x >4} B ．{x |x <0或x >4} C ．{x |x <0或x >6}D ．{x |x <－2或x >2}9．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－210．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B.73πa 2C.113πa 2 D ．5πa 211．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10.若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)12．已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1 第Ⅱ卷(非选择题 共90分)本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设y ＝f (x )为区间[0,1]上的连续函数，且恒有0≤f (x )≤1，可以用随机模拟方法近似计算积分1⎰f (x )d x .先产生两组(每组N 个)区间[0,1]上的均匀随机数x 1，x 2，…，x N 和y 1，y 2，…，y N ，由此得到N 个点(x i ，y i )(i ＝1,2，…，N )．再数出其中满足y i ≤f (x i )(i ＝1,2，…，N )的点数N 1，那么由随机模拟方法可得积分1⎰f (x )d x 的近似值为________．14．正视图为一个三角形的几何体可以是________．(写出三种)解析：正视图是三角形的几何体，最容易想到的是三棱锥，其次是四棱锥、圆锥；对于五棱锥、六棱锥等，正视图也可以是三角形．15．过点A (4,1)的圆C 与直线x －y －1＝0相切于点B (2，1)，则圆C 的方程为________________．16．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12CD ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝________.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18．(本小题满分12分)如图，已知四棱锥P －ABCD 的底面为等腰梯形，AB ∥CD ，AC ⊥BD ，垂足为H ，PH 是四棱锥的高，E 为AD 中点．(1)证明：PE ⊥BC ；(2)若∠APB ＝∠ADB ＝60°，求直线PA 与平面PEH 所成角的正弦值．19．(本小题满分12分)为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：(1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )20．(本小题满分12分)设F 1，F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，过F 1斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且|AF 2|，|AB |，|BF 2|成等差数列．(1)求E 的离心率；(2)设点P (0，－1)满足|PA |＝|PB |，求E 的方程． 21．(本小题满分12分)设函数f (x )＝e x －1－x －ax 2. (1)若a ＝0，求f (x )的单调区间；(2)若当x ≥0时f (x )≥0，求a 的取值范围．请考生在第22、23、24三题中任选一题做答．如果多做，则按所做的第一题记分． 22．(本小题满分10分) 选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ； (2)BC 2＝BE ×CD . 23．(本小题满分10分) 选修4－4：坐标系与参数方程已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θy ＝sin θ，(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．24．(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲 设函数f (x )＝|2x －4|＋1. (1)画出函数y ＝f (x )的图象；(2)若不等式f (x )≤ax 的解集非空，求a 的取值范围．2010年高校招生考试文数（新课标） 试题及答案一：选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
2010年全国统一高考数学试卷(文科)(新课标)解析版
2010年全国统一高考数学试卷（文科）（新课标）解析版参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合{|||2A x x =…，}x R ∈，{|4B x =，}x Z ∈，则(A B = )A ．(0,2)B ．[0，2]C ．{0，2}D ．{0，1，2}【考点】1E ：交集及其运算 【专题】11：计算题【分析】由题意可得{|22}A x x =-剟，{0B =，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}，从而可求 【解答】解：{|||2}{|22}A x x x x ==-剟?{|4B x =，}{0x Z ∈=，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，16}则{0A B =，1，2}故选：D ．【点评】本题主要考查了集合的交集的求解，解题的关键是准确求解A ，B ，属于基础试题2．（5分）平面向量,a b ，已知(4,3)a =，2(3,18)a b +=，则,a b 夹角的余弦值等于( ) A ．865B ．865-C ．1665D ．1665-【考点】9S ：数量积表示两个向量的夹角【分析】先设出b 的坐标，根据(4,3)a =，2(3,18)a b +=，求出坐标，根据数量积的坐标公式的变形公式，求出两个向量的夹角的余弦 【解答】解：设(,)b x y =， (4,3)a =，2(3,18)a b +=，∴(5,12)b =-2036cos 513θ-+∴=⨯1665=，【点评】本题是用数量积的变形公式求向量夹角的余弦值，数量积的主要应用：①求模长；②求夹角；③判垂直，实际上在数量积公式中可以做到知三求一．3．（5分）已知复数Z =，则||(z = )A ．14B ．12C ．1D ．2【考点】5A ：复数的运算 【专题】11：计算题【分析】由复数的代数形式的乘除运算化简可得4iZ =+，由复数的模长公式可得答案．【解答】解：化简得13213iZ i+===-+1(3)(13)12323224(13)(13)i i i ii i +--=-=-=-++-，故1||2z =， 故选：B ．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，涉及复数的模长，属基础题． 4．（5分）曲线321y x x =-+在点(1,0)处的切线方程为( ) A ．1y x =-B ．1y x =-+C ．22y x =-D ．22y x =-+【考点】6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程 【专题】1：常规题型；11：计算题【分析】欲求在点(1,0)处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在1x =处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决． 【解答】解：验证知，点(1,0)在曲线上321y x x =-+，232y x '=-，所以1|1x k y -='=，得切线的斜率为1，所以1k =； 所以曲线()y f x =在点(1,0)处的切线方程为： 01(1)y x -=⨯-，即1y x =-．【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．5．（5分）中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,2)，则它的离心率为( )A BC D 【考点】KC ：双曲线的性质 【专题】11：计算题【分析】先求渐近线斜率，再用222c a b =+求离心率． 【解答】解：渐近线的方程是by x a =±，24ba∴=，12b a =，2a b =，c =，c e a ==． 故选：D ．【点评】本题考查双曲线的几何性质．6．（5分）如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为0P ，角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P 的位置到到x 轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当0t =时，点P 到x 轴距离d ，于是可以排除答案A ，D ， 再根据当4t π=时，可知点P 在x 轴上此时点P 到x 轴距离d 为0，排除答案B ，故选：C ．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题． 7．（5分）设长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( ) A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【考点】LG ：球的体积和表面积 【专题】11：计算题【分析】本题考查的知识点是球的体积和表面积公式，由长方体的长、宽、高分别为2a 、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则长方体的对角线即为球的直径，即球的半径R 满足22(2)6R a =，代入球的表面积公式，24S R π=球，即可得到答案． 【解答】解：根据题意球的半径R 满足22(2)6R a =，所以2246S R a ππ==球． 故选：B ．【点评】长方体的外接球直径等于长方体的对角线长．8．（5分）如果执行如图的框图，输入5N =，则输出的数等于( )A ．54B ．45C ．65D ．56【考点】EF ：程序框图 【专题】28：操作型【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用， 再根据流程图所示的顺序，可知： 该程序的作用是累加并输出111111223344556S =++++⨯⨯⨯⨯⨯的值． 11111151122334455666S =++++=-=⨯⨯⨯⨯⨯ 故选：D ．【点评】根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．9．（5分）设偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，则{|(2)0}(x f x ->= ) A ．{|2x x <-或4}x > B ．{|0x x <或4}x > C ．{|0x x <或6}x >D ．{|2x x <-或2}x >【考点】3K ：函数奇偶性的性质与判断 【专题】11：计算题【分析】由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-，根据偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，再求解不等式，可得答案．【解答】解：由偶函数()f x 满足()24(0)x f x x =-…，可得||()(||)24x f x f x ==-， 则|2|(2)(|2|)24x f x f x --=-=-，要使(|2|)0f x ->，只需|2|240x -->，|2|2x -> 解得4x >，或0x <． 应选：B ．【点评】本题主要考查偶函数性质、不等式的解法以及相应的运算能力，解答本题的关键是利用偶函数的性质将函数转化为绝对值函数，从而简化计算． 10．（5分）若cos 45α=-，α是第三象限的角，则sin()(4πα+= )A ．BC ．D 【考点】GG ：同角三角函数间的基本关系；GP ：两角和与差的三角函数 【专题】11：计算题【分析】根据α的所在的象限以及同角三角函数的基本关系求得sin α的值，进而利用两角和与差的正弦函数求得答案． 【解答】解：α是第三象限的角3sin 5α∴==-，所以324s i()445ππααα+=+=故选：A ．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，以及同角三角函数的基本关系的应用．根据角所在的象限判断三角函数值的正负是做题过程中需要注意的．11．（5分）已知ABCD 的三个顶点为(1,2)A -，(3,4)B ，(4,2)C -，点(,)x y 在ABCD 的内部，则25z x y =-的取值范围是( ) A ．(14,16)-B ．(14,20)-C ．(12,18)-D ．(12,20)-【考点】7C ：简单线性规划 【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】根据点坐标与向量坐标之间的关系，利用向量相等求出顶点D 的坐标是解决问题的关键．结合线性规划的知识平移直线求出目标函数的取值范围． 【解答】解：由已知条件得(0,4)AB DC D =⇒-， 由25z x y =-得255z y x =-，平移直线当直线经过点(3,4)B 时，5z-最大， 即z 取最小为14-；当直线经过点(0,4)D -时，5z-最小，即z 取最大为20，又由于点(,)x y 在四边形的内部，故(14,20)z ∈-． 如图：故选B ．【点评】本题考查平行四边形的顶点之间的关系，用到向量坐标与点坐标之间的关系，体现了向量的工具作用，考查学生线性规划的理解和认识，考查学生的数形结合思想．属于基本题型．12．（5分）已知函数||,010()16,102lgx x f x x x <⎧⎪=⎨-+>⎪⎩…，若a ，b ，c 互不相等，且f （a ）f =（b ）f =（c ），则abc 的取值范围是( ) A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；3B ：分段函数的解析式求法及其图象的作法；4H ：对数的运算性质；4N ：对数函数的图象与性质 【专题】13：作图题；16：压轴题；31：数形结合【分析】画出函数的图象，根据f （a ）f =（b ）f =（c ），不妨a b c <<，求出abc 的范围即可．【解答】解：作出函数()f x 的图象如图， 不妨设a b c <<，则16(0,1)2lga lgb c -==-+∈1ab =，10612c <-+<则(10,12)abc c =∈． 故选：C ．【点评】本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）圆心在原点上与直线20x y +-=相切的圆的方程为 222x y += ． 【考点】1J ：圆的标准方程；9J ：直线与圆的位置关系【分析】可求圆的圆心到直线的距离，就是半径，写出圆的方程．【解答】解：圆心到直线的距离：r =，所求圆的方程为222x y +=．故答案为：222x y +=【点评】本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，是基础题．14．（5分）设函数()y f x =为区间(0，1]上的图象是连续不断的一条曲线，且恒有0()1f x 剟，可以用随机模拟方法计算由曲线()y f x =及直线0x =，1x =，0y =所围成部分的面积S ，先产生两组（每组N 个），区间(0，1]上的均匀随机数1x ，2x ，⋯，n x 和1y ，2y ，⋯，n y ，由此得到N 个点(x ，)(1y i -，2⋯，)N ．再数出其中满足1()(1y f x i =…，2⋯，)N 的点数1N ，那么由随机模拟方法可得S 的近似值为1N N． 【考点】CE ：模拟方法估计概率；CF ：几何概型【分析】由题意知本题是求10()f x dx ⎰，而它的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，积分得到结果． 【解答】解：1()f x dx ⎰的几何意义是函数()f x （其中0()1)f x 剟的图象与x 轴、直线0x =和直线1x =所围成图形的面积，∴根据几何概型易知110()N f x dx N≈⎰．故答案为：1N N． 【点评】古典概型和几何概型是我们学习的两大概型，古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，而不能列举的就是几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积和体积的比值得到．15．（5分）一个几何体的正视图为一个三角形，则这个几何体可能是下列几何体中的 ①②③⑤ （填入所有可能的几何体前的编号）①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱．【考点】7L ：简单空间图形的三视图 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】一个几何体的正视图为一个三角形，由三视图的正视图的作法判断选项． 【解答】解：一个几何体的正视图为一个三角形，显然①②⑤正确；③是三棱柱放倒时也正确；④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形； 故答案为：①②③⑤【点评】本题考查简单几何体的三视图，考查空间想象能力，是基础题．16．（5分）在ABC ∆中，D 为BC 边上一点，3BC BD =，AD =，135ADB ∠=︒．若AC ，则BD = 2【考点】HR ：余弦定理【专题】11：计算题；16：压轴题【分析】先利用余弦定理可分别表示出AB ，AC ，把已知条件代入整理，根据3BC BD =推断出2C D B D =，进而整理2222AC CD CD =+- 得22424AC BD BD =+-把AC ，代入整理，最后联立方程消去AB 求得BD 的方程求得BD ．【解答】用余弦定理求得2222cos135AB BD AD AD BD =+-︒ 2222cos45AC CD AD AD CD =+-︒即2222AB BD BD =++①2222AC CD CD =+-② 又3BC BD = 所以2CD BD =所以 由（2）得22424AC BD BD =+-（3）因为 A C A B所以 由（3）得222424AB BD BD =+- （4） （4）2-（1） 2410BD BD --=求得2BD =故答案为：2【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．考查了学生创造性思维能力和基本的推理能力． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设等差数列{}n a 满足35a =，109a =-． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求{}n a 的前n 项和n S 及使得n S 最大的序号n 的值． 【考点】84：等差数列的通项公式；85：等差数列的前n 项和【分析】（1）设出首项和公差，根据35a =，109a =-，列出关于首项和公差的二元一次方程组，解方程组得到首项和公差，写出通项．（2）由上面得到的首项和公差，写出数列{}n a 的前n 项和，整理成关于n 的一元二次函数，二次项为负数求出最值．【解答】解：（1）由1(1)n a a n d =+-及35a =，109a =-得 199a d +=-，125a d +=解得2d =-，19a =，数列{}n a 的通项公式为112n a n =- （2）由（1）知21(1)102n n n S na d n n -=+=-． 因为2(5)25n S n =--+． 所以5n =时，n S 取得最大值．【点评】数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数，当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值，因此它具备函数的特性．18．（10分）如图，已知四棱锥P ABCD -的底面为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，垂足为H ，PH 是四棱锥的高． （Ⅰ）证明：平面PAC ⊥平面PBD ；（Ⅱ）若AB 60APB ADB ∠=∠=︒，求四棱锥P ABCD -的体积．【考点】LF ：棱柱、棱锥、棱台的体积；LY ：平面与平面垂直 【专题】11：计算题；14：证明题；35：转化思想【分析】（Ⅰ）要证平面PAC ⊥平面PBD ，只需证明平面PAC 内的直线AC ，垂直平面PBD 内的两条相交直线PH ，BD 即可．（Ⅱ）AB 60APB ADB ∠=∠=︒，计算等腰梯形ABCD 的面积，PH 是棱锥的高，然后求四棱锥P ABCD -的体积． 【解答】解：（1）因为PH 是四棱锥P ABCD -的高．所以AC PH ⊥，又AC BD ⊥，PH ，BD 都在平PHD 内，且PH BD H =．所以AC ⊥平面PBD ．故平面PAC ⊥平面PBD （6分）（2）因为ABCD 为等腰梯形，//AB CD ，AC BD ⊥，AB =所以HA HB = 因为60APB ADB ∠=∠=︒所以PA PB ==1HD HC ==．可得PH =．等腰梯形ABCD 的面积为122S ACxBD ==+9分）所以四棱锥的体积为1(23V=⨯+．（12分）【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查空间想象能力，计算能力，推理能力，是中档题．19．（10分）为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如表：（1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的比例；（2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？（3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例？说明理由．附：2()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【考点】BL：独立性检验【专题】11：计算题；5I：概率与统计【分析】（1）由样本的频率率估计总体的概率，（2）求2K的观测值查表，下结论；（3）由99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，则可按性别分层抽样．【解答】解：（1）调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此在该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为7014%500=（2）2K的观测值2500(4027030160)9.96720030070430k⨯-⨯=≈⨯⨯⨯因为9.967 6.635>，且2( 6.635)0.01P K=…，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关．（3）根据（2）的结论可知，该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关，并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男女两层，并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好．【点评】本题考查了抽样的目的，独立性检验的方法及抽样的方法选取，属于基础题．20．（10分）设1F ，2F 分别是椭圆222:1(01)y E x b b+=<<的左、右焦点，过1F 的直线l 与E相交于A 、B 两点，且2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列． （Ⅰ）求||AB ；（Ⅱ）若直线l 的斜率为1，求b 的值． 【考点】4K ：椭圆的性质 【专题】15：综合题【分析】（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++=，再由2||AF ，||AB ，2||BF 成等差数列，能够求出||AB 的值．（2）L 的方程式为y x c =+，其中c ，设1(A x ，1)y ，1(B x ，1)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x cy x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．然后结合题设条件和根与系数的关系能够求出b 的大小．【解答】解：（1）由椭圆定义知22||||||4AF AB BF ++= 又222||||||AB AF BF =+，得4||3AB =（2）L 的方程式为y x c =+，其中c =设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则A ，B 两点坐标满足方程组2221y x c y x b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩．，化简得222(1)2120b x cx b +++-=．则2121222212,11c b x x x x b b --+==++． 因为直线AB 的斜率为1，所以21|||AB x x =-即214|3x x =-． 则224212122222284(1)4(12)8()49(1)1(1)b b b x x x x b b b --=+-=-=+++．解得b ． 【点评】本题综合考查椭圆的性质及其运用和直线与椭圆的位置关系，解题时要注意公式的灵活运用．21．设函数2()(1)x f x x e ax =-- （Ⅰ）若12a =，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）若当0x …时()0f x …，求a 的取值范围． 【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性 【专题】15：综合题；53：导数的综合应用【分析】()I 求导函数，由导数的正负可得函数的单调区间；()()(1)x II f x x e ax =--，令()1x g x e ax =--，分类讨论，确定()g x 的正负，即可求得a 的取值范围． 【解答】解：1()2I a =时，21()(1)2x f x x e x =--，()1(1)(1)x x x f x e xe x e x '=-+-=-+ 令()0f x '>，可得1x <-或0x >；令()0f x '<，可得10x -<<；∴函数的单调增区间是(,1)-∞-，(0,)+∞；单调减区间为(1,0)-；()()(1)x II f x x e ax =--．令()1x g x e ax =--，则()x g x e a '=-．若1a …，则当(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 为增函数， 而(0)0g =，从而当0x …时()0g x …，即()0f x …． 若1a >，则当(0,)x lna ∈时，()0g x '<，()g x 为减函数， 而(0)0g =，从而当(0,)x lna ∈时，()0g x <，即()0f x <． 综合得a 的取值范围为(-∞，1]． 另解：当0x =时，()0f x =成立；当0x >，可得10xe ax --…，即有1x e a x-…的最小值，由1x y e x =--的导数为1x y e '=-，当0x >时，函数y 递增；0x <时，函数递减， 可得函数y 取得最小值0，即10x e x --…，0x >时，可得11x e x-…， 则1a …．【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．22．（10分）如图：已知圆上的弧AC BD =，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：（Ⅰ）ACE BCD ∠=∠． （Ⅱ）2BC BE CD =．【考点】9N ：圆的切线的判定定理的证明；NB ：弦切角 【专题】14：证明题【分析】()I 先根据题中条件：“AC BD =”，得BCD ABC ∠=∠．再根据EC 是圆的切线，得到ACE ABC ∠=∠，从而即可得出结论． ()II 欲证2BC BE = x CD ．即证BC CDBE BC=．故只须证明~BDC ECB ∆∆即可． 【解答】解：（Ⅰ）因为AC BD =， 所以BCD ABC ∠=∠． 又因为EC 与圆相切于点C ， 故ACE ABC ∠=∠所以ACE BCD ∠=∠．（5分）（Ⅱ）因为ECB CDB ∠=∠，EBC BCD ∠=∠， 所以~BDC ECB ∆∆， 故BC CDBE BC=． 即2BC BE CD =⨯．（10分）【点评】本题主要考查圆的切线的判定定理的证明、弦切角的应用、三角形相似等基础知识，考查运化归与转化思想．属于基础题．23．（10分）已知直线11cos (sin x t C t y t αα=+⎧⎨=⎩为参数），2cos (sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数），（Ⅰ）当3πα=时，求1C 与2C 的交点坐标；（Ⅱ）过坐标原点O 做1C 的垂线，垂足为A ，P 为OA 中点，当α变化时，求P 点的轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．【考点】3J ：轨迹方程；JE ：直线和圆的方程的应用；4Q ：简单曲线的极坐标方程；QJ ：直线的参数方程；QK ：圆的参数方程 【专题】15：综合题；16：压轴题【分析】()I 先消去参数将曲线1C 与2C 的参数方程化成普通方程，再联立方程组求出交点坐标即可，()II 设(,)P x y ，利用中点坐标公式得P 点轨迹的参数方程，消去参数即得普通方程，由普通方程即可看出其是什么类型的曲线． 【解答】解：（Ⅰ）当3πα=时，1C的普通方程为1)y x =-，2C 的普通方程为221x y +=．联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩， 解得1C 与2C 的交点为(1，10)(,2．（Ⅱ）1C 的普通方程为sin cos sin 0x y ααα--=①． 则OA 的方程为cos sin 0x y αα+=②， 联立①②可得2sin x α=，cos sin y αα=-；A 点坐标为2(sin α，cos sin )αα-，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为：()21212x sin y sin cos αααα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩为参数，P 点轨迹的普通方程2211()416x y -+=．故P 点轨迹是圆心为1(,0)4，半径为14的圆．【点评】本题主要考查直线与圆的参数方程，参数方程与普通方程的互化，利用参数方程研究轨迹问题的能力．24．（10分）设函数()|24|1f x x =-+． （Ⅰ）画出函数()y f x =的图象：（Ⅱ）若不等式()f x ax …的解集非空，求a 的取值范围．【考点】3A ：函数的图象与图象的变换；7E ：其他不等式的解法；5R ：绝对值不等式的解法【专题】11：计算题；13：作图题；16：压轴题【分析】()I 先讨论x 的范围，将函数()f x 写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；()II 根据函数()y f x =与函数y ax =的图象可知先寻找满足()f x ax …的零界情况，从而求出a 的范围．【解答】解：（Ⅰ）由于25,2()23,2x x f x x x -+<⎧=⎨-⎩…，函数()y f x =的图象如图所示．（Ⅱ）由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，极小值在点(2,1) 当且仅当2a <-或12a …时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点．故不等式()f x ax …的解集非空时，a 的取值范围为1(,2)[2-∞-，)+∞．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及利用函数图象解不等式，同时考查了数形结合的数学思想，属于基础题．。
数学_2010年陕西省西安市某校高考数学一模试卷(文科)(含答案)
2010年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1. 已知集合A{x|x <−1或x >1}，B ＝{x|log 2x >0}，则A ∩B ＝（ ） A {x|x >1} B {x|x >0} C {x|x <−1} D {x|x <−1或x >1}2. 若复数a+3i 1+2i（a ∈R ，i 为虚数单位位）是纯虚数，则实数a 的值为( )A −2B 4C −6D 63. 已知实数a ，b ，则“ab ≥2”是“a 2+b 2≥4”的（ ）条件.A 充分不必要B 必要不充分C 充要D 既不充分也不必要4. 已知x 、y 满足约束条件{x −2≤0y −1≤0x +2y −2≥0，则z =x −y 的取值范围为（ ）A (−2, 1)B (−1, 2]C [−1, 2]D [−2, 1] 5. 双曲线x 2m −y 2n=1(mn ≠0)的离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为( )A 316 B 38 C 163 D 836. 某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（ ）7. 平面向量a →与b →的夹角为60∘，a →=(2, 0)，|b →|=1，则|a →+2b →|=( )A √3B 2√3C 4D 128. 在等差数列{a n }中，已知a 1−a 4−a 8−a 12+a 15=2，那么S 15的值为（ ） A −30 B 15 C −60 D −159. 设α，β为两个不同的平面，l ，m 为两条不同的直线，且l ⊂α，m ⊂β，有如下的两个命题：①若α // β，则l // m ；②若l ⊥m ，则α⊥β.那么（ ）A ①是真命题，②是假命题B ①是假命题，②是真命题C ①②都是真命题D ①②都是假命题10. 已知一个几何体的三视图如所示，则该几何体的体积为（ ）A 4B 2C 1D 5二、填空题（共7小题，每小题5分，满分25分，第15题-第17题属选做题，请任选一题作答）11. 已知cosa =−513，且a 是第二象限的角，则tan(2π−a)=________．12. 执行如图所示的程序框图，若p ＝0.8，则输出的n ＝________．13. 函数f(x)={sin(πx 2)(−1<x <0)e x−1(x ≥0)，若f(1)+f(a)=2，则________．14. 圆x 2+y 2−4x −4y −10=0上的点到直线x +y −14=0的最大距离是________． 15. 曲线√2ρ=4sin(x +π4)与曲线ρ=1的位置关系是：________（填“相交”，“相切”或“相离”）． 16. 不等式|x−1x+2|>1的解集是：________．17. 已知PA 是圆O 的切线，切点为A ，PA =2．AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB =1，则圆O 的半径R =________．三、解答题（共6小题，满分75分）18. 已知向量a →=(√3cosx −√3,sinx)，b →=(1+cosx,cosx)，设f(x)=a →⋅b →． （1）求f(25π6)的值；（2）当x ∈[−π3，π6]时，求函数f(x)的值域．19. 已知函数f(x)=x 2−2ax +b ，a ，b ∈R ．（1）若a 从集合{0, 1, 2, 3}中任取一个元素，b 从集合{0, 1, 2}中任取一个元素，求方程f(x)=0有两个不相等实根的概率；（2）若a 从区间[0, 2]中任取一个数，b 从区间[0, 3]中任取一个数，求方程f(x)=0没有实根的概率．20. 在平面直角坐标系xoy 中，已知四点A(2, 0)，B(−2, 0)，C(0, −2)，D(−2, −2)，把坐标系平面沿y 轴折为直二面角． （1）求证：BC ⊥AD ；（2）求三棱锥C −AOD 的体积．21. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a n+1=2S n ．（1）求a 2，a 3，a 4的值；（2）求数列{a n }的通项公式a n ；（3）设b n =na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．22. 已知函数f(x)=(x 2+bx +c)e x 在点P （0, f(0)）处的切线方程为2x +y −1=0． （1）求b ，c 的值；（2）求函数f(x)的单调区间；（3）求函数y =f(x)(x ∈R)的值域．23.已知椭圆x 22+y 24=1两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足PF 1→⋅PF 2→=1，过P 作倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点．（1）求P 点坐标；（2）求直线AB 的斜率；（3）求△PAB 面积的最大值．2010年陕西省西安市某校高考数学一模试卷（文科）答案1. A2. C3. A4. C5. A6. C7. B8. A 9. D 10. D 11. 125 12. 4 13. 1或−√2214. 8√2 15. 相交16. (−∞,−2)∪(−2,−12)17. √318. 解：f(x)=a →⋅b →=√3(cosx −1)(1+cosx)+sinxcosx =−√3sin 2x +sinxcosx =−√32(1−cos2x)+12sin2x =−√32+sin(2x +π3)(1)f(25π6)=−√32+sin(26π3)=−√32+sin(8π+2π3) =−√32+sin(2π3)=0 （2）当x ∈[−π3，π6]时，(2x +π3)∈[−π3,2π3]，sin(2x +π3)∈[−√32,1]∴ f(x)∈[−√3，1−√32]． 19. 解：（1）a 取集合{0, 1, 2, 3}中任一元素， b 取集合{0, 1, 2}中任一元素∴ a 、b 的取值情况有(0, 0)，(0, 1)(0, 2) (1, 0)(1, 1)(1, 2)(2, 0)，(2, 1)，(2, 2)，(3, 0)(3, 1)(3, 2)其中第一个数表示a 的取值，第二个数表示b 的取值，基本事件总数为12． 设“方程f(x)=0有两个不相等的实根”为事件A ，当a ≥0，b ≥0时方程f(x)=0有两个不相等实根的充要条件为a >b 当a >b 时，a 的取值有(1, 0)(2, 0)(2, 1)(3, 0)(3, 1)(3, 2) 即A 包含的基本事件数为6．∴ 方程f(x)=0有两个不相等的实根的概率P(A)=612=12（2）∵ a 从区间[0, 2]中任取一个数，b 从区间[0, 3]中任取一个数则试验的全部结果构成区域Ω={(a, b)|0≤a ≤2, 0≤b ≤3}这是一个矩形区域，其面积S Ω=2×3=6设“方程f(x)=0没有实根”为事件B则事件B 构成的区域为M ={(a, b)|0≤a ≤2, 0≤b ≤3, a ≤b}即图中阴影部分的梯形，其面积SM =6−12×2×2=4由几何概型的概率计算公式可得方程f(x)=0没有实根的概率P(B)=S M S Ω=46=23．20. 解：（1）【法一】∵ BOCD 为正方形，∴ BC ⊥OD ，∠AOB 为二面角B −CO −A 的平面角∴ AO ⊥BO ，∵ AO ⊥CO ，且BO ∩CO =O ∴ AO ⊥平面BCO ，又BC ⊆平面BCO ∴ AO ⊥BC ，且DO ∩AO =O∴ BC ⊥平面ADO ，且AD ⊆平面ADO ，∴ BC ⊥AD ．【法二】分别以OA ，OC ，OB 为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，则 设O(0, 0, 0)，A(2, 0, 0)，B(0, 0, 2)，C(0, 2, 0)，D(0, 2, 2)；有AD →=(−2, 2, 2)，BC →=(−2, 2, 0)，∴ AD →⋅BC →=0，∴ AD →⊥BC →，即BC ⊥AD ． （2）三棱锥C −AOD 的体积为：V C−AOD =V A−COD =13⋅S △COD ⋅OA =13×12×2×2×2=43．21. 解：（1）∵ a 1=1，∴ a 2=2a 1=2，a 3=2S 2=6，a 4=2S 3=18， （2）∵ a n+1=2S 1，∴ a N =2S n−1(n ≥2)， ∴ a n+1−a n =2a n ，a n+1a n=3(n ≥2)又a 2a 1=2，∴ 数列{a n }自第2项起是公比为3的等比数列，∴ a n ={1(n =1)2×3n−2(n ≥2)，（3）∵ b n =na n ，∴ b n ={1(n =1)2n ×3n−2(n ≥2)，∴ T n =1+2×2×30+2×3×31+2×4×32++2×n ×3n−2，…① 3T n =3+2×2×31+2×3×32+2×4×33++2×n ×3n−1…②①-②得−2T n =−2+2×2×30+2×31+2×32++2×3n−2−2×n ×3n−1 =2+2(3+32+33++3n−2)−2n ×3n−1=(1−2n)×3n−1−1 ∴ T n =(n −12)×3n−1+12．22. 解：（1）f′(x)=[x 2+(b +2)x +b +c]•e x∵ f(x)在点P （0, f(0)）处的切线方程为2x +y −1=0． ∴ {f′(0)=−2f(0)=1⇔{b +c =−2c =1⇔{b =−3c =1（2）由（1）知：f(x)=(x 2−3x +1)⋅e x ， f′(x)=(x 2−x −2)⋅e x =(x −2)(x +1)⋅e x∴ f(x)的单调递增区间是：(−∞, −1)和(2, +∞)，f(x)的单调递减区间是：(−1, 2)． （3）由（2）知：当x =−1时，f(x)取极大值f(−1)=5e当x =2时，f(x)取极小值f(2)=−e 2且当x →+∞时，f(x)→+∞；又当x <0时，f(x)>0， 所以f(x)的值域为[−e 2, +∞)．（13）23. 解：（1）F 1(0,√2)，F 2(0,−√2)，设P(x 0, y 0) 则PF 1→=(−x 0,√2−y 0)，PF 2→=(−x 0,−√2−y 0)PF 1→⋅PF 2→=1⇔x 02−2+y 02=1⇔x 02+y 02=3 又2x 02+y 02=4，x 0，y 0>0，∴ {x 0=1y 0=√2，即所求P(1,√2)（2）设l AP :y −√2=k(x −1)联立{y −√2=k(x −1)2x 2+y 2=4得：(2+k 2)x 2−2k(k −2)x +k 2−2√2k −2=0 ∵ x P =1，∴ x A =k 2−2√2k−22+k 2，y A =kx A −k +√2=−√2k 2−4k+2√22+k 2则A(k 2−2√2k−22+k 2，−√2k 2−4k+2√22+k 2) 同理B(k 2+2√2k−22+k 2，−√2k 2+4k+2√22+k 2)，∴ k AB =8k 2+k 24√2k 2+k 2=√2（3）设l AB :y =√2x +m ，联立{y =√2x +m2x 2+y 2=4，得：4x 2+2√2mx +m 2−4=0，∴ {x 1+x 2=−√2m2⋅∴ |AB|=√3|x 1−x 2|=√3√(x 1+x 2)2−4x 1⋅x 2=√3√4−12m 2 而ℎ=√2−√2+m|√3=√3∴ S=12|AB|⋅ℎ=12√3√4−12m2⋅√3=√24√m2(8−m2)≤√24⋅m2+(8−m2)2=√2当且仅当m=±2时等号成立，经检验符合题意，△PAB面积的最大值为√2．。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西文
2010年陕西文一、选择题（共10小题；共50分）1. 集合A=x−1≤x≤2，B=x x<1，则A∩B= A. x x<1B. x−1≤x≤2C. x−1≤x≤1D. x−1≤x<12. 复数z=i在复平面上对应的点位于 1+iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 函数f x=2sin x cos x是 A. 最小正周期为2π的奇函数B. 最小正周期为2π的偶函数C. 最小正周期为π的奇函数D. 最小正周期为π的偶函数4. 如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为x A和x B，样本标准差分别为s A和s B，则 A. x A>x B,s A>s BB. x A<x B,s A>s BC. x A>x B,s A<s BD. x A<x B,s A<s B5. 如图是求x1,x2,⋯,x10的乘积S的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 A. S=S⋅n+1B. S=S⋅x n+1C. S=S⋅nD. S=S⋅x n6. " a>0 "是" a >0 "的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7. 下列四类函数中，具有性质“对任意的x>0，y>0，函数f x满足f x+y=f x f y”的是A. 幂函数B. 对数函数C. 指数函数D. 余弦函数8. 若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 A. 13B. 23C. 1D. 29. 已知抛物线y2=2px p>0的准线与圆x−32+y2=16相切，则p的值为 A. 12B. 1C. 2D. 410. 某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=x （x表示不大于x的最大整数）可以表示为 A. y=x10B. y=x+310C. y=x+410D. y=x+510二、填空题（共7小题；共35分）11. 观察下列等式：13+23=1+22，13+23+33=1+2+32，13+23+33+43=1+2+3+42，⋯，根据上述规律，第四个等式为．12. 已知向量a=2,−1，b=−1,m，c=−1,2，若 a+b∥c，则m=．13. 已知函数f x=3x+2,x<1,x2+ax,x≥1,若f f0=4a，则实数a=．14. 设x,y满足约束条件x+2y≤4,x−y≤1,x+2≥0,则目标函数z=3x−y的最大值为．15. 不等式2x−1<3的解集为．16. 如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BDDA=．17. 参数方程x=cosα,y=1+sinα, α为参数化成普通方程为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 已知a n是公差不为零的等差数列，a1=1且a1，a3，a9成等比数列．（1）求数列a n的通项公式；（2）求数列2a n的前n项和S n．19. 如图，在△ABC中，已知∠B=45∘，D是BC边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB的长．20. 为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行分层抽样调查，测得身高情况的统计图如下：（1）估计该校男生的人数；（2）估计该校学生身高在170∼185cm之间的概率；（3）从样本中身高在180∼190cm之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185∼190cm之间的概率．21. 如图，椭圆C:x2a2+y2b2=1a>b>0的顶点为A1,A2,B1,B2，焦点为F1,F2，A1B1=7，S平行四边形A1B1A2B2=2S平行四边形B1F1B2F2．（1）求椭圆C的方程；（2）设n为过原点的直线，l是与n垂直相交于P点，与椭圆相交于A，B两点的直线，OP= 1．是否存在上述直线l使OA⋅OB=0成立?若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．22. 已知函数f x=x，g x=a ln x，a∈R．（1）若曲线y=f x与曲线y=g x相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；（2）设函数 x=f x−g x，当 x存在最小值时，求其最小值φa的解析式；（3）对2中的φa，证明：当a∈0,+∞时，φa≤1．23. 如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP=AB，BP=BC=2，E、F分别是PB、PC的中点．（1）证明：EF∥平面PAD；（2）求三棱锥E−ABC的体积V．答案第一部分1. D2. A 【解析】提示：i1+i =i1−i1+i1−i=12+12i．3. C4. B 【解析】平均数反映一组数据的平均水平，由图可知x A<x B．标准差反映一组数据的波动性大小，波动越大，标准差越大，由图可知s A>s B．5. D6. A7. C8. C 【解析】该空间几何体为直三棱柱，其中高为2，底面是直角边长分别为1、2的直角三角形．9. C 【解析】因为抛物线的准线为x=−p2，圆的标准方程为x−32+y2=16，所以3− −p2=4，解得p=2．10. B【解析】法一：特殊取值法，若x=56，y=5，排除C、D，若x=57，y=6，排除A，所以选B法二：设x=10m+α0≤α≤9，0≤α≤6时,x+310= m+α+310=m=x10,当6<α≤9时,x+310= m+α+310=m+1=x10+1，所以选B第二部分11. 13+23+33+43+53=152【解析】观察可知，第n−1个等式的左边是从1开始的连续n个自然数的立方和，而右边是这连续n个自然数和的平方，即13+23+33+⋯+n3=1+2+3+⋯+n2，所以，第4个等式为13+23+ 33+43+53=152．12. −1【解析】因为a=2,−1，b=−1,m，所以a+b=1,m−1，由 a+b c得1−1=m−12，所以m=−1．13. 2【解析】由已知得f0=2，即f f0=f2=22+2a，又f f0=4a，所以22+2a=4a，即a=2．14. 515. x−1<x<216. 16917. x2+y−12=1第三部分18. （1）由题设知公差d≠0，由a1=1，且a1，a3，a9成等比数列，得1+2d1=1+8d1+2d，解得d=1,d=0舍去,故a n的通项a n=1+n−1×1=n.（2）由1知2a n=2n，由等比数列前n项和公式，得S n=2+22+23+⋯+2n=21−2n=2n+1−2.19. 在△ADC中，AD=10，AC=14，DC=6，由余弦定理得cos∠ADC=AD2+DC2−AC22AD⋅DC=100+36−1962×10×6=−12,所以∠ADC=120∘,∠ADB=60∘,在△ABD中，AD=10，∠B=45∘，∠ADB=60∘，由正弦定理得AB=AD,所以AB=AD⋅sin∠ADB=10sin60∘=10×3222=5 6.20. （1）样本中男生人数为40，由分层抽样比例为10%估计全校男生人数为400人．（2）由统计图知，样本中身高在170∼185 cm之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70，所以样本中学生身高在170∼180 cm之间的概率P1=3570=0.5．（3）样本中身高在180∼185cm之间的男生有4人，设其编号为①，②，③，④，样本中身高在185∼190cm之间的男生有2人，设其编号为⑤，⑥，从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180∼190cm之间的男生中任选2人的所有可能结果数为15，至少有1人身高在185∼190cm之间的可能结果数为9，因此所求概率P2=915=35．21. （1）由A1B1=7，知a2+b2=7, ⋯⋯①由S平行四边形A1B1A2B2=2S平行四边形B1F1B2F2，知a=2c, ⋯⋯②又b2=a2−c2, ⋯⋯③由①②③解得a2=4,b2=3，故椭圆C的方程为x2+y2=1.（2）设A，B两点的坐标分别为x1,y1,x2,y2，假设使OA⋅OB=0成立的直线l存在，（ⅰ）当l不垂直于x轴时，设l的方程为y=kx+m，由l与n垂直相交于P点且OP=1，得1+k2=1,即m2=k2+1.因为OA⋅OB=x1x2+y1y2=0,将y=kx+m代入椭圆方程，得3+4k2x2+8kmx+4m2−12=0,由根与系数的关系可得x1+x2=−8km2, ⋯⋯④且0=x1x2+y1y2=x1x2+kx1+m kx2+m=x1x2+k2x1x2+km x1+x2+m2=1+k2x1x2+km x1+x2+m2,将④⑤代入上式并化简得1+k24m2−12−8k2m2+m23+4k2=0, ⋯⋯⑥将m2=1+k2代入⑥并化简得−5k2+1=0，无解．即此时直线l不存在．（ii）当l垂直于x轴时，满足OP=1的直线l的方程为x=1 或x=−1，则A，B两点的坐标为1,32,1,−32,或 −1,32, −1,−32,当x=1时，OA⋅OB=1,32⋅1,−32=−54≠0;当x=−1时，OA⋅OB= −1,32⋅ −1,−32=−54≠0;所以此时直线l也不存在．综上可知，使OA⋅OB=0成立的直线l不存在．22. （1）由题得fʹx=2x gʹx=ax>0,由已知得x=a ln x,2x =a,解得a=e2,x=e2,所以两条直线交点的坐标为e2,e，切线的斜率为k=fʹe2=12e，所以切线的方程为y−e=12ex−e2，即x−2e y+e2=0．（2）由条件知x=x−a ln x x>0,所以ʹx=2x −a=x−2a.（i）当a>0时，令 ʹx=0，解得x=4a2，所以当0<x<4a2时， ʹx<0， x在0,4a2上递减；当x>4a2时， ʹx>0， x在4a2,+∞上递增，所以x=4a2是 x在0,+∞上的唯一极值点，从而也是 x的最小值点．所以最小值φa= 4a2=2a−a ln4a2=2a1−ln2a;（ii）当a≤0时， ʹx=x−2a2x>0， x在0,+∞上递增，无最小值．故 x的最小值φa的解析式为φa=2a1−ln2a a>0．（3）由2知φa=2a1−ln2a,则φʹa=−2ln2a,令φʹa=0，解得a=12．当0<a<12时，φʹa>0，所以φa在0,12上单调递增；当a>12时，φʹa<0，所以φa在12,+∞ 上单调递减．所以φa在0,+∞上能取得极大值φ12=1．因为φa在0,+∞上有且只有一个极值点，所以φ12=1也是φa的最大值，所当a属于0,+∞时，总有φa≤1．23. （1）在△PBC中，E、F分别是PB、PC的中点，所以EF∥BC．因为四边形ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以EF∥AD，又因为AD⊂平面PAD，EF⊄平面PAD，所以EF∥平面PAD．（2）连接AE，AC，EC，过E作EG∥PA交AB于点G，则EG⊥平面ABCD，且EG=12PA．在△PAB中，AP=AB，∠PAB=90∘，BP=2，所以AP=AB=2,EG=2 2 .所以S△ABC=1AB⋅BC=1×2×2=2,所以V E−ABC=13S△ABC⋅EG=13×2×22=13.。
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文科数学（必修+选修Ⅱ）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）. 1.集合A ={x －1≤x ≤2}，B ＝｛xx ＜1｝,则A ∩B =[D](A){x x ＜1}（B ）{x－1≤x ≤2}(C) {x－1≤x ≤1}(D) {x －1≤x ＜1}2.复数z =1ii在复平面上对应的点位于[A](A)第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 3.函数f (x )=2sin x cos x 是 [C] (A)最小正周期为2π的奇函数 （B ）最小正周期为2π的偶函数 (C)最小正周期为π的奇函数（D ）最小正周期为π的偶函数4.如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A B x x 和,样本标准差分别为s A 和s B ,则[B](A) A x ＞B x ，s A ＞s B (B) A x ＜B x ，s A ＞s B (C) A x ＞B x ，s A ＜s B (D) A x ＜B x ，s A ＜s B5.右图是求x 1,x 2，…，x 10的乘积S 的程序框图，图中空白框中应填入的内容为 [D](A)S =S*(n +1)（B ）S =S *x n +1 (C)S =S *n (D)S =S *x n6.“a ＞0”是“a ＞0”的[A](A)充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （B ）既不充分也不必要条件 7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ） f （y ）”的是 [C] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 8.若某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是[B]（A ）2 （B ）1（C ）23（D ）139.已知抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2＋y 2＝16相切，则p 的值为 [C]（A ）12（B ）1 （C ）2 （D ）410.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数y ＝[x ]（[x ]表示不大于x 的最大整数）可以表示为[B]（A ）y ＝[10x] （B ）y ＝[310x +] （C ）y ＝[410x +] （D ）y ＝[510x +] 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）. 11.观察下列等式：13＋23＝（1＋2）2，13＋23＋33＝（1＋2＋3）2，13＋23＋33＋43＝ （1＋2＋3＋4）2，…，根据上述规律，第四个等式．．．．．为13＋23＋33＋43＋53＝（1＋2＋3＋4＋5）2（或152）. 12.已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2）若（a ＋b ）∥c ，则 m ＝ －1 .13.已知函数f （x ）＝232,1,,1,x x x ax x +<⎧⎨+≥⎩若f （f （0））＝4a ，则实数a ＝ 2 .14.设x ，y 满足约束条件24,1,20,x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≥⎩，则目标函数z ＝3x －y 的最大值为 5 .15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分） A.（不等式选做题）不等式21x -<3的解集为{}12x x -<<.B.（几何证明选做题）如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3cm ，4cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BD ＝165cm.C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数）化成普通方程为x 2＋（y －1）2＝1.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）. 16.（本小题满分12分） 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列{a n }的通项; （Ⅱ）求数列{2an }的前n 项和S n . 解 （Ⅰ）由题设知公差d ≠0， 由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列得121d +＝1812dd++， 解得d ＝1，d ＝0（舍去）， 故{a n }的通项a n ＝1+（n －1）×1＝n . (Ⅱ)由（Ⅰ）知2ma =2n ，由等比数列前n 项和公式得S m =2+22+23+ (2)=2(12)12n --=2n+1-2.17.（本小题满分12分）在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点， AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.解 在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得cos ∠2222AD DC AC AD DC +- =10036196121062+-=-⨯⨯,∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B=∠,∴AB=10sin 10sin 60sin sin 452AD ADB B ∠︒===︒18.(本小题满分12分) 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形P A ⊥平面ABCD ，AP =AB ，BP =BC =2，E ，F 分别是PB ,PC 的中点. (Ⅰ)证明：EF ∥平面P AD ； (Ⅱ)求三棱锥E —ABC 的体积V. 解 (Ⅰ)在△PBC 中，E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴EF ∥BC . 又BC ∥AD ,∴EF ∥AD , 又∵AD ⊄平面P AD ,E F ⊄平面P AD , ∴EF ∥平面P AD . (Ⅱ)连接AE ,AC,EC ,过E 作EG ∥P A 交AB 于点G ,则BG ⊥平面ABCD ,且EG =12P A .在△P AB 中，AD =AB , P AB °,BP =2,∴AP =AB EG .∴S △ABC =12AB ·BC =12×,∴V E-AB C =13S △ABC ·EG =13=13.19 （本小题满分12分）为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行出样检查，测得身高情况的统计图如下：（）估计该校男生的人数；（）估计该校学生身高在170~185cm 之间的概率；（）从样本中身高在180~190cm 之间的男生中任选2人，求至少有1人身高在185~190cm之间的概率。
解 （）样本中男生人数为40 ，由分层出样比例为10%估计全校男生人数为400。
（）有统计图知，样本中身高在170~185cm 之间的学生有14+13+4+3+1=35人，样本容量为70 ，所以样本中学生身高在170~185cm 之间的频率故有f 估计该校学生身高在170~180cm 之间的概率（）样本中身高在180~185cm 之间的男生有4人，设其编号为样本中身高在185~190cm 之间的男生有2人，设其编号为从上述6人中任取2人的树状图为：故从样本中身高在180~190cm之间的男生中任选2人得所有可能结果数为15，求至少有1人身高在185~190cm之间的可能结果数为9，因此，所求概率20.（本小题满分13分）（Ⅰ）求椭圆C的方程；(Ⅱ)设n 为过原点的直线，l是与n垂直相交与点P，与椭圆相交于A,B两点的直线立？若存在，求出直线l的方程；并说出；若不存在，请说明理由。
21、(本小题满分14分)已知函数f（x）g（x）=alnx，a R。
（1） 若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a 的值及该切线的方程；（2） 设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值ϕ（a ）的解析式； （3） 对（2）中的ϕ（a ），证明：当a ∈（0，+∞）时， ϕ（a ）≤1. 解 （1）f ’(x)=’(x)=ax(x>0),由已知得，=a x ， 解德a=2e,x=e 2, 两条曲线交点的坐标为（e 2,e ） 切线的斜率为k=f ’(e 2)=12e, 切线的方程为y-e=12e (x- e 2).（2）由条件知Ⅰ 当a.>0时，令h '(x)=0,解得x=24a ,所以当0 < x< 24a 时 h '(x)<0，h(x)在（0，24a ）上递减； 当x >24a 时，h '(x)>0，h(x)在（0，24a ）上递增。
所以x >24a 是h(x )在（0， +∞ ）上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。
所以Φ （a ）=h(24a )= 2a-aln 24a =2Ⅱ当a ≤ 0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值Φ （a ）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知Φ （a ）=2a(1-ln2a)则 Φ 1（a ）=-2ln2a ，令Φ 1（a ）=0 解得 a =1/2当 0<a<1/2时，Φ 1（a ）>0，所以Φ （a ） 在(0,1/2) 上递增 当 a>1/2 时， Φ 1（a ）<0，所以Φ（a ） 在 (1/2, +∞)上递减。
所以Φ（a ）在(0, +∞)处取得极大值Φ（1/2 ）=1因为Φ（a ）在(0, +∞)上有且只有一个极致点，所以Φ（1/2）=1也是Φ（a ）的最大值 所当a 属于 (0, +∞)时，总有Φ（a ） ≤ 1。