二次根式化简的方法与技巧
二次根式推导与化简方法
二次根式推导与化简方法二次根式是包含平方根的数学表达式，如√a、√(a+b)等。
在数学中，推导和化简二次根式是常见的操作，本文将介绍二次根式推导的基本方法和常用的化简技巧。
一、二次根式推导方法：1. 提取公因式法推导：“巧算法”对于√(a*b)，如果a和b中至少有一个是完全平方数，可以将其分解为√a * √b。
例如，√(4*9) = √4 * √9 = 2√9 = 62. 分式法推导：“倒算法”对于√(a/b)，可以使用分数的倒数来进行推导。
例如，√(9/4) = √9 / √4 = 3/23. 平方形式法推导：“完全平方式”对于√(a^2 ± b)，可以利用完全平方公式进行推导。
例如，√(x^2 + 4x + 4) = √(x+2)^2 = x+2二、二次根式化简方法：1. 合并同类项法化简：“合并法”对于含有相同根号的二次根式，可以合并它们。
例如，√2 + √2 = 2√22. 有理化分母法化简：“有理化法”对于含有分母为根号的二次根式，可以利用有理化分母的方法进行化简。
例如，(1/√3) = (√3 / √3) = √3 / 33. 平方倍化法化简：“平方倍化法”对于含有二次根式相乘的情况，可以利用平方倍化法进行化简。
例如，√2 * √8 = √(2*8) = √16 = 4三、实例分析：1. 推导实例：对于√(8*27) = √(2^3 * 3^3)，可以先分解为√(2^3) * √(3^3)，进一步化简为2√2 * 3√3 = 6√6对于√(12/3) = √(4 * 3/3)，可以先分解为√4 * √(3/3)，进一步化简为2 * √1 = 22. 化简实例：对于√5 + √5 = 2√5对于1/(√2+√3)，可以使用有理化分母的方法化简为(1*(√2-√3))/((√2+√3)*(√2-√3)) = (√2-√3) / (-1) = √3-√2对于√3 * √18，可以使用平方倍化法化简为√(3 * 9 * 2) = √54 = 3√6结论：二次根式推导与化简方法是数学中常见且重要的操作。
二次根式的化简与运算
二次根式的化简与运算二次根式是指含有根号的代数表达式，通常是一种简化和运算方式，可以将复杂的表达式化简为简单的形式，并进行加减乘除等基本运算。
本文将介绍二次根式化简与运算的基本方法和技巧。
一、二次根式的化简1. 同底数的根式相加减：当根式的底数相同且指数相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持根号不变。
例如：√2 + √2 = 2√22. 二次根式的有理化：当二次根式的底数是一个整数，但含有一个或多个根号时，可以通过有理化的方法化简。
例如：√(2/3) = (√2)/(√3) = (√2)/(√3) × (√3)/(√3) = √6/33. 二次根式的合并：当二次根式的底数相同，但系数不同时，可以合并为一个根式，将系数加在一起，并保持底数不变。
例如：3√2 + 2√2 = 5√24. 二次根式的分解：当二次根式的底数是一个整数，且无法进行合并时，可以进行分解，并找出其中可以合并的部分。
例如：√12 = √(4 × 3) = 2√3二、二次根式的运算1. 加减运算：当二次根式的底数和指数都相同时，可以直接对系数进行加减运算，保持底数和指数不变。
例如：2√5 + 3√5 = 5√52. 乘法运算：当二次根式相乘时，可以将根式的系数分别相乘，并保持底数和指数不变。
例如：2√3 × 3√2 = 6√63. 除法运算：当二次根式相除时，可以将根式的系数分别相除，并保持底数和指数不变。
例如：6√8 ÷ 2√2 = 3√24. 乘方运算：当二次根式进行乘方运算时，可以将指数分别应用到系数和根号上，并保持底数不变。
例如：(2√3)^2 = 2^2 × (√3)^2 = 4 × 3 = 12总结：二次根式的化简与运算是一种常见的数学操作，在代数表达式的计算中经常会遇到。
通过适当的化简和运算，可以简化复杂的根式，得到更加简单和规范的表达形式。
熟练掌握二次根式的化简和运算方法，有助于提高数学计算的效率和准确性。
二次根式的运算与化简
二次根式的运算与化简二次根式是指形如√a的数，其中a是一个非负实数。
在数学中，我们经常需要对二次根式进行运算和化简。
本文将介绍二次根式的运算规则和化简方法。
一、二次根式的运算规则1. 加减运算当二次根式的被开方数相同时，可用下面的规则进行加减运算：√a ± √a = 2√a例如：√3 + √3 = 2√3当二次根式的被开方数不同时，无法进行加减运算，需要化简为最简形式：√a ± √b = √a ± √b例如：√2 + √3 无法化简2. 乘法运算二次根式的乘法运算可以按照下列规则进行：√a × √b = √(a × b)例如：√2 × √3 = √6乘法运算的一种特殊情况是平方运算：(√a)² = a例如：(√2)² = 23. 除法运算二次根式的除法运算可以按照下列规则进行：√a ÷ √b = √(a ÷ b)例如：√6 ÷ √2 = √3除法运算的一种特殊情况是倒数运算：1/√a = √a/ a例如：1/√2 = √2/2二、二次根式的化简方法1. 提取因子法当二次根式中有相同的因子时，可以使用提取因子的方法进行化简。
例如：√8 = √(4 × 2) = 2√22. 有理化分母法当二次根式的分母为二次根式时，可以使用有理化分母的方法进行化简。
例如：1/√2 = √2/2 （有理化分母为2）3. 合并同类项法当二次根式中出现相同的根数时，可以使用合并同类项的方法进行化简。
例如：√2 + √2 = 2√24. 化简最简形式当无法再进行其他化简方法时，二次根式已经达到最简形式。
例如：√7 无法化简以上是对二次根式的运算和化简方法的介绍。
掌握了这些方法，我们可以在解决数学问题时更加灵活地利用二次根式进行运算和化简，简化计算过程。
希望本文能对你有所帮助。
二次根式的化简与应用
二次根式的化简与应用一、引言二次根式是数学中常见的一种形式，化简二次根式是解决数学问题中的重要环节。
本文将重点介绍二次根式的化简方法及其在实际应用中的一些例子。
二、二次根式的定义与化简方法二次根式是指根号内含有二次方项的根式。
一般形式为√(ax²+bx+c)（其中a、b、c为常数，且a≠0）。
对于二次根式的化简，主要采用以下两种方法：1. 提取公因式法当二次根式的根号内含有完全平方的因式时，可采用提取公因式法进行化简。
例如，对于二次根式√(4x²+12x+9)，可以提取公因式4，得到√[(2x+3)²]，进而化简为2x+3。
2. 平方差公式法当二次根式的根号内含有差的平方时，可使用平方差公式将其化简。
例如，对于二次根式√(x²-4)，可以使用平方差公式将其化简为√[(x-2)(x+2)]。
三、二次根式的应用二次根式在实际应用中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：1. 几何问题中的应用二次根式可用于求解几何问题中的边长、面积等。
例如，在求解直角三角形斜边时，可以利用勾股定理将边长的平方与二次根式联系起来。
2. 物理问题中的应用二次根式常出现在物理问题的求解中，如自由落体问题中的时间、距离等。
在这类问题中，常常需要对二次根式进行化简，以便进行后续计算和分析。
3. 金融问题中的应用金融领域中的一些利率、投资回报率等问题，也常涉及到二次根式的运算。
通过化简二次根式，可以更好地理解和计算这些金融概念。
四、案例分析为了更好地理解二次根式的应用，以及其化简方法的实际作用，我们选取了一个案例进行分析。
案例：已知三角形的两边长分别为2√3和4√5，夹角为60°，求第三边长。
解析：根据余弦定理可知，在三角形中，第三边的平方等于两边的平方和减去两边之积与夹角余弦的乘积。
设第三边长为x，则根据余弦定理可得：x² = (2√3)² + (4√5)² - 2×2√3×4√5×cos60°化简上式，可得：x² = 12 + 80 - 48×0.5x² = 12 + 80 - 24x² = 68因此，第三边长x为√68。
二次根式的化简技巧
二次根式的化简技巧二次根式是代数中的一种重要形式，它以根号和一个含有变量的表达式组成。
对于二次根式的化简，我们可以采用以下几种技巧进行简化，从而使表达式更加清晰和易于计算。
技巧一：提取公因式当二次根式的根号下含有可以被分解为两个数的乘积时，我们可以通过提取公因式的方法进行化简。
具体操作如下：例子：化简√(9x^2y^2)步骤：1. 提取公因式，即将根号内的表达式拆分成两个平方数的乘积。
√(9x^2y^2) = √(9) * √(x^2y^2)2. 计算每个平方数的平方根。
√(9) * √(x^2y^2) = 3xy技巧二：平方差公式当二次根式的根号下含有和或差的形式时，我们可以利用平方差公式进行化简。
平方差公式表达式如下：(a - b)(a + b) = a^2 - b^2例子：化简√(x^2 - 4)步骤：1. 将二次根式转化为平方差的形式。
√(x^2 - 4) = √[(x - 2)(x + 2)]2. 利用平方差公式进行展开。
√[(x - 2)(x + 2)] = √(x - 2) * √(x + 2)技巧三：有理化分母当二次根式出现在分母中时，为了方便计算，我们可以采用有理化分母的方法将其转化为分子含有整数的形式。
例子：化简1/√3步骤：1. 利用乘法的交换律，将分母中的二次根式移至分子。
1/√3 = √3/32. 分母有理化，即将分母中的二次根式消除。
√3/3 = (√3 * √3)/(3 * √3) = √3/3√3 = 1/(3√3)通过以上三个化简技巧，我们可以简化二次根式的表达式，使其更易于计算和理解。
在实际应用中，这些技巧可以帮助我们高效地进行代数运算，解决问题。
掌握和熟练运用这些技巧，能提高我们的数学能力和解题能力。
总结：化简二次根式的技巧包括提取公因式、利用平方差公式和有理化分母。
通过灵活运用这些技巧，我们能够简化复杂的二次根式表达式，使其更具可读性和计算性。
掌握这些技巧有助于提高数学运算能力和问题解决能力。
二次根式的化简
二次根式的化简二次根式是数学中的重要概念，在解题和计算中经常出现。
化简二次根式是简化其形式，以便更方便的进行运算和求解。
下面将介绍化简二次根式的基本方法和步骤。
1. 提取因子法对于形如√ax²的二次根式，可以利用提取因子的方法进行化简。
首先，提取出平方数因子，并将其移出根号之外。
例如：√20 = √(2 * 10) = √2 * √10 = √2√102. 分解因式法对于形如√(ab)的二次根式，可以将其分解为两个二次根式的乘积，然后分别化简。
例如：√(3 * 2) = √3 * √23. 合并同类项法对于形如√a + √b的二次根式，可以将其化简为一个二次根式。
例如：√2 + √8 = √2 + 2√2 = 3√24. 倍角公式法对于形如√(a + b + 2√ab)的二次根式，可以利用倍角公式进行化简。
例如：√(9 + 4√6) = √(√6 + 3)² = √6 + 35. 平方差公式法对于形如√(a - b)的二次根式，可以利用平方差公式化简。
例如：√(9 - 4) = √5在化简二次根式的过程中，我们需要熟练掌握提取因子法、分解因式法、合并同类项法、倍角公式法和平方差公式法等基本方法，并根据具体的题目选用合适的方法进行化简。
化简二次根式的目的是为了简化计算和求解的过程，并使问题更加清晰明了。
通过适当的化简，可以减少出错的概率，提高解题的效率。
在应用问题中，化简二次根式也能更好地展示数学的美妙和应用的实用性。
总之，化简二次根式是数学学习中的重要内容，我们需要通过掌握基本方法和运用实战题目来提高自己的化简能力。
只有将理论与实践相结合，才能更好地应用二次根式化简解题，为数学学习打下坚实的基础。
二次根式化简求值的十种技巧
二次根式化简求值的十种技巧
1、分解因子：将多项式的括号分解，提取未知项；
2、分子分母同乘以同一因子或者最小公倍数：分子分母乘以最小公倍数后，可分解未知项；
3、比例问题转化为相似三角形：通过比例问题比较两个等式，转化为两个相似三角形，求他们的包含角；
4、代入等式方法：把另外一个等式中的已知值替换掉未知项，再用未知项代入其他等式求解；
5、化简为等式：将式子中的所有常数项移到右边，使左边的各未知项组成解；
6、同类项除法：直接将同类项的分子分母分别相除，可消去某项未知数；
7、加减同乘：可以把加/减法式改成乘法式，使同类项可相除；
8、乘除同加：可以把乘/除法式改成加法式，使同类项可分解；
9、移项求值：把式子中的所有未知项移到右边，用常数项求出变量值；
10、套管问题：将多项式中的未知数抽出，再套回原来的表达式中去，计算未知项的值。
二次根式化简的方法与技巧
二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法： ①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式ab b a =⋅ ()0,0≥≥b a③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算． ④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项．⑤运算结果一般要化成最简二次根式．化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。
常言道：“兵无常势，水无常形。
”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。
现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
一、巧用公式法例1.计算b a b a ba ba b a +-+-+-2分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a 与b 成立，且分式也成立，故有,0,0>>b a )0(≠-b a 而同时公式：()),)((,222222b a b a b a b ab a b a -+=-+-=-可以帮助我们将b ab a +-2 和 b a - 变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式()ba b a b a ba b a b a ba b a 22)()())((2-=-+-=+-++--=二、适当配方法。
例2．计算：32163223-+--+分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，∵分母含有321-+其分子必有含321-+的因式，于是可以发现()221223+=+，且()21363+=+，通过因式分解，分子所含的321-+的因式就出来了。
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二次根式化简的方法与技巧二次根式是初中数学教学的难点内容，读者在掌握二次根式有关的概念与性质后，进行二次根式的化简与运算时，一般遵循以下做法：①先将式中的二次根式适当化简②二次根式的乘法可以参照多项式乘法进行，运算中要运用公式\a、b =、ab a - 0,b- 0③对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算.④二次根式的加减法与多项式的加减法类似，即在化简的基础上去括号与合并同类项.⑤运算结果一般要化成最简二次根式.化简二次根式的常用技巧与方法所谓转化：解数学题的常用策略。
常言道：“兵无常势，水无常形。
”我们在解千变万化的数学题时，常常思维受阻，怎么办？运用转化策略，换个角度思考，往往可以打破僵局，迅速找到解题的途径。
二次根式的化简是二次根式教学的一个重要内容，对于二次根式的化简，除了掌握基本概念和运算法则外，还要掌握一些特殊的方法和技巧，会收到事半功倍的效果，约分、合并是化简二次根式的两个重要手段，因此我们在化简二次根式时应想办法把题目转化为可以约分和和可以合并的同类根式。
现举例说明一些常见二次根式的转化策略。
例1■计算a -2 ba ba - ；b、巧用公式法分析：本例初看似乎很复杂，其实只要你掌握好了公式，问题就简单了，因为a与、b成立，且分式也成立，故有 a . 0,b • 0, (... ab =0)而同时公式：2 2 2 2 2(a—b)=a - 2 ab +b , a - b =(a+b)(a—b),可以帮助我们将a ab b和a -b变形，所以我们应掌握好公式可以使一些问题从复杂到简单。
解：原式(\ a \ b)(\ a - \ b)=a 一\ b) (\ a 一\ b)二2 a2「b、适当配方法。
3 2一2 - 3 -、6例 2 .计算： 1 • •• 2 _ \ 3分析：本题主要应该从已知式子入手发现特点，•••分母含有1 . 3其分子必有含i+J2—J3的因式，于是可以发现3十2丿2 = 1 + 2，且、3 飞「31 -2 ,解：原式32^/2 -73 歸 61 +41 -（i v T ）23（i J2）i 十 VT - V3=1x/2三、正确设元化简法。
26例3:化简2、3 5分析：本例主要说明让数字根式转化成字母的代替数字化简法，通过化简替代，使其变为简单的运算，再运用有理数四则运算法则的化简分式的方法化简，例如：'2 = a ,5 =c, 3 =b,ab =；"6,正好与分子 吻合。
对于分子，我们发 现a 2 b^c 2所以 2 2 2 2 2 2a b -c =0，于是在分子上可加 a b -c=0，因此可能能使分子也有望化为含有a b c 因式的积，这样便于约分化简。
解：设 2 = a, 5 二 c,则 2ab = 2.6,通过因式分解，分子所含的 1- 、、3的因式就出来了。
且a2 b2-c2二0所以:2aba b c2 2 22ab a b - ca +b + c2 2(a + b)- c2a +b + ca b c a b - ca +b + c二a b - c二v 2 ■ x 3 -〕5四、拆项变形法7 2.6 5例4，计算坊頂而万）分析：本例通过分析仍然要想到，把分子化成与分母含有相同因式的分式。
通过约分化简，如转化成：a:: b 1 1=- 丄再化简，便可知其答案。
ab a b解：原式_(V5 十V6 )十(V6 + V T") (V5 + V6 )= V5 + V6 * V6 + V7、5 、6 .6<7 、5 ,6 、6 、71 2____________ + _______________、5\ 6 * 6 J 7=\ 6 - \ ^、7 - v 6二 V 7 - X 5五、整体倒数法。
53 .3 1例5、计算 52 31分析：本例主要运用了变倒数后，再运用有关公式: 通过折项变形，使其具有公因式。
八（V 5 + J 3 + 1） 解：设A - ?J 5 +2J 3 +1则 1 _____ 5— 2 7 3— 1A（+）（ VF + 1）_（）+（ JF + 1）（）（ VT + 1）二―11________V 31 V 5V ；3=------------------------- 十 --------------------------------------2 27 5— - 12借用整数“ 1”处理法。
a b _ 1 ab a -1,化简但还要b2所以A=7T1.5 113.2-23例6、计算2、36分析：本例运用很多方面的知识如：仁...3 •2、、3 - 2和.a - b x2 2 a b = a -b ,然后再运用乘法分配率，使分子与分母有相同因式，再约分化简。
解：原式3、2 \3「2 3、、2 -2、323 . 6\ 3、2 \ 3 — 2 「6、3 -「242^3^6(\ 3 -「2)(「3 -「2 「6)73+ 72 + V6六•恒等变形整体代入结合法1 1 _例7 :已知x ( ~^ ■■： 5) , y (•、7 - »：5)，求下列各式的值。
(1) x2 _xy y2; (2)--分析：本例运用整体代入把x+y与xy的值分别求出来，再运用整体代入法将x+y 与xy代入例题中，但一定要把所求多项式进行恒等变形使题中含有x+y与xy的因式，如x2 -xy y^(x y)2 -3xy，然后再约分化简。
解：因为：x (•、. 7 ■ 5),所以：x y F,x y<七、降次收幕法:分析：本例运用了使题中2次幕项转化成 1次方的项再化简。
如例题中把多项式2x 4x -1转化为4x — 1,这样进行低次幕运算就容易了。
解：由 x=2,3，得 x-2 二 3。
（x-2）2=3 整理得：x 2 = 4x — 1。
x 2 , 2 -xy y(x y)2 - 3 xy(\7)2 11xy2 xyxy(77 ) 212例8、已知x =2 3，求 23x —2x 5 的所以：3x 2 - 2x 5二 3(4x-1) - 2x 5= 10(2 J3) 2二 22 10 J32x - 7 = 2(2\3) - 7 = 2^3 - 3 所以原式=22 - 10<32 v3 - 374 J3—423二次根式的化简与计算的策略与方法1公式法心+ 2历【例1】计算① ■'"便.2.观察特征法②原式ab -b 2【解】①原式【解后评注】以上解法运用了 完全平方公式”和平方差公式”，从而使计算较为简2屈十屈-3晅【例 2 】计算： / - • -【方法导引】若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘以'-：，即得分子，于是可以简解如下： ■以2 +屈-屈「戸【解】原式【例3】把下列各式的分母有理化.将有三个因式相等，计算将很繁，观察分母中的两个因式如果相加即得分子，这就启示 我们可以用如下解法:【解】①原式【方法导引】②式可以直接有理化分母， 再化简•但是，不难发现②式分子中1的系数若为“ 1”那么原式的值就等于 “ 1了！因此，②可以解答如下:■ 1 + __ ____【解】②原式 ■■■■■■ ■ 1 ! ■■ i 7?；-1 - 1)(1) 2 八「' ■■：；(2) I （丄-一）【方法导引】①式分母中有两个因式,将它有理化要乘以两个有理化因式那样分子 JxT3 •运用配方法【例4】化简•』2】2庞+ 1=也型-2x72x1+1■ J 価_1『=屈7【解后评注】注意这时是算术根，开方后必须是非负数，显然不能等于4 •平方法罷-屈,6十屈■6-侮+ 2 麻岡莎扇)+6+侮= 12 + 2^-35=714 .折后+』6 +侮「阳.【解后评注】对于这类共轭根式，与，的有关问题，一般用平方法都可 以进行化简5.恒等变形公式法[例 6】化简.■- ' ■- ■- ' '： _【方法导引】若直接展开，计算较繁，如利用公式:宀：八「则使运算简化.【解】原式心+個-刷 =2(疗J +(72-^] =2x(3 + 8-473)= 22-8^6 •常值换元法【例7 ［化简''I''：.【解】令一一；，则： 【解】原式【例5】化简原式=+3和2忑+ 2卜［二+ 3口『+ 2（『# 3°）+1=J（/ + 3a +1『二"+3 必+1=1990+3x1998+1■ 39979997.裂项法1 1 1 A1------ + -------- + ————+A + -----------【例8】化简「’二叮- > “'匕'-'-l 上'：’’/」」【解】原式各项分母有理化得原式一厂'■ I 戶」，^1 ，—丁=7100-1 = 10->9【例9】化简2 + 2^7+710 4+ 2^/13+ ^10（VT+廁* “）而 + 厕（4 +岳）【方法导引】这个分数如果直接有理化分母将十分繁锁，但我们不难发现每一个分数的分子等于分母的两个因数之和，于是则有如下简解：【解】原式.77+710 2 + 7? A/B+7104 +岳扇-历丄弟-2丄而丄4-厢+ ------- + ------------ + --------3 3 3 38.构造对偶式法w +2 + J/ -4 旳十2 + J/ -刈【例10】化简;，1■■- - ■,■■ ' -'：'•"•• - ,■■"-:【解】构造对偶式，于是没a = ^ + 2 + y/^ -4 ,b =n^2-^ -4二比处」则「1 =圧■!人，卅屮二z ,=-+-=^L^L=^L-2=—-f原式: ......................... ….-二片+2_2二舟9•由里向外，逐层化简【解】••• 「丁f - ：.1：■■''■- ”■ ■- -7199? = 1994而■,_ .71997x1995 + 1 = J[1996 司（199&-1卩1 =^99^ = 1996 ...原式i ■■'■■■■ ”: ：「〕「厂” m .1 ■.I.•―1：\-'【解后评注】对多重根式的化简问题，应采用由里向外，由局部到整体，逐层化简的方法处理.10.由右到左，逐项化简【例11】化简【方法导引】原式从右到左是层层递进的关系，因此从右向左进行化简.="J2+Z/3 ■ J2 +$ ■ 72 - J2 + 点=』2了 _価丫 =71 =1【解后评注】平方差公式和整体思想是解答本题的关键，由平方差公式将多重根号逐层脱去，逐项化简，其环节紧凑，一环扣一环，如果不具有熟练的技能是难以达到化简之目的的.。