2.2圆的对称性(1).2圆的对称性(1)
圆的对称性及周长计算
圆的对称性及周长计算一、圆的对称性【知识点一】圆是轴对称图形。
（1）轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫做轴对称图形。
这条直线就是它的对称轴。
（2）圆是轴对称图形，直径所在的直线是圆的对称轴。
【知识点二】圆的对称轴的画法。
（1）圆的对称轴的画法：把圆的直径两端无限延长，就得到圆的对称轴。
（2）圆有无数条对称轴，所以圆以圆心为旋转点旋转任意角度都与自身重合。
半圆只有一条对称轴。
【知识点三】根据对称轴画出给定图形的轴对称图形。
画指定图形的轴对称图形，应根据轴对称图形的性质，找到原图形的关键点或关键线段。
圆是曲线图形，它的关键点就是圆心，关键线段就是直径和半径。
画指定图形的轴对称图形的方法：（1）找出所给图形的关键点或关键线段，圆的关键点为圆心，关键线段为半径或直径。
（2）画出关键点或关键线段的对应点和对应线段。
（3）圆应以对应点为圆心，对应半径为半径画圆，圆以外图形应连结对应点和对应线段。
误区警示：（1）圆的直径是圆的对称轴，圆有无数条直径，圆有无数条对称轴。
这种说法完全正确。
（2）判断：在同一平面内，任意两个圆都成轴对称。
（√）练一练：1、画出下面图形的另一半。
2、两个大小不同的圆可以组成六种图形，请找出每个图形的对称轴，并说一说它们的对称轴有什么共同特点。
3、判断。
（1）只有圆是轴对称图形。
（ ）（2）圆有无数条对称轴。
（ ）二、圆的周长（1） 圆的周长与直径有关，直径越长，周长越长。
（2） 任意一个圆的周长与它的直径的比是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。
用字母π表示。
在小学阶段，如果不做特殊要求，π一般取3.14。
（3）=⇒=⨯圆的周长圆周率圆的周长直径圆周率直径圆的周长计算公式：直径×圆周率 或 半径×2×圆周率。
如果用字母C 表示圆的周长，r 表示半径，d 表示直径。
圆的周长字母公式为：C=πd 或C=2πr.（4）圆的周长的变化与该圆半径、直径的关系：① 如果圆的半径、直径扩大若干倍，它的周长也扩大若干倍。
苏教版九年级数学(上)《2.2圆的对称性(2)》教学设计-优质教案
OCDA2.总结 垂径定理：数学语言（符号）表述： 板书垂径定理的内容活动意图：本环节要注重学生在活动中的思考，鼓励学生有条理地表达自己的思考过程，积累数学活动经验，本环节采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究、归纳得出垂径定理性质。
环节三：运用新知 教师活动4例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D 。
线段AC 与BD 相等吗？为什么？例2：如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8㎝，圆心O 到AB 的距离为3㎝，求⊙O 的半径。
变式:在半径为5㎝的⊙O 中，有长为8㎝的弦AB ，求点O 到AB 的距离。
想一想：若点P 是AB 上的一动点，你能写出OP 的范围吗？学生活动4（1）例1需要学生通过添加辅助线解决问题，教师引导学生得出添加辅助线常用的方法．（2）学生独立分析，老师板书，写出证明过程．例2是例1的延伸，要求学生在课堂作业纸上完成，并请一名学生上黑板板演并关注证明过程是否规范．变式：生生互动完成！想一想：学生合作完成，并交流展示，教师引导归纳活动意图：本环节依据学生的实际情况及他们的心理特点，设计了包括例1在内的有梯度的，循序渐进的与物理、代数相关的变式题组训练二，让学生尝试。
采用学生自主探索与合作交流的方法，通过学生的探究体验垂径定理性质的应用。
环节四：课堂小结OABOFEDCBA7.板书设计 2.2圆的对称性（2）垂径定理：例题板书：（略）学生板书：（略）数学语言（符号）表述：8.作业与拓展学习设计1.过⊙O内一点P，最长的弦为10cm，最短的弦长为8cm，则OP的长为 .2.⊙O中，直径AB ⊥弦CD于点P ，AB=10cm,CD=8cm，则OP的长为 cm.3.⊙O的弦AB为103cm，所对的圆心角为120°，则圆心O到这条弦AB的距离为___4.已知：如图，⊙O的直径AB与弦CD相交于点E,AE=1,BE=5, AEC=45°,求CD的长。
2.2.2圆的对称性-圆心角(解析版)
2.2.2圆的对称性-圆心角一、圆心角与弧的定义1．圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB 就是一个圆心角.要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)圆心角∠AOB 所对的弦为线段AB ，所对的弧为弧AB.2．1°的弧的定义1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图，要点：(1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=.（2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）.二、圆心角定理及推论1.圆心角定理： 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距.(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等.(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.2.圆心角定理的推论： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等.要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等).*如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等.题型1:圆心角的概念及辨析1．下面图形中的角是圆心角的是（ ）．．．．【点睛】本题考查圆的弧长和圆心角，注意掌握在同一个圆中，扇形的圆心角与360度的比等于弧长与圆的周长的比．4．下列说法正确的是（ ）A ．如果一个角的一边过圆心，则这个角就是圆心角B ．圆心角α的取值范围是0180a °<<°C ．圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角D ．圆心角就是在圆心的角【答案】C【分析】由圆心角的定义：圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，即可求得答案．【解析】解：∵圆心角就是顶点在圆心，且角的两边是两半径所在的射线的角，∴A 、D 错误，C 正确；∵圆心角α的取值范围是0360a °<<°，∴B 错误．故选：C ．【点睛】此题考查了圆心角的定义，解题的关键是熟练掌握圆心角的定义．题型2:利用弧、弦、圆心角的关系求解5．如图，在O e 中，160BOD Ð=°，则 BD度数是（ ）A ．200°B ．160°C ．120°D ．80°【答案】B 【分析】根据圆心角BOD Ð的度数得出即可．【解析】解：Q 圆心角160BOD Ð=°，\圆心角BOD Ð对的弧 BD的度数是160°，故选：B ．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，注意：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．6．如图，AB 是O e 的直径 BCCD DE ==，若35COD Ð=°，则AOE Ð的度数是（ ）．A ．35°B ．55°C ．75°D ．95°【答案】C 【分析】根据同圆中等弧所对的圆心角相等得到35DOE B O OC C D ==Ð=°∠∠，再根据平角的定义求出AOE Ð的度数即可．【解析】解：∵ BCCD DE ==，35COD Ð=°，∴35DOE B O OC C D ==Ð=°∠∠，∴75180AOE D O CO OE C D B =°---Ð=°∠∠∠，故选C ．【点睛】本题主要考查了弧与圆心角的关系，熟知同圆中等弧所对的圆心角相等是解题的关键．7．下列说法中，正确的是（ ）A ．同一条弦所对的两条弧一定是等弧B ．弦的中垂线一定经过圆心C ．圆心角相等的两条弧一定相等D ．平分弦的直径一定垂直于该弦【答案】B【分析】根据等弧的定义、垂径定理进行分析，解答即可．【解析】解：A ．如果弦不是直径，那么同一条弦所对的两条弧一条是优弧，另外一条是劣弧，故本选项不符合题意；B ．弦的中垂线一定经过圆心，故本选项符合题意；C ．在同圆或等圆中，圆心角相等的两条弧一定相等，故本选项不符合题意；D ．平分弦（弦不能是直径）的直径一定垂直于该弦，故本选项不符合题意．故选：B ．【点睛】本题主要考查圆的相关知识，关键在于熟练掌握等弧的定义，圆心角、弧、弦的关系、垂径定理．8．如图半径OA OB OC ，，将一个圆分成三个大小相同扇形，其中OD 是AOB Ð的角平分线，A．100°【答案】A【分析】先根据已知易得°=，AOD AOEÐÐ60【答案】70°【分析】根据圆心角、弧、弦三者的关系可解答．A．70°【答案】C【分析】连接OB，求出【解析】解：连接OB∵B是 AC的中点，AOCÐ∴1702AOB AOCÐ=Ð=∴1352D AOBÐ=Ð=°．A ．20°【答案】B 【分析】根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半即可得出答案．【解析】解：∵BAC Ð∴22BOC BAC Ð=Ð=A ．AB OC =C ．2BC AC =【答案】B 【分析】直接利用圆心角、弧、弦的关系得出各线段、角的关系即可解答．【点睛】本题主要考查了圆心角、弧、弦的关系，正确把握相关定理是解题关键．题型3:利用弧、弦、圆心角的关系比较大小e13．如图，A、B、C是O2BC．（填“>”、“<”或“=”【答案】013a °<<°【分析】连接CD ，根据然后根据三角形的外角性质得到【解析】解：连接CD∵ 4BCDE =，∴4BDC DCE Ð=Ð，∵BDC DCE DFC Ð+Ð+Ð∴4115DCE DCE Ð+Ð+∴13DCE Ð=°，A ．rB ．【答案】C 【分析】作点D 关于AB 的对称点求的点P ，C D ¢的长度为垂直平分C D ¢，根据C D则'120COD Ð=°，OE 垂直平分C \D ¢22CE ==´32r =故选：C ．【点睛】本题考查了轴对称求线段和最小值问题，垂径定理，得出题的关键．【答案】36°，108°【分析】由AC CD DE EF＝＝＝弦中有一组量相等，则另外两组量也对应相等得到的直径，所以11805 AOCд＝【解析】解：∵AC CD DE＝＝【答案】43【分析】连接OC ，先求得Ð的关系求得60CON Ð=°，根据圆周角定理求得长．∵OA CD ^于M ，∴ AD AC =，∵ AC BC=，∴ AD AC BC==，(1)若25E Ð=°，求AOC Ð的度数；(2)若 AC 的度数是 BD的度数的【答案】(1)75°由题意得2AB OD =，∵2AB DE =，∴OD DE =，(1)若50AOD Ð=°，求Ð(2)若25AB =，ED =【答案】(1)50°(2)3(1)求证：BFG CDG V V ≌；(2)若1015AD EF ==，，求【答案】(1)见解析(2)5105BE =-（2）连接OF∵»»»CDCB BF ==∴ CFBD =∴BD CF 230EF ===∵1090AD ADB Ð==°，(2)如图②，过点C 作于点【答案】(1)60BOD Ð=(2)23【分析】（1）连接OC AOC COD BOD Ð=Ð=Ð∵点C ，D 是半圆O 的三等分点．∴COD BOD AOC =Ð=ÐÐ∵AB 是O e 的直径，∴AOC COD BOD Ð=Ð=Ð∵CF AB ^，∴2CH CF =，在Rt COF △中，2,OC =∴30OCF Ð=°，证明：如图2，在CB 上截取CG AB =，连接,,MA MB MC 和MG ，∵M 是 ABC 的中点，∴MA (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；∵M 是 ABC 的中点，∴MA =MC ．在△MBA 和△MGC 中BA GC A C ìïÐÐíï＝＝，一、单选题1．下列说法中，正确的是（）A．等弦所对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．圆心角相等，所对的弦相等D．弦相等所对的圆心角相等【答案】B【分析】根据圆心角，弦，弧之间的关系判断，注意条件．【解析】A中，等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆；B中，等弧所对应的弦相等，故选BC中，圆心角相等所对应的弦可能互补；D中，弦相等，圆心角可能互补；故选B【解析】为半圆AB上三等分点,要求．4．如图，在一个圆内有 AB 、 CD 、 E F ，若 AB + CD = E F ，则AB +CD 与EF 的大小关系是（ ）A ．AB +CD ＝EFB ．AB +CD ＜EFC ．AB +CD ≤EF D ．AB +CD ＞EF【答案】D 【分析】在弧EF 上取一点M ，使 EM CD =，推出 FM AB =，根据圆心角、弧、弦的关系得到AB ＝FM ，CD ＝EM ，根据三角形的三边关系定理求出FM ＋EM ＞FE 即可．【解析】如图，在弧EF 上取一点M ，使 EMCD =，则 FM AB =，所以AB ＝FM ，CD ＝EM ，在△MEF 中，FM+EM ＞EF ，所以AB+CD ＞EF ，故选：D ．【点睛】本题考查了三角形的三边关系，圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，能正确作辅助线是解题的关键．5．在O e 中，AB ，CD 为两条弦，下列说法：①若AB CD =，则 AB CD =；②若 AB CD =，则2AB CD =；③若2AB CD =，则弧AB=2弧CD ；④若2AOB COD Ð=Ð，则2AB CD =.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A∴CD=AE=BF>EF，故A错误.故选A．8．如图，C、D为半圆上三等分点，则下列说法：① AD= CD= BC；②∠AOD＝∠DOC＝∠BOC；③AD＝CD＝OC；④△AOD沿OD翻折与△COD重合．正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个【答案】A【分析】根据“在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等”仔细找出等量关系即可．【解析】∵C、D为半圆上三等分点，∴==，故①正确，AD CD BC∵在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相，∴AD＝CD＝OC，∠AOD=∠DOC=∠BOC=60°，故②③正确，∵OA=OD=OC=OB，∴△AOD≌△COD≌△COB，且都是等边三角形，∴△AOD沿OD翻折与△COD重合．故④正确，∴正确的说法有：①②③④共4个，故选A．【点睛】本题考查了圆心角、弧和弦的关系，利用了在同圆或等圆中，等弧对的圆心角相等，等弧对的弦相等和平角的概念求解．9．如图，AB是⊙O的直径，C、D是⊙O上的两点，且点C为弧BAD的中点，连接CD、CB、OD，CD 与AB交于点F．若∠AOD＝100°，则∠ABC的度数为（ ）A．15°B．20°C．25°D．30°∵CB＝CE，∴∠CBE＝∠CEB；∵∠DAC＝∠CBE，∴∠DAC＝∠CEB；∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE﹣∠DAC＝∠CEA﹣∠CED，即∠DAE＝∠DEA；∴AD＝DE；∵EC+BC＞BE，EC＝AC，BE＝BD+DE＝AD+BD，∴AC+BC＞BD+AD；故选：C．【点睛】本题考查圆心角、弧、弦的关系，涉及三角形三边关系等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．二、填空题三、解答题19．如图，在⊙O中，弦AB与弦CD相交于点M，且AB＝CD，求证：BM＝DM．【答案】详见解析【分析】连接BD,根据AB＝CD得到 AB＝ CD，再根据公共弧 AC得到 BC＝ AD，再得到∠D＝∠B，再利用等腰三角形的性质即可求解.【解析】证明：连接BD．∵AB＝CD∴ AB＝ CD∴ AB－ AC＝ CD－ AC，即 BC＝ AD∴∠D＝∠B∴BM＝DM【点睛】此题主要考查圆周角的性质，解题的关键是熟知圆的基本性质.20．如图，在⊙O中，弦AD与BC交于点E，且AD＝BC，连接AB、CD．求证：（1）AB＝CD；（2）AE＝CE．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）欲证明AB=CD，只需证得 AB＝ CD；（2）连接AC，由 AB＝ CD得出∠ACB=∠CAD，再由等角对等边即可证的AE＝CE.【解析】证明：（1）∵AD＝BC∴ AD＝ BC∴ AD－ AC＝ BC－ AC即 AB＝ CD∴AB＝CD（2）连接AC∵ AB＝ CD∴∠ACB＝∠DAC∴AE＝CE【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦间的关系，注意（2）中辅助线的作法是求解（2）的关键.21．已知：如图，在⊙O中，弦AB与半径OE、OF交于点C、D，AC＝BD，求证：（1）OC＝OD：（2）=．A EB F【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）证明：连接OA，OB，证明△OAC≌△OBD（SAS）即可得到结论；（2）根据△OAC≌△OBD，得到∠AOC＝∠BOD，即可得到结论．【解析】（1）证明：连接OA，OB，∵OA ＝OB ，∴∠OAC ＝∠OBD ．在△OAC 与△OBD 中，∵OA OB OAC OBD AC BD=ìïÐ=Ðíï=î，∴△OAC ≌△OBD （SAS ）．∴OC ＝OD ．（2）∵△OAC ≌△OBD ，∴∠AOC ＝∠BOD ，∴ A E B F =．【点睛】此题考查同圆的半径相等的性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形等边对等角的性质，相等的圆心角所对的弧相等的性质，正确引出辅助线证明△OAC ≌△OBD 是解题的关键．22．如图，过O e 的直径AB 上两点,M N ，分别作弦,CD EF ，//,CD EF AC BF =．求证：（1） BC AF =；（2）AM BN =．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析【分析】（1）连接OC 、OF ，根据圆心角、弧、弦的关系即可得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A=∠OCA=∠BFC=∠B ，等量代换得到∠BFC=∠ACF ．根据平行线的性质得到∠AMC=∠ANE ．根据全等三角形的性质即可得到结论．【解析】解：（1）如图，连接,OC OF ．,AC BF =QCOA BOF \Ð=Ð，COB FOA \Ð=Ð．BC AF \=．（2）,,COA BOF OC OF OA OB Ð=Ð===QCAB OCA BFC ABF \Ð=Ð=Ð=Ð，BFC ACF \Ð=Ð．//,CD EF QAMC ANE \Ð=Ð．又BNF ANE Ð=ÐQ ．AMC BNF \Ð=Ð．在AMC V 和BNF V 中，,,,AMC BNF CAB ABF AC BF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î( ),AMC BNF AAS \V V ≌AM BN \=．【点睛】本题考查了圆心角、弧、弦的关系，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．23．如图，MB ，MD 是⊙O 的两条弦，点A ，C 分别在弧MB ，弧MD 上，且AB ＝CD ，点M 是弧AC 的中点．（1）求证：MB ＝MD ；（2）过O 作OE ⊥MB 于E ，OE ＝1，⊙O 的半径是2，求MD 的长．【答案】（1）见解析；（【分析】（1）根据圆心角、弦、弧、弦心距之间的关系得出（2）根据垂径定理，勾股定理求出【解析】证明：（1）在Rt△MOE中，OE∴ME＝22-OM OE∴MD＝MB＝2ME＝2【点睛】本题考查圆心角、弦、弧之间的关系，垂径定理、勾股定理等知识，掌握垂径定理、勾股定理是根据以上探究问题得出的结论，解决下列问题：(1)如图2，在ABC V 中，三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，连接０DE 、DF ，若BAC Ð=EDF Ð=______________°．(2)如图3，已知AB 是O e 的直径，CD 是O e 的弦，G 为CD 的中点，CE AB ^于E ，DF ^F 不重合）．若60EGF Ð=°，求证：12CD AB =．【答案】(1)52°；(2)见解析．【分析】（1）在ABC V 中，AD 、BE 、CF 是高，可知点E 、H 、D 、B 四点共圆，点E 、H 、D 、C 四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解；（2）连接OC 、OD 、OG ,CD 是O e 的弦，G 为CD 的中点，根据垂径定理可知OG CD ^，结合CE AB ^于E ，DF AB ^于F ，点C 、E 、O 、G 四点共圆，点D 、F 、O 、G 四点共圆，然后在每一个圆中运用等弦对等角进行角的转换即可求解，最后证明COD △是等边三角形即可．【解析】（1）解：在ABC V 中，AD 、BE 、CF 是高，90BFH BDH \Ð=Ð=°,点E 、H 、D 、B 四点共圆，FBH FDH \Ð=Ð,90HEC HDC Ð=Ð=°Q 点E 、H 、D 、C 四点共圆，EDH ECH \Ð=Ð，90FBH BAC Ð+Ð=°Q ，90ECH BAC Ð+Ð=°，90FBH ECH BAC \Ð=Ð=°-Ð，64BAC Ð=°Q ，906426FBH ECH \Ð=Ð=°-°=°，EDF FDH HDE FBH ECH \Ð=Ð+Ð=Ð+Ð，262652=°+°=°，故答案为：52°．（2）证明：连接OC 、OD 、OG ,OC OD =Q ,G 为CD 的中点，OG CD \^，CE AB ^Q 于E ，DF AB ^于F ，90OEC OGC \Ð=Ð=°,点C 、E 、O 、G 四点共圆，90OFD OGD \Ð=Ð=°点D 、F 、O 、G 四点共圆，2【点睛】本题考查了四点共圆的判定、垂径定理、等弦对等角以、等边三角形的判定以及与三角形有关的教的计算；结合题意证明四点共圆并运用圆的相关知识解决问题是解题的关键．。
北师大版九年级数学下册3.2：圆的对称性(教案)
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了圆的对称性的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对圆的对称性的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在日常生活中灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
北师大版九年级数学下册3.2：圆的对称性（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级数学下册第三章第二节：圆的对称性。教学内容主要包括以下两个方面：
1.圆的轴对称性：引导学生通过观察和操作，发现圆是轴对称图形，理解圆的直径所在的直线是圆的对称轴，以及圆上的任意一条弦所在的直线也是圆的对称轴。
2.圆的旋转对称性：让学生了解圆的旋转对称性，掌握圆心角、弧、弦的关系，以及圆周角定理。通过实例分析，让学生感受圆的旋转对称在生活中的应用。
本节课将结合教材内容，注重培养学生的观察能力、操作能力和逻辑思维能力，提高学生对圆的对称性的认识和应用。
二、核心素养目标
1.培养学生的几何直观能力，通过观察和操作，让学生发现圆的轴对称性和旋转对称性，提高对几何图形的认识和理解。
2.培养学生的逻辑推理能力，使学生能够运用圆的对称性解决相关问题，掌握圆心角、弧、弦的关系及圆周角定理。
-在讲解圆周角定理的应用时，教师应强调定理的条件和结论，并通过典型例题进行讲解，让学生明确如何运用定理解下教学方法：
（1）采用直观演示法，通过动画、模型等手段，让学生直观地感受圆的旋转对称性。
（2）通过问题驱动法，设计具有启发性的问题，引导学生主动探究圆的对称性质及其应用。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的轴对称性和旋转对称性这两个重点。对于难点部分，如圆周角定理，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
《圆的对称性》
01
在古希腊和古埃及，数学家们开始研究圆的对称性，并探索其
几何性质。
欧几里得几何
02
在欧几里得几何中，圆被定义为所有到定点距离相等的点的集
合，这个定点被称为圆心。
反射对称性
03
圆的反射对称性是指，如果一个点在圆上，那么与它关于圆心
对称的点也在圆上。
圆的对称性的发展现状
微积分学的发展
在微积分学中，圆的对称性被进一步研究，并应用于解决各种 问题。
更广泛的应用
随着科技的发展，圆的对称性将会在更多的领域得到应用，例如 计算机图形学、人工智能等。
感谢您的观看
THANKS
。
03
工程学
在工程学中，圆的对称性被广泛应用于机械设计、建筑设计等领域。
例如，许多机械零件和建筑结构都采用了旋转对称性和反射对称性的
பைடு நூலகம்
原理进行设计和建造。
02
圆的基本性质
圆的定义
圆是平面上所有与给定点（称为圆心）的距离等于给定长度（称为半径）的点的 集合。
圆的方程通常表示为(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2，其中(h, k)是圆心的坐标，r是 半径。
测量与计算
圆的对称性在测量和计算 中也经常用到，如计算圆 的周长、面积等。
在物理学中的应用
运动学
圆的对称性在运动学中有着重要的应用，如物体 做圆周运动时的向心力和离心力。
光学
圆的对称性在光学中也有着重要的应用，如各种 光学仪器（如望远镜、显微镜等）的设计。
电磁学
在电磁学中，圆的对称性对于理解电磁场的分布 和性质非常重要。
在日常生活中的应用
建筑设计
圆的对称性在建筑设计中有着广泛的应用，如圆形屋顶、圆形窗 户等。
苏科版2022年九年级数学上册 《圆的对称性》教材预习辅导讲义(附解析)
2.2 圆的对称性圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心． 【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合． 弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； （2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. （3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等. 垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O 中弦AB CD ．求证：AD=BC ．看例题，涨知识教材知识总结【例题2】如图，在⊙O 中，弧AB ＝弧AC ，∠A ＝120°，求∠ABC 的度数．【例题3】如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，若BE ＝5，CD ＝6，求AE 的长．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF 的中点P ；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接OP 交EF 于点Q ，10AB =，6EF =，求PQ 的长度．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等4．如图，CD为⊙O的直径，弦AB CD⊥，垂足为E，1CE=，10AB=，则CD的长为（）A．20 B．24 C．25 D．265．如图，在O中，⊥OD AB于点D，AD的长为3cm，则弦AB的长为（）A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm课后习题巩固一下6．如图，AB是O的直径，弦CD AB⊥于点E，如果20CD=，那么线段OE的长为（）AB=，16A．4 B．6 C．8 D．97．如图，AB为圆O的一弦，且C点在AB上．若6BC=，AB的弦心距为3，则OC的长度为何？AC=，2（）A．3 B．4 C11D138．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42DE=，AC=4则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．49．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A 41B 34C ．4D ．3二、填空题11．在⊙O 中，弦AB ＝16cm ，弦心距OC ＝6cm ，那么该圆的半径为__cm ．12．如图，AB 为⊙O 的弦，半径OC ⊥AB 于E ，AB ＝8，CE ＝2，则⊙O 的半径为_____．13．已知⊙O 的半径为6cm ，弦AB ＝6cm ，则弦AB 所对的圆心角是________度．14．如图，在O 中，AB BC CD ==，连接AC ，CD ，则AC __2CD （填“>”，“ <”或“=” )．15．如图，AB ，CD 是O 的直径，弦CE AB ，CE 所对的圆心角为40°，则AOC ∠的度数为______．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．三、解答题17．如图，O的弦AB、CD相交于点E，且AB CD=．求证：BE DE=．18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．∠，求19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD 证：劣弧BC与劣弧BD相等．20．如图，已知弓形的弦长AB＝8，弓高CD＝2（CD⊥AB并经过圆心O）．求弓形所在⊙O的半径r的长．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．22．如图，AB 为圆O 的直径，点C 在圆O 上．(1)尺规作图：在BC 上求作一点E ，使OE AC ∥（不写作法，只保留作图痕迹）； (2)探究OE 与AC 的数量关系．23．如图，在⊙O 中，AB 、AC 是互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ． (1)求证：四边形ADOE 是正方形； (2)若AC=2cm ，求⊙O 的半径．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点． (1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA ①求OGC ∠；②请比较GE 和BE 的大小．2.2 圆的对称性解析教材知识总结圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴；圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心．【点拨】圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．弧、弦、圆心角的关系在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．【点拨】（1）一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；（2）注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.（3）圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.垂径定理1.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.【点拨】(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（4）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（5）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（6）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.【例题1】已知：如图，⊙O中弦AB CD=．求证：AD=BC．【答案】见解析【分析】先根据等弦所对的劣弧相等得到AB CD=，从而得到AD AB BD CD BD BC=-=-=，再由等弧所对的弦相等即可得到AD BC=．【解析】证明：∵AB=CD，∴AB CD=，∴AD AB BD CD BD BC=-=-=，∴AD BC=．【例题2】如图，在⊙O中，弧AB＝弧AC，∠A＝120°，求∠ABC的度数．【答案】30°【分析】根据同圆中，相等的弧所对的弦相等，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：∵在⊙O中，弧AB＝弧AC，∴AB=AC，∵∠A＝120°，∴∠ABC=()1801203012⨯︒-︒=︒．【例题3】如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若BE＝5，CD＝6，求AE的长．看例题，涨知识【答案】95【分析】如图，连接OC ，设OE x =，由垂径定理知132CE CD ==，5OC BE OE x =-=-，在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =-，解出x 的值，由2AE BE OE =-，计算求解即可． 【解析】解：如图，连接OC ，设OE x =由垂径定理知132CE CD ==5OC BE OE x =-=-在Rt OCE 中，由勾股定理知222CE OC OE =- ∴()22235x x =-- 解得85x =92525AE BE OE x =-=-=∴AE 的长为95．【例题4】如图，在O 中，AB 是直径，弦EF ∥AB ．(1)请仅用无刻度．．．．．的直尺画出劣弧EF的中点P；（保留作图痕迹，不写作法）(2)在（1）的条件下，连接OP交EF于点Q，10AB=，6EF=，求PQ的长度．【答案】(1)见解析；(2)1【分析】（1）如图，连接BE，AF，BE交AF于C，作直线OC交EF于点P，点P即为所求．（2）利用垂径定理结合勾股定理求得OQ=4，进一步计算即可求解．【解析】(1)解：如图中，点P即为所求．(2)解：连接OF，由作图知OP⊥EF，EQ=QF=12EF=3，∵AB=10，∴OF=OP=12AB=5，∴OQ222254OF QF-=-，∴PQ= OP-OQ=1，∴PQ的长度为1．一、单选题1．下列说法正确的是（）①平分弧的直径垂直平分弧所对的弦课后习题巩固一下②平分弦的直径平分弦所对的弧③垂直于弦的直线必过圆心④垂直于弦的直径平分弦所对的弧A．②③B．①③C．②④D．①④【答案】D【分析】根据垂径定理及其推论进行判断．【解析】解：根据垂径定理，①正确；②错误．平分弦（不是直径）的直径平分弦所对的弧；③错误．垂直于弦且平分弦的直线必过圆心；④正确．故选：D．2．如图，在⊙O中，弦AB的长为8cm，M是AB上任意一点，且OM的最小值为3，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．6cm D．8cm【答案】B【分析】根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值．根据垂径定理和勾股定理求解．【解析】解：根据垂线段最短知，当OM⊥AB时，OM有最小值，此时，由垂径定理知，点M是AB的中点，AB＝4，连接OA，AM＝12由勾股定理知，OA2＝OM2+AM2．即OA2＝42+32，解得：OA＝5．所以⊙O的半径是5cm．故选：B．3．下列命题是真命题的是（）A．在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧也相等B．平分弦的直径垂直于弦C．一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等【答案】C【分析】利用圆的有关性质、垂径定理、平行四边形的判定方法及平行线的性质分别判断后即可确定正确的选项．【解析】A 、在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆心角相等，所对的弧不一定相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B 、平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题错误，是假命题，不符合题意；C 、如图，四边形ABCD ，AB ∥CD ，∠A=∠C ，∵AB ∥CD ，∴∠A +∠D =180°，又∵∠A =∠C ，∴∠C +∠D =180°，∴AD ∥BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形，故一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，正确，是真命题，符合题意；D 、两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意．故选：C ．4．如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB CD ⊥，垂足为E ，1CE =，10AB =，则CD 的长为（ ）A ．20B ．24C ．25D ．26【答案】D 【分析】连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =5，Rt △OAE 中由勾股定理建立方程求解即可；【解析】如图，连接OA ，设圆的半径为x ，则OE =x -1，由垂径定理可得AB ⊥CD ，AE =BE =12AB =5，Rt △OAE 中，OA 2=AE 2+OE 2，x 2=25+（x -1）2，解得：x =13，，∴CD =26， 故选： D ．5．如图，在O 中，⊥OD AB 于点D ，AD 的长为3cm ，则弦AB 的长为（ ）A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【答案】B 【分析】根据垂径定理求出AD =BD =3cm 即可．【解析】解：∵AB 为非直径的弦，⊥OD AB ，∴AD =BD =3cm ，∴AB =AD +BD =6cm ．故选B ．6．如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，如果20AB =，16CD =，那么线段OE 的长为（ ）A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B 【分析】连接OD ，那么OD =OA =12AB ，根据垂径定理得出DE =12CD ，然后在Rt △ODE 中，根据勾股定理求出OE ．【解析】解：如图，∵弦CD ⊥AB ，垂足为E∴CE =DE =1116822CD =⨯=， ∵OA 是半径∴OA =11201022AB =⨯=， 在Rt △ODE 中，OD =OA =10，DE =8，22221086OE OD DE =--=，故选：B ．7．如图，AB 为圆O 的一弦，且C 点在AB 上．若6AC =，2BC =，AB 的弦心距为3，则OC 的长度为何？（ ）A ．3B ．4C 11D 13【答案】D 【分析】作⊥OD AB 于点D ，由垂径定理得4AD BD ==，Rt OCD △中勾股定理即可求解．【解析】解：作⊥OD AB 于点D ，如图所示，由题意可知：6AC =，2BC =，3OD =， 8AB ∴=，4AD BD∴==，2CD∴=，在Rt OCD△中22223213OC OD CD∴+=+故选：D．8．如图，AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点D，DO的延长线交O于点E．若42AC=4DE=，则BC的长是（）A．1 B2C．2 D．4【答案】C【分析】根据垂径定理求出OD的长，再根据中位线求出BC=2OD即可．【解析】设OD=x，则OE=OA=DE-OD=4-x．∵AB是O的直径，OD垂直于弦AC于点，42AC=∴1222AD DC AC===∴OD是△ABC的中位线∴BC=2OD∵222OA OD AD=+∴222(4)(22)x x-=+，解得1x=∴BC=2OD=2x=2故选：C9．如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，则∠BOC＝（）A．100°B．110°C．115°D．120°【答案】C【分析】过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，由于DE ＝FG ＝MN ，所以弦的弦心距也相等，所以OB 、OC 是角平分线，根据∠A ＝50°，先求出180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，再求出，进而可求出∠BOC ．【解析】解：过点O 作OP ⊥AB 于点P ，OQ ⊥AC 于点Q ，OK ⊥BC 于点K ，∵DE ＝FG ＝MN ，∴OP ＝OK ＝OQ ，∴OB 、OC 平分∠ABC 和∠ACB ， 12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠， ∵∠A ＝50°，∴180130ABC ACB A ∠+∠=︒-∠=︒，∴1122OBC OCB ABC ACB ∠+∠=∠+∠ ()12ABC ACB =∠+∠ 65=︒，∴∠BOC ＝()180OBC OCB ︒-∠+∠18065=-︒115=︒故选：C ．10．如图，在半径为5的A 中，弦BC ，DE 所对的圆心角分别是BAC ∠，DAE ∠．若6DE =，180BAC DAE ∠+∠=︒，则弦BC 的弦心距为（ ）.A41B 34C．4 D．3【答案】D【分析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，先利用等角的补角相等得到∠DAE=∠BAF，再利用圆心角、弧、弦的关系得到DE=BF=6，由AH⊥BC，根据垂径定理得CH=BH，则AH为△CBF的中位线，然后根据三角形中位线性质得到AH=12BF=3．【解析】作AH⊥BC于H，作直径CF，连接BF，如图，∵∠BAC+∠EAD=180°，而∠BAC+∠BAF=180°，∴∠DAE=∠BAF，∴DE BF=，∴DE=BF=6，∵AH⊥BC，∴CH=BH，而CA=AF，∴AH为△CBF的中位线，∴AH=12BF=3,故选：D.二、填空题11．在⊙O中，弦AB＝16cm，弦心距OC＝6cm，那么该圆的半径为__cm．【答案】10【分析】根据题意画出相应的图形，由OC垂直于AB，利用垂径定理得到C为AB别的中点，由AB的长求出BC的长，再由弦心距OC的长，利用勾股定理求出OB的长，即为圆的半径．【解析】解：如图所示：过点O作OC AB⊥于点C，∵AB＝16cm，OC⊥AB，∴BC＝AC12=AB＝8cm，6OC cm＝，在Rt△BOC中，2210.OB OC BC cm∴=+故答案为：10．12．如图，AB为⊙O的弦，半径OC⊥AB于E，AB＝8，CE＝2，则⊙O的半径为_____．【答案】5【分析】如图，连接OA，设OA＝r．在Rt△AOE中，根据OA2＝OE2+AE2，构建方程即可解决问题；【解析】解：如图，连接OA，设OA＝r．∵OC⊥AB，∴AE＝EB＝4，∠AEO＝90°，在Rt△AOE中，∵OA2＝OE2+AE2，∴r2＝42+（r﹣2）2，∴r＝5，故答案为：5．13．已知⊙O的半径为6cm，弦AB＝6cm，则弦AB所对的圆心角是________度．【答案】60【分析】连接OA、OB，可证得△OAB是等边三角形，由此得解．【解析】如图，连接OA、OB，∵OA=OB=AB=6，∴△OAB是等边三角形∴∠AOB=60°故弦AB所对的圆心角的度数为60°．故答案为：60．14．如图，在O中，AB BC CD==，连接AC，CD，则AC__2CD（填“>”，“ <”或“=” )．【答案】<【分析】根据AB BC CD==推出AB=BC=CD，利用三角形三边关系得到答案【解析】解：∵AB BC CD==，AB BC CD∴==，<+，AC AB BCAC CD∴<，2故答案为：<．∠的度数为______．15．如图，AB，CD是O的直径，弦CE AB，CE所对的圆心角为40°，则AOC【答案】70°【分析】连接OE，由弧CE的所对的圆心角度数为40°，得到∠COE=40°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求出∠OCE ，根据平行线的性质即可得到∠AOC 的度数．【解析】解：连接OE ，如图，∵弧CE 所对的圆心角度数为40°，∴∠COE =40°，∵OC =OE ，∴∠OCE =∠OEC ，∴∠OCE =(180°-40°)÷2=70°，∵CE //AB ，∴∠AOC =∠OCE =70°，故答案为：70°．16．如图，A 、B 、C 、D 为⊙O 上的点，且 AB BC CD ==．若∠COD =40°，则∠ADO =______度．【答案】30【分析】先根据圆心角定理可得40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，从而可得120AOD ∠=︒，再根据等腰三角形的性质即可得．【解析】解：∵AB BC CD ==，40COD ∠=︒，∴40AOB BOC COD ∠=∠=∠=︒，∴120AOD ∠=︒， 又OA OD =，∴1(180)302ADO OAD AOD ∠=∠=︒-∠=︒， 故答案为：30．三、解答题17．如图，O 的弦AB 、CD 相交于点E ，且AB CD =．求证：BE DE =．【答案】详见解析【分析】由弧、弦、圆心角的关系进行证明，结合等角对等边，即可得到结论成立．【解析】证明：AB CD=，CAB D∴=，AB AC CD AC∴-=-，即AD BC=，B D∴∠=∠，BE DE∴=；18．如图，在⊙O中，直径AB=10，弦AC=8，连接BC．(1)尺规作图：作半径OD交AC于E，使得点E为AC中点；(2)连接AD，求三角形OAD的面积．【答案】(1)见解析；(2)10【分析】（1）过点O作OD⊥AC，交AC于点E，交⊙O于点D；（2）由题意可得OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，继而可得118422AE AC==⨯=，然后根据三角形的面积公式即可求得答案．【解析】(1)解：如图，点E即为所求；(2)解：如图，连接AD，∵⊙O的直径是10，∴OD=5，由（1）得：OE⊥AC，点E为AC中点，∴118422AE AC==⨯=，∴11541022OADS OD AE=⋅=⨯⨯=．19．如图，已知AB是O的直径，P是AO上一点，点C、D在直径两侧的圆周上，若PB平分CPD∠，求证：劣弧BC与劣弧BD相等．【答案】见详解【分析】过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，由题意易得OE=OF，然后可得BOC BOD∠=∠，进而问题可求证．【解析】证明：过点O分别作OE⊥PC，OF⊥PD，垂足分别为E、F，连接OC、OD，如图所示：∵PB 平分CPD ∠，∴OE =OF ，∵OC =OD ，∴EOC FOD △≌△（HL ），∴C D ∠=∠，∴BOC BOD ∠=∠，∴BC BD =．20．如图，已知弓形的弦长AB ＝8，弓高CD ＝2（CD ⊥AB 并经过圆心O ）．求弓形所在⊙O 的半径r 的长．【答案】r ＝5．【分析】先由垂径定理得AD =4，由于OD =r －2，则利用勾股定理得到62+（r －2）2=r 2，然后解方程即可．【解析】CD AB ⊥并经过圆心O ，∴118422AD BD AB ===⨯=，2OD OC CD r =-=-， 在Rt △OAD 中，2224(2)r r +-=，解得r ＝5．21．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ， AM DM =，求证：BM ＝CM ．【答案】见解析【分析】根据圆心距、弦、弧之间的关系定理解答即可．【解析】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴AB CD=，∵AM DM=，∴AB AM CD DM+=+，即BM CM=，∴BM＝CM．22．如图，AB为圆O的直径，点C在圆O上．∥（不写作法，只保留作图痕迹）；(1)尺规作图：在BC上求作一点E，使OE AC(2)探究OE与AC的数量关系．【答案】(1)见解析；(2)AC＝2OE【分析】（1）过点O作OE⊥BC即可．（2）利用三角形中位线定理证明即可．【解析】(1)如图所示，点E即为所求的点．(2)结论：AC＝2OE．理由：由作图得：OE⊥BC∴BE=CE，即点E为BC的中点，∴OE为△ABC的中位线，∴AC＝2OC．23．如图，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D、E．(1)求证：四边形ADOE是正方形；(2)若AC=2cm，求⊙O的半径．【答案】(1)见解析；2cm【分析】（1）根据AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，可得四边形ADOE 是矩形，由垂径定理可得AD=AE ，根据邻边相等的矩形是正方形可证；（2）连接OA ，由勾股定理可得．【解析】(1)证明：∵AC ⊥AB ，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，∴四边形ADOE 是矩形，12AD AB =，12AE AC =， 又∵AB=AC ，∴AD=AE ，∴四边形ADOE 是正方形．(2)解：如图，连接OA ，∵四边形ADOE 是正方形，∴112OE AE AC ===cm ， 在Rt △OAE 中，由勾股定理可得：22+2OA OE AE ， 即⊙O 2cm ．24．如图，在扇形AOB 中，90AOB ∠=︒，C 、D 是AB 上两点，过点D 作DE OC ∥交OB 于E 点，在OD 上取点F ，使OF DE =，连接CF 并延长交OB 于G 点．(1)求证：OCF DOE ≌△△； (2)若C 、D 是AB 的三等分点，23=OA①求OGC ∠； ②请比较GE 和BE 的大小．【答案】(1)证明见解析(2)①∠OGC=90°；②BE＞GE【分析】（1）先由平行线得出∠COD=∠ODE，再用SAS证△OCF≌△DOE即可；（2）①先由C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，求得∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，由（1）知△OCF≌△DOE，所以∠OCF=∠DOE=30°，即可由三角形内角和求解；②由①∠OGC=90°，∠OCF=∠DOE=30°，利用直角三角形的性质和勾股定理即可求得3OG OF=2，又∠OCF=∠COF=30°，所以CF=OF，又由△OCF≌△DOE，所以OE=CF=OF=2，即可求得23GE= 232BE=，再比较即可得出结论；=OC，【解析】(1)解：∵DE AB2AC∴∠COD=∠ODE，∵OC=OD，OF=DE，∴△OCF≌△DOE(SAS)；(2)解：①∵C、D是AB的三等分点，∠AOB=90°，∴∠AOC=∠COD=∠BOD=30°，∵△OCF≌△DOE，∴∠OCF=∠DOE=30°，∵∠COG=∠COD+∠DOB=60°，∴∠OGC=90°．②∵23===，OA OC OB∴3OG又∵∠DOE=30°，∴OF=2，∵∠OCF=∠COF=30°，∴CF=OF，∵△OCF≌△DOE，∴OE=CF=OF=2，∴23GE OE OG=-=232=-=，BE OB OE∵3340－，BE GE=>∴BE＞GE．。
初中复习资料圆的有关性质知识点归纳
初中复习资料圆的有关性质知识点归纳一、圆的有关概念及其对称性1．圆的定义(1)圆是平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形．这个定点叫做________，定长叫做________；(2)平面内一个动点绕一个定点旋转一周所形成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定点与动点的连线段叫做半径．2．圆的有关概念(1)连接圆上任意两点的________叫做弦；(2)圆上任意两点间的________叫做圆弧，简称弧．(3)________相等的两个圆是等圆．(4)在同圆或等圆中，能够互相________的弧叫做等弧．3．圆的对称性(1)圆的轴对称性：圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴；(2)圆的中心对称性：圆是以圆心为对称中心的中心对称图形；(3)圆是旋转对称图形：圆绕圆心旋转任意角度，都能和原来的图形重合．这就是圆的旋转不变性．二、垂径定理及推论1．垂径定理垂直于弦的直径________这条弦，并且________弦所对的两条弧．2．推论1(1)平分弦(________)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过________，并且平分弦所对的________弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．3．推论2圆的两条平行弦所夹的弧________．4．(1)过圆心；(2)平分弦(不是直径)；(3)垂直于弦；(4)平分弦所对的优弧；(5)平分弦所对的劣弧．若一条直线具备这五项中任意两项，则必具备另外三项．三、圆心角、弧、弦之间的关系1．定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧________，所对的弦________．2．推论同圆或等圆中：(1)两个圆心角相等；(2)两条弧相等；(3)两条弦相等．三项中有一项成立，则其余对应的两项也成立．四、圆心角与圆周角1．定义顶点在________上的角叫做圆心角；顶点在________上，角的两边和圆都________的角叫做圆周角．2．性质(1)圆心角的度数等于它所对的______的度数．(2)一条弧所对的圆周角的度数等于它所对________的度数的一半．(3)同弧或等弧所对的圆周角________，同圆或等圆中相等的圆周角所对的弧________．(4)半圆(或直径)所对的圆周角是______，90°的圆周角所对的弦是________．五、圆内接四边形的性质圆内接四边形的对角互补．与圆有关的位置关系一、点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系点在圆______，点在圆______，点在圆______．2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔________；点在圆上⇔________；点在圆内⇔________.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．二、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系________、________、________.2．概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．3．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔________；直线l和⊙O相切⇔________；直线l和⊙O相离⇔________.三、切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．2．切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径．3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．五、圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R 和r ，圆心距为O 1O 2＝d .两圆外离⇔d ＞______；两圆外切⇔d ＝______；两圆相交⇔______＜d ＜______(R ≥r )；两圆内切⇔d ＝______(R ＞r )；两圆内含⇔______≤d ＜______(R ＞r )．六、两圆位置关系的相关性质1．两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过________．(2)相交两圆的连心线垂直平分________．2．两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦．(2)两圆相切，可作公切线．圆的有关计算一、弧长、扇形面积的计算1．如果弧长为l ，圆心角的度数为n °，圆的半径为r ，那么弧长的计算公式为l ＝__________.2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n °，所在圆半径为r ，弧长为l ，面积为S ，则S ＝__________或S ＝12lr ；扇形的周长＝2r ＋l .二、圆柱和圆锥1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r ，则S 侧＝2πrh ，S 全＝2πr 2＋2πrh .2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S 侧＝12l ·2πr ＝πrl (l 为母线长，r 为底面圆半径)；圆锥的全面积：S 全＝S 侧＋S 底＝πrl ＋πr 2.三、正多边形和圆1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边形的边心距．5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n 边形的每个中心角都等于__________．温馨提示 (1)正多边形的各边、各角都相等．(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心．(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．四、不规则图形面积的计算求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：1．直接用公式求解．2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．。
圆及圆的对称性
圆及圆的对称性 圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系知识点1 圆及与的相关的概念1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它的一个固定端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。
固定端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。
以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP 的长也可以叫半径.（2）圆的集合性定义：圆心为O ，半径为r 的圆，可以看成所有到定点O ，距离等于定长r 的点的集合。
注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。
2.弦与直径、弧与半圆①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC ，AB ；②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．BA C O④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3.同心圆和等圆同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。
如图2所示：图2 图3等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。
注：同圆或等圆的半径相等。
如图3.等圆与位置无关等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。
注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。
例 1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm例2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．例3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？例4.由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 的B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响，则A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？例5.如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例6.若点P 到⊙O 的最小距离为6 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是 。
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A
C B
已知：AB、CD是⊙O的两条弦，根据上述结论填空 ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD (1).如果AB=CD，那么————、————； ⌒ ⌒ ∠AOB=∠COD AB=CD (2).如果AB=CD，那么————、 ———— ⌒ ⌒ ； AB=CD AB=CD (3).如果∠AOB=∠COD ，那么————、————.
A
B
畅所欲言
想一想,你的收获和困惑有哪些?
驶向胜利 的彼岸
1、数学知识： ⑴、圆的旋转不变性和圆的对称性 ⑵、圆心角、弧、弦之间的关系 ⑶、圆心角的度数与所对的弧的度数的关系 ２、研究方法：运用圆的旋转不变性以及叠合法研 究圆心角、 弧、弦之间的关系 ３、数学思想：运用转化的数学思想解决相关问题
作业:课本 115页
2.半圆所对的圆心角是（ 180 ）度，半圆的 度数是 （ 180 ） 3.圆所对的圆心角是（360 ）度，所以，圆可以看成是 ( 360 )的弧
4.如右图所示:圆的一条弦AB分圆为2：7部分则
80 度 劣弧所对的圆心角是_____
那么,在上题中,弦AB所对 的弧是多少度?
800 、 2800
A
B
O(O')
B'
∴∠AOB=∠A′O′B′
⌒ ⌒ A B=A′B′
A B
A'
结论:在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弦相等， 那么它们所对的弧相等，这两个圆心角相等。
议一议
在同圆或等圆中，两个圆心角、以及它们所对的两条 弧、两条弦之间有怎样的相等关系呢？
在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两 条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其 余各组量都分别相等。
∠ AO E=∠BOE=1/2 ∠AOB = ∠ COD
⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE = BE = CD， AE=BE=CD
∴ AB=2CD ∵ AE+BE＞AB ， AE=BE=CD
⌒ ⌒
∴ AB ＜ 2CD
更上一层楼
⌒ ⌒
若有 ∠AOB=n∠COD，则AB与nCD及AB与nCD大 小关系又如何？
C D O
O(O')
B'
A'
也互相重合。 ∴∠AOB=∠A′O′B′， AB=A′B′。
结论:在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等， 那么它们所对的弦相等，这两个圆心角相等。
议一议
验证
如图:在等圆中，
∵ 弦AB=弦A′B′， ∴ AB=A′B′可以相互重合。 当AB=A′B′互相重合时， 点A与点A′，点B与点B′也相互重合。
做一做
⌒ ⌒
2.如图,在⊙O中,AB=AC, ∠A=400. 求∠B的度数 解⌒ : ⌒ ∵AB=AC ∴AB=AC ∴∠B= ∠C ∵∠A=400
1 ∴∠B= 2 (1800-400)=700
A
O B C
议一议
①、如果将顶点在圆心的周角 1°的圆心角 等分成360份时,那么整个圆也 被等分成360份的弧吗?为什么? ②、在①中，每一等份的 弧所对的圆心角是多少度？
2、4、 5
A
O
B C
∴AC=BC ∴∠ABC=∠BAC
（在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等）
做一做 1.在⊙O中,AC=BD, ∠AOB=500.求∠COD的度数.
⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 解:∵ AC=BD ∴ AC-BC=BD-BC ⌒ ⌒ ⌒ ⌒
⌒ ⌒
C
D
B A
O
∴CD=BA ∴∠COD= ∠AOB=500 或者∵AC=BD ∴∠AOC= ∠ BOD ∴∠AOC- ∠ BOC= ∠ BOD - ∠ BOC ∴∠COD= ∠AOB=500
苏科版九年级数学(上) 第五章 中心对称图形(二)
圆 的 对 称 性
建湖县颜单中学 陈国华
想一想
动动脑筋 圆的对称性
一个圆绕着它的圆心旋转任 意一个角度,都能与原来的图 形重合. 这是圆特有的一个性质： 圆的旋转不变性 圆是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.
圆的中心对称性是旋转不变性的特例.
0
B
5.在△ABO中,∠O=900,∠B=280,以点O为 圆心,OA为半径的圆交AB与D,交OB于E. D ⌒ ⌒ 求AD、DE的度数？
解：∵∠O=900 ∠ B=280
E
A
O
∴∠ A=620 ∵OA=OD∴ ∠ ADO=A=620
∴∠ AOD=1800-620-620=560 ∠DOE=①两个圆心角相等那么它们所对的弧相等(
A C O B
)
O A B A'
O' B'
D
②在同圆或等圆当中，弦相等则所对弧一定相等（
③如果两条弧相等，那么它们所对的弦一定相等 (
）
)
实例:
讲解
例一:如图,AB、AC、BC都是⊙O的 弦，∠AOC=∠BOC。∠ABC与 ∠BAC相等吗？为什么？ 解：∠ABC=∠BAC ∵∠AOC=∠BOC
o
1°的弧
A B
我们把1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧
探 索
10的圆心角 思考:弧的度数与它所 对的圆心角的度数有 什么样的关系呢?
D C O
10的弧
B n0的弧
弧的度数等于它所对的圆心角的度数
A
n0的圆心角
1.60度圆心角所对的弧的度数是（ 60 ），弧的度数是 36度，那么它所对的圆心角的度数是（ 36 ）
想一想
在同圆或等圆中，相等的圆心角所 对的弧相等，所对的弦相等。
想一想：以上结论如何 用数学用数学语言表示？
A
O(O')
B'
A' B
想一想
在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相 等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆 心角相等吗?为什么? 同圆验证 如右图：在等圆中，
∵A B=A′B′
⌒ ⌒ ⌒可以互相重合。 ⌒B与A′B′ ∴A A B ⌒ ⌒ 当A B与A′B′互相重合时，点A与点A′，点B与点B′
⌒
DE的度数=340
⌒
小林根据在同一个圆中，圆心角、弧、弦 三个量之间的关系，认为在如图中已知 ∠AOB=2∠COD，则 有AB=2CD，并且也有AB=2CD，你同意他的 说法吗？请说出你的理由。
C D O
⌒ ⌒
A
B
E
C
讲解
⌒ ⌒
D O
A
B
E
解：不同意，其中AB=2CD是正确的，但AB＜2 CD， 作∠AOB的角平分线交圆O于E ，连接 AE、BE，则