圆的对称性(第一课时)教案
圆的对称性(第一课时)教学设计
山东省师范类高校学生从业技能大赛初中《数学》教学设计章节第三章第二节 课 题 圆的对称性．．．．．（第一课时）．．．．．．课时．．1．课时．．所教年级 九年级教科书北师大版初中数学一、教学目标分析根据新课程标准的要求及说课中对教材的具体内容和学生的具体情况分析，确立教学目标为：知识技能：1、了解与圆有关的概念；2、理解圆的对称性及相关性质；3、能运用圆的对称性质探索垂径定理；4、灵活运用所学知识解决实际问题。
过程与方法：通过学生对轴对称图形定义及研究方法的回顾，引导学生探究圆的对称性，进而探索垂径定理及其应用。
情感态度与价值观：培养学生善于思考、分析问题的习惯，勇于探索、创新的精神，提高学生交流合作、解决问题的能力。
二、教学重点、难点据课程标准要求及说课中对教材的具体内容和学生情况的分析，确定重难点如下：教学重点： 垂径定理的探索及运用 教学难点： 垂径定理的探索过程三、教法与学法教法：讲授法、演示法、讨论法相结合学法：自主探究法为主，合作交流为辅四、教具准备多媒体教学设备、课件五、教学程序流程图教学程序设计思路：通过学生回顾轴对称图形的定义及研究方法，引出圆的对称性的研究，然后通过例题探究垂径定理。
流程图：六、教学过程设计教学环节教师活动学生活动设计意图温故知新引导学生回顾轴对称图形的定义及研究方法。
引导学生探讨圆的对称性，并学会用折叠的方法找到圆的对称轴，借助几何直观了解圆的相关概念。
回忆轴对称图形的概念及研究方法。
通过轴对称图形的概念思考圆是不是轴对称图形、对称轴、对称轴数，学习相关概念。
以学生熟悉的情境入手激活学生的原有知识，激发学生的“再创造”欲望，让学生认识到圆是轴对称图形，圆的对称轴是过圆心的直线，且有无数条。
学习相关概念。
收获新知课件展示实例探究问题1，让同学根据已有的知识判断图形的对称性找出对称轴并证明。
判断图形的对称性，判断对称轴，证明对称性。
在本题的教学中，重点在于引导学生体会对称性的本温故知新新知拓展归纳定理新知运用作业布置课堂小结问题2，让学生找出图中的等量关系，并请同学说明理由。
(完整版)《圆的对称性》教案
《圆的对称性》教案教学目标1．知识与技能（1）理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；（2）掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．2．过程与方法（1）通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；（2）通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．3．情感、态度与价值观经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点重点：对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．难点：能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？（如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴）．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．做一做：在等圆⊙O 和⊙O ' 中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠（如图3-8），将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为»¼''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的： ∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴»AB 与¼A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合， ∴»AB =¼A B ''，AB =A B ''． 生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．知识点三：圆心角、弧、弦之间的关系．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．三、例题讲解例：如图3-9，AB ，DE 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，且»»=AD CE ，BE 与CE 的大小有什么关系？为什么？解：BE =CE ，理由是：∵∠AOD =∠BOE ，∴»»=AD BE ， 又∵»»22=+AD CEa b∴»»=BE CE，∴BE=CE．议一议在得出本结论的过程中，你用到了哪些方法？与同伴进行交流．四、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：（1）是轴对称图形但不是中心对称图形；（2）是中心对称图形但不是轴对称图形；（3）既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A，B是⊙O上的两点，∠AOB=120°，C是»AB的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．五、知识拓展如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=25°，以点C为圆心，AC为半径的圆交AB于点D，求»AD所对的圆心角的度数．六、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？七、布置作业7273-P习题1-3题．。
圆的对称性(1)教学设计
圆的对称性（1）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD 、弦AB 且CD ⊥AB 垂足为M 求证：AM=BM ，⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
分析：要证AM=BM ，只要证AM 、BM 构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA 、•OB 或AC 、BC 即可．
证明：如图，连结OA 、OB ，则OA=OB
在Rt △OAM 和Rt △OBM 中
OA OB
OM OM
=⎧⎨
=⎩ ∴Rt △OAM ≌Rt △OBM ∴AM=BM
∴点A 和点B 关于CD 对称 ∵⊙O 关于直径CD 对称
∴当圆沿着直线CD 对折时，点A 与点B 重合，⌒AC 与⌒BC 重合，⌒AD 与⌒BD 重合．
∴⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD
三、 学生活动（证明垂径定理的逆定理）
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧．
已知：直径CD 、弦AB （除直径） 且 AM=BM 求证：（1）CD ⊥AB
（2）⌒AC =⌒BC,⌒AD= ⌒BD 四、 例题讲解
1、如图所示，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于C ，若AB=25cm ，OC=1cm ，则⊙O 的半径长为______cm ．
2.在直径为50cm 的圆中，弦AB 为40cm ，弦CD 为48cm ，且AB ∥CD ，求AB•与CD 之间距离．
解：如图所示，过O 作OM ⊥AB ， ∵AB ∥CD ，∴ON ⊥CD ． 在Rt △BMO 中，BO=25cm ． 由垂径定理得BM=
12AB=1
2
×40=20cm ，
生总结师点拔
B
A
C O
M。
《圆的对称性》第一课时教案
《圆的对称性》第一课时教案学习目标:经历探索圆的对称性及相关性质的过程．理解圆的对称性及相关知识．理解并掌握垂径定理．学习重点:垂径定理及其应用．学习难点:垂径定理及其应用．学习方法:指导探索与自主探索相结合。
学习过程:一、举例：【例1】判断正误：（1）直径是圆的对称轴．（2）平分弦的直径垂直于弦．【例2】若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高．【例3】如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=6cm，EB=2cm，∠CEA=30°，求CD的长．【例4】如图，在⊙O中，弦AB=8cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求⊙O 的半径长．【例5】如图1，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE⊥CD，垂足为E，BF ⊥CD，垂足为F，EC和DF相等吗？说明理由．如图2，若直线EF平移到与直径AB相交于点P（P不与A、B重合），在其他条件不变的情况下，原结论是否改变？为什么？如图3，当EF∥AB时，情况又怎样？如图4，CD为弦，EC⊥CD，FD⊥CD，EC、FD分别交直径AB于E、F 两点，你能说明AE和BF为什么相等吗？二、课内练习：1、判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑷圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行. （）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧. （）2、已知：如图,⊙O 中,弦AB∥CD,AB＜CD,直径MN⊥AB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有 .图中相等的劣弧有 .3、已知：如图，⊙O 中，AB为弦，C 为AB 的中点，OC交AB 于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求⊙O 的半径OA.4.如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H,EF=10,HG=6,AH=4.求BE的长.5．储油罐的截面如图3-2-12所示，装入一些油后，若油面宽AB=600mm，求油的最大深度．6．“五段彩虹展翅飞”，我省利用国债资金修建的，横跨南渡江的琼州大桥（如图3-2-16）已于今年5月12日正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，如图（1）．最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，如图（2）那么这个圆拱所在圆的直径为 米．三、课后练习：1、已知，如图在以O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C 、D 两点，求证：AC ＝BD2、已知AB 、CD 为⊙O 的弦,且AB ⊥CD ，AB 将CD 分成3cm和7cm 两部分，求：圆心O 到弦AB 的距离3、已知：⊙O 弦AB ∥CD 求证：⋂=⋂BD AC4、已知：⊙O 半径为6cm ，弦AB 与直径CD 垂直，且将CD 分成1∶3两部分,求：弦AB 的长．5、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，CE ⊥CD 交AB 于EDF ⊥CD 交AB 于F 求证：AE ＝BF6、已知：△ABC 内接于⊙O ，边AB 过圆心O ，OE 是BC 的垂直平分线，交⊙O 于E 、D 两点，求证，⋂=⋂BC 21AE7、已知：AB 为⊙O 的直径，CD 是弦，BE ⊥CD 于E ，AF ⊥CD 于F ，连结OE ，OF 求证：⑴OE ＝OF ⑵ CE ＝DF8、在⊙O 中，弦AB ∥EF ，连结OE 、OF 交AB 于C 、D 求证：AC ＝DB9、已知如图等腰三角形ABC中，AB＝AC，半径OB＝5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求ABC的长10、已知：⊙O与⊙O＇相交于P、Q，过P点作直线交⊙O于A，交⊙O＇于B使OO＇与AB平行求证：AB＝2OO＇11、已知：AB为⊙O的直径，CD为弦，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F求证：EC＝DF。
《圆的轴对称性》第1课时教案
《圆的轴对称性》第1课时教案学目标１．使学生理解圆的轴对称性．２．掌握垂径定理．３．学会运用垂径定理解决有关弦、弧、弦心距以及半径之间的证明和计算问题．教学重点垂径定理是圆的轴对称性的重要体现，是今后解决有关计算、证明和作图问题的重要依据，它有着广泛的应用，因此，本节课的教学重点是：垂径定理及其应用．教学难点垂径定理的推导利用了圆的轴对称性，它是一种运动变换，这种证明方法学生不常用到，与严格的逻辑推理比较，在证明的表述上学生会发生困难，因此垂径定理的推导是本节课的难点．教学关键理解圆的轴对称性．教学环节的设计这节课我通过七个环节来完成本节课的教学目标，它们是：复习提问，创设情境；引入新课，揭示课题；讲解新课，探求新知；应用新知，体验成功；目标训练，及时反馈；总结回顾，反思内化；布置作业，巩固新知．教学方法：类比启发教学辅助：多媒体教学过程：一、复习提问，创设情境1．教师演示：将一等腰三角形沿着底边上的高对折，启发学生共同回忆等腰三角形是轴对称图形，同时复习轴对称图形的概念；２．提出问题：如果以这个等腰三角形的顶点为圆心，腰长为半径作圆，得到的圆是否是轴对称图形呢？（教师用教具演示，学生自己操作）二、引入新课，揭示课题1．在第一个环节的基础上，引导学生归纳得出结论：圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线都是对称轴．强调：（1）对称轴是直线，不能说每一条直径都是它的对称轴；（2）圆的对称轴有无数条．判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）设计意图：让学生更好的理解圆的轴对称轴新性，为下一环节探究新知作好准备．三、讲解新课，探求新知先按课本进行合作学习1．任意作一个圆和这个圆的任意一条直径CD ；2．作一条和直径CD 的垂线的弦，AB 与CD 相交于点E ．提出问题：把圆沿着直径CD 所在的直线对折，你发现哪些点、线段、圆弧重合？在学生探索的基础上，得出结论：（先介绍弧相等的概念）①EA=EB ；② AC=BC ，AD=BD ．理由如下：∵∠OEA=∠OEB=Rt ∠，根据圆的轴轴对称性，可得射线EA 与EB 重合，∴点A 与点B 重合，弧AC 和弧BC 重合，弧AD 和弧BD 重合．∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．然后把此结论归纳成命题的形式：垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．垂径定理的几何语言∵CD 为直径，CD ⊥AB （OC ⊥AB ）ABC DO E ⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒∴ EA=EB ， AC=BC ，AD=BD ．四、应用新知，体验成功例1 已知AB，如图，用直尺和圆规求作这条弧的中点．(先介绍弧中点概念)作法：⒈连结AB. ⒉作AB 的垂直平分线 CD ，交弧AB 于点E.点E 就是所求弧AB 的中点．变式一：求弧AB的四等分点．思路：先将弧AB 平分，再用同样方法将弧AE 、弧BE 平分．（图略）有一位同学这样画，错在哪里？1．作AB 的垂直平分线CD2．作AT 、BT 的垂直平分线EF 、GH （图略）教师强调：等分弧时一定要作弧所对的弦的垂直平分线．变式二：你能确定弧AB 的圆心吗？方法：只要在圆弧上任意取三点，得到三条弦，画其中两条弦的垂直平分线，交点即为圆弧的圆心．例2 一条排水管的截面如图所示．排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离OC ．思路：先作出圆心O 到水面的距离OC ，即画 OC ⊥AB ，∴AC=BC=8，在Rt △OCB 中，68102222BCOB OC ∴圆心O 到水面的距离OC 为6．补充例题已知：如图，线段AB 与⊙O 交于C 、D 两点，且OA=OB ．求证：AC=BD ．思路：作OM ⊥AB ，垂足为M ，∴CM=DM∵OA=OB ，∴AM=BM ，∴AC=BD ．概念：圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距．小结：1．画弦心距是圆中常见的辅助线；2．半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d r AB ．注：弦长、半径、弦心距三个量中已知两个，就可以求出第三个．五、目标训练,及时反馈1．已知⊙0的半径为13，一条弦的AB 的弦心距为5，则这条弦的弦长等于．答案：242．如图，AB 是⊙0的中直径，CD 为弦，CD ⊥AB 于E ，则下列结论中不一定成立的是（）A ．∠COE=∠DOEB ．CE=DEC ．OE=BED ．BD=BC 答案：C3．过⊙O 内一点M 的最长弦长为10cm ，最短弦长为8cm ，那么OM 长为（）A ．3B ．6cmC ． cmD ．9cm答案：A注：圆内过定点M 的弦中，最长的弦是过定点M 的直径，最短的弦是过定点M 与OM 垂直的弦，此结论最好让学生记住，课本作业题也有类似的题目．4．如图，⊙O 的直径为10，弦AB 长为8，M 是弦AB 上的动点，则OM 的长的取值范围是（）OA B C ⌒⌒⌒⌒⌒A ．3≤OM ≤5B ．4≤OM ≤5C ．3<OM<5D ．4<OM<5答案：A5．已知⊙O 的半径为10，弦AB ∥CD ，AB=12，CD=16，则AB 和CD 的距离为．答案：2或24注：要分两种情况讨论：（1）弦AB 、CD 在圆心O 的两侧；（2）弦AB 、CD 在圆心O 的同侧．六、总结回顾，反思内化师生共同总结：１．本节课主要内容：（1）圆的轴对称性；（2）垂径定理．2．垂径定理的应用：（1）作图；（2）计算和证明．3．解题的主要方法：（1）画弦心距是圆中常见的辅助线；（2）半径（r ）、半弦、弦心距(d)组成的直角三角形是研究与圆有关问题的主要思路，它们之间的关系：弦长222d rAB ．七、布置作业，巩固新知P65作业题1~6，第7题选做．板书设计：垂径定理例1 例2 解：解：练习练习教学反思：本节课学生对垂径定理都很好的掌握，亮点在于练习设计有梯度，本节例题学生掌握很好。
《圆的对称性》第一课时教学设计方案(说课稿)
《圆的对称性》第一课时教案叶公中学张冬霞教学目标：知识与技能：使学生理解圆的轴对称性；掌握垂径定理；学会运用垂径定理解决有关的证明、计算和作图问题。
过程与方法：渗透类比、转化、数形结合、方程等数学思想和方法，培养学生实验、观察、猜想、抽象、概括、推理等逻辑思维能力和识图能力。
情感态度价值观：渗透数学来源于实践和事物之间相互统一、相互转化的辩证唯物主义观点，让学生体会几何图形所蕴涵的对称美。
本节课的重点是：垂径定理及其应用。
本节课的难点是：对垂径定理的理解及定理的应用。
理解垂径定理的关键是：圆的轴对称性。
教学用具：结合本节课，我运用三角板，圆规，圆形纸片、多媒体辅助教学教学过程：。
1、创设情境预习展示，让一个学生展示自己的预习所得，然后其他人补充。
2、引入新课---揭示课题：通过操作直径与弦垂直相交时圆的翻折，让学生观察猜想哪些线段相等？哪些弧相等？让学生归纳出命题：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
然后用字母表示出题设和结论。
然后让学生再通过折叠讨论得到垂径定理的推论。
3、讲授新课---探求新知：课本例题的教学，求赵州石拱桥的半径。
让学生先独立思考然后小组讨论，教师加以点拨完成。
设计意图：让学生体会数学来源于生活，通过小组讨论，培养学生的合作意识，既调动了学生的积极性，又增强了学生的参与意识，体现了学生的主体作用，而且学生进一步领悟到转化、类比、数形结合与方程的数学思想与方法在实际中的应用。
4挑战自我---深化提高：至此，估计学生基本能够掌握定理，达到预定目标，小结应基本由学生自己完成，谈谈体会、收获或不足。
设计意图：让学生通过归纳探究，使知识点有机的结合在一起，培养他们思维的严谨性和深刻性，提高分析和归纳的能力。
结束语:数学来源于生活，又将服务于生活，希望同学们好好学习数学知识，将来能够更好的为社会服务，成为对国家有用的人才，体现自己的人生价值！设计意图：激发学生的求知欲望，发挥他们的主体作用和创新精神，鼓励他们向着更高的山峰攀登！。
小学数学《圆的对称性》教学设计（精选19篇）
小学数学《圆的对称性》教学设计（精选19篇）小学数学《圆的对称性》教学设计（精选19篇）教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学方案的设想和计划。
以下是小编整理的小学数学《圆的对称性》教学设计，欢迎大家分享。
小学数学《圆的对称性》教学设计篇1一、教材分析：《圆的对称性》是义务教育课程标准实验教科书六年级上册第四单元第59页的内容。
它是在学生已经认识了长方形、正方形、等腰三角形、等腰梯形等平面图形和初步认识轴对称图形和对称轴基础上进行学习的。
这是学生研究曲线图形的开始，是学生认识发展的又一次飞跃。
教材注重从学生已有的生活经验和知识背景出发，结合具体情境和操作活动激活已经存在于学生头脑中的经验，促使学生逐步归纳内化，上升到数学层面来认识圆也是轴对称图形，体会到圆是轴对称图形且有无数条对称轴。
考虑到小学生的认知水平，教材并没有给出圆的对称特征的描述，但教材通过观察与思考、画一画等活动帮助学生逐步对此加以体会，为学生到中学学习圆的知识提供了感性认识和直观经验。
通过对圆的有关知识的学习，不仅能够加深学习对周围事物的理解，提高解决简单实际问题的能力，也为以后学习圆柱、圆锥等知识和绘制扇形统计图打好基础。
二、教学内容：教材59页例3。
三、设计思想：现代课堂教学是以现代先进的教育思想和教学理论为指导的，以面向全体学生，全面提高学生作为现代人应具备的基本素质为根本目的，以充分体现学生主体地位，实现教学过程最优化为基本特征的实践活动。
“圆的对称性”的设计我力求体现：1、数学于生活，中出示的几种生活中的图形都是轴对称图形图形，很自然的就为学生创设了问题情境。
2、强化操作，在操作中探究，画一画、剪一剪、折一折，让学生在操作中感知圆对称性特征。
3、运用，用新颖的教学手段加深学生的印象，激发学生的求知欲，发挥图象的效果，让学生建立深刻的印象。
4、将知识还原于生活，运用于生活，不断激发学生的思维，促进学生思维活动的发展，培养创新意识，又让学生感受到数学起源于生活，又能应用于生活。
课题圆的对称性教学案.doc
学习必备欢迎下载《2、圆的对称性》教学案课题2、圆的对称性课型新授课第1课时知识与1．圆的轴对称性．技能2．垂径定理及其推论．教学目标教学重点教学难点教与学策略课前准备（教具、活动准备等）教学步骤回顾与思考3．运用垂径定理及其推论进行有关的计算和证明．过程 1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和与方法理解研究几何图形的各种方法．2．培养学生独立探索、相互合作交流的精神．情感通过学习垂径定理及其推论的证明，使学生领会数学的严态度与谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的价值观主动精神．垂径定理及其推论．垂径定理及其推论的证明．指导探究和自主学习相结合．①做两张能折叠的圆形纸片，学生每人准备两张圆形纸片②圆规、直尺教学过程教师活动学生活动设计意图前面我们已探讨过轴对称图形，哪如果一个图形沿创设位同学能叙述一下轴对称图形的定着某一条直线折叠后，问题情义？直线两旁的部分能够境，引互相重合，那么这个图入新课形叫轴对称图形，这条主直线叫对称轴．动进行我们是用什么方法研究了轴对称折叠知识之图形？间的联今天我们继续用前面的方法来研圆是轴对称图形，系并积讲授新课究圆的对称性．同学们想一想：圆是轴过圆心的直线是它的极动脑对称图形吗？如果是，它的对称轴是什对称轴，有无数条对称思考回么？你能找到多少条对称轴？轴．答。
是吗？你是用什么方法解决上述我们可以利用折一问题的？大家互相讨论一下．叠的方法，解决这个问边回答题．把一个圆对折以一边动后，圆的两半部分重手演合，折痕是一条过圆心示，既的直线，由于过圆心可锻炼语以作无数条直线，这样言表达便可知圆有无数条对能力又称轴．锻炼动教师板书圆是 ----------- 图形，其对称轴学生在书上找出手操作是---------------------- ．答案并读出能力，下面我们来认识一下弧、弦、直径调动学这些与圆有关的概念．生上课教师板书1．圆弧：圆上任意两点间的部分学习主叫做圆弧，简称弧．动性2．弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦．3．直径：经过圆心的弦叫直径．如下图，以 A、B 为端点的弧记作⌒AB ，读作“圆弧AB”或“弧AB”；线段 AB是⊙O的一条弦，弧 CD是⊙O的一条直径．注意：1．弧包括优弧和劣弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、 D 为端点的弧有⌒两条：优弧ACD( 记作ACD)，劣弧ABD记作⌒) ．半圆：圆的任意一条(ABD直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．教2．直径是弦，但弦不一定是直径．师叙述按下面的步骤做一做：步骤，1．拿出一张圆形纸片，把这个圆对师生共折，使圆的两半部分重合．同操．得到一条折痕 CD．老师指导下动手作，锻23．在⊙ O上任取一点 A，过点 A 作 CD 操作炼动手折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点能力M是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另可以知道：圆是轴对培养学一点 B，如上图．称图形，过圆心的直线生观察通过第一步，我们可以得到什么？很好．在上述的操作过程中，你发现是它的对称轴．思考能了哪些相等的线段和相等的弧？发现了，AM BM力＝，为什么呢？⌒ ⌒⌒ ⌒AC=BC．AD=BD因为折痕AM与 BM教师板书互相重合， A 点与 B 点能不能利用构造等腰三角形得出重合．上面的等量关系？如下图所示，连接OA、OB 得到等腰△OAB，即 OA＝OB．因 CD⊥ AB，故△ OAM与△ OBM都是 Rt△，又 OM为公共边，学生分析叙述，教师所以两个直角三角形全等，则AM指导＝BM．又⊙ O 关于直径 CD 对称，所以 A点和 B 点关于 CD对称，当圆沿着直径CD对折时，点 A 与点 B 重合，与重合，与重合．因此AM＝BM，=，=．在上述操作过程中，你会得出什么结论？同学们总结得很好．这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．在这里注意；①条件中的“弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分通过构造等腰三角形使学生感悟垂径定理的道理，加深对定理的理解弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：( 教师边板书，边叙述 )如上图，连结OA、 OB，则 OA＝ OB．在 Rt △OAM和 Rt△ OBM中，∵ OA＝ OB，OM＝OM，∴ Rt△ OAM≌Rt△ OBM，∴ AM＝ BM．通过证∴点 A 和点 B 关于 CD对称．明使学∵⊙ O关于直径 CD对称，生对定∴当圆沿着直径 CD对折时，点 A 与理的掌点 B重合，与重合，与重握有一个完整合．性∴=，=．下面，我们通过求解例 1，来熟悉垂径定理：[ 例 1] 如下图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧 ( 即图中 CD，点 O 是 CD 的圆心 ) ，其中 CD＝600m，E 为 CD上一点，且 OE⊥ CD，垂足为 F， EF＝90m，求这段弯路的半径．思路分析：要求弯路的半径，连结 OC，只要求出 OC的长便可以了．因为已知OE⊥CD，所以 CF＝1CD＝300cm，OF＝2OE－EF，此时就得到了一个Rt△CFO，连结 OC，设弯路的半径为 R m，则垂径定OF＝ ( R－90)m，∵ OE 理的应⊥CD，用哪位同学能口述一下如何求解？∴CF＝1CD＝1×2 2600＝300(m) ．据勾股定理，得2 2 2OC＝CF＋OF，2 2即 R＝300 ＋(R－290)解这个方程，得R＝545．∴这段弯路的半径在上述解题过程中使用了列方程的为 545m．方法，用代数方法解决几何问题，这种数与形有机结合的思想应在今后的解随堂练习： P8．1．略题过程中注意运用．下面我们再来思考一个问题：如下图示，AB是⊙ O的弦 ( 不是直径 ) ，作一条平分 AB的直径 CD，交 AB于点 M．上图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？很好．你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？它是轴对称图形，其对称轴是直径 CD所在的直线．通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个⊙O，作一条不是直径的弦 AB，将圆为垂径定理的延伸做准备对折，使点 A 与点 B重合，便得到一条折痕CD与弦 AB交于点 M．CD就是⊙ O 的对称轴， A点、 B 点关于直径CD对称．由轴对称可知，AB⊥ CD，=，在上述的探讨中，我们可以得到如下的结论 ---- 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧=．为什么要强调“弦不是直径”呢？为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：对于一个圆和一条直线来说。
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§4.2.1 圆的对称性设计理念数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜想、验证、推理与交流等数学活动.数学教学重在引导学生走向自主学习和探求知识之路，重在引导学生积极参与教学过程.重视学生的主体作用，倡导“自主、合作、探究”的学习方式，让学生经历学习的探索过程，真正成为学习的主人.教学内容《义务教育课程标准实验教科书数学》（鲁教版）九年级（下）第四章“圆”第二节“圆的对称性”第一课时.教材分析圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性，在探索、发现和证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性.同时圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此这一节的内容在整章中具有举足轻重的意义.“圆的对称性”第一课时的主要内容是垂径定理及其推论，它反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、弧相等、垂直关系的重要依据，同时也为圆的计算和作图提供了方法与依据.所以本节知识与方法的学习积累直接影响着后续学习.教学目标1.知识与技能理解圆的轴对称性和相关概念（弦、弧）及性质；掌握垂径定理及其推论，能运用它们进行有关的作图、计算和证明．2.过程与方法经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步理解研究几何图形的各种方法（折叠、平移、推理证明），用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，积累学习经验，进一步发展学生自主学习、合作学习的能力．3.情感、态度与价值观通过“找圆心”等问题情境激发学生探究的兴趣和热情，在探究垂径定理及其推论的过程中，让学生领会数学的严谨性，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系.教学重点垂径定理及其推论的探索．教学难点垂径定理及其推论的证明．教学方法自主探究和合作探究相结合．教学过程一、创设情境，感知数学【问题1】通过上节课《圆》的学习，进一步认识了圆的意义.这是一张圆形纸片,你有什么办法找出它的圆心呢？［学情预设］学生凭借经验易想到用折叠的方法，如图，交点O就是圆心.【问题2】你怎么验证点O就是圆心呢？［学情预设］学生根据圆的概念能想到在圆上找一些点，测量它们与点O的距离.但需要找几个点，一个、两个、三个？还是更多？会有不同的见解.【问题3】在折叠的过程中，你从中知道圆具有什么性质?【问题4】圆的对称轴有几条？与学过的轴对称图形有什么不同？［学情预设］学生可能只会找到1条、2条、3条……让学生自己得出结论：无数条，对称轴是任意一条过圆心的直线.师出示课题.【问题5】这是一个硬币，你又有办法找出这个圆形硬币的圆心吗？［学情预设］有的学生会想到利用刚才的方法；有的学生会纳闷：不能折叠怎么办？为了有更多的方法确定圆心，我们来深入探究圆的有关概念与性质.［知识链接］圆上有两点到点O的距离相等，只能说明点O在该线段的垂直平分线上，不足以说明圆心.三个点还是更多，则是后面“确定圆的条件”探究问题.应用圆的不同性质来确定圆心的方法有许多.［设计意图］问题是数学的心脏，兴趣是最好的老师.设计一连串的问题情境引发学生学习和探究的兴趣，在动手操作中既复习圆的意义，又体验了圆的对称性及应用.二、师生互动，体验探究1.自主探究：学生阅读课本，学习圆的相关概念：弦、弧.（1）什么是弦？什么是弧？如何区别？怎么表示？（2）弧与弦分别可以分成几类？它们如何区分？（3）什么是半圆？它与弧如何区别？（4）请你写出图中的优弧和劣弧，并思考如何才能不重复不遗漏？［学情预设］学生看书后能理解弦、弧、优弧、劣弧及半圆的意义，但是难以区别异同，如：弦是线段，弧是曲线段；直径是弦，但弦不一定是直径；半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧，如同大于零的数是正数，小于零的数是负数，但零既不是正数，也不是负数一样.问题4，学生写出的弧可能重复或遗漏，不能掌握“优弧与劣弧成对出现”的规律.［设计意图］让学生带着问题读书，有效地提高他们自主探究的针对性，激发思考与交流，从而真正掌握它们的本质与异同，学会辨证统一、分类讨论地解决问题.2.合作探究：弦与弧之间的联系-----学习垂径定理及推论. 活动一：探究垂径定理①刚才折出的两条直径是怎样的位置关系？（相交） 垂直是相交的特殊情况，从垂直的图中能得出哪些等量关系？(AB=CD 、OA=OB=OC=OD 、 AC = BC = AD = BD) ②若把AB 向上平移到任意位置，成了不是直径的弦，折叠后猜想：还有与刚才类似的结论吗？有哪些方法证明你的猜想正确与否？③思考：上述探索过程利用了圆的什么性质？还运用了哪些知识？若只证明AM =BM ，还有什么方法？④把上述发现归纳成文字语言和几何语言.垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧． 如图，在⊙O 中，即①②→③④⑤ ① CD 是直径 ③AM =BM ，④⌒AD=BD，② CD ⊥AB 于M ⑤ AC = BC. ［学情预设］问题2，多数学生会用画图、折叠、测量的方法猜想出结论，而用推理证明的方法验证是本节的难点，让学生动手折叠、思考交流后，师板演示范证明.［设计意图］用运动变化的观点体会从特殊到一般研究问题的方法，在平移中体会知识的发生与发展过程，在折叠中领会定理的证明思路，突出重点、突破难点，培养学生的概括、总结的语言表达能力.活动二：探究垂径定理的推论 议一议：【问题1】把垂径定理中条件“垂直于弦”与结论“平分于弦”互换，即：①③→②④⑤，结论是否还成立？如果成立，请你说明理由；不成立，请举反例.【问题2】你还能找出其它类似的结论吗？并判断是真命题还是假命题？ 【引例】已知：如图⊙O 中，直径CD ⊥弦AB ，垂足为点M ，① 若半径R =5，OM =3，求AB 、CM 的长； ② 若半径R =5，AB =8，求OM 、CM 的长；③ 由①②两题的启发，你还能编出其它什么问题？［学情预设］ 问题1，大多数学生会模仿定理画图、折叠、推理后认为是成立的，可能有个别学生会持反对意见，引起一番有意义的讨论，师可以适时地引导.当AB 与CD 是⊙O 的直径时，互相平分，但不一定垂直！只有当弦AB 不是直径时，结论才会成立.问题2，有②③→①④⑤、①④→②③⑤、④⑤→①②③……学生写不完整或重复，要引导找规律：由 “①直径、②垂直于弦、③平分弦、④平分优弧、⑤平分劣弧”，其中两个作条件推出另三个结论，才能不重复不遗漏.［设计意图］对教材知识进行适当的变式和拓展，让学生能举一反三，发散学生的思维，让不同层次的学生得到不同的发展，并体验数学的严谨性和探究的乐趣，感受合作交流的重要性. 师生共同归纳：垂径定理的推论：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. （2）弦的垂直平分线会经过圆心，并且平分弦所对的弧.…… 【问题3】现在你有办法找出圆形硬币的圆心吗？ ［学情预设］作圆中两条弦的垂直平分线，交点就是圆心. ［设计意图］首尾呼应，学以致用.三、应用新知，探寻规律【例1】：（7页例题）如右图所示，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD ，点O 是弧CD 的圆心)，其中CD =600m ，E 为弧CD 上一点，且OE ⊥CD ，垂足为F ，EF =90 m ．求这段弯路的半径．(书本例题，可归为引例中哪种类型？)［设计意图］让学生在实践中悟出垂径定理应用：在四个量半径R 、弦AB 的长、弦心距OM 长、弓形高CM 的长中，任已知两个量可以求出另两个量.一题多变，多题归一，探寻规律，构造直角三角形后通过勾股定理求解，从题海中解脱出来，并培养学生的数学应用意识，体会数学与生活的联系. 练习1:在半径为50㎜的圆O 中，有长50㎜的弦AB ，计算：⑴点O 与AB 的距离；⑵∠AOB 的度数。
【例2】 如图，已知在⊙O 中，弦AB 的长为8厘米， 圆心O 到AB 的距离为3厘米，求⊙O 的半径。
若OA=10cm,OE=6cm,求弦AB 的长。
若圆心到弦的距离用d 表示，半径用r 表示，弦长用a 表示， 这三者之间有怎样的关系？ 即右上图中的OE 叫弦心距. 习题：1、如图，P 为⊙O 的弦BA 延长线上一点，PA ＝AB ＝2，PO ＝5，求⊙O 的半径。
2、如图，圆O 的弦AB ＝8 ㎝ ，DC ＝2㎝，直径CE ⊥AB 于D ，求半径OC 的长。
3、在圆O 中，直径CE ⊥AB 于 D ，OD=4 ㎝，弦㎝ ，求圆O 的半径。
例3 已知：如图，在以O 为圆心 的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小 圆于C ，D 两点。
求证：AC＝BD 。
证明：过O 作OE ⊥AB ，垂足为E ， 则AE ＝BE ，CE ＝DE 。
AE －CE ＝BE －DE 。
所以，AC ＝BD2222⎪⎭⎫⎝⎛+=a d r CCEADBO已知：AB是⊙O直径，CD是弦，AE⊥CD，BF⊥求证：EC＝DF四、课堂小结，分享收获这节课在内容方面你学习了哪些知识？在方法方面你学会了什么？你还有什么疑惑、发现、体会与感悟与我们交流？想进一步探究的问题是什么？［设计意图］用问题形式引导学生回顾总结学习过程，使知识系统化，提炼其中蕴含的数学思想方法，学会自我评价、自我反思，取长补短、资源共享.五、课后作业，加深理解完成课后的随堂练习和习题4.2，其中试一试为选做题；类比迁移今天的学习方法尝试探究圆的中心对称性.设计说明1.分析学情，拟定思路圆是一种特殊的图形，它既是中心对称图形又是轴对称图形，学生在学习对称性时已有所有解.但“圆”的学习，学生由学习直线型到曲线型，对圆的性质进行全面深入的探究，要求进一步巩固和提高推理论证方法，熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，在认识和思维上是一大飞跃.充分利用以前学习中积累的折叠、对称、平移、旋转、推理证明等经验展开探究，是突破本章学习的重要途径.2.整合教法，体现主体课堂设计符合学科特点和学生实际，创设“找圆心”情境新颖、有趣、自然，注重垂径定理及推论的发生、发展和应用过程的教学，关注学生自主学习、合作学习和探究学习方式的指导，体现学生的主体地位，突出数学的运动变化、分类等思维与方法，开放教学过程，创设了和谐融洽学习氛围.3.创新教材，突显特色本节课大胆地对教材进行创新、变式，以连贯顺畅的问题情境和问题串形式步步深入，层层推进学生思考，有效激活学生思维.课堂设计体现了创——创设情境激兴趣，探——探索新知有合作，导——引导探究重方法，思——归纳反思促提高，学生在动口、动手、动脑活动中真正理解知识，获得了数学活动的经验，提升了能力.4.优化情境，贯穿教学找“圆心”这个问题情境具有可操作性、开放性、探究性，它的方法多种多样，依据的定理（垂径、圆周角、切线…）不同，方法也不同，它不仅可以是本节课的问题情境，而且可以作为贯穿圆一章学习或复习的问题情境.。