《 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学设计【初中数学人教版九年级上册】
第二十二章二次函数
二次函数的图像和性质教学设计
第 3 课时
二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。
它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。
因此，本节课的内容十分重要。
1.使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2.会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3.让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
【教学重点】
理解函数y=a(x－h)2＋k的性质以及图象与y=ax2的图象之间的关系。
【教学难点】
正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。
多媒体课件等。
◆教学目标
◆教材分析
◆教学重难点
◆
◆教学过程
◆课前准备
◆
一、复习回顾。
1. 说出下列函数图象的开口方向,对称轴,顶点,最值和增减变化情况:
1）y = ax2
2）y = ax2+c
3）y = a（x - h）2
我们已经学习了形如y=ax2,y=ax2+k,y=a(x-h)2的函数,知道了它们可以经过互相平移得到.二次函数y=a(x-h)2+k又是一条怎样的抛物线呢?它与这三条抛物线之间有什么关系?
知识点一:y=a(x-h)2+k的图象和性质。
二、合作交流，探究新知。
1. 在同一坐标系内,画出二次函数y=2x²,y=2(x-1)²,y=2(x-1)²+1的图象。
处理方法:师生一起完成列表,再由学生画出图象,如图。
2. 指出y=2(x+1)2-1的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值、增减性。
3. y=2(x-1)²+1可以由y=2x²怎样平移而得到?
4. 归纳:y =a (x -h )2+k 的图象和性质及由y =ax 2平移得到函数图象的规律。
三、运用新知
1.
（1）抛物线的上下平移
①把二次函数y =(x +1)2的图像，沿y 轴向上平移３个单位，得到_____________的图像； ②把二次函数_____________的图像，沿y 轴向下平移2个单位，得到y =x 2+1的图像。
（2）抛物线的左右平移
①把二次函数y =(x +1)2的图像，沿x 轴向左平移３个单位，得到_____________的图像； ②把二次函数____________的图像，沿x 轴向右平移2个单位，得到y =x 2+1的图像。
（3）抛物线的平移：
①把二次函数y =3x 2的图像，先沿x 轴向左平移３个单位，再沿y 轴向下平移2个单位，得到 的图像；
②把二次函数 的图像，先沿y 轴向下平移2个单位，再沿x 轴向右平移3个单位，得到y =-3(x +3)2－2的图像。
总结的图象和图象的关系。
()的图象，当m >0时，向左平移m 个单位，当m <0时，向右平移|m |个单位
转变为y =a (x +m )2的图象，当k >0时，向上平移k 个单位，当k <0时，向下平移|k |个单位转变为
的图象。
的图象的对称轴是直线x =-m ，顶点坐标是(-m ，k )。
口诀：(m 、k )正负左右上下移。
(m 左加右减，k 上加下减) 四、巩固新知。
1. 抛物线的顶点为(3,5) 此抛物线的解析式可设为( )
A .y =a (x +3)2+5
B .y =a (x -3)2+5
C .y =a (x -3)2-5
D .y =a (x +3)2-5
2. 抛物线c 1的解析式为y =2(x -1)2+3抛物线c 2与抛物线c 1关于x 轴对称,请直接写出抛物线c 2的解析式_____。
3. 二次函数y =a (x -m )2+2m,无论m 为何实数,图象的顶点必在( )上。
A )直线y =-2x 上
B )x 轴上
k m x a y ++=2
)(2
ax y =2ax y =0≠a k m x a y ++=2)(k m x a y ++=2)(
C)y轴上D)直线y=2x上
4. 对于抛物线y=a(x-3)2+b其中a>0,b为常数,点(
√3,y1) 点(√5,y2)点(8,y3)在该抛物线上,试比较y1,y2,y3的大小。
五、归纳小结。
1．函数y=a(x-h)2+k的图象和函数图象y=ax2之间的关系。
2．函数y=a(x-h)2+k的图象在开口方向、顶点坐标和对称轴等方面的性质。
略。
◆教学反思。
九年级上册数学教案《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》
九年级上册数学教案《二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质》学情分析本节的学习内容是在前面学习了二次函数的概念和二次函数y = ax2、y = ax2 + h、y = a（x-h）2的图象和性质的根底上，运用图象变换的特点把二次函数y = ax2经过一定的平移变换，得到二次函数y = a（x-h）2 + k（h≠0，k≠0）的图象。
学生在前面的课中，已经学习了y = ax2、y = ax2 + h、y = a （x-h）2的图象之间的关系，知道由y = ax2的图象经过平移可以得出y = ax2 + h、y = a（x-h）2的图象，也从根本上掌握了求二次函数的图像性质的方法，所以新课的学习主要运用数形结合的方法，从学生熟悉的知识着手探究。
提醒学生注意类比前几节知识的内容，加强知识之间的联系，明确二次函数的图象和性质。
教学目的1、会画二次函数y = ax2+k的图象，掌握二次函数y = ax2 + k的性质并会应用。
2、理解y = ax2与y = ax2+k之间的联系。
教学重难点会画二次函数y = ax2+k的图象，掌握二次函数y = ax2 + k的性质并会应用。
教学方法讲授法、谈话法、讨论法、练习法教学过程一、直接导入在同一直角坐标系中，画出二次函数y = 2x2+1，y = 2x2-1的图象。
解：先列表：x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 …y=2x2+1 … 9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …y=2x2-1 … 7 3.5 1 -0.5 -1 -0.5 1 3.5 7 …然后描点画图，得y = 2x2+1，y = 2x2-1的图象。
二、学习新知1、思考（1）抛物线y = 2x2 + 1，y = 2x2 - 1的开口方向、对称轴和顶点各是什么？（2）抛物线y = 2x2 + 1，y = 2x2 - 1与抛物线y = 2x2有什么关系？可以发现，把抛物线y = 2x2向上平移1个单位长度，就得到抛物线y = 2x2+1；把抛物线y = 2x2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y = 2x2-1。
人教版九年级上册数学 22.2 二次函数y =a(x-h)2 k的图像和性质教案()
设计意图：让学生通过画图象，引起学生认知上的冲突，对出现的现象做进一步的思考和探索。由问题引导学生思考并解决问题，从易到难，遵循学生的认知规律。
“教书先生”恐怕是市井百姓最为熟悉的一种称呼，从最初的门馆、私塾到晚清的学堂，“教书先生”那一行当怎么说也算是让国人景仰甚或敬畏的一种社会职业。只是更早的“先生”概念并非源于教书，最初出现的“先生”一词也并非有传授知识那般的含义。《孟子》中的“先生何为出此言也？”；《论语》中的“有酒食，先生馔”；《国策》中的“先生坐，何至于此？”等等，均指“先生”为父兄或有学问、有德行的长辈。其实《国策》中本身就有“先生长者，有德之称”的说法。可见“先生”之原意非真正的“教师”之意，倒是与当今“先生”的称呼更接近。看来，“先生”之本源含义在于礼貌和尊称，并非具学问者的专称。称“老师”为“先生”的记载，首见于《礼记?曲礼》，有“从于先生，不越礼而与人言”，其中之“先生”意为“年长、资深之传授知识者”，与教师、老师之意基本一致。活动2：（1）你能说出函数y=－ (x－1)2＋2的图象与函数y=－ x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗
（2）对称轴是直线x=h;
（3）顶点坐标是（h,k）.
设计意图：让学生经历从特殊到一般，归纳得出一般结论的过程。通过讨论小组合作学习，发现抛物线平移规律的同时有利于培养学生合作学习的能力。
三、运用新知：
2解决实际问题：
师生活动：练习1、2、3由学生自己独立完成，实际问题的教学由于要建立恰当的平面直角坐标系，选择不同的解析式进行解答，这是个难点，因此由老师引导学生进行解答。
难点
正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质。
人教版初三数学教案 第2课时 二次函数y=a(x-h)2的图象和性质
第二十二章 二次函数22.1.3 二次函数y =a (x －h )2+k 的图象和性质第2课时 二次函数y =a (x －h )2的图象和性质学习目标：1.会画二次函数y =a (x －h )2的图象.2.掌握二次函数y =a (x －h )2的性质.3.比较函数y =ax 2与y =a (x －h )2的联系.重点：会画二次函数y =a (x －h )2的图象.难点：掌握二次函数y =a (x －h )2的性质并会应用其解决问题.自主学习一、知识链接1.说说二次函数y =ax 2+c (a ≠0)的图象的特征.2.二次函数 y =ax 2+k (a ≠0)与y =ax 2(a ≠0)的图象有何关系？3.函数21(2)2y x 的图象，能否也可以由函数212y x 平移得到？课堂探究二、要点探究探究点1：二次函数y =a (x －h )2的图象和性质 引例 在同一直角坐标系中，画出二次函数212y x 与21(2)2y x 的图象．根据所画图象，填写下表：试一试 画出二次函数2112yx ，2112y x 的图象，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标.想一想 通过上述例子，函数y =a (x －h )2的性质是什么？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2(a ≠0)的性质当a ＞0时，抛物线开口方向向上，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最小值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而减小；x ＞h 时，y 随x 的增大而增大.当a ＞0时，抛物线开口方向向下，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为(h ，0)，当x =h 时，y 有最大值为0.当x ＜h 时，y 随x 的增大而增大；x ＞h 时，y 随x 的增大而减小.典例精析例1 已知二次函数y ＝（x ﹣1）2（1）完成下表； x … … y……（2）在如图的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．（3）写出该二次函数的图象的对称轴和顶点坐标；（4）当x 取何值时，y 随x 的增大而增大．（5）若3≤x ≤5，求y 的取值范围；想一想：若-1≤x ≤5，求y 的取值范围；（6）若抛物线上有两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，如果x 1＜x 2＜1，试比较y 1与y 2的大小．变式：若点A (m ，y 1)，B (m +1，y 2)在抛物线的图象上，且m ＞1，试比较y 1，y 2的大小，并说明理由．探究点2：二次函数y =ax 2与y =a (x －h )2的关系想一想 抛物线2112y x ， 2112y x 与抛物线212y x 有什么关系？要点归纳：二次函数y =a (x －h )2与y =ax 2的图象的关系 y =ax 2向右平移︱h ︱得到y =a (x －h )2； y =ax 2向左平移︱h ︱得到y =a (x +h )2.左右平移规律：括号内左加右减，括号外不变.例2 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．方法总结：根据抛物线左右平移的规律，向右平移3个单位后，a 不变，括号内应“减去3”；若向左平移3个单位，括号内应“加上3”，即“左加右减”． 练一练将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位当堂检测22(3)x 22(2)x 23(1)4x 2.如果二次函数y ＝a （x ﹣1）2（a ≠0）的图象在它的对称轴右侧部分是上升的，那么a 的取值范围是_____．3.把抛物线y =－x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .4.若（－134，y 1）（－54，y 2）（14，y 3）为二次函数y =(x －2)2图象上的三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为___________.5.在同一坐标系中，画出函数y ＝2x 2与y ＝2(x －2)2的图象，分别指出两个图象之间的相互关系．能力提升已知二次函数y ＝（x ﹣h ）2（h 为常数），当自变量x 的值满足﹣1≤x ≤3时，与其对应的函数值y 的最小值为4，求h 的值.。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质 初中九年级数学教案教学设计课后反思 人教版
课题二次函数y=a(x-h)²+k的图像与性质第三课时课型新课课时：1课时授课时间：教 学目 标知识与技能：进一步熟悉作函数图象的主要步骤，会作函数y＝a(x－h)2＋k的图象过程与方法：能正确说出y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律情感态度与价值观：培养学生学习数学的兴趣教学重点函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律教学难点函数y＝a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，掌握抛物线y＝a(x－h)2＋k的平移规律教学手段黑板、粉笔教学方法讲授法、问答法、讨论法教学过程阅读教材第35至37页，自学“例3”与“例4”，掌握y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的关系，理解并掌握y＝a(x－h)2＋k的相关性质．自学反馈学生独立完成后集体订正：1．一般地，抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2的________相同，________不同，把抛物线y＝ax2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据___ _____的值来决定：当h>0时，表明将抛物线y＝ax2向________平移h个单位；当k<0时，表明将抛物线y＝ax2向________平移－k个单位．2．抛物线y＝a(x－h)2＋k的特点：当________时，开口向上；当________时，开口向下；对称轴是直线________；顶点坐标是________．3．函数y＝4(x＋1)2－2的图象是由函数y＝4x2的图象先向________平移________个单位，再向________平移________个单位得到的．4．抛物线y＝－2(x－1)2－3的开口方向是________，其顶点坐标是________，对称轴是直线________，当x>1时，函数值y随自变量x的值的增大而________．活动1 小组讨论例 填写下表：解析式开口方向对称轴顶点坐标y＝－5x2向下y轴(0，0)y＝x2＋5向上y轴(0，5)y＝－3(x＋4)2向下x＝－4(－4，0)y＝4(x＋2)2－7向上x＝－2(－2，－7)活动2 跟踪训练(独立完成后展示学习成果)1．将抛物线y＝－3x2向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式是__ __________． 抛物线的移动主要看顶点位置的移动．2．若直线y＝3x＋m经过第一、三、四象限，则抛物线y＝(x－m)2＋1的顶点必在第_____板书设计教学反思教研组长签集体备课字：组长签字:。
二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质 教学设计 人教版数学九年级上册
二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质教学设计教学重难点通过将已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象分别关于y轴翻折、关于x轴翻折后形成的新的图象观察、分析，从参量a，h，k和变量x，y两个不同角度去讨论，最后得出形如y=a（x-h）²+k的图象翻折（关于x轴、y轴）规律。
教学目标1.会求二次函数y=a（x-h）²+k 的图象经过轴对称（关于x轴翻折或关于y轴翻折）变化后的图象解析式；2.通过猜想、验证，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法在函数中的应用.资源与工具多媒体PPT、画图软件、洋葱数学APP等。
教学过程及设计意图环节具体内容设计意图环节一：目标1.会求二次函数y=a（x-h）²+k 的图象经过轴对称（关于x轴翻折或关于y轴翻折）变化后的图象解析式；2.通过猜想、验证，让学生体会从特殊到一般的数学思想方法在函数中的应用.出示教学目标.环节二：学习微学习一：观看“洋葱数学”视频——二次函数y=2（x-1）2+3的图象关于y轴翻折通过观看“洋葱数学”视频，学生从图象入手形象直观观察-对比-分析，得出规律.环节三：方法微方法一：从参量a，h，k入手，得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于y轴翻折规律.将二次函数y=a（x-h）²+k得二次函数y=a（x+h）²+k微方法二：从变量x，y入手，得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于y轴翻折规律.将二次函数y=a（x-h）²+k得二次函数y=a（-x-h）²+k活学活用：求二次函数3)2(212-+-=xy沿直线x=0翻折后的解析式.通过观看“洋葱数学”视频将已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象关于y轴翻折的新图象观察、分析，从参量a，h，k和变量x，y两个不同的角度去讨论，最后轻松得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于y轴翻折规律.环节四：学习微学习二：观看“洋葱数学”视频——二次函数y=2（x-1）2+3的图象关于x轴翻折通过观看“洋葱数学”视频，学生从图象入手形象直观观察-对比-分析，得出规律.环节五：方法微方法一：从参量a，h，k入手，得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于x轴翻折规律.将二次函y=a（x-h）²+k得二次函数y=-a（x-h）²-k微方法二：从变量x，y入手，得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于x轴翻折规律.通过观看“洋葱数学”视频将已知二次函数y=2（x-1）2+3的图象关于x轴翻折的新图象观察、分析，从参量a，h，k和变量x，y两个不同的角度去讨论，最后轻松得出形如y=a（x-h）²+k的图象关于x轴翻折规律.将 二次函数y=a （x-h ）²+k得二次函数-y=a （x-h ）²+k （学生化简） 活学活用： 求二次函数3)2(212-+-=x y 沿直线y=0翻折后的解析式.环节六： 总结二次函数y=a （x-h ）²+k（其中a ，h ，k 为常数，且a≠0）通过再次回顾，学生会从“形”的角度求二次函数y=a （x-h ）²+k 的图象经过轴对称（关于x 轴翻折或关于y 轴翻折）变化后的图象解析式. 环节七： 检测详见作业设计附：作业设计基础篇：对应练习求二次函数的解析式：①沿直线x=0翻折后的解析式. ②沿直线y=0翻折后的解析式.参考答案： 解：①二次函数116)35(212-+=x y 沿直线x=0翻折后的解析式为116)35-(212-=x y . ②二次函数116)35(212-+=x y沿直线y=0翻折后的解析式为116)35(21-2++=x y .提升篇：课后拓展已知：二次函数y=a（x-h）²+k（其中a，h，k为常数，且a≠0）求二次函数的解析式：①沿直线x=m翻折后的解析式. ②沿直线y=n翻折后的解析式.参考答案：解：①二次函数y=a（x-h）²+k沿直线x=m翻折后的解析式为y=a（x-2m+h）²+k.②二次函数y=a（x-h）²+k沿直线y=n翻折后的解析式为y=-a（x-h）²+2n-k.。
人教版九年级数学上册《二次函数y=a(x-h)_2的图象和性质》教学设计
22.1.3二次函数的图像与性质（2）2=的图像和性质y-a(hx)一、教学目标1、知识与技能：能够做出函数2)a=的图像，并能y-x(h理解它与2axy=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够正确说出2)y-=的开口方向、对称轴、顶点、最ax(h点、最值、增减性等性质．2、过程与方法经历探索二次函数图像的作法和性质的过程，体会知识的迁移以及数形结合的数学思想．3、情感态度与价值观在学习活动中，获得数学学习的成功体验．二、教学重难点重点：能够做出函数2)y-a=的图像，并能理解它与x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响；能够ax正确说出2)a=的开口方向、对称轴、顶点、最点、最值、y-(hx增减性等性质．难点：能够做出函数2)a=的图像，并能理解它与y-x(h2y=的图像的关系，理解h a,对二次函数图像的影响．ax三、教学方法探索——比较——总结四、教具准备多媒体课件，几何画板 五、教学过程（一）复习旧知，引入新课1、以1212+=x y 为例，它的图像是什么，同学们能说出它的哪些性质？①图像：抛物线 ②开口方向：向上③对称轴：y 轴（直线0=x ） ④顶点：)1,0(⑤y 最值：当0=x 时，1=最小y . ⑥增减性：当0<x 时，↓↑y x .当0<x 时，↑↑y x .2、1212+=x y 可以由哪个函数如何平移而来？3、k ax y +=2是在2ax y =后面加k ，现在我们在2ax y =的x 后面加减去h ，变为2)(h x a y -=，又有怎么样的性质呢？4、板书：二次函数2)(h x a y -=的图像与性质． （二）探究活动，获取新知 1、预习作业·汇报成果作业1.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 作业2.在同一个直角坐标系中画出二次函数 、 、 的图像，完成表格．221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y 2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y2.观察题1中的图像及表格内容，尝试说说函数 、 、 之间的异同点. 2、思考：预习作业中的图像是如何画出来的？先找哪个点？顶点，两个再分别对称取两点． 对称轴如何确定？ 以2)1(-=x y 为例3、以 、、 为例，研究三条抛物线之间关系．几何画板演示21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y a 不变：图像的开口方向不变，开口大小不变．h 改变：对称轴、顶点改变．h 的改变反映了函数图像的左右移动．4、猜想：对于一般形式的2)(h x a y -=，它的函数图像与性质． 几何画板演示2x y =2)1(+=x y 2)1(-=x y 221x y -=2)1(21+-=x y 2)1(21--=x y0<a （三）例题讲解，内化应用221x y =、2)2(21+=x y 、2)2(21-=x y 的函数图像如图所示，观察三条抛物线的相互关系,并分别指出它们的开口方向,对（四）课堂小结 2)(h x a y -=的图像与性质（五）课堂练习，巩固应用 【课堂练习】 1. 填空．2.抛物线2)3(4-=x y 的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，抛物线有最 点，当x = 时，y 有最 值，其值为 ．抛物线与x 轴交点坐标 ，与y 轴交点坐标 ．3.(1)由抛物线22x y =向 平移 个单位可得到2)1(2+=x y ．(2)函数2)4(5--=x y 的图象可以由抛物线 向 平移4个单位得到的．4. 已知),1(1y A -,),2(2y B -,),3(3y C 三点都在二次函数2)2(2+-=x y 的图象上，则1y ,2y ,3y 的大小关系为______．5. (1)某抛物线和22x y =的图像形状相同，开口方向相同，对称轴平行于y 轴，且顶点坐标是（1，0），则此抛物线的解析式为 ．(2)对称轴为2=x ，顶点在x 轴上，并与y 轴交于点（0，3）的抛物线解析式为 ． 【思考题】如图，抛物线的顶点M 在x 轴上，抛物线与y 轴交于点N ，且OM=ON=4，矩形ABCD 的顶点A 、B 在抛物线上，C 、D 在x 轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）设点A的横坐标为t（t＞4），矩形ABCD的周长为l，求l与t之间函数关系式．六、板书设计二次函数2)(hxay-=的函数图像与性质2)(hxay-=当0>a时图像>h0<h开口向上对称轴直线hx=顶点（h，0）y最值当hx=时，0=最小y21212121）（个单位向左平移+-=−−−−−→−-=x y x y 21212121）（个单位向右平移--=−−−−−→−-=x y x y七、教学反思本节课通过课前预习作业，让学生先自行探究两个特殊的二次函数图像与性质，发现规律．再通过几何画板的演示，推广到一般的形如2)(h x a y -=的二次函数的情况．特别地，提醒学生注意在图像平移的过程中，解析式的变化规律．课堂练习的设计上，分层次进行，先简单地判断图像开口、对称轴、顶点，与坐标轴的交点，再练习平移及增减性的问题，然后考虑利用待定系数法求解析式，最后是一道与几何相结合的思考题．但本节课时间分配不够合理，课堂上未涉及到思考题．。
人教版九年级上册 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2 k的图像和性质 教学设计
第二十二章二次函数第一节《二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质（3）》教学设计——人教版九年级上授课科目：数学授课课题：二次函数的图像和性质（3）授课时间：授课人：教学过程设计一． 课前热身1.请说出二次函数y=-2x 2的开口方向、顶点坐标、2.把y=-2x 2的图像223y=-2x +32y=-2(x+2)⎧⎪⎨⎪⎩向上平移个单位 向左平移个单位3.请猜测一下，二次函数y=-2(x+2)2+3的图像是否可以由y=-2x 2平移得到？你认为该如何平移呢？解析：用课件直观的演示两种平移的过程及结果，通过图象观察y=-2(x+2)2+3的性质，并板书。
二．例题讲解备注：让学生说出函数是由哪个函数如何平移得到，教师画草图演示。
三．研学教材y=a(x-h)2+k22(2)4y x =−−+总结：y=a(x-h)2+k 是由y=ax 2如何平移得到的？ 顶点式y=a(x-h)2+k 的三种特殊形式()()()22220,000,,000h k y ax h k k h y y a x h y a x h k k a ax =≠→===≠→=−=−+≠⎧⎪+→=⎨=⎪⎪⎪⎩四．练习1.把抛物线y=-3x 2先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，那么所得抛物线的解析式为23(1)2y x =−−+2.抛物线y=-3x 2+2的图像向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到抛物线的解析式为()2323y x =−−+3.抛物线y=-3(x-1)2+2的图像如何得到y=-3x 24.已知一个二次函数的顶点为A(-1,3),且它是由二次函数y=5x 2平移得到，请直接写出该二次函数的解析式 五．应用举例例：要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1米处达到最高，高度为3米，水柱落地处距离池中心3米，水管应多长？解析：将实际问题转化成数学问题，让学生先读题，根据思路做出动画演示，建模。
人教版九年级上-二次函数y=a(x-h)2k的图象和性质(教案)
- h对函数图象平移的影响；
- k对函数图象与y轴交点的影响；
3.二次函数的顶点、对称轴、最大（小）值及其在实际问题中的应用；
4.通过实例分析，总结二次函数y=a(x-h)^2+k的性质及其应用。
二、核心素养目标
本节课的核心素养目标主要包括以下方面：
1.培养学生的逻辑推理能力：通过探究二次函数图象与性质，使学生能够运用逻辑推理，分析a、h、k对函数图象的影响，提高其数学推理能力；
-举例：当a>0时，函数图象开口向上；当a<0时，函数图象开口向下；
- a的绝对值越大，开口越窄；a的绝对值越小，开口越宽。
（2）二次函数顶点的求解和对称轴的判断；
-举例：给定二次函数y=2(x-3)^2+4，顶点坐标为(3, 4)，对称轴为x=3。
（3）在实际问题中，如何正确建立二次函数模型，并运用函数性质求解；
2.培养学生的数学建模素养：让学生在实际情境中，运用二次函数模型解决问题，培养其数学建模能力；
3.培养学生的几何直观素养：通过分析二次函数图象，培养学生的几何直观，使其能够运用几何图形理解和解决问题；
4.培养学生的数据分析素养：引导学生对二次函数的性质进行归纳和总结，培养其数据分析能力，提高对数学规律的探究和发现。
1.加强学生对基础知识的掌握，通过举例和图示等方式，帮助他们更好地理解二次函数的图象和性质；
2.培养学生分析问题和解决问题的能力，让他们在解决实际问题时，能够灵活运用所学知识；
3.提高学生的表达和逻辑思维能力，鼓励他们在讨论和分享成果时，更加清晰、有条理地陈述自己的观点。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调a、h、k对二次函数图象的影响，以及顶点、对称轴、最大（小）值的概念。对于难点部分，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
人教版九年级数学教案：22.1.3二次函数y=a(x-h) 2+k的图象和性质
二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象和性质教材内容分析： 二次函数是最基本的一类初等函数，也是初中数学的重要的内容之一。
本章内容，既是对之前所学函数知识的一个补充，对函数知识系统的一个完善，也是 以后学习高等函数知识的一个基础。
因此，本章的内容在学生的知识系统中起着 一个承上启下的作用，是函数知识螺旋发展的一个重要环节。
二次函数是描述变量之间关系的重要的数学模型，它既是其他学科研究时所 用的重要方法之一，也是某些单变量最优化问题的数学模型。
二次函数的图像 ----抛物线，既是人们最为熟悉的曲线之一，同时抛物线形状在建筑上也有着广 泛的应用。
这为学生进一步学习函数、体会函数思想奠定基础和积累经验知识与技能： 会用描点法画出二次函数 y＝a(x－h) 2＋k 的图象； 过程与方法： 结合图象确定抛物线 y＝a(x－h) 2＋k 的开口方向、对称轴与顶点坐标及 性质； 情感态度与价值观： 通过比较抛物线 y＝a (x－h) 2＋k 与 y＝ax2 的关系，培养学生的观察、分 析、总结的能力。
学情分析: 学生在学习了前两课时的基础上，对于顶点式已经有了一定的认识，可以 根据类比思想比较容易得出完整顶点式的图象性质，所以这一部分主要是学生 独立探究，个别指导，然后归纳总结。
之后把侧重点放在对实际问题的探究上， 重点研究实际问题的建模过程，鼓励一题多解，拓展学生思维。
重点难点 教学重点：画出形如 y＝a (x－h)2＋k 的二次函数的图象，能指出开口方 向，对称轴，顶点。
教学难点：理解函数 y＝a (x－h)2＋k 与 y＝ax2 及其图象的相互关系。
教学过程 一、复习导入新课 师：同学们，在学习新课之前，我们先来做这样一道题。
观察 y＝－x2 、 y＝－x2－1、y＝－(x＋1)2 这三条抛物线中，第一条抛物线可以经过怎样的平移得到第二条和第三条 抛物线。
师： 同学们可不可以在这个知识点的基础上进一步猜想一下第一条抛物 线能否经过怎样的平移得到抛物线 y＝－(x＋1)2－1 生: 向左平移一个单位,再向下平移一个单位。
人教版九年级上册数学：《二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质》教学学案
第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象．2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数图象的性质，并会应用．3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．一、情境导入对于二次函数y＝(x－1)2＋2的图象，你能说出它的顶点坐标、对称轴和开口方向吗？你能再说出一个和这个函数图象的顶点坐标、对称轴和开口方向一致的二次函数吗？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象求二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标、对称轴及其最值．解析：把二次函数y＝x2－2x－1化为y＝a(x－h)2＋k(a≠0)的形式，就会很快求出二次函数y＝x2－2x－1的顶点坐标及对称轴．解：y＝x2－2x－1＝x2－2x＋1－2＝(x－1)2－2，∴顶点坐标为(1，－2)，对称轴是直线x＝1.当x＝1时，y最小值＝－2.方法总结：把二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)化成y＝a(x－h)2＋k(a≠0)形式常用的方法是配方法和公式法．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)图象的一部分，x ＝－1是对称轴，有下列判断：①b －2a ＝0；②4a －2b ＋c <0；③a －b ＋c ＝－9a ；④若(－3，y 1)，(32，y 2)是抛物线上两点，则y 1>y 2.其中正确的是( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．②③④解析：∵－b2a ＝－1，∴b ＝2a ，即b －2a ＝0，∴①正确；∵当x ＝－2时点在x 轴的上方，即4a －2b ＋c >0，②不正确；∵4a ＋2b ＋c ＝0，∴c ＝－4a －2b ，∵b ＝2a ，∴a －b ＋c ＝a －b －4a －2b ＝－3a －3b ＝－9a ，∴③正确；∵抛物线是轴对称图形，点(－3，y 1)到对称轴x ＝－1的距离小于点(32，y 2)到对称轴的距离，即y 1>y 2，∴④正确．综上所述，选B.方法总结：抛物线在直角坐标系中的位置，由a 、b 、c 的符号确定：抛物线开口方向决定了a 的符号，当开口向上时，a ＞0，当开口向下时，a ＜0；抛物线的对称轴是x ＝－b2a ；当x ＝2时，二次函数的函数值为y ＝4a ＋2b ＋c ；函数的图象在x 轴上方时，y >0，函数的图象在x 轴下方时，y <0.【类型三】利用平移确定y ＝a (x －h )2＋k 的解析式将抛物线y ＝13x 2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A ．y ＝13(x －2)2－1B ．y ＝13(x －2)2＋1C ．y ＝13(x ＋2)2＋1D ．y ＝13(x ＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为：y ＝13x 2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y ＝13x 2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y ＝13(x －2)2－1，故选A.探究点二：二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的应用【类型一】y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限，以A为顶点的抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，对称轴为直线x＝－2，点C在抛物线上，且位于点A、B之间(C不与A、B重合)．若△ABC的周长为a，则四边形AOBC的周长为________．(用含a的式子表示)解析：如图，∵对称轴为直线x＝－2，抛物线经过原点，与x轴负半轴交于点B，∴OB ＝4，∵由抛物线的对称性知AB＝AO，∴四边形AOBC的周长为AO＋AC＋BC＋OB＝△ABC的周长＋OB＝a＋4.故答案是：a＋4.方法总结：二次函数的图象关于对称轴对称，本题利用抛物线的这一性质，将四边形的周长转化到已知的线段上去，在这里注意转化思想的应用．【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的实际应用心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(分钟)之间满足函数y＝－110(x－13)2＋59.9(0≤x≤30)，y值越大，表示接受能力越强．(1)x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)第10分钟时，学生的接受能力是多少？(3)第几分钟时，学生的接受能力最强？解：(1)0≤x≤13时，学生的接受能力逐步增强；13≤x≤30时，学生的接受能力逐步降低．(2)当x＝10时，y＝－110(10－13)2＋59.9＝59.故第10分钟时，学生的接受能力是59.(3)当x＝13时，y值最大，是59.9，故第13分钟时，学生的接受能力最强．三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，在操作中探究二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质，体会数学建模的数形结合思想方法.22.1.3 二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质第3课时二次函数y=a（x-h）2+k的图象和性质教学目标：1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。