多元函数的全微分
多元函数的全微分与偏导数
多元函数的全微分与偏导数多元函数是数学分析中非常重要的一个概念，它描述了多个自变量对应的函数值的变化规律。
全微分和偏导数则是研究多元函数性质的重要工具。
在本文中，我们将探讨多元函数的全微分与偏导数的定义、性质和应用。
一、全微分的概念与性质1.1 全微分的定义设函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 在点$(x_{1_0},x_{2_0},\cdots,x_{n_0})$ 具有一阶连续偏导数，则在该点的全微分为：$$\mathrm{d} f=f_{x_1}\mathrm{d} x_1+f_{x_2}\mathrm{d}x_2+\cdots+f_{x_n}\mathrm{d} x_n$$其中 $f_{x_i}$ 表示 $f$ 对 $x_i$ 的偏导数，$\mathrm{d}x_i$ 表示 $x_i$ 的微小增量。
1.2 全微分的性质全微分具有以下性质：（1）全微分的值与路径无关。
即，从点 $A$ 到点 $B$ 的全微分值相等。
（2）全微分对各变量的求导顺序不影响结果。
（3）全微分的二阶导数与求导顺序无关。
二、偏导数的定义与求解方法2.1 偏导数的定义函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 对自变量 $x_i$ 的偏导数定义为：$$\frac{\partial f}{\partial x_i}=\lim_{\Delta x_i\rightarrow0}\frac{f(x_1,x_2,\cdots,x_{i-1},x_i+\Delta x_i,x_{i+1},\cdots,x_n)-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)}{\Delta x_i}$$偏导数表示 $f$ 在某一自变量上的变化率。
2.2 偏导数的求解方法对于多元函数 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$，求偏导数的方法如下：（1）保持其他自变量不变，对于某个自变量求导数。
（2）对于每个自变量都求一遍偏导数。
全微分的计算公式
全微分的计算公式全微分是微积分中一个重要的概念，它用于描述函数变量之间的微小变化关系。
全微分的计算可以使用泰勒展开、导数定义和偏导数等方法。
本文将介绍全微分的计算公式和应用。
一、一元函数的全微分设函数y = f(x)在点(x0, y0)处可微分。
此时，函数f(x)在x0附近可以用其局部线性近似代替。
根据导数的定义，可得到函数f(x)在点x0处的导数f'(x0)。
函数f(x0)的全微分df表示函数f(x)在x0附近的微小变化量，可以通过以下公式计算：df = f'(x0)dx其中，f'(x0)表示函数f(x)在x0处的导数，dx表示自变量x的微小变化量。
二、二元函数的全微分对于二元函数z = f(x, y)，如果在点(x0, y0)处可微分，那么z在(x0, y0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy其中，∂f/∂x表示函数f(x, y)对x的偏导数，∂f/∂y表示函数f(x, y)对y的偏导数，dx表示自变量x的微小变化量，dy表示自变量y的微小变化量。
需要注意的是，在计算二元函数的全微分时，要先对函数进行偏导数运算，然后与自变量的微小变化量相乘，再将结果相加。
三、多元函数的全微分对于多元函数z = f(x1, x2, ..., xn)，如果在点(x1^0,x2^0, ..., xn^0)处可微分，那么z在(x1^0, x2^0, ..., xn^0)处的全微分dz可以表示为：dz = ∂f/∂x1*dx1 + ∂f/∂x2*dx2 + ... + ∂f/∂xn*dxn其中，∂f/∂x1表示函数对变量x1的偏导数，∂f/∂x2表示函数对变量x2的偏导数，dx1表示自变量x1的微小变化量，dx2表示自变量x2的微小变化量，以此类推。
四、全微分的应用例如，在概率论与统计学中，我们常常需要计算函数的期望和方差。
对于连续型随机变量，若已知其概率密度函数f(x)和函数g(x)，可以通过全微分的公式计算函数g(x)的期望和方差。
多元函数全微分
∆z = f ( x0 + ∆x , y0 + ∆y ) − f ( x 0 , y0 )
(∆x ) + (∆y ) 上式仍成立， 当∆y = 0时，上式仍成立， 此时 ρ =| ∆x |, f ( x0 + ∆x , y0 ) − f ( x0 , y0 ) = A⋅ ∆x + o(| ∆x |),
4 例 试 函 证 数
1 , ( x, y) ≠ (0,0) xy sin 2 2 x +y f ( x, y) = 0, ( x, y) = (0,0)
在 (0,0)(1)连 ; (2)偏 数 在 (3)偏 数 点 连 续 偏 导 存 ; 偏 导 在 点(0,0)不 续 连 ; (4)f 在 (0,0)可 . 点 微
∂z = xe xy , ∂y
∂z ∂z 2 2 =e , = 2e , ∂x ( 2 , 1 ) ∂y ( 2 , 1 )
所求全微分 dz = e 2dx + 2e 2dy .
π 例 2 求 数z = y cos( x − 2 y)， x = ，y = π， 函 当 4
dx = ，dy = π时的 微分. 全 4
∆x → 0 ∆y → 0
∴ f x′ ( x0 + θ 1 ∆x , y0 + ∆y ) = f x′ ( x0 , y0 ) + ε 1
（无穷小） 且当 ∆x → 0, ∆ y → 0 时，ε 1 → 0 . 无穷小） 同理 f ( x 0 , y 0 + ∆ y ) − f ( x 0 , y 0 ) = f y′ ( x 0 , y 0 )∆ y + ε 2 ∆ y ,
§10.3 多元函数微分法-2全微分 2016
二．全微分
1．增量 ⑴偏增量：对于z=f(x,y)若两个自变量中只有一 个变化时，函数z的增量称为偏增量。
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
如：矩形板在长为x0，宽为y0时，若仅当长增加
x(或宽增加y)，则面积的增量是偏增量。
0) 时, 当点 P ( x , y ) 沿直线 y x 趋于
( x , x ) ( 0 , 0 )
lim
f x ( x, y)
3
1 x 1 lim x sin cos , 3 x 0 2| x| 2 2| x| 2 | x |
不存在.
小结 曲面的切平面与法线
*例
试证函数
1 , ( x , y ) (0,0) xy sin 2 2 x y f ( x, y) 在 0, ( x , y ) (0,0)
点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0) 不连续，而 f 在点(0,0)可微.
思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分
定理 若z=f(x,y)在点 ( x0 , y0 ) 可微分，则 z=f(x,y)在 ( x0 , y0 ) 的偏导数
z z , x ( x0 , y0 ) y
( x0 , y0 )
必定存在，且
z z dz dx dy x y
10
二元函数可微的几何意义
设二元函数z=f(x,y)
7
⑵全增量：对于z=f(x,y)，若两个自变量都取
得增量时，函数z的增量称为全增量。
如：矩形金属板受热喷膨胀时，长和宽都要发生改变， 这时面积的改变量（增量）就是全增量。
多元函数的全微分和偏导数.
注 (1) z f ( x, y) 在点( x0 , y0 )可微反映的是函数在点
( x0 , y0 ) 具有这样的性质:
“在点( x0 , y0 ) 全增量可以用自变量增量的线性函数近似” (2) z f ( x, y)在点( x0 , y0 )微分dz是 z f ( x, y)在点
[1 x 6 1 x 4] 11 x 8x 8 lim lim x 0 x 0 x x
2 2
1 3(2 y) 2 y 2 11 z lim 7 y (1, 2) x0 y
1 y 2
lim 又 y 0 sin
不存在, 故
不存在 注 分段函数求偏导数时,要分在分段点和非分段点考虑,
分段点通常采用定义去求.
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(三)可导与连续 函数在某点各偏导数都存在,但在该点不一定连续. xy , x2 y2 0 2 显然 z f ( x, y ) x y 2 例 0 , x2 y2 0
为函数 z f ( x, y )在 ( x0 , y0 ) 处对 y 的偏增量。
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定义 8.3.2 设函数 z f ( x, y ) 在点( x0 , y0 )的某邻域内极限
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在 ( x0 , y0 )对 x 的偏导数， 记为 同样可定义对 y 的偏导数:
的二阶偏导数 .按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导数:
z ( z ) f ( x, y ); xx x x 2 x
2
2 z z ( ) f x y ( x, y ) x y y x
多元函数微分学驻点怎么求
多元函数微分学驻点怎么求多元函数微分学是微积分的分支，研究多元函数的导数、偏导数、全微分、方向导数、梯度和泰勒公式等内容。
其中，求解多元函数的驻点是多元函数微分学中的重要问题之一。
本文将详细介绍多元函数微分学驻点如何求解。
一、什么是多元函数的驻点驻点是指函数的导数为0的点，对于单变量函数，它的驻点即为其极值点，对于多元函数，其驻点可以是极值点，也可以是恰当的拐点。
1. 求解全微分多元函数f(x, y)的全微分为：df(x,y)=∂f/∂x*dx + ∂f/∂y*dy若dx/dy存在，则x与y的关系即为函数的极值情况。
若dx/dy不存在，则需要进一步求出二阶偏导数矩阵，利用Hessian矩阵判定此点的类型。
若Hessian矩阵的所有特征值都大于0，则该点为函数的极小值点。
2. 利用梯度求解当梯度为0时，函数在此点处可能存在极值或拐点。
此时需计算二阶偏导数判断其类型。
3. 利用偏导数矩阵求解H(f) = [∂^2f/∂x^2, ∂^2f/∂x∂y; ∂^2f/∂y∂x, ∂^2f/∂y^2]三、案例分析设函数f(x, y) = 3x^3 - 9xy^2 + 4y^3 - 8x + 3y，求解函数f(x, y)的驻点。
解：求解全微分，有：令df(x,y) = 0，解得：观察分式，需要分别求解分子和分母所对应的导数。
对于分子：d(9x^2 - 9y^2 - 8)/dy = -18y对于分母：以上两个式子等价，因此dx/dy不存在，需要进一步计算Hessian矩阵来判断此点的类型。
求解Hessian矩阵，有：其特征值为：λ1 = 54x, λ2 = 24y - 18y = 6y因此：1. 当x > 0, y > 0时，λ1 > 0, λ2 > 0，此点为函数f(x, y)的极小值点；四、总结通过本文的介绍，我们可以发现，求解多元函数的驻点并不是一件容易的事情。
一般需要计算全微分、梯度、偏导数矩阵等多个步骤，最终通过计算特征值来获得分析的结果。
多元函数的全微分公式
多元函数的全微分公式
微分
多元函数的全微分公式
一、定义
全微分是对多元函数的求导，并且把多元函数的求导公式写成一个全微分的公式形式。
二、公式
多元函数的全微分为：
dF=Fx1dx1+Fx2dx2+…+Fxndxn
其中，F为多元函数，x1,x2,…,xn为多元函数的变量，
Fx1,Fx2,…,Fxn为多元函数求导的部分，dx1,dx2,…,dxn是多元函数变量的微小变化量。
三、应用
多元函数的全微分公式可以用来计算某些复杂的多元函数的求
导结果，简化多元函数的求导过程，和解决关于多元函数的求导问题。
它还可以用来帮助计算函数的极值问题。
- 1 -。
多元函数的偏导数与全微分
上相等。
如果函数z f ( x, y)在点( x, y)的某邻域内 有定义，并设 P( x x, y y)为这邻域内的
任意一点，则称这两点的函数值之差
f ( x x, y y) f ( x, y) 为函数在点 P 对应于自变量增量x, y的全增 量，记为z， 即 z= f ( x x, y y) f ( x, y)
同理， f (0,0) 0. y
可以证明，对本例中的函数f (x,y),
lim f(x,y)
(x,y)(0,0)
不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏函数
都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元函数中，
高阶偏导 数
xxzx2z2fxx(x,y), xyzy2zxfyx(x,y) yxzx2zyfxy(x,y), yyzy2z2fyy(x,y)
偏导数的几何意义
例1
求 z = x 2 + 3 xy + y2在点 (1,2)处的偏导数．
解
z x
2x3y;
z y
3x2y.
z x
x 1 y2
2 1 3 2 8 ,
z y
x1 y2
3 1 2 2 7 .
例2
设 z = arcsin
x
¶z ¶z
，求 ，
x2 + y2
¶x ¶y
y0
y
记为 z y
， f x x0 y
，zy
x x0
或 x x0
y y0
f y ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
xzxx0，fxxx0，zxxyxy00或fx(x0,y0). yy0 yy0
如果函数z f ( x, y)在区域 D内任一点
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若函数在区域 D 内各点都可微, 则称此函数在D 内可微.
定理1(必要条件) 若函数 z = f (x, y) 在点(x, y) 可微 ,
则该函数在该点的偏导数
dz
dz
必存在,且有
z y z
y
z
x z
x
dx
y
dy
关于x的偏微分
x
关于y的偏微分
注意: 定理1 的逆定理不成立 . 即:
函数可导
第四节 多元复合函数的求导法则
一、多元复合函数求导的链式法则 二、多元复合函数的全微分
对于多元显式复合函数的偏导数直接利用一元复合函 数的求导法则即可。
但是对于没有具体表达式的多元复合函数（抽象函数） 及一些不能显化的多元隐函数来说，一元复合函数的这个 求导法则就无能为力了，因此需要另行给出多元复合函数 的求导法则。
关于多元复合函数的复合情形，分三种情形来讨论. 1、一元函数与多元函数复合的情形
z f ( u , v ), z f (u ), u ( t ), v ( t )
u ( x, y ) z f ( ( t ), ( t ))
z
f ( ( x , y ))
z f x ( 0, 0 ) x f y ( 0, 0 ) y o( x y )
2 2
即 即 但
z o( x y )
2 2
x y ( x) ( y )
2 2
0 o( )
因此,函数在点 (0,0) 不可微 .
上面两个定理给出了可微与偏导数的关系: (1) 函数可微 (2) 函数可微
2、多元函数与多元函数复合的情形
z f ( u , v ), u ( x , y ), v ( x , y ) z f ( ( x , y ), ( x , y ))
3、其他情形
z f ( u , v ), u ( x , y ), v ( y )z y f Nhomakorabea( u )
u y
f (u )
x
x
z
u
u y
y
求 例3. 设 z f ( x 2 y 2 ) ，其中f 有二阶导数，
z z , ; x y z
2
x
2
,
z
2
yx
;
偏导数存在 偏导数连续
函数连续
设函数 z = f (x, y) 在点 (x, y) 可微
z f ( x x, y y ) f ( x, y ) Ax By o( x y )
2 2
f ( x x, y y ) f ( x, y ) Ax By o( x y )
z u
z f (u, v)
du
u
dt
( 全导数公式 ) 该结论可推广到中间变量 多于两个的情况.
dz dt z du u dt z dv v dt
z
z v
t
v
dv dt
“分道相加，连线相乘
” z dw
w dt
z
u v
t
w
例1. 设
解:
z e sin v
2
求全导数
dz dx
.
（2） z f (u ), u ( x , y )
定理. 若函数 u ( x , y ) 处偏导存在, z f (u ),
u
处有连续导数, 则复合函数 z f ( ( x , y )) 在点
( x , y ) 处的两个偏导数存在，且有
z x f ( u ) u x
2 2 ( x ,y )( 0 , 0 )
lim
[ f ( x x, y y ) f ( x, y )] 0
即函数在点(x,y)连续
例1. 计算函数 解:
z x z ye
xy
在点 (2,1) 处的全微分.
,
2
z y z
xe
xy
x ( 2,1)
e ,
• 求一点处偏导数的方法 3. 求高阶偏导数的方法
• 混合偏导数连续
第三节 全微分
一元函数 y = f (x) 的微分 y Ax o( x)
d y f ( x)x
本节内容: 一、全微分的定义
*二、全微分在近似计算中的应用
一、全微分的定义
定义: 设函数 z = f ( x, y )在点( x , y )的某邻域内有定 义，如果函数在点( x , y ) 的全增量
z
f ( ( x , y ), ( y ))
1、一元函数与多元函数复合的情形
（1）z f ( u , v ), u ( t ), v ( t ) 定理. 若函数 处有连续偏导, 则复合函数 在点 t 可导, 且有链式法则
dz z d u z dv d t u d t v d t
1. 偏导数的概念及有关结论 • 定义; 记号;
x0 x
x0
x
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y ) f ( x0 , y0 )
y 0
y
• 函数在一点偏导数存在 2. 偏导数的计算方法
函数在此点连续 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法 与求导顺序无关
可表示成 z A x B y o( ) ,
其中 A , B 不依赖于 x , y , 仅与 x , y 有关， 则称函数
f ( x, y ) 在点( x, y) 可微，A Δ x B Δ y 称为函数 f ( x, y ) 在点 (x, y) 的全微分, 记作
d z d f Ax By
偏导数存在函数 不一定可微 !
定理2 (充分条件) 若函数
的偏导数
z
在点 ( x, y ) 连续, 则函数在该点可微分.
x y
,
z
xy
例: 函数
f ( x, y )
x y
2
2
,
x y 0
2 2
0,
x y 0
2 2
易知 f x (0, 0) f y (0, 0) 0 , 若函数在(0,0)可微，则
y ( 2,1)
2e
2
例2. 计算函数 解: d u
( 1 cos
2 y 2
的全微分.
ze
yz
)d y
内容小结 1. 微分定义:
z
o ()
定义
(x) (y )
2 2
d z f x ( x, y )d x f y ( x, y ) d y
2. 重要关系: 函数连续 函数可微 偏导数连续
u
u 2t , v t
2
求全导数 d t .
dz
dz
z du dt u d t
e sin v 2 e cosv 2t
u u
2e (sin v t cos v) 2e (sin t t cos t )
u 2t 2 2
z 例2. 已知f(u,v)有一阶连续偏导， f ( x ,2 x)