倍 角 公 式
多倍角公式大全
多倍角公式大全一、二倍角公式。
1. 正弦二倍角公式。
- sin2α = 2sinαcosα- 推导：根据两角和的正弦公式sin(A + B)=sin Acos B+cos Asin B，令A =B=α，则sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα = 2sinαcosα。
2. 余弦二倍角公式。
- cos2α=cos^2α-sin^2α- 另外两种形式：- cos2α = 2cos^2α - 1（由cos^2α+sin^2α = 1，即sin^2α=1 - cos^2α代入上式得到）- cos2α=1 - 2sin^2α（由cos^2α+sin^2α = 1，即cos^2α=1-sin^2α代入cos2α=cos^2α-sin^2α得到）- 推导：根据两角和的余弦公式cos(A + B)=cos Acos B-sin Asin B，令A =B=α，则cos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=cos^2α-sin^2α。
3. 正切二倍角公式。
- tan2α=(2tanα)/(1-tan^2)α- 推导：根据正切公式tan(A + B)=(tan A+tan B)/(1-tan Atan B)，令A = B=α，则tan2α=(tanα+tanα)/(1 - tanαtanα)=(2tanα)/(1-tan^2)α。
二、三倍角公式。
1. 正弦三倍角公式。
- sin3α=3sinα - 4sin^3α- 推导：- sin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinα- 由二倍角公式sin2α = 2sinαcosα，cos2α=1 - 2sin^2α代入上式得： - sin3α=2sinαcosαcosα+(1 - 2sin^2α)sinα- =2sinα(1-sin^2α)+(1 - 2sin^2α)sinα- =2sinα - 2sin^3α+sinα-2sin^3α=3sinα - 4sin^3α。
万能倍角公式
万能倍角公式万能倍角公式是三角学中一个非常重要的公式，它可以用来计算任意角的正弦、余弦、正切、余切等三角函数值。
万能倍角公式的具体形式如下：sin(nx) = sin x cos^{n-1} x + cos x sin^{n-1} xcos(nx) = cos x cos^{n-1} x - sin x sin^{n-1} xtan(nx) = frac{sin(nx)}{cos(nx)}cot(nx) = frac{cos(nx)}{sin(nx)}其中，(n) 是一个整数，(x) 是一个任意角。
公式推导万能倍角公式可以通过以下步骤推导出来：1. 首先，令 (n = 1)，则万能倍角公式变为：sin(x) = sin x cos^0 x + cos x sin^0 xcos(x) = cos x cos^0 x - sin x sin^0 x这显然是对的。
2. 其次，假设万能倍角公式对于 (n = k) 是成立的，即：sin(kx) = sin x cos^{k-1} x + cos x sin^{k-1} xcos(kx) = cos x cos^{k-1} x - sin x sin^{k-1} x3. 现在，我们来证明万能倍角公式对于 (n = k + 1) 也是成立的。
sin((k+1)x) = sin(kx + x)= sin(kx) cos x + cos(kx) sin x= (sin x cos^{k-1} x + cos x sin^{k-1} x) cos x + (cos x cos^{k-1} x - sin x sin^{k-1} x) sin x= sin x cos^k x + cos^2 x sin^{k-1} x + cos^2 x cos^{k-1} x - sin^2 x sin^{k-1} x= sin x cos^k x + cos^k x + cos^k x - sin^k x= sin x cos^k x + 2cos^k x - sin^k x= sin x (cos^k x + sin^k x) + cos^k x - sin^k x= sin x cos^k x + cos x sin^k x因此，万能倍角公式对于 (n = k + 1) 也是成立的。
倍角公式和半角公式
半角公式利用某个角（如A）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数，来求某个角的半角（如A/2）的正弦，余弦，正切，及其他三角函数的公式。
sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα=+或-[1-cosα）/（1+cosα）]开二次方倍角公式是三角函数中非常实用的一类公式.现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)可别轻视这些字符,它们在数学学习中会起到重要作用.号外:tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]·倍角公式：sin(2α)=2sinα·cosαcos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]其他一些公式·三倍角公式：sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)·半角公式：sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα·万能公式：sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]·积化和差公式：sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]·和差化积公式：sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]·其他：sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式：sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式：sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式：sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式：sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA^6)八倍角公式：sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA^6+tanA^8)九倍角公式：sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式：sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*sinA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-210*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)【本讲教育信息】一. 教学内容：3.1 和角公式3.2 倍角公式和半角公式二. 教学目的1. 了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的推导和证明过程，能够利用两角和与差的余弦、正弦、正切公式进行简单的三角函数式的求值、化简和证明，了解两角和与差的余弦、正弦、正切公式的内在联系；2. 掌握倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的推导过程，能够利用倍角、半角的正弦、余弦、正切公式进行求值、化简和证明，了解倍角、半角的正弦、余弦、正切公式的内在联系。
倍 角 公 式
∴x－4π∈π4，π2， 人
教
∴sinx－4π＝ 1－cos2x－π4＝7102.
B 版 数 学
sinx＝sinx－4π＋4π＝sinx－4πcosπ4＋cosx－π4sinπ4
＝7102× 22＋102× 22＝45.
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17
第三章 三角恒等变换
解法二：由题设得 22cosx＋ 22sinx＝102，
∴cosx＋sinx＝15，
人
又 sin2x＋cos2x＝1，从而 25sin2x－5sinx－12＝0，
教 B
版
数
解得 sinx＝45或 sinx＝－35.
学
又∵x∈2π，34π，∴sinx＝45.
(2)∵x∈π2，34π，∴cosx＝－ 1－sin2x＝－ 1－452＝－35.
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• |AB|＝Rsinθ，
人
教
• |DA|＝2|OA|＝2Rcosθ.
B 版 数
• 这个矩形的面积为S矩形ABCD＝|AB|·|DA|
学
• ＝Rsinθ·2Rcosθ＝R2sin2θ.
• 当sin2θ＝1(θ为锐角)，即θ＝45°时，矩形 ABCD的面积取得最大值R2.
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28
第三章 三角恒等变换
版 数 学
＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθssiinnθv＋＋ccoossθθ＋＋scionsθθ－－csoinsθθ
＝ssiinnθθ＋＋ccoossθθ··22csoinsθθ＝tanθ＝右边．
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22
第三章 三角恒等变换
• [点评] 以上几种方法大致遵循以下规律：
首先都是由复杂端向简单端转化；其次是
三角函数的倍角公式
三角函数的倍角公式在初等数学中，三角函数是一类重要的数学函数，它们在几何、物理、工程等学科中有广泛的应用。
其中，三角函数的倍角公式是三角函数的重要性质之一。
本文将详细介绍三角函数的倍角公式及其应用，帮助读者更好地理解和运用这一概念。
1. 正弦函数的倍角公式正弦函数是三角函数中的一种，用sin表示。
其倍角公式表达如下：sin(2θ) = 2sinθcosθ这意味着，正弦函数的两倍角可以通过原来角度的正弦函数、余弦函数和乘法常数2来表示。
这一公式在解决一些三角函数问题时非常有用。
2. 余弦函数的倍角公式余弦函数是三角函数中的另一种重要函数，用cos表示。
其倍角公式可以表达为：cos(2θ) = cos²θ - sin²θ这个公式可以通过正弦函数和余弦函数的平方差来表示。
同样地，余弦函数的倍角公式也在各个领域的问题中广泛应用。
3. 正切函数的倍角公式正切函数是三角函数中的另一种常用函数，用tan表示。
其倍角公式可表述如下：tan(2θ) = (2tanθ)/(1 - tan²θ)这一公式通过将原角度的正切函数和公式中的分数项展开而得到。
正切函数的倍角公式在计算机图形学以及其他领域的计算中被广泛使用。
除了上述的三个主要三角函数的倍角公式外，还存在其他三角函数的倍角公式，如余切函数、正割函数、余割函数等。
这些公式的推导和应用也可以通过类似的方式进行。
通过掌握三角函数的倍角公式，我们可以在各类几何问题、物理问题、工程问题中更加灵活地运用三角函数，简化计算过程，提高解题效率。
因此，这些倍角公式在数学学习和实际应用中具有重要意义。
总结：本文详细介绍了三角函数的倍角公式，并强调了它们在几何、物理、工程等学科中的应用价值。
正弦函数的倍角公式、余弦函数的倍角公式以及正切函数的倍角公式都有其独特的表达方式，并能在不同的问题中发挥作用。
掌握这些倍角公式可以提高解题效率，简化计算过程，对于深入理解三角函数及其应用具有重要意义。
倍角公式的变形
倍角公式的变形倍角公式，这可是三角函数里相当重要的一部分！咱先来说说倍角公式到底是啥。
倍角公式主要包括正弦、余弦和正切的倍角公式。
正弦的倍角公式是sin2α = 2sinαcosα ；余弦的倍角公式有两个，一个是cos2α = cos²α - sin²α ，另一个是cos2α = 2cos²α - 1 ，还可以是cos2α = 1 - 2sin²α ；正切的倍角公式就是tan2α = (2tanα) / (1 - tan²α) 。
那这些倍角公式能怎么变形呢？比如说，由cos2α = cos²α - sin²α ，因为sin²α + cos²α = 1 ，所以就可以变成cos2α = 2cos²α - 1 或者cos2α = 1 - 2sin²α 。
这种变形在解题的时候可有用啦！我记得之前有个学生，在做一道三角函数的题时，题目给出了cosα 的值，要求出cos2α 。
这孩子一开始愣是没反应过来可以用倍角公式变形来做，在那苦思冥想半天。
我在旁边看着，心里那个着急呀！我就提示他：“你想想倍角公式能怎么变形？”他这才恍然大悟，用cos2α = 2cos²α - 1 很快就算出了答案，那高兴劲儿，就像发现了新大陆似的。
再来说说倍角公式变形在化简式子中的应用。
有时候，给你的式子看起来很复杂，但是通过倍角公式的变形，就能把它化简得很简单。
比如说，给你一个式子：(1 - cos2α) / (1 + cos2α) ，这时候就可以把cos2α 用 1 - 2sin²α 或者2cos²α - 1 代进去，然后通过一些简单的运算，就能把式子化简。
还有啊，在证明一些三角恒等式的时候，倍角公式的变形也是大功臣。
比如说要证明一个等式左边是关于某个角的两倍的三角函数，右边是一堆乱七八糟的式子，这时候往往就要通过倍角公式的变形，把左边或者右边进行化简或者变形，最终证明等式成立。
倍角公式
倍角公式现列出公式如下:sin2α=2sinαcosαtan2α=2tanα/(1-tan^2(α))cos2α=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)三倍角公式sin3α=3sinα-4sin^3(α)cos3α=4cos^3(α)-3cosαtan3α=tan(α)*(-3+tan(α)^2)/(-1+3*tan(α)^2)半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)=(1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan^2(α/2)]cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1+tan^2(α/2)]tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]积化和差公式sinα·cosβ=(1/2)[sin(α+β)+sin(α-β)]cosα·sinβ=(1/2)[sin(α+β)-sin(α-β)]cosα·cosβ=(1/2)[cos(α+β)+cos(α-β)]sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α+β)-cos(α-β)]和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]sin[(α-β)/2]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/n]=0 以及sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+tanA+tanB-tan(A+B)=0四倍角公式sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^4)tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4)五倍角公式sin5A=16sinA^5-20sinA^3+5sinAcos5A=16cosA^5-20cosA^3+5cosAtan5A=tanA*(5-10*tanA^2+tanA^4)/(1-10*tanA^2+5*tanA^4)六倍角公式sin6A=2*(cosA*sinA*(2*sinA+1)*(2*sinA-1)*(-3+4*sinA^2))cos6A=((-1+2*cosA^2)*(16*cosA^4-16*cosA^2+1))tan6A=(-6*tanA+20*tanA^3-6*tanA^5)/(-1+15*tanA^2-15*tanA^4+tanA^6)七倍角公式sin7A=-(sinA*(56*sinA^2-112*sinA^4-7+64*sinA^6))cos7A=(cosA*(56*cosA^2-112*cosA^4+64*cosA^6-7))tan7A=tanA*(-7+35*tanA^2-21*tanA^4+tanA^6)/(-1+21*tanA^2-35*tanA^4+7*tanA ^6)八倍角公式sin8A=-8*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1)*(-8*sinA^2+8*sinA^4+1))cos8A=1+(160*cosA^4-256*cosA^6+128*cosA^8-32*cosA^2)tan8A=-8*tanA*(-1+7*tanA^2-7*tanA^4+tanA^6)/(1-28*tanA^2+70*tanA^4-28*tanA ^6+tanA^8)九倍角公式sin9A=(sinA*(-3+4*sinA^2)*(64*sinA^6-96*sinA^4+36*sinA^2-3))cos9A=(cosA*(-3+4*cosA^2)*(64*cosA^6-96*cosA^4+36*cosA^2-3))tan9A=tanA*(9-84*tanA^2+126*tanA^4-36*tanA^6+tanA^8)/(1-36*tanA^2+126*tanA ^4-84*tanA^6+9*tanA^8)十倍角公式sin10A=2*(cosA*sinA*(4*sinA^2+2*sinA-1)*(4*sinA^2-2*sinA-1)*(-20*sinA^2+5+16*s inA^4))cos10A=((-1+2*cosA^2)*(256*cosA^8-512*cosA^6+304*cosA^4-48*cosA^2+1))tan10A=-2*tanA*(5-60*tanA^2+126*tanA^4-60*tanA^6+5*tanA^8)/(-1+45*tanA^2-2 10*tanA^4+210*tanA^6-45*tanA^8+tanA^10)N倍角公式根据棣美弗定理，(cosθ+ i sinθ)^n = cos(nθ)+ i sin(nθ)为方便描述，令sinθ=s，cosθ=c考虑n为正整数的情形：cos(nθ)+ i sin(nθ)= (c+ i s)^n= C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...＋C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 + C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...=>比较两边的实部与虚部实部：cos(nθ)=C(n,0)*c^n + C(n,2)*c^(n-2)*(i s)^2 + C(n,4)*c^(n-4)*(i s)^4 + ...i*(虚部)：i*sin(nθ)=C(n,1)*c^(n-1)*(i s)^1 + C(n,3)*c^(n-3)*(i s)^3 +C(n,5)*c^(n-5)*(i s)^5 + ...对所有的自然数n，1. cos(nθ)：公式中出现的s都是偶次方，而s^2=1-c^2(平方关系)，因此全部都可以改成以c(也就是cosθ)表示。
倍角公式
倍角公式Sin2A=2SinA?CosACos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2）三倍角公式sin3α=4sinα·sin（π/3+α）sin（π/3-α）cos3α=4cosα·cos（π/3+α）cos（π/3-α）tan3a = tan a · tan（π/3+a）· tan（π/3-a）三倍角公式推导sin3a=sin（2a+a）=sin2acosa+cos2asina辅助角公式Asinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）sin（α+t），其中sint=B/（A^2+B^2）^（1/2）cost=A/（A^2+B^2）^（1/2）tant=B/AAsinα+Bcosα=（A^2+B^2）^（1/2）cos（α-t）tant=A/B 降幂公式sin^2（α）=（1-cos（2α））/2=versin（2α）/2cos^2（α）=（1+cos（2α））/2=covers（2α）/2tan^2（α）=（1-cos（2α））/（1+cos（2α））半角公式tan（A/2）=（1-cosA）/sinA=sinA/（1+cosA）cot（A/2）=sinA/（1-cosA）=（1+cosA）/sinA.sin^2（a/2）=（1-cos（a））/2cos^2（a/2）=（1+cos（a））/2tan（a/2）=（1-cos（a））/sin（a）=sin（a）/（1+cos（a））三角和sin（α+β+γ）=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·c osβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγcos（α+β+γ）=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·c osβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγtan（α+β+γ）=（tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ）/（1 -tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα）两角和差cos（α+β）=cosα·cosβ-sinα·sinβcos（α-β）=cosα·cosβ+sinα·sinβsin（α±β）=sinα·cosβ±cosα·sinβtan（α+β）=（tanα+tanβ）/（1-tanα·tanβ）tan（α-β）=（tanα-tanβ）/（1+tanα·tanβ）和差化积sinθ+sinφ = 2 sin[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2]sinθ-sinφ = 2 cos[（θ+φ）/2] sin[（θ-φ）/2]cosθ+cosφ = 2 cos[（θ+φ）/2] cos[（θ-φ）/2]cosθ-cosφ = -2 sin[（θ+φ）/2] sin[（θ-φ）/2]tanA+tanB=sin（A+B）/cosAcosB=tan（A+B）（1-tanAt anB）tanA-tanB=sin（A-B）/cosAcosB=tan（A-B）（1+tanAta nB）积化和差sinαsinβ = [cos（α-β）-cos（α+β）] /2cosαcosβ = [cos（α+β）+cos（α-β）]/2sinαcosβ = [sin（α+β）+sin（α-β）]/2cosαsinβ = [sin（α+β）-sin（α-β）]/2诱导公式sin（-α）= -sinαcos（-α）= cosαtan （—a）=-tanαsin（π/2-α）= cosαcos（π/2-α）= sinαsin（π/2+α）= cosαcos（π/2+α）= -sinαsin（π-α）= sinαcos（π-α）= -cosαsin（π+α）= -sinαcos（π+α）= -cosαtanA= sinA/cosAtan（π/2＋α）＝－cotαtan（π/2－α）＝cotαtan（π－α）＝－tanαtan（π＋α）＝tanα诱导公式记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限万能公式sinα=2tan（α/2）/［1+tan＾（α/2）］cosα=［1-tan＾（α/2）］/1+tan＾（α/2）］tanα=2tan（α/2）/［1-tan＾（α/2）］其它公式（1）（sinα）^2+（cosα）^2=1（2）1+（tanα）^2=（secα）^2（3）1+（cotα）^2=（cscα）^2证明下面两式,只需将一式,左右同除（sinα）^2,第二个除（cosα）^2即可（4）对于任意非直角三角形,总有tanA+tanB+tanC=tan AtanBtanC（5）cotAcotB+cotAcotC+cotBcotC=1（6）cot（A/2）+cot（B/2）+cot（C/2）=cot（A/2）c ot（B/2）cot（C/2）（7）（cosA）^2+（cosB）^2+（cosC）^2=1-2cosAcos BcosC（8）（sinA）^2+（sinB）^2+（sinC）^2=2+2cosAcosB cosC（9）sinα+sin（α+2π/n）+sin（α+2π*2/n）+sin（α+2π* 3/n）+……+sin[α+2π*（n-1）/n]=0cosα+cos（α+2π/n）+cos（α+2π*2/n）+cos（α+2π*3/n）+……+cos[α+2π*（n-1）/n]=0sin^2（α）+sin^2（α-2π/3）+sin^2（α+2π/3）=3/ 2tanAtanBtan（A+B）+tanA+tanB-tan（A+B）=0。
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3 .
版 数 学
第三章 三角恒等变换
• [分析]
巧妙利用“1”的变形，或变形运
人 教 B
用公式C(2α)求解．
版 数 学
第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：左边＝ssiinn22θθ＋＋11－＋ccooss22θθ
＝22ssiinnθθccoossθθ＋＋22csoins22θθ＝csoinsθθccoossθθ＋＋ssiinnθθ
版
(2)当 x∈0，π2时，求 g(x)＝12f(x)＋sin2x 的最大值和最
数 学
小值．
第三章 三角恒等变换
[解析] f(x)＝t4acnosπ44＋x－x2·scions22π4x－－x1
＝41t＋anc24πo＋s2xx2·c－os22c4πo＋s2xx－ 1
第三章 三角恒等变换
解法三：左边＝11＋ ＋ssiinn22θθ－ ＋ccooss22θθ
＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋22ssiinnθθ··ccoossθθ－ ＋ccooss22θθ－ －ssiinn22θθ
人 教
B
＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθ22－ ＋ccoossθθ＋ ＋ssiinnθθccoossθθ－ －ssiinnθθ
人 教 B 版
数
又 0<α<2π，0<β<2π，故 0<α＋2β<32π，
学
从而由 tan(α＋2β)＝－1，得 α＋2β＝34π.
第三章 三角恒等变换
解法二：∵tanβ＝12，∴tan2β＝1－2tatannβ2β
＝21× －1214＝43.
人 教 B 版
数
∴tan(α＋2β)＝1t－antαa＋nαt·atann22ββ
版 数 学
＝ssiinnθθ＋ ＋ccoossθθssiinnθv＋＋ccoossθθ＋＋scionsθθ－－csoinsθθ
＝ssiinnθθ＋＋ccoossθθ··22csoinsθθ＝tanθ＝右边．
第三章 三角恒等变换
• [点评] 以上几种方法大致遵循以下规律：
首先都是由复杂端向简单端转化；其次是 人
即12(cos2α－sin2α)＝16，
人
教
所以 cos2α＝13.
B 版 数 学
由 2α∈(π，2π)得 sin2α＝－232，
所以
sin4α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
• [点评] 对于给值求值问题，即由给出的
某些角的三角函数值求另外一些角的三角
函数值，关键在于“变角”，使“目标角”
变换成“已知角”．若角所在的象限没有 人
[解析] (1)解法一：∵x∈π2，34π，
∴x－4π∈π4，π2，
人
教
∴sinx－4π＝ 1－cos2x－π4＝7102.
B 版 数 学
sinx＝sinx－4π＋4π＝sinx－4πcosπ4＋cosx－π4sinπ4
版 数 学
＝ 2sin2x＋4π. ∵x∈0，2π，∴4π≤2x＋4π≤54π， ∴g(x)max＝ 2，g(x)min＝－1.
第三章 三角恒等变换
设函数 f(x)＝a·b，其中向量 a＝(2cosx,1)，b＝(cosx， 3
人
sin2x)，x∈R.若 f(x)＝1－ 3且 x∈－3π，π3，求 x.
(2)∵x∈π2，34π，∴cosx＝－ 1－sin2x＝－ 1－452＝－35.
第三章 三角恒等变换
sin2x＝2sinxcosx＝－2245，cos2x＝2cos2x－1＝－275.
∴sin2x＋3π＝sin2xcosπ3＋cos2xsin3π
人 教
B
＝－24＋507
教
确定，则应分情况讨论．应注意公式的正
B 版
用、逆用、变形运用，掌握其结构特征，
数 学
还要掌握拆角、拼角等技巧．
第三章 三角恒等变换
已知 cosx－π4＝102，x∈2π，34π.
人
教
(1)求 sinx 的值；
B 版
数
(2)求 sin2x＋π3的值．
学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
＝sinπ4＋coxsc22oxs4π＋x＝12sicnoπ2s2＋2x2x
第三章 三角恒等变换
＝1cos22x ＝2cos2x. 2cos2x
∴(1)f－1172π＝2cos176π＝2cos56π＝－ 3.
人 教
B
(2)g(x)＝12f(x)＋sin2x＝cos2x＋sin2x
＝ 2cos2α－1
1＝－2sin2α .
人 教
B
版
数
学
• T2α：tan2α＝
.
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
重点：倍角公式的推导及应用．
难点：倍角公式及其等价变式的灵活应用．
1．在公式 S2α，C2α 中，α 是任意角，但公式 T2α 中，只
人
有当 α≠kπ＋2π及 α≠4π＋k2π(k∈Z)时才成立．
人
教
＝tanθ＝右边．
B 版
数
学
解法二：左边＝ssiinn22θθ＋ ＋ccooss22θθ＋ ＋ssiinn22θθ＋ ＋scions22θθ－－csoins22θθ
＝ssiinn22θθ＋＋22csoins22θθ
＝22csoinsθθssiinnθθ＋＋ccoossθθ＝tanθ＝右边．
第三章 三角恒等变换
人
• 3．2 倍角公式和半角公式
教 B 版
数
学
第三章 三角恒等变换
人
• 3.2.1 倍 角 公 式
教 B 版
数
学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
• 二倍角的正弦、余弦、正切公式：
• S2α：sin2α＝ 2sinαcosα .
• C2α：cos2α＝ cos2α－sin2α
数 学
缩角升幂、扩角降幂的作用．
第三章 三角恒等变换
①1＋cosα＝2cos2α2，1－cosα＝2sin2α2(升幂公式)．
②cos2α＝1＋c2os2α，sin2α＝1－c2os2α(降幂公式)．
人
教
③1＋cos2α＝2cos2α，1－cos2α＝2sin2α 经常用于消除
B 版
数
学
式子中的“1”．
C2α 公式的不同形式的逆用，在三角函数的化简、求值、 证明中应用广泛．
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
人 教 B 版 数 学
第三章 三角恒等变换
[解析] 解法一：因为 sin4π＋α·sinπ4－α
＝sinπ4＋αcosπ4＋α＝16，
人
教
B
从而 sinα＝ 1－cos2α＝7102.
版 数 学
同理可得 sinβ＝ 55.∴tanα＝7，tanβ＝12. ∴tan(α＋β)＝1t－anαta＋nαttaannββ＝1－7＋7×12 12＝－3.
第三章 三角恒等变换
(2)解法一：tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]
＝1－－－3＋312×12＝－1.
人
教
所以 sinπ2＋2α＝13，即 cos2α＝13.
B 版 数 学
因为 α∈2π，π，则 2α∈(π，2π)，
所以 sin2α＝－ 1－cos22α＝－23 2，
于是
sin4α＝2sin2αcos2α＝－4 9
2 .
第三章 三角恒等变换
解法二：由条件得 22(cosα＋sinα)·22(cosα－sinα)＝16，
教 B 版 数
学
第三章 三角恒等变换
[解析] 依题设 f(x)＝2cos2x＋ 3sin2x
＝1＋cos2x＋ 3sin2x＝1＋2sin2x＋6π，
由 1＋2sin2x＋6π＝1－ 3
人 教 B 版
数
得
sin2x＋6π＝－
3 2.
学
∵－π3≤x≤π3，∴－2π≤2x＋6π≤56π，
为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别
人 教
B
与单位圆交于A、B两点．已知A、B的横
版 数
坐标分别为
学
• (1)求tan(α＋β)的值；
• (2)求α＋2β的值．
第三章 三角恒等变换
[解析] (1)由已知条件及三角函数的定义可知 cosα＝
102，cosβ＝2 5 5，
∵α 为锐角，sinα>0，
人 教 B 版
数
sinα2＝2sinα4cosα4，cosα3＝cos2α6－sin2α6.
学
4．由于 sin2x＝2sinx·cosx，
从而 1±sinx＝sin2x±cos2x2，可用于无理式的化简及运算．
第三章 三角恒等变换
5．要熟悉公式的逆用．如
sin3α·cos3α
＝
1 2
sin6α.4sinα4·cosα4＝22sinα4·cosα4＝2sinα2，S
• [点评] (1)求三角函数最值问题，除了利
用三角函数的有界性外，配方法、换元法、
人 教
函数单调性法都是常用方法，但应用时要
B 版
数
注意三角函数的取值范围．(2)函数最值和 学
实际应用题是高考热点，题型一般是选择、
填空题，但中档难度的解答题也不容忽
视．
第三章 三角恒等变换
• 如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴
∴sinα－cosα＝ sinα－cosα2
人 教
B