江苏省灌云县陡沟中学2020学年高中数学第2章《函数》复习导学案(无答案)新人教版必修1
江苏省高考数学二轮复习 第2讲 函数 图象及性质教学案
第2讲 函数、图象及性质1. 函数在高考中的题型设置有小题也有大题，其中大题有简单的函数应用题、函数与其他知识综合题，也有复杂的代数推理题，可以说函数性质的应用是高考考查的主要着力点之一．2. 重点：①函数的奇偶性、单调性和周期性；②函数与不等式结合；③函数与方程的综合；④函数与数列的综合；⑤函数与向量的综合；⑥利用导数来刻画函数．3. 难点：①新定义的函数问题；②代数推理问题，常作为高考压轴题．1. 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x ＋1)＝f(x)＋x ＋1，则f(x)＝________.2.函数f(x)＝＋|x|－x 的定义域为________．3.函数f(x)的定义域是R ，其图象关于直线x ＝1和点(2 , 0)都对称，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20092＝________.4.函数f(x)＝x 2－2x ，g(x)＝mx ＋2，对1∈[－1,2]，∈[－1,2]，使g(x 1)＝f(x 0)，则实数m 的取值范围是________．【例1】 已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是(0,5) ，且f(x)在区间[－1,4]上的最大值是12.(1) 求f(x)的解析式；(2) 是否存在整数m 使得方程f(x)＋37x ＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m 值；若不存在，说明理由．【例2】 已知函数f(x)＝x 2＋a x(x≠0，常数a∈R )．(1) 讨论函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．【例3】 设函数f(x)＝x 2＋|2x －a|(x∈R ，常数a 为实数)． (1) 若f(x)为偶函数，求实数a 的值； (2) 设a>2，求函数f(x)的最小值.【例4】 (2011·苏锡常镇模拟)已知函数f(x)＝x ＋a ＋a|x|，a 为实数． (1) 当a ＝1，x∈[－1,1]时，求函数f(x)的值域；(2) 设m 、n 是两个实数，满足m ＜n ，若函数f(x)的单调减区间为(m ，n)，且n －m≤3116，求a 的取值范围．1. (2011·辽宁)若函数f(x)＝x ＋－为奇函数，则a ＝________.2.(2011·湖北)若定义在R 上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)＋g(x)＝e x，则g(x)＝________.3.(2011·上海)设g(x)是定义在R 上、以1为周期的函数，若f(x)＝x ＋g(x)在[0,1]上的值域为[－2,5]，则f(x)在区间[0,3]上的值域为____________．4.(2011·北京)已知点A(0,2)，B(2,0)，若点C 在函数y ＝x 2的图象上，则使得△ABC 的面积为2的点C 的个数为________．5.(2011·上海) 已知函数f(x)＝a·2x ＋b·3x，其中常数a ，b 满足ab≠0. (1) 若ab>0，判断函数f(x)的单调性；(2) 若ab<0，求f(x ＋1)>f(x)时x 的取值范围．6.(2011·湖北)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1) 当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2) 当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)(2011·镇江一模)(本小题满分14分)已知函数f(x)＝3－2log 2x ，g(x)＝log 2x. (1) 如果x∈[1,4]，求函数h(x)＝(f(x)＋1)g(x)的值域； (2) 求函数M(x)＝＋－－2的最大值；(3) 如果对不等式f(x 2)f(x)＞kg(x)中的任意x∈[1,4]，不等式恒成立，求实数k 的取值范围．解：令t ＝log 2x ，(1分)(1) h(x)＝(4－2log 2x)·log 2x ＝－2(t －1)2＋2，(2分) ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，(3分) ∴ h(x)的值域为[0,2]．(4分) (2) f(x)－g(x)＝3(1－log 2x)，当0＜x≤2时，f(x)≥g(x)；当x ＞2时，f(x)＜g(x)，(5分)∴ M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧，，，＜，M(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x≤2，3－2log 2x ，x>2，(6分)当0＜x≤2时，M(x)最大值为1；(7分)当x ＞2时，M(x)＜1.(8分)综上：当x ＝2时，M(x)取到最大值为1.(9分)(3) 由f(x 2)f(x)＞kg(x)，得(3－4log 2x)(3－log 2x)＞k·log 2x ， ∵ x∈[1,4]，∴ t∈[0,2]，∴ (3－4t)(3－t)＞kt 对一切t∈[0,2]恒成立，(10分) ①当t ＝0时，k∈R ；(11分) ②t∈(0,2]时，k ＜－－t恒成立，即k ＜4t ＋9t－15，(12分)∵ 4t＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号．(13分)∴ 4t＋9t －15的最小值为－3.综上：k ＜－3.(14分)第2讲 函数、图象及性质1. 已知a ＝5－12，函数f(x)＝a x，若实数m 、n 满足f(m)＞f(n)，则m 、n 的大小关系为________．【答案】 m ＜n 解析： 考查指数函数的单调性a ＝5－12∈(0,1)，函数f(x)＝a x在R 上递减．由f(m)＞f(n)得：m<n. 2. 设a 为实数，函数f(x)＝2x 2＋(x －a)|x －a|. (1) 若f(0)≥1，求a 的取值范围； (2) 求f(x)的最小值；(3) 设函数h(x)＝f(x)，x∈(a，＋∞)，直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集．点拨： 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及解一元二次不等式等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．解：(1) 若f(0)≥1，则－⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，a 2≥1－1.∴ a 的取值范围是(－∞，－1](2) 当x≥a 时，f(x)＝3x 2－2ax ＋a 2， f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧，a≥0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧2a 2，a≥0，2a23，a ＜0，当x≤a 时，f(x)＝x 2＋2ax －a 2，f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－，a≥0，，a ＜0＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a 2，a ＜0，综上f(x)min ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a 2，a≥0，2a23，a ＜0.(3) x∈(a，＋∞)时，h(x)≥1得3x 2－2ax ＋a 2－1≥0，Δ＝4a 2－12(a 2－1)＝12－8a 2. 当a≤－62或a≥62时，Δ≤0，x∈(a，＋∞)； 当－62＜a ＜62时，Δ＞0，得：⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎪⎫x －a －3－2a 23⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a ＋3－2a 23≥0，x ＞a ，讨论得：当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，62时，解集为(a ，＋∞)； 当a∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.综上，当a∈⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－62∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫22，＋∞时，解集为(a ，＋∞)，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22时，解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞，当a∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－62，－22时，解集为⎝ ⎛⎦⎥⎤a ，a －3－2a 23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫a ＋3－2a 23，＋∞.基础训练 1. 12x 2＋12x 2. (－∞，－1)∪(－1,0) 解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≠0，|x|－x ＞0＜0，x≠－1.3. －4 解析：函数图象关于直线x ＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，函数图象关于点(2 ,0)对称，则f(x)＝－f(4－x)，∴ f(x＋2)＝－f(x)，∴ f(x＋4)＝f(x)，∴ f ⎝⎛⎭⎪⎫2 0092＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1 004＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0092＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4.4. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 解析：x∈[－1,2]时，f(x)∈[－1,3]．m≥0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2－m,2＋2m]；m ＜0，x∈[－1,2]时，g(x)∈[2＋2m,2－m]．m≥0，[2－m ，2＋－1,3]；m ＜0，[2＋2m,2－－1,3]得0≤m≤12或－1≤m<0，故实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 例题选讲例1 解： (1) ∵ f(x)是二次函数，且f(x)＜0的解集是(0,5), ∴ 可设f(x)＝ax(x －5)(a ＞0)．∴ f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知得6a ＝12, ∴ a＝2, ∴ f(x)＝2x(x －5)＝2x 2－10x(x∈R )．(2) 方程f(x)＋37x ＝0等价于方程2x 3－10x 2＋37＝0.设h(x)＝2x 3－10x 2＋37，则h′(x)＝6x 2－20x ＝2x(3x －10)．当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，103时，h′(x)＜0，h(x)是减函数；当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h′(x)＞0，h(x)是增函数．∵ h(3)＝1＞0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127＜0，h(4)＝5＞0，∴ 方程h(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，所以存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不同的实数根．变式训练 已知函数y ＝f (x)是定义在R 上的周期函数，周期T ＝5，函数y ＝f(x)(－1≤x≤1)的图象关于原点对称．又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x ＝2时函数取得最小值－5.(1) 证明：f(1)＋f(4)＝0；(2)求y ＝f(x)，x∈[1,4]的解析式； (3)求y ＝f(x)在[4,9]上的解析式．(1)证明： ∵ f (x)是以5为周期的周期函数，∴ f(4)＝f(4－5)＝f(－1)， 又∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)关于原点对称，∴ f(1)＝－f(－1)＝－f(4), ∴ f(1)＋f(4)＝0.(2)解： 当x∈[1,4]时，由题意可设f(x)＝a(x －2)2－5(a ＞0)，由f(1)＋f(4)＝0得a(1－2)2－5＋a(4－2)2－5＝0，∴ a＝2，∴ f(x)＝2(x －2)2－5(1≤x≤4)．(3)解： ∵ y＝f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴ f(0)＝0，又知y ＝f(x)在[0,1]上是一次函数，∴ 可设f(x)＝kx(0≤x≤1)，而f(1)＝2(1－2)2－5＝－3，∴ k＝－3，∴ 当0≤x≤1时，f(x)＝－3x ，从而当－1≤x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－3x ，故－1≤x≤1时，f(x)＝－3x ，∴ 当4≤x≤6时，有－1≤x－5≤1，∴ f(x)＝f(x －5)＝－3(x －5)＝－3x ＋15，当6＜x≤9时，1＜x －5≤4，∴ f(x)＝f(x －5)＝2[(x －5)－2]2－5＝2(x －7)2－5，∴f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x ＋15，4≤x≤6，－2－5，6＜x≤9.点评：紧抓函数几个性质，将未知的转化为已知的，注意函数图象及端点值．例2 解： (1) 当a ＝0时，f(x)＝x 2，对任意x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(－x)＝(－x)2＝x 2＝f(x), ∴ f(x)为偶函数．当a≠0时，f(x)＝x 2＋a x(a≠0，x≠0)，取x ＝±1，得f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， ∴ f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)，∴ 函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (2) (解法1)设2≤x 1＜x 2， f(x 1)－f(x 2)＝x 21＋a x 1－x 22－a x 2＝1－x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1＋x 2)－a]，要使函数f(x)在x∈[2，＋∞)上为增函数，必须f(x 1)－f(x 2)＜0恒成立． ∵ x 1－x 2＜0，x 1x 2＞4，即a ＜x 1x 2(x 1＋x 2)恒成立． 又∵ x 1＋x 2＞4, ∴ x 1x 2(x 1＋x 2)＞16. ∴ a 的取值范围是(－∞，16]．(解法2)当a ＝0时，f(x)＝x 2，显然在[2，＋∞)为增函数． 当a ＜0时，反比例函数ax 在[2，＋∞)为增函数，∴ f(x)＝x 2＋a x 在[2，＋∞)为增函数．当a ＞0时，同解法1.(解法3)f′(x)＝2x －a x 2≥0，对x∈[2，＋∞)恒成立．∴ a≤2x 3而y≤2x 3.在[2，＋∞)上单调增，最小值为16，∴ a≤16.点评：本题主要考查函数奇偶性、单调性及分类讨论处理含参数问题． 例3 解：(1) 由已知f(－x)＝f(x)，即|2x －a|＝|2x ＋a|，解得a ＝0.(2) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －a ，x≥12a ，x 2－2x ＋a ，x ＜12a ，当x≥12a 时，f(x)＝x 2＋2x －a ＝(x ＋1)2－(a ＋1)，由a ＞2，x≥12a ，得x ＞1，从而x ＞－1，又f′(x)＝2(x ＋1)，故f(x)在x≥12a 时单调递增，f(x)的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝a 24；当x ＜12a 时，f(x)＝x 2－2x ＋a ＝(x －1)2＋(a －1)，故当1＜x ＜a2时，f(x)单调递增，当x ＜1时，f(x)单调递减，则f(x)的最小值为f(1)＝a －1； 由a24－(a －1)＝－24＞0，知f(x)的最小值为a －1.点评：本题考查二次函数含参数最值的讨论方法．变式训练 已知函数f(x)＝x|x －2|.设a ＞0，求f(x)在[0，a]上的最大值．解： f(x)＝x|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＝－2－1，x≥2，－x 2＋2x ＝－－2＋1，x ＜2.∴ f(x)的单调递增区间是(－∞，1]和[2，＋∞); 单调递减区间是[1,2]．① 当0＜a≤1时，f(x)是[0，a]上的增函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(2－a)；② 当1＜a≤2时，f(x)在[0,1]上是增函数，在[1，a]上是减函数，此时f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1；③ 当a ＞2时，令f(a)－f(1)＝a(a －2)－1＝a 2－2a －1＞0, 解得a ＞1＋ 2. 若2＜a≤1＋2，则f(a)≤f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(1)＝1； 若a ＞1＋2，则f(a)＞f(1)，f(x)在[0，a]上的最大值是f(a)＝a(a －2)．综上，当0＜a ＜1时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(2－a)；当1≤a≤1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是1；当a ＞1＋2时，f(x)在[0，a]上的最大值是a(a －2)．例4 解： 设y ＝f(x)，(1) a ＝1时，f(x)＝x ＋1＋|x|，当x∈(0,1]时，f(x)＝x ＋1＋x 为增函数，y 的取值范围为(1,1＋2]． 当x∈[－1,0]时，f(x)＝x ＋1－x ，令t ＝x ＋1，0≤t≤1，则x ＝t 2－1，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54，0≤t≤1，y 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，54.∵ 54＜1＋2， ∴x∈[1,1]时，函数f(x)的值域为[1,1＋2]．(2) 令t ＝x ＋a ，则x ＝t 2－a ，t≥0，y ＝g(t)＝t ＋a|t 2－a|. ① a＝0时，f(x)＝x 无单调减区间；② a ＜0时，y ＝g(t)＝at 2＋t －a 2，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，＋∞上g(t)是减函数，则在⎝ ⎛⎭⎪⎫14a 2－a ，＋∞上f(x)是减函数．∴a＜0不成立．③ a＞0时，y ＝g(t)＝⎩⎨⎧－at 2＋t ＋a 2，0≤t≤a ，at 2＋t －a 2，t ＞ a.仅当12a ＜a ，即a ＞312时，在t∈⎝⎛⎭⎪⎫12a ，a 时，g(t)是减函数，即x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫14a －a ，0时，f(x)是减函数．∴n－m ＝a －14a 2≤3116，即(a －2)(16a 2＋a ＋2)≤0. ∴a≤2.故a 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤314，2. 高考回顾1. 12解析：f(－x)＝－f(x)恒成立或从定义域可直接得到．2. g(x)＝e x ＋e－x2 解析： 因为函数f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，所以f(－x)＋g(－x)＝f(x)－g(x)＝e －x.又因为f(x)＋g(x)＝e x，所以g(x)＝e x＋e－x2.3. [－2,7] 解析：设x 1∈[0,1]，则f(x 1)＝x 1＋g(x 1)∈[－2,5]，∵ g(x)是定义域为R 周期为1的函数，∴ 当x 2∈[1,2]时，f(x 2)＝x 1＋1＋g(x 1＋1)＝1＋x 1＋g(x 1)＝1＋f(x 1)∈[－1,6]，当x 2∈[2,3]时，f(x 2)＝x 1＋2＋g(x 1＋2)＝2＋x 1＋g(x 1)＝2＋f(x 1)∈[0,7]，∴ f(x)在区间[0,3]上的值域为[－2,7]．4. 4 解析：AB ＝22，直线AB 的方程为x ＋y ＝2，在y ＝x 2上取点C(x ，y)，点C(x ，y)到直线AB 的距离为2，|x ＋y －2|2＝2，|x ＋x 2－2|＝2，此方程有四个解．5. 解：(1) 当a ＞0，b ＞0时，任意x 1，x 2∈R ，x 1＜x 2， 则f(x 1)－f(x 2)＝a(2x 1－2x 2)＋b(3x 1－3x 2)， ∵ 2x 1＜2x 2，a ＞1－2x 2)＜0,3x 1＜3x 2，b ＞1－3x 2)＜0， ∴ f(x 1)－f(x 2)＜0，函数f(x)在R 上是增函数． 当a ＜0，b ＜0时，同理函数f(x)在R 上是减函数．(2) f(x ＋1)－f(x)＝a·2x ＋2b·3x＞0，当a ＜0，b ＞0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＞－a 2b ，则x ＞log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b ；当a ＞0，b ＜0时，⎝ ⎛⎭⎪⎫32x ＜－a 2b ，则x ＜log 1.5⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2b .6. 解：(1) 由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]是减函数，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x≤20，13－，20<x≤200.(2) 依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x≤20，13－，20<x≤200.当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200； 当20<x≤200时，f(x)＝13x(200－x)≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－22＝10 0003，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值10 0003.综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/小时．。
2019-2020学年高中数学 第二章复习 导学案 新人教A版必修1.doc
2019-2020学年高中数学第二章复习导学案新人教A版必修1
一、教学目标
1.了解本章知识网络结构.
2. 进一步熟悉指数、对数的运算.
3.熟悉指数函数、对数函数的概念、图象、性质及其应用。
二、教学重难点
1. 突出本章重、难点内容
2. 通过例题分析突出函数思想及数形结合思想
三、课时学法指导
老师引导，学生整理为主
四、预习案
完成任务情况自评：学科组长评价： .
1.任务布置：
（1）复习第二章知识，梳理出知识框架
（2）通过知识框架掌握①函数的三要素②函数的基本性质③会画函数的图象及了解函数变换
2.存在问题:
五、探究案:
1.参考大聚焦37页梳理框架：
2.做大聚焦38页例题.
六、训练案：第二章自我检测
七、反思与小结：。
江苏省连云港市灌云县高中数学 第二章 函数 2.1 函数
§2.1函数的概念和图象(1)【学习目标】：1、理解函数的概念及函数的三要素；2、会求一些简单函数的定义域、值域。
【教学过程】： 一、回顾引入：１．根据初中所学知识，回答什么叫函数？２．初中学过的具体函数有哪些？图象特点是什么？初中学过常数函数、一次函数、二次函数、正比例函数、反比例函数，请写出这些函数的一般形式以及图象特点．二、 新课讲授：下面观察实例：课本21P 中的三个问题，如何用集合语言来简述三个问题的共同特点？1．单值对应：具有 的特征的对应. 2．函数的定义：设,A B 是两个_________数集，如果按某种对应法则f ，对于集合A 中的__________元素x ，在集合B 中都有____________的元素y 和它对应，这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，记为 ______________________．3．定义域：在)(x f 的对应中____ ________x 组成的集合A 叫做函数()y f x =的定义域.4．值域：对于A 中的每一个x ，都有一个输出值y 与之对应，将y 组成的集合C 叫做函数()y f x =的值域，则C B 。
练习1：求下列函数的定义域：（1）21)(-=x x f ； （2）2)(+=x x f ．练习2：判断下列对应是否是函数：（１）R x x xx ∈≠→,0,2； （２）R y N x x y y x ∈∈=→,,,2这里5．注意点：① 函数是非空数集到非空数集上的一种对应，且是一个 对应。
.② 符号“f :：A →B ”表示A 到B 的一个函数，它有三个要素： ，三者缺一不可.③集合A 中数的任意性，集合B 中数的惟一性.④f 表示对应关系，在不同的函数中，f 的具体含义不一样.⑤f (x )是一个符号，绝对不能理解为f 与x 的乘积.，符号y=f(x)的含义： 三、典例欣赏：例１．下列各组中的两个函数是否为同一个函数？为什么？ （１）2x y =与2)(x y =；（２）||)(x x f =与2)(t t g =； （３）1)(2-=x x f 与11)(-+=x x x g ；思考：函数y=f （x ），x ∈A 与函数z=f （t ），t ∈A 是否为同一函数？变题：下列函数中哪个与函数y=x 是同一个函数？（1）y=)x (2；（2）y=xx 2；（3）y=33x ；（4）y=x 2；（5）y=x ，x ∈Z ．例２．求下列函数的定义域：（１）8|3|152)(2-+--=x x x x f ； （２）xy 11111++=； （3）f （x ）=x|x |)1x (0-+．总结：求函数的定义域的步骤： 思考：求函数定义域的主要依据有哪些？变题1：函数8|3|22-++-=x ax x y 的定义域为),5(]3,11()11,(+∞----∞Y Y ，那么a 的值为 ．变题2：已知函数32++=ax x y 的定义域为R ，则a 的取值范围是变题3：已知函数y =的定义域为R ，则a 的取值范围是例３．已知f （x ）=|x-1|-2，x ∈{-2，-1，0，1，2，3}（１） 求f ；f ；（２）求f(x)值域、最大值、最小值；（３）画出函数的图象．变式练习：1．已知函数2()352f x x x =-+．则(f = ；()f a = ；(1)f a += ；(1)f x += ；[(1)]f f = ； [()]f f x = ．2．求下列函数的值域。
2019-2020学年苏教版初高中衔接教材、必修一导学案：第43课时(函数复习)
引入复习1 、函数定义域的约束条件2 、函数的表示方法3、函数的单调性，奇偶性例题剖析例1、求下列函数的定义域3y -2------x 一 2例2、求下列函数的值域2(1) y - x 2x 1 x [0,3](2)|x-1|+|x-2|(3) y x 2 32(5) y 尸 log 2 (x 2x)(3)(x T)° 十*-2-\x +1(4) y 二 Iog 3(x 1)1(4)= 2例5、已知f (x )是R 上的奇函数，且当x (=吩,0)时，f(x)--x 4x 3，求f (x)的解析式，并指出单调区间例3、设集合 A 和B 都是自然数集 在映射f 下，象20的原象是例4、根据单调性定义，证明函数n 1N ，映射f : A - B 把集合 A 中的元素 n 映射到B 中的元素 2' n ，则yx 31在R 上是单调减函数。
巩固练习1、下列函数是同一函数的是(2n ~2n A、f(x) x,g(x) xC、f (x) x 2, g (t) t 22、求下列函数的定义域1(1) f (x) — X 1 ------2 -x B、f (n) 2n 1,g(n) 2n - 1, (n Z)21 一xD、f (x) , g(x) 1 x1 -x(2) f (x)-111 -x3、求下列函数的值域(1) y 3x 2 ( 1 x 1) (2) y -2(3) y = x 2x 2 x [0,3]24、已知y二f (x)是定义域在R上的偶函数，且当x 2 0时，f (x)门4 x 8x 3，求函数y =式，并指出单调区间。
f (x)的表达课堂小结函数定义域，值域，单调性，奇偶性课后作业班级：高一(_)班姓名 ___________一、基础题 1、函数y 1 x x 1的定义域是()A 、[1,)B 、 (,1]c 、{1}D 、无法确定2、 下列函数中，值域为 R 的是()1D 、 y ——xA 、 2 y x =3x 1B 、y 2x 1C 、 y x3、 2函数y — 2与y 二x 的图象交点个数是()A 、2个 B 、3个 C 、1个D 、无数个4、已知函数 f(x)是定义在 (0,)上的增函数，且满足 f(xy)- f(x) f(y), f (2) - 1，求f(1),f(8)二、提高题6、若2 f (x) f(=x) 3x 1，其中f(x)是一次函数，求f(x)解析式7、证明函数f(X ) x -在［1,)上是增函数xx8、已知f(x)是定义在(0,」上的增函数，且 f( )- f(x) f (y)， f(3)-1y(1 )求 f (9)( 2)解不等式f (x 5) 22x 35、求函数 f ( x) 一 x 3x 5(x 0) (0 x 1)的最值 (x 1)二、能力题。
函数及其图像专题复习导学案
课题：专题复习函数及其图像（三）（导学案）班级：姓名：一、学习目标：1.通过考点知识精讲，把所学一次函数知识系统的整理出来；2．结合典型例题讲习，能深刻理解一次函数的相关知识；3．在考点训练中，举一反三、熟练应用、查漏补缺。
二、学习重难点:熟记并深刻理解考点知识，达到熟练应用的目的。
三、导学过程：（一）、课前完成，认真准备考点一：一次函数的图象1．一次函数解析式y＝kx＋b(k≠0)的结构特征：(1)k 0；(2)x的次数是；(3)常数项b可为数．2．正比例函数解析式y＝kx(k≠0)的结构特征：(1)k 0；(2)x的次数是；(3) b 0考点二一次函数的图象1．画出函数图象的步骤：(1) (2) (3) ．2.一次函数的图像是考点三、一次函数图象的性质考点四确定一次函数表达式考点五:一次函数的应用（三）、当堂检测，查漏补缺（130分，每小题10分拿到100分过关）A 级：基础达标1.直线y ＝x ＋3与y 轴的交点坐标是 ( )A ．(0,3)B ．(0,1)C ．(3,0)D ．(1,0)2.一次函数y ＝－2x 的图象经过哪几个象限 ( )A ．一、二、象限B ．二、四象限C ．三、四象限D ．一、三象限3．一个正比例函数的图象过点(2，－3)，它的表达式为 ( )A ．y ＝－32xB ．y ＝23xC ．y ＝32xD ．＝－23x4．在平面直角坐标系中，直线y ＝x ＋1经过的象限是 ( )A ．一、二、三B ．一、二、四C ．一、三、四D ．二、三、四5．写出图象经过点(1，－1)的一个一次函数解析式6.给出下列四个函数：①y ＝－x ；②y ＝x ；③y ＝1x ；④y ＝x 2.当x<0时，y 随x 的增大而减小的函数有A ．1个 B ．2个C ．3个 D ．4个 ( ) B 级：能力提升7．如果点(－2，m)和(0.5，n)都在直线y ＝43x ＋4上，则m 、n 的大小关系是8．一次函数y ＝kx ＋b 的图象如右图所示，当y ＜0时，x 的取值范围是A ．x ＞0；B ．x ＜0；C ．x ＞2；D ．x ＜2 ( )9．若一次函数y ＝kx ＋b 的函数值y 随x 的增大而减小，且图象与y 轴的负半轴相交，那么对k 和b 的符号判断正确的是 ( )A ．k>0，b>0 ；B ．k>0，b<0；C ．k<0，b>0；D ．k<0，b<010．如图，直线y ＝kx ＋b(k<0)与x 轴交于点(3,0)，关于x 的不等式kx ＋b>0的解集是 ( )A ．x<3 ；B ．x>3 ；C ．x ≥3 ；D ．x ≤3。
江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.2等差数列的通项公式
江苏省灌云县陡沟中学高中数学 2.2等差数列的通项公式导学案苏教版必修5一、学习目标：1. 掌握“叠加法”求等差数列通项公式的方法；2. 掌握等差数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题；3. 理解等差数列的性质，能熟练运用等差数列的性质解决有关问题．二、学习重点：等差数列的通项公式，关键对通项公式含义的理解．三、学习难点：等差数列的性质和应用.四、学习过程（根据学科特点选择性灵活运用）●自主质疑一、问题情境1．情境：观察等差数列{}n a4,7,10,13,16，…,如何写出它的第100项呢？[2．问题：设{}na是一个首项为1a，公差为d的等差数列，你能写出它的第n项na吗？●合作探究通过对引例的讲解使学生了解“叠加法”，引导学生自己总结得出等差数列的通项公式．●交流展示例1第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每4年举行一次．奥运会如因故不能举行，届数照算．（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式；（2）2008年北京奥运会时第几届？2050年举行奥运会吗？例2在等差数列{}na中，已知3910,28a a==，求12a．例3已知等差数列{}na的通项公式为21na n=-，求首项1a和公差d．五、学习评价自我评价：A、满意（）B、比较满意（）C、不满意（）教师评价：A、满意（）B、比较满意（）C、不满意（）第 1 课（第1 课时）巩固案课本P39-40练习1，2，4，5，6．。
高中数学第2章函数复习学案苏教版必修
函数【学习目标】1．梳理本章知识结构，找出重点；2．函数的概念、图象及其性质．【重点】函数的概念与图象及函数的简单性质．【难点】运用数形结合的方法来研究函数的性质．【活动过程】活动一：复习引入活动二：知识梳理1．定义域：能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域。
求函数的定义域常见类型有：(1)分式的分母；(2)偶次方根的被开方数；(3)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合的交集；(4)零次幂函数；(7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.2．值域 :先考虑其定义域，主要方法有：(1)观察法；(2)配方法；(3)换元法；（4）分离常数法；（5）逐步分析法（反解法）；（6）单调性法。
3.函数的解析式（1）.函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域. （2）求函数的解析式的主要方法有：1）代入法；2）换元法；3）配凑法；4）待定系数法；5）解方程组法；6)奇偶函数法 4.函数的单调性(1)设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔>--上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]b a x f x x x f x f ,)(0)()(2121在⇔<--上是减函数.(2)如果函数)(x f 和)(x g 都是减函数,则在公共定义域内,和函数)()(x g x f +也是减函数; 如果函数)(u f y =和)(x g u =在其对应的定义域上都是减函数,则复合函数)]([x g f y =是增函数.复合函数法则：(3)(3).函数单调区间与单调性的判定方法 (4)(A) 定义法：○1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1<x 2； ○2 作差变形f(x 1)－f(x 2) （通常是因式分解和配方）； ○3定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）； ○4下结论（指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．； (B)图象法(从图象上看升降)(C)复合函数的单调性 5.函数的奇偶性 (1)奇偶函数定义前提条件： ； 奇函数： ； 偶函数： . (2)奇偶函数的图象特征奇函数的图象关于 对称，偶函数的图象关于 对称;反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． (3)奇偶函数的性质①奇函数在对称区间的单调性 ；偶函数在对称区间的单调性 ②奇函数的特性： ； ③偶函数的特性：（4）若函数)(x f y =是偶函数，则)()(a x f a x f --=+；若函数)(a x f y +=是偶函数，则)()(a x f a x f +-=+. 活动三：数学应用 （一）函数的有关概念例1 二次函数的图象顶点为A (1，16)，且图象在x 轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式．练习：1．已知二次函数f (x )同时满足条件：（1）对称轴是x ＝1；（2）f (x )的最大值为15； （3）f (x )的两个零点的立方和等于17．求f (x )的解析式．2．已知f (2x ＋1)＝4x ＋3，求f (x )．3．已知22∈≠≠1()+()=(,,R,0,)af x bf cx a b c abc a b x，求f (x )．例2 求函数23y x =-（二）函数的图象例4 下列关于函数y = f(x)(x∈D)的图象与直线x＝a交点的个数的结论，（1）有且只有1个；（2）至少有1个；（3）至多有1个，其中正确的是．练习：画出下列函数的图象．（1）f (x)＝|x2－x|；（2）f (x)＝|2x－1|；（3）f (x)＝|x－1|＋|x＋1|；（4）f (x)＝|x－1|－|x＋1|．（三）函数的单调性例5 若函数f(x)是R上的增函数，对实数a、b，若a＋b＞0，则有下列关系式：（1）f (a)＋f(b)＞f(－a)＋f(－b)；（2）f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)；（3）f(a)－f(b)＞f(－a)－f(－b)；（4）f(a)－f(b)＜f(－a) －f(－b)；其中一定正确的有．（四）函数的奇偶性例6 判断下列函数的奇偶性：（1）f (x)＝|x－1|＋|x＋1|；（2）f (x)＝|x－1|－|x＋1|；（3）()=f x（4）2220()0.2,,x x xf xxx x⎧⎪⎨⎪⎩+<=>-+,练习：设函数f(x)在R上有定义，下列函数（1）y＝－|f(x)|；（2）y＝xf(x2)；（3）y＝－f(－x)；（4）y＝f(x)－f(－x)中必为奇函数的有____________．（五）函数奇偶性的综合应用例7 设函数f (x )是定义在实数集R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x (x ＋1)，试求当x ＞0时，f (x )的解析式．例8 已知函数21()ax f x bx c+=+(a ，b ，c Z)是奇函数，又f (1)＝2，f (2)＜3，求a ，b ，c 的值．练习：（1）与y ＝x 2－2x ＋5的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式是_____．（2）已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，且其定义域为［a －1，2a ］， 则a ＝ ，b ＝ ．（3）已知函数f (x )为偶函数，且其图象与x 轴有四个交点，则方程f (x )＝0的所有实根之和为________．（4）f (x )是偶函数，且在[a ，b ]上是减函数(0＜a ＜b )，则f (x )在[－b ，－a ]上的单调性为_____．（若改为奇函数呢？）活动四 ：课后巩固 班级：高一（ ）班 姓名 基础题：1.求下列函数的定义域：⑴y =⑵y =2.若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是3.函数22(1)()(12)2(2)x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩，若()3f x =，则x =4.求下列函数的值域：⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈(3)y x =y =5.已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式6.已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
江苏省灌南高级中学高三数学 函数与方程复习导学案
江苏省灌南高级中学高三数学复习导学案：函数与方程考情分析预测回顾2008～2011年的高考题，在填空题中主要考查了函数的基本性质(单调性、奇偶性)以及导数的几何意义，即切线问题，难度基础题、中档题、难题都有涉及．在解答题中，有关函数模型的应用题的考查在2009年和2011年都有涉及，在压轴题中2008和2009年考查了函数的基本性质，在2010和2011年考查了用导数研究函数的性质，在这些问题的考查中都有涉及数学思想方法的考查．值得注意的是在2008～2011年的高考题中没有单独考查的内容有：指数和对数的运算、幂函数、函数与方程、导数的概念．这些考试说明中出现的知识要点在复习时要兼顾．预计在2012年的高考题中， (1)填空题依然是对函数的性质、函数的值域和函数图象的运用相关的考查，难度不一． (2)在解答题中，函数模型的实际运用依然会是考查热点，函数综合性质的考查依然是考查的难点，数形结合思想和分类讨论思想的是考查的重点．备考策略(1)基本初等函数和函数的应用：掌握以基本初等函数或其组合为模型的函数基本性质(如单调性和奇偶性)研究的基本方法；掌握在对复杂函数的性质进行研究时，借助于函数图象研究和对函数解析式的简化处理(如还原法)的运用；掌握含有量词的命题的常规化归方法．(2)导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单调性、极值、最值进行研究，这是高考命制压轴题的一个考查点．专题一．函数的性质主要包括：单调性、奇偶性、周期性、值域． 2．单调性的研究(1)定义：单调递增函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2>0或f ′(x )>0，单调递减函数满足：f x 1－f x 2x 1－x 2<0或f ′(x )<0；(2)判断方法：定义法、图象法、导数法．复合函数y ＝f (g (x ))可用“同增异减”的法则判断．3.奇偶性的研究 (1)定义：①定义域关于原点对称；②奇函数f (x )＋f (－x )＝0；偶函数f (x )＝f (－x )；(2)判断方法：定义法、图象法、复合函数y ＝f (g (x ))可用“有偶则偶，无偶则奇”的判断法则．4．周期性定义及判断方法定义：f (x ＋T )＝f (x )恒成立，则T 为f (x )的一个周期． 5．值域求解常见思路定义域研究→函数解析式结构的研究→单调性研究→极值判定→比较大小→确定最值 要点热点探究探究点一 动态函数单调性的研究动态函数一般是指函数解析式中含有参数的函数，如y ＝x 2＋ax (x ∈[1,2])，参数取值会影响函数的性质和图象，需要分类进行研究．例1 已知函数f (x )＝x 3－x 2－x ＋c . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数g (x )＝[f (x )－x 3]·e x，若函数g (x )在x ∈[－3,2]上单调递增，求实数c 的取值范围．【解答】 (1)因为f (x )＝x 3－x 2－x ＋c ，从而f ′(x )＝3x 2－2x －1＝3 ⎛⎪⎫x ＋13(x －1)，列表如下：所以f (x )的单调递增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3和(1，＋∞)；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1. (2)函数g (x )＝(f (x )－x 3)·e x ＝(－x 2－x ＋c )·e x，有g ′(x )＝(－2x －1)e x ＋(－x 2－x ＋c )e x ＝(－x 2－3x ＋c －1)e x. 因为函数g (x )在区间[－3,2]上单调递增，等价于h (x )＝－x 2－3x ＋c －1≥0在[－3,2]上恒成立，只要h (2)≥0即可，解得c ≥11，所以c 的取值范围是[11，＋∞)． 【点评】 (1)含有参数的动态函数中若参数出现在函数的常数项，则不影响函数的单调性；(2)函数g (x )在[a ，b ]上单调递增，等价为g ′(x )≥0在[a ，b ]上恒成立．(3)在解决本题的第二问中，不难发现形如g (x )＝f (x )·e x或g (x )＝f xex再求导后，所得导函数方程与e x无关．探究点二 函数单调性与奇偶性的综合运用函数性质中的奇偶性反映的是函数整体的性质，单调性反映的是函数局部的性质，故函数奇偶性与单调性结合在一起主要是考查对局部和整体的不同认识．例2 设a (0<a <1)是给定的常数，f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，f (log a t )>0，则t 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a ) 【解析】 因为f (x )是R 上的奇函数，且在(0，＋∞)上是增函数，故f (x )在区间(－∞，0)上也是增函数．画出函数f (x )的草图． 当t >1时，因为0<a <1，所以log a t <0.由图象可得－12<log a t <0，解得1<t <1a；当0<t <1时，因为0<a <1，所以log a t >0.可得12<log a t ，解得0<t <a ，综上，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ∪(0，a )．【点评】 (1)函数的奇偶性对单调性的影响为：偶函数关于y 轴对称，故单调性相反；奇函数关于原点对称，故单调性不变． (2)对于抽象函数问题的研究，在得到函数的性质之后，可先画出抽象函数的“草图”，再根据图象来解决相关问题，比较直观，利于问题解决．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，若a ＝30.3·f (30.3)，b ＝log π3·f (log π3)，c ＝log 319·f ⎝⎛⎭⎪⎫log 319，则a ，b ，c 的大小关系是________．c >a >b 【解析】 令g (x )＝xf (x )，则由于f (x )是R 上的奇函数，所以g (x )为R 上的偶函数，又当x ∈(－∞，0)时不等式f (x )＋xf ′(x )<0成立，即g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )<0成立，故当x ∈(－∞，0)时，g (x )单调递减，从而g (x )在(0，＋∞)上单调递增．又由于1<30.3<2，log π3∈(0,1)，log 319＝－2，所以g (－2)＝g (2)>g (30.3)>g (log π3)，即c >a >b .探究点三 动态函数的值域求解动态函数值域的研究的基础是其单调性的研究，值域是作为单调性研究的一个应用而存在的．在这类问题处理时，也需要分类讨论思想．例3 已知函数f (x )＝x 2＋a ln x (a 为实常数)．(1)若a ＝－2，求证：函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； (2)求函数f (x )在[1，e]上的最小值及相应的x 值．【解答】 (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝x 2－2ln x .当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＝x 2－x>0，故函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(2)f ′(x )＝2x 2＋ax，当x ∈[1，e]时，2x 2＋a ∈[a ＋2，a ＋2e 2]．若a ≥－2，f ′(x )在[1，e]上非负(仅当a ＝－2，x ＝1时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是增函数，此时[f (x )]min ＝f (1)＝1.若－2e 2<a <－2，当x ＝－a 2时，f ′(x )＝0；当1≤x <－a 2时，f ′(x )<0，此时f (x )是减函数；当－a2<x ≤e 时，f ′(x )>0，此时f (x )是增函数． 故[f (x )]min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2. 若a ≤－2e 2，f ′(x )在[1，e]上非正(仅当a ＝－2e 2，x ＝e 时，f ′(x )＝0)，故函数f (x )在[1，e]上是减函数，此时[f (x )]min ＝f (e)＝a ＋e 2.综上可知，当a ≥－2时，f (x )的最小值为1，相应的x 值为1；当－2e 2<a <－2时，f (x )的最小值为a 2ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2－a 2，相应的x 值为－a 2；当a ≤－2e 2时，f (x )的最小值为a ＋e 2，相应的x 值为e.【点评】 一般地，在求动态函数的最值问题时，需要进行分类讨论．第一级讨论为讨论导函数方程根的个数问题；第二级讨论为讨论f ′(x )＝0根的个数与所给区间的关系；第三级讨论为极值与区间端点函数值大小比较．本题只涉前两级讨论． 规律技巧提炼1．函数性质研究以函数单调性研究为重点和难点．单调性研究主要有：一是单调区间的求解；二是根据所给区间内函数的单调性求参数范围；三是应用单调性解不等式；四是用分类讨论的思想研究动态函数的单调性．2．函数的奇偶性和周期性在函数性质研究中是“配角”，它们所起到的共同作用是由部分而知整体．3．动态函数的性质的研究，首先应该观察参数的位置，然后再研究参数对函数性质的影响．在用分类讨论的思想时要注意做到不重不漏，多积累分类讨论的标准的制定依据．例 [2011·江苏卷] 已知a ，b 是实数，函数f (x )＝x 3＋ax ，g (x )＝x 2＋bx, f ′(x )和g ′(x )分别是f (x )和g (x )的导函数，若f ′(x )g ′(x )≥0在区间I 上恒成立，则称f (x )和g (x )在区间I 上单调性一致．(1)设a >0，若f (x )和g (x )在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b 的取值范围； (2)设a <0且a ≠b ，若f (x )和g (x )在以a ，b 为端点的开区间上单调性一致，求|a －b |的最大值．【分析】 第一小问给出新定义，研究动态函数的单调性问题以及导数运算及应用、含参不等式恒成立问题，属于中档题；第二小问中由于参数a ，b 大小关系不清楚，所以需要进行分类讨论，对于二元问题的处理可以用线性规划思想解决，属于难题．【解答】 f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2x ＋b .(1)由题意知f ′(x )g ′(x )≥0在[－1，＋∞)上恒成立．因为a >0，故3x 2＋a >0，进而2x ＋b ≥0，即b ≥－2x 在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b ≥2.因此b 的取值范围是[2，＋∞)．(2)令f ′(x )＝0，解得x ＝±－a3. 若b >0，由a <0得0∈(a ，b )．又因为f ′(0)g ′(0)＝ab <0，所以函数f (x )和g (x )在(a ，b )上不是单调性一致的．因此b ≤0.现设b ≤0.当x ∈(－∞，0)时，g ′(x )<0；当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )>0.因此当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－－a 3时，f ′(x )g ′(x )<0.故由题设得a ≥－－a3且b ≥－－a 3，从而－13≤a <0，于是－13≤b ≤0，因此|a －b |≤13，且当a ＝－13，b ＝0时等号成立．又当a ＝－13，b ＝0时，f ′(x )g ′(x )＝6x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2－19，从而当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0时f ′(x )g ′(x )>0，故函数f (x )和g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0上单调性一致．因此|a －b |的最大值为13.已知定义域为D 的函数f (x )，如果对任意x ∈D ，存在正数K ，都有f (x )≤K |x |成立，那么称函数f (x )是D 上的“倍约束函数”．已知下列函数：①f (x )＝2x ；②f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4；③f (x )＝x －1；④f (x )＝xx 2－x ＋1.其中是“倍约束函数”的是________(写出所有满足要求的函数的序号)．①③④ 【解析】 ①当K ＝2时，2x ≤2|x |恒成立，故①是“倍约束函数”； ②当x ＝0时，f (0)＝2>K ×0，故不存在相应K ，使②为“倍约束函数”；③因为f x |x |＝x －1x 2＝－1x 2＋1x ≤14＝12，故存在K ≥12，满足题意； ④因为f x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2－x ＋1x ，－1x 2－x ＋1x，所以f x |x |≤43，故存在K ≥43，满足题意． 故符合条件的序号为①③④.专题二 分段函数 主干知识整合1．分段函数(1)分段函数定义：对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．它是一个函数，而不是几个函数．(2)定义域：各段函数定义域的并集． (3)值域：各段函数值域的并集． 2．分段函数的常见问题(1)分段函数的图象．(2)分段函数的函数值．(3)分段函数的单调性：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可．(4)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇(偶)函数，再由x ＞0，－x ＜0，分别代入各段函数式计算f (x )与f (－x )的值，若有f (x )＝－f (－x )，当x ＝0有定义时f (0)＝0，则f (x )是奇函数；若有f (x )＝f (－x )，则f (x )是偶函数． 要点热点探究探究点一 分段函数的单调性分段函数的单调性，首先应该判断各段函数的单调性，若每一段函数单调性一致，再判断分界点处函数值的关系，符合单调性定义，则该函数在整个定义域上单调递增或递减，不符合，则必须分开说明单调性．例1 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a xx ，⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋x 是R 上的单调递增．．函数，则实数a 的取值范围为________． [4,8) 【解析】 因为f (x )是定义在R 上的增函数，故y ＝a x和y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2x ＋2均为增函数，所以a >1且4－a2>0，即1<a <8. 又画出该分段函数图象，由图象可得，该函数还必须满足：a 1≥⎝ ⎛⎭⎪⎫4－a 2×1＋2，即a ≥4.综上，a 的取值范围为4≤a <8.【点评】 在处理分段函数的单调性时，易错在当每一段函数为单调递增时，误以为整个函数也是单调递增，还需要看分界点处的函数值的关系，如本题所给图象． 探究点二 分段函数的值域由于分段函数的值域为每一段函数值域的并集，所以分段函数的值域一般需要进行比较各段最值之间的大小关系后，才能明确．例2 已知函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|(a >0)．(1)当a ＝1时，求函数f (x )在区间[1，e]上的最大值； (2)当x ∈[1，＋∞)时，求f (x )的最小值．【解答】 (1)当a ＝1，x ∈[1，e]时，f (x )＝x 2－ln x ＋1，f ′(x )＝2x －1x≥f ′(1)＝1，所以f (x )在[1，e]上单调递增，所以f (x )max ＝f (e)＝e 2. (2)①当x ≥e 时，f (x )＝x 2＋a ln x －a ，f ′(x )＝2x ＋a x，∵a >0，∴f ′(x )>0恒成立，∴f (x )在[e ，＋∞]上为增函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.②当1≤x <e 时，f (x )＝x 2－a ln x ＋a ，f ′(x )＝2x －a x ＝2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a 2.(i)当a2≤1，即0<a ≤2时，f ′(x )在(1，e)上为正数，所以f (x )在区间[1，e)上为增函数，故当x ＝1时，y min ＝1＋a ，且此时f (1)<f (e)＝e 2； (ii)当1<a2<e ，即2<a <2e 2时，f ′(x )在⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上小于0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，e 上大于0， 所以f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫1，a 2上为减函数，在⎝⎛⎭⎪⎫a 2，e 上为增函数， 故当x ＝a 2时，y min ＝3a 2－a 2ln a 2，且此时f ⎝⎛⎭⎪⎫a 2<f (e)＝e 2； (iii)当a2≥e，即a ≥2e 2时，f ′(x )在(1，e)上为负数，所以f (x )在(1，e)上为减函数，故当x ＝e 时，y min ＝f (e)＝e 2.综上所述，函数y ＝f (x )的最小值y min＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ，0<a ≤2，3a 2－a 2ln a2，2<a <2e 2，e 2，a ≥2e 2.【点评】 一般地，含有绝对值符号的函数也是一种分段函数，如本题所给函数f (x )＝x 2＋a |ln x －1|，所以在研究其值域时，首先要通过分类讨论去掉其绝对值，再讨论每一段函数的单调性，最后再比较各段函数的最小值，从而求得函数的最小值． 探究点三 实际问题中的分段函数模型在函数的实际应用问题中经常出现分段函数的模型，在将题干中的文字语言转化为函数模型时，要注意不同情况下，所对应的不同函数模型．某地发生特大地震和海啸，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定往水中投放一种药剂来净化水质．已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x4＋x ，6x －2x，当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？(2)如果投放的药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的值．【解答】 (1)因为m ＝4，所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x ，24x －2x当0<x ≤4时，x ＋8≥4，显然符合题意；当x >4时，24x －2≥4⇒4<x ≤8.综上，0<x ≤8.所以自来水达到有效净化一共可持续8天．(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧mx 4＋2mx ，6mx －2x知在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ，在区间(4,7]上单调递减，即6m 5≤y <3m ，所以6m5≤y ≤3m .为使4≤y ≤10恒成立，只要6m 5≥4且3m ≤10即可，即m ＝103.所以为了使在7天之内的自来水达到最佳净化，投放的药剂质量m 应该为103.【点评】 本题的实际应用题所给函数模型为分段函数模型，模型无需建立(变式题需要建立模型)，本题的难点所在是对“有效净化”和“最佳净化”这两个词语的转化．[2011·湖北卷] 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v (单位：千米/小时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x ≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时，求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)【解答】 (1)由题意：当0≤x ≤20时，v (x )＝60；当20≤x ≤200时，设v (x )＝ax ＋b ，再由已知得⎩⎪⎨⎪⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60，0≤x <20，13－x ，20≤x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧60x ，0≤x <20，13x －x ，20≤x ≤200.当0≤x ≤20时，f (x )为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1200；当20≤x ≤200时，f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003. 当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立．所以，当x ＝100时，f (x )在区间[20,200]上取得最大值100003.综上，当x ＝100时，f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时． 规律技巧提炼1．分段函数在概念上的理解易出问题，会以为它是几个函数，要明确的是分段函数不论分几段，都是一个函数，只不过是每一个部分有着不同的解析式和图象．2．分段函数的函数值和相关不等式是高考的常考点，难度不大，如2010和2011年所考查的题．分段函数的单调性和值域以及实际问题中分段函数的模型是高考考查分段函数的重点，尤其是含参数的分段函数性质，此时用好分类讨论和数形结合这两个思想，会起到事半功倍的效果．3．分段函数的奇偶性很少考查，如有涉及，可画出分段函数的图象，转化为图象的对称性进行研究．例 [2011·江苏卷] 已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________．【答案】 －34【解析】 当a >0时，f (1－a )＝2－2a ＋a ＝－1－3a ＝f (1＋a )，a ＝－32<0，不成立；当a <0时，f (1－a )＝－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ＝f (1＋a )，a ＝－34.[ 2011·福建卷] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3A 【解析】 由已知，得f (1)＝2；又当x >0时，f (x )＝2x>1，而f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＝－2，且a <0，∴a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x >0.若f (2－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．(－2,1) 【解析】 画出函数的图象，如下图所示，由图象可得，该函数是定义在R 上的增函数，故2－x >x ，解得－2<x <1. 专题三 函数的切线 主干知识整合1．导数的几何意义函数f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在P (x 0，f (x 0))的切线斜率． 2．函数的切线方程对于函数f (x )(可导函数)，其在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，其中切线斜率k ＝f ′(x 0)．3．公切线(1)定义：同时切于两条或两条以上曲线的直线，叫做曲线的公切线． (2)两个函数的公切线：y －f (x 1)＝f ′(x 1)(x －x 1)与y －g (x 2)＝g ′(x 2)(x －x 2)为同一直线．其中若切点为同一点P (x 0，f (x 0))，则⎩⎪⎨⎪⎧fx 0＝g x 0，f x 0＝g x 0要点热点探究探究点一 公切线问题公切线问题是函数切线求解一个更深层次的问题，主要是求解两个函数图象与一条直线相切于同一个点的问题．例1 [2011·湖北卷] 设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l .(1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立． 特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，得m <0. 由韦达定理，可得x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2. 对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0， 则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0， 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数f (x )＋g (x )－mx 在x ∈[x 1，x 2]的最大值为0.于是当－14<m <0时，对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，0. 【点评】 两个函数在同一点的公切线的方程求解，主要是解⎩⎪⎨⎪⎧f x 0＝g x 0，f x 0＝g x 0，但要注意如果切点不在同一点时，不可以用该方程组，而是需要求两次切线方程，并证明切线方程重合．设a >0，f (x )＝xx －a，g (x )＝e xf (x )(其中e 是自然对数的底数)，若曲线y ＝f (x )与y＝g (x )在x ＝0处有相同的切线，求公切线方程．【解答】 (1)f ′(x )＝－ax －a 2，g ′(x )＝e x[f (x )＋f ′(x )]＝x 2－ax －a x x －a 2.f ′(0)＝－1a ，g ′(0)＝－1a.又f (0)＝0，g (0)＝f (0)＝0.所以，曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在x ＝0处有相同的切线y ＝－x a.探究点二 切线条数的问题过一点作函数切线的条数问题，应该先求出切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，然后再论证关于切点的方程的根的个数问题．例2 已知函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx 在x ＝±1处取得极值，且在x ＝0处的切线的斜率为－ 3.(1)求f (x )的解析式；(2)若过点A (2，m )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，求实数m 的取值范围．【解答】 (1)由f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ，得f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c .依题意⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝3a ＋2b ＋c ＝0，f －＝3a －2b ＋c ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧b ＝0，3a ＋c ＝0.又f ′(0)＝－3，∴c ＝－3，∴a ＝1，∴f (x )＝x 3－3x .(2)设切点为(x 0，x 30－3x 0)，∵f ′(x )＝3x 2－3，∴f ′(x 0)＝3x 20－3，∴切线方程为y －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(x －x 0)，又切线过点A (2，m )，∴m －(x 30－3x 0)＝(3x 20－3)(2－x 0)，∴m ＝－2x 30＋6x 20－6.令g (x )＝－2x 3＋6x 2－6，则g ′(x )＝－6x 2＋12x ＝－6x (x －2)， 由g ′(x )＝0得x ＝0或x ＝2，g (x )极小值＝g (0)＝－6，g (x )极大值＝g (2)＝2，画出草图知，当－6<m <2时，m ＝－2x 3＋6x 2－6有三解， 所以m 的取值范围是(－6,2)．【点评】 本题中方程m ＝－2x 3＋6x 20－6的三个根判定的问题，需要借助于图形来进行研究，先求导研究函数g (x )＝－2x 3＋6x 2－6的性质，再求出极值，即可求出m 的范围 探究点三 与切线有关的多边形问题函数的切线与其他线，如坐标轴所围成图形的面积或者线段长度的最值问题是难点问题．例3 如图3－1，有一正方形钢板ABCD 缺损一角(图中的阴影部分)，边缘线OC 是以直线AD 为对称轴，以线段AD 的中点O 为顶点的抛物线的一部分．工人师傅要将缺损一角切割下来，使剩余的部分成为一个直角梯形．若正方形的边长为2米，问如何画切割线EF ，可使剩余的直角梯形的面积最大？并求其最大值．【解答】 解法一：以O 建立如图所示的直角坐标系，依题意，可设抛物线弧OC 的方程为 y ＝ax 2(0≤x ≤2)，∵点C 的坐标为(2,1)，∴22a ＝1，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2(0≤x ≤2)，要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2(0<t <2)，∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2＝t2(x －t )，即y ＝12tx －14t 2.由此可求得E ⎝⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2. ∴|AF |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－14t 2－－＝1－14t 2， |BE |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t －14t 2－－＝－14t 2＋t ＋1. 设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝－12(t －1)2＋52≤52，∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5，此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5 m 2.解法二：以A 为原点，直线AD 为y 轴，建立如图所示的直角坐标系，依题意可设抛物线的方程为y ＝ax 2＋1(0≤x ≤2)．∵点C 的坐标为(2,2)，∴22a ＋1＝2，a ＝14，故边缘线OC 的方程为y ＝14x 2＋1(0≤x ≤2)．要使梯形ABEF 的面积最大，则EF 所在的直线必与抛物线弧OC 相切，设切点坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，14t 2＋1(0<t <2)， ∵y ′＝12x ，∴直线EF 的方程可表示为y －14t 2－1＝12t (x －t )，即y ＝12tx －14t 2＋1，由此可求得E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，t －14t 2＋1，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－14t 2＋1. ∴|AF |＝1－14t 2，|BE |＝－14t 2＋t ＋1，设梯形ABEF 的面积为S (t )，则S (t )＝12|AB |·(|AF |＋|BE |)＝1－14t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－14t 2＋t ＋1＝－12t 2＋t ＋2 ＝－12(t －1)2＋52≤52.∴当t ＝1时，S (t )＝52，故S (t )的最大值为2.5.此时|AF |＝0.75，|BE |＝1.75. 答：当AF ＝0.75 m ，BE ＝1.75 m 时，可使剩余的直角梯形的面积最大，其最大值为2.5m 2.【点评】 与切线有关的多边形的最值问题，首先应该面积建立关于动点P 的函数，再选择相关的方法求解所得函数的最值，复杂函数可以用求导进行研究．在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线y ＝－x 3＋1上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于A ，B 两点，则△AOB 的面积的最小值为________．3324【解析】 解法1：依题意设切点为(x 0，－x 30＋1)，易知x 0∈(0,1)，从而切线的斜率为k ＝－3x 20，切线方程为y －(－x 30＋1)＝－3x 20(x －x 0)⇒y ＝－3x 20x ＋2x 30＋1，从而可得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋13x 20，0，B (0,2x 30＋1)， 所以S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝4x 60＋4x 30＋16x 20＝23x 40＋23x 0＋16x 20，x 0∈(0,1)．记f (x )＝23x 4＋23x ＋16x2，x ∈(0,1)，则f ′(x )＝83x 3＋23－26x 3⇒f ′(x )＝8x 6＋2x 3－13x 3＝x 3＋x 3－3x 3. 又x ∈(0,1)，令f ′(x )＝0⇒4x 3－1＝0⇒x ＝314，易知f (x )在x ＝314时取得极小值且为最小值，所以当x 30＝14时有S △AOB 的最小值为4×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋4×14＋16×⎝⎛⎭⎪⎫3142＝3324.解法2：得到三角形的面积后可利用基本不等式S △AOB ＝12OA ·OB ＝12·(2x 30＋1)·2x 30＋13x 20＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 30＋1x 02＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 20＋12x 0＋12x 02≥16·⎝ ⎛⎭⎪⎫33122＝3324，当且仅当2x 20＝12x 0即x 30＝14时等号成立． 规律技巧提炼1．函数切线的求解主要包括以下问题 (1)求函数在某一点的切线方程；(2)求两个函数在某一点处的公切线方程； (3)求过一点作函数的切线或切线条数的求解．这三个问题，主要还是先求出在点P (x 0，f (x 0))处的切线方程y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，再进行相关论证．2．与切线有关的问题与切线有关的多边形的面积或长度的最值问题，切线方程求解不难，主要是建立函数后对所建立函数的研究，难度会因为所建函数不同而不同．例 [2011·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中，过坐标原点的一条直线与函数f (x )＝2x的图象交于P 、Q 两点，则线段PQ 长的最小值是________．【分析】 高考在考查函数切线问题时，主要是以切线为背景函数的其他知识，如2011年与切线有关的两点纵坐标差的最值问题研究，属于难题．【答案】 4【解析】 设直线为y ＝kx (k >0)，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，y ＝2x⇒x 2＝2k，y 2＝k 2x 2＝2k ，所以PQ ＝2OP＝x 2＋y 2＝22k＋2k ≥224＝4.设曲线y ＝(ax －1)e x 在点A (x 0，y 1)处的切线为l 1，曲线y ＝(1－x )e －x在点B (x 0，y 2)处的切线为l 2，若存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32，使得l 1⊥l 2，则实数a 的取值范围是________． ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32 【解析】 依题意由y ＝(ax －1)e x ，得y ′＝a e x ＋(ax －1)e x ＝(ax ＋a －1)e x ，所以kl 1＝(ax 0＋a －1)e x 0.由y ＝(1－x )e －x＝1－x e x ，得y ′＝－e x －－x xx 2＝x －2e x ，所以kl 2＝x 0－2e x 0.因为l 1⊥l 2，所以kl 1·kl 2＝－1，即(ax 0＋a －1)e x 0·x 0－2e x 0＝－1，即(ax 0＋a －1)·(x 0－2)＝－1，从而a ＝x 0－3x 20－x 0－2，其中x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32. 令f (x )＝x －3x 2－x －2⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤x ≤32，则f ′(x )＝－x －x －x 2－x －2， 当x ∈(0,1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又因为f (0)＝32，f (1)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝65，所以a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，32. 专题四 函数的零点 主干知识整合1．函数的零点：使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (1)函数的零点⇔方程的根；(2)零点存在理论：在区间[a ，b ]上连续；f (a )·f (b )<0. 2．常见求解方法(1)直接解方程，如一元二次方程； (2)用二分法求方程的近似解； (3)一元二次方程实根分布规律；(4)用数形结合法将方程的根转化为函数零点．画出y ＝f (x )图象可用到以下方法： ①用图象变换法则画复杂函数图象；②用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象，如y ＝ln xx；③可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程e xln x ＝1，转化为y ＝ln x ，y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x ； ④如果是带有参数的方程，可以进行参数分离变为m ＝g (x )，再画y ＝g (x )与y ＝m (常数函数)的图象． 要点热点探究探究点一 用零点存在定理判断函数零点零点存在定理是间接判断方程的根或函数零点的间接方法．只能大致判断零点所在区间以及区间中零点的个数，不能够准确求解零点的值．例 1 已知函数f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011，g (x )＝1－x ＋x 22－x 33＋x 44－…－x 20112011，设F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)，且函数F (x )的零点均在区间[a ，b ](a <b ，a ，b ∈Z)内，则b －a 的最小值为________．【解答】 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3. 由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线， 故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1.由此得⎩⎪⎨⎪⎧ 8＋8a ＋2b ＋a ＝0，12＋8a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝5.所以a ＝－2，b ＝5，切线l 的方程为x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＝x 3－4x 2＋5x －2，所以f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x .依题意，方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，故x 1、x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两相异的实根．所以Δ＝9－4(2－m )>0，即m >－14.9 【解析】 由F (x )＝f (x ＋3)·g (x －3)可知，函数F (x )的零点即为f (x ＋3)的零点或g (x －3)的零点．f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010，当x >－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0成立，f ′(－1)＝2011>0；当x <－1时，f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010＝1＋x 20111＋x>0也成立，即f ′(x )＝1－x ＋x 2－x 3＋…＋x 2010>0恒成立，所以f (x )＝1＋x －x 22＋x 33－x 44＋…＋x 20112011在R 上单调递增．f (0)＝1，f (－1)＝(1－1)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12010－12011<0， f (x )的惟一零点在[－1,0]内，即f (x ＋3)的惟一零点在[－4，－3]内． 同理，g (x －3)的惟一零点在[4,5]内，因此b ＝5，a ＝－4，b －a ＝9.可知a<0(2)设t＝f(x)，则原方程即化为t2＋at＋b＝0，由t＝f(x)图象如下：可得：当t＝1时，有三解，当>0且≠1时，有两解．又t1＋t2＝－a，所以当t1＝1，t2∈(0,1)∪(1，＋∞)时，原方程有5个解，即a∈(－∞，－2)∪(－2，－1)．【点评】 (1)和(2)中的方程根都不能够解出，所以用图象进行研究比较简单．第(1)题中直接画题干所给的三个函数的图象不容易，故转化为两个较为简单函数，再画图象可以判断零点大小；第(2)题中是一个符合的方程，需要进行换元，分两步进行研究，一是t＝f(x)；二是t2＋at＋b＝0.探究点三 不定方程的根的判断所谓不定方程，是指未知数的个数多于方程个数，且未知数受到某些限制(如要求是有理数、整数或正整数等等)的方程或方程组．常见问题有：(1)求不定方程的解；(2)判定不定方程是否有解；(3)判定不定方程的解的个数．例3 设m ∈N ，若函数f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10存在整数零点，则m 的取值集合为________．{0,3,14,30} 【解析】 原命题等价为f (x )＝2x －m 10－x －m ＋10＝0有整根，即方程m ＝2x ＋1010－x ＋1有整数解．因为m ∈N ，所以2x ＋10≥0，且10－x ≥0，所以x ∈[－5,10]，且x ∈Z ，又10－x ∈Z ，当x ＝－5时，m ＝0；当x ＝1时，m ＝3；当x ＝6时，m ＝223(舍去)；当x ＝9时，m ＝14；当x ＝10时，m ＝30.【点评】 含有参数的方程整数解的问题，可以考虑将参数和未知数x 分离，再利用整除(有理、奇偶、约数)来得到参数和未知数的特征，通过逐一代入得到结果． 探究点四 含参数的方程根的问题含有参数的方程根的问题，随着参数取值不同，方程根的个数不同，所以需要借助于数形结合和分类讨论的思想来解决．例4 已知函数f (x )＝12x 2－a ln x (a ∈R)．(1)若函数f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b ，求a ，b 的值； (2)讨论方程f (x )＝0的解的个数，并说明理由．【解答】 (1)因为f ′(x )＝x －a x(x >0)，又f (x )在x ＝2处的切线方程为y ＝x ＋b所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ln2＝2＋b ，2－a2＝1，解得：a ＝2，b ＝－2ln2.(2)当a ＝0时，f (x )在定义域(0，＋∞)上恒大于0，此时方程无解； 当a <0时，f ′(x )＝x －ax>0在(0，＋∞)上恒成立， 所以f (x )在定义域(0，＋∞)上为增函数．∵f (1)＝12>0，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 1a ＝12e 2a－1<0，所以方程有惟一解；当a >0时，f ′(x )＝x －a x ＝x 2－a x ＝x ＋a x －ax，因为当x ∈(0，a )时，f ′(x )<0，所以f (x )在(0，a )内为减函数； 当x ∈(a ，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)内为增函数．所以当x ＝a 时，f (x )有极小值即为最小值f (a )＝12a －a ln a ＝12a (1－ln a )，当a ∈(0，e)时，f (a )＝12a (1－ln a )>0，此方程无解；当a ＝e 时，f (a )＝12a (1－ln a )＝0.此方程有惟一解x ＝a ，当a ∈(e ，＋∞)时，f (a )＝12a (1－ln a )<0，。
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江苏省灌云县陡沟中学2020学年高中数学第2章《函数》复习导学案
新人教版必修1
一、学习目标：
1.梳理本章知识结构，找出重点；
2 •函数的概念、图象及其性质、映射的概念.
二、学习重难点：
函数的概念与图象及函数的简单性质.
三、学习过程
复习引导
本章主要运用数形结合的方法来研究函数的性质，可以通过函数的图象来探究函数的性质, 性质又可以作出函数的图象.
1. 画出本章知识结构图.
2. 慨念回顾；
國数的定义;
函数的单调性i 函数的奇偶性I 映射慨念.
典型例題
1.求下列酗的走义域: （无答案）利用函数的
2•作出下列函数图象
①y x 1
1
② y —(1 x 2,x 0)
x
x
2
1 3.已知f (x)
(x O' f( 3)= ,f (3)= ; 2x (x 0) f (x) 10 , x = 4.已知函数若f(x 1) 3x 2，求f(x)
巩固媒习
L 已知函数j(Q=2x+?的值域为｛ —1齧耳 则它的定义域为 _____________ 工已知函数血才刊冷"则加-乃］的值拘 _____________________ . 3-给出下列四个对应，其中构展映射的是 _________ .
4.设函数f (x ) = x 2+ (a + 1)x + a + 1为奇函数，则实数 a = ____________________
5.当 x € [ — 2,1]：时，函数 f (x ) = x 2+ 2x - 2 的值域是 r ___________ _ 2 7.已知 f (x -1) = x - 2x — 3,求 f (x )
5.根据函数单调性的定义证明函数
f (x) x 3 1在R 上是减函数
6.已知 f (x )=
2 x + 1, x <0 —2x , x >0 ，若f (a ) = 10,则a 的值为
① ② ③
&已知函数f (x)= .
x - 6
(1)点(3,14)在f(x)的图象上吗?
⑵当x = 4时，求f(x)的值；
(3)当f (x) = 2时，求x的值.
2
9.函数f(x) = x -2|x|，画出此函数的图象，并指出图象的对称性及其单调区间.。