上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海市建平中学2019-2020学年高二下学期期末考试数学试题(解析版)
建平中学2019学年度第二学期期末考试高二数学试卷 2020.06.30说明：（1）本场考试时间为120分钟，总分150分；（2）请认真答卷，并用规范文字书写．一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1．半径为1的球的表面积为______________． 【答案】4π2．二项式()101x +的展开式中5x 的系数为_____________．【答案】2523．圆锥的底面半径为1，一条母线长为3，则此圆锥的高为_______________．【答案】4．若2666n nC -=，则正整数n 的值为_______________．【答案】375．已知001x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2x y -的最小值为_____________．【答案】1-6．数据110,119,120,121的方差为_____________． 【答案】19.257．已知关于,,x y z 的实系数三元一次线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有唯一解415x y z =⎧⎪=⎨⎪=-⎩，设111222333d b c A d b c d b c =，111222333a d c B a d c a d c =，111222333a b d C a b d a b d =，则A B C ++=_____________． 【答案】08．已知{}*,2020,N a b x x x ∈≤∈，满足a b <的有序实数对(),a b 的个数为_________．【答案】20391909．已知关于,x y 的实系数二元一次线性方程组的增广矩阵为22126a A -⎛⎫=⎪⎝⎭，小明同学为了求解此方程组，将矩阵A 进行初等变换得到矩阵21715B b -⎛⎫=⎪⎝⎭，则a b +=_____．【答案】210．111111111110!10!1!9!2!8!3!7!4!6!5!5!6!4!7!3!8!2!9!1!10!0!++++++++++=_______． 【答案】41417511．已知等边ABC △的边长为2，设BC 边上的高为AD ，将ADC △沿AD 翻折使得点B 与点CA BCD -的外接球的体积为_____________．【答案】612．()()()()23465432654321031111x x x a x a x a x a x a x a x a x ---=++++++-对任意()0,1x ∈恒成立，则3a =______________． 【答案】6二、选择题（每题5分，满分20分）13．三阶行列式111213212223313233a a a a a a a a a 中23a 的代数余子式为（ ） （A ）11123132a a a a （B ）11123132a a a a -（C ）1112233132a a a a a （D ）1112233132a a a a a -【答案】B14．已知球O 的半径为1，A B 、为球O 上的任意两点，则A B 、两点的球面距离的最大值为（ ） （A ）2 （B ）π （C ）2π （D ）2π+ 【答案】B15．从老杨、老王及其他100名市民中随机抽取5名进行新冠病毒的核酸检测，则“老杨被抽中进行检测，但老王未被抽中进行检测”的概率为（ ）（A ）1920 （B ）97102 （C ）19396（D ）48510302【答案】D16．已知空间向量()111,,a x y z =和()222,,b x y z =，设12112x x D y y =和12212x x D z z =，则“a b ∥”是“120D D ==”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件 【答案】A三、解答题（本题共有5大题，满分76分） 17.（14分）已知34z i =+，其中i 为虚数单位． （1）求Re Im z z z +-的值；（2）若实数,x y 满足6z x z y ⋅+⋅=，其中z 为z 的共轭复数，求x 的值． 【答案】（1）Re Im 342z z z +-=+=．（2）336164401x y x z x z y x y y ⎧+==⎧⋅+⋅=⇒⇒⎨⎨-==⎩⎩，故1x =．18.（14分）已知圆柱Γ和圆柱Λ的侧面展开图为两个全等的矩形，若该矩形的两边分别为4和9，设圆柱Γ的高为1h ，体积为1V ，圆柱Λ的高为2h ，体积为2V ，其中12h h >．（1）求12h h 的值； （2）求12V V 的值． 【答案】（1）由题意得129,4h h ==，故1294h h =． （2）设圆柱Γ的底面半径为1r ，圆柱Λ的底面半径为2r由题意得2221111112222222444942999492r V r h r h r V r h r h ππππ⎛⎫⎛⎫==⇒==⋅=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故1249=V V ．19.（14分）如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 为等腰直角三角形，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，M 是侧棱1CC 上一点，设MC h =．（1）若1h =，求异面直线BM 与1A C 所成角的大小； （2）若2h =，求直线1BA 与平面ABM 所成角的大小； （3）若3h =，求点M 到平面1A BC 的距离． 【答案】（1）以A 为坐标原点，射线1,,AB AC AA 分别为x 轴，y 轴，z 轴正半轴建立空间直角坐标系()()()()12,0,0,0,2,1,0,0,4,0,2,0B M A C ()()12,2,1,0,2,4BM AC =-=- ()112022140BM AC BM AC ⋅=-⨯+⨯+⨯-=⇒⊥故异面直线BM 与1A C 所成角的大小为2π． （2）()()()()12,0,0,0,0,4,0,0,0,0,2,2B A A M()()()12,0,4,2,0,0,0,2,2BA AB AM =-==设平面ABM 的一个法向量为n ，直线1BA 与平面ABM 所成角为θ则()1110100,1,1sin arcsin 252BA n n BA nθθ⋅=-⇒===⇒=⨯⋅故直线1BA 与平面ABM 所成角为10arcsin． （3）()()()()12,0,0,0,2,0,0,0,4,0,2,1B C A M()()()1112,0,4,0,2,4,0,2,1A B AC A M =-=-=- 设平面1A BC 的一个法向量为n ，点M 到平面1A BC 的距离为d则()130,2,113A M n n d n⋅=-⇒=== 故点M 到平面1A BC 的距离为1．20.（16分）三棱锥P ABC -中，已知APB BPC CPA ∠=∠=∠，设,,PA a PB b PC c ===，其中0,0,0a b c >>>．（1）若2APB π∠=，证明：PA BC ⊥；（2）若2APB π∠=，判断ABC △是否为锐角三角形，并求出此时ABC △的面积S （用,,a b c 表示）；（3）若3APB π∠=，1abc =，判断三棱锥P ABC -的体积是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由． 【答案】（1）2APB BPC CPA π∠=∠=∠=，即,PA PB PA PC ⊥⊥,,PA PB PA PC PB PC P ⊥⊥=，故PA ⊥平面PBCPA ⊥平面PBC ，BC 平面PBC ，故PA BC ⊥．（2）在Rt APB △中，AB ==在Rt BPC △中，BC == 在Rt CPA △中，AC =在ABC △中，2222cos 00,22AB AC BC A A AB AC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AB BC AC B B AB BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭在ABC △中，2222cos 00,22AC BC AB A C AC BC π+-⎛⎫==>⇒∈ ⎪⋅⎝⎭S == 综上所述，ABC △为锐角三角形，此时ABC △的面积S =（3）在射线PB 和PC 上分别取点D 和E 使得PD PE a ==，联结,AD AE 和DE在三棱锥P ADE -中，PA PD PE a ===，3APB BPC CPA π∠=∠=∠=故AD AE DE a ===，即三棱锥P ADE -为正四面体，易知3P ADE V -=333P ABC P ADE abc abc V V a a --==== 故三棱锥P ABC -．21.（18分）已知抛物线()2:20C x py p =>，过定点()()0,0M m m >作直线AB 交抛物线C 于,A B 两点，设()()1122,,,A x y B x y ，其中120,0x x <>．（1）若2212x x =，求直线AB 的斜率； （2）若1240x x m +=，求p 的值；（3）若点P 是直线:0l y m +=上任意一点，设直线,,PA PB PM 的倾斜角分别为,,αβγ，是否存在实数λ使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立，若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）设直线AB 的斜率为k ，则()22122212121212122202x x y y x x p p k x x x x p x x ---====--- 故直线AB 的斜率为0．（2）设直线AB 的方程为y kx m =+22122220242x pyx pkx pm x x pm m p y kx m⎧=⇒--=⇒=-=-⇒=⎨=+⎩故p 的值为2．（3）设点P 的坐标为()0,x m -，故101cot x x y m α-=+，202cot x x y m β-=+，0cot 2x mγ-= 1020102001212cot cot cot 222x x x x x x x x xy m y m kx m kx m mλαβλγ----++=+=+-++++ ()()()1201200221212224cot cot cot 242kx x m kx x x mx x k x x km x x m mλαβλγ+-+-⇒++=-+++ 212212222202x x pk x py x pkx pm x x pm y kx m ⎧+==⎧⎪⇒--=⇒⎨⎨=-=+⎪⎩⎩()()()0002222224cot cot cot 22242k pm m kx pk mx x k pm km pk m m λαβλγ-+--⇒++=--+⋅+ ()()2000222cot cot cot 12222x pk m x x m mm pk m λλαβλγ-+⎛⎫⇒++=-=-- ⎪+⎝⎭ cot cot cot 0αβλγ++=对0R x ∀∈恒成立，则1022λλ--=⇒=-综上所述，存在实数2λ=-使得cot cot cot 0αβλγ++=恒成立．。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（ ） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（ ） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数 单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（ ） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（ ）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（ ）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（ ）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（ ） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（ ） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（ ）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（ ）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（ ）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（ ） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（ ）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为 ） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（ ） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（ ）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（ ）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题 【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______； 【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题 【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题 【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题 【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题 【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。
上海交通大学附属中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析
交大附中高二期中数学卷一. 填空题1.若(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为________（结果用反三角函数值表示） 【答案】arctan 2 【解析】 【分析】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=，即可求解直线的倾斜角。
【详解】由(2,1)n =-r是直线l 的一个法向量，所以可知直线l 的一个方向向量为(1,2)，直线l 的倾斜角为α，可得tan 2k α==， 所以直线的倾斜角为tan 2arc α=。
故答案为：tan 2arc 。
【点睛】本题主要考查了直线的方向向量，以及直线的斜率与倾斜角的应用，其中解答中根据直线的方向向量求得直线的斜率是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题。
2.直角坐标平面xOy 中，若定点(1,2)A 与动点(,)P x y 满足4OP OA ⋅=u u u r u u u r，则点P 的轨迹方程是________【答案】24x y += 【解析】 【分析】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r ，由(1,2)A ，所以(1,2)OA =u u u r ，代入4OP OA ⋅=u u u r u u u r，即可求解。
【详解】设点(,)P x y ，则(,)OP x y =u u u r，可得(1,2)OA =u u u r ，因为4OP OA ⋅=u u u r u u u r，所以(,)(1,2)24x y OP OA x y ⋅=⋅=+=u u u r u u u r ，即24x y +=，所以点的轨迹方程为24x y +=。
故答案为：24x y +=。
【点睛】本题主要考查了向量的数量积的运算，以及轨迹方程的求解，其中解答中熟练应用向量的数量积的运算公式，准确计算即可求解，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
3.已知圆22440x x y --+=的圆心是点P ，则点P 到直线10x y --=的距离是 ．【答案】2【解析】试题分析：圆的标准方程为：()2228x y -+=，圆心P 点的坐标为：()2,0，所以点P 到直线10x y --=的距离d === 考点：1、圆的标准方程；2、点到直线的距离公式.4.若向量a r 、b r 满足a r ＝1，b r ＝2，且a r 与b r 的夹角为3π，则a b +r r＝_________.【解析】 【分析】由1,2,,a b a b ==v v v v 夹角为3π，利用平面向量数量积公式，求得a b +r r 平方的值，从而可得结果.【详解】1,2,,a b a b ==v Q v v v 夹角为3π，所以2222a b a b a b +=++⋅v v v v v v142cos 3a b π=++vv152125272=+⨯⨯⨯=+=所以a b +=r r..5.三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式的值为10-，则k =________.【答案】14- 【解析】根据余子式的概念，在行列式中划去第2行第1列后，所余下的2阶行列式带上符号21(1)+-，即为所需代数余子式，由题意列出方程求解，即可得出结果.【详解】由题意，可得：三阶行列式42354112k---第2行第1列元素的代数余子式为212(1)22141012+-=⨯+⨯=+=--kk k ， 解得14=-k . 故答案为：14-【点睛】本题主要考查已知行列式的代数余子式求参数的问题，熟记概念即可求解，属于常考题型.6.点(3,4)P 关于直线1x y -=的对称点的坐标是_____． 【答案】(5,2) 【解析】 【分析】设对称点坐标，利用两点连线与直线垂直、两点的中点在直线上可构造方程求得结果. 【详解】设()3,4P 关于直线1x y -=的对称点坐标为(),P m n '411334122n m m n -⎧⨯=-⎪⎪-∴⎨++⎪-=⎪⎩，解得：52m n =⎧⎨=⎩ ()5,2P '∴本题正确结果：()5,2【点睛】本题考查点关于直线的对称点的求解问题，常用方法是采用待定系数法，利用两点连线与对称轴垂直且中点在对称轴上可构造方程组求得结果.7.己知两点(3,2)A ，(1,5)B -，直线l ：1y kx =-与线段AB 有公共点，则直线l 的倾斜角α的取值范围________ 【答案】[,arctan 6]4ππ-【分析】由直线l 恒经过定点(0,1)P -，由直线的斜率公式，求得1,6PA PB k k ==-，再由倾斜角和斜率的关系，即可求解。
上海市光明中学2019-2020学年度高一数学第一学期期末考试(详解版)
光明中学2019学年第一学期期末考试高一数学试题命题人 向宪贵 审题人 蔡晓荣 2020.01考生注意： l ．本试卷共有19道试题，满分100分．考试时间90分钟．2．答卷前，考生务必在答题纸上将学校、班级、姓名、学号、准考证号等填写清楚．友情提示： 诚实守信，沉着冷静，细致踏实，自信自强！一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、函数12()f x x =的定义域是 ；2、不等式111x <-的解集为 ； 3、函数2()1(0)f x x x =-≥的反函数1()f x -= ；4、函数()ln(2)f x x =-的递增区间为 ；5、方程96370x x -⋅-=的解是 ；6、已知函数()f x 为偶函数，且当0x >时2()1f x =x x -+，则当0x <时()f x = ； 7、已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为____________；8、函数2()f x x bx c =++与函数21()x x g x x ++=在区间1[,2]2上的同一点处取相同的最小值，则()f x 在区间1[,2]2上的最大值是 ；9、直线1y =与曲线2y x x a =-+有四个交点，则a 的取值范围是 ；10、设函数定义域为R ，对于给定的正数K ，定义函数取函数．当=时，函数的单调递增区间为 .二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（ ）.A 1a b >+ .B 1a b >- .C 22a b > .D 33a b >()y f x =(),(),(),().K f x f x K f x K f x K ≤⎧=⎨>⎩()2x f x -=K 12()K f x12、定义域为R 的函数()f x 是奇函数，且在[0,5]x ∈上是增函数，在[5,)+∞上是减函数，又(5)2f =，则()f x （ ）.A 在[5,0]x ∈-上增函数且有最大值-2 .B 在[5,0]x ∈-上增函数且有最小值-2.C 在[5,0]x ∈-上减函数且有最大值-2 .D 在[5,0]x ∈-上减函数且有最小值-213、若函数()f x 为R 上的偶函数，且()f x 在[)0+∞，上单调递减，则不等式(21)()f x f x -≥的解集为（ ）A. 113⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B. [)1,1,3⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦U C. (][),11,-∞+∞U D. (],1-∞ 14、有下面四个命题：①奇函数一定是单调函数；②函数3(0)xy k k =⋅>（k 为常数）图像可由3x y =的图像平移得到；③若幂函数a y x =是奇函数，则a y x =是定义域上的增函数；④既是奇函数又是偶函数的函数是0()y x R =∈．其中正确的有（ ）.A 3个 .B 2个 .C 1个 .D 0个三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分） 已知1{|39}3x A x =<<， {}2|log 0B x x =>． （1）求A B ⋂和A B ⋃；（2）定义{|A B x x A -=∈且}x B ∉，求A B -和B A -．16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）函数()2x f x =和3()g x x =的图像的示意图如图所示，两函数的图像在第一象限只有两个交点()()111212,,,,A x y B x y x x <（1）请指出示意图中曲线12C C 、分别对应哪一个函数；（2）设函数()()()h x f x g x =-,则函数()h x 的两个零点为12x x 、，如果12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，其中,a b 为整数，指出,a b 的值，并说明理由．17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分） 已知函数3()log 0,13m x f x m m x -=>≠+（）． （1）判断()f x 的奇偶性并证明；（2）若12m =，试用定义法判断()f x 在3,+∞（）的单调性．18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）科学家发现某种特别物质的温度y （单位：摄氏度）随时间x （时间：分钟）的变化规律满足关系式：122x x y m -=⋅+（04x ≤≤，0m >）.（1）若2m =，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度；（2）如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m 的取值范围.19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）已知函数1()22x xf x =-，()(4lg )lg ()g x x x b b R =-⋅+∈. （1）若()0f x >，求实数x 的取值范围；（2）若存在12,[1,)x x ∈+∞，使得12()()f x g x =，求实数b 的取值范围；（3）若()0<g x 对于(0,)x ∈+∞恒成立，试问是否存在实数x ，使得[()]f g x b =-成立？若存在，求出实数x 的值；若不存在，说明理由.上海市光明中学2019学年第一学期期终考试高一数学试题参考答案一、填空题（本大题共有10道小题，1-6题填对得3分，7-10题填对得4分，满分34分）1、[)0,+∞2、(,0)(2,)-∞+∞U 3、1(1)f x x -≥-4、()2,+∞5、3log 7x =6、2()1f x =x +x +7、88、49、5(1,)4 10、二、单选题（本大题共有4道题，每道题只有一个正确选项，选对得4分，满分16分）11、A 12、B 13、A 14、C三、解答题（本大题共有5道题，满分50分）15、（本题满分8分，第一问4分，第二问4分）解：（1）()1{|39}1,23x A x =<<=-； --------1分 {}()2|log 01,B x x =>=+∞ --------2分()1,2A B ⋂=, --------3分()1,A B ⋃=-+∞--------4分（2） (]1,1A B -=-, --------2分[)2,B A -=+∞--------4分16、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）C 1对应的函数为3()g x x =，--------2分C 2对应的函数为()2x f x =. --------4分（2）计算得1,9a b == --------1分理由如下：令3()()()2x x f x g x x ϕ=-=-， --------2分 (,1)-∞-由于93103(1)10,(2)40,(0,(10)210909)2h h h h =>=-<=<=->-，--------4分 则函数()x ϕ的两个零点2(1,2),(9,10)i x x ∈∈--------5分 因此整数1,9a b == --------6分17、（本题满分10分，第一问4分，第二问6分）【解】（1）()f x 是奇函数；证明如下： 由303x x -+＞解得3,3x x <->或； 所以()f x 的定义域为(,3)(3,)-∞-+∞U 关于原点对称． --------1分∵()3333m m x x f x log log x x --+-==-+-=()13()3m x log f x x -+=--， --------3分 故()f x 为奇函数．--------4分（2）任取1212,3,x x x x ∈+∞<（）,且 - ()()1212123333m m x x f x f x log log x x ---=-++=()()()()12123333m x x log x x -++-， --------2分 ∵()()()()()112221333036x x x x x x -+-+-=<-，∴()()()()121203333x x x x <-+<+-，即()()()()1212330133x x x x -+<+-＜， -------4分 当12m =时，()()()()12112233033x x log x x -+>+-，即()12()f x f x >．--------5分 故()f x 在3,+∞（）上单调递减．--------6分18、（本题满分10分，第一问3分，第二问7分）【解】（1）由题意，当2m =，令122222252x x x xy -=⋅+=⋅+=， 04x ≤≤Q 时，解得1x =， -------2分因此，经过1分钟时间，该物质的温度为5摄氏度；--------3分（2）由题意得1222x x m -⋅+≥对一切04x ≤≤恒成立，则由1222x x m -⋅+≥，得出22222x x m ≥-，--------2分 令2x t -=，则1116t ≤≤，且222m t t ≥-，--------4分构造函数()221122222f t t t t ⎛⎫=-=--+ ⎪⎝⎭， 所以当12t =时，函数()y f t =取得最大值12，则12m ≥.--------6分 因此，实数m 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.--------7分19、（本题满分12分，第一问3分，第二问4分，第三问5分）【解】（1）()0f x >即22x x ->，∴x x >-，∴0x >.--------3分 （2）设函数()f x ，()g x 在区间[)1,+∞上的值域分别为A ，B ，因为存在[)12,1,x x ∈+∞，使得()()12f x g x =，所以A B ⋂≠∅，--------1分∵()122x x f x =-在[)1,+∞上为增函数，∴3,2A ⎡⎫=+∞⎪⎢⎣⎭，--------2分 ∵()()2lg 24g x x b =--++，[)1,x ∈+∞，∴()(],4g x b ∈-∞+，∴(],4B b =-∞+.--------3分 ∴342b +≥即52b ≥-.--------4分 （3）∵()()2lg 240g x x b =--++<对于()0,x ∈+∞恒成立，∴40b +<，4b <-，--------1分且()g x 的值域为(],4b -∞+.--------2分∵()122x x f x =-为增函数，--------3分 且0x <时，()0f x <，∴()0f g x ⎡⎤<⎣⎦.--------5分∴()0f g x b ⎡⎤+<⎣⎦，-------6分∴不存在实数x ，使得()f g x b ⎡⎤=-⎣⎦成立. --------7分。
上海市上海中学2018-2019学年高二上学期期中数学试题(原卷+解析版)
由
由于B在直线 上，故m=1
故选：A
【点睛】本题考查了线性规划，考查了学生数形结合，转化与划归的能力，属于中档题.
16.如图， 的 边长为 ， 分别是 中点，记 ， ，则（）
A. B.
C. D. ，但 的值不确定
【答案】C
【解析】
试题分析：因为 分别是 中点，所以根据平面向量的线性运算 可得 ,所以 由 可得 ,故选C.
（1）求向量 与 的夹角 ；
（2）若 ，且 ，求实数t的值及 .
【答案】（1） ；（2） ， = .
【解析】
【分析】
（1）由向量的数量积，代值计算即可；
（2）由数量积为0，代入计算即可.
【详解】（1）因为
故
解得：
因为 ，所以 .
（2）
则
化简得：
解得：此时=Fra bibliotek==
=
【点睛】本题考查向量数量积的运算，属基础题.
19.
如图，在平面直角坐标系xOy中，平行于x轴且过点A(3 ，2)的入射光线l1
被直线l：y= x反射．反射光线l2交y轴于B点，圆C过点A且与l1,l2都相切.
(1)求l2所在直线的方程和圆C的方程；
(2)设 分别是直线l和圆C上的动点，求 的最小值及此时点 的坐标．
【答案】（1） 所在的直线方程为 ，圆C的方程为 （2）
【解析】
【详解】（1）直线 设 .
的倾斜角为 ， 反射光线 所在的直线方程为
.即 .
已知圆C与 , 圆心C在过点D且与 垂直的直线上，
考点：平面向量的线性运算与数量积运算.
三、解答题
17.已知二元一次方程组的增广矩阵为 ，请利用行列式求解此方程组.
2022上海高二数学满分攻略(沪教版2020第一册)第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)练习
第18讲导数的概念及其意义(核心考点讲与练)一、平均变化率【例1】（2018·上海市吴淞中学高三期中）如图所示，单位圆中弧AB 的长为x ，f (x )表示弧AB 与弦AB 所围成的弓形面积的2倍，则函数y ＝f (x )的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．【例2】（2022·北京延庆·高二期末）函数2()f x x 在区间[2,4]上的平均变化率等于（ ） A ．2B ．4C ．6D ．8【例3】（2021·广西河池·高二阶段练习（理））在导数定义中“当0x ∆→时，()0yf x x∆→'∆”，x ∆（ ） A ．恒取正值 B ．恒取正值或恒去取负值 C ．有时可取0D ．可取正值可取负值，但不能取零【例4】（2021·江苏·高二专题练习）“天问一号”于2021年2月到达火星附近，实施火星捕获.2021年5月择机实施降轨，在距离火星表面100 m 时，“天问一号”进入悬停阶段，完成精避障和缓速下降后，着陆巡视器在缓冲机构的保护下，抵达火星表面，巡视器在9 min 内将速度从约20000 km ／h 降至0 km/h.若记与火星表面距离的平均变化率为v ，着陆过程中速度的平均变化率为a ，则（ ） A ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈/ B ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈/ C ．0.185m s v ≈/，210.288m s a ≈-/ D ．0.185m s v ≈-/，210.288m s a ≈-/ 二、瞬时变化率【例1】（2021·广西·高三阶段练习（文））已知某物体位移S （米）与时间t （秒）的关系是323S t t =-，则速度为9米/秒的时刻是（ ） A ．1秒末 B ．0秒末 C ．3秒末D ．1秒末或3秒末【例2】（2021·全国·高二课时练习）一物体的运动满足曲线方程s (t )＝4t 2＋2t －3，且s ′（5）＝42(m/s)，其实际意义是（ ）A ．物体5 s 内共走过42 mB ．物体每5 s 运动42 mC ．物体从开始运动到第5 s 运动的平均速度是42 m/sD ．物体以t ＝5 s 时的瞬时速度运动的话，每经过1 s ，物体运动的路程为42 m 【例3】（2021·山东·高三阶段练习）现有一球形气球，在吹气球时，气球的体积V （单位：L ）与直径d （单位：dm ）的关系式为36V d π=，估计当1d dm =时，气球体积的瞬时变化率为（ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．4π 【例4】（2021·北京海淀·高二期中）一个小球作简谐振动，其运动方程为()10sin 3x t t ππ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中()x t (单位：)cm 是小球相对于平衡点的位移，t (单位：s )为运动时间，则小球的瞬时速度首次达到最大时，t =（ ） A ．1B ．56C ．12D ．13【例5】（2021·重庆·高二期末）1999年12月1日，大足石刻被联合国教科文组织列为《世界遗产名录》，大足石刻创于晚唐，盛于两宋，是中国晚期石窟艺术的杰出代表作.考古科学家在测定石刻年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律.已知样本中碳14的含量M （单位：太贝克）随时间t （单位：年）的衰变规律满足函数关系：()573002t M t M -=，其中0M 为0=t 时碳14的含量，已知5730t =时，碳14的含量的瞬时变化率是ln 220-（太贝克/年），则()2865M =（ ）太贝克.A ．573BC ．D ．1146【例6】（2021·全国·高二课时练习）枪弹在枪筒中的运动可以看作是匀加速直线运动，其路程（单位：m ）与时间（单位：s ）的关系为()212s t at =，如果枪弹的加速度52510/a m s =⨯，且当31.610t s -=⨯时，枪弹从枪口射出，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．三、导数的概念【例1】（2021·全国·高二课时练习）已知物体做直线运动的方程为()s s t =，则()410s '=表示的意义是（ ）A ．经过4s 后物体向前走了10mB ．物体在前4秒内的平均速度为10m/sC ．物体在第4秒内向前走了10mD ．物体在第4秒末的瞬时速度为10m/s【例2】（2021·北京育才学校高三阶段练习）某生物种群的数量Q 与时间t 的关系近似地符合10()9tt e Q t e =+.给出下列四个结论：①该生物种群的数量不会超过10；②该生物种群数量的增长速度先逐渐变大后逐渐变小； ③该生物种群数量的增长速度与种群数量成正比； ④该生物种群数量的增长速度最大的时间()02,3t ∈. 根据上述关系式，其中所有正确结论的序号是__________.【例3】（2021·江苏·高二课时练习）已知某产品的总成本函数为22C Q Q =+，总成本函数在0Q 处导数()0f Q '称为在0Q 处的边际成本，用()0MC Q 表示.求边际成本(500)MC 并说明它的实际意义.【例4】（2021·全国·高二课时练习）已知2()f x x =，利用2'(1)11,(1)2,Δ0.03f f x ====，求(1.03)f 的近似值.【例5】（2021·全国·高二课时练习）一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2.（1）求此物体的初速度；（2）求此物体在t ＝2时的瞬时速度； （3）求t ＝0到t ＝2之间的平均速度．四、导数的几何意义【例1】（2022·江西·景德镇一中高二期末（理））若曲线f (x )＝x 2的一条切线l 与直线430x y +-=平行，则l 的方程为（ ）A ．4x －y －4＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．x －4y ＋3＝0D ．4x ＋y ＋4＝0【例2】（2022·浙江·温州中学高三期末）如图，函数()3f x x =的图象Γ上任取一点()3,,0A m m m ≠，过点A 作其切线1l ，交Γ于点B ，过点B 作其切线2l ，交Γ于点C ，过点C 作其切线3l ，交1l 于点D ，则AD AB的取值（ ）A ．与m 有关，且存在最大值B ．与m 有关，且存在最小值C ．与m 有关，但无最值D ．与m 无关，为定值【例3】（2022·内蒙古赤峰·高三期末（理））设函数()2ln f x x x=+，()0,6x ∈，()f x 的图像上的两点()11,A x y ，()22,B x y 处的切线分别为1l ，2l ，且12x x <，1l ，2l 在y 轴上的截距分别为1b ，2b ，若12l l ∥，则12b b -的取值范围是（ ）A ．2ln 2,23⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2ln 2,1ln 23⎛⎫-+ ⎪⎝⎭C ．2ln 2,03⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．()1ln 2,2+【例4】（2022·上海·高三专题练习）已知函数12()1,0,0xf x e x x <=>-，函数()f x 的图象在点()()11,A x f x 和点()()22,B x f x 的两条切线互相垂直，且分别交y 轴于M ，N 两点，则||||AM BN 取值范围是_______． 【例5】（江西省抚州市2021-2022学年高二上学期期末数学（理）试题）已知曲线()1e ln 1e=-+x f x x x 在点()()00,x f x 处的切线的斜率为1e ，则00ln x x +=______．【例6】（2022·山西吕梁·高二期末）若直线y kx b =+是曲线2e x y -=的切线，也是曲线1e 1x y +=-的切线，则b =__________．【例7】（2022·山东滨州·高二期末）曲线cos x y x =在点π,02M ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线方程为______．【例8】（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二开学考试（文））设曲线212y x =在点11,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处的切线与曲线ln y x x =在点P 处的切线互相平行，则点P 的坐标为___________. 【例9】（2022·辽宁·东北育才学校高三期末）若函数()()320,0f x mx nx px q m n =+++≠≠上相异的点()()(),1,2,3,4,5,6i i x f x i =，满足如下条件：①()()()1230f x f x f x ===；②函数()f x 关于点()()44,x f x 对称；③函数()f x 在点()()55,x f x 处的切线与其相交于点()()66,x f x ；则()12356412x xx x x x ++++=___________.【例10】（2022·山西·康杰中学高二期末）若实数a ，b ，c ，d 满足ln 11a c b d+==，则()()22a cb d -+-的最小值为______.【例11】．（2021·上海·高二专题练习）已知直线()()()11410a x a y a -++-+= （其中a 为实数）过定点P ，点Q 在函数1y x x=+的图像上，则PQ 连线的斜率的取值范围是___________．【例12】（2022·陕西·高三期末（理））若曲线ln y x =在点()e,1P 处的切线与曲线e ax y =相切，则=a ______．【例13】（2022·湖南·高二期末）已知函数()()21e ,e 1x xf xg x -+==-.(1)O 是坐标原点，()f x 的图象在2x =处的切线与,x y 轴分别交于,A B 两点，求OAB 的面积；(2)若直线y kx b =+是曲线()y f x =与()y g x =的公切线，求,k b 的值.【例14】（2022·全国·高三专题练习）已知函数2()(2)e (1)=-+-x f x x a x ，a R ∈． (1)求曲线()y f x =在点()()1,1P f 处的切线方程； (2)若0a ≥，求()f x 的零点个数；(3)若()f x 有两个零点1x ，2x ，证明：122x x +<．【例15】（2021·全国全国·模拟预测）已知函数()sin cos f x ax x b x =-，()ln 3g x x x =++．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．①0a b +=，②1a b -=，③1a b +=-．(1)（ⅰ）______，曲线()f x 在点()()π,πf 处的切线经过点()0,π1-，求实数a 的值； （ⅱ）求证：22y x =+是曲线()g x 的一条切线．(2)π0,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，当2a =，0b =时，求证：()()πf x g x +>．一、单选题1．（2022·江苏徐州·高二期末）已知函数()f x 的定义域为R ，若()()11lim4x f x f x∆→+∆-=∆，则()1f '=（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（2022·山西临汾·一模（文））已知函数22()2ln f x e x x =+，则曲线()y f x =在点()(),e f e 处的切线方程为（）A ．240ex y e -+=B ．240ex y e --=C ．240ex y e ++≡D ．240ex y e +-=3．（2022·广东·模拟预测）如图是网络上流行的表情包，其利用了“可倒”和“可导”的谐音生动形象地说明了高等数学中“连续”和“可导”两个概念之间的关系．根据该表情包的说法，()f x 在0x x =处连续是()f x 在0x x =处可导的（ ）．A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（河南省驻马店市2021-2022学年高三上学期期末数学（理科）试题）已知函数()222e x f x x -=，则曲线()y f x =在x =1处的切线与坐标轴围成的面积为（ ）A ．23B ．98C ．43D ．945．（2022·江西赣州·高三期末（理））曲线222e -=+x y x 在1x =处的切线与坐标轴围成的面积为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．16．（2022·江苏镇江·高二期末）若点A 是函数4x y x e =-图象上的动点（其中e 的自然对数的底数），则A 到直线33y x =-的距离最小值为（ ）A B ．4910C D ．177．（2022·浙江·镇海中学高二期末）点A 是曲线23ln 2y x x =-上任意一点，则点A 到直线21y x =-的最小距离为（ ）A B C D 8．（2019·上海交大附中高一期末）函数422y x x =-++的图像大致为A ．B ．C ．D ．二、多选题9．（2022·全国·模拟预测）已知反双曲正切函数11()ln 21xf x x+=-，则（ ） A ．()f x 是奇函数 B ．()f x 的定义域是[1,1]-C ．曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为y x =D ．函数()()sin g x f x x =-有且仅有3个零点三、填空题10．（2021·安徽·淮南第一中学高三阶段练习（理））曲线()e cos 1xf x x =+在点()()0,0f 处的切线方程为______.11．（2022·重庆南开中学高二期末）曲线()1e xf x +=在点()()0,0f 处的切线与坐标轴围成的三角形面积为__________.12．（2022·福建福清·高二期末）若()()0002lim1t f x t f x t→+-=，则()0f x '=___．13．（2022·江西鹰潭·高二期末（文））已知曲线()y f x =在点()()2,2M f 处的切线方程是25y x =+，则()()22f f '+的值为______．14．（2022·河南南乐·高三阶段练习（理））已知0a >，0b >，直线y x b =-与曲线()ln y x a =+相切，则125221b a b +++的最小值是______． 15．（2022·广东·执信中学高三阶段练习）已知()e 1x f x =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数为_______．16．（2015·上海·高三阶段练习）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()h x kx b =+(k ，b 为常数)，对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈，使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐近线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①()2f x x =，()g x = ②()102xf x -=+，()23x g x x-=； ③21()x f x x+=,ln 1()ln x x g x x +=；④22()1x f x x =+,()()21xg x x e -=--其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是________．四、解答题17．（2022·安徽·合肥市第七中学高二期末）设点P 是曲线()32f x x =-+上的任意一点，k 是该曲线在点P 处的切线的斜率． (1)求k 的取值范围；(2)求当k 取最大值时，该曲线在点P 处的切线方程．18．（2022·江苏·高二）设函数()2ln f x x a x =-，曲线()y f x =在2x =处的切线与直线2710x y ++=垂直．(1)求()f x 的解析式；(2)设曲线()y f x =在1x =处的切线为l ，求l 与两直线0x =和1y x =-+所围成的三角形的面积．19．（2022·河北衡水·高二期末）设()sin cos f x x x x =-，证明：曲线()f x 在点ππ,22P f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭处的切线与坐标轴围成的图形的面积小于1．20．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线2:4C x y =，M 为直线:1l y =-上任意一点，过点M 作抛物线C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为A ，B ． (1)当M 的坐标为(0,1)-时，求过M ，A ，B 三点的圆的方程；(2)若0(P x ，0)y 是C 上的任意点，求证：P 点处的切线的斜率为012k x =； (3)证明：以AB 为直径的圆恒过点M ．21．（2022·江西吉安·高二期末（理））（1）求与直线112y x =-+垂直，且与曲线ln y x =相切的直线方程；（2）求过原点，且与曲线x y e =相切的直线方程.22．（2022·全国·高三专题练习）已知222()()(ln 2)f x x a x a =-+-，其中0x >，R a ∈，存在0x 使04()5f x ≤，求a 的值．23．（江西省重点中学协作体2022届高三2月第一次联考数学（理）试题）已知函数2()e sin ,()31x f x x x g x ax x =++=++．(1)求()f x 在x ＝0处的切线方程；(2)当0x ≥时，()()f x g x ≥恒成立，求a 取值范围．24．（2021·江苏·高二专题练习）已知函数()ln f x x =，()bg x a x=+(1)若函数()f x 在e x =处的切线与函数()·y x g x =的图象平行，求a ，b 满足的条件； (2)若()10g =，且()()(1)f x g x x >>恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当1b =-时，讨论方程()()af x g x =的根的个数.25．（2022·浙江嘉兴·高二期末）已知函数()()ln 2f x x x =+. (1)求函数()f x 在点()()0,0f 处的切线方程；(2)若12,x x 为方程()f x k =的两个不相等的实根，证明： （i ）()1f x x --；（ii ）12111ln2x x k ⎛⎫-≤++ ⎪⎝⎭.。
上海市上海中学2019-2020学年高二上学期期末数学试题
上海中学高二上期末数学试卷一、填空题1.若复数()1231i z i +=-，则z =______.2.抛物线2y x =的准线方程是______.3.椭圆2236x y +=的焦距是______.4.已知复数a ，b 满足集合{}{}2,,1a b a b -=+，则ab =______.5.计算：239123410i i i i ++++⋅⋅⋅+=______.6.已知抛物线C ：24y x =，过焦点F 作直线l 与抛物线C 交于P 、Q 两点，则PQ 的取值范围是______.7.已知P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点，若点P 到直线2y x =+的距离大于m 恒成立，则实数m 的取值范围是______.8.平面上一台机器人在运行中始终保持到点()2,0P -的距离比到点()2,0Q 的距离大2，若机器人接触不到．．．．过点)M且斜率为k 的直线，则k 的取值范围是______.9.1F ，2F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左右焦点，P 为椭圆C 上一点，且1260F PF ∠=︒，若1F 关于12F PF ∠平分线的对称点在椭圆C 上，则椭圆的离心率是______.10.已知一族双曲线n E ：()22*,20192019nx y n N n -=∈≤，设直线2x =与n E 在第一象限内的交点为n A ，n A 在n E 的两条渐近线上的射影分别是n B ，n C ，记n n n A B C ∆的面积是n a ，则122019a a a ++⋅⋅⋅+=______. 11.已知点()0,1P ，椭圆()2214x y m m +=>上两点A ，B 满足2AP PB =u u u r u u u r ，当m =______时，点B 横坐标的绝对值最大.12.已知椭圆C ：)222106x y m m+=>>左、右焦点分别为1F ，2F ，短轴的两个端点分别为1B ，2B ，点P 在椭圆C 上，且满足1212PF PF PB PB +=+，当m 变化时，给出下列四个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在m 使得椭圆C 上满足条件的点P 仅有两个；③OP 的最小值为2；④OP ，其中正确命题的序号是______.二、选择题13.“1k <-”是“方程221324x y k k +=++表示焦点在x 轴上的椭圆”的（）条件A.充分非必要B.必要非充分C.充分必要D.既非充分又非必要14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线210x y ++=垂直，则此双曲线的离心率是（）A. B.C.2D.215.给出下列四个命题：①若复数1z ，2z 满足120z z -=，则12z z =；②若复数1z ，2z 满足1212z z z z +=-，则120z z ⋅=；③若复数z 满足22z z =-，则z 是纯虚数；④若复数z 满足z z =，则z 是实数，其中真命题的个数是（） A.1个B.2个C. 3个D.4个16.已知F 为抛物线2y x =的焦点，点A ，B 在抛物线上且位于x 轴的两侧，且2OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 是坐标原点），则ABO ∆与AFO ∆的面积之和的最小值是（）A. 2B. 3C.D.三、解答题17.已知复数z 满足2274z z i -=+，求z .18.已知复数()221iz i m i =++-（其中i 是虚数单位，m R ∈）. （1）若复数z 是纯虚数，求m 的值；（2）求1z -的取值范围.19.假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径1R =）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5..（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会．．发生碰撞. 20.已知曲线C的参数方程是2412x t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（参数t R ∈）. （1）曲线C 的普通方程；（2）过点()2,1A 的直线与该曲线交于P ，Q 两点，求线段PQ 中点M 的轨迹方程. 21.由半圆()2210x y y +=≤和部分抛物线()()210,0y a x y a =-≥>合成的曲线C 称为“羽毛球形线”，且曲线C 经过点()2,3M .（1）求a 的值；（2）设()1,0A ，()1,0B -，过A 且斜率为k 的直线与“羽毛球形线”相交于P ，Q ，Q 三点，是否存在实数k ，使得QBA PBA ∠=∠，若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点2M ⎛ ⎝⎭，()0,1N -，直线l ：y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，与圆2223x y +=相切与点T . （1）求椭圆C 的方程；（2）以线段OA ，OB 为邻边作平行四边形OAPB ，若点Q 在椭圆C 上，且满足OP OQ λ=u u u r u u u r（O 是坐标原点），求实数λ的取值范围；（3）线段AT BT ⋅是否为定值，如果是，求AT BT ⋅的值；如果不是，求AT BT ⋅的取值范围.参考答案一、填空题2. 14x =-3. 44. 15. 56i +6. [)4,+∞7. (-∞8.9.10. 5052 11. 5 12. ①③二、选择题 13-16：BCBB 三、解答题17.32z i =+或12z i =-+. 18.()()211z m m i =++-，（1）12m =-；（2）1z -=5=≥. 19.（1）由题意，2462a c a C a c c ⎧-==⎧⇒⇒⎨⎨+==⎩⎩：2211612x y +=；（2）设()(),,0P x y x y >，联立2211612x y +=与2213x y +=，可求出()2,3P ，设直线方程为()32y k x -=-，即()320kx y k -+-=，弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心()2,0到直线()32kx y k -+-的距离大于圆半径1，1>，解得(k ∈-.20.（1）2212y x -=；（2）点差法：设()11,P x y ，()22,Q x y ，(),M x y ，其中122x x x +=，122y y y +=，()()2211121222221212y x x x x x y x ⎧-=⎪⎪⇒-+⎨⎪-=⎪⎩()()121212122PQ y y y y y y k x x -+-=⇒=-()121222x x x y y y +==+， 12MA y k x -=-，由PQ MA k k =，可得M 的轨迹方程为22240x x y y --+=.21.（1）1a =.（2）由题意得PQ 方程为()1y k x =-，代入21y x =-得：210x kx k -+-=，所以1x =或1x k =-，所以点Q 的坐标为()21,2k k k --.PQ 方程()1y k x =-代入221x y +=得()22221210k x k x k +-+-=，所以1x =或2211k x k -=+，所以点P 的坐标为22212,11k k k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭. 因为QBA PBA ∠=∠，所以BPBQ k k =-，即2222221111kk k k k kk --+=--++，即2210k k --=，解得1k =（负值舍去）.因此存在实数1k =，使QBA PBA ∠=∠. 22.椭圆的内准圆（1）2212x y +=；（2）由直线l 与圆2223x y +=3=，即223220m k --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,Q x y ，()2222222124220x y k x kmx m y kx m ⎧+=⇒+++-=⎨=+⎩12221224122212km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⇒⎨-⎪=⎪+⎩()121222212my y k x x m k ⇒+=++=+，由向量的平行四边形法则，知OP OA OB OQ λ=+=u u u r u u u r u u u r u u u r且0λ≠. （0λ=，即0m =时，A ，B 关于原点对称，无法构成平行四边形OAPB ）∴()()1202012002412212km x x x x k y y m y y k λλλλ⎧-⎧+=⎪⎪=+⎪⎪⇒⎨⎨+⎪⎪==⎪⎪+⎩⎩，∵点Q 在椭圆上，∴()()222242221212km m k k λλ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥+=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，化简得()222412m k λ=+① 由223220m k --=，得22232k m =-，代入①式，得2222441313m m m λ==--，由2320m -≥，得223m ≥，∴224483313m m <≤-，即24833λ<≤② 又0∆>，得2212k m +>③，由①③，得2224m m λ>，∵0m ≠，∴204λ<<④， 由②④，得24833λ<≤，解得3333λ⎡⎫⎛∈--⎪ ⎢⎪ ⎣⎭⎝⎦U ； （3）由（2）知，2222212i m x x k-=+， 而()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222212m k k-=+， ∴2212122322012m k OA OB x x y y k --⋅=+==+u u u r u u u r ，∴OA OB ⊥u u u r u u u r ， ∴223Rt AOT Rt OBT AT BT OT ∆∆⇒⋅==:.。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
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______.
11.
已知点 P 0,1 ，椭圆
x2
y2
m
m
1
上两点
A
，
B
满足
AP
2PB
，当
m
______时，点
B
横坐
4
标的绝对值最大.
12.
已知椭圆 C ：
x2 6
y2 m2
1
6 m 0 左、右焦点分别为 F1 ， F2 ，短轴的两个端点分别为 B1 ， B2 ，
点 P 在椭圆 C 上，且满足 PF1 PF2 PB1 PB2 ，当 m 变化时，给出下列四个命题：①点 P 的轨迹关
（2）求 z 1 的取值范围.
19. 假定一个弹珠（设为质点 P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径 R 1 ）的中心 F 为右焦点的 椭圆 C ，已知椭圆的右端点 A 到小球表面最近的距离是 1，椭圆的左端点 B 到小球表面最近的距离是 5.
2
.
（1）求如图给定的坐标系下椭圆 C 的标准方程；
z1 z2 z1 z2 ，则 z1 z2 0 ；③若复数 z 满足 z2 z 2 ，则 z 是纯虚数；④若复数 z 满足 z z ，则
z 是实数，其中真命题的个数是（ ）
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
16.
已知 F
为抛物线 y2
x 的焦点，点 A ， B 在抛物线上且位于 x 轴的两侧，且 OA OB
上海中学高二上期末数学试卷
一、填空题
1. 若复数 1 2i z 3i 1，则 z ______.
2020.01
2. 抛物线 y2 x 的准线方程是______.
3. 椭圆 x2 3y2 6 的焦距是______.
4. 已知复数 a ， b 满足集合a,b a2,b 1 ，则 ab ______.
C. 充分必要
D. 既非充分又非必要
14. 双曲线 kx2 y2 1的一条渐近线与直线 2x y 1 0 垂直，则此双曲线的离心率是（ ）
A. 4 3
B. 5
C. 5 2
D. 3 2
15. 给出下列四个命题：①若复数 z1 ， z2 满足 z1 z2 0 ，则 z1 z2 ；②若复数 z1 ， z2 满足
2 （其中 O 是
坐标原点），则 ABO 与 AFO 的面积之和的最小值是（ ）
A. 2
B. 3
17
C.
2
8
三、解答题
D. 10
17. 已知复数 z 满足 z 2 2z 7 4i ，求 z .
18.
已知复数 z
2
i
m
i
2i 1
（其中
i
是虚数单位，
m
R
）.
（1）若复数 z 是纯虚数，求 m 的值；
（1）求 a 的值；
（2）设 A1, 0 ， B 1, 0 ，过 A 且斜率为 k 的直线与“羽毛球形线”相交于 P ， Q ， Q 三点，是否存在
实数 k ，使得 QBA PBA ，若存在，求出 k 的值；若不存在，请说明理由.
22.
已知椭圆 C ： x2 y2 a2 b2
1a b 0 经过点 M 1,
（3）线段 AT BT 是否为定值，如果是，求 AT BT 的值；如果不是，求 AT BT 的取值范围.
一、填空题
1. 2
Hale Waihona Puke 2. x 1 43. 4 4. 1
8. 3, 2 3
9. 3 3
505
10.
2
参考答案
5. 5 6i 6. 4,
11. 5
12. ①③
7. , 2
【第 9 题解析】设 F1 关于 F1PF2 平分线的对称点为 F1' ， 由题意及椭圆对称性，可知 F1PF1' 为等边三角形， PF1' x 轴且经过 F2 ，
于 y 轴对称；②存在 m 使得椭圆 C 上满足条件的点 P 仅有两个；③ OP 的最小值为 2；④ OP 最大值为
6 ，其中正确命题的序号是______.
二、选择题
13. “ k 1 ”是“方程 x2 y2 1表示焦点在 x 轴上的椭圆”的（ k 3 2k 4
）条件
A. 充分非必要
B. 必要非充分
（2）弹珠由点 A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心 O 的距离是 13 时，弹珠由于外力作用
发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率 k 为“变轨系数”，求 k 的取值范围，使弹珠和小球
不会发生碰撞.
x 20. 已知曲线 C 的参数方程是
2t 2 2 4t （参数 t R ）.
60 ，
若 F1 关于 F1PF2 平分线的对称点在椭圆 C 上，则椭圆的离心率是______.
10.
已知一族双曲线
En
：
x2
y2
n 2019
n N *, n 2019
，设直线 x 2 与 En 在第一象限内的交点为
An ， An 在 En 的两条渐近线上的射影分别是 Bn ， Cn ，记 An BnCn 的面积是 an ，则 a1 a2 a2019
2 2
，
N
0,
1
，直线
l
：
y
kx
m
与椭圆
C
相
3
交于 A ， B 两点，与圆 x2 y2 2 相切与点 T . 3
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）以线段 OA ， OB 为邻边作平行四边形 OAPB ，若点 Q 在椭圆 C 上，且满足 OP OQ （ O 是坐标
原点），求实数 的取值范围；
y
t
1 2t
（1）曲线 C 的普通方程；
（2）过点 A2,1 的直线与该曲线交于 P ， Q 两点，求线段 PQ 中点 M 的轨迹方程.
21. 由半圆 x2 y2 1 y 0 和部分抛物线 y a x2 1 y 0, a 0 合成的曲线 C 称为“羽毛球形
线”，且曲线 C 经过点 M 2,3 .
的取值范围是______.
8. 平面上一台机器人在运行中始终保持到点 P 2, 0 的距离比到点 Q 2, 0 的距离大 2，若机器人接触不
到过点 M 3,3 且斜率为 k 的直线，则 k 的取值范围是______.
9.
F1 ， F2 分别为椭圆 C ：
x2 a2
y2 b2
1 a
b
0 的左右焦点， P 为椭圆 C 上一点，且 F1PF2
5. 计算：1 2i 3i2 4i3 10i9 ______.
6. 已知抛物线 C ： y2 4x ，过焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 P 、 Q 两点，则 PQ 的取值范围是
______.
7. 已知 P 为双曲线 x2 y2 1右支上的一个动点，若点 P 到直线 y x 2 的距离大于 m 恒成立，则实数 m