2022-2023学年上海中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)

2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷1. 小陈掷两次骰子都出现6的概率为______.2. 从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素(可相同)，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为______.3. 若等比数列的前n 项和S n =4n−1+a ，则a =______.4. 若数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，若a 1=67，则a 2023=______. 5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg) 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg.6. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是______.7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为______万元．8. 第14届国际数学教育大会(ICME −14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______.9. S 1=1+2+⋯+n ，S 2=12+22+⋯+n 2，S 3=13+23+⋯+n 3，使S 1，S 2，S 3成等差数列的自然数n 的所有可能的值为______.10. 已知a n ={2n +3,n 为奇数4n,n 为偶数(n ∈N ∗)，则数列{a n }前2m 项之和为______.11. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=18(a n )2+m(n ∈N ∗)，若对任意的正整数n 均有a n <4，则实数m 的最大值是______.12. 设数列{a n }满足a 1=12，a n+1=a n +(a n )22023(n∈N ∗)，记T n =(1−a 1)(1−a 2)⋯(1−a n )，则使得T n <0成立的最小正整数n 是______.13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高一年级有12名女排运动员，要从中选出3名调查学习负担情况，记作②．那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是( )A. ①用简单随机抽样法；②用系统抽样法B. ①用分层抽样法；②用简单随机抽样法C. ①用系统抽样法；②用分层抽样法D. ①用分层抽样法；②用系统抽样法14. 已知数据x 1，x 2，⋯，x n (n ≥3,n ∈N ∗)是上海普通职工n 个人的年收入，这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果加上世界首富的年收入x n+1，则这n +1个数据中，下列说法正确的是( )A. 年收入平均数增加，中位数一定变大，方差可能不变B. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数增加，中位数可能不变，方差可能不变D. 年收入平均数增加，中位数可能变大，方差不变 15. 对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A. a 1，a 3，a 9成等比数列 B. a 2，a 3，a 6成等比数列 C. a 2，a 4，a 8成等比数列D. a 3，a 6，a 9成等比数列16. 已知数列{a n }，{b n }满足a 1=2，b 1=12，{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1bn，n ∈N ∗，则下列选项错误的是( )A. a 50b 50=14B. a 50b 50<112C. a 50+b 50=52√a 50b 50D. |a 50−b 50|≤1517. 某超市从一家食品有限公司购进一批茶叶，每罐茶叶的标准质量是125g ，为了解该批茶叶的质量情况，从中随机抽取20罐，称得各罐质量(单位：g)如下：124.9、124.7、126.2、124.9、124.2、124.9、123.7、121.4、126.4、127.7、121.9、124.4、125.2、123.7、122.7、124.2、126.2、125.2、122.2、125.4； 求：20罐茶叶的平均质量x 和标准差s.(精确到0.01)18. 俞女士每次投篮的命中率只有0.2，她在某次投篮练习中决定只要连续两次命中就结束投篮练习，求她至多四次投篮就能结束的概率．19. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 4=10.(1)若S 20=590，求{a n }的公差；(2)若a 1∈Z ，且S 7是数列{S n }中最大的项，求a 1所有可能的值．20. 已知等差数列{a n }的公差为d ，且关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3).(1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n =2a n +12a n ，求数列{b n }前n 项和S n .21. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=a n+1，a n(1)写出数列{a n}的前四项；(2)判断数列{(a n)2}的单调性；(3)求证：2n+1<(a n+1)2<(√2n+1)2.答案和解析1.【答案】1136【解析】解：第一次不出现6的概率为56，第二次不出现6的概率也为56， 则掷两次骰子都不出现6的概率为56×56=2536， 故掷两次骰子都出现6的概率为1−2536=1136， 故答案为：1136.根据古典概型求解即可．本题主要考查古典概型，属于基础题．2.【答案】1315【解析】解：从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素，则有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,4)，(4,5)，(5,5)，共15种取法，则两个元素的积不是6的倍数有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(2,5)，(3,3)，(3,5)，(4,4)，(4,5)，(5,5)，共13种， 则这两个元素的积不是6的倍数的概率为1315 根据古典概型定义可解．本题考查古典概型概率计算，属于基础题．3.【答案】−14【解析】解：等比数列的前n 项和S n =4n−1+a =14⋅4n +a ，因为S n =a 11−q −a11−q ⋅q n ，所以a =−14. 故答案为：−14.由已知结合等比数列的求和公式的特点即可直接求解a. 本题主要考查了等比数列的求和公式的应用，属于基础题．4.【答案】67【解析】解：∵数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，a 1=67， ∴a 2=2a 1−1=2×67−1=57，a 3=2a 2−1=37，a 4=2a 3=67， ……， ∴a n+3=a n ，则a 2023=a 3×674+1=a 1=67， 故答案为：67. 由数列{a n }满足a n+1={2a n 0≤a n ≤122a n −112≤a n <1，a 1=67，经过计算a 2，a 3，a 4，即可得出数列的周期性，即可得出结论．本题考查了数列的递推关系、数列的周期性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．5.【答案】69【解析】解：17×0.75=12.75， 数据从小到大第13个数是69， 所以第75百分位数为69. 故答案为：69.根据百分位数的求法求得正确答案． 本题考查百分位数的计算，是基础题．6.【答案】20【解析】解：设等差数列公差为d ，则有{3a 1+6d =1053a 1+9d =99解得a 1=39，d =−2∴a 20=39−2×19=1>0，a 21=39−2×20=−1<0 ∴数列的前20项为正， ∴使得S n 达到最大值的是20 故答案为20利用等差数列的通项公式表示出特设中的等式，联立求得a 1和d ，进而求得a 20>0，a 21<0，判断数列的前20项为正，故可知数列的前20项的和最大．本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是判断从数列的哪一项开始为负．7.【答案】6.51【解析】解：由题意可知，估计该社区内家庭的平均年收入为：0.2×4.5+0.2×5.5+0.2×6.5+0.26×7.5+0.07×8.5+0.07×9.5=6.51(万元). 故答案为：6.51.由题中给出的数据，利用平均数的计算公式求解即可．本题考查了平均数的求解，解题的关键是确定区间中点以及对应的频率，考查了化简运算能力，属于基础题．8.【答案】625【解析】解：设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7， 则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，所以张老师与李老师随机选择的总数为C 51C 51=25种情况，两人选择的日期恰好都不相同的分别为(123,456)，(123,567)，(234,567)，(456,123)，(567,123)，(567,234)共6种情况， 所以所求事件的概率为625， 故答案为：625.设7天的编号依次为1，2，3，4，5，6，7，则连续的三天分别为：123，234，345，456，567，共5种情况，分别求出两人总的选择的个数以及所求事件的个数，然后根据古典概型的概率计算公式即可求解．本题考查了古典概型的概率计算公式的应用，考查了学生的理解运算能力，属于基础题．9.【答案】1【解析】解：因为S 1=1+2+⋯+n =12n(n +1)， S 2=12+22+⋯+n 2=16n(n +1)(2n +1)，S 3=13+23+⋯+n 3=(1+2+3+...+n)2=14n 2(n +1)2， 若S 1，S 2，S 3成等差数列，可得2S 2=S 1+S 3， 即为13n(n +1)(2n +1)=12n(n +1)+14n 2(n +1)2， 化为3n 2−5n +2=0，即(3n −2)(n −1)=0， 解得n =1(23舍去)， 故答案为：1.由连续自然数的前n 项的和、平方的和与立方的和的公式，结合等差数列的中项性质，解方程可得所求值．本题考查连续自然数的前n 项的和、平方的和与立方的和，以及等差数列中项性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．10.【答案】2m 2+3m +1615(16m −1)【解析】解：由a n ={2n +3,n 为奇数4n ,n 为偶数(n ∈N ∗)，可得数列{a n }前2m 项之和S 2m =[5+9+...+2(2m −1)+3]+(42+44+...+42m )=12m(5+4m +1)+16(1−16m )1−16=2m 2+3m +1615(16m−1).故答案为：2m 2+3m +1615(16m −1).由数列的分组求和，结合等差数列和等比数列的求和公式，可得所求和．本题考查数列的分组求和，以及等差数列和等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．11.【答案】2【解析】解：因为a n+1−a n =18a n 2−a n +m =18(a n −4)2+m −2≥m −2，累加可得a n =a 1+∑(n−1k=1a k+1−a k )≥1+(m −2)(n −1)，若m >2，注意到当n →+∞时，(m −2)(n −1)→+∞，不满足对任意的正整数n 均有a n <4， 所以m ≤2；当m =2时，证明对任意的正整数n 都有0<a n <4， 当n =1时，a 1=1<4成立，假设当n =k ，(k ≥1)时结论成立，即0<a k <4，则0<a k+1=2+18a k 2<2+18×42=4，即结论对n =k +1也成立，由数学归纳法可知，对任意的正整数n 都有0<a n <4， 综上可知，所求实数m 的最大值是2. 故答案为：2.根据递推公式可考虑分析a n+1−a n ，再累加求出关于a n 关于参数m ，n 的关系，根据表达式的取值分析出m ≤2，再用数学归纳法证明m =2满足条件即可．本题主要考査了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析，属于难题．12.【答案】2025【解析】解：因为a n+1=a n +(a n)22023(n ∈N ∗)，所以a n+1=a n (a n +2023)2023，所以1a n+1=1a n−1a n +2023，即1a n−1a n+1=1a n +2023，所以1a 1−1a n+1=1a 1+2023+1a 2+2023+...+1a n +2023，又a n+1=a n +(a n)22023(n ∈N ∗)，所以数列{a n }为递增数列，所以1a 1−1a 2024<2023a 1+2023<1，所以2−1a 2024<1，所以a 2024<1，所以2−1a2025>2024a2024+2023>20241+2023=1，所以a 2025>1，当1≤n ≤2024时，1−a n >0， 当n ≥2025时，1−a n <0，故使T n <0成立的最小正整数n 是2025， 故答案为：2025. 由数列的递推式推得1a n −1a n+1=1a n +2023，由数列的裂项相消求和可得1a 1−1a n+1=1a 1+2023+1a 2+2023+...+1a n +2023，利用数列{a n }为递增数列，可得a 2024<1，a 2025>1，即可得到所求值．本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．13.【答案】B【解析】解：对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本． 故选：B.调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．14.【答案】B【解析】解：因为数据x 1，x 2，⋯，x n (n ≥3,n ∈N ∗)是上海普通职工n 个人的年收入， 而x n+1是世界首富的年收入，则x n+1会远大于x 1，x 2，⋯，x n ， 故这n +1个数据的平均值增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大． 但由于数据的集中程度也受到x n+1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．故选：B.根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果．本题主要考査平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型．15.【答案】D【解析】解：A 项中a 3=a 1⋅q 2，a 1⋅a 9=a 12⋅q 8，(a 3)2≠a 1⋅a 9，故A 项说法错误， B 项中(a 3)2=(a 1⋅q 2)2≠a 2⋅a 6=a 12⋅q 6，故B 项说法错误， C 项中(a 4)2=(a 1⋅q 3)2≠a 2⋅a 8=a 12⋅q 8，故C 项说法错误， D 项中(a 6)2=(a 1⋅q 5)2=a 3⋅a 9=a 12⋅q 10，故D 项说法正确，故选：D.利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．16.【答案】D【解析】解：A.∵{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1b n，n ∈N ∗，∴a n+1b n+1=b n +1a n a n +1b n=b n a n ，∴a 50b 50=…=a 1b 1=122=14，故A 正确；B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1a n)(a n +1b n)=2+a n b n +1a n b n≥4，当且仅当a n b n =1a nb n取等号，∵a n b n ≥4，∴1a nb n≤14，∴a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49，又a 1=2，b 1=12，∴a 50b 50<2×49+1+1+14×48=112，因此B 正确；C .a n+1+b n+1=b n +1a n +a n +1b n =(b n +a n )(1+1a nb n)，∴(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+1a n b n)2=(b n +a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，∴(a n+1+b n+1)2a n+1b n+1=(a n +b n )2a nb n=…=(a 1+b 1)2a 1b 1，∴a 50+b 50=52√a 50b 50，因此C 正确； D .a n+1−b n+1=b n +1a n−a n −1b n=(b n −a n )(1+1a nb n)，∴(a n+1−b n+1)2=(b n −a n )2(1+1a n b n)2=(b n −a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，∴(a n+1−b n+1)2a n+1b n+1=(a n −b n )2a nb n=…=(a 1−b 1)2a 1b 1=94，而a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49>2+2×49=100，∴|a 50−b 50|=32√a 50b 50>15，因此D 不正确．故选：D.A .由{a n+1=b n +1a nb n+1=a n +1bn，n ∈N ∗，相除可得a n+1b n+1=b n a n ，进而得出a50b 50，即可判断出正误； B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1a n )(a n +1b n )=2+a n b n +1a n b n ≥4，a n b n ≤14，利用递推关系可得a 50b 50=2+a 49b 49+1a 49b 49=2×2+a 48b 48+1a 49b 49+1a 48b 48=…=2×49+a 1b 1+1a 1b 1+1a 2b 2+…+1a 49b 49，即可判断出正误； C .a n+1+b n+1=b n +1a n+a n +1b n=(b n +a n )(1+1a nb n)，可得(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+1a n b n)2=(b n +a n )2⋅a n+1b n+1a n b n ，即可得出(a n+1+b n+1)2a n+1b n+1=(a n +b n )2a nb n=…=(a 1+b 1)2a 1b 1，即可判断出正误；D .a n+1−b n+1=b n +1an−a n −1bn=(b n −a n )(1+1a n b n)，平方可得(a n+1−b n+1)2a n+1b n+1=(a n −b n )2a nb n=…=(a 1−b 1)2a 1b 1=94，由B 可得a 50b 50>2+2×49=100，即可判断出正误．本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．17.【答案】解：∵20罐茶叶的平均质量x =120×(124.9+124.7+126.2+124.9+124.2+124.9+123.7+121.4+126.4+127.7+121.9+124.4+125.2+123.7+122.7+124.2+126.2+125.2+122.2+125.4)≈124.51(g)； ∴20罐茶叶的方差s 2=120×[(124.9−124.51)2+(124.7−124.51)2+(126.2−124.51)2+(124.9−124.51)2+(124.2−124.51)2+(124.9−124.51)2+(123.7−124.51)2+(121.4−124.51)2+(126.4−124.51)2+(127.7−124.51)2+(121.9−124.51)2+(124.4−124.51)2+(125.2−124.51)2+(123.7−124.51)2+(122.7−124.51)2+(124.2−124.51)2+(126.2−124.51)2+(125.2−124.51)2+(122.2−124.51)2+(125.4−124.51)2]=2.4155， ∴20罐茶叶的标准差s =√2.4155≈1.55.【解析】根据平均数与标准差的概念，计算即可得解． 本题考查平均数与标准差的概念，属基础题．18.【答案】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，记俞女士每次投篮命中为事件A i ，i =1，2，3，4，则P(A i )=15， ∵只要连续两次命中就结束投篮练习，∴投篮2次结束的概率为P =P(A 1A 2)=15×15=125， 投篮3次结束的概率为P =P(A 1−A 2A 3)=45×15×15=4125，投篮4次结束的概率为P =P(A 1−A 2−A 3A 4)+P(A 1A 2−A 3A 4)=45×45×15×15+15×45×15×15=4125， ∴她至多四次投篮就能结束的概率P =125+4125+4125=13125. 【解析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件A i ，则P(A i )=15，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则{a 4=a 1+3d =10S 20=20a 1+190d =590，解得d =3. (2)由(1)得a 4=a 1+3d =10，d =10−a 13， 由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10−a 13<0，a 1>10，所以{a 7≥0a 8≤0，即{a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0，即{a 1+6×10−a13=20−a 1≥0a 1+7×10−a 13=70−4a 13≤0， 解得352≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20. 【解析】(1)根据已知条件列方程，化简求得{a n }的公差；(2)根据数列{S n }中的最大项列不等式，从而求得a 1的所有可能取值．本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．20.【答案】解：(1)关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)，可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根， 则−1+3=d a 1，−1×3=−3a 1，解得a 1=1，d =2，则a n =1+2(n −1)=2n −1； (2)b n =2a n +12a n=(2n −1)⋅2n ，数列{b n }前n 项和S n =1⋅2+3⋅22+5⋅23+...+(2n −3)⋅2n−1+(2n −1)⋅2n ， 2S n =1⋅22+3⋅23+5⋅24+...+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1， 上面两式相减可得−S n =2+2(22+23+...+2n−1+2n )−(2n −1)⋅2n+1=2+2⋅4(1−2n−1)1−2−(2n −1)⋅2n+1，化简可得S n =6+(2n −3)⋅2n+1.【解析】(1)由题意可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根，运用韦达定理可得数列{a n }的首项和公差，进而得到所求通项公式；(2)求得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由a 1=1，a n+1=a n +1a n，可得a 2=1+1=2，a 3=2+12=52，a 4=52+25=2910；(2)由a 1=1，a n+1=a n +1a n，可得a n >0，a n+12=(a n +1a n)2=a n 2+2+1a n2， 即有a n+12−a n 2=2+1a n2>0，所以{(a n )2}为递增数列；(3)证明：因为a n+12−a n 2=2+1a n2>2，所以(a 22−a 12)+(a 32−a 22)+...+(a n+12−a n 2)>2n ， 即为a n+12−a 12>2n ，所以a n+12>2n +1；再运用数学归纳法证明：(a n+1)2<(√2n +1)2，等价为a n+1<1+√2n. 当n =1时，a 2=2<1+√2； 假设n =k 时，a k+1<1+√2k.当n =k +1时，只需证明，a k+2<1+√2k +2，即证a k+1+1a k+1<1+√2k +2.因为a k ≥1，a k+1+1a k+1随着k 的增大而增大，所以a k+1+1ak+1<√2k +11+√2k， 只需证明1+√2k +1+√2k<1+√2k +2，即为(1+√2k)2+1<(1+√2k)(1+√2k +2)，即为2k +2+2√2k <1+√2k +√2k +2+√2k ⋅√2k +2， 即(2k +1)+√2k <√2k +2+√2k ⋅√2k +2，上式两边平方可得左边=4k 2+6k +1+2(2k +1)√2k ，右边=4k 2+6k +2+2(2k +2)√2k ， 显然右边大于左边，则原命题成立，即2n +1<(a n+1)2<(√2n +1)2. 【解析】(1)由数列的递推式直接写出前四项； (2)将数列的递推式两边平方，移项判断，可得单调性；(3)先证明不等式的左边，由a n+12−a n 2=2+1a n2>2，累加可得证明；再运用数学归纳法证明不等式的右边．本题考查数列的递推式，以及不等式的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．。