根据递推公式可考虑分析a n+1−a n ，再累加求出关于a n 关于参数m ，n 的关系，根据表达式的取值分析出m ≤2，再用数学归纳法证明m =2满足条件即可．
本题主要考査了根据数列的递推公式求解参数最值的问题，需要根据递推公式累加求解，同时注意结合参数的范围问题进行分析，属于难题．
12.【答案】2025
【解析】解：因为a n+1=a n +(a n
)2
2023
(n ∈N ∗)，所以a n+1=a n (a n +2023)
2023
，
所以
1a n+1
=
1a n
−
1a n +2023，即
1
a n
−
1a n+1
=
1
a n +2023
，
所以1a 1−1
a n+1=1
a 1+2023+1
a 2+2023+...+1
a n +2023，
又a n+1=
a n +(a n
)
2
2023(n ∈N ∗)，所以数列{a n }为递增数列，
所以1
a 1−1
a 2024<2023
a 1+2023<1，所以2−1
a 2024<1，所以a 2024<1，
所以2−1
a
2025
>2024
a
2024+2023
>2024
1+2023=1，
所以a 2025>1，
当1≤n ≤2024时，1−a n >0， 当n ≥2025时，1−a n <0，
故使T n <0成立的最小正整数n 是2025， 故答案为：2025. 由数列的递推式推得
1a n −1a n+1
=1a n +2023，由数列的裂项相消求和可得
1
a 1
−1a n+1
=
1
a 1+2023
+
1a 2+2023+...+1
a n +2023
，利用数列{a n }为递增数列，可得a 2024
<1，a 2025>1，即可得到所求值．
本题考查数列的递推式，以及数列的裂项求和、放缩法，考查运算能力和推理能力，属于难题．
13.【答案】B
【解析】解：对于①，因为社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，
所以要从中抽一个样本容量是100的样本应该用分层抽样法；
对于②，由于样本容量不大，且抽取的人数较少，故可采用简单随机抽样法抽取样本． 故选：B.
调查社会购买力的某项指标，受到家庭收入的影响，而社区中各个家庭收入差别明显，所以分层抽样最佳；由于②样本容量不大，且抽取的人数较少，故可用随机抽样法．
本题考查收集数据的方法，当总体中的个体较少时，一般用简单随机抽样；当总体中的个体较多时，一般用系统抽样；当总体由差异明显的几部分组成时，一般用分层抽样，属于基础题．
14.【答案】B
【解析】解：因为数据x 1，x 2，⋯，x n (n ≥3,n ∈N ∗)是上海普通职工n 个人的年收入， 而x n+1是世界首富的年收入，则x n+1会远大于x 1，x 2，⋯，x n ， 故这n +1个数据的平均值增加，但中位数可能不变，有可能稍微变大． 但由于数据的集中程度也受到x n+1比较大的影响，数据更加离散，则方差变大．
故选：B.
根据题意，结合平均数，中位数，方差的定义，即可判断出结果．
本题主要考査平均数、中位数、以及方差，熟记概念及其意义即可，属于常考题型．
15.【答案】D
【解析】解：A 项中a 3=a 1⋅q 2，a 1⋅a 9=a 12
⋅q 8，(a 3)2≠a 1⋅a 9，故A 项说法错误， B 项中(a 3)2=(a 1⋅q 2)2≠a 2⋅a 6=a 12⋅q 6，故B 项说法错误， C 项中(a 4)2=(a 1⋅q 3)2≠a 2⋅a 8=a 12⋅q 8，故C 项说法错误， D 项中(a 6)2=(a 1⋅q 5)2=a 3⋅a 9=a 12⋅q 10，故D 项说法正确，
故选：D.
利用等比中项的性质，对四个选项中的数进行验证即可．
本题主要考查了是等比数列的性质．主要是利用了等比中项的性质对等比数列进行判断．
16.【答案】D
【解析】解：A.∵{a n+1=b n +1
a n
b n+1=a n +1b n
，n ∈N ∗，∴a n+1b n+1=b n +1a n a n +1b n
=b n a n ，∴a 50b 50=…=a 1b 1=122=14，故A 正确；
B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1
a n
)(a n +
1b n
)=2+a n b n +
1a n b n
≥4，当且仅当a n b n =
1
a n
b n
取等号，∵a n b n ≥4，∴
1
a n
b n
≤14
，∴a 50b 50=2+a 49b 49+
1a 49b 49
=2×2+a 48b 48+
1
a 49
b 49
+
1a 48b 48
=…=
2×49+a 1b 1+1
a 1
b 1+1
a 2
b 2+…+1
a 49
b 49，又a 1=2，b 1=1
2，∴a 50b 50<2×49+1+1+1
4×48=
112，因此B 正确；
C .a n+1+b n+1=b n +1
a n +a n +1
b n =(b n +a n )(1+1
a n
b n
)，∴(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+
1a n b n
)2
=(b n +a n )2⋅
a n+1
b n+1a n b n ，∴(a n+1+b n+1)
2
a n+1
b n+1
=
(a n +b n )
2
a n
b n
=…=
(a 1+b 1)2
a 1
b 1
，∴a 50+b 50=5
2√a 50b 50，
因此C 正确； D .a n+1−b n+1=b n +
1a n
−a n −
1b n
=(b n −a n )(1+
1
a n
b n
)，∴(a n+1−b n+1)2=(b n −a n )2(1+
1a n b n
)2
=(b n −a n )
2
⋅a n+1b n+1a n b n ，∴(a n+1−b n+1
)2
a n+1
b n+1
=
(a n −b n )
2
a n
b n
=…=
(a 1−b 1)2
a 1
b 1
=94
，
而a 50b 50=2+a 49b 49+1
a 49
b 49=2×2+a 48b 48+1
a 49
b 49+1
a 48
b 48=…=2×49+a 1b 1+1
a 1
b 1
+
1
a 2
b 2
+…+1a 49b 49
>2+2×49=100，∴|a 50−b 50|=3
2√a 50b 50>15，因此D 不正确．
故选：D.
A .由{a n+1=b n +
1
a n
b n+1=a n +1b
n
，n ∈N ∗，相除可得a n+1b n+1=b n a n ，进而得出a
50b 50，即可判断出正误； B .由题意可得a n+1b n+1=(b n +1a n )(a n +1b n )=2+a n b n +1a n b n ≥4，a n b n ≤1
4，利用递推关系可
得a 50b 50=2+a 49b 49+
1a 49b 49
=2×2+a 48b 48+
1a 49b 49
+
1a 48b 48
=…=2×49+a 1b 1+
1a 1b 1
+
1
a 2
b 2
+…+
1
a 49
b 49
，即可判断出正误； C .a n+1+b n+1=b n +
1a n
+a n +
1
b n
=(b n +a n )(1+
1
a n
b n
)，可得(a n+1+b n+1)2=(b n +a n )2(1+
1a n b n
)2
=(b n +a n )
2
⋅a n+1b n+1a n b n ，即可得出(a n+1+b n+1)2
a n+1
b n+1
=
(a n +b n )2
a n
b n
=…=(a 1+b 1)2
a 1
b 1
，即可判断出正误；
D .a n+1−b n+1=
b n +1a
n
−a n −1
b
n
=
(b n −a n )(1+1a n b n
)，平方可得(a n+1
−b n+1)
2
a n+1
b n+1=
(a n −b n )
2
a n
b n
=…=
(a 1−b 1)
2
a 1
b 1
=94
，由B 可得a 50b 50>2+2×49=100，即可判断出正误．
本题考查了数列的递推关系、不等式的性质、转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
17.【答案】解：∵20罐茶叶的平均质量x =1
20×(124.9+124.7+126.2+124.9+124.2+124.9+
123.7+121.4+126.4+127.7+121.9+124.4+125.2+123.7+122.7+124.2+126.2+125.2+122.2+125.4)≈124.51(g)； ∴20罐茶叶的方差s 2=
1
20
×[(124.9−124.51)2+(124.7−124.51)2+(126.2−124.51)2+
(124.9−124.51)2+(124.2−124.51)2+(124.9−124.51)2+(123.7−124.51)2+(121.4−124.51)2+(126.4−124.51)2+(127.7−124.51)2+(121.9−124.51)2+(124.4−124.51)2+(125.2−124.51)2+(123.7−124.51)2+(122.7−124.51)2+(124.2−124.51)2+(126.2−124.51)2+(125.2−124.51)2+(122.2−124.51)2+(125.4−124.51)2]=2.4155， ∴20罐茶叶的标准差s =√2.4155≈1.55.
【解析】根据平均数与标准差的概念，计算即可得解． 本题考查平均数与标准差的概念，属基础题．
18.【答案】解：由题知俞女士每次投篮互不影响，俞女士每次投篮的命中率只有0.2，
记俞女士每次投篮命中为事件A i ，i =1，2，3，4，则P(A i )=1
5， ∵只要连续两次命中就结束投篮练习，
∴投篮2次结束的概率为P =P(A 1A 2)=15×15=1
25， 投篮3次结束的概率为P =P(A 1−
A 2A 3)=45×15×15=4
125，
投篮4次结束的概率为P =P(A 1−A 2−A 3A 4)+P(A 1A 2−
A 3A 4)=45×45×15×15+15×45×15×15=4
125
， ∴她至多四次投篮就能结束的概率P =
125+4125+4125
=
13125
. 【解析】由题知俞女士每次投篮互不影响，记俞女士每次投篮命中为事件A i ，则P(A i )=1
5，她至多四次投篮就能结束分投篮次数为2次，3次，4次，由此求出结果．
本题考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19.【答案】解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，
则{a 4=a 1+3d =10
S 20=20a 1+190d =590，解得d =3. (2)由(1)得a 4=a 1+3d =10，d =10−a 1
3， 由于S 7是数列{S n }中最大的项，d =10−a 13
<0，a 1>10，
所以{a 7≥0a 8≤0，即{a 1+6d ≥0a 1+7d ≤0
，
即{a 1+6×10−a
13
=20−a 1≥0
a 1+7×10−a 13=70−4a 1
3
≤0
， 解得35
2≤a 1≤20，由于a 1是整数，所以a 1的可能取值是18，19，20. 【解析】(1)根据已知条件列方程，化简求得{a n }的公差；
(2)根据数列{S n }中的最大项列不等式，从而求得a 1的所有可能取值．
本题主要考查了等差数列的通项公式，前n 项和公式，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题．
20.【答案】解：(1)关于x 的不等式a 1x 2−dx −3<0的解集为(−1,3)，
可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根， 则−1+3=d a 1
，−1×3=−3
a 1
，
解得a 1=1，d =2，
则a n =1+2(n −1)=2n −1； (2)b n =2
a n +12a n
=(2n −1)⋅2n ，
数列{b n }前n 项和S n =1⋅2+3⋅22+5⋅23+...+(2n −3)⋅2n−1+(2n −1)⋅2n ， 2S n =1⋅22+3⋅23+5⋅24+...+(2n −3)⋅2n +(2n −1)⋅2n+1， 上面两式相减可得−S n =2+2(22+23+...+2n−1+2n )−(2n −1)⋅2n+1
=
2+2⋅4(1−2n−1)
1−2
−(2n −1)⋅2n+1，
化简可得S n =6+(2n −3)⋅2n+1.
【解析】(1)由题意可得−1，3是方程a 1x 2−dx −3=0的两根，运用韦达定理可得数列{a n }的首项和公差，进而得到所求通项公式；
(2)求得b n ，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和． 本题等差数列和等比数列的通项公式、求和公式的运用，以及数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由a 1=1，a n+1=a n +1a n
，可得a 2=1+1=2，a 3=2+12=52，a 4=52+25=29
10
；
(2)由a 1=1，a n+1=a n +1
a n
，可得a n >0，
a n+12
=(a n +
1a n
)2
=a n 2+2+
1
a n
2， 即有a n+12−a n 2
=2+
1
a n
2>0，
所以{(a n )2}为递增数列；
(3)证明：因为a n+12−a n 2
=2+
1
a n
2>2，
所以(a 22−a 12)+(a 32−a 22)+...+(a n+12−a n 2
)>2n ， 即为a n+12−a 12>2n ，所以a n+12>2n +1；
再运用数学归纳法证明：(a n+1)2<(√2n +1)2，等价为a n+1<1+√2n. 当n =1时，a 2=2<1+√2； 假设n =k 时，a k+1<1+√2k.
当n =k +1时，只需证明，a k+2<1+√2k +2，即证a k+1+1
a k+1
<1+√2k +2.
因为a k ≥1，a k+1+1
a k+1
随着k 的增大而增大，所以a k+1+1
a
k+1
<√2k +11+√2k
， 只需证明1+√2k +
1+√2k
<1+√2k +2，即为(1+√2k)2+1<(1+√2k)(1+√2k +2)，
即为2k +2+2√2k <1+√2k +√2k +2+√2k ⋅√2k +2， 即(2k +1)+√2k <√2k +2+√2k ⋅√2k +2，
上式两边平方可得左边=4k 2+6k +1+2(2k +1)√2k ，右边=4k 2+6k +2+2(2k +2)√2k ， 显然右边大于左边，
则原命题成立，即2n +1<(a n+1)2<(√2n +1)2. 【解析】(1)由数列的递推式直接写出前四项； (2)将数列的递推式两边平方，移项判断，可得单调性；
(3)先证明不等式的左边，由a n+12−a n 2
=2+
1
a n
2>2，累加可得证明；再运用数学归纳法证明不等
式的右边．
本题考查数列的递推式，以及不等式的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题．
2022-2023学年高二上学期期末考试数学(文)试题
2022-2023学年度上学期期末考试 高二数学试卷（文科） 第Ⅰ卷（选择题，满分60分） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设a ∈R ，则“1a >”是“2 1a >”的（ ）． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 2．直线1:30l x ay ++=和直线()2:230l a x y a -++=互相平行，则a 的值为（ ）． A ．1-或3 B ．3-或1 C ．1- D ．3- 3、设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）． A ．若m α∥，n α∥，则m n ∥ B ．若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n ∥ C ．若m αβ⋂=，n α⊂，n m ⊥，则n β⊥ D ．若m α⊥，m n ∥，n β⊂，则αβ⊥ 4．已知圆的方程为2 2 60x y x +-=，则过点()1,2的该圆的所有弦中，最短弦长为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．4 5．函数()1sin f x x =+，其导函数为()f x '，则π3f ⎛⎫ '= ⎪⎝⎭ （ ） ． A ． 12 B ．12 - C ． 32 D 36．已知抛物线2 4x y =上一点M 到焦点的距离为3，则点M 到x 轴的距离为（ ）． A ． 1 2 B ．1 C ．2 D ．4 7．已知命题:p x ∀∈R ，2 10ax ax ++>；命题:q x ∃∈R ，2 0x x a -+=．若p q ∧是真命题，则a 的取值范围是（ ）．
2022-2023学年北京市丰台区高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷 1. 已知经过A(0,2)，B(1,0)两点的直线的一个方向向量为(1,k)，那么k=( ) D. 2 A. −2 B. −1 C. −1 2 2. 圆C：(x−2)2+(y−2)2=4的圆心坐标和半径分别为( ) A. (−2,−2)，2 B. (2,2)，2 C. (−2,−2)，4 D. (2,2)，4 3. 有一组样本数据x1，x2，…，x n的方差为0.1，则数据x1+2，x2+2，⋯，x n+2的方差为( ) A. 0.1 B. 0.2 C. 1.1 D. 2.1 4. 已知m，n是实数，若a⃗=(2,2m−3,2)，b⃗ =(4,2,3n−2)，且a⃗//b⃗ ，则m+n=( ) A. −4 B. 0 C. 2 D. 4 5. 记录并整理某车间10名工人一天生产的产品数量(单位：个)如表所示： 工人赵甲钱乙孙丙李丁周戊吴己郑庚王辛冯壬陈癸 产品数 46485153535656565871 量/个 那么这10名工人一天生产的产品数量的第30百分位数为( ) A. 49.5 B. 51 C. 52 D. 53 6. 某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[6,26]，样本数据分组为 [6,10),[10,14),[14,18),[18,22),[22,26],已知样本中产品净重小于14克的个数是36，则样本中净重大于或等于10克并且小于22克的产品的个数是( ) A. 90 B. 75 C. 60 D. 45 7. 已知生产某种产品需要两道工序，设事件A=“第一道工序加工合格”，事件B=“第二道工序加工合格”，只有第一道工序加工合格才进行第二道工序加工，那么事件“产品不合格”可以表示为( )
2022-2023学年上海中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年上海中学高二（上）期末数学试卷 1. 小陈掷两次骰子都出现6的概率为______. 2. 从{1,2,3,4,5}中随机取两个元素(可相同)，则这两个元素的积不是6的倍数的概率为 ______. 3. 若等比数列的前n 项和S n =4n−1+a ，则a =______. 4. 若数列{a n }满足a n+1 ={2a n 0≤a n ≤1 22a n −112 ≤a n <1 ，若a 1=67 ，则a 2023=______. 5. 为了解某校高三年级男生的体重，从该校高三年级男生中抽取17名，测得他们的体重数 据如下(按从小到大的顺序排列，单位：kg) 56 56 57 58 59 59 61 63 64 65 66 68 69 70 73 74 83 据此估计该校高三年级男生体重的第75百分位数为______kg. 6. 已知{a n }为等差数列，a 1+a 3+a 5=105，a 2+a 4+a 6=99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是______. 7. 已知某社区的家庭年收入的频率分布如表所示，可以估计该社区内家庭的平均年收入为 ______万元． 8. 第14届国际数学教育大会(ICME −14)于2021年7月12日至18日在上海举办，已知张 老师和李老师都在7天中随机选择了连续的3天参会，则两位老师所选的日期恰好都不相同的概率为______. 9. S 1=1+2+⋯+n ，S 2=12+22+⋯+n 2，S 3=13+23+⋯+n 3，使S 1，S 2，S 3成等 差数列的自然数n 的所有可能的值为______. 10. 已知a n ={ 2n +3,n 为奇数4n , n 为偶数 (n ∈N ∗)，则数列{a n }前2m 项之和为______. 11. 已知数列{a n }满足a 1=1，a n+1=1 8(a n )2+m(n ∈N ∗)，若对任意的正整数n 均有a n <4， 则实数m 的最大值是______. 12. 设数列{a n }满足a 1= 12 ，a n+1= a n +(a n )2 2023(n ∈N ∗)，记T n =(1−a 1)(1−a 2)⋯(1−a n )， 则使得T n <0成立的最小正整数n 是______. 13. 某社区有500个家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95 户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市建平中学高二上学期12月月考数学试题 一、填空题 1．命题“空间中任意3点确定一个平面”是___________命题.（填“真”，“假”） 【答案】假 【分析】当三点共线时，可以知命题不成立，即可得正确答案. 【详解】因为过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面， 当三点共线时可以确定无数个平面， 故答案为：假. 2．边长2和4的矩形直观图面积为______. 【答案】 【分析】. 【详解】由题知， 直观图面积为24⨯=3．若圆锥的侧面积为2π，母线长为2，则此圆锥的体积为______. 【分析】由侧面积公式解得1r =，进而求出圆锥的高，即可由体积公式求得体积 【详解】设圆锥的底面半径为r ，高为h ，因为圆锥的母线长2l =，其侧面积为2rl ππ=，所以1r =， 所以h 2211133V r h ππ==⨯. 4．正四棱柱的底面积为4，高为3，则它的侧面积为______. 【答案】24 【分析】先求出底面四边形的边长，再利用柱体的侧面积公式进行求解. 【详解】因为正四棱柱的底面是正方形，且面积为4， 所以底面的边长为2，又因为棱柱的高为3， 所以侧面积为42324⨯⨯=. 故答案为：24. 5．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,1AB BC AA ===，则1BC 与平面11BB D D 所成角的大小为______.
【答案】15arccos 5 【分析】首先连接11A C 交于点O ，连接BO ，然后证明1OC ⊥面11BB D D ，根据线面角的定义得到1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角，在1Rt BOC 中求解1C BO ∠的余弦值即可求出1BC 与平面11BB D D 所成角. 【详解】连接11A C 交于点O ，连接BO ， 由2AB BC ==，得1111D C B A 为正方形，即111OC B D ⊥， 由长方体的性质得1BB ⊥面11111,A B C D OC ⊂面1111D C B A ， 所以11OC BB ⊥，且1111BB B D B ⋂=，所以1OC ⊥面11BB D D ， 则1C BO ∠为1BC 与平面11BB D D 所成角， 在1Rt BOC 中，112,5,3OC BC OB ===， 所以11315 cos 55 OB OBC BC ∠= ==， 即1BC 与平面11BB D D 所成角为15arccos 5 . 故答案为：15 arccos 5 6．如图，边长为2的两个等边三角形,ABC DBC ，若点A 到平面BCD 的距离为1，则二面角A BC D --的大小为______. 【答案】3 【分析】先判断得二面角A BC D --的平面角为AEF ∠，再利用线面垂直的判定定理证得AF ⊥平面BCD ，从而得到1AF =，进而求得sin AEF ∠，由此得解.
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二(上)期末数学试卷
2021-2022学年上海市虹口区复兴高级中学高二（上）期末数学试卷 试题数：21，总分：150 1.（填空题，4分）若 P n 3=C n 4 ，则正整数n=___ ． 2.（填空题，4分）投掷一颗均匀的正方体骰子（六个面分别标有数字1、2、3、4、5、6）一次，朝上的数字大于4的概率是 ___ ． 3.（填空题，4分）直线 y =√3x −1 与直线 y = √3 3 (x −1) 的夹角的大小是 ___ ． 4.（填空题，4分）设 a n =2n +2n+1+2n+2+⋯+22n （n 为正整数），则a k+1-a k =___ ． 5.（填空题，4分）在空间直角坐标系中，已知A （-1，2，-3），B （2，-4，6），若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则C 点坐标为 ___ ． 6.（填空题，4分）二项式 (x 2−1x )6 展开式中的常数项为___ ． 7.（填空题，5分）一排有10盏灯，如果用灯亮表示数1，用灯不亮表示数0，每一种亮灯方式代表一个数据，如：0010100101表示一个数据，那么这10盏灯可以表示的数据个数是 ___ ． 8.（填空题，5分）若-1，x ，y ，z ，-9（x 、y 、z∈R ）是等比数列，则实数y=___ ． 9.（填空题，5分）已知直线l 1：kx-3y+9b=0与l 2：2x+y+b 2+3=0，其中k 、b∈R ．若直线l 1 || l 2，则l 1与l 2间距离的最小值是 ___ ． 10.（填空题，5分）公司库房中的某种零件的70%来自A 公司，30%来自B 公司，两个公司的合格率分别是95%和90%，从库房中任取一个零件，则它是合格品的概率是 ___ ． 11.（填空题，5分）我们知道： C n m =C n−1m−1+C n−1m 相当于从两个不同的角度考察组合数： ① 从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数是 C n m ； ② 对n 个元素中的某个元素A ，若A 必选，有 C n−1m−1 种选法，若A 不选，有 C n−1m 种选法， 两者结果相同，从而得到上述等式． 根据这个思想考察从n 个不同的元素中选出m 个元素并成一组的选法种数，若对其中的某k （n ＞m ＞k≥2，且n-k ＞m ）个元素分别选或不选，你能得到的等式是 ___ ． 12.（填空题，5分）已知A 1（x 1，y 1），A 2（x 2，y 2），…，A n （x n ，y n ）（n 为正整数）是直线l ：y=2x-3上的n 个不同的点，设a 1+a 2+⋯+a n =1，当且仅当i+j=n+1时，恒有a i =a j （i 和j 都是不大于n 的正整数，且i≠j ）， OP ⃗⃗⃗⃗⃗ = a 1OA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + a 2OA 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +⋯+ a n OA n ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ．有下列命题： ① 数列{y n }是等差数列；
2021-2022学年上海市徐汇中学高二(上)第一次月考数学试卷(解析版)
2021-2022学年上海市徐汇中学高二（上）第一次月考数学试卷 （9月份） 一、填空题（共12小题）. 1．两条直线没有公共点是这两条直线为异面直线的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“非充分非必要”） 2．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1的所有棱中，既与AB共面，又与CC1共面的棱有条．3．从同一点出发的四条直线最多能确定个平面． 4．若直线l与平面α相交于点O，A，B∈l，C，D∈α，且AC∥BD，则O，C，D三点的位置关系是． 5．已知∠AOB＝120°，直线a∥OA，直线b∥OB，且a与b为异面直线，则a与b所成角的大小是． 6．如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为． 7．如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是cm． 8．异面直线a、b成80°角，点P是a、b外的一个定点，若过P点有且仅有2条直线与a、b所成的角相等且等于θ，则θ的范围为． 9．如图，是一个无盖正方体盒子的表面展开图，A、B、C为其上的三个点，则在正方体盒子中，∠ABC＝．
10．如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在截面A1DB上，则线段AP的最小值等于． 11．如图，正三角形P1P2P3，点A、B、C分别为边P3P1、P2P3、P1P2的中点，将三角形沿AB、BC、CA折起，使P1，P2，P3三点重合为点P，则折起后P1A与平面ABC所成的角为． 12．如果一条直线与一个平面垂直，则称此直线与平面构成一个“正交线面对”．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是． 二.选择题 13．若a、b表示两条直线，α表示平面，下列命题中的真命题为（）A．若a⊥α，a⊥b，则b∥αB．若a∥α，a⊥b，则b⊥α C．若a⊥α，b⊆α，则a⊥b D．若a∥α，b∥α，则a∥b 14．若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是（） A．l与l1，l2都不相交
2022-2023学年上海市松江二中高二上学期期中考试数学试卷含答案
2022学年第一学期松江二中期中考试试题 高二数学 （完卷时间：120分钟满分：150分） 一､填空题，本大题共有12题，满分54分.其中第16题每题满分4分，第 712~题每题满分5分，第12题第一空2分，第二空3分.考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.） 1.一条直线与一个平面所成角的取值范围是__________.（用区间表示） 2.若直线a ∥平面α，直线b ⊂平面α，则直线a 与b 的位置关系为__________. 3.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1390,14a a a +==，则10S =__________. 4.若一平面截一球得到半径为球的表面积等于__________. 5.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且423n n S a +=，则数列{}n a 的通项公式为n a =__________. 6.若干个正方体形状的积木按如图所示摆成塔型：上方正方体中下底面的四个顶点是下面相邻正方体中上底面各边的中点，最下面的正方体的棱长为1，平放于桌面上.如果所有正方体能直接看到的表面积超过8.8，则正方体的个数至少是__________个. 7.设正四面体ABCD 的棱长为1，棱AB 上一点P 满足1 3 AP =，且P 到面,ACD BCD 的距离分别为12d d ､，则12d d +=__________. 8.如图，在ABC 中，90,30,1ACB ABC AC ∠∠===.在三角形内挖去半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与BC 相交于N ，与AC 相切于点C ，与AB 相切于点M ） ，则图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积为__________. 9.如图，在大小为120的二面角l αβ--中，A 是二面角的棱l 上的一点，B ､D 在平面 α内，C 在平面β内，直线BA l ⊥，直线CA l ⊥，且2BA =，1CA =，直线BD l ∥且线段BD 的长为3，则异面直线CD 与l 所成角的大小为__________（结果用反三角函数 值表示）.
2022-2023学年上海市民办常青高级中学高二化学上学期期末试卷含解析
2022-2023学年上海市民办常青高级中学高二化学上学 期期末试卷含解析 一、单选题（本大题共15个小题，每小题4分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，共60分。） 1. 除去下列括号内杂质的试剂和方法错误的是( ) A.HNO3溶液(H2SO4)，适量BaCl2溶液，过滤 B.CO2(SO2)，酸性KMnO4溶液、浓硫酸，洗气 C.KNO3晶体(NaCl)，蒸馏水，结晶 D.C2H5OH(水)，加足量CaO，蒸馏 参考答案： A 略 2. 2010年诺贝尔物理学奖授予英国曼彻斯特大学的教授安德烈?海姆和康斯坦丁?诺沃肖洛夫，因两人在“研究二维材料石墨烯的开创性实验”中作出了突出的贡献．石墨烯是目前科技研究的热点，可看作将石墨的层状结构一层一层的剥开得到的单层碳原子．将氢气加入到石墨烯排列的六角晶格中可得最薄的导电材料石墨烷（如图），下列说法中正确的是（） A．石墨烯与石墨烷互为同系物 B．石墨烯转变为石墨烷可看作取代反应 C．石墨烯在氧气中完全燃烧，只产生二氧化碳气体 D．石墨烷的化学式通式是C n H2n+2 参考答案：
C 【考点】芳香烃、烃基和同系物． 【分析】A．结构相似，在分子组成上相差一个或若干个CH2原子团的物质互称为同系物； B．石墨烷是石墨烯的加成产物； C．石墨烯只含有碳元素； D．烷烃的通式是C n H2n+2． 【解答】解：A．石墨烷是石墨烯的加成产物，二者结构不同，故A错误； B．石墨烯转变为石墨烷可看作加成反应，故B错误； C．石墨烯只含有碳元素，燃烧只生成二氧化碳，故C正确； D．烷烃的通式是C n H2n+2每成一个环少两个氢原子，故D错误． 故选C． 3. 若用乙烯和氯气在适当的条件下反应制取四氯乙烷，这一过程中所要经历的反应及耗用氯气的量是（设乙烯为1mol ，反应产物中的有机物只是四氯乙 烷） A．取代，4 mol Cl2 B．加成，2 mol Cl2 C．加成、取代，2 mol Cl2 D．加成、取代，3 mol Cl2 参考答案： D 略 4. 糖类、脂肪和蛋白质是维持人体生命活动所必需的三大营养物质。以下叙述正确的是 A．植物油是纯净物 B．植物油通过加氢可以制造植物奶油（人造奶油） C．葡萄糖能发生氧化反应和水解反应 D．蛋白质溶液遇乙酸铅后产生的沉淀能重新溶于水
新高考2022-2023学年(上)高二数学期末质量检测(含答案)
新高考2022-2023学年（上）高二数学期末质量检测（含答案） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚； 2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，在试卷上作答无效； 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回； 4.全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 如果A(1,5,−1)，B(2,4,1)，C(a,3,b +2)三点共线，那么a −b =( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 如果双曲线x 2 4−y 2 12 =1上一点P 到它的右焦点的距离是8，那么点P 到它的左焦点的距离是( ) A. 4 B. 12 C. 4或12 D. 不确定 3. 已知三角形的三个顶点A(2,4)，B(3,−6)，C(5,2)，则BC 边上中线的长为( ) A. 2√10 B. √10 C. 11√2 D. 3√10 4. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．已知四棱 锥P −ABCD 是阳马，PA ⊥平面ABCD ，且EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2PE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =c ⃗ ，则DE ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 1 3a ⃗ −2 3b ⃗ +2 3 c ⃗ B. 13a ⃗ +23b ⃗ +2 3 c ⃗ C. a ⃗ −23b ⃗ +2 3c ⃗ D. a ⃗ +23b ⃗ −2 3c ⃗ 5. 抛物线C ：y 2=−12x 的焦点为F ，P 为抛物线C 上一动点，定点A(−5,2)，则|PA|+|PF|的最小值为( ) A. 8 B. 6 C. 5 D. 9 6. 如图，正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF =√22 ，则下列结论中 错误的是( ) A. AC ⊥BE B. EF//平面ABCD C. 直线AB 与平面BEF 所成的角为定值 D. 异面直线AE ，BF 所成的角为定值 7. 设P 是双曲线x 216−y 2 4 =1右支上任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，则|PF 1|−|PF 2|等于( )
上海外国语大学附属浦东外国语学校2022-2023学年高二上学期期末(模拟)考试数学试卷
【学生版】 2022学年度第一学期高二（上）数学期末（模拟）考试试卷【6】 注意事项： 1．考试时间：90分钟试卷满分：100分； 2．本试卷由填空题、选择题和解答题三大题组成，共19题； 3．测试范围：《第12 章概率初步》、第13章《统计》 一、填空题（本大题共有10题，满分34分；其中1-6题每题3分，7-10题每题4分） 1、我国西部一个地区的年降水量在下列区间内的概率如表所示： 年降水量/mm[100，150)[150，200)[200，250)[250，300] 概率0.210.160.130.12 2、在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A ∪B发生的概率为________(B表示B的对立事件)． 3、随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园．某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这些网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下： 公园儿童公园湖连潮头中央公园下沙公园 有意向的家庭甲、乙、丙甲、乙、丁乙、丙、丁 乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为________． 4、某商场对某一商品搞活动，已知该商品每一个的进价为3元，售价为8元，每天销售的第20个及之后的商品按半价出售，该商场统计了近10天这种商品的销售量，如图所示．设x为这种商品每天的销售量，y为该商场每天销售这种商品的利润，从日利润不少于96元的几天里任选2天，则选出的这2天日利润都是97元的概率为 5、甲、乙、丙三个气象站同时作气象预报，如果甲站、乙站、丙站预报的准确率分别为0.8、0.7和0.6，那么在
上海市杨浦区复旦大学附属中学2022-2023学年高二上学期期中数学试卷(含答案)
上海市复旦大学附属中学2022-2023学年高二（上）期中数学试卷 一、填空题:(共54分,1-6每题4分,7-12每题5分) 1.圆x²+y²-2x-3=0的半径为 . 2.若直线l 1:ax+y-1=0与l 2:3x+(a+2)y+1=0垂直，则实数a 的值为 . 3.已知平行直线l 1:x-2y-1=0,l 2:x-2y+4=0,则l ₁,l ₂的距离为 . 4.若抛物线y²=4x上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是 . 5.已知过点P(0，1)的直线l 与抛物线y²=4x相交于不同的两点，k 为直线斜率，则k 的取值范围为 . 6.一个圆经过椭圆x 216 +y 24 =1的三个顶点，且圆心在x 轴正半轴上，则该圆的标准方程 是 . 7.椭圆 x 2k 2+ y 23 =1（k >0）的焦距为2,则实数k 的值为 . 8.已知点P(x,y)在经过A(3,0)、B(1,1)两点的直线上,则2ˣ+4ʸ的最小值为 . 9.已知点P(2,1)在圆 x²+y²+(λ-1)x+2λy+λ=0 外,则实数λ的取 值范围是 . 10.已知斜率为 12 的直线l 与抛物线y²=2px(p>0)交于x 轴上方不同的两点A 、B ，记直线OA 、 OB 的斜率分别为k ₁、k ₂, 则k ₁+k ₂的取值范围是 . 11.已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左、右焦点分别是F ₁、F ₂，这两条曲线在第一象限的交点为P ，△PF ₁F ₂是以PF ₁为底边的等腰三角形，若|PF ₁|=10,椭圆与双曲线的离心率分别为e ₁、e ₂,则e ₁e ₂的取值范围是 .
上海市黄浦区向明中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题Word版含解析
上海市黄浦区向明中学2022-2023学年上学期期中考试 高二数学试题 一、填空题（共12小题）. 1．过点P（3，4）且与直线2x﹣y+1＝0平行的直线方程为． 2．向量（3，﹣4）的单位向量是． 3．（++…+）＝． 4．已知一个关于x，y的二元线性方程组的增广矩阵是，则x+y＝． 5．已知，，（2）＝3，则向量与的夹角为． 6．若，则＝． 7．过直线x+y﹣1＝0与x轴的交点，且与该直线夹角为的直线的方程是 8．三阶行列式中，5的余子式的值是． 9．已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2），若直线l过点P（1，1）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是． 10．设、、是任意的平面向量，给出下列命题： ①； ②； ③； ④． 其中是真命题的有（写出所有正确命题的序号） 11．在等比数列{a n}中，前n项和S n满足S n＝，则首项a1的取值范围是．12．已知三条直线的方程分别为y＝0，，，那么到三条直线的距离相等的点的坐标为． 二、选择题 13．已知，，在上的投影是（）
A．3 B．C．4 D． 14．已知数列{a n}是等比数列，则方程组的解的情况为（） A．唯一解B．无解C．无穷多组解D．不能确定 15．下列命题为真命题的是（） A．经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0＝k（x﹣x0）表示 B．不经过原点的直线都可以用方程表示 C．经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线都可以用方程（x1﹣x2）（y﹣y2）＝（y1﹣y2）（x﹣x2）表示 D．经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y＝kx+b表示 16．对于每个确定的实数θ，方程x cosθ+（y﹣2）sinθ＝1表示一条直线，从中选出n条直线围成一个正n边形，记这个正n边形的面积是S n，则S n＝（） A．B．πC．4 D． 三、解答题 17．已知向量、均为非零向量，且与不平行． （1）若，，，求证：A、B、D三点共线； （2）若向量与平行，求实数m的值． 18．已知数列{a n}是等差数列，a1＝14，公差d＝5，{b n}是等比数列，b1＝1，公比q＝﹣2，构造数列{c n}：a1，b1，a2，b2，…，a n，b n，…． （1）求数列{c n}的通项公式； （2）若c k＝64，求k的值及数列{c n}的前k项和． 19．已知|t|≤1，直线l1：tx﹣y+1＝0和直线l2：x+ty+1＝0相交于点P，l1和y轴交于点A，l2和x轴交于点B． （1）判断l1与l2的位置关系，并用t表示点P的坐标； （2）求|OP|的长度的取值范围，并指出取最值时点P的位置．
上海浦东区进才中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试卷Word版含解析
上海浦东区进才中学2022-2023学年上学期期中考试 高二数学试卷 一、填空题（共8小题，每小题3分，共24分）. 1．已知M（7，3），N（﹣1，5）则线段MN的垂直平分线方程是． 2．在平面直角坐标系中，圆的方程为x2+y2+2x+6y+1＝0，该圆的周长为． 3．圆（x﹣2）2+（y﹣1）2＝3关于直线3x+5y+6＝0对称的圆的方程为． 4．若不论m为任何实数，直线（m+2）x+（m﹣1）y﹣2m+3＝0恒过一定点，则该定点坐标为． 5．已知直线x﹣y+8＝0和圆x2+y2＝r2（r＞0）相交于A，B两点．若|AB|＝6，则r的值为．6．若圆x2+y2＝4，与圆C：x2+y2+2y﹣6＝0相交于A，B，则公共弦AB的长为． 7．已知P（a，b）为圆C：x2+y2﹣2x﹣4y+4＝0上任意一点，则的最大值是． 8．已知动直线l：（m+1）x+（m+2）y﹣m﹣3＝0与圆C1：（x﹣2）2+（y+1）2＝36交于A，B两点，以弦AB为直径的圆为C2，则圆C2的面积的最小值是． 二、解答题（共7小题） 9．已知圆C的圆心在直线2x﹣y﹣2＝0上，且与直线l：3x+4y﹣28＝0相切于点P（4，4）．（1）求圆C的方程； （2）求过点Q（6，﹣15）与圆C相切的直线方程． 10．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，上顶点为B，已知2|AB|＝3|F1F2|． （Ⅰ）求椭圆的离心率； （Ⅱ）设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点F1，求直线PB的斜率．11．（19分）设椭圆＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设A为椭圆的下顶点，B为椭圆的上顶点，过点F且斜率为k的直线与椭圆交于C，D两点．若+＝10，求k的值． 12．（19分）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA1＝
2022-2023学年上海市延安中学高二(上)期末数学试卷(含答案解析)
2022-2023学年上海市延安中学高二（上）期末数学试卷 1. 已知A(1,−2,3)，B 两点关于原点对称，则点B 的坐标为______. 2. 两条平行直线4x −3y +5=0和4x −3y −5=0的距离为______. 3. 已知直线ax +2y −1=0和直线(a +1)x +4y −3=0平行，则实数a 的值为______. 4. 直线5x −y +2=0和直线3x +2y −7=0的夹角的大小为______. 5. 已知(−2,0)是某双曲线的一个顶点，且该双曲线的离心率为3 2，则该双曲线的标准方程为 ______. 6. 已知A(−1,0)，B(1,0)两点，则满足|PA|−|PB|=2的动点P 的轨迹方程为______. 7. 已知A(−5,2)，B 两点关于直线x +y −10=0对称，则点B 的坐标为______. 8. 已知d ⃗ =(3,4,−12)是直线l 的一个方向向量，n ⃗ 是平面α的一个单位法向量，且l ⊥α，则向量n ⃗ 的坐标为______. 9. 经过点(5,15)，可作圆x 2+y 2=r 2的两条切线，已知其中一条切线的方程为x =5，则另 一条切线的方程为______(用一般式表示). 10. 已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,2b,a −1)，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2a,b +2,−4)，且AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |为______. 11. 过点A(4,10)分别作斜率为2和3的两条直线，前者交椭圆x 25+y 2 9 =1于B ，C 两点，后 者交y 轴于D 点，则△BCD 的周长为______. 12. 已知P 为直线x +2y −1=0上的一个动点，Q 为曲线4x 4−2x 2y −x 3+2x 2+1=0上的一个动点，则线段PQ 长度的最小值为______. 13. 双曲线x 25−y 2 4=1的焦点坐标是( ) A. (±1,0) B. (±3,0) C. (0,±1) D. (0,±3) 14. 设直线l 的方向向量为d ⃗ ，平面α的法向量为n ⃗ ，则d ⃗ ⊥n ⃗ 是l//α的( ) A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 15. 已知点(1,1)在圆x 2+y 2+ax +a =0外，则实数a 的取值范围为( ) A. (−1,+∞) B. (−1,0) C. (−1,0)∪(4,+∞) D. (−∞,0)∪(4,+∞) 16. 已知直线x =a 与双曲线x 2 a 2− y 2b 2 =1的两条渐近线分别交于M ，N 两点，P 为该双曲线上 的任意一点P ，设O 为原点，OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ，n 为实数，则1mn 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2022-2023年高二上期期末数学(上海市延安中学 )
填空题 的平方根是_________. 【答案】 【解析】 根据正实数的平方根的知识，求得的平方根. 正实数的平方根为，所以的平方根是. 故填：. 填空题 若复数，其中是虚数单位，则_________.【答案】10 【解析】 先求得的共轭复数，进而求得的值. 依题意，所以. 故填：.
填空题 已知直线与圆相切，则实数_________. 【答案】 【解析】 利用圆心到直线的距离等于半径列方程，解方程求得的值. 直线化为一般式得，圆的圆心为，半径为，由于直线和圆相切，圆心到直线的距离等于半径，所以 ，解得. 故填：. 填空题 若方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示圆，则实数m的取值范围是__________． 【答案】 【解析】由D2＋E2－4F>0，得(－1)2＋12－4m>0，即m.
填空题 与椭圆有相同焦点，且长轴长为的椭圆方程是_________. 【答案】 【解析】 先求得椭圆的半焦距，再根据所求椭圆的长轴长求得，进而求得所求椭圆的方程. 椭圆的半焦距为，故所求椭圆，且焦点在轴上，由于所求椭圆长轴长为，，所以.所以所求椭圆方程为. 故填：. 填空题 已知点和，动点满足，则的轨迹方程是_________. 【答案】
【解析】 根据双曲线的定义，判断出点的轨迹为双曲线的一支，由此求得点的轨迹方程. 由于为定点，且，所以点的轨迹为双曲线的右支.由得，所以点的轨迹方程为 . 填空题 已知双曲线的渐近线方程为，且是上的一点，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【解析】 将双曲线的焦点分为在轴和轴上两种情况，根据双曲线的渐近线方程，设出双曲线的方程，将点坐标代入方程，由此求得双曲线的标准方程. 当双曲线焦点在轴上时，由渐近线方程可知，， 设双曲线方程为，代入得，解得，故双曲线方程为.
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年上海市华东师范大学第二附属中学高二上学 期期末数学试题 一、单选题 1．设1234P P P P 、、、为空间中的四个不同点，则“1234P P P P 、、、中有三点在同一条直线上”是“1234P P P P 、、、在同一个平面上”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】由公理2的推论()()12即可得到答案. 【详解】由公理2的推论: 过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面, 可得1234P P P P 、、、在同一平面, 故充分条件成立; 由公理2的推论： 过两条平行直线,有且只有一个平面, 可得, 当11213242,P l P l P l P l ∈∈∈∈、、、1 2l l 时, 1234P P P P 、、、在同一个平面上, 但1234P P P P 、、、中无三点共线, 故必要条件不成立; 故选:A 【点睛】本题考查点线面的位置关系和充分必要条件的判断,重点考查公理2及其推论;属于中档题; 公理2的三个推论： ()1经过一条直线和直线外一点,有且只有一个平面; ()2经过两条平行直线,有且只有一个平面; ()3经过两条相交直线,有且只有一个平面; 2．在正四面体A BCD -中，点P 为BCD ∆所在平面上的动点，若AP 与AB 所成角为定值,0,4πθθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝⎭ ， 则动点P 的轨迹是（ ） A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线
【答案】B 【解析】把条件转化为AB 与圆锥的轴重合，面BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹后即可求解. 【详解】以平面截圆锥面，平面位置不同，生成的相交轨迹可以为抛物线、双曲线、椭圆、圆.令AB 与圆锥的轴线重合，如图所示，则圆锥母线与AB 所成角为定值，所以面 BCD 与圆锥的相交轨迹即为点P 的轨迹.根据题意，AB 不可能垂直于平面BCD ，即轨迹 不可能为圆. 面BCD 不可能与圆锥轴线平行，即轨迹不可能是双曲线.可进一步计算AB 与平面BCD 所成角为2arctan ，即2arctan θ=时，轨迹为抛物线，arctan 2θ≠时，轨迹为椭圆， 0, 4 πθ⎛⎫ ∈ ⎪⎝ ⎭ ，所以轨迹为椭圆. 故选：B. 【点睛】本题考查了平面截圆锥面所得轨迹问题，考查了转化化归思想，属于难题. 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，P ，Q 两点分别从点B 和点1A 出发，以相同的速度在棱BA 和11A D 上运动至点A 和点1D ，在运动过程中，直线PQ 与平面ABCD 所成角θ的变化范围为 A ．[,]43ππ B ．22⎡⎢⎣ C ．[2]4π D ．2π]2 【答案】C 【分析】先过点Q 作QO AD ⊥于点O ，连接OP ，根据题意，得到QPO ∠即为直线PQ 与平面ABCD 所成的角θ，设正方体棱长为2，设BP x =()02x ≤≤，推出
2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高二上学期期末数学试题(解析版)
2022-2023学年上海市上海财经大学附属中学高二上学期期末数学试 题 一、填空题 1．在8 1x x ⎛ ⎫- ⎪⎝ ⎭的二项展开式中，系数最大的项为______. 【答案】70 【分析】写出二项展开式的通项公式，得到当0,2,4,6,8r =时，二项展开式的系数为正，求出各项，得到系数最大的项. 【详解】8 1x x ⎛⎫- ⎪⎝ ⎭的二项展开式为()()818218 8C 1C r r r r r r r T x x x ---+=-=-， 显然当0,2,4,6,8r =时，二项展开式的系数为正，当1,3,5,7r =时，二项展开式的系数为负， 其中()()2 4 0882444018 3858C ,1C 28,1C 70T x x T x x T x ===-==-=，()6 644781C 28T x x --=-=，()8 88 8981C T x x --=-=， 故系数最大的项为570T =. 故答案为：70 2．已知球的两个平行截面的面积分别为19π和36π，球的半径为10，则这两个平行截面之间的距离为______. 【答案】1或17 【分析】根据球的两个平行截面的面积分别为19π和36π，分别求得两个平行截面的半径和球心到截面的距离，再分截面圆在球心的同侧和异侧求解. 【详解】解：因为球的两个平行截面的面积分别为19π和36π， 6， 则球心到截面1O 的距离为19OO =， 球心到截面2O 的距离为28OO ， 当截面圆在球心的同侧时，如图所示：
这两个平行截面之间的距离为 12981 OO=-=当截面圆在球心的异侧时，如图所示： 这两个平行截面之间的距离为 129817 OO=+=， 故答案为：1或17 3．有8种不同型号的手机供4位顾客选购，每人只购一台，则共有______种不同的选法. 【答案】4096 【分析】按分步计数原理计算可得. 【详解】由已知得，每位顾客都有8种选法， 所以共有4 888884096 ⨯⨯⨯==种方法， 故答案为：4096 4．现有6位教师要带4个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案共有______种. 【答案】432 【分析】因甲、乙不能单独带队，故分甲乙一起带队和甲、乙分别于另外一位老师一起带队两种情况进行分类计算即可. 【详解】由于每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队， 所以分以下两类情况： ①甲乙一起带队，则需要把其余的四位老师分成三组，共有2 4 C种分法，再将四组老师分到4个班级 共有4 4 A种分法；
