上海市上海中学2020-2021学年高一下学期期末数学试题 答案和解析
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2n }的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市高一下学期期末数学试题(解析版)
一、填空题1．已知、，且，（其中为虚数单位），则____________． 1z 2C z ∈12i z =+234z i =-i 12z z -=【答案】##15i -+5i 1-【分析】利用复数的减法化简可得结果. 【详解】. 122i 34i 15i z z -=+-+=-+故答案为：.15i -+2．已知，,且、的夹角为，则______． 2= a 3b = a bπ3a b -=【分析】根据求出，根据即可求出.cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ a b ⋅a ab - 【详解】因为，，且、的夹角为，2= a 3b = a bπ3∴，1cos ,2332a b a b a b ⋅=⋅⋅=⨯⨯=∴. a ==. 3．已知复数满足（其中为虚数单位），则=___________． z 13i2i z+=i z【分析】根据复数的除法法则及复数的摸公式即可求解.【详解】由，得， 13i2i z+=()()()i i 2i 213i 13i 3i 1222i 3i z ⨯-⨯-++-====-=4．在中，，则_______ABC A 60,6,5B AB BC ∠=== AB BC ⋅=【答案】15-【分析】利用平面向量的数量积的运算即可得到答案. 【详解】因为，60,6,5B AB BC ∠=== 所以.()1cos 1806065152AB BC AB BC ⎛⎫⋅=⋅-=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭故答案为：.15-5．正方体中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点，则直线MN 与D 1C 的位置关系1111ABCD A B C D -是______. 【答案】异面【分析】由异面直线的定义即可判断.【详解】正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱BC ，CC 1的中点， ∵平面，平面DCC 1D 1，， MN 11DCC D N =1D C ⊂1N D C ∉∴直线MN 与D 1C 的位置关系是异面．故答案为：异面．6．已知关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，则实数的取值为x 2220x kx k k ++-=k ______.【分析】根据实系数一元二次方程有虚根的性质，结合根与系数关系、复数与其共轭复数乘积的关系，可以求出实数的取值为k 【详解】因为关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以方程x 2220x kx k k ++-=的判别式小于零，即，2220x kx k k ++-=22(2)4()00k k k k --<⇒<关于的实系数一元二次方程有一个模为1的虚根，所以两根是互为共轭的虚x 2220x kx k k ++-=根，设为，而由题意可知：，由根与系数的关系可得：，而，,z z 1z z ==2z z k k ⋅=-1z z z ⋅==因此有210z z k k k k k ⋅=-=⇒=<∴=【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚根的条件，考查了实系数一元二次方程有虚根的性质，考查了互为共轭的两个复数乘积的性质，考查了数学运算能力.7．如图，在长方体中，，，则直线与平面所成角1111ABCD A B C D -4AB BC ==12AA =1BC 11BB D D 的正弦值为__________.【分析】过作，垂足为，则平面，则即为所求角，从而可得1C 111C H B D ⊥H 1C H⊥11BB D D 1C BH ∠结果.【详解】依题意，画出图形，如图，过作，垂足为， 1C 111C H B D ⊥H 可知点H 为中点，4,AB BC ==由平面，1BB ⊥11A C 可得，又 11C H BB ⊥1111D B BB B ⋂=所以平面， 1C H ⊥11BB D D 则即为所求角， 1C BH ∠因为，， 4AB BC ==12AA=所以，111sin CH C BH BC ∠===8．如图，在直角三角形ABC 中，斜边AB ＝4，，以斜边AB 为一边向外作矩形,63ABC ππ∠⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABMN ，且BM ＝2（其中点M 、N 与C 在直线AB 两侧），则的取值范围是________．CM CN ⋅【答案】4,12]【分析】设，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角坐标,63ABC ππθ⎛⎫∠=∈ ⎪⎝⎭C CB CA x y 系，把表示为关于的三角函数可解决此题．CM CN ⋅θ【详解】解：设，，以为原点直线、分别为轴、轴，建立平面直角(6ABC πθ∠=∈3πC CB CA x y 坐标系，如图所示：则，，，(4cos 2sin ,2cos )M θθθ+(2sin ,4sin 2cos )N θθθ+(0,0)C∴()()4cos 2sin 2sin 2cos 4sin 2cos CM CN θθθθθθ⋅=+⋅++． 228sin cos 4sin 8sin cos 4cos 8sin 24θθθθθθθ=+++=+，，，，， (6πθ∈ )3π2(3πθ∴∈2)3πsin 2θ∴∈⎤⎥⎦． 8sin 24θ∴+∈(4,12⎤⎦故答案为：．(4,12⎤+⎦【点睛】本题考查平面向量的数量积的取值范围问题，对于较为复杂的一些问题，建立坐标系，利用坐标法求平面向量的数量积的取值范围是行之有效的方法．二、单选题9．已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，ABCD E F AB BC AB a =AD b =则等于（ ）EFA ．B ．C ．D ．()12a b + ()12a b - ()12b a - 12a b + 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案； 【详解】连结，则为的中位线，AC AC ABC A ，∴111222EF AC a b ==+故选：A10．设复数z =a +b i(a ，b ∈R )，若与互为共轭复数，则复数z 在复平面内对应的点位于i a -2i b +（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【分析】根据共轭复数的概念求出即可判断.,a b 【详解】因为与互为共轭复数，所以， i a -2i b +2,1a b ==则复数z 在复平面内对应的点位于第一象限. ()2,1故选：A.11．以下数都在复数范围内（1）如果，则，； i 12i a b +=-1a =2b =-（2）1z +（3）；()()221212z z zz ⋅=⋅（4）若，则. ()()22120z z z z -+-=12z z z ==其中正确命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】B【分析】利用复数的运算性质逐项分析即可 【详解】（1）错误,因为可以是复数,a b （2）错误,设,其中.111222i,i z x y z x y =+=+1212,,,R x x y y ∈()()()()22221212121212i .z z x x y y x x y y +=+++=+++()()()()()()()222212121212121212i 2i z z x x y y x x y y x x y y ⎡⎤+=+++=+-++++⎣⎦显然,从而()221212z z z z +≠+12z z +≠（3）正确,()()()2222221212121212z z z z z z z z z z ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅（4）错误,,则与互为相反数,复数范围内允许为负数,如()()22120z z z z -+-=()21z z -()22z z - 12i,0,1i z z z ===+故选：B12．如图，正方体AC 1的棱长为1，过点A 作平面A 1BD 的垂线，垂 足为点H ．则以下命题中，错误的命题是A ．点H 是△A 1BD 的垂心B ．AH 垂直平面CB 1D 1C ．AH 的延长线经过点C 1D ．直线AH 和BB 1所成角为45° 【答案】D【详解】因为三棱锥A －A 1BD 是正三棱锥，故顶点A 在底面的射影是底面的中心，A 正确；平面A 1BD ∥平面CB 1D 1，而AH 垂直于平面A 1BD ，所以AH 垂直于平面CB 1D 1，B 正确；根据对称性知C 正确，故选D.三、解答题13．已知.(1,0),(2,1)a b ==(1)若,且、、三点共线,求的值. 2,AB a b BC a mb =-=+A B C m (2)当实数为何值时,与垂直? k ka b - 2a b +【答案】(1)12-(2) 125【分析】（1）根据题意，由、、三点共线，可得与共线，列出方程即可得到的值；A B C ABBC m （2）根据题意，由平面向量垂直的坐标运算，代入公式，即可得到结果.【详解】（1）由题意可得，， ()()0,1,12,AB BC m m =-=+且、、三点共线，则可得，A B C AB BC λ=即，解得()0121m mλλ⎧=+⎨-=⎩12m =-（2）由题意可得，， ()()2,1,25,2ka b k a b -=--+=因为与垂直，则可得ka b - 2a b +()()52210k -+⨯-=解得 125k =14．已知复数． ()121i,z m m m R =-++∈(1)求||的最小值；1z (2)若复数为纯虚数，复数满足，，求． 1z 2z 24=z12||5z z +=12z z 【答案】(2)3i 4±【分析】（1）由复数模的公式，求得1z ==质，即可求解；（2）根据复数的分类，列出方程组求得，设，结合题意，得到13i z =2z a bi =+()123iz z a b +=++，列出方程组，求得的值，即可求解.,a b 【详解】（1）解：由复数，()121i,z m m m R =-++∈可得1z==≥=故当时，的最小值为 12m =1z （2）解：因复数是纯虚数，所以，解得，故()121i z m m =-++2010m m -=⎧⎨+≠⎩2m =13i z =设，则，2i,,)(z a b a b R =+∈()123i z z a b +=++由题意得，解之得或，所以或， ()222216325a b a b ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩40a b =⎧⎨=⎩40a b =-⎧⎨=⎩24z =24z =-所以. 123i 4z z =±15．如图，已知在长方体中，，，点是的中点．1111ABCD A B C D -3DA DC ==15DD =E 1D C(1)求证：平面；1AD ∥EBD (2)求异面直线与所成角的余弦值． 1AD DE 【答案】(1)证明见解析； (2). 2534【分析】(1)如图，根据中位线的性质可得，由线面平行的判定定理即可证明； 1//OE AD (2)由(1)可知为异面直线与所成角的平面角，利用勾股定理分别求出DEO ∠1AD DE DO OE DE 、、的值，结合余弦定理计算即可.【详解】（1）连接AC ，交BD 于点O ，则O 为AC 的中点，又因为E 为的中点，连接，则， 1CD OE 1//OE AD ∵平面EBD ，平面EBD ，1AD ⊄OE ⊂平面EBD ；∴1AD ∥（2）由(1)知，，1//OE AD 所以为异面直线与所成角的平面角， DEO ∠1AD DE 在中，DEO A 11122DO DB OE AD ====， DE ==由余弦定理，得，22225cos 234DE OE OD DEO DE OE +-∠===⋅故异面直线与所成角的余弦值为. 1AD DE 2534。
2020-2021学年上海市上海中学高一下学期数学期末考试卷(含详解)
上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．5.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．7.已知(0,2))z απ=∈，则z 的取值范围是__________．8.已知z C ∈，方程3i 13i z z z ⋅-=+的解为___________．9.已知直线a ，b 垂直，直线c 与a 所成的角为6π，则c 与b 所成角的范围是___________．10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．11.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0B.1C.2D.314.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1B.2C.3D.415.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心16.在四面体ABCD 中，1AB BC CA ===，DA 与直线AB ，CA 均垂直，且D A ，一只蚂蚁从ABC 的中心沿表面爬至点D ，则其爬过的路程最小值为（） A.393B.15326+ C.433 D.373三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．17.在平面直角坐标系中，向量,22m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，()sin ,cos n x x = ，0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭．若m n ⊥，求tan x 的值．18.空间四边形ABCD 中，AB AC ≠，AE 是ABC 的边BC 上的高，DF 是BCD △的边BC 上的中线，求证：AE 和DF 是异面直线．19.在OAB 的边OA ，OB 上分别取点M ，N ，使得:1:5OM OA =，:1:4ON OB =，设线段AN 与BM 交于点P ，记OA a = ，OB b = ，用a ，b表示向量OP ．20.如图1，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，D ，E 分别为AC ，AB 的中点，点F 是线段CD 上的一点，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A F CD ⊥，如图2．（1）证明：1A F BE ⊥；（2）线段1A B 上是否存在点Q ，使1A C ⊥平面DEQ ？若存在，求出11A QA B的值；若不存在，说明理由．21.设复平面中向量OP对应的复数为P z ，给定某个非零实数z ，称向量()()()()Re ,Im P P z OP z z z z =⋅⋅ 为OP的z -向量．（1）已知()11,OA x y = ，()22,OB x y =，求()()z OA z OB ⋅ ；（2）对于复平面中不共线的三点A ，B ，C ，设()'OA z OA = ，()'OB z OB =，()'OC z OC =，求''':A B C ABCS S △△；（3）设()(),,0v x y x y => ，()i 1,0= ，()0,1j = 的z 向量分别为'OV ，OE ，OF ，已知()',OV u v = ，1'OV E S S =△，2'OV F S S =△，求v的坐标（结果用1S ，2S ，z 表示）．上海市上海中学2020-2021学年第二学期高一数学期末试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置填写结果．1.与()4,3a =-平行的单位向量的坐标为__________．【答案】4343,,5555⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，【解析】【分析】根据单位向量的求法，即可得答案.【详解】由题意得：与a 平行的单位向量为()4,343,555aa -⎛⎫±=±=±- ⎪⎝⎭.故答案为：4343,,5555⎛⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，2.在空间，与边长均为3cm 的ABC ∆的三个顶点距离均为1cm 的平面共有.【答案】8【解析】【分析】分别从平面在三角形的同侧和异侧确定平面的位置.与个数【详解】若三角形在平面的同侧,此时到ABC 的三个顶点距离均为1cm 的平面的平面有两个.因为正三角形的边长为3,所以三角形的高为22>,所以当平面经过中位线EF 时,根据线面平行的性质可知,此时有两个平面到ABC 的三个顶点距离均为1cm .同理过两外两个边的中位线的平面也各有2个.所以满足条件的平面共有8个.故答案为8.【点睛】本题主要考查线面平行的性质以及平面之间的距离问题，考查了空间想象能力，属于中档题.3.若1i z =+，则1zzz =-__________．【答案】1i -【解析】【分析】根据复数的运算法则计算．【详解】由已知1i 1i1i (1i)(1i)1211z zz --===-+----．故答案为：1i -．4.关于z 的实系数一元二次方程220z bz c ++=的一根为1+，则c =__________．【答案】8【解析】【分析】根据实系数一元二次方程虚根成对定理，得220z bz c ++=的另一根为1，再由韦达定理可得(1)(1)2=c，即可求出c 的值.【详解】由题意得实系数一元二次方程220z bz c ++=的另一根为1-，再由韦达定理可得(1)(1)2+-=c，得8c =.故答案为：85.设复数()i ,z a b a b R =+∈，1+zz是实数，则a ，b 满足条件___________．【答案】0b =且1a ≠-【解析】【分析】化简1+z z ，再由1+z z是实数，虚部为0，分母不为0化简，即可得答案.【详解】由题意，1+z z 是实数，即2222(1))(1(1)(1)(1)+-+++==++++++-+++a bi a a b bia bi a bi a bi a a i a bib b 为实数，可得0b =且22(1)0++≠a b ，即0b =且1a ≠-.故答案为：0b =且1a ≠-.6.已知向量a ，b不共线，实数x ，y 满足()()2452x y a b a x y b -+=+- ，则x y +的值为__________．【答案】1【解析】【分析】根据题意，列出方程组，求得x ，y ，即可得答案.【详解】因为()()2452x y a b a x y b -+=+- ，且向量a ，b不共线，所以2542x y x y-=⎧⎨=-⎩，解得2,1x y ==-，所以1x y +=.故答案为：17.已知(0,2))zαπ=∈，则z的取值范围是__________．【答案】2 2⎣【解析】【分析】根据复数模的性质求出模，然后结合三角函数性质得取值范围．【详解】由题意z=====，20sin1α≤≤，233321sinα≤≤+，所以22z≤≤．故答案为：2⎣．8.已知z C∈，方程3i13iz z z⋅-=+的解为___________．【答案】1z=-或13iz=-+【解析】【分析】两边取共轭复数后可得方程组，得到2z z+=-，再将2z z=--代入方程得到关于复数z的方程，因式分解从而求得复数z.【详解】两边取共轭复数后可得方程组：3i13i3i13izz zzz z-=+⎧⎨+=-⎩①②，②-①得2z z+=-，把2z z=--代入②得：2(23i)(13i)0z z+-+-=，即(1)(13i)0z z++-=，∴1z=-或13iz=-+.故答案为：1z=-或13iz=-+.9.已知直线a，b垂直，直线c与a所成的角为6π，则c与b所成角的范围是___________．【答案】,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】考虑到直线c与a所成的角为6π，把,,a b c平移到一个圆锥上，a为圆锥PO的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，由母线PC 到底面直径AB 所成角可得结论．【详解】不妨平移,,a b c 为：a 为圆锥PO 的轴所在直线，b 为一个轴截面的底边AB 所在直线，c 为圆锥的母线所在直线，如图，对于任意一条母线PC ，当C 是半圆弧 AB 中点时，PC 与AB 所成角为2π，当C 不是半圆弧 AB 中点时，作//CD AB 交底面圆于D ，PC 与AB 所成角为PCD ∠（此角为锐角），cos PCD ∠12CDPC=，而0CD AB<≤，所以0cos OA PCD PA <∠≤，即2PAO PCD π∠≤∠<，3PAO π∠=，所以32PCD ππ≤∠<，综上32PCD ππ≤∠≤，故答案为：,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，10.平行六面体1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=︒，且1AA ⊥底面ABCD ，则对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为___________．【答案】4【解析】【分析】在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，根据线面垂直的判定定理，可证1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为所求，分别求得各个边的长度，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】延长11C D ，在平面1111D C B A 中，过点1A 做111A E C D ⊥，交11C D 的延长线于E ，连接1A C 、CE ，如图所示因为1AA ⊥底面ABCD ，则1AA ⊥平面1111D C B A ，又1A E ⊂平面1111D C B A ，所以11AA A E ⊥，因为11AA DD ∕∕，所以11A E DD ⊥，所以1A E ⊥平面11CDD C ，所以1A CE ∠即为直线1A C 与侧面11DCC D 所成角，在菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，所以23AC =在1Rt A AC △中，2114AC A A AC =+=，在11Rt A D E △中，12sin 603A E =︒=，所以在1Rt A CE 中，1113sin 4A E A CE A C ∠==.所以对角线1A C 与侧面11DCC D 所成角的正弦值为34.故答案为：3411.已知正方形ABCD 的边长为1，当每个(1,2,3,4,5,6)i i λ=取遍1±时，125634AB BC CD DA AC BD λ+λ+λ+λ+λ+λ的最小值与最大值的和______.【答案】5【解析】【分析】由题意可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，0AB AD =，化简123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 2213562456()()λλλλλλλλ=-+-+-++，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，由完全平方数的最值，可得最值．【详解】解：正方形ABCD 的边长为1，可得AB AD AC += ，BD AD AB =- ，则0AB AD =，123456||AB BC CD DA AC BD λλλλλλ+++++ 12345566||AB AD AB AD AB AD AD AB λλλλλλλλ=+--+++- 13562456|()()|AB AD λλλλλλλλ=-+-+-++=，由于(1i i λ=，2，3，4，5，6)取遍±1，可得13560λλλλ-+-=，24560λλλλ-++=，可取561λλ==，131λλ==，21λ=-，41λ=，可得所求最小值为0；由1356λλλλ-+-，2456λλλλ-++的最大值为4，可取21λ=，41λ=-，561λλ==，11λ=，31λ=-，可得所求最大值为所以最小值与最大值的和为故答案为：【点睛】本题考查向量的加减运算和向量的模的最值求法，注意变形和分类讨论，考查化简运算能力．12.空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，则该角度可能取值有__________种．【答案】2【解析】【分析】根据空间中，直线的位置关系，分析即可得答案.【详解】空间中有四条两两异面的直线，且其中任意两条直线所成的角相等，只有2种情况：正四面体模型，各个夹角为60︒，且满足异面，甲烷模型，各个夹角为10928'︒，且满足异面，故答案为：2二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.下列说法正确的有（）（1）空间四边形的对角线一定不相交；（2）四个角都是直角的四边形一定是平面图形；（3）在空间的四点，若无三点共线，则这四点一定不共面．A.0 B.1C.2D.3【答案】C 【解析】【分析】根据平面的基本性质判断（1）（3），（2）结合线面垂直的判定定理和性质定理判断．【详解】（1）空间四边形的对角线一定不相交，否则变成平面四边形，正确；（2）如图四边形ABCD 的四个角都是直角，若ABCD 不是平面四边形，则,AB CD 不共面，显然不平行，过C 作//CE AB ，任取一点E ，连接DE ，则AD CE ⊥，又AD CD ⊥，而CD CE C = ，,CD CE ⊂平面CDE ，所以AD ⊥平面CDE ，同理BC ⊥平面CDE ，所以//AD BC ，即,AD BC 共面，则ABCD 是平面四边形，矛盾．所以假设不成立，ABCD 是平面四边形，正确．（3）平行四边形的四个顶点中无三点共线，但它们共面，错误．正确的命题有2个．故选：C ．14.四面体的四个面中，直角三角形最多可有（）A.1 B.2C.3D.4【答案】D 【解析】【分析】结合正方体可得正确的选项.【详解】如图在正方体1111ABCD A B C D -中，四棱锥1A ABC -的四个侧面都是直角三角形，故选：D .【点睛】根据题意,可将此四棱锥放到正方体中,即取正方体的一个上顶点,四个下顶点,然后结合正方体的特征,利用线面垂直的判定与性质进行分析即可得到侧面直角三角形的个数,这是立体几何中常用到的方法,即补体法,把问题转化到熟知的几何体中处理即可.属于基础题15.动点P 满足1(1)(1)(12)3OP OA OB OC λλλ⎡⎤=-+-++⎣⎦（R λ∈），动点P 一定会过ΔABC 的（）A.内心B.垂心C.重心D.外心【答案】C 【解析】【分析】取AB 中点D ，做出简图，由2OA OB OD +=化简得2(1)1233OP OD OC λλ-+=+ ，根据2(1)12133λλ-++=得P 、C 、D 三点共线，所以点P 一定会通过ABC 重心.【详解】取AB 中点D ，做出示意图如下图所示：由图可知2OA OB OD +=，故12(1)12(1)(1)(12)333OP OA OB OC OD OC λλλλλ-+⎡⎤=-+-++=+⎣⎦ ，因为2(1)12133λλ-++=，所以P 、C 、D 三点共线，即点P 在AB 的中线CD 所在直线上，所以点P 一定会过ABC 的重心。
上海市高一数学下学期期末考试试题(含解析)22
当 时，若后添入的数 ，则一定不适合题意，从而 必是数列 中的某一项 ，
则
.
整理得 ，等式左边为偶数，等式右边为奇数，所以无解。
综上：符合题意的正整数 .
【点睛】本题主要考察了等差数列与等比数列的综合应用，考察了函数单调性的证明，属于中档题．
的值域为A， .
(1)当 的为偶函数时，求 的值；
（3）因为 ， ， ，检验知 ，3，4不合题意， 适合题意．当 时，若后添入的数 则一定不适合题意，从而 必定是数列 中的某一项，设 则 误解，即有 都不合题意．故满足题意的正整数只有 ．
【详解】解（1）因为 ，所以 ，
解得 或 （舍），则
又 ，所以
（2）由 ，得 ，
所以 ， ， ，
则由 ，得
而当 时， ，由 （常数）知此时数列 为等差数列
【详解】当 时，左边为 ，故选C.
【点睛】本小题主要考查数学归纳法的理解，考查阅读与理解能力，属于基础题.
的图象分别向左平移m(m>0)个单位，向右平移n(n>0>个单位，所得到的两个图象都与函数 的图象重合 的最小值为（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出函数 的图象分别向左平移 个单位，向右平移 个单位后的函数解析式，再根据其图象与函数 的图象重合，可分别得最新 ， 的方程，解之即可．
（3）由条件得 ，再由 ， ，可得 ．由 的图象最新点 ， 对称求得 ，可得 ．再由 的图象最新直线 成轴对称，所以 ，可得 ， ，由此求得 满足的条件．
【详解】解：（1）因为函数 为偶函数，所以 ，
得 对 恒成立，即 ，
所以 .
（2）
高一下学期期末考试数学试卷含答案(上海市)
高一数学下学期期末考试试卷（沪教版2020）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．2． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．3． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 3．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 6．计算2021i =______．（i 为虚数单位)7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______． 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．10．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．11．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.20．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.高一数学下学期期末（沪教版）（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：4． 本试卷共4页，21道试题，满分150分，考试时间120分钟．5． 本试卷分设试卷和答题纸．试卷包括试题与答题要求．作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，在试卷上作答一律不得分．6． 答卷前，务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号码等相关信息． 考试范围：必修二二、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1．函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>≤ ⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则()f x =______．【答案】2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭【分析】根据函数的最值、最小正周期、特殊点进行求解即可. 【详解】由函数的图象可知函数的最大值为2，所以2A =， 由函数的图象可知函数的最小正周期为8，而0>ω，所以有284ππωω=⇒=，又因为函数过原点，所以()02sin 0f ϕ==，而2πϕ≤，所以0ϕ=，所以()2sin 4f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故答案为：2sin 4x π⎛⎫⎪⎝⎭2．化简：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅=⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______． 【答案】1【分析】直接利用诱导公式化简即可 【详解】解：()()cos cot 2sin tan 22παπαππαα-+⋅⎛⎫⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭cos cos cot tan 2ααπαα-=⋅⎛⎫-- ⎪⎝⎭cos cot cos 1cot αααα-=⋅=- 故答案为：13．已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20r cm =，则扇形的周长为_________cm ． 【答案】20403π+【分析】根据弧长公式：l r α=求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长． 【详解】由题意，扇形的弧长为202033ππ⨯=，所以扇形的周长为202024033r ππ+=+故答案为20403π+【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题．4．若()()21z m m i =-++为纯虚数（i 为虚数单位），m R ∈，则z =__________． 【答案】3【分析】由题可知，复数z 的实部为0，虚部不为0，求出实数m 即可，然后再求复数的模． 【详解】解：若复数z 满足(2)(1)(z m m i i =-++为虚数单位）为纯虚数，其中m R ∈，则2010m m -=⎧⎨+≠⎩，解得：则2m =，得3z i =，所以||3z =． 故答案为：3.【点睛】本题考查复数的模以及对纯虚数的定义的理解．5．已知向量(),1a x =，()2,3b =-，若//a b ，则实数x 的值是______． 【答案】23-【分析】应用向量共线的坐标表示得230x +=，即可求x . 【详解】由题意知：230x +=，解得23x =-.故答案为：23-6．计算2021i =______．（i 为虚数单位) 【答案】i【分析】根据虚数单位i 的幂运算的周期性进行求解即可.【详解】450521120i i i ⨯+==， 故答案为：i7．已知[]0,x π∈，向量()sin ,1a x =，()2,cos b x =，当a b ⋅取到最大值时，x 的值是______．【答案】1arctan 22π-（或 2π-2π-） 【分析】由向量数量积的坐标表示、辅助角公式得5sin()a b x ϕ⋅=+且1tan 2ϕ=，由a b ⋅取到最大值有22x k ππϕ=+-，k Z ∈，结合x 的范围即可求x 的值.【详解】由2sin cos )a b x x x ϕ⋅=+=+，且1tan 2ϕ=， ∴当a b ⋅取到最大值时，有sin()1x ϕ+=，即22x k ππϕ=+-，k Z ∈.∵[]0,x π∈， ∴0k =时，1arctan22x π=-.故答案为：1arctan 22π-（或 2π-2π-） 8．在△ABC 中，若2cos c a B =，则△ABC 的形状是______三角形． 【答案】等腰【分析】由已知，结合正弦定理边角关系及两角和差的正弦公式可得in 0()s A B -=，即可判断△ABC 的形状.【详解】由题设知：sin 2sin cos C A B =，又()C A B π=-+，∴sin[()]sin()2sin cos A B A B A B π-+=+=，即sin cos cos sin sin()0A B A B A B -=-=， ∴在△ABC 中A B =，即△ABC 是等腰三角形. 故答案为：等腰 9．已知tan 4,α=则sin 2cos sin 3cos αααα+=-_____________．【答案】6【分析】分子分母除以cos α，利用同角三角函数间的基本关系化简，把tan α的值代入计算即可求出值． 【详解】tan 4α=， ∴tan 266tan 31sin 2cos sin 3cos αααααα+==-=-=+．故答案为：610．已知a 、b 满足4a =，b 在a 方向上的数量投影为2-，则3a b -的最小值为______．【答案】10【分析】根据数量投影的定义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设a 、b 的夹角为([0,])θθπ∈，因为b 在a 方向上的数量投影为2-，所以cos 2b θ⋅=-，因此(,]2πθπ∈，因此cos [1,0)θ∈-，所以2b ≥，22223(3)961696cos a b a b a b a b b a b θ-=-=+-⋅=+-⋅⋅⋅，因此有23649a b b -=+，因为2b ≥，所以当2b =时，3a b -有最小值，最小值为2649210+⨯=， 故答案为：1011．如图，O 是线段AB 外一点，3OA =，2OB =，P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，则OP AB ⋅的值为______．【答案】52-【分析】根据平面向量加法的几何意义，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】设线段AB 的中点为C ，()OP AB OC CP AB OC AB CP AB ⋅=+⋅=⋅+⋅，因为P 是线段AB 的垂直平分线l 上的动点，所以0CP AB CP AB ⊥⇒⋅=，所以22221115()()()(23)2222OP AB OC AB OA OB AO OB OB OA ⋅=⋅=+⋅+=-=-=-，故答案为：52-12．已知函数()4sin(2)6f x x π=-，[0x ∈，13]3π，若()()3F x f x =-的所有零点依次记为1x ，2x ，3x ，⋯，n x ，且123n x x x x <<<⋯<，则1231222n n x x x x x -+++⋯++=___________. 【答案】1003π【分析】根据函数解析式求解函数零点分布 ，再化简计算求解代数式的值. 【详解】解：令2()62x k k Z πππ-=+∈，可得1()23x k k Z ππ=+∈， ∴函数的对称轴为1()23x k k Z ππ=+∈， 又()f x 的周期为222T πππω===， ∴令113233k πππ+=，解得8k ，∴函数在[0x ∈，13]3π上有9条对称轴， 由正弦函数的性质可知，1223x x π+=⨯，231ππππ12,,723232n n x x x x -⎛⎫⎛⎫+=+⨯⨯⋅⋅⋅+=+⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 将以上各式相加可得:12312523100222()26663n n x x x x x ππππ-+++⋯++=++⋅⋅⋅+⨯=. 故答案为：1003π. 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．在中，若20AB BC AB ⋅+=，则的形状一定是（ ） A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形【答案】B【分析】先利用数量积运算化简得到2cos ac B c =，再利用余弦定理化简得解. 【详解】因为20AB BC AB ⋅+=，所以2cos()0ac B c π-+=， 所以2cos ac B c =，所以22222a c b ac c ac+-⨯=， 所以222b c a +=，所以三角形是直角三角形. 故选：B14．庄严美丽的国旗和国徽上的五角星是革命和光明的象征．五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且．若ES AP BQ λ-=（λ∈R ），则λ＝（ ）A 51+ B 51- C ．51+D 15-【答案】D【分析】根据图象的对称性和向量的运算法则，化简得到512RQ QB -=，即可求解. 【详解】根据图形的对称性，可得ES RC =，AP QC =， 由和向量的运算法则，可得ES AP RC QC RC CQ RQ -=-=+=， 又由RQ PT =，||||BQ AT =，故512RQ QB -=，所以15λ-=故选：D.15．13i -的三角形式是（ ） A ．ππ2cos isin 33⎛⎫-+ ⎪⎝⎭B ．2π2π2cos isin 33⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦C ．7π7π2sin i cos 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ D ．7π7π2cos isin 66⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 【答案】B【分析】提取复数的模，结合三角函数的值即可化代数形式为三角形式． 【详解】解：132213i 22cos isin 233ππ⎛⎫⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=--=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎝⎭． 故选：B ．16．设1z ､2z 为复数，则22120z z +=是120z z ==的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据题意，分别判断充分性与必要性即可. 【详解】若11z =，2i z =，则22120z z +=成立且120z z ==不成立， 而若120z z ==，则22120z z +=成立， 故22120z z +=是120z z ==的必要不充分条件. 故选：C.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．已知复数z 满足4z +为纯虚数，且2iz -为实数；若复数()2i z m +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 【答案】(2,2)-【分析】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，由实部为0求得x 值，再把2iz-利用复数代数形式的乘除运算化简，由虚部为0求得y 值，则z 可求，把2(i)z m +变形为复数的代数形式，再由实部大于0且虚部小于0列不等式组即可求解m 的范围．【详解】设i(,)z x y x y =+∈R ，则4(4)i z x y +=++，4z +为纯虚数，40x ∴+=且0y ≠，即4x =-，0y ≠．又4i (4i)(2i)824i 2i 2i (2i)(2i)55z y y y y R -+-++---===+∈---+， 240y ∴-=，即2y =．42i z ∴=-+，m 为实数，且222(i)[4(2)i](124)8(2)i z m m m m m +=-++=---+，由题意，212408(2)0m m m ⎧-->⎨-+<⎩，解得22m -<<．∴实数m 的取值范围为(2,2)-．18．若在复数范围内，关于x 的方程2220x ax a a -+-=至少有一个模为2的根，求实数a 的值.【答案】a =4a =，或1a =． 【分析】若两根为实根时，由条件求得a 的值；②若两根为虚根时，由条件求得a 的值，综合可得结论． 【详解】①若两根为实根时，不妨设12x =，则12x =±，当12x =时，则2540a a -+=，解得1a =或4a =；当12x =-时，则2340a a ++=，由于△91670=-=-<，可得a 无解．②若两根为虚根时，则12x x =，2121||4x x x ⋅==，即24a a -=，求得1172a -±=．再根据此时△222(2)4()(117)16a a a =---=±-，△0<时，1712a -=． 综上可得，1712a -=，或4a =，或1a =． 19．如图，平行四边形ABCD 中，23BM BC =.（1）若34AN AB =，E 为AM 中点，求证：点D ，E ，N 共线； （2）若60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，求AM 的最小值，及此时AD 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）||AM 2||AD 6 【分析】（1）根据平面向量线性运算法则得到2133AE AN AD =+，即可证明点D ，E ，N 共线； （2）设||0AB x =>，||0AD y =>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，22||()AM AB BM =+转化为关于x 、y 的不等式，利用基本不等式可解决此问题． 【详解】解：（1）平行四边形ABCD 中，23BM BC =，34AN AB =，E 为AM 中点， ∴1114221()()2223333AE AM AB BM AN BC AN AD ==+=+=+，所以32AE AN AD =+，22AE AN AD AE -=-，即2NE ED =，所以//NE EDD ∴，E ，N 共线；（2）设||||0DC AB x ==>，||||0BC AD y ==>，根据60DAB ∠=︒，12AB AD ⋅=，可得1xy =，222222224144242||()()233299333AM AB BM AB BC x xy y x y xy =+=+=+⨯+=+++=，||2AM ∴，当且仅当23x y =且1xy =，即6x =，6y =||AM 2，此时||AD 620．已知向量()1,2a =，()1,0b =-； （1）求a ，b 的夹角,a b ；（2）若()()32a b ka b -⊥+，求实数k 的值.【答案】（1）π-（2）517k =.【分析】（1）由cos a b a bθ⋅=⋅，再由向量坐标求解数量积和模长代入求解即可；（2）由()()32a b ka b -⊥+，可得()()320a b ka b -⋅+=，进而由坐标运算可得解. 【详解】（1）设a 与b 的夹角为θ，因为向量()1,2a =，()1,0b =-，所以2121a b =+=，1(1)1a b ⋅=⨯-=-，1cos 51a b a bθ⋅-∴===⨯⋅(0,)θπ∈，所以θπ=-.所以a ，b 的夹角,a b 为π-（2）因为+(1,2)ka b k k =-，()3256a b -=，，又()()32a b ka b -⊥+，所以()()320a b ka b -⋅+=， 所以()()()()3251+620a b ka b k k -⋅+=-⨯=，解得517k =. 21．已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，定义非零向量(),a M b O =的“相伴函数”为()sin cos y a x b x x R =+∈，向量(),a M b O =称为函数sin cos y a x b x =+的“相伴向量”；记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S .（1）已知α∈R ，()()cos 2cos h x x x α=++，若函数()y h x =为集合S 中的元素，求其“相伴向量”的模的取值范围；（2）已知点(),M a b 满足条件：3a =，0b <≤OM 的“相伴函数”()y f x =在0x x =处取得最大值，当b 在区间(变化时，求0tan 2x 的取值范围.【答案】（1）[]1,3；（2）[.【分析】（1）只要将()y h x =化为sin cos a x b x 即可，再利用向量的模的计算公式以及三角函数值域的求法即可解出；（2）利用三角函数求()f x 取最大值时的x 值，结合倍角公式以及换元bm a=即可求出0tan 2x 的范围． 【详解】(1) 证明: ()cos()2cos sin sin (2cos )cos h x x x x x ααα=++=-⋅++, ∴函数()h x 的相伴向量(sin ,2cos ),().OM h x S αα=-+∴∈(sin OM =cos 1α∴=时, max ||3,cos 1OM α===-时,min ||1OM ==.OM ∴的模的取值范围为[]1,3.(2)OM的相伴函数()sin cos )f x a x b x x ϕ=++, 其中cos ϕϕ==当2,2x k k Z πϕπ+=+∈, 即02,2x k k Z ππϕ=+-∈时, ()f x 取得最大值,01tan tan 22tan a x k bππϕϕ⎛⎫∴=+-== ⎪⎝⎭0022022tan 2tan 21tan 1ax b x b a x a a bb ⨯∴===-⎛⎫-- ⎪⎝⎭, 令b m a =, 则02tan 2,1x m m m⎛=∈⎝⎦-,当m ⎛∈ ⎝⎦时, 1,m m ⎛-∈-∞ ⎝⎦, 0tan 2[x ∴∈.。
上海市2020〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析
上海市2020年〖人教版〗高一数学下册期末复习试卷数学试卷参考答案与试题解析创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01审核人：北堂王会创作单位：明德智语学校一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题的四个选项中，有一项是符合题目要求的.1．（5分）﹣75°是第（）象限角．A．一B．二C．三D．四考点：象限角、轴线角．专题：计算题．分析：由于角﹣75°的终边落在第四象限，可得﹣75°是第四象限角．解答：解：由于角﹣75°的终边落在第四象限，故﹣75°是第四象限角，故选D．点评：本题主要考查象限角、象限界角的定义，属于基础题．2．（5分）的余弦值是（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：利用诱导公式把要求的式子化为cos，从而得到结果．解答：解：cos=cos（﹣2π+）=cos（﹣）=cos=，故选B．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．3．（5分）函数f（x）=sinx+cosx的最小正周期是（）A．4πB．2πC．πD．考点：两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：由两角和的正弦公式对解析式化简，再由周期公式求出函数的周期．解答：解：由题意得，f（x）=sinx+cosx=f（x）=sin（x+），则函数的最小正周期是T==2π，故选B．点评：本题考查了两角和的正弦公式，以及三角函数的周期公式应用，属于基础题．4．（5分）在等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=45，则S9=（）A．18 B．45 C．63 D．81考点：等差数列的性质．专题：计算题．分析：由等差数列的性质得，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45⇒a5=9，而S9=9a5，从而可得答案．解答：解：∵等差数列{a n}中，a3+a4+a5+a6+a7=5a5=45，∴a5=9；∴S9===9a5=81．故选D．点评：本题考查等差数列的性质，考查熟练掌握等差数列的性质进行应用的能力，属于中档题．5．（5分）为了得到函数的图象，只要把函数的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题．分析：由于=，故只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．解答：解：∵=所以只需将函数的图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数的图象．故选C．本题考查了三角函数图象的平移，属于基础题型．点评：6．（5分）在△ABC中，则B=（）A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°考正弦定理．点：计算题．专题：分利用正弦定理=及a＜b即可求得B的值．析：解解：∵在△ABC中，a=，b=6，答：∴由正弦定理=得：sinB===，又a＜b，∴A＜B，∴B=60°或B=120°．故选C．本题考查正弦定理，考查△ABC中“大边对大角”的应用，属于基础题．点评：7．（5分）函数的单调递增区间是（）A．B．C．D．复合三角函数的单调性．考点：专计算题；三角函数的图像与性质．题：分由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）与x∈[﹣2π，2π]即可求得答案．析：解解：y=sin（+）的单调递增区间由2kπ﹣≤+≤2kπ+（k∈Z）得：答：4kπ﹣≤x≤4kπ+（k∈Z），∵x∈[﹣2π，2π]，∴﹣≤x≤．即y=sin（+）的单调递增区间为[﹣，]．故选A．点本题考查复合三角函数的单调性，求得y=sin（+）的单调递增区间是关键，属评：于中档题．8．（5分）已知圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆，则两圆的位置关系是（）A．相交B．外离C．外切D．内切考点：圆与圆的位置关系及其判定．专题：计算题；直线与圆．分析：分别找出两圆的圆心坐标和半径R与r，利用两点间的距离公式求出两圆心的距离d，由d=R+r得到两圆的位置关系为外切．解答：解：由圆C1：（x+1）2+（y+4）2=25，圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=10，得到圆心C1（﹣1，﹣4），圆心C2（2，2），且R=5，r=，∴两圆心间的距离d==3，∵5﹣＜3＜5+，即r﹣R＜d＜R+r，∴圆C1和圆C2的位置关系是相交．故选A．点评：此题考查了圆与圆的位置关系及其判定，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定方法为：0≤d＜R﹣r，两圆内含；d=R﹣r，两圆内切；R﹣r＜d＜R+r时，两圆相交；d=R+r时，两圆外切；d＞R+r时，两圆相离（d为两圆心间的距离，R和r分别为两圆的半径）．9．（5分）已知，则tanα的值为（）A．﹣或﹣B．或C．﹣D．﹣考点：三角函数的化简求值；同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：通过sinα+cosα=，求出sinαcosα的值，再给式子添上一个分母1，把1变成角的正弦与余弦的平方和，分子和分母同除以余弦的平方，得到关于正切的方程，根据判断的角的范围求出结果．解答：解：∵sinα+cosα=，所以2sinαcosα=﹣，∴=﹣，∴∴12tan2α+25tanα+12=0根据得到的角的范围得到tan故选C点评：本题考查三角函数的化简求值，正弦、余弦函数化为正切，即同角三角函数的基本关系式的应用，本题解题的关键是弦化切，本题是一个基础题．10．（5分）已知，若，则实数对（λ1，λ2）为（）A．（1，1）B．（﹣1，1）C．（﹣1，﹣1）D．无数对考点：平面向量的正交分解及坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量线性运算法则和向量相等即可得出．解答：解：∵=（2λ1+λ2，λ1+3λ2），，∴，解得．∴实数对（λ1，λ2）=（﹣1，1）．故选B．点评：熟练掌握向量线性运算法则和向量相等是解题的关键．二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分11．（5分）（•绵阳一模）已知∥，则x= ﹣4 ．考点：平行向量与共线向量．分析：用两向量共线坐标形式的充要条件公式：坐标交叉相乘相等．解答：解：∵，∴2×（﹣6）=3x∴x=﹣4故答案为﹣4点评：考查两向量共线坐标形式的充要条件公式．12．（5分）在空间直角坐标系中，已知A（2，3，5），B（3，1，3），则|AB|= 3 ．考点：空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：利用空间向量模的计算公式即可得出．解答：解：∵，∴==3．故答案为3．点熟练掌握空间向量模的计算公式是解题的关键．评：13．（5分）已知，则cos（α﹣β）= ﹣．考点：两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：已知两等式两边分别平方，利用同角三角函数间的基本关系化简得到关系式，所求式子利用两角和与差的余弦函数公式化简后，把各自的值代入计算即可求出值．解答：解：已知等式平方得：（cosα+cosβ）2=cos2α+2cosαcosβ+cos2β=①，（sinα+sinβ）2=sin2α+2sinαsinβ+sin2β=②，①+②得：2+2（cosαcosβ+sinαsinβ）=1，即cosαcosβ+sinαsinβ=﹣，则cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．14．（5分）如图，已知一艘货轮以20海里/小时的速度沿着方位角（从指北针方向顺时针转到目标方向线的水平角）148°的方向航行．为了确定船位，在B点观察灯塔A的方位角是118°，航行半小时后到达C点，观察灯塔A的方位角是88°，则货轮与灯塔A的最近距离是8.7海里（精确到0.1海里，其中）．考点：解三角形的实际应用．专题：解三角形．分析：确定△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．解答：解：由题意，在△ABC中，∠B=∠A=30°，∠C=120°，BC=10海里，∴AC=10海里，过A作BC所在直线的垂线，垂足为D，则AD为所求．在Rt△ACD中，AD=ACsin60°=10•≈8.7海里故答案为：8.7海里点评：本题考查正弦定理在实际问题中的运用，关键是构建三角形，寻找边角关系，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共80分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）化简．考点：运用诱导公式化简求值．专题：计算题；三角函数的求值．分析：利用诱导公式化简要求的式子，从而得出结论．解答：解：=﹣tanα．点评：本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点．16．（12分）已知，且．（1）求与的夹角；（2）求．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：（1）利用向量的数量积公式，可求向量的夹角．（2）通过向量的模的平方等于向量的数量积即可求解向量的模．解答：解：因为，且．，所以cosθ=，所以θ=1200，与的夹角120°．（2）因为，=9﹣12+16=13所以=．点评：本题考查向量的数量积公式的应用，向量模的求法，是一道基础题．17．（14分）在等比数列{a n}中，a1=﹣1，a4=64（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）求和S n=a1+2a2+3a3+…+na n．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由等比数列的性质和题意求出q，代入通项公式化简；（2）由（1）求出na n代入S n，根据式子的特点利用错位相减法求出S n．解答：解：（1）设等比数列{a n}的公比为q，由题意得，=﹣64，解得q=﹣4，∴数列{a n}的通项公式a n=﹣（﹣4）n﹣1，（2）由（1）得，na n=﹣n（﹣4）n﹣1，∴S n=﹣1﹣2×（﹣4）﹣3×（﹣4）2﹣…﹣n（﹣4）n﹣1①，﹣4S n=4﹣2×（﹣4）2﹣3×（﹣4）3﹣…﹣（n﹣1）（﹣4）n﹣1﹣n（﹣4）n②，①﹣②得，5S n=﹣1﹣[（﹣4）+（﹣4）2+（﹣4）3+…+（﹣4）n﹣1]+n（﹣4）n=﹣1﹣+n（﹣4）n=，∴S n=﹣．点评：本题本题考查等比数列的通项公式和性质，以及错位相减法求数列的和，考查了计算能力．18．（14分）设圆C的圆心在直线3x+y﹣7=0上，且圆经过原点和点（3，﹣1）．（1）求圆C的方程；（2）若点P是圆C上的动点，点Q是直线3x+4y﹣25=0上的动点，求|PQ|的最小值．考点：直线与圆相交的性质．专题：直线与圆．分析：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a的值，可得圆心的坐标和半径r，从而求得所求的圆的方程．（2）求得圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d=3＞r，可得|PQ|的最小值为 d﹣r，运算求得结果．解答：解：（1）设圆心C坐标为（a，7﹣3a），则由圆经过原点和点（3，﹣1）可得 a2+（7﹣3a）2=（a﹣3）2+（7﹣3a+1）2=r2．解得a=2，故圆心的坐标为（2，1），半径r=，故所求的圆的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=5．（2）由于圆心C（2，1）到直线3x+4y﹣25=0的距离为 d==3＞r，故|PQ|的最小值为 d﹣r=3﹣．点评：本题主要考查求圆的标准方程，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于中档题．19．（14分）如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为60°的扇形，∠POQ的平分线交弧PQ于点E，扇形POQ的内接矩形ABCD关于OE对称；设∠POB=α，矩形ABCD的面积为S．（1）求S与α的函数关系f（α）；（2）求S=f（α）的最大值．考点：在实际问题中建立三角函数模型．专题：三角函数的求值．分析：（1）由题意可得△AOD为等边三角形，求得BC=2sin（﹣α）=cosα﹣sinα．再求得∠ABO=﹣α，△OAB中，利用正弦定理求得AB=2sinα．可得矩形ABCD的面积S=f（α）=AB•BC=．（2）由（1）可得S=f（α）=2sin（2α+）﹣．再由 0＜α＜，根据正弦函数的定义域和值域求得S=f（α）的最大值．解答：解：（1）由题意可得AB∥OE∥CD，∴∠POE=∠PAB=，∴∠OAD==∠ADO，∠BOC=﹣2α，△AOD 为等边三角形．故BC=2sin （﹣α）=2（cos α﹣sin α）=cos α﹣sin α．再由∠ABO=π﹣∠AOB ﹣∠OAD ﹣∠BAD=π﹣α﹣﹣=﹣α，△OAB 中，利用正弦定理可得，即=，化简可得AB=2sin α．故矩形ABCD 的面积S=f （α）=AB •BC=．（2）由（1）可得S=f （α）=2sin αcos α﹣2sin 2α=sin2α+cos2α﹣=2（sin2α+cos2α）﹣=2sin （2α+）﹣． 再由 0＜α＜可得＜2α+＜，故当 2α+=，即当时，S=f（α）取得最大值为． 点评： 本题主要考查直角三角形中的边角关系、两角和差的三角公式、正弦函数的定义域和值域，正弦定理的应用，属于中档题．20．（14分）一数列{a n }的前n 项的平均数为n ． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设，证明数列{b n }是递增数列；（3）设，是否存在最大的数M ？当x ≤M时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．考点：数列的函数特性；数列的概念及简单表示法． 专题：函数的性质及应用． 分析： （1）利用平均数的意义和当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1即可得出； （2）作差b n+1﹣b n ，证明其大于0即可；（3）利用（2）递增，因此有最小值．解出，即可知道是否存在最大的数M ．解答：解：（1）由题意可得，∴，当n=1时，a 1=S 1=1；当n ≥2时，a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2﹣（n ﹣1）2=2n ﹣1． 当n=1时也成立．故a n =2n ﹣1．创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01创作人：百里安娜 创作日期：202X.04.01 （2）作差b n+1﹣b n ====， ∴b n+1＞b n 对于任意正整数n 都成立，因此数列{b n }是递增数列．（3）∵递增，∴有最小值， ∴，解得x 2﹣4x+1≥0，．所以M=．存在最大的数M=，当x ≤M 时，对于一切非零自然数n ，都有f （x ）≤0．点评： 熟练掌握数列的通项公式与其前n 项和之间的关系、作差法比较数的大小、一元二次不等式的解法及其转化法等是解题的关键．创作人：百里安娜创作日期：202X.04.01 审核人： 北堂王会 创作单位： 明德智语学校。
上海市2020-2021年高一下学期数学期末考试卷
高一下期末考试卷一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分） 1．方程组{2x +y −1=03x −2y =0对应的增广矩阵为 ．2．若在行列式|3a 50−41−213|中，元素a 的代数余子式的值是 ．3．在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积S ＝ ． 4．函数f （x ）＝2cos （x +π3）﹣1的对称轴为 ，最小值为 ． 5．方程3sin x ＝1+cos2x 在区间[0，2π]上的解为 ． 6．函数f （x ）＝arcsin （cos x ），x ∈[π4，5π6]的值域为 ．7．用数学归纳法证明（n +1）（n +2）…（n +n ）＝2n •1•3…（2n ﹣1）（n ∈N *）时，从“n ＝k ”到“n ＝k +1”的证明，左边需增添的代数式是 ． 8．若无穷等比数列{a n }的各项和等于a 12，则a 1的取值范围是 ．9．已知数列{a n }中，a 1＝2，当n ≥2时，a n ＝2a n +1+3•2n +1，数列{an2}的前n 项和为 ．10．把正整数排列成如图甲三角形数阵，然后擦去第偶数行中的奇数和第奇数行中的偶数，得到如图乙的三角形数阵，再把图乙中的数按从小到大的顺序排成一列，得到一个数列{a n }，若a n ＝2011，则n ＝ ．11．对于数列{a n }，定义H n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a nn为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n +1，记数列{a n ﹣kn }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n （n ∈N *）恒成立，则实数k 的取值范围为 ．12．数列{a n }满足a n +1+（﹣1）n a n ＝2n ﹣1，则{a n }的前60项和为 ． 二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．将函数y ＝sin （x −π3）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式是（）A．y=sin12x B．y=sin(12x−π2)C．y=sin(12x−π6)D．y=sin(2x−π6)14．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏15．若S n＝sinπ7+sin2π7+⋯+sin nπ7（n∈N*），则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是（）A．16B．72C．86D．10016．设等比数列{}的公比为q，其前n项的积为T n，并且满足条件a1＞1，a99a100﹣1＞0，a99−1a100−1＜0．给出下列结论：①0＜q＜1；②a99•a101﹣1＞0；③T100的值是T n中最大的；④使T n＞1成立的最大自然数n等于198其中正确的结论是（）A．①③B．①④C．②③D．②④三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．已知：f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）（1）若x∈R，求f（x）的最小正周期（2）若f（x）在[−π6，π4]上最大值与最小值之和为3，求a的值．18．如图，海中小岛A周围38海里内有暗礁，船正向南航行，在B处测得小岛A在船的南偏东30°，航行30海里后，在C处测得小岛A在船的南偏东45°，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁的危险？19．已知集合C＝{（x，y）|xy﹣3x+y+1＝0}，数列{a n}的首项a1＝3，且当n≥2时，点（a n﹣1，a n）∈C，数列{b n}满足b n=11−a n．（1）试判断数列{b n}是否是等差数列，并说明理由；（2）若limn→∞(sa n+tb n)=1（s，t∈R），求s t的值．20．已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列{√b n}是等差数列；（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅰ）设S n=1a1+1a2+⋯+1a n，如果对任意正整数n，不等式2aS n＜2−b na n恒成立，求实数a的取值范围．21．定义：如果数列{a n}的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称{a n}为三角形”数列对于“三角形”数列{a n}，如果函数y＝f（x）使得b n＝f（a n）仍为一个三角形”数列，则称y＝f（x）是数列{a n}的“保三角形函数，”（n∈N*）（1）已知{a n}是首项为2，公差为1的等差数列，若f（k）＝k2，（k＞1）是数列{a n}的保三角形函数”，求k的取值范围；（2）已知数列{c n}的首项为2019，S n是数列{c n}的前n项和，且满足4S n﹣3S n ﹣1＝8076，证明{c n}是“三角形”数列（3）求证：函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55．一.填空题（本大题12题，每题3分，共36分）1．[2113−20]．2．2．3．15√344．x=kπ−π3(k∈Z)；﹣3．5．π6或5π6．6．[−π3，π4]．7．2（2k+1）．8．(12，1)∪(1，+∞)．9．3n2﹣2n．10．102811．73≤k≤125．12．∵a n+1+（﹣1）n a n＝2n﹣1，故有a2﹣a1＝1，a3+a2＝3，a4﹣a3＝5，a5+a4＝7，a6﹣a5＝9，a7+a6＝11，…a50﹣a49＝97．从而可得a3+a1＝2，a4+a2＝8，a7+a5＝2，a8+a6＝24，a9+a11＝2，a12+a10＝40，a13+a11＝2，a16+a14＝56，…从第一项开始，依次取2个相邻奇数项的和都等于2，从第二项开始，依次取2个相邻偶数项的和构成以8为首项，以16为公差的等差数列．{a n}的前60项和为15×2+（15×8+15×142×16）＝1830二、选择题（本大题共4题，每题3分，共12分）13．C14．B15．C16．B三、解答题（本大题共5题，共52分＝10分+10分+10分+10分+12分）17．f（x）＝2cos2x+√3sin2x+a（a∈R，a为常数）=√3sin2x+cos2x+1+a＝2sin（2x+π6）+1+a，（1）∴f（x）的最小正周期T=2πω=2π2=π；（2）∵x∈[−π6，π4]，∴2x+π6∈[−π6，2π3]；当2x+π6=−π6时，即x=−π6，f（x）取得最小值为2sin（−π6）+1+a＝a当2x+π6=π2时，即x=π6，f（x）取得最大值为2sin（π2）+1+a＝a+3∵最大值与最小值之和为3，∴a+3＝3，∴a＝0故a的值为0．18．在△ABC中，BC＝30，B＝30°，∠ACB＝180°﹣45°＝135°，∴A＝15°，由正弦定理知：BCsinA =ACsinB，∴30sin15°=ACsin30°，∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15√6+15√2，…（6分）∴A到B B C所在直线的距离为AC⋅sin45°=(15√6+15√2)⋅√22=15(√3+ 1)≈40.98＞38（海里），∴不改变航向，继续向南航行，无触礁的危险．…19．（1）∵当n≥2时，点（a n﹣1，a n）恒在曲线C上，∴a n﹣1a n﹣3a n﹣1+a n+1＝0 （1分）由b n=11−a n得当n≥2时，b n﹣b n﹣1=11−a n −11−a n−1=a n−a n−11−a n−a n−1+a n a n−1=a n−a n−1−2a n+2a n−1=−12∴数列{b n }是公差为−12的等差数列． （2）∵a 1＝3，∴b 1=11−a 1=−12，∴b n =−12+（n ﹣1）•（−12）=−12n ，（6分） ∴−12n =11−a n，则a n ＝1+2n∴s a n+tb n=−s 2n+t−(1+2n)−12n(1+2n)=−sn 22+tn+2t −12n 2−n ，由lim n→∞(sa n+t b n)=1（s ，t ∈R ），可得s ＝1，s t ＝1．20．（Ⅰ）由已知，得2b n ＝a n +a n +1①，a n +12＝b n •b n +1②．由②得a n+1=√b n b n+1③．将③代入①得，对任意n ≥2，n ∈N *，有2b n =√b n−1b n +√b n b n+1． 即2√n =√b n−1+√b n+1． ∴{√b n }是等差数列．（Ⅰ）设数列{√b n }的公差为d ， 由a 1＝10，a 2＝15．经计算，得b 1=252，b 2=18．∴√b 1=52√2，d =√b 2−√b 1=3√2−52√2=√22． ∴√b n =52√2+(n −1)⋅√22=√22(n +4)．∴b n =(n+4)22，a n =(n+3)(n+4)2．（9分） （Ⅰ）由（1）得1a n =2(n+3)(n+4)=2(1n+3−1n+4)．∴S n =2[(14−15)+(15−16)++(1n+3−1n+4)]=2(14−1n+4)．不等式2aS n ＜2−b n a n化为4a(14−1n+4)＜2−n+4n+3．即（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8＜0．设f （n ）＝（a ﹣1）n 2+（3a ﹣6）n ﹣8，则f （n ）＜0对任意正整数n 恒成立． 当a ﹣1＞0，即a ＞1时，不满足条件；当a ﹣1＝0，即a ＝1时，满足条件；当a ﹣1＜0，即a ＜1时，f （n ）的对称轴为x =−3(a−2)2(a−1)＜0，f （n ）关于n 递减，因此，只需f （1）＝4a ﹣15＜0．解得a ＜154，∴a ＜1． 综上，a ≤1．21．（1）显然a n ＝n +1，a n +a n +1＞a n +2对任意正整数都成立，即{a n }是三角形数列．（2分）因为k ＞1，显然有f （a n ）＜f （a n +1）＜f （a n +2）， 由f （a n ）+f （a n +1）＞f （a n +2）得k n +k n +1＞k n +2，解得k ＜1+√52．所以当k ∈（1，1+√52）时，f （x ）＝k x 是数列{a n }的“保三角形函数”．（2）由4S n +1﹣3S n ＝8076，①当n ≥2时，4S n ﹣3S n ﹣1＝8076，②，①﹣②得4c n +1﹣3c n ＝0，则 所以c n+1c n=34当n ＝1时，即4（a 1+a 2）﹣3a 1＝8076，解得：a 2=60574，所以a 2a 1=34所以数列{c n }是以2019为首项，以34为公比的等比数列， 所以，c n ＝2019（34）n ﹣1，（7分）显然c n ＞c n +1＞c n +2，因为c n +1+c n +2＝2019 （34）n +2019（34）n +1=2116•2019（ 34）n ﹣1＞c n ，所以{c n }是“三角形”数列．（3）证明：函数h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是数列1，1+d ，1+2d （d ＞0）的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d ，1+2d （d ＞0）是三角形数列，所以1+1+d ＞1+2d ，即0＜d ＜1． ②数列中的各项必须在定义域内，即1+2d ≤A ． ③h （1），h （1+d ），h （1+2d ）是三角形数列．由于h （x ）＝﹣x 2+2x ，x ∈[1，A ]是单调递减函数，所以h （1+d ）+h （1+2d ）＞h （1），解得0＜d ＜√55．所以函数h（x）＝﹣x2+2x，x∈[1，A]是数列1，1+d，1+2d（d＞0）的“保三．角形函数”的充要条件是1+2d≤A，0＜d＜√55。
上海市高一数学下学期期末试卷含答案(共5套)
上海市嘉定区高中第二学期期末考试高一年级数学试卷考生注意：1．每位考生应同时收到试卷和答题卷两份材料，解答必须在答题卷上进行，写在试卷上的解答一律无效；2．答卷前，考生务必将姓名、学号等在答题卷密封线内相应位置填写清楚； 3．本试卷共21道试题，满分100分，考试时间90分钟．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．已知角α满足sin 0α<且cos 0α<，则角α是第 象限的角． 2．在数列}{n a 中，若4,311+==+n n a a a ，则=5a _______________． 3．方程0224=--xx 的解是_____________．4．函数x x f 2sin 21)(-=的最小正周期是_____________．5．若2tan =x （),0(π∈x ），则x = （结果用反三角函数值表示）． 6．函数x x y cos sin +=的最大值是 ．7．函数)2(log 22x x y -=的单调增区间是________________．8．若等比数列}{n a 满足：531=+a a ，且公比2=q ，则=+53a a ____________． 9．在ABC ∆中,︒=∠60ABC ,且7,5==AC AB ,则=BC ． 10．若不等式01sin )1(<--x a 对于任意R ∈x 都成立， 则实数a 的取值范围是____________．11．已知函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ），若4321x x x x <<<， 且)()()()(4321x f x f x f x f ===，则=+++43211111x x x x ____________． 12．已知递增数列}{n a 共有2017项，且各项均不为零，12017=a ，若从}{n a 中任取两项j i a a ,，当j i <时，i j a a -仍是数列}{n a 中的项，则数列}{n a 的各项和=2017S ___________．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．“2πϕ=”是“函数)sin()(ϕ+=x x f 为偶函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．已知函数)2lg(ax y-=在)1,1(-上是减函数，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．)2,0(B ．),0(+∞C ．]2,0(D ．]2,(-∞15．若数列}{n a 对任意2≥n （*N ∈n ）满足：0)2)(2(11=-----n n n n a a a a ，下面给出关于数列}{n a 的四个命题：（1）}{n a 可以是等差数列； （2）}{n a 可以是等比数列；（3）}{n a 可以既是等差数列又是等比数列 （4）}{n a 可以既不是等差数列又不是等比 数列．则上述命题中，正确的个数是 （ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个16．设函数)cos()cos()(βα+++=x n x m x f ，其中βα,,,n m 为已知实常数，R ∈x ， 则下列命题中错误的是 ( )A ．若0)2()0(==πf f ，则0)(=x f 对任意实数x 恒成立；B ．若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数；C ．若0)2(=πf ，则函数)(x f 为偶函数；D ．当0)2()0(22≠+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则πk x x 221=- （Z ∈k ）．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题卷相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分)已知71)tan(,2tan =+-=βαα，求)2cot(βπ-的值．18．（本题满分8分）在ABC ∆中，c b a ,,分别是C B A ,,所对的边，若ABC ∆的面积是153，2=-c b ，41cos -=A ．求BC 的长．19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分．已知公差不为零的等差数列}{n a 满足：821=+a a ，且521,,a a a 成等比数列． （1）求数列}{n a 的通项公式．（2）记n S 为数列}{n a 的前n 项和，是否存在正整数n ，使得80060+>n S n ？若存 在，请求出n 的最小值；若不存在，请说明理由．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分．已知函数23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f ，R ∈x ． （1）求函数)(x f 的单调减区间； （2）若存在]2,0[π∈x ，使等式0)()]([2=++m x f x f 成立，求实数m 的取值范围．21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分．设函数)(x f 和)(x g 都是定义在集合M 上的函数，对于任意的M x ∈，都有))(())((x f g x g f =成立，称函数)(x f 与)(x g 在M 上互为“互换函数”．（1）函数x x f 2)(=与x x g sin )(=在M 上互为“互换函数”，求集合M ；（2）若函数xa x f =)( （0>a 且1≠a ）与1)(+=x x g 在集合M 上互为“互换函数”， 求证：1>a ；（3）函数2)(+=x x f 与)(x g 在集合1|{->=x x M 且},32*N ∈-≠k k x 上互 为“互换函数”，当10<≤x 时,)1(log )(2+=x x g ，且)(x g 在)1,1(-上是偶函数,求函数)(x g 在集合M 上的解析式．嘉定区第二学期期末考试高一年级数学试卷参考答案与评分意见说明：1．本解答列出试题一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分意见酌情给分．2．评阅试卷，应坚持每题评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后续部分，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，但不超过后继部分给分数的一半；如果这一步后面的解答有较严重的错误,就不给分．3．解答题右端所注分数,表示正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．一．填空题（本大题共有12题，满分36分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分．1．三 2．19 3．1=x (填“1”也对) 4．π 5．2arctan 6．2 7．),2(+∞ 8．20 9．8 10．)2,0(（填“20<<a ”也对） 解：令x t sin =，R ∈x ，则 ]1,1[-∈t ．由已知得，不等式01)1(<--t a 对于任意]1,1[-∈t 都成立．又令 1)1()(--=t a t f ，则 ⎩⎨⎧<<-0)1(0)1(f f ，即 ⎩⎨⎧<-⋅-<--⋅-011)1(01)1()1(a a ，解得 20<<a ．所以所求实数a 的取值范围是20<<a ． 11．2解法一：设|||log |)(x x g a = （0>a ，1≠a ），则)(x g 为偶函数，其图像关于y 轴对称， 而函数||1|log |)(-=x x f a （0>a ，1≠a ）的 图像是由)(x g 的图像向右平移一个单位得到的， 所以)(x f 的图像关于直线1=x 对称，)(x f 的大致 图像如图所示．由已知及)(x f 的图像特征可得43211x x x x <<<<，且|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a ．由|)1(log ||)1(log |21x x a a -=-得)1(log )1(log 21x x a a -=-或)1(log )1(log 21x x a a --=-即)1(log )1(log 21x x a a -=-或2111log )1(log x x aa -=-则有 2111x x -=-或21111x x -=-，所以21x x =（舍）或 1)1)(1(21=--x x ． 由1)1)(1(21=--x x 得 2121x x x x +=．由|)1(log ||)1(log ||)1(log ||)1(log |4321-=-=-=-x x x x a a a a 同理得 4343x x x x +=， 所以2111111434321214321=+=+++=+++x x x x x x x x x x x x ． 解法二：（特殊值法）令1||1|log |=-x a ，解得 a x 11-=或a x -=1或ax 11+= 或a x +=1．则a a a a x x x x ++++-+-=+++111111111111114321 )11111()11111(a a a a ++++-+-=211)111()111(=+=++++-+-=a a a a a a ． 12．1009解：由题意知，2017321a a a a <⋅⋅⋅<<<，则 1201713120a a a a a a -<⋅⋅⋅<-<-<，且1a a j - （2017,,3,2⋅⋅⋅=j ）都是数列}{n a 中的项．所以112201512016201612017,,,a a a a a a a a a =-⋅⋅⋅=-=-，即1122015201620162017a a a a a a a =-=⋅⋅⋅=-=-，因此数列}{n a 是以1a 为首项，以1a 为公差的一个等差数列， 则 120172016112017==+=a d a a ，可得 201711==d a ， 因此1009220162017201712017=⨯⨯+=d a S ，即10092017=S ．二．选择题（本大题共有4题，满分12分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷相应编号的空格内直接填写答案的代码，选对得3分，否则一律得零分． 13．A 14．C 15．C 16．D解：由题意得 x k k x k k x f sin )sin sin (cos )cos cos ()(22112211αααα+-+=．若0)0(=f ，则得 0cos cos 2211=+ααk k ；若0)2(=πf ，则得0sin sin 2211=+ααk k ．于是当0)2()0(==πf f 时，0)(=x f 对任意实数x 恒成立，即命题A 是真命题；当0)0(=f 时，x k k x f sin )sin sin ()(2211αα+-=，它为奇函数，即即命题B 是真命题； 当0)2(=πf 时，x k k x f cos )cos cos ()(2211αα+=，它为偶函数，即命题C 是真命题；当0)2()0(22≠+πf f 时，令0)(=x f ，则0sin )sin sin (cos )cos cos (22112211=+-+x k k x k k αααα，上述方程中，若0cos =x ，则0sin =x ，这与1sin cos 22=+x x 矛盾，所以0cos ≠x ． 将该方程的两边同除以x cos 得22112211sin sin cos cos tan ααααk k k k x ++=，令m k k k k =++22112211sin sin cos cos αααα （0≠m ），则 m x =tan ，解得 m k x arctan +=π （Z ∈k ）．不妨取 m k x arctan 11+=π，m k x arctan 22+=π （Z ∈1k 且Z ∈2k ）， 则π)(2121k k x x -=-，即πn x x =-21 （Z ∈n ），所以命题D 是假命题．三．解答题（本大题共5题，满分52分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．(本题满分8分) 解法一：由71)tan(=+βα得71tan tan 1tan tan =⋅-+βαβα．…………………………………4分 将2tan -=α代入上式，得71tan 212tan =+-ββ，…………………………………………6分解得 3tan =β． …………………………………………………………………………7分 于是 3tan )2cot(==-ββπ，所以 3)2cot(=-βπ．………………………………8分 解法二：因为ββπtan )2cot(=-，………………………………………………………2分又 αβααβααβαβtan )tan(1tan )tan(])tan[(tan ⋅++-+=-+= …………………………………5分35771575715)2(711)2(71=⋅==-⋅+--=，…………………………………………………………7分所以3)2cot(=-βπ． ………………………………………………………………………8分18．（本题满分8分） 解：（1）由41cos -=A （π<<A 0）得415cos 1sin 2=-=A A ．………………2分因为ABC ∆的面积是153，则153sin 21=A bc ，所以 24=bc ． ………………4分 由⎩⎨⎧==-242bc c b 解得⎩⎨⎧==46c b ． ………………………………………………………………6分 由余弦定理得 8)41(46246cos 22222=-⨯⨯⨯-+=-+=A bc c b BC ，即BC 的长是8．………………………………………………………………………………8分19．（本题满分10分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分． 解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d （0d ≠），由题意得 ⎩⎨⎧+⋅=+=++)4()(8112111d a a d a d a a化简，得 ⎩⎨⎧==+da d d a 121282．……………………………………………………………………2分因为0≠d ，所以⎩⎨⎧==+11282a d d a ，解得 ⎩⎨⎧==421d a …………………………………………4分所以 24)1(1-=-+=n d n a a n ，即数列}{n a 的通项公式是24-=n a n （*N ∈n ）． ……………………………………5分（2）由（1）可得 2122)1(n d n n na S n =⨯-+=．……………………………………7分 假设存在正整数n ，使得80060+>n S n ，即 8006022+>n n ，即2304000n n -->，解得40n >或10n <- (舍) ．…………………………………9分 所以所求n 的最小值是41． ………………………………………………………………10分 20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题6分． 解：（1）23)cos 3(sin cos )(-+=x x x x f 23cos 3cos sin 2-+=x x x 2322cos 132sin 21-+⨯+=x x x x 2cos 232sin 21+= )32sin(π+=x………………………………………………………………3分由2323222πππππ+≤+≤+k x k （Z ∈k ） 解得 12712ππππ+≤≤+k x k （Z ∈k ）．………………………………………………5分 所以所求函数)(x f 的单调减区间是 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++127,12ππππk k ，Z ∈k ．……………6分 （2）当]2,0[π∈x 时，34323πππ≤+≤x ，1)32sin(23≤+≤-πx ， 即1)(23≤≤-x f ． ………………………………………………………………………8分 令t x f =)( （]1,23[-∈t ），则关于t 的方程02=++m t t 在]1,23[-上有解， 即关于t 的方程t t m +=-2在]1,23[-上有解． 当]1,23[-∈t 时，]2,41[2-∈+t t ．…………………………………………………10分 所以]2,41[-∈-m ，解得 ]41,2[-∈m ． 因此所求实数m 的取值范围是 ]41,2[-．………………………………………………12分21．（本题满分14分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分6分． 解：（1）由))(()((x f g x g f =得x x 2sin sin 2=化简得，0)cos 1(sin 2=-x x ，所以0sin =x 或1cos =x ．……………………………1分 由0sin =x 解得πk x 2=或ππ+=k x 2，Z ∈k ，即πk x 2=或π)12(+=k x ，Z ∈k ．……………………………………………………2分 又由1cos =x 解得 πk x 2=，Z ∈k ．……………………………………………………3分 所以集合πk x x M 2|{==，或},)12(Z ∈+=k k x π，即集合},|{Z ∈==k k x x M π．……………………………………………………………4分 （2）证明：由题意得，11+=+x x a a（0>a 且1≠a ）．………………………………5分变形得 1)1(=-a a x，所以11-=a a x． ………………………………………………6分因为0>xa ，则011>-a ，所以 1>a ．………………………………………………8分 （3）当01<<-x ，则10<-<x ，所以)1(log )()(2x x g x g -=-=． 因为函数)(x g 在)1,1(-上是偶函数，则 )()(x g x g -=． 所以 )1(log )(2x x g -=，因此当11<<-x 时，|)|1(log )(2x x g +=．……………………………………………10分 由于2)(+=x x f 与函数)(x g 在集合M 上“互换函数”， 所以当M x ∈，))(()((x f g x g f =恒成立． 即)2(2)(+=+x g x g 对于任意的M x ∈恒成立．即2)()2(=-+x g x g ．……………………………………………………………………11分 于是有2)]1(2[)2(=-+-+n x g n x g ，2)]2(2[)]1(2[=-+--+n x g n x g ，……2)()2(=-+x g x g ．上述等式相加得 n x g n x g 2)()2(=-+，即n x g n x g 2)()2(+=+．………………13分 当)12,12(+-∈n n x （N ∈n ）时,)1,1(2-∈-n x ， 所以 |)2|1(log )2(2n x n x g -+=-．而⋅⋅⋅+-⋅⋅⋅-= )12,12()5,3()3,1()1,1(n n M ，N ∈n ， 所以当M x ∈时，n n x n n x g n n x g x g 2|)2|1(log 2)2()2)2(()(2+-+=+-=+-=．…………………14分金山中学高一年级第二学期数学学科期末考试试卷（考试时间：120分钟 满分：150分 ）一、填空题（本大题共12小题，满分54分，其中1~6题每题4分，7~12题每题5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.1． 已知向量)1,1(),,2(-==→→b m a ，若向量→a 与b 垂直，则m 等于_______．2． 不等式2101x x -<+的解为 ___ ． 3． 已知tan 2θ=，θ是第三象限角，则sec θ= ．4．方程1)21(log 2-=-x的解=x __________．5．函数1()arccos (1)2f x x x =<<的值域是 . 6．若点)2,4(在幂函数)(x f 的图像上，则函数)(x f 的反函数)(1x f -= .7. 数列{}n a 的通项2sinπn n a n ⋅=，前n 项和为n S ，则=13S ． 8．若数列{}n a 满足220n n a a ++=（n *∈N ）,且11a =，212a =，()12lim n n a a a →∞+++=__.9．设()f x 是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知(0,1)x ∈，()()12log 1f x x =-，则函数()f x 在(1,2)上的解析式是=)(x f ．10．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，下列命题正确的是_____________． ①总存在某个内角α，使得21cos ≥α； ②存在某钝角ABC ∆，有0tan tan tan >++C B A ； ③若02=⋅+⋅+⋅AB c CA b BC a ，则ABC ∆的最小角小于6π． 11．如图，在直角梯形ABCD 中，AB //CD ,2,AB =1,AD DC ==P 是线段BC 上一动点，Q 是线段DC 上一动点，,DQ DC λ=(1),CP CB λ=-则AQ AP ⋅的最大值为________．12．设数列{}n a 是首项为0的递增数列，函数11()|sin ()|,[,]n n n n f x x a x a a n+=-∈满足：对于任意的实数)1,0[∈m ，()n f x m =总有两个不同的根，则{}n a 的通项公式是n a = ．二、选择题（本大题共有4小题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上将代表答案的小方格涂黑.13．已知非零向量a 、b ，“函数2()()f x ax b =+为偶函数”是“a b ⊥”的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ． 充要条件D ．既非充分也非必要条件14．将函数()cos f x x ω=（其中0ω>）的图象向右平移3π个单位，若所得图象与原图象重合，则()24f π不可能等于 （ ）A ．0B ．1C ．22D ．2315．已知各项均不为零的数列{}n a ，定义向量1(,)n n n c a a +=，(,1)n b n n =+，n ∈*N ． 下列命题中真命题是 ( )A ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等差数列B ．若对任意的n N ∈*，都有//n n c b 成立，则数列{}n a 是等比数列C ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等差数列D ．若对任意的n N ∈*，都有n n c b ⊥成立，则数列{}n a 是等比数列16．函数x x x f arctan )(3+=的定义域为R ，数列{}n a 是公差为d 的等差数列，若11009-=a ，=m )()()()()(20172016321a f a f a f a f a f +++++ ，则 （ ）A ．m 恒为负数B ．m 恒为正数C ．当0>d 时，m 恒为正数；当0<d 时，m 恒为负数D ．当0>d 时，m 恒为负数；当0<d 时，m 恒为正数三、解答题（本大题共5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分6分，第二小题满分8分. 已知3||=a ，4||=b ，且a 与b 的夹角为0120． （1）求b 在a 上的投影； （2）求|32|b a +． 解：18．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知向量)sin ,)62(sin(x x m π+=，)sin ,1(x n =，n m x f ⋅=)(.（1）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间；（2）记△ABC 的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,.若212)2(+=Bf ， 3,5==c b ，求a 的值．解：19．（本题满分14分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分6分.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，121n n a S +=+，等差数列{}n b 满足353,9b b ==． （1）分别求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）若对任意的*n N ∈，1()2n n S k b +⋅≥恒成立，求实数k 的取值范围． 解：20．（本题满分16分）本题有2个小题，第一小题满分8分，第二小题满分8分.如图，在四边形ABCD 中，已知23ABC π∠=，3ACD π∠=，2π=∠BAD ，24AD =，设BAC θ∠=)612(πθπ≤≤．（1）求AB （用θ表示）；（2）求BC AB +的最小值.（结果精确到01.0米） 解：21．（本题满分18分）本题有3个小题，第一小题满分4分，第二小题满分6分, 第二小题满分8分. 给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+．数列1a ，2a ，3a ，…满足1(),*n n a f a n N +=∈． （1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）是否存在1a ，使得1a ，2a ，3a ，…，n a …成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ；若不存在，说明理由． 解：ABCD金山中学第二学期高一年级数学学科期末考试试卷答案一、填空题4． 2 2．112x -<<3．5- 4． 1- 5．(0 )3π， 6． 2x （0≥x ）7. 7 8．1 9．()1log 21-x 10．①③ 11． 2 12．2)1(π-n n 二、选择题13．C 14．D 15．A 16．A三、解答题17． 解： （1）2- （2）3618． 解：（1）212sin 23)(+=x x f ， 最小正周期为π，单调递减区间为Z k k k ∈π+ππ+π],43,4[； （2）31+=a 或31+-=a ．19． 解：（1）由121n n a S +=+----①得当2n ≥时121n n a S -=+----②，①-②得112()n n n n a a S S +--=-，13,n n a a +∴=；当1n =时2112133a a a =+==， 13n n a -∴=5326,3,3(3)336n b b d d b n n -==∴=∴=+-⨯=-；（2）1(1)13311132n n n n a q S q ---===--，311()3622n k n -∴+≥-对*n N ∈恒成立， 即3623n n k -∴≥对*n N ∈恒成立，令3623n n n c -=，11363927333n n n n nn n n c c -----+-=-=， 当3n ≤时，1n n c c ->，当4n ≥时，1n n c c -<，max 32()9n c c ∴==，29k ≥．20． 解：（1）三角形ACD 中，6CDA πθ∠=+，由sin sin AD AC ACD CDA =∠∠ ，得sin 163sin()sin 6AD CDA AC ACD πθ⋅∠==+∠ 三角形ABC 中，3ACB πθ∠=-由sin sin AB ACACB ABC =∠∠ ，得 )612)(3sin()6sin(32πθπθππθ≤≤-+=AB （2）三角形ABC 中， 由sin sin BC ACBAC ABC=∠∠ ，得 sin 32sin()sin sin 6AC BAC BC ABC πθθ⋅∠==+∠所以32sin()sin()32sin()sin 636AB BC πππθθθθ+=+-++16sin 283θ=+因为126ππθ≤≤，所以263ππθ≤≤所以当12πθ=时，AB BC +取得最小值88321.86+≈最小值约为86.21米.21． 解：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=，3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++， 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--。
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(2)若数列 满足: , ,设 ,当且仅当 时, 取得最大值,求 的取值范围.
参考答案
1．
【解析】
【分析】
利用反三角函数的定义和性质，求得要求式子的值.
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查反三角函数的定义和性质，考查学生的计算能力，属于基础题.
2．
【分析】
利用数列的极限的运算法则化简求解即可.
10．
【分析】
先利用韦达定理求出两个根之间的关系式，然后通过关系式判断两个根都是锐角，再求出所求角的正切值，而求出角.
【详解】
设 , 是方程 的两解,
可得 ， ，
不防设 因此 ， ，
且
，
又 在 上单调，
.
故答案为：
【点睛】
本题考查了反三角函数的知识，需要学生熟练掌握反三角函数与原函数的关系，并灵活运用韦达定理来解题，是中档题.
则此数列的前n项和
，
，
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的求和方法，错位相减法以及等比数列的前 项和公式，考查学生的计算能力，是中档题.
6．27
【解析】
【详解】
由 ，令 ,
则
又 ，故 .
7．
【分析】
根据题意设出 ，利用递推关系式 、 ，即可得到 .
【详解】
， 为等差数列，且其前n项和满足：
11．
【分析】
将 的分子分母同时乘以 ，再使用裂项相消法求出
【详解】
，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的求和的方法，列项求和，考查学生的分析问题的能力，考查的是计算能力，是中档题.
12．
【分析】
根据题意的： ，可得 ， ，猜想 ，验证成立，可得 ，进而得到 ，即可得出.
【详解】
由题意知： ，
【点睛】
本题主要考查的是等比数列的通项公式，求解基本量是求通项常用的方法，考查学生的计算能力，是中档题.
9．
【分析】
由已知条件推导出 ，因此 ，由此能求出结果.
【详解】
函数 ，
，
可得 ，
即有：
，
又 ，
可得：
，
，
即有 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查数列的前n项和的求法，倒序求和，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用，是中档题.
17．已知 ,那么 的值为( )
A．9B．8C．12D．不确定
18．已知 ,存在自然数 ,使得对任意 ,都能使 整除 ,则最大的 的值为( )
A．30B．9C．36D．6
三、解答题
19．用数学归纳法证明: .
20．已知数列 满足 ,其前 项和是 ,对任意正整数 , ,求此数列的通项公式.
21．已知方程 .
，
设 ， ，
则当 时， ，
当 时， ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是等差数列的性质，等差数列的前 项和公式，考查计算能力，是中档题.
8．
【分析】
设等比数列 的公比为 ，由题意列式求得 ，代入等比数列的通项公式得答案.
【详解】
设等比数列 的公比为 ，由题意，
，
即 ， ，得
，
， ，
则 ，
.
故答案为： .
【详解】
.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是数列的极限的运算法则，熟练掌握运算法则是解题的关键，是基础题.
3．
【分析】
利用等差数列的通项公式即可得出.
【详解】
设等差数列 的公差为 ， ，
，
则 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查的是等差数列的通项公式，求解基本量是求通项的常用的方法，是基础题.
4．
11．已知数列 的前 项和为 , ,则 ______.
12．设正数数列 的前 项之和为 ,数列 的前 项之积为 ,且 ,则数列 的前 项和 中大于2016的最小项为第______项.
二、单选题
13．用数学归纳法证明“ ”，从“k到 ”左端需增乘的代数式为（）
A． B． C． D．
14．一个三角形的三边成等比数列,则公比 的范围是( )
(1) 为何值时,方程在区间 内有两个相异的解 , ;
(2)当方程在区间 内有两个相异的解 , 时,求 的值.
22．设数列 满足 , , .
(1)证明:数列 是等差数列;
(2)求 .
23．数列 , 满足 ,且 , .
(1)证明: 为等比数列;
(2)求 , 的通项.
24．已知数列 是等比数列,且 , ,数列 满足:对于任意 ,有 .
上海市上海中学【最新】高一下学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、填空题
1． ______.
2． ______.
3．若数列 为等差数列,且满足 ,则 ______.
4．设数列 满足: , ,则 ______.
A． B． C． D． 或
15．等差数列 中, , , , 是前 项和,则下列结论中正确的是( )
A． , , 均小于零, , ,…大于零
B． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
C． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
D． , ,…, 均小于零, , ,…大于零
16．若 ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．已知数列 满足: ,则此数列前 项和为 ______.
6．已知数列 满足 .则 ________.
7．等差数列 ､ 的前 项和分别为 ､ ,若 ,则 ______.
8．等比数列 , ,前8项的几何平均为9,则 ______.
9．定义在 上的函数 , , ,则 ______.
10．设 , 是方程 的两解,则 ______.
，
时， ，解得 ，
时， ，解得 ，
，猜想： ，
下面用数学归纳法证明：
当 时， ，
假设 时成立，即 ，则 ，
则 时，
，
，
又 ，
，解得
.
也成立，
.
，
，
，
数列 的前 项和 中大于2016的最小项为第63项.
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查用递推关系求通项，先用特值求后猜再验证，同时考查放缩法求通项，等差数列的前 项和公式，考查计算能力，是难题.
13．B
【分析】
分别写出当 和 时，等式的左边的表达式，进行比较，即可求解.
【详解】
当 时，等式的左边 ，
当 时，等式的左边 ，
所以当从“ 到 ”左端增乘的代数式为 .
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了数学归纳法及其应用，其中解答中正确写出从“ 到 ”等式左端的表达式是解答的关键，属于基础题.
【分析】
通过计算出前几项的值确定周期，进而计算可得结论.
【详解】
依题意， ，
，
，，Leabharlann 数列 是以 为周期的周期数列，
又 ，
.
故答案为： .
【点睛】
本题是考查递推数列的关系式，渗透了周期数列这一知识点，高考常考题型，考查计算能力，是中档题.
5．
【分析】
利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出.
【详解】