中考数学总复习专题三解答题重难点题型突破题型二几何图形探究题类型与三角形、四边形有关的探究题课件
(2)如图②，过点 F 作 FG⊥AB 于 G，连接 FE.∵AF＝BE，AF∥BE，∴ 四边形 ABEF 是平行四边形，∵AF＋BE＝16，∴AB＝AF＝BE＝8，∵32 3＝ 8×FG，∴FG＝4 3，在 Rt△FAG 中，AF＝8，∴∠FAG＝60°，当点 G 在 线段 AB 上时，∠FAB＝60°，当点 G 在线段 BA 延长线时，∠FAB＝120°，
解：(1)原命题不成立，新结论为：∠APB＝90°， AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)，证明：∵AM∥BN， ∴∠MAB＋∠NBA＝180°，∵AE，BF 分别平分∠MAB，∠NBA，
∴∠EAB＝12∠MAB，∠FBA＝12∠NBA，
∴∠EAB＋∠FBA＝12(∠MAB＋∠NBA)＝90°， ∴∠APB＝90°，∵AE 平分∠MAB，∴∠MAE＝∠BAE， ∵AM∥BN，∴∠MAE＝∠BAE，∴∠BAE＝∠BEA， ∴AB＝BE，同理：AF＝AB，∴AF＋BE＝2AB(或 AF＝BE＝AB)；
辽宁专用
专题三 解答题重难点题型突破
题型二 几何图形探究题 类型1 与三角形、四边形有关的探究题
【例1】 (2016·抚顺)如图，在△ABC中，BC >AC，点E在BC上，CE＝CA， 点D在AB上，连接DE，∠ACB＋∠ADE＝180°，作CH⊥AB，垂足为H.
(1)如图①，当∠ACB＝90°时，连接CD，过点C作CF⊥CD交BA的延长线于点F. ①求证：FA＝DE； ②请猜想三条线段DE、AD、CH之间的数量关系，直接写出结论； (2)如图②，当∠ACB＝120°时，三条线段DE、AD、CH之间存在怎样的数量关 系？请证明你的结论．
(3)成立．∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90 °，
在△CBF 与△DCE 中，B∠FF＝BCCE＝∠ECD， BC＝DC
∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE， ∵EG＝DE，∴CF＝EG， ∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°. ∵∠CDE＋∠DEC＝90°∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝∠CEG， ∴CF∥EG， ∴四边形 CEGF 平行四边形， ∴FG∥CE，FG＝CE.
．
(1)证明：如图，延长MF，交边BC的延长线于点H，∵四边形ABCD是正方形， FM⊥AD，∴∠ABE＝∠EHF＝90°，即四边形ABHM为矩形，∴AM＝BH＝BE ＋EH，∵△AEF为等腰直角三角形，∴AE＝EF，∠AEB＋∠FEH＝90°， ∵∠EFH＋∠FEH＝90°，∴∠AEB＝∠EFH，∴△ABE≌△EHF(AAS)，∴AB＝ EH，∵AM＝BH＝BE＋EH，∴AB＋BE＝AM；
【分析】(1)①要证明AF＝DE，需证明△CAF≌△CED，结合CE＝CA，再证明 ∠F＝∠CDE，∠ACF＝∠ECD即可；②由①得到AF＝DE，从而只需判断FD和 CH的数量关系，再根据CF⊥CD，CF＝CD，CH⊥DF，即可得出结论；
(2)通过构造顶角为120°的等腰三角形，确定其底边上的高与底边的数量关系， 即可得出结论．
【方法指导】辽宁中考中关于三角形、四边形的探究题常涉及线段的数量关系的探究 ，方法如下：
1．探究两条线段的数量关系一般指的是两条线段的倍数关系，则考虑利用特殊 三角形、全等三角形、特殊四边形的性质进行求解；
2．探究三条线段的数量关系：(1)一般将其中两条线段的和(或差)转化为另一条 线段的长，即通过证明三角形全等得出两条线段相等，将要求得三条线段的数量关 系转化为两条线段的数量关系；(2)找线段所在三角形是否是特殊三角形，进而根据 特殊三角形的性质找到一条线段与另一条线段之间的关系；或所涉及的线段在特殊 四边形中，考虑利用特殊四边形的性质进行求解．
(2)解：三角线段 DE、AD、CH 之间的数量关系是：DE＋AD＝2 3CH. 证明：如图，延长 BA 到点 F，使 AF＝DE，连接 CF、CD.
∵∠ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD＋∠CED＝360°－180°＝180°，∵ ∠CAD＋∠CAF＝180°，∴∠CAF＝∠CED.∵AC＝CE，AF＝DE，∴△AFC ≌△EDC(SAS)，∴CF＝CD，∠ACF＝∠ECD，∴∠FCD＝∠ACF＋∠ACD＝ ∠ECD＋∠ACD＝∠ACB＝120°，∵CF＝CD，CH⊥DF，∴FH＝DH＝12DF ＝12(DE＋AD)，∠HCD＝12∠FCD＝60°，∴tan∠HCD＝DCHH＝ 3，∴DH＝ 3 CH，∴DE＋AD＝2DH＝2 3CH.
(1)①证明：∵∠ACB＋∠ADE＝180°，∴∠CAD＋∠CED＝360°－180°＝ 180°，∵∠CAD＋∠CAF＝180°，∴∠CAF＝∠CED，∵CF⊥CD，∠ACB＝ 90°，∴∠ACB＝∠DCF＝90°，∴∠ACF＝∠DCE＝90°－∠ACD，∵CA＝CE ，∴△AFC≌△EDC(ASA)，∴FA＝DE；②DE＋AD＝2பைடு நூலகம்H；
(2)证明：如图②，∵∠BAC＝∠EAF＝60°，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE 和△CAF 中，
∠BAE＝∠CAF
BA＝AC
，
∠B＝∠ACF
∴△BAE≌△CAF，∴BE＝CF；
(3)解：如图③，过点 A 作 AG⊥BC 于点 G，过点 F 作 FH⊥EC 于点 H， ∵∠EAB＝15°，∠ABC＝60°，∴∠AEB＝45°， 在 Rt△AGB 中，∵∠ABC＝60°，AB＝4，∴BG＝2，AG＝2 3， 在 Rt△AEG 中，∵∠AEG＝∠EAG＝45°，∴AG＝GE＝2 3， ∴EB＝EG－BG＝2 3－2， ∵△AEB≌△AFC，∴AE＝AF，EB＝CF＝2 3－2， 在 Rt△CHF 中，∵∠HCF＝180°－∠BCD＝60°，CF＝2 3－2，
解：(2)如图，过点 G 作 GH⊥CB 的延长线于点 H， ∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°， ∵∠GEH＋∠HGE＝90°，∴∠DEC＝∠HGE， 在△HGE 与△CED 中，
∠GHE＝∠DCE ∠HGE＝∠DEC， EG＝DE
∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD， ∵CE＝BF，∴GH＝BF，∵GH∥BF， ∴四边形 GHBF 是矩形， ∴GF＝BH，FG∥CH∴FG∥CE， ∵四边形 ABCD 是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC ∴HE＋EB＝BC＋EB， ∴BH＝EC∴FG＝EC；
5．(2015·牡丹江)已知四边形 ABCD 是正方形，等腰直角△AEF 的直角
顶点 E 在直线 BC 上(不与点 B，C 重合)，FM⊥AD，交射线 AD 于点 M.
(1)当点 E 在边 BC 上，点 M 在边 AD 的延长线上时，如图①，求证：AB
＋BE＝AM；(提示：延长 MF，交边 BC 的延长线于点 H)
(1)解：结论AE＝EF＝AF. 理由：如图①中，连接AC， ∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝60°， ∴△ABC，△ADC是等边三角形，∴∠BAC＝∠DAC＝60°， ∵BE＝EC， ∴∠BAE＝∠CAE＝30°，AE⊥BC， ∵∠EAF＝60°，∴∠CAF＝∠DAF＝30°， ∴∠AFD＝90°，∴AF⊥CD， ∴AE＝AF(菱形的高相等)，∴△AEF是等边三角形， ∴AE＝EF＝AF；
①如图②，当∠FAB＝60°时，∠PAB＝30°，∴PB＝4，PA＝4 3，∵ BQ＝5，∠BPA＝90°，∴PQ＝3，∴AQ＝4 3－3 或 AQ＝4 3＋3.②如图③， 当∠FAB＝120°时，∠PAB＝60°，∠FBG＝30°，∴PB＝4 3，∵PB＝4 3 ＞5，∴线段 AE 上不存在符合条件的点 Q，∴当∠FAB＝60°时，AQ＝4 3 －3 或 4 3＋3.
∴FH＝CF·sin60°＝(2 3－2)·23＝3－ 3. ∴点 F 到 BC 的距离为 3－ 3.
4．(2016·衢州)如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD 是垂美四边形吗？请说明理由； (2)性质探究：试探索垂美四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量 关系； 猜想结论：(要求用文字语言叙述) 写出证明过程(先画出图形，写出已知、求证)． (3)问题解决：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形 ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC＝4，AB＝5，求GE长．
2.(2016·临沂)如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点， 且CE＝BF.连接DE，过点E作EG⊥DE，使EG＝DE，连接FG，FC.
(1)请判断：FG与CE的数量关系是 FG＝CE ，位置关系是 FG∥CE ； (2)如图②，若点E，F分别是边CB，BA延长线上的点，其他条件不变，(1)中结 论是否仍然成立？请作出判断并给予证明； (3)如图③，若点E，F分别是边BC，AB延长线上的点，其他条件不变，(1)中结 论是否仍然成立？请直接写出你的判断．
(2)当点 E 在边 CB 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图②；当点 E 在
边 BC 的延长线上，点 M 在边 AD 上时，如图③.请分别写出线段 AB，BE，
AM 之间的数量关系，不需要证明；
(3)在(1)，(2)的条件下，若 BE＝ 3，∠AFM＝15°，
则 AM＝ 3－ 3或 3－1
3．(2016·南宁)已知四边形ABCD是菱形，AB＝4，∠ABC＝60°，∠EAF的两 边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF＝60°.
(1)如图①，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关 系；
(2)如图②，当点E是线段CB上任意一点时(点E不与B、C重合)，求证：BE＝CF； (3)如图③，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F到BC的距离 ．
[对应训练] 1．(2016·杭州)在线段AB的同侧作射线AM和BN，若∠MAB与∠NBA的平分线 分别交射线BN，AM于点E，F，AE和BF交于点P.如图，点点同学发现当射线AM ，BN交于点C；且∠ACB＝60°时，有以下两个结论： ①∠APB＝120°；②AF＋BE＝AB.那么，当AM∥BN时： (1)点点发现的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请求出∠APB 的度数，写出AF，BE，AB长度之间的等量关系，并给予证明； (2)设点Q为线段AE上一点，QB＝5，若AF＋BE＝16，四边形ABEF的面积为32 ，求AQ的长．
2020年九年级中考复习 三角形、四边形综合探索题型 讲义(word版)
知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。
--培根B P微复习：三角形、四边形综合探索题型随着中考题型的不断变化，三角形、四边形题目由原来单纯考察全等、相似、旋转、位移、特殊平行四边形等基础题型，也变为开放探索性综合题目。
开放探索性问题，由于没有指明结论，对学生的要求较高，一般要求学生通过自己的观察、猜想、分析、归纳概括来发现解题条件或结论或结论成立的条件。
所以是近几年的热点考题。
如：山东枣庄2017年中考题目例1：已知正方形ABCD，P为射线AB上的一点，以BP为边作正方形BPEF，使点F在线段CB的延长线上，连接EA，EC．（1）如图1，若点P在线段AB的延长线上，求证：EA=EC；（2）如图2，若点P在线段AB的中点，连接AC，判断△ACE的形状，并说明理由；（3）如图3，若点P在线段AB上，连接AC，当EP平分∠AEC时，设AB=a，BP=b，求a:b及∠AEC的度数．D A D: A D AEEFC B F C图1P E图2图3分析:这是一道典型的三角形、四边形综合题目。
（1）连BE，依据正方形的性质可得到△CBE≌△ABE，即可得出结论；（2）是结论探索型问题，具有开放性，学生要依据正方形的性质，分别表示出△ACE三边的长度，即可得出结论；（3）正方形的性质和EP平分∠AEC可推出三线合一的存在，利用三角形相似即可得出结论，求∠AEC的度数，要利用勾股定理、三角形全等的性质得出CE平分∠ACF即可得出结论由此得出：三角形、四边形综合题目，要求学生不仅要掌握三角形、四边形的基础知识点，而且还要把这些知识点形成知识树，明白知识点之间的关系，并能灵活进行知识点间的互换；还要学生把自己平时的做题经验进行总结，形成自己的解题能力。
P例2、如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D，E分别在AC，BC上，且CD=CE．（1）如图1，求证：∠CAE=∠CBD；（2）如图2，F是BD的中点，求证：AE⊥CF；（3）如图3，F，G分别是BD，AE的中点，若AC=2，CE=1，求△CGF的面积．分析：这是一道典型的三角形综合题目。
2023中考九年级数学分类讲解 - 第八讲 三角形、全等三角形、等腰三角形(含答案)(全国通用版)
第八讲 三角形（一）专项一 三角形的概念及重要线段 知识清单 1. 三角形的定义 由不在同一条直线上的三条线段 所围成的图形叫做三角形.2. 三角形的分类3. 三角形的三边关系三角形的任意两边之和 第三边，任意两边之差 第三边.三角形具有 性.4. 三角形中的重要线段考点例析例1 若长度分别为3，4，a 的三条线段能组成一个三角形，则整数a 的值可以是 .（写出一个即可）分析：根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，小于两边之和”，求得第三边长的取值范围.归纳：三角形的三条边必须满足“任意．．两边之和大于第三边”，一定不要忽略“任意”二字，在具体应用时，根据“判断两条较短的线段之和是否大于第三条较长线段”确定是否能构成三角形.按边分 三边都不相等的三角形 等腰三角形 等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 按角分 锐角三角形直角三角形钝角三角形例2（2021·聊城）如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D和E，AD与CE交于点O，连接BO并延长，交AC于点F.若AB=5，BC=4，AC=6，则CE∶AD∶BF的值为.分析：根据三角形三条高所在的直线交于一点，可得BF⊥AC，再根据等积法得到CE∶AD∶BF的值.归纳：正确理解三角形的三种重要线段——中线、角平分线和高的概念，并会画出这三种线段.其中，三角形的高不一定是在三角形的内部，钝角三角形的两条高在外部，直角三角形的高与两条直角边重合.跟踪训练1.下列长度的三条线段与长度为5的线段首尾依次相连能组成四边形的是（）A. 1，1，1B. 1，1，8C. 1，2，2D. 2，2，22.（2021·衢州）如图，在△ABC中，AB=4，AC=5，BC=6，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，连接DE，EF，则四边形ADEF的周长为（）A. 6B. 9C. 12D. 15第2题图第4题图3.三个数3，1-a，1-2a在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范围为.4.如图，在△ABC中，AB=AC=2，P是BC上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.若S△ABC=1，则PE+PF= .专项二三角形中的角知识清单1. 三角形的内角和等于，三角形的外角和等于.2. 三角形的一个外角等于两个内角的和，三角形的一个外角任何一个与它不相邻的内角.考点例析例1 将一副三角尺按图1所示位置摆放，点F在AC上，其中∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠DEF=45°，AB∥DE，则∠AFD的度数是（）A. 15°B. 30°C. 45°D. 60°图1分析：如图1，利用平行线的性质可求得∠1的度数，再利用三角形外角的性质可求∠AFD的度数.例2 如图2是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变.为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD=110°，则图中∠D应（填“增加”或“减少”）°.图2分析：延长EF，交CD于点G，依据三角形的内角和定理可求∠ACB，根据对顶角相等可得∠DCE，再由三角形外角的性质得到∠DGF的度数，由∠EFD=110°进而可得∠D的度数.归纳：解决有关三角形角度问题时，要注意运用三角形内角和定理、三角形外角的性质定理.求三角形的内角平分线或外角平分线组成的角的度数时，常常运用三角形内角和定理及三角形的内角与外角的关系解决.特别注意在运用三角形外角的性质时，一定要牢记“不相邻”的条件.跟踪训练1.如图，已知直线l1，l2，l3两两相交，且l1⊥l3.若∠α=50°，则∠β的度数为（）A. 120°B. 130°C. 140°D. 150°第1题图第2题图第3题图第4题图2.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE∥AB.若∠CDE=160°，则∠B的度数为（）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°3.（2021·陕西）如图，点D，E分别在线段BC，AC上，连接AD，BE.若∠A=35°，∠B=25°，∠C=50°，则∠1的大小为（）A. 60°B. 70°C. 75°D. 85°4.将一副三角尺如图所示放置，点D在边AC上，BC∥EF，则∠ADE的大小为°.5.如图，BE是△ABC的角平分线，在AB上取点D，使BD=DE.（1）求证：DE∥BC；（2）若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度数.第5题图专项三全等三角形知识清单1. 定义：能够__________的两个三角形叫做全等三角形.2. 性质：全等三角形的对应角__________、对应边__________、对应线段（角平分线、高、中线、中位线）_________.3. 判定：（1）两边及其_________分别相等的两个三角形全等（SAS）；（2）两角及其_________分别相等的两个三角形全等（ASA）；（3）三边分别相等的两个三角形全等（SSS）；（4）两角分别相等且_________相等的两个三角形全等（AAS）.4. 直角三角形全等的判定：除上述的方法外，还有HL：__________和一条直角边分别相等的两个_________全等.5. 常见的全等模型平移型：旋转型：对称型：考点例析例1 如图1，AC=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△AED，应添加的条件是.（只需写出一个条件即可）图1分析：条件中给出了AC=AD，∠1=∠2，根据全等三角形的判定方法添加另外一个条件即可.归纳：在寻找三角形全等的条件时，要注意结合图形，挖掘图形中隐含的公共边、公共角、对顶角、平行线的内错角、中点、中线、角平分线等.在书写时，要注意把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.例2 （2021·南充）如图2，∠BAC=90°，AD是∠BAC内部一条射线，若AB=AC，BE⊥AD于点E，CF⊥AD 于点F.求证：AF=BE.图2分析：欲证AF=BE，可证△ACF≌△BAE，已经具备了AB=AC.根据∠BAC=90°，BE⊥AD，CF⊥AD可得∠BEA=∠AFC=90°，再根据同角的余角相等得∠F AC=∠B，由AAS证明三角形全等.证明：归纳：由于全等三角形的对应边相等，对应角相等，可以通过证三角形全等来证明线段相等或者角相等.一般思路是找出两线段或两角所在的两个三角形，然后寻找证这两个三角形全等所需的条件.跟踪训练1.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角.如图，在∠AOB的两边OA，OB上分别取OC=OD，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点C，D重合，这时过角尺顶点M的射线OM就是∠AOB 的平分线.这里构造全等三角形的依据是（）A. SASB. ASAC. AASD. SSS第1题图第2题图2.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=∠DAC，请补充一个条件，使△ABC≌△ADC.3.如图，点A，D，B，E在一条直线上，AD=BE，AC=DF，AC∥DF.求证：BC=EF.第3题图4.如图，D，E分别是AB，AC的中点，BE，CD相交于点O，∠B=∠C，BD=CE.求证：（1）OD=OE；（2）△ABE≌△ACD.第4题图5.如图，AB交CD于点O，在△AOC与△BOD中，有下列三个条件：①OC=OD，②AC=BD，③∠A=∠B.请你在上述三个条件中选择两个为条件，另一个能作为这两个条件推出来的结论，并证明你的结论.（只要求写出一种正确的选法）（1）你选的条件为、，结论为；（2）证明你的结论.第5题图专项四等腰三角形知识清单1．等腰三角形（1）等腰三角形的性质：等腰三角形的两个相等（简称为：等边对等角）；等腰三角形底边上的、底边上的，顶角的互相重合（简称：等腰三角形的）；等腰三角形是轴对称图形.（2）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个相等，那么这两个角所对的也相等（简称为：等角对等边）.2．等边三角形（1）等边三角形的性质：等边三角形的内角都相等，且都等于°；等边三角形的三条都相等；等边三角形是轴对称图形，它有条对称轴.（2）等边三角形的判定：都相等的三角形是等边三角形；都相等的三角形是等边三角形；有一个角是60°的三角形是等边三角形.考点例析例1如图1，在△ABC中，AB=AC，∠B=70°，以点C为圆心，CA长为半径作弧，交直线BC于点P，连接AP，则∠BAP的度数是.图1分析：根据等腰三角形的性质可以得到△ABC 各内角的度数，然后根据题意，画出图形，分情况讨论求出∠BAP 的度数即可.例2 如图2，在△ABC 中，∠A =40°，∠ABC =80°，BE 平分∠ABC 交AC 于点E ，ED ⊥AB 于点D ，求证：AD =BD .图2分析：先判定△ABE 为等腰三角形，然后根据等腰三角形的“三线合一”证出AD =BD .证明：归纳：等腰三角形的性质及其推论是解决与等腰三角形有关的角度计算、判定两角相等以及两线垂直的主要途径. 跟踪训练1.在△ABC 中，∠BAC =90°，AB ≠AC .用无刻度的直尺和圆规在BC 边上找一点D ，使△ACD 为等腰三角形.下列作法不正确的是（ ）A B C D 2.已知a ，b 是等腰三角形的两边长，且a ，b 235a b -+（2a +3b -13）2=0，则此等腰三角形的周长为（ ）A. 8B. 6或8C. 7D. 7或83.如图，在4×4的正方形网格中有两个格点A ，B ，连接AB ，在网格中再找一个格点C ，使得△ABC 是等．腰直角．．．三角形，满足条件的格点C 的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5第3题图4.如图，已知AB=DC，∠A=∠D，AC与DB相交于点O，求证：∠OBC=∠OCB.第4题图5.在①AD=AE，②∠ABE=∠ACD，③FB=FC这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，并完成问题的解答.问题：如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，点D在AB边上（不与点A，B重合），点E在AC边上（不与点A，C重合），连接BE，CD，BE与CD相交于点F.若，求证：BE=CD.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分.第5题图专项五三角形中的数学思想1. 转化思想将所要研究和解决的问题转化为另一个较容易解决的问题或已经解决的问题，就是把“新知识”转化为“旧知识”，把“未知”转化为“已知”，把“复杂”问题转化为“简单”问题.例1如图，在△ABC中，∠ABC的平分线交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E.（1）求证：BE=DE；（2）若∠A=80°，∠C=40°，求∠BDE的度数.分析：（1）欲判定BE=DE，可转化为判定∠EBD=∠BDE；（2）先根据三角形内角和，求∠A BC的度数，再利用角平分线的性质求∠E BD的度数，进而求得∠BDE的度数.解：2. 分类讨论思想在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分析，然后综合得解，这就是分类讨论思想.分类讨论时要注意不重复、不遗漏．等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，在求解有关等腰三角形的问题时，当腰和底不明确或顶角和底角不明确时，一定要注意对等腰三角形进行分类讨论.例2 过等腰三角形顶角顶点的一条直线，将该等腰三角形分成的两个三角形均为等腰三角形，则原等腰三角形的底角度数为.分析：首先根据题意画出符合题意的所有图形，然后利用等腰三角形的性质求解即可得答案.跟踪训练1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AF=EF.若∠CFE=72°，则∠B= °.第1题图第2题图2.如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E，F分别是边BC，CD上一点，EF⊥AE，将△ECF沿EF翻折得△EC′F，连接AC′，当BE= 时，△AEC′是以AE为腰的等腰三角形.3.如图，BD∥AC，BD=BC，且BE=AC.求证：∠D=∠ABC.第3题图参考答案专项一三角形的概念及重要线段例1 2（答案不唯一1<a<7即可）例2 12∶15∶101. D2. B3. -3<a<-24. 1专项二三角形中的角例1 A例2 减少101. C2. D3. B4. 755.（1）证明：因为BE是△ABC的角平分线，所以∠ABE=∠EBC.因为DB=DE，所以∠ABE=∠DEB.所以∠DEB=∠EBC.所以DE∥BC.（2）解：因为∠A=65°，∠AED=45°，所以∠BDE=∠A+∠AED=65°+45°=110°.因为∠ABE=∠DEB，所以∠EBC=∠ABE=12（180°-∠BDE）=12×（180°-110°）=35°. 专项三全等三角形例1 ∠B=∠E或∠C=∠D或AB=AE（写一个即可）例2 因为∠BAC=90°，所以∠BAE+∠F AC=90°.因为BE⊥AD，CF⊥AD，所以∠BEA=∠AFC=90°.所以∠BAE+∠B=90°.所以∠F AC=∠B.又AC=BA，所以△ACF≌△BAE.所以AF=BE.1. D2. AB=AD或∠ACB=∠ACD或∠D=∠B（写一个即可）3. 证明：因为AD=BE，所以AD+BD=BE+BD，即AB=DE.因为AC∥DF，所以∠A=∠EDF.又AC=DF，所以△ABC≌△DEF.所以BC=EF.4. 证明：（1）在△BOD和△COE中，∠BOD=∠COE，∠B=∠C，BD=CE，所以△BOD≌△COE（AAS）. 所以OD=OE.（2）因为D，E分别是AB，AC的中点，所以AD=BD=12AB，AE=CE=12AC.因为BD=CE，所以AE=AD，AB=AC.又∠B AE=∠C AD，所以△ABE≌△ACD.5. 解：（1）①③②（或②③①）（2）证明：在△AOC和△BOD中，∠A=∠B，∠AOC=∠BOD，OC=OD，所以△AOC≌△BOD（AAS）.所以AC=BD.专项四等腰三角形例1 15°或75°例2 因为BE平分∠ABC，所以∠ABE=12∠ABC=12×80°=40°.因为∠A=40°，所以∠A=∠ABE.所以AE=BE.所以△ABE为等腰三角形.因为ED⊥AB，所以AD=BD.1. A2. D3. B4. 证明：在△AOB和△DOC中，因为∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，AB=DC，所以△AOB≌△DOC.所以OB=OC.所以∠OBC=∠OCB.5. 解：选择条件①，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又∠A=∠A，AE=AD，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.选择条件②，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.又∠A=∠A，∠ABE=∠ACD，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.选择条件③，证明：因为∠ABC=∠ACB，所以AB=AC.因为FB=FC，所以∠FBC=∠FCB.所以∠ABC-∠FBC=∠ACB-∠FCB，即∠ABE=∠ACD.又∠A=∠A，所以△ABE≌△ACD.所以BE=CD.（写出其中一种情况即可）专项五三角形中的数学思想例1 （1）因为BD平分∠ABC，所以∠EBD=∠CBD.因为DE∥BC，所以∠BDE=∠CBD.所以∠EBD=∠BDE.所以BE=DE.（2）因为∠A=80°，∠C=40°，所以∠ABC=180°-∠A-∠C=60°.因为BD平分∠ABC，所以∠EBD=12∠ABC=30°.由（1）知∠BDE=∠EBD=30°.例2 36°或45°1. 542. 78或433. 证明：因为BD∥AC，所以∠DBE=∠C.又BD=C B，BE=CA，所以△BDE≌△CBA.所以∠D=∠ABC.。
初中数学几何图形(三角形、四边形、圆)知识点梳理+真题
中考数学几何图形专题复习知识点梳理1.过两点有且只有一条直线2.两点之间线段最短3.同角或等角的补角相等4.同角或等角的余角相等5.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9.同位角相等，两直线平行10.内错角相等，两直线平行11.同旁内角互补，两直线平行12.两直线平行，同位角相等13.两直线平行，内错角相等14.两直线平行，同旁内角互补15.定理三角形两边的和大于第三边16.推论三角形两边的差小于第三边17.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°18.推论1直角三角形的两个锐角互余19.推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20.推论3三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角21.全等三角形的对应边、对应角相等22.边角边公理(SAS)有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等23.角边角公理(ASA)有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等24.推论(AAS)有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等25.边边边公理(SSS)有三边对应相等的两个三角形全等26.斜边、直角边公理(HL)有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等27.定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28.定理2到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上29.角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合30.等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角）31.推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边32.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合33.推论3等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°34.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）35.推论1三个角都相等的三角形是等边三角形36.推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形37.在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半38.直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半39.定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等40.逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上41.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合42.定理1关于某条直线对称的两个图形是全等形43.定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线44.定理3两个图形关于某直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上45.逆定理如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称46.勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和、等于斜边c的平方，即a2+b2=c247.勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形48.定理四边形的内角和等于360°49.四边形的外角和等于360°50.多边形内角和定理n边形的内角的和等于（n-2）×180°51.推论任意多边的外角和等于360°52.平行四边形性质定理1平行四边形的对角相等53.平行四边形性质定理2平行四边形的对边相等54.推论夹在两条平行线间的平行线段相等55.平行四边形性质定理3平行四边形的对角线互相平分56.平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形57.平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形58.平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形59.平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形60.矩形性质定理1矩形的四个角都是直角61.矩形性质定理2矩形的对角线相等62.矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形63.矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形64.菱形性质定理1菱形的四条边都相等65.菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角66.菱形面积=对角线乘积的一半，即S=（a×b）÷267.菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形68.菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形69.正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等70.正方形性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角71.定理1关于中心对称的两个图形是全等的72.定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分73.逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称74.等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等75.等腰梯形的两条对角线相等76.等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形77.对角线相等的梯形是等腰梯形78.平行线等分线段定理如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等79.推论1经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰80.推论2经过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边81.三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半82.梯形中位线定理梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半L=（a+b）÷2S=L×h83.(1)比例的基本性质如果a:b=c:d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:b=c:d84.(2)合比性质如果a／b=c／d,那么(a±b)／b=(c±d)／d85.(3)等比性质如果a／b=c／d=…=m／n(b+d+…+n≠0),那么(a+c+…+m)／(b+d+…+n)=a／b86.平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例87.推论平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例88.定理如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边89.平行于三角形的一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例90.定理平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似91.相似三角形判定定理1两角对应相等，两三角形相似（ASA）92.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似93.判定定理2两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）94.判定定理3三边对应成比例，两三角形相似（SSS）95.定理如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似96.性质定理1相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比97.性质定理2相似三角形周长的比等于相似比98.性质定理3相似三角形面积的比等于相似比的平方99.任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值，任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值100.任意锐角的正切值等于它的余角的余切值，任意锐角的余切值等于它的余角的正切值101.圆是定点的距离等于定长的点的集合102.圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合103.圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合104.同圆或等圆的半径相等105.到定点的距离等于定长的点的轨迹，是以定点为圆心，定长为半径的圆106.和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是着条线段的垂直平分线107.到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线108.到两条平行线距离相等的点的轨迹，是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线109.定理不在同一直线上的三点确定一个圆。
中考数学复习攻略 专题4 三角形(含答案)
专题四 三角形、四边形的证明与计算三角形与四边形的计算与证明，在近几年的中考题中的特征为三角形与平行四边形结合在一起、与菱形结合在一起、与矩形结合在一起、与正方形结合在一起，证明三角形全等或特殊四边形的形状、线段的数量关系或位置关系，求角的大小等．分析法，找到证明平行四边形的思路，从结论逆向找到得出结论的条件，然后按照条件在先、结论在后的顺序书写出来，从而得出证明过程，常和综合法相结合．认真审题，灵活运用辅助线，掌握平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定与性质、全等三角形和相似三角形的判定与性质及等腰三角形的性质、勾股定理等知识点．中考重难点突破 与全等三角形有关的证明与计算【例1】(2021·南京中考)如图，AC 与BD 交于点O ，OA ＝OD ，∠ABO ＝∠DCO ，E 为BC 延长线上一点，过点E 作EF ∥CD ，交BD 的延长线于点F .(1)求证：△AOB ≌△DOC ；(2)若AB ＝2，BC ＝3，CE ＝1，求EF 的长．【解析】(1)由AAS 即可证明△AOB ≌△DOC ；(2)由全等三角形的性质得AB ＝DC ＝2，再证△BCD ∽△BEF ，得DC EF ＝BCBE，即可求解．【解答】(1)证明：在△AOB 和△DOC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠ABO ＝∠DCO ，∠AOB ＝∠DOC ，OA ＝OD ，∴△AOB ≌△DOC (AAS )；(2)解：由(1)，得△AOB ≌△DOC . ∴AB ＝DC ＝2.∵BC ＝3，CE ＝1， ∴BE ＝BC ＋CE ＝4.∵EF ∥CD ，∴△BCD ∽△BEF . ∴CD EF ＝BC BE ，即2EF ＝34 .∴EF ＝83 .1．已知△ABN 和△ACM 位置如图所示，AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠1＝∠2. (1)求证：△ABD ≌△ACE ； (2)求证：∠M ＝∠N .证明：(1)在△ABD 和△ACE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠1＝∠2，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )； (2)∵∠1＝∠2， ∴∠BAN ＝∠CAM .由(1)知△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠C . 又∵AB ＝AC ，∴△ABN ≌△ACM (ASA ). ∴∠M ＝∠N .特殊四边形的证明与计算【例2】如图，四边形ABCD 是菱形，点H 为对角线AC 的中点，点E 在AB 的延长线上，CE ⊥AB ，垂足为点E ，点F 在AD 的延长线上，CF ⊥AD ，垂足为点F .(1)若∠BAD ＝60°，求证：四边形CEHF 是菱形；(2)若CE ＝4，△ACE 的面积为16，求菱形ABCD 的面积．【解析】(1)根据菱形的性质得到∠EAC ＝∠F AC ＝30°，根据角平分线的性质得到CE ＝CF ，根据直角三角形的性质得到EH ＝FH ＝12AC ，于是得到结论；(2)根据三角形的面积公式得到AE 的长，根据勾股定理得到AC ＝CE 2＋AE 2 ，连接BD ，则BD ⊥AC ，AH＝12AC ，根据相似三角形的性质得到BD ＝2BH ，由菱形的面积公式即可得到结果． 【解答】(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，∴∠EAC ＝∠F AC ＝30°.又∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE ＝CF ＝12AC .∵点H 为对角线AC 的中点，∴EH ＝FH ＝12AC .∴CE ＝CF ＝EH ＝FH .∴四边形CEHF 是菱形；(2)解：∵CE ⊥AB ，CE ＝4，△ACE 的面积为16， ∴AE ＝8.∴AC ＝CE 2＋AE 2 ＝45 .连接BD ，则BD ⊥AC ，BD 过点H ，AH ＝12AC ＝25 .∵∠AHB ＝∠AEC ＝90°，∠BAH ＝∠CAE ，∴△ABH ∽△ACE .∴BH CE ＝AH AE ，即BH 4 ＝258.∴BH ＝5 .∴BD ＝2BH ＝25 .∴S 菱形ABCD ＝12 AC ·BD ＝12×45 ×25 ＝20.2．如图，在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，分别过点A ，C 作AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，垂足分别为点E ，F .AC 平分∠DAE .(1)若∠AOE ＝50°，求∠ACB 的度数； (2)求证：AE ＝CF .(1)解：∵AE ⊥BD ， ∴∠AEO ＝90°.∵∠AOE ＝50°， ∴∠EAO ＝40°.∵AC 平分∠DAE ，∴∠DAC ＝∠EAO ＝40°. ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC . ∴∠ACB ＝∠DAC ＝40°；(2)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC .∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEO ＝∠CFO ＝90°. ∵∠AOE ＝∠COF ， ∴△AEO ≌△CFO (AAS ). ∴AE ＝CF .三角形、四边形的几何探究【例3】(2021·黔东南中考)在四边形ABCD 中，对角线AC 平分∠BAD . 【探究发现】(1)如图①，若∠BAD ＝120°，∠ABC ＝∠ADC ＝90°.求证：AD ＋AB ＝AC ； 【拓展迁移】(2)如图②，若∠BAD ＝120°，∠ABC ＋∠ADC ＝180°. ①猜想AB ，AD ，AC 三条线段的数量关系，并说明理由； ②若AC ＝10，求四边形ABCD 的面积．图①图②【解析】(1)由题意可得∠ACD ＝∠ACB ＝30°，从而有AD ＝12 AC ，AB ＝12AC ，则AD ＋AB ＝AC ；(2)①过点C 分别作CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AB 于F .证△CFB ≌△CED ，得FB ＝DE ，则AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF ，由(1)知AE ＋AF ＝AC ，代入即可；②将四边形ABCD 的面积转化为S △ACD ＋S △ABC ，结合①的结论可解决问题．【解答】(1)证明：∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°. ∵∠ADC ＝∠ABC ＝90°， ∴∠ACD ＝∠ACB ＝30°.∴AD ＝12 AC ，AB ＝12AC .∴AD ＋AB ＝AC ；(2)解：①AD ＋AB ＝AC .理由：过点C 分别作CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AB 于F . ∵AC 平分∠BAD ，CE ⊥AD 于E ，CF ⊥AB ， ∴CF ＝CE ，∠E ＝∠CFB ＝90°.∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∠EDC ＋∠ADC ＝180°，∴∠FBC ＝∠EDC .在△CED 和△CFB 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠CDE ＝∠FBC ，∠E ＝∠CFB ，CE ＝CF ，∴△CFB ≌△CED (AAS ).∴FB ＝DE .∴AD ＋AB ＝AD ＋FB ＋AF ＝AD ＋DE ＋AF ＝AE ＋AF . 在四边形AFCE 中，由(1)知AE ＋AF ＝AC ， ∴AD ＋AB ＝AC ；②在Rt △ACE 中，∵AC 平分∠BAD ，∠BAD ＝120°， ∴∠DAC ＝∠BAC ＝60°. 又∵AC ＝10， ∴CE ＝AC ·sin ∠DAC ＝10×sin 60°＝53 . ∵CF ＝CE ，AD ＋AB ＝AC ，∴S 四边形ABCD ＝12 AD ·CE ＋12 AB ·CF ＝12 (AD ＋AB )·CE ＝12 AC ·CE ＝12×10×53 ＝253 .3．【问题背景】 如图1，已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；【尝试应用】 如图2，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F .点D 在BC 边上，AD BD ＝3 ，求DFCF的值；【拓展创新】 如图3，D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝23 ，直接写出AD 的长．【问题背景】 证明：∵△ABC ∽△ADE ， ∴AB AD ＝ACAE ，∠BAC ＝∠DAE . ∴AB AC ＝ADAE，∠BAD ＝∠CAE . ∴△ABD ∽△ACE ；【尝试应用】 解：连接EC . 由已知可得△ABC ∽△ADE . 由(1)知，△ABD ∽△ACE . ∴AE EC ＝ADBD＝3 ，∠ADE ＝∠B ＝∠ACE . ∵∠AFD ＝∠EFC ，∴△ADF ∽△ECF .∴DF CF ＝ADEC.在Rt △ADE 中，∠ADE ＝30°， ∴AD AE ＝3 .∴AD EC ＝AD AE ·AECE ＝3 ×3 ＝3. ∴DFCF＝3. 【拓展创新】 AD ＝5 ．中考专题过关1.(2021·无锡中考)已知：如图，AC ，DB 相交于点O ，AB ＝DC ，∠ABO ＝∠DCO .求证：(1)△ABO ≌△DCO ； (2)∠OBC ＝∠OCB .证明：(1)在△ABO 和△DCO 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AOB ＝∠DOC ，∠ABO ＝∠DCO ，AB ＝DC ，∴△ABO ≌△DCO (AAS )； (2)由(1)，知△ABO ≌△DCO ， ∴OB ＝OC .∴∠OBC ＝∠OCB . 2．(2021·台州中考)如图，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝20，BC ＝DC ＝102 . (1)求证：△ABC ≌△ADC ；(2)当∠BCA ＝45°时，求∠BAD 的度数．(1)证明：在△ABC 和△ADC 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，BC ＝DC ，AC ＝AC ，∴△ABC ≌△ADC (SSS )；(2)解：过点B 作BE ⊥AC 于点E . ∵∠BCA ＝45°，BC ＝102 ， ∴BE ＝BC ·sin ∠BCA ＝10.又∵在Rt △ABE 中，AB ＝20，BE ＝10， ∴∠BAE ＝30°.又∵△ABC ≌△ADC ， ∴∠BAE ＝∠DAE .∴∠BAD ＝2∠BAE ＝2×30°＝60°.3．如图，在四边形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 上的两点，AE ＝CF ，DF ＝BE ，且DF ∥BE ，过点C 作CG ⊥AB 交AB 的延长线于点G .(1)求证：四边形ABCD 是平行四边形；(2)若tan ∠CAB ＝25，∠CBG ＝45°，BC ＝42 ，则▱ABCD 的面积是__________．(1)证明：∵AE ＝CF ， ∴AE ＋EF ＝CF ＋EF ， 即AF ＝CE . ∵DF ∥BE ，∴∠DF A ＝∠BEC .又∵DF ＝BE ，∴△ADF ≌△CBE (SAS ). ∴AD ＝CB ，∠DAF ＝∠BCE .∴AD ∥CB . ∴四边形ABCD 是平行四边形； (2)244．如图，在▱ABCD 中，过点A 作AE ⊥DC ，垂足为点E ，连接BE ，点F 为BE 上一点，且∠AFE ＝∠D . (1)求证：△ABF ∽△BEC ；(2)若AD ＝5，AB ＝8，sin D ＝45，求AF 的长．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ∥CD ，AD ∥BC . ∴∠ABF ＝∠BEC ， ∠D ＋∠C ＝180°.∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB . ∴△ABF ∽△BEC ；(2)解：∵AE ⊥DC ，AB ∥DC ， ∴∠AED ＝∠BAE ＝90°.在Rt △ADE 中，AE ＝AD ·sin D ＝5×45＝4.在Rt △ABE 中，根据勾股定理，得 BE ＝AE 2＋AB 2 ＝42＋82 ＝45 . ∵BC ＝AD ＝5，△ABF ∽△BEC ， ∴AF BC ＝AB BE ，即AF 5 ＝845 . ∴AF ＝25 ．5．(2021·湘潭中考)如图，矩形ABCD 中，E 为边BC 上一点，将△ABE 沿AE 翻折后，点B 恰好落在对角线AC 的中点F 上．(1)证明：△AEF ≌△CEF ；(2)若AB ＝3 ，求折痕AE 的长度．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠B ＝90°.∵将△ABE 沿AE 翻折后，点B 恰好落在对角线AC 的中点F 上， ∴∠AFE ＝∠B ＝90°，AF ＝CF . ∵∠AFE ＋∠CFE ＝180°，∴∠CFE ＝180°－∠AFE ＝90°. 在△AEF 和△CEF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝CF ，∠AFE ＝∠CFE ，EF ＝EF ，∴△AEF ≌△CEF (SAS )；(2)解：由(1)知，△AEF ≌△CEF ， ∴∠EAF ＝∠ECF .由折叠性质得，∠BAE ＝∠EAF ， ∴∠BAE ＝∠EAF ＝∠ECF . ∵∠B ＝90°，∴∠BAC ＋∠BCA ＝90°. ∴3∠BAE ＝90°. ∴∠BAE ＝30°.在Rt △ABE 中，AB ＝3 ，∠B ＝90°，∴AE ＝ABcos 30°＝2.6．(2021·广元中考)如图，在▱ABCD 中，E 为DC 边的中点，连接AE ，若AE 的延长线和BC 的延长线相交于点F .(1)求证：BC ＝CF ；(2)连接AC 和BE 相交于点G ，若△GEC 的面积为2，求▱ABCD 的面积．(1)证明：在▱ABCD 中， AD ∥BC ，AD ＝BC ， ∴∠D ＝∠FCE .∵E 为DC 边的中点， ∴ED ＝EC .在△ADE 和△FCE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠D ＝∠FCE ，ED ＝EC ，∠AED ＝∠FEC ，∴△ADE ≌△FCE (ASA ).∴AD ＝CF . ∴BC ＝CF ；(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD .∴△ABG ∽△CEG . ∴AB CE ＝BG EG ，S △ABG S △CEG ＝⎝⎛⎭⎫AB CE 2 . ∵DE ＝CE ，∴AB ＝2CE .∴BGEG ＝2，S △ABG S △CEG＝4. ∵△GEC 的面积为2，∴S △BGC ＝2S △GEC ＝4，S △ABG ＝4S △GEC ＝8. ∴S △ABC ＝S △BGC ＋S △ABG ＝4＋8＝12. ∴▱ABCD 的面积为2S △ABC ＝24. 7．(2021·玉林中考)如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，已知OA ＝OC ，OB ＝OD ，过点O 作EF ⊥BD ，分别交AB ，DC 于点E ，F ，连接DE ，BF .(1)求证：四边形DEBF 是菱形；(2)设AD ∥EF ，AD ＋AB ＝12，BD ＝43 ，求AF 的长．(1)证明：∵OA ＝OC ，OB ＝OD ， ∴四边形ABCD 为平行四边形． ∴AB ∥CD .∴∠ABD ＝∠CDB . 在△BOE 和△DOF 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠EBO ＝∠FDO ，OB ＝OD ，∠BOE ＝∠DOF ，∴△BOE ≌△DOF (ASA ).∴BE ＝DF .∵BE ∥DF ，∴四边形DEBF 是平行四边形． ∵EF ⊥BD ，∴四边形DEBF 是菱形；(2)解：过点F 作FG ⊥AB 于点G . ∵AD ∥EF ，EF ⊥BD ， ∴∠ADB ＝∠EOB ＝90°.∴在Rt △ABD 中，AD 2＋BD 2＝AB 2. ∵AD ＋AB ＝12，BD ＝43 ， ∴AD 2＋(43 )2＝(12－AD )2.解得AD ＝4.∴AB ＝8.∴∠ABD ＝30°.∵四边形DEBF是菱形，∴∠EBF＝2∠ABD＝60°.∴△BEF是等边三角形．∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4.∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2.在Rt△BGF中，BF＝4，BG＝2，根据勾股定理，得FG＝BF2－BG2＝42－22＝23.在Rt△AGF中，AG＝6，根据勾股定理，得AF＝AG2＋FG2＝62＋（23）2＝43.8．(2021·凉山州中考)如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，过点D作DE⊥AB于点E，若DE＝BE.(1)求证：DA＝DC；(2)连接AC交DE于点F，若∠ADE＝30°，AD＝6，求DF的长．(1)证明：过点D作DG⊥BC，交BC的延长线于点G.∵DE⊥AB，∠B＝90°，∴∠DEB＝∠B＝∠G＝90°.∴四边形DEBG是矩形．又∵DE＝BE，∴四边形DEBG是正方形．∴DG＝BE＝DE，∠EDG＝90°.∴∠EDC＋∠CDG＝90°.∵∠ADC＝90°，∴∠EDC＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠CDG.又∵∠AED＝∠G＝90°，∴△ADE≌△CDG(ASA).∴DA＝DC；(2)解：∵∠ADE＝30°，AD＝6，∠AED＝90°，∴AE＝3，DE＝AD2－AE2＝62－32＝33.由(1)知，△ADE≌△CDG，四边形DEBG是正方形．∴DG＝DE＝33，AE＝CG＝3，BE＝DG＝BG＝33.∴BC＝BG－CG＝33－3，AB＝AE＋BE＝3＋33.∵FE∥CB，∴△AEF∽△ABC.∴AEAB＝EFBC，即33＋33＝EF33－3.∴EF＝6－33.∴DF＝DE－EF＝33－(6－33)＝63－6.。
2024陕西数学中考备考重难专题：抛物线与几何综合题三角形全等、相似问题含位似(课件)
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练习题图
练习 (2022西安铁一中模拟)如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，AC
＝4，以AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若C(0， (3)l为抛物线对称轴，P是直线l右侧抛物线上的点，过点P作l的垂线，垂足为
D，E是l上的点．要使以P、D、E为顶点的三角形与△ABC全等，求满足条
解图
∵点A(－3，0)，点C(0，3)，∴OA＝OC＝3，
∵∠DQP＝∠AOC＝90°，
∴当PQ＝DQ时，△DQP与△AOC相似，
设点P的坐标为(m，m2－2m－3)，则点Q的坐标为(m，0)，
∴PQ＝|m2－2m－3|，DQ＝|m＋1|，
当m2－2m－3＝m＋1时，解得m＝－1(舍去)或m＝4，
解
三角
答
直角三角
式
(2)得到△PDE和
形全 2023 24 题 10
形
/ (2)求满足 △PDE是直角三角形，
等
两个三角 需分两种情况讨论计算
形全等时 (等角的三角函数值相
的点坐标 等/对应边相等)
典例精讲
例 (2022陕西黑白卷)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝－x2－x＋2与
x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，L关于y轴对称的抛物
形
两个三角 线上，得∠C′CO=
形相似时 ∠BOP，需分两种情况
的点坐标 讨论计算(对应边成比
例)
类型 年份 题号 题型 分值 图形形状 结合变化 设问形式
考查内容
(1)待定系数法求表达
式
(1)求抛物 (2)根据抛物线关于原
线的表达 点对称特点确定求表达
解
中考数学考点-万唯中考试题分类.pptx
第一部分基础知识分类第1讲实数（含二次根式）命题点1 实数的分类及正负数的意义命题点2 数轴、相反数、倒数、绝对值命题点3 科学记数法命题点4 平方根、算术平方根、立方根命题点5 二次根式及其运算类型1 二次根式的性质类型2 二次根式的运算类型3 二次根式的估值命题点6 实数的大小比较命题点7 实数的运算第2讲整式及其运算命题点1 整式的有关概念及运算命题点2 因式分解命题点3 列代数式及代数式的求值命题点4 规律探索题类型1 数式规律类型2 图形规律第2讲分式及其运算命题点1 分式有意义的条件命题点2 分式值为0的条件命题点3 分式化简及求值类型1 分式化简类型2 分式化简求值—给固定值类型3 分式化简求值—结合实数的运算类型4 分式化简求值—结合非负数类型5 分式化简求值—结合方程类型6 分式化简求值—结合不等式（组）类型7 分式化简求值—自选值代入第4讲方程（组）及其应用命题点1 一次方程（组）的解法及解的应用类型1 解一次方程（组）类型2 一次方程（组）解的应用命题点2 一次方程（组）的实际应用类型1 购买、销售问题类型2 分配问题类型3 工程问题类型4 行程问题类型5 比赛积分问题命题点3 解分式方程命题点4 分式方程解的应用命题点5 分式方程的实际应用类型1 工程问题类型2 行程问题类型3 生产问题类型4 购买、销售问题命题点6 一元二次方程的概念及解法类型1 一元二次方程解的应用类型2 解一元二次方程命题点7 一元二次方程根的判别式类型1 已知方程判断根的情况类型2 根据方程的情况求字母的取值（范围）命题点8 一元二次方程的实际应用类型1 变化率问题类型2 每每问题类型3 几何问题第5讲不等式（组）及不等式的应用命题点1 不等式的性质命题点2 解不等式（组）及其解集在数轴上表示命题点3 不等式（组）的特殊解类型1 求特殊解类型2 根据解集的情况求字母的取值范围命题点4 一次不等式的实际应用命题点5 方程与不等式结合的实际应用第6讲平面直角坐标系与函数命题点1 平面直角坐标系中点的坐标特征命题点2 函数自变的取值范围命题点3 分析函数图象类型1 实际问题类型2 结合图形中的动点问题考向1 线段问题考向2 面积问题命题点4 判断函数图象类型1 实际问题类型2 几何图形中的动点问题考向1 线段问题考向2 面积问题考向3 角度问题命题点5 函数图象与性质的过程探究类型1 新函数性质探究类型2 与几何图形结合的函数性质探究类型3 与实际问题结合的函数的性质探究第7讲一次函数命题点1 一次函数的图象与性质命题点2 一次函数与方程、不等式结合命题点3 一次函数的实际应用类型1 行程问题考向1 一个人的行程问题考向2 追击、相遇问题考向3 其他问题类型2 每每问题类型3 阶梯费用问题类型4 最值及方案选取问题类型5 方案设计问题命题点4 一次函数与几何图形综合题第8讲反比例函数命题点1 反比例函数的图象与性质命题点2 反比例函数解析式的确定类型1 利用点坐标特征求解析式类型2 利用k的几何意义求解析式命题点3 反比例函数与一次函数综合题类型1 同一坐标系中函数图象的判断类型2 反比例函数与一次函数结合的有关计算命题点4 反比例函数与几何图形综合题命题点5 反比例函数与一次函数、几何图形综合题命题点6 反比例函数的实际应用第9讲二次函数的图象与性质命题点1 二次函数的基本性质命题点2 二次函数图象的变换类型1 平移类型2 折叠（对称）类型3 旋转命题点3 二次函数解析式的确定类型1 表达式已给出类型2 表达式未给出命题点4 二次函数图象与系数a、b、c的关系命题点5 二次函数图象与方程综合第10讲二次函数的实际应用及综合题命题点1 二次函数的实际应用类型1 抛物线型考向1 以抛球为背景考向2 以喷水为背景考向3 以拱桥为背景类型2 几何图形（面积）型类型3 最值型命题点2 二次函数综合题类型1 线段问题类型2 面积问题类型3 角度问题类型4 特殊三角形问题类型5 特殊四边形问题类型5 相似三角形第11讲角、相交线与平行线命题点1 直线与线段命题点2 角、余角、补角及角平分线命题点3 相交线性质求角度命题点4 平行线的判定命题点5 平行线性质求角度命题点6 平行线之间的距离命题点7 命题第12讲三角形命题点1 三角形的三边关系命题点2 三角形的内角和及内外角关系命题点3 三角形中的重要线段命题点4 等腰三角形命题点5 等边三角形命题点6 直角三角形命题点7 等腰直角三角形第13讲全等三角形类型1 平移型类型2 轴对称型类型3 旋转型考向1 共顶点旋转（含中心对称）考向2 不共顶点旋转类型4 一线三等角型类型5 三垂直型第14讲图形的相似命题点1 比例线段类型1比例的性质类型2 黄金分割类型3 平行线分线段成比例命题点2 相似的基本性质命题点3 相似三角形的判定与性质类型1 A字型类型2 8字型类型3 一线三等角型类型4 三垂直型命题点4 相似三角形的实际应用第15讲锐角三角函数及其实际应用命题点1 特殊角的三角函数值及其相关计算命题点2 直角三角形的边角关系及简单应用命题点3 锐角三角函数的实际应用类型1 背靠背型类型2 母子型考向1 同一个观测点观测两个位置点考向2 两个观测点观测同一个位置点考向3 两个观测点观测两个位置点类型3 拥抱型类型4 实物模型第16讲平行四边形与多边形命题点1 平行四边形的判定命题点2 平行四边形的相关证明与计算命题点3 多边形及其性质第17讲矩形、菱形、正方形命题点1 矩形的相关证明与计算命题点2 菱形的相关证明与计算命题点3 正方形的相关证明与计算第18讲圆命题点1 圆周角定理及其推论有关的计算命题点2 垂径定理及其推论有关的计算命题点3 圆内接四边形命题点4 切线的判定类型1 连半径，证垂直类型2 作垂直，证相等命题点5 切线性质的证明与计算类型1 切线性质的计算类型2 切线的性质的相关证明与计算考向1 线段问题考向2 角度问题考向3 特殊图形的判定问题命题点6 扇形的相关计算命题点7 圆锥的相关计算命题点8 与圆有关的阴影部分面积计算类型1 公式法类型2 直接和差法类型3 构造和差法类型4 等积转化法类型5 容斥原理第19讲尺规作图命题点1 五种基本尺规作图类型1 直接作图类型2 根据作图轨迹进行相关判断或计算类型3 根据作图轨迹写作图依据命题点2 转化类尺规作图命题点3 无刻度直尺作图第20讲视图与投影命题点1 常见几何体视图的判断命题点2 组合体、不规则几何体视图的判断命题点3 实物体视图的判断命题点4 小正方体组合体视图的判断命题点5 三视图还原几何体及其相关计算命题点6 立体图形的展开与折叠第21讲图形的对称、平移、旋转与位似命题点1 轴对称图形与中心对称图形的识别命题点2 图形折叠的相关计算命题点3 图形平移的相关计算命题点4 图形旋转的相关计算命题点5 图形位似的相关计算命题点6 网格作图及其相关计算第22讲统计命题点1 调查方式命题点2 平均数、中位数、众数、方差命题点3 分析统计图（表）命题点4 数据的整理与分析第23讲概率命题点1 事件的分类命题点2 频率与概率命题点3 一步概率的计算（含几何概型）命题点4 两步概率的计算类型1 一组内先取1个，放回再取1个类型2 一组内先取1个，不放回再取1个类型3 一组内一次性取2个类型4 两组内各取1个命题点5 三步概率的计算第二部分常见模型专练专练1 常见几何模型模型1 半角模型模型2 手拉手模型模型3 倍长中线模型模型4 截长补短模型模型5 对角互补模型专练2 最值问题模型1 垂线段最短在最值问题中的应用考向1 一动一定考向2 两动一定考向3 一动两定（“胡不归问题”）模型2 对称性质在最值问题中的应用考向1 “一线两点”型（一动点+两定点）考向2 “一点两线”型（两动点+一定点）考向3 “两点两线”型（两动点+两定点）、考向4 “一定长+两定点”（两动点+两定点）考向5 “三动点”型模型3 隐形圆在最值问题中的应用考向1 点圆最值考向2 线圆最值考向3 定弦定角考向4 定角定高考向5 阿氏圆模型4 主从联动（瓜豆原理）第三部分重难题型突破题型1 规律探索题类型1 数式规律考向1 数字（式）考向2 循环型类型2 图形规律考向1 累加型考向2 几何图形递变型考向3 几何图形与平面直角坐标系结合递变型考向4 周期变化型题型2 函数的实际应用类型1 最优方案问题考向1 方案设计考向2 方案选取类型2 阶梯费用问题类型3 利润最值问题类型4 抛物线型问题类型5 图形面积问题题型3 圆的相关证明与计算类型1 圆的基本性质证明与计算类型2 与切线有关的证明与计算考向1 与全等三角形结合考向2 与相似三角形结合考向3 与锐角三角函数结合类型4 几何探究类型问题类型1 非动点探究题类型2 动点探究题类型3 平移探究题类型4 旋转探究题类型5 折叠探究题类型6 限定条件型探究题类型5 二次函数综合题类型1 二次函数与线段问题考向1 线段数量关系考向2 利用二次函数性质求线段最值考向3 利用“将军饮马”求线段最值考向4 利用“垂线段最短”求线段最值类型2 二次函数与图形面积问题考向1 求面积最值考向2 面积数量关系类型3 二次函数与角度问题考向1 角度等于定值考向2 角度数量关系类型4 二次函数与特殊三角形判定问题考向1 二次函数与等腰三角形判定问题考向2 二次函数与直角三角形判定问题考向3 二次函数与等腰直角三角形判定问题考向4 二次函数与等边三角形判定问题类型5 二次函数与特殊四边形判定问题考向1 二次函数与平行四边形判定问题考向2 二次函数与矩形判定问题考向3 二次函数与菱形判定问题考向4二次函数与正方形判定问题类型6 二次函数与三角形全等、相似问题类型7 二次函数与圆第四部分中考改革下的全国命题趋势趋势1 数学文化类型1 幻方类型2 古代数学著作的相关理解和应用考向1 代数类应用题考向2 几何类应用题考向3 规律探索型问题考向4 古代数学成果直接应用类型3 赵爽弦图问题类型4 “割圆术”的相关应用类型5七巧板拼图类型6 易经类型7 三等分角趋势2 回归教材趋势3 开放性试题类型1 条件开放类型2 结论开放趋势4 跨学科试题趋势5 写依据试题趋势6 阅读理解试题类型1 新运算型类型2 新定义型类型3 新解题方法型趋势7 填空题双空或多问形式试题趋势8 锐角三角函数课题学习趋势9 统计在实际生活的应用趋势10 尺规作图类型1 根据作图轨迹进行相关判断类型2 根据作图痕迹写作图依据趋势11 二次函数性质综合题趋势12 函数图象与性质的过程探究类型1 新函数性质探究类型2 与几何图形结合的函数性质探究类型3 与实际问题结合的函数性质探究。
中考压轴题—三角形、四边形综合(解析版)--2024年中考数学
中考压轴题-三角形、四边形综合1.线段、角的计算与证明问题中考的解答题一般是分两到三部分的。
第一部分基本上都是一些简单题或者中档题，目的在于考察基础。
第二部分往往就是开始拉分的中难题了。
对这些题轻松掌握的意义不仅仅在于获得分数，更重要的是对于整个做题过程中士气，军心的影响。
线段与角的计算和证明，一般来说难度不会很大，只要找到关键“题眼”，后面的路子自己就“通”了。
2.图形位置关系中学数学当中，图形位置关系主要包括点、线、三角形、矩形/正方形以及圆这么几类图形之间的关系。
在中考中会包含在函数，坐标系以及几何问题当中，但主要还是通过圆与其他图形的关系来考察，这其中最重要的就是圆与三角形的各种问题。
3.动态几何从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
4.几何图形的归纳、猜想问题中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。
对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的。
5.阅读理解问题如今中考题型越来越活，阅读理解题出现在数学当中就是最大的一个亮点。
阅读理解往往是先给一个材料，或介绍一个超纲的知识，或给出针对某一种题目的解法，然后再给条件出题。
对于这种题来说，如果考生为求快速而完全无视阅读材料而直接去做题的话，往往浪费大量时间也没有思路，得不偿失。
所以如何读懂题以及如何利用题就成为了关键。
解题策略1.学会运用数形结合思想数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问题的解决方法(以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题(以数助形)的一种数学思想.数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，使问题得以解决。
2020—2021年人教版初中数学九年级下册中考专项总复习考点图形的认识和证明及答案(精品试题).doc
九年级数学总复习第四部分图形的认识和证明Ⅰ、三角形和相似形一、考点分析及难点提示1．熟练掌握线段的垂直平分线和角平分线的性质、判定及作图方法.2．熟练掌握三角形的中位线定理.3．三角形全等的证题思路4．等腰三角形的性质与判定提示：“三线合一”的应用是等腰三角形的重点,在证明过程中，常常要做辅助线�底边上的高,以便使用这个性质证明线相等、垂直或角相等.5.Rt△知识注意问题(1)勾股定理常要用到：两条直角边的平方和等于斜边的平方.(2)直角三角形中线定理也是常用到的.如图，由∠C=90°，D为AB中点，得 .6.相似三角形三角形相似的判定：两角对应相等；三边对应成比例；两边对应成比例且夹角相等.相似比问题：线段比等于相似比；面积比等于相似比的平方.相似三角形中常见的基本图形如图：注意：在判断相似三角形的有关问题时，不要忽视公共角和对顶角，另外，很多题的结论是等积式，只要把等积式化成比例式，就能找到解决问题的途径.7．相似三角形的应用（1）位似图形.（2）平行投影在太阳光下同一时刻的物高与影长成比例.即8．黄金分割（1）定义：点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果，那么称线段被点C黄金分割，点C叫黄金分割点，叫黄金比.（2）比值： .（3）主要是应用于计算和作图（黄金分割点的几种作法，作黄金矩形）.9．几何证明中辅助线的特殊作法1.平移法：平行移动线段到相关位置.2.对称法：利用轴对称和中心对称判断相关线段的关系.3.旋转法：利用旋转作图的性质判断相关线段和角的关系.二、三角形部分典型题1．已知A、B两点，以A、B为其中两个顶点，作等腰直角三角形，一共可作个.2．如图，平面镜A与B之间的夹角为110°，光线经过平面镜A反射到平面镜B上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1的数为.3．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行走和旋转45°.某一指令规定，机器人先向正前方行走1米，左转45°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，一共走了米.4．如图，OA=OB=OC，∠B=40°，∠C=25°，则∠BOC的度数为.5．在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，则∠DBC的度数为.6．如图，△ABC中，AB=AC，D是BC上的一点，要使△ABD与△ACD全等，只需再添上一个条件，这个条件可以是.7．已知三角形的三边是方程的两根，那么它的周长是.8．如图，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需要在它的内部添加一些钢管EF、FG、GH……，添加钢管的长度都与OE相等，那么最多能添加这样的钢管根.9.折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与对角线BD重合，得折痕DG，如图，若AB=2，BC 求AG的长.10．如图是一三角形的纸片ABC，∠A=65°，∠B=75°，将纸片的一角C沿DE折叠，使点C落在△ABC内，若∠1=20°求∠2的度数.11．如图，在△ABC中，延长BC到D，延长AC到E，AD与BE相交于F，∠ABC=45°，试将下列设定中的两个作为题设另一个作为结论，组成一个正确命题，并证明这个命题.①AD⊥BD；②AE⊥BF；③AC=BF.12．如图，在3×3方格纸中，每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形.请画出三个面积为3的点三角形.要求：①与例图不同；②不重复（两个全等图形视为重复）；③在提供的3张图纸上各画一个.三、实战练习（一）填空题1．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，则它的面积是_________.2．如果一个角的余角是35度，那么这个角的补角是_________度.3.如图，D是ΔABC的AB边上的一点，过点D作DE//BC，交AC于E.已知AD∶DB=1∶3，那么SΔADE∶SΔABC=_________.（二）解答题1．如图，F、C是线段BE上的两点，BF=CE，AB=DE，∠B=∠E，QR//BE.求证：ΔPQR是等腰三角形.2．已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点，求证：ΔADQ∽ΔQCP. 3．已知：如图，正方形DEFG内接于RtΔABC,EF在斜边BC上，EH⊥AB于H.求证：（1）ΔADG∽ΔHED；（2）EF2=BE·FC.四、相似形部分典型题1．如图，把菱形ABCD沿着对角线的AC方向移动到菱形A′B′C′D′的位置，若且，则菱形移动的距离AA′是.2．上午10时，校园内的旗杆影长为15米，与此同时，高为1.5米的测杆影长为2.5米，则旗杆的高是3．已知，如图，矩形EFGH的顶点在△ABC的三边上，AD⊥BC，若BC=10cm，AP=16cm，矩形的周长为24cm，则△A 的面积是.4．已知，1，，2三个数，请你再添上一个数，写出一个比例式5．某学生想利用树影测量校园内的树高，他在某一时刻测得小树高为1.5米时，其影长为1.2米，当他测量教学楼旁的棵大树影长时，因为大树靠近教学楼，有一部分影子在墙上，经过测量，地面部分影长为6.4米，墙上影长为1.4米，那么，棵大树高为米.6．在矩形ABCD中，DH⊥AC于点H，若AH=6，CH=2，则S矩形ABCD= .7．已知：如图，正方形ABCD中，DC=12，E是CD上的一点，DE=5，AE的中垂线分别交AD、BC于M、N，垂足为则PM：PN= .8．在梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线相交于点O，若AD：BC=2：3，那么S△AOD：S△ACD= .9．已知△ABC、△DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请你找出一个与△DEF相似的三角形，并加以证明.10．一块直角三角形木板的一条直角边长AB为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，甲乙二位同学的加工方法如图，请你用学过的知识，说明谁的加工方法符合要求.11．如图，ABCD是平行四边形，P是BD上的任意一点，过P的直线分别交AB、DC于E、F，交DA、BC的延长线于G H.求证：（1）PE·PG=PF·PH；（2）当过P点的直线绕点P旋转到F、H、C重合时，请判断PE、PC、PG的关系，并给出证明.12．点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形.（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数.13．已知直线L是线段AB的垂直平分线，垂足为D，点P为L上的一个动点，（点P与D不重合），连结AP、BP，作AE⊥BP于点E，交L于点C，连结BC.试问：当点P在L上运动且与点D的距离变大时，S△PAB·S△CAB的值变小、变大、还是不变提出你的猜想并加以证明.14．点E是四边形ABCD的对角线BD上的一点，且∠BAC=∠BDC=∠DAE.（1）求证：BE·AD=CD·AE；（2）根据图形的特点，猜想可能等于哪两条线段的比（只需写出图中已的线段中的一组即可），并证明你的猜想.Ⅰ、三角形与相似形参考答案二、三角形部分典型题1．6 2．35°3．8 4．130°5．15°6．略7．5 8．7 9．10.11.略12.略三、实战练习（一）1．30cm22．125 3．1：16（二）1．证△ABC≌△DEF 2．略3．略.证△CFG≌△BED四、相似形部分典型题1．2．9m 3．100cm24．略5．9.46．7．5：19 8．2：59.△GAD；△ECH；△GFH；证明略10. ；11.略.PC2=12.CD2=AC·DB；120°13，不变.证△ACD≌△PAD；14，证△ABE∽△ACD；Ⅱ、四边形一、考点分析四边形一部分，是三角形内容的应用和深化.这部分中考试题所考查的知识点主要有：1.根据多边形的内、外角和公式确定多边形的边数.2.会借助平行四边形的性质定理解决线段、角相等和求值等问题.3.能借助定义及判定定理判断四边形中的特殊四边形.4.会根据平行四边形的性质定理确定特殊四边形具有的性质，并结合其定义和判定定理判断与四边形有关的真假命题.5. 明确轴对称图形、中心对称图形的特性及其规律，并能结合实际图形予以辨认.6. 利用特殊四边形的面积公式（菱形、梯形面积等）解决与面积有关的几何问题（包括应用问题），并会解答折痕问题二、难点提示1．四边形一章是平行线和三角形知识的应用和深化，因此通常需要添加辅助线把四边形转化为三角形，把梯形转化成平四边形和三角形，把多边形转化为三角形或特殊四边形.2．矩形、菱形、正方形的性质都是在平行四边形的基础上扩展的，而平行四边形的有关性质和定理通常是证明线段相等两个角相等，两条直线平行或垂直的依据.3．连接平行四边形和特殊平行四边形的对角线是常添辅助线，它可将四边形问题转化为三角形问题解决.4．另一个容易出问题的地方，是梯形辅助线的作法，常见的辅助线总结如下：（1）过上底一端点，作一腰的平行线，如图（1）.（2）过上底两端点，作下底的垂线，如图（2）.（3）过上底的一端点作一对角线的平行线如图（3）.（4）连结上底一端点和一腰中点的直线与下底延长线相交，通过构造全等三角形进行证明和计算如图（4）.（5）延长梯形的两腰，如图（5）.（6）作梯形的中位线，如图（6）.5.菱形的面积公式(a, b为菱形对角线的长度).S菱形=ch (c, h分别为菱形边长和边上的高) .6．折痕问题的关键（1）解决折痕问题的基本原理是轴对称性质.（2）解决折痕问题的基本途径是借助勾股定理构建方程.三、四边形部分典型题1.在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,BC=8,对角线AC=6,BD=8,则面积是.2.已知菱形的两条对角线长分别是4cm和10cm,则它的边长是.3.已知：平行四边形ABCD中,M是对角线AC上的一点,连结BM、DM,则图中面积相等的三角形有对.4.在下列图形中,沿着虚线将长方形剪成两部分,那么由这两部分既能拼成平行四边形,又能拼成三角形梯形的是( )5.在平行四边形ABCD中,AB=6，AD=8，∠B是锐角,将△ACD沿对角线AC折叠,点D落在△ABC所在平面内的点E处,如AE过BC的中点,那么平行四边形ABCD的面积是.6.一幅美丽的图案,在某个顶点处由四个边长相等的正多边形镶嵌而成,其中三个分别是三角形,正四边形, 正六边形,那么另外一个是正形.7.如图,在菱形ABCD中, ∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于8.A、B、C、D在同一平面内,从⑴AB∥CD；⑵AB=CD；⑶BC∥AD；⑷BC=AD这四个条件中任选两个,能使四边形ABCD 平行四边形的选法有种.9.如图,把一个正方形三次对折后,沿虚线剪下,则所得的图形是( )10.有一腰长为5cm,底为4cm的等腰三角形纸片,沿着底边上的中线将纸片剪开,得到两个全等的直角三角形,用这两个直角角形纸片拼成的平面图形中有个不同的四边形.11.把一块正六边形硬纸片作成一个底面仍为正六边形且高相等的无盖纸盒,需在每一个顶点处剪去一个四边形，那么剪去四边形中最小的角是度.12.一个画家把12个边长是1cm的正方体在地面上摆成三层,最上层一块,第二层四块,然后,他把露出的表面都涂上颜色,那被涂上颜色的总面积是.13.若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形的形状,使其面积为矩形面积的一半,则这个平行四边形的一个最小内角是度.14.在矩形ABCD中,AB=3，BC=2，E为BC的中点,F在AB上,且BF=2AF,则四边形AFEC的面积为.15.如图，用一条宽相等的足够长的纸带,打一个结,然后轻轻拉紧,压平,就可以得到一个正五边形ABCDE,其中∠BAC=度.16. 如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的重合，则四边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是.17．如图，正方形硬纸片的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿虚线剪开，拼成的图中的阴影部分面积是.18．如图，平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠BAD和∠BCD的角平分线，根据图形，添加一个条件，使四边形AE 是菱形，则添加的一个条件可能是.19．如图，边长是3的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转300后得到正方形EFCG，EF交AD于点H，那么DH的长是.20．等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于E，AE=BE，BF⊥AE于F，线段BF与图中的哪一条线段相等？先出你的猜想，再加以证明.21．把两个全等的等腰直角三角板ABC和EFG（直角边长为4）叠放在一起，且使三角板EFG的直角顶点G与三角板A 的斜边中点O重合.现在将三角板EFG绕点O顺时针旋转一个锐角，四边形CHGK是旋转过程中两块三角板的重叠部分.（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（2）连结HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GHK的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值围.四、实战练习（一）选择题1．在正方形ABCD中，E、F两点分别是BC、CD边上的点，若ΔAEF是边长为的等边三角形，则正方形ABCD的边长为（）A. B.C. D.22．已知下列图形：（1）矩形；（2）菱形；（3）等腰梯形；（4）等腰三角形.其中是轴对称图形，而不是中心对称图的序号是（）A.(1)(2)B.(2)(3)C.(1)(3)D.(3)(4)3．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（）A.4个B.3个C.2个D.1个（二）解答题1．已知：如图，□ABCD中，E是AD的中点，延长CE交BA的延长线于点F.求证：AB=AF.2．如图，将□ABCD沿AC折叠，点B落在B′处，AB′交DC于点M.求证：折叠后重合的部分（即ΔMAC）是等腰三角形3．已知在梯形ABCD中，AD//BC，AD<BC，且AD=5，AB=DC=2.（1）如图，P为AD上的一点，满足∠BPC=∠A.①求证：ΔABP∽Δ在DPC；②求AP的长；（2）如果点P在AD边上移动（点P与点A、D不重合），且满足∠BPE=∠A，PE交直线BC于点E，同时交直线DC于Q，那么①当点Q在线段DC的延长线上时，设AP=x, CQ=y，求y关于x的函数解析式，并写出函数y的取值范围；②当CE 时，求出AP的长.Ⅱ、四边形参考答案三、四边形部分典型题1．24 2．3．三4．D 5．6．四边7．60°8．四9．C 10.四11.60 12.33cm213.30 14.2 15.36 16.略17.4 18.AE=CE19.20.BF=DE 21.BH=CK；不变；S=4；；0＜x＜4四、实战练习（一）1．A 2．D 3．B（二）1．证△AEF≌△DEC2．证∠BAC=∠MAC=∠ACM3．⑴①略②1、4 ⑵①；1＜x＜4 ②AP=4Ⅲ、解直角三角形一、考点分析及难点提示1．特殊角的三角函数值，可利用特殊的直角三角形三边的比进行记忆2.解直角三角形(1)直角三角形角的关系：∠A+∠B=90°.(2)直角三角形边的关系：a2+b2=c2 .(3)直角三角形的边角关系：, ,, .在直角三角形中，除直角外的其余五个元素中，已知其中两个（至少有一个是边），即可求出其余三个.3.应用问题直角三角形边角关系的应用类型主要归结为：求解距离、测量物体高度、度量角度、计算面积等解直角三角形的数学问步骤为：画出示意图，把实际问题抽象成数学问题；找出直角三角形或通过作辅助线构造直角三角形；利用直角三角形角关系求解.(1)仰角、俯角的概念如图1所示，在测量时，视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫仰角，在水平线下方的叫俯角.(2)坡度（坡比）、坡角的概念如图2所示，我们通常把坡面的铅直高度h和水平宽度L的比叫做坡度（或叫坡比），用字母i表示，即.这里，α是坡面与水平面的夹角，这个角叫坡角.（3）方向角如图3所示，视线（视点与目标的连线）与指北（南）线的夹角.（4）直角三角形应用题的常用图形二、解直角三角形部分典型题1．在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°,AC=6,D是AC上一点，,则AD 长是.2．如图，测量人员在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿着坡角为30°的山坡前进1000米，到达D处，在D处测得顶B的仰角为60°，则山高BC大约是（精确到0.01米）.3.升国旗时，某同学站在离旗杆24米处行注目礼，他的视线的仰角是30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆的高度是.4．直角三角形的周长是，斜边上的中线是1，则它的面积是5．如图，在高为2米，倾斜角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要米.（精确到0.1米）6．如图，矩形ABCD中，AC和BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE:OD=1:2，,则DE= cm.7．如图，是一条山坡路的横截面，CM是一段平路，它高出水平地面24米，从A到B，从B到C是两段不同坡角的山路，山坡路AB的路面长100米，它的坡角∠BAE=5°，山坡路BC的坡角∠CBH=12°，为了方便交通，政府决定把山坡路BC 坡角降到与AB的坡角相同，使得∠DBI=5°.（1）求山坡路AB的高度BE；（精确到0.01米）（2）降低坡度后，整个山坡的路面加长了多少米？（精确到0.01米）(参考数据sin5°=0.0872,cos5°=0.9962,sin12°=0.2079,cos12°=0.9781)8．如图，甲乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时千米的速沿北偏西60°的方向前进，乙船以每小时15千米的速度沿东北方向前进，甲船航行2小时到达C处，此时甲船发现渔具忘在船上，于是甲船快速沿北偏东75°的方向追赶，结果两船在B处相遇.（1）甲船从C处追赶上乙船用了多少时间？（2）甲船追赶乙船的速度是多少？9．如图，某货船以每小时20海里的速度把一批重要物质由A处运往正西方向的B处，经过16小时的航行到达，到达立即卸货，此时接到气象部门的通知，一台风中心正以每小时40海里的速度由A向北偏西60°的方向移动，距离台风中心2海里的圆形区域（包括边界）都会受到影响.(1) 问B处是否会受到影响？请说明理由；(2) 为了避免受到台风的影响，该货船应在多少小时内卸完货物？10．如图，已知测速站P到公路l的距离PO为40米，一辆汽车在公路l上行驶，测得此车从点A行驶到点B所用的时为2秒，并测得∠APO=60°,∠BPO=30°，计算此车从A到B的平均速度是多少？（结果保留四个有效数字）并判断此车是否过了每秒22米的限制速度.11．在一次实践活动中，某课题小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下的方案，①在测点A处安置测倾器测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α；②量出测点到旗杆底部的水平距离AN=m；③量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度MN的方案.要求：(1)在图中，画出你测量小山高度的示意图，并标出适当的字母；(2)写出你的设计方案.三、实战练习（一）填空或选择1.在△ABC中，若sinA=1，tanB=，则∠C= 度.2.在△ABC中，若∠C=90°，∠A=45°，那么tanA+ sinB= ，△ABC为对称图形（只填轴或心）.3.在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，sinA+cosB的值等于（）A. B.1 C.D4.菱形ABCD的边长为5，AC、BD相交于点O，AC=6，若∠ABD=α,则下列式子正确的是（）A. B. C.D.5．计算：= .6.计算：= .7. 计算：＝＿＿＿＿＿. （二）证明与解答1.如图，△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，BD=4，AD=BC，.求：（1）DC的长；（2）sinB的值.2.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B = 30°，∠C = 45°，BD=10，求AC.3.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，∠B =60°。
题型二+图形规律(专题训练)-2024年中考数学二轮复习满分冲刺题型突破(全国通用)(解析版)
类型二图形规律1．（2023·重庆·统考中考真题）用长度相同的木棍按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案用了9根木棍，第②个图案用了14根木棍，第③个图案用了19根木棍，第④个图案用了24根木棍，……，按此规律排列下去，则第⑧个图案用的木棍根数是（）A．39B．44C．49D．54【答案】B【分析】根据各图形中木棍的根数发现计算的规律，由此即可得到答案．+=根木棍，【详解】解：第①个图案用了459+⨯=根木棍，第②个图案用了45214+⨯=根木棍，第③个图案用了45319+⨯=根木棍，第④个图案用了45424……，+⨯=根，第⑧个图案用的木棍根数是45844故选：B．【点睛】此题考查了图形类规律的探究，正确理解图形中木棍根数的变化规律由此得到计算的规律是解题的关键．2．（2023·重庆·统考中考真题）用圆圈按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有2个圆圈，第②个图案中有5个圆圈，第③个图案中有8个圆圈，第④个图案中有11个圆圈，…，按此规律排列下去，则第⑦个图案中圆圈的个数为（）A．14B．20C．23D．26【答案】B【分析】根据前四个图案圆圈的个数找到规律，即可求解.=⨯-；【详解】解：因为第①个图案中有2个圆圈，2311第②个图案中有5个圆圈，5321=⨯-；第③个图案中有8个圆圈，8331=⨯-；第④个图案中有11个圆圈，11341=⨯-；…，所以第⑦个图案中圆圈的个数为37120⨯-=；故选：B.【点睛】本题考查了图形类规律探究，根据前四个图案圆圈的个数找到第n 个图案的规律为31n -是解题的关键.3.如图，小正方形是按一定规律摆放的，下面四个选项中的图片，适合填补图中空白处的是A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，原图形中各行、各列中点数之和为10，符合此要求的只有，故选D．【名师点睛】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是得出原图形中各行、各列中点数之和为10．4．（2023·山东烟台·统考中考真题）如图，在直角坐标系中，每个网格小正方形的边长均为1个单位长度，以点P 为位似中心作正方形123PA A A ，正方形456,PA A A ⋯，按此规律作下去，所作正方形的顶点均在格点上，其中正方形123PA A A 的顶点坐标分别为()()()123,0,2,1,1,0P A A ---，()32,1A --，则顶点100A 的坐标为（）A．()31.34B．()31,34-C．()32,35D．()32,0【答案】A 【分析】根据图象可得移动3次完成一个循环，从而可得出点坐标的规律()323n A n n --，．【详解】解：∵()121A -，，()412A -，，()703A ，，()1014A ，，L ，∴()323n A n n --，，∵1003342=⨯-，则34n =，∴()1003134A ，，故选：A．【点睛】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律．5.将字母“C”，“H”按照如图所示的规律摆放，依次下去，则第4个图形中字母“H”的个数是（）A．9B．10C．11D．12【答案】B 【分析】列举每个图形中H 的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H 的个数为4，第2个图中H 的个数为4+2，第3个图中H 的个数为4+2×2，第4个图中H 的个数为4+2×3=10，故选：B．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，通过列举每个图形中H 的个数，找到规律：每个图形比上一个图形多2个H 是解题的关键．A．40452πB．2023π【答案】A【分析】曲线11112DA B C D A …是由一段段得到1114(1)22n n AD AA n -==⨯-+，7.把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个图案中菱形的个数为（）A．15B．13C．11D．9【答案】C 【分析】根据第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，算出第⑥个图案中菱形个数即可．【详解】解：∵第①个图案中菱形的个数：1；第②个图案中菱形的个数：123+=；第③个图案中菱形的个数：1225+⨯=；…第n 个图案中菱形的个数：()121n +-，∴则第⑥个图案中菱形的个数为：()126111+⨯-=，故C 正确．故选：C．【点睛】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．8.如图是用黑色棋子摆成的美丽图案，按照这样的规律摆下去，第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为（）A．148B．152C．174D．202【分析】观察各图可知，后一个图案比前一个图案多2（n+3）枚棋子，然后写成第n个图案的通式，再取n＝10进行计算即可求解．【解析】根据图形，第1个图案有12枚棋子，第2个图案有22枚棋子，第3个图案有34枚棋子，…第n个图案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10个这样的图案需要黑色棋子的个数为102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故选：C．9.把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，…，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为（）A．10B．15C．18D．21【分析】根据前三个图案中黑色三角形的个数得出第n个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+……+n，据此可得第⑤个图案中黑色三角形的个数．【解析】∵第①个图案中黑色三角形的个数为1，第②个图案中黑色三角形的个数3＝1+2，第③个图案中黑色三角形的个数6＝1+2+3，……∴第⑤个图案中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5＝15，故选：B．10.观察下列树枝分杈的规律图，若第n 个图树枝数用n Y 表示，则94Y Y -=（）A．4152⨯B．4312⨯C．4332⨯D．4632⨯【答案】B【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律21nn Y =-，代入规律求解即可．【详解】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==-则：9921Y =-，∴944942121312Y Y -=--+=⨯，故答案选：B．【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．11.用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（）A．32B．34C．37D．41【答案】C 【分析】第1个图中有5个正方形，第2个图中有9个正方形，第3个图中有13个正方形，……，由此可得：每增加1个图形，就会增加4个正方形，由此找到规律，列出第n 个图形的算式，然后再解答即可．【详解】解：第1个图中有5个正方形；第2个图中有9个正方形，可以写成：5+4=5+4×1；第3个图中有13个正方形，可以写成：5+4+4=5+4×2；第4个图中有17个正方形，可以写成：5+4+4+4=5+4×3；．．．第n 个图中有正方形，可以写成：5+4（n-1）=4n+1；当n=9时，代入4n+1得：4×9+1=37．故选：C．【点睛】本题主要考查了图形的变化规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．12.在平面直角坐标系中，等边AOB ∆如图放置，点A 的坐标为()1,0，每一次将AOB ∆绕着点О逆时针方向旋转60︒，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到11AOB ∆，第二次旋转后得到22A OB ∆，…，依次类推，则点2021A 的坐标为（）A．()202020202,32--B．()202120212,32C．()202020202,2⨯D．()201120212,2-【答案】C【分析】由题意，点A 每6次绕原点循环一周，利用每边扩大为原来的2倍即可解决问题．【详解】解：由题意，点A 每6次绕原点循环一周，20216371......5÷= ，2021A ∴点在第四象限，202120212OA =，202160xOA ∠=︒，∴点2020A 的横坐标为20212020122=2⨯，纵坐标为20212020=3222-⨯-，()2020202020212,2A ∴，故选：C．【点睛】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型问题，解题的关键是理解题意，学会探究规律的方法，属于中考常考题型．13.如图，用大小相同的小正方形拼大正方形，拼第1个正方形需要4个小正方形，拼第2个正方形需要9个小正方形…，按这样的方法拼成的第（n+1）个正方形比第n 个正方形多个小正方形．【分析】观察不难发现，所需要的小正方形的个数都是平方数，然后根据相应的序数与正方形的个数的关系找出规律解答即可．【解析】∵第1个正方形需要4个小正方形，4＝22，第2个正方形需要9个小正方形，9＝32，第3个正方形需要16个小正方形，16＝42，…，∴第n+1个正方形有（n+1+1）2个小正方形，第n 个正方形有（n+1）2个小正方形，故拼成的第n+1个正方形比第n 个正方形多（n+2）2﹣（n+1）2＝2n+3个小正方形．故答案为：2n+3．【答案】66n +/66n +【答案】22n n -/22n n -+【分析】根据题意得出()14143n a n n =+-=-，进而即可求解．【详解】解：依题意，()1231,5,9,14143n a a a a n n ===⋅⋅⋅=+-=-，，a a a a ++++= ()2143212n n n n n n +-18.观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2019个图形中共有__________个〇．【答案】6058【解析】由图可得，第1个图象中〇的个数为：1+3×1=4，第2个图象中〇的个数为：1+3×2=7，第3个图象中〇的个数为：1+3×3=10，第4个图象中〇的个数为：1+3×4=13，…∴第2019个图形中共有：1+3×2019=1+6057=6058个〇，故答案为：6058．【名师点睛】本题考查图形的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现图形中〇的变化规律，利用数形结合的思想解答．【答案】()2023,3-【分析】先确定前几个点的坐标，然后归纳规律，按规律解答即可．【详解】解：由图形可得：()()2352,0,3,0,A A A 如图：过1A 作1A B x ⊥轴，∵12,OA A20.如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n=__________．【答案】1010【解析】根据题意分析可得：第1幅图中有1个．第2幅图中有2×2-1=3个．第3幅图中有2×3-1=5个．第4幅图中有2×4-1=7个．…可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n-1）个．当图中有2019个菱形时，2n-1=2019，n=1010，故答案为：1010．【名师点睛】本题考查规律型中的图形变化问题，难度适中，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．21.观察下列图形规律，当图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022时，n的值为____________．【答案】不存在【分析】首先根据n=1、2、3、4时，“•”的个数分别是3、6、9、12，判断出第n个图形中“•”的个数是3n；然后根据n=1、2、3、4，“○”的个数分别是1、3、6、10，判断出第n 个“○”的个数是()12n n +；最后根据图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022，列出方程，解方程即可求出n 的值是多少即可．【详解】解：∵n=1时，“•”的个数是3=3×1；n=2时，“•”的个数是6=3×2；n=3时，“•”的个数是9=3×3；n=4时，“•”的个数是12=3×4；……∴第n 个图形中“•”的个数是3n；又∵n=1时，“○”的个数是1=1(11)2⨯+；n=2时，“○”的个数是2(21)32⨯+=，n=3时，“○”的个数是3(31)62⨯+=，n=4时，“○”的个数是4(41)102⨯+=，……∴第n 个“○”的个数是()12n n +，由图形中的“○”的个数和“．”个数差为2022()1320222n n n +∴-=①，()1320222n n n +-=②解①得：无解解②得：12n n ==故答案为：不存在【点睛】本题考查了图形类规律，解一元二次方程，找到规律是解题的关键．【答案】202223【分析】过点1A 作1A M x ⊥轴，先求出130AOM ∠=︒，再根据等边三角形的性质、()12,0A ，12OA ∴=，当2x =时，233y =，即M ⎛ ⎝23.将黑色圆点按如图所示的规律进行排列，图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，……，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为___________．【答案】1275【分析】首先得到前n个图形中每个图形中的黑色圆点的个数，得到第n个图形中的黑色圆点的个数为()12n n+，再判断其中能被3整除的数，得到每3个数中，都有2个能被3整除，再计算出第33个能被3整除的数所在组，为原数列中第50个数，代入计算即可．【详解】解：第①个图形中的黑色圆点的个数为：1，第②个图形中的黑色圆点的个数为：()1222+⨯=3，第③个图形中的黑色圆点的个数为：()1332+⨯=6，第④个图形中的黑色圆点的个数为：()1442+⨯=10，第n个图形中的黑色圆点的个数为()1 2n n+，则这列数为1，3，6，10，15，21，28，36，45，55，66，78，91，，其中每3个数中，都有2个能被3整除，33÷2=161，16×3+2=50，则第33个被3整除的数为原数列中第50个数，即50512⨯=1275，故答案为：1275．【点睛】此题考查了规律型：图形的变化类，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．24.如图，3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按照这样的规律，则20条直线两两相交最多有______个交点【答案】190【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式：1(1) 2n n-．【详解】解：2条直线相交有1个交点；3条直线相交最多有1123322+==⨯⨯个交点；4条直线相交最多有11236432++==⨯⨯个交点；5条直线相交最多有1123410542+++==⨯⨯个交点；⋯20条直线相交最多有12019190 2⨯⨯=．故答案为：190．【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有1(1) 2n n-．25.如图，用火柴棍拼成一个由三角形组成的图形，拼第一个图形共需要3根火柴棍，拼第二个图形共需要5根火柴棍；拼第三个图形共需要7根火柴棍；……照这样拼图，则第n 个图形需要___________根火柴棍．【答案】2n+1【分析】分别得到第一个、第二个、第三个图形需要的火柴棍，找到规律，再总结即可．【详解】解：由图可知：拼成第一个图形共需要3根火柴棍，拼成第二个图形共需要3+2=5根火柴棍，拼成第三个图形共需要3+2×2=7根火柴棍，拼成第n个图形共需要3+2×（n-1）=2n+1根火柴棍，故答案为：2n+1．【点睛】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出运算规律解决问题．26.如图都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第___个图形共有210个小球．【答案】20【分析】根据已知图形得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+ +n=()12n n +，列一元二次方程求解可得．【详解】解：∵第1个图形中黑色三角形的个数1，第2个图形中黑色三角形的个数3=1+2，第3个图形中黑色三角形的个数6=1+2+3，第4个图形中黑色三角形的个数10=1+2+3+4，……∴第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+4+5+ +n=()12n n +，当共有210个小球时，()12102n n +=，解得：20n =或21-(不合题意，舍去)，∴第20个图形共有210个小球．故答案为：20．【点睛】本题考查了图形的变化规律，解一元二次方程，解题的关键是得出第n 个图形中黑色三角形的个数为1+2+3+……+n．27.如图，由两个长为2，宽为1的长方形组成“7”字图形（1）将一个“7”字图形按如图摆放在平面直角坐标系中，记为“7”字图形ABCDEF，其中顶点A 位于x 轴上，顶点B，D 位于y 轴上，O 为坐标原点，则OBOA的值为__________．（2）在（1）的基础上，继续摆放第二个“7”字图形得顶点F 1，摆放第三个“7”字图形得顶点F 2，依此类推，…，摆放第n 个“7”字图形得顶点F n-1，…，则顶点F 2019的坐标为__________．【答案】（1）12；（2）606255(，【解析】（1）∵∠ABO+∠DBC=90°，∠ABO+∠OAB=90°，∴∠DBC=∠OAB，∵∠AOB=∠BCD=90°，∴△AOB∽△BCD，∴OB DCOA BC=，∵DC=1，BC=2，∴OB OA =12，故答案为：12．（2过C 作CM⊥y 轴于M，过M 1作M 1N⊥x 轴，过F 作FN 1⊥x轴．根据勾股定理易证得BD ==CM=OA=5，DM=OB=AN=5，∴C（5），∵AF=3，M 1F=BC=2，∴AM 1=AF-M 1F=3-2=1，∴△BOA≌ANM 1（AAS），∴NM 1=OA=255，∵NM 1∥FN 1，∴1111251553M N AM FN AF FN ==，，∴FN 1=655，∴AN 1=355，∴ON 1=OA+AN 1=253555555+=，∴F（555，655），同理，F 1（857555，F 2（55，），F 3（1459555，），F 4（55，），…F 2019），即（【名师点睛】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键28.如图，正方形1ABCB 中，AB =，AB 与直线l 所夹锐角为60︒，延长1CB 交直线l 于点1A ，作正方形1112A B C B ，延长12C B 交直线l 于点2A ，作正方形2223A B C B ，延长23C B 交直线l 于点3A ，作正方形3334A B C B ，…，依此规律，则线段20202021A A =________．【答案】202033【分析】利用tan30°计算出30°角所对直角边，乘以2得到斜边，计算3次，找出其中的规律即可.【详解】∵AB 与直线l 所夹锐角为60︒，正方形1ABCB 中，AB =，∴∠11B AA =30°，∴11B A =1B A 3=1，∴1113=2=2(3AA -；∵11B A =1，∠122B A A =30°，∴22B A =11B A tan30°=33133⨯=，∴21123=23A A -⨯；∴线段20202021A A =202112020332(33-⨯=,故答案为：20203)3.【点睛】本题考查了正方形的性质，特殊角三角函数值，含30°角的直角三角形的性质，规律思考，熟练进行计算，抓住指数的变化这个突破口求解是解题的关键.29.如图，菱形ABCD 中，120ABC ∠=︒，1AB =，延长CD 至1A ，使1DA CD =，以1AC 为一边，在BC 的延长线上作菱形111ACC D ，连接1AA ，得到1ADA ∆；再延长11C D 至2A ，使1211D A C D =，以21A C 为一边，在1CC 的延长线上作菱形2122A C C D ，连接12A A ，得到112A D A ∆……按此规律，得到202020202021A D A ∆，记1ADA ∆的面积为1S ，112A D A ∆的面积为2S ……202020202021A D A ∆的面积为2021S ，则2021S =_____．【答案】40382【分析】由题意易得60,1BCD AB AD CD ∠=︒===，则有1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，进而根据等边三角形的面积公式可得134S =，2S =242n n S -=，然后问题可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是菱形，∴1AB AD CD ===，//,//AD BC AB CD ，∵120ABC ∠=︒，∴60BCD ∠=︒，∴160ADA BCD ∠=∠=︒，∵1DA CD =，∴1DA AD =，∴1ADA ∆为等边三角形，同理可得112A D A ∆…….202020202021A D A ∆都为等边三角形，过点B 作BE⊥CD 于点E，如图所示：∴sin 2BE BC BCD =⋅∠=，∴1121133244A D BE A S D =⋅==，同理可得：2222133244S A D ==⨯=，2233233444S A D ==⨯=∴由此规律可得：242n n S -=，∴2202144038202122S ⨯-==⋅；故答案为40382【点睛】本题主要考查菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数，熟练掌握菱形的性质、等边三角形的性质与判定及三角函数是解题的关键．30.将一些相同的“〇”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”的“〇”的个数，则第30个“龟图”中有___________个“〇”．【答案】875【分析】设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数），观察“龟图”，根据给定图形中“〇”个数的变化可找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”，再代入n＝30即可得出结论．【详解】解：设第n 个“龟图”中有a n 个“〇”（n 为正整数）．观察图形，可知：a 1＝1＋2＋2＝5，a 2＝1＋3＋12＋2＝7，a 3＝1＋4＋22＋2＝11，a 4＝1＋5＋32＋2＝17，…，∴a n ＝1＋（n＋1）＋（n −1）2＋2＝n 2−n＋5（n 为正整数），∴a 30＝302−30＋5＝875．故答案是：875．【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据各图形中“〇”个数的变化找出变化规律“a n ＝n 2−n＋5（n 为正整数）”是解题的关键．31.下面各图形是由大小相同的三角形摆放而成的，图①中有1个三角形，图②中有5个三角形，图③中有11个三角形，图④中有19个三角形…，依此规律，则第n个图形中三角形个数是_______．n n+-【答案】21【分析】此题只需分成上下两部分即可找到其中规律，上方的规律为(n-1)，下方规律为n2，结合两部分即可得出答案．【详解】解：将题意中图形分为上下两部分，则上半部规律为：0、1、2、3、4……n-1，下半部规律为：12、22、32、42 (2)n n+-．∴上下两部分统一规律为：21n n+-．故答案为：21【点睛】本题主要考查的图形的变化规律，解题的关键是将图形分为上下两部分分别研究32.如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…按此规律摆下去，第n个图案有个三角形（用含n的代数式表示）．【分析】根据图形的变化发现规律，即可用含n的代数式表示．【解析】第1个图案有4个三角形，即4＝3×1+1第2个图案有7个三角形，即7＝3×2+1第3个图案有10个三角形，即10＝3×3+1…按此规律摆下去，第n 个图案有（3n+1）个三角形．故答案为：（3n+1）．33.如图，四边形ABCD 是矩形，延长DA 到点E，使AE＝DA，连接EB，点F 1是CD 的中点，连接EF 1，BF 1，得到△EF 1B；点F 2是CF 1的中点，连接EF 2，BF 2，得到△EF 2B；点F 3是CF 2的中点，连接EF 3，BF 3，得到△EF 3B；…；按照此规律继续进行下去，若矩形ABCD 的面积等于2，则△EF n B 的面积为．（用含正整数n 的式子表示）【分析】先求得△EF 1D 的面积为1，再根据等高的三角形面积比等于底边的比可得EF 1F 2的面积，EF 2F 3的面积，…，EF n﹣1F n 的面积，以及△BCF n 的面积，再根据面积的和差关系即可求解．【解析】∵AE＝DA，点F 1是CD 的中点，矩形ABCD 的面积等于2，∴△EF 1D 和△EAB 的面积都等于1，∵点F 2是CF 1的中点，∴△EF 1F 2的面积等于12，同理可得△EF n﹣1F n 的面积为12n−1，∵△BCF n 的面积为2×12n ÷2=12n，∴△EF n B 的面积为2+1﹣1−12−⋯−12n−1−12n =2﹣（1−12n ）=2n +12n．故答案为：2n +12n．。
二、解答重难题型突破+题型6 几何综合探究问题+课件+2025年九年级中考数学总复习人教版(山东)
∵AC⊥AB,∴OD∥AC,
∵DE∥BC,∴四边形DOCE是平行四边形,
由(1)知,OD=OC,∴四边形DOCE为菱形;
20
(3)如图,
在OC上截取OE=1,连接DE,作AF⊥BC于F,
∵OD=OB=3,OC=BC-OB=9,
∴ = = ,
∴∠DOE=∠CDO,
∵△HCG是等腰直角三角形,∴CG= GH=8,∴GD=8-5=3;
16
当E在BC延长线上时,延长GH,使HQ=HF,连接FQ,
则△HFQ是等腰直角三角形,
∴∠Q=45°,FQ= FH,GQ=HG+HQ=HC+HF=CF,∠QGF=90°-∠GFH=∠CFE,
∴△QGF≌△CFE(ASA),
∴GF=EF=AE=
∠AOC=180°-30°-30°=120°,
∴∠OCN=∠OAN'=30°,
=
∵在△OCN和△OAN'中 ∠ = ∠′ ,
′ =
7
∴△OCN≌△OAN'(SAS),
∴ON=ON',∠CON=∠AON',
∴∠N'ON=∠COA=120°,
又∵∠MON=60°,
∴∠MON=∠MON'=60°,
法:有直角,作垂线,找全等或相似;有中点,作倍长,通过全等转移边和角;有平行,找
相似,转比例等.
3
类型1
动点、动线类探究
【例1】(2024·烟台招远市模拟)已知:等边△ABC中,点O是边AC,BC的垂直平分线
的交点,M,N分别在直线AC,BC上,且∠MON=60°.
(1)如图1,当CM=CN时,M,N分别在边AC,BC上时,请写出AM,CN,MN三者之间的数