从算术到代数
2023年从《方程》一课谈及“算术”走向“代数” 读《新课程小学数学教学实践研究》有感
从（方程）一课谈及“算术〞走向“代数〞——读（新课程小学数学教学实践研究）有感近日，读了（新课程小学数学教学实践研究）第41——57页的内容，里面谈及方程思想，颇有感触，借我执教过的（方程）一课谈及从“算术〞走向“代数〞。
（方程）这节课是（义务教育课程标准实验教科书数学）四年级下册第七单元第七单元的内容。
新世纪小学数学教材依据“由浅入深、循序渐进、螺旋上升〞的教学原则，设置了“天平称物〞等三个问题情境，让学生经历从具体到抽象的过程，逐渐学会用方程表示简单情境中的等量关系。
作为数学思想之一的方程思想，其核心在于建模、化归。
在教学实施时，我先启发学生用自己的言语对事情进行描述，然后抽象成数学表达，最后用数学符号建立方程，这也正是建模的过程。
来看几个小片段：片段一：师：老师今天还带来了一些糖果，请认真瞧啦，我把这包糖果和一个50克的砝码放在天平左盘，在右盘放一个200克的砝码。
天平怎么样了？生：平衡了。
师：谁能找出其中的相等的数量关系？生：50克砝码的质量+糖果的质量=200克。
师：如果用一个式子表示这组相等的数量关系。
该怎样表示呢？请先独立思考，然后在练习本上写一写。
写好的同学可以小声地和同桌交流一下。
师：谁情愿第—个把你写的说给大家听？生1：200-50=150，150+50=200。
师：哦，你是先把糖果的质量算出来，再用一个式子表示相等关系对吗？有不同的表示方法吗？生2：χ+50=200。
〔板书：χ+50=200〕师：能向大家解释一下你写的式子吗？生：这袋糖果的质量我不了解，所以用χ表示，因为糖果的质量+50克砝码的质量是200克，所以我这样表示。
师：表达很完整！想到用χ表示我们不了解的数，好主意！不了解的数也就是“未知数〞。
〔板书：未知数〕未知数只能用χ表示吗？是的，未知数还可以用别的字母表示，但一般情况下，人们使用χ、Y、Z等字母代表未知数。
现在我们比拟一下两种表示方法，你认为那个式子更简单？生齐答：χ+50=200。
数学入门知识从基本算术到代数与几何
数学入门知识从基本算术到代数与几何数学是一门极其重要的学科，它是科学和技术发展的基础。
想要在数学领域取得成功，掌握一些基本的数学概念和技巧是非常关键的。
本文将介绍从基本算术到代数与几何的数学入门知识。
一、基本算术基本算术是数学的基础，包括加法、减法、乘法和除法。
这些运算是我们日常生活中最常用的数学运算，掌握好基本算术是进行其他数学学习的前提。
1. 加法加法是将两个或多个数值相加的运算。
例如，2 + 3 = 5。
在加法中，有一个重要的性质，即交换律，即a + b = b + a。
2. 减法减法是从一个数中减去另一个数的运算。
例如，5 - 2 = 3。
与加法类似，减法也具有交换律。
3. 乘法乘法是将两个或多个数值相乘的运算。
例如，2 × 3 = 6。
乘法还具有分配律和结合律。
4. 除法除法是将一个数分成若干份的运算。
例如，6 ÷ 2 = 3。
除法也可以表示为乘法的倒数，即a ÷ b = a × (1/b)。
二、代数代数是数学的一个重要分支，它研究数与符号之间的关系。
代数包括有关未知数的运算和关系的表达和处理。
1. 方程方程是等式的一种特殊形式，其中包含一个或多个未知数。
例如，2x + 3 = 7是一个方程，其中x是未知数。
解方程是找到使方程成立的未知数的值。
2. 不等式不等式是由不等于号（<，>，≤或≥）将两个表达式连接起来的数学语句。
例如，x > 3是一个不等式，表示x的值大于3。
解不等式是找到满足不等式的所有可能值。
三、几何几何是研究空间和图形的数学学科。
它涉及点、线、面和体等基本元素的性质和关系。
1. 点、线和面点是空间中不具有维度的对象，线是由一组点组成的对象，面是由一组线组成的对象。
2. 图形图形是由点、线和面组成的几何对象。
常见的图形包括圆、三角形、四边形等。
图形的性质和关系可以通过几何公式和定理来描述和推导。
3. 角度和距离角度是两条线之间的夹角，用度数或弧度来表示。
从算术思维到代数思维
从算术思维到代数思维摘要：算术思维与代数思维之间的承接关系并非藉由经历足够的经验便可跨越，还必须经过思维结构的转化即质的改变，这个过渡也是学生学习代数时必须面对的困难。
笔者就如何启发儿童“符号代数”的意识，帮助他们积累“结构转换”的感性经验，加速从具体演算阶段到形式运算阶段的进展，为他们打开代数思维之门提出自己的看法。
关键词：算数；代数；思维中图分类号：g632 文献标识码：b 文章编号：1002-7661（2013）07-103-01一、多元化表征、建构符号意识“代数”，从字面看就有“以符号代表数”的意思。
学生的学习从具体情境到抽象概念，其思维必须经历从数字到符号的飞跃，因此符号意识的培养对发展小学生代数思维显得尤为重要，然而实际问题情境的复杂性和符号本身的抽象性为学生理解和应用代数符号带来了困难，因此我们一方面要帮助学生从一定程度上摆脱对问题情境的依赖，发现各类问题背后的数学结构，另一方面也要优化学生对符号的认识，帮助学生积累使用代数符号的经验。
换言之，我们可以通过对数学问题的多元表征，逐步发展学生的符号意识。
1、优化对符号的认识数学算式是数学沟通及思考最重要的媒介，而符号表征式的理解与使用更是代数的学习不可或缺的工具，符号化是学生跨入代数思维的第一步，而符号化绝不是学生的自然、直观的想法，因此要过渡到代数思维，首要进行的便是符号的理解与使用。
建立对等号的认识：算式和代数虽共享一些符号如+、-、×、÷、=，有些符号在算术与代数之间的意义并不同，这也使得学生在面对这些符号时，经常产生混淆。
我们在教学中，应针对不同认知层次的学生采用循环、螺旋的方式，引导学生把等号看作是相等和平衡的符号，是一种关系。
拓宽对符号的理解：四年级（下）进行”用字母表示数”的专题学习，字母符号表示数、表示数量关系、表示规律模式以及数学公式，帮助学生建立数感与符号意识。
五年级（上）对符号表征却只字未提，到五年级（下）学习方程，由于教材编排的跳跃性，教学时往往忽略“用字母表示数”作为数学的一种抽象表征方式的重要教学价值，造成了学生符号意识发展中的问题，大多数学生对符号的认识停留在一个未知的确定的数或者一个特定的记号，而没有把符号看作推广的数或者变量，对a+15这样的式子通常认为是一个“过程”，对一些运算律和公式也只是将其作为一种固定的模式记忆。
从算术到代数
从算术向代数过渡，是学生数学学习过程中极为重要的转变阶段．算术中的基本对象是数，包括数的表示、数的意义、数之间的关系、数的运算等，这些知识对学生是基本的，它们将为学生今后的代数学习打下坚实的基础．所不同的是，代数中的基本对象除了数，还出现了更具广泛意义的基本对象??符号，这是代数不同于算术的典型特征．在代数中，用字母表示数，用符号表示运算法则、运算性质、计算公式等，将数的知识提升到一般化的水平．在代数的课程中，学生要学习符号的意义、进行符号之间的运算（形式变换） 和转换、用符号进行表示、用符号解决问题．在此过程中，学生还要学习许多新的概念，如代数式、变量、参数、图像、方程、函数等，而且他们还需要懂得代数的结构．因此，代 数的内容和方法对学生提出了更高的要求，是学生所面对的又一次挑战．学生从算术向代数的过渡，是从对数的思考向对符号的思考的转变，是从算术思维向代数思维的转变，是思维层次从个别到一般、具体到抽象的飞跃．
新的代数课程，从对运算的强调转向更加关注对问题的表示或数学建模，转向关注学生是否能用数学的眼光把实际情境数学化、用数学的方法解决实际问题．因此，帮助学生理解符号表示和符号运算，考虑我们在教学上可以做什么，特别是在算术向代数过渡的阶段，是十分有益的．教师对课程的深刻理解和高水平的教
从表示等量关系、保持等量关系，到求得方程的解，体现了方程的结构特点．用方程的方法解决问题，思考的过程往往是顺向的．
（3）从解决问题方法多样性的角度来看，算术的方法、 列表的方法都不失为解决问题的途径．但是从思维发展的角度来说，代数的思考是在抽象层面上的思考，代数的方法具有一般性，有助于培养高层次的思维．按照维果茨基 （Vygotsky，1962）的说法，代数对算术就像书面语言对口头语言．因此，我们的教学应该引导学生从算术的思考逐步地过渡到代数的思考，逐步地从非形式化的水平上升到形式化的水平．
第2章 数学的应用价值
一只船从甲地到乙地， 往返共用2小时 小时， 一只船从甲地到乙地 ， 往返共用 小时 ， 回来 时是顺水， 比逆水每小时多行8千米 千米， 时是顺水 ， 比逆水每小时多行 千米 ， 第二小 时比第一小时多行6千米 甲乙相距多少千米？ 千米， 时比第一小时多行 千米 ， 甲乙相距多少千米 ？ 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多50元 兄弟二人各有人民币若干元，哥比弟多 元， 3 1 给弟， 若哥把自己的 7 给弟，弟又把原来自己的 3 给 则弟比哥多10元 哥弟原来各有多少元？ 哥，则弟比哥多 元，哥弟原来各有多少元？ 一辆汽车从甲地到乙地， 一辆汽车从甲地到乙地 ， 若把车速提高到原速 可比原定时间提前1小时到达 的 1.2倍 ,可比原定时间提前 小时到达 若原速 倍 可比原定时间提前 小时到达;若原速 行驶120千米后 再将速度提高到原速的 千米后,再将速度提高到原速的 行驶 千米后 再将速度提高到原速的1.25倍, 倍 则可提前40分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 分钟到达,甲乙两地相距多少千米 则可提前 分钟到达 甲乙两地相距多少千米？ 直观想象线段图、 直观想象线段图、方形图
算术方法：不允许未知数参与运算（ 算术方法：不允许未知数参与运算（未已不 平等-类似种族歧视） 平等-类似种族歧视） 基本特征： 基本特征：算——数（加—减、乘、除） 数 减 基本特征： 基本特征：用“术”——算（有规律地算） 算 有规律地算） 基本特征：不同的算法——不同的计算途径 基本特征：不同的算法 不同的计算途径 或程序 基本特征： 基本特征：解决一个一个的具体问题 通过“ 解决的问题是算术问题。 通过“术”和“算”解决的问题是算术问题。 通过“ 体现逻辑思维 演绎。 逻辑思维—演绎 通过“术”和“算”体现逻辑思维 演绎
算数” 代数： 算字母” 算术： “算数”——代数：“算字母” 代数 算术：解决具体问题—代数：解决一类问题 解决具体问题 代数： 代数
从算术思维到代数思维的转换初探-算术思维和代数思维的特点
从算术思维到代数思维的转换初探算术思维和代数思维的特点一、算术思维和代数思维算术思维侧重于程序思维，强调的是利用数量计算求出答案的过程.这个过程具有情境性、特殊性和计算性的特点，甚至是直观的。
而代数思维的运算过程具有结构性，和算术运算不同的是其侧重将关系符号化，而且不具有直观性。
对于同一个问题，用代数思维和算术思维方式都能求得问题的解，虽然结果是一样的，但是运算和思维的逻辑是不一样的。
例如：盒子中的皮球与外面的6个皮球加起来共有23个，求盒子中一共有多少个皮球？可以列算数式23-6=（）来解答，也可以用代数式6+X=23来解。
我所教的高年级学生中，大部分学生就选择了前一种解题方式来解答，从表达式中，直接展示出题目和答案之间的关系体现了算术思维；还有少部分学生是用后者的方法来解答的。
后一种方法则体现了代数思维，即对具体的情境问题进行分析并转化为方程式，成了一种纯粹的符号运算。
二、在代数学习中可能会遇到的困难从算术思维向代数思维转换的过程中，光有练习是不够的，最重要的是要经历一个质变的过程。
学生在小学阶段已经接触过一些代数思想，例如用“设未知量为X”建立方程的方法解数学应用题，当然，他们对“未知量X”含义的了解是非常肤浅的。
进入初中后，学生要学习比较系统的代数内容，学习中会产生许多困难。
在这个过程中，会遇到的困难有：第一，符号意义的不连续；字母代数是由常量数学到变量数学转变的开端。
通过有关数、式、方程等内容的学习，学生不但要掌握各种概念、运算法则，而且要学习各种代数变形的思想方法；第二，运算客体出现扩充；从运算的角度说，代数运算主要是一种形式化的符号变换，其抽象程度较高；第三，经常会出现程序逆向思维。
当前，学生对概念的发生发展过程、概念的内涵与外延的周密性，特别是对概念间的内在联系的认识水平普遍较低。
鉴于上述的三个方面的困难，如何从算术思维向代数思维过渡呢？三、从算术思维向代数思维的转换的教学策略1.从数字到符号的转换从数字向符号转变，通俗地讲，就是用符号代替数字，使解题的焦点转移。
从算术思维向代数思维过渡
从算术思维向代数思维过渡，是学生认知规律的一次飞跃。
《课程标准》指出“用等式的性质解简单的方程”。
等式的性质反映了方程的本质，将未知数和已知数同等看待。
因此我设计了如下教学环节：
一、创设情境，学生了解等量关系。
我先用了一把1米长粗细均匀的木条横放在手指上，通过这一简单的小游戏使学生明白什么是平衡和不平衡，平衡是左右两边的重量相等。
利用鲜明的直观形象帮助学生理解式子的意思。
二、从日常生活理解等量关系
结合具体情境理解等量关系，会用方程表示简单的等量关系。
此过程实质就是引导学生从算术思维到代数思维的过渡，逐渐把未知的数量当成已知的数量。
三、区分方程和等式。
在学习过程中，展出很多式子，学生通过观察、思考，再在组内交流，发现式子的不同，分类概括。
认识方程的特征，归纳出方程的概念。
四、感受数学与生活的密切联系。
联系生活实际用方程讲故事，感受方程与日常生活的联系，提高对数学的兴趣和应用意识。
五、总结归纳。
引导学生回顾方程建模的过程，进一步帮助学生完成从算术思维到代数思维的过渡。
数学思维训练从算术到代数的过渡
数学思维训练从算术到代数的过渡数学思维在我们的日常生活中扮演着重要的角色，它不仅仅是一门学科，更是一种思维方式。
数学的核心是逻辑思维能力的培养，在学习过程中，从算术到代数的过渡对于锻炼学生的思维能力至关重要。
本文将探讨如何通过算术和代数的过渡来培养学生的数学思维。
1. 算术思维的培养算术是数学学习的基础，也是培养学生数学思维的起点。
在算术学习中，我们可以通过以下几个方面来培养学生的算术思维。
首先，培养学生的数字概念。
数字是算术的基本单位，学生需要理解数字的概念以及数字之间的关系。
通过游戏、实例和实际问题的解决，可以帮助学生更好地理解数字。
其次，培养学生的计算能力。
计算是算术的基本内容，学生需要熟练掌握加减乘除等计算方法。
通过多样化的练习和问题解决，可以提高学生的计算能力。
最后，培养学生的问题解决能力。
算术问题常常涉及实际生活中的情境，学生需要通过数学的思维方式解决实际问题。
教师可以设计一些真实的情境问题，引导学生进行推理和解决。
2. 代数思维的引入代数是算术的延伸和拓展，它在数学学习中起着重要的作用。
代数思维是一种抽象思维能力，通过代数学习可以培养学生的逻辑思维和推理能力。
首先，引入变量的概念。
在代数中，变量是一个重要的概念，它可以表示问题中未知的数或者数之间的关系。
学生需要理解变量的含义和使用方法，通过变量的引入，将问题转化为代数表达式。
其次，培养学生的代数表达能力。
代数表达是将实际问题转化为代数形式的重要方法，学生需要掌握代数式的写法和转化方法。
通过练习和问题解决，可以提高学生的代数表达能力。
最后，培养学生的方程求解能力。
方程求解是代数学习的重点内容，学生需要学会通过方程的设立和运算求解未知数的值。
通过练习和实际问题的解决，可以帮助学生提高方程求解的能力。
3. 从算术到代数的过渡在学习过程中，从算术到代数的过渡是一个逐步深化的过程。
在这个过程中，教师需要通过设计合理的教学内容和方法来帮助学生顺利过渡。