第2讲 跨越——从算术到代数

第二讲 跨越——从算术到代数
“算术”可以理解为“计算的方法”，而“代数”可以理解为“以符号替代数字”，即“数学符号化”．著名数学教育家玻利亚曾说：“代数是一种不用词句而只用符号所构成的语言．”
用字母表示数是数学发展史上的一件大事，是由算术跨越到代数的桥梁，是人类发展史上的一个飞跃，也是代数与算术的最显著的区别．
字母表示数使得数学具有简洁的语言，能更普遍地说明数量关系，在列代数式、求代数式的值、形成公式等方面有广泛的应用．
例题
【例1】观察下列等式
9—l=8， 16—4＝12，25—9＝16，36—16＝20，……
这些等式反映出自然数间的某种规律，设n 表示自然数，用关于n 的等式表示出来： ．(河南省中考题) 思路点拨 在观察给定的等式基础上，寻找数字特点，等式的共同特征，发现一般规律．
注：从个别事物中发现一般性规律．这种研究问题的方法叫“归纳法”，是由特殊到一般的思维过程，是发明创造的基础。

【例2】 某商品2002年比2001年涨价5％，2003年又比2002年涨价10％，2004年比2003年降价12％，则2004年比2001年( )．
九涨价3％ B ．涨价1．64％ C 涨价1．2％ D ．降价1．2％ (“TRUIY 信利杯”竞赛题)
思路点拨 设此商品2001年的价格为a 元，把相应年份的价格用a 的代数式表示，由计算作出判断．
例3】 计算
)2001
13121)(2002
1211()2001
131211)(2002
13121(+
+++
++
-+
+++
+
++
思路点拨 直接计算复杂而繁难，注意括号内数式的联系，引入字母，将复杂的数值计算转化为简单的式的计算．
【例4】 有—张纸，第1次把它分割成4片，第2次把其中的1片分割成4片，以后每一次都把前面所得的其中一片分割成4片，如此进行下去，试问： (1)经5次分割后，共得到多少张纸片? (2)经n 次分割后，共得到多少张纸片?
(3)能否经若干次分割后共得到2003张纸片?为什么? (江苏省竞赛题)
思路点拨 从简单情形人手，发现纸片数的特点是解本例的关键．
【例5】在右图中有9个方格，要求每个方格填入不同的的数，使得每行、每列、每条对角线上三个数之和都相等，问：右图上角的数是多少？
思路点拨 虽然要求的只是右上角的数，但是题目的条件还与其他的数有关，因此，需恰当地引进不同的字母表示数，以便充分运用已知条件．
注：① 用字母表示数，有利于运用代数式揭示问题中的数量关系，便于找到数量的相依关系或相等不等关系，具有设元意识，会用代数式表示，是由算术习惯向代数过渡的重要步骤，是突破算术方法的定势的关键．
② 本例的3个小题，反映了我们认识事物、探究问题的基本过程．第(1)小题是研究具体对象，第(2)小题是归纳出一般规律，第(3)小题是再运用这些规律去分析、研究、解决问题． ③ 有些问题涉及的量比较多，关系复杂，我们就需要引入不同的字母，便于把数量关
系表示出来，在解题中我们不需(或不能)求出所有字母的值，只需求出关键的字母的值，这种方法我们称之为“设而不求”．
学力训练
1．给出下列算式： l 2+1=1×2，22+2=2×3， 32 +3=3×4，…… 观察上面一列算式，你能发现什么规律，用代数式子表示这个规律： ． (福州市中考题) 2．已知：3
223222
⨯
=+
，8
338
332
⨯
=+
，15
4415
442
⨯
=+
，……，若b
a b
a ⨯
=+
2
1010
(b a 、为正整数)，则a+b= ． (2003年武汉市中考题)
3．若（m 十n ）人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要 天． (假定每个人的工作效率相同) (江苏省竞赛题)
4．某同学上学时步行，回家时坐车，路上一共要用90分钟，若往返都坐车．全部行程只需30分钟，如果往返都步行，那么需要的时间是 ． (河南省竞赛题)
5．一项工程，甲建筑队单独承包需要a 天完成，乙建筑队单独承包需要b 天完成，现两队联合承包，完成这项工程需要( )天． A ．
b
a +1 B ．
b
a
11+
C.
b
a a
b + D ．
ab
1
6．某专卖店在统计2003年第一季度的销售额时发现，二月份比一月份增加10％，三月份比二月份减少10％，那么三月份比一月份( )．
A ．增加10％
B ．减少10％
C ．不增不减
D ．减少1％
(河南省中考题)
7．如图，在长方形ABCD 中，横向阴影部分是长方形，另一阴影部分是平行四边形，依照图中标注的数据，计算图中空白部分的面积，其面积是( )． A ．bc-ab+ac+c 2 B ．ab-bc-ac+c 2 C ．a 2 +ab+bc-ac D ．b 2-bc+a 2-ab
河北省中考题)
8．为了绿化环境、美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是( )．
A ．S 1＞S 2
B ．Sl<S2
C ．S 1=S 2
D ．无法比较 9．从1开始，连续的奇数相加，和的情况如下： 1＝12，
1+3=4＝22，
1+3+5＝9＝32，
1+3+5+7＝16=42，
1+3+5+7+9＝25＝52，
(1)请你推测出，从1开始，n个连续的奇数相加，它们的和s的公式是什么?
(2)计算：
①1+3+5+7+9+1l+13+15+17+19；
②11+13+15+17+19+21+23+25．
(3)已知1+3+5+…+(2n一1)=225，求整数n的值．
10．从小明的家到学校，是一段长度为a的上坡路接着一段长度为b的下坡路(两段路的长度不等但坡度相同)．已知小明骑自行车走上坡路时的速度比走平路时的速度慢20％，走下坡路时的速度比走平路时的速度快20％，又知小明上学途中花10分钟，放学途中花12分钟．
(1)判断a与b的大小；
(2)求a与b的的比值．
(江苏省竞赛题)
11.观察下列各正方形图案，每条边上有n(n≥2)个圆点，每个图案中圆点的总数是S．
按此规律推断出S与n的关系式是．(2001年广西中考题)
12．如图，将面积为2a的小正方形与面积为2b的大正方形放在一起(b>a>0)，用b
a、表
示三角形ABC的面积为．
(“希望杯”邀请赛试题)
13．已知17个连续整数的和是306，那么，紧接在这17个数后面的那17个整数的和为．
14．用黑白两种颜色的正六边形地面砖按如下所示的规律．拼成若干个图案：
(1)第4个图案中有白色地面砖块；
(2)第n个图案中有白色地面砖块．(2003年南昌市中考题)
15．下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是( )．
A．162738,t950 B．2345678910 C．3579111300 D．4692581470
(江苏省竞赛题)
16．给出两列数：l，3，5，?，9，…，2001和1，6，1l，16，21，…，2001，同时出现在两列数中的数的个数为( )．
A．199 B．200 C．201 D．202
(重庆市竞赛题)
17．—种商品每件进价为a 元，按进价增加25％定出售价，后因库存积压降价，按售价的九折出售，每件还能盈利( )．
A ．0.125a
B ．0.15a
C ．0.25a
D ．1.25a (山东泰安市中考题)
18．如果用a 名同学在b 小时内搬运c 块砖，那么c 名同学以同样的速度搬运a 块砖所需的小时数是( )． A ．
b
a c
2
2 B ．
ab
c
2
C ．
2
c
ab D ．
2
2
c
b a
19．已知n
n a a 1111+
=
+ (n=l ，2，3，…2002)．求当11=a 时，20032002433221a a a a a a a a ++++
的值．
20．在——次数学竞赛中，组委会决定用NS 公司的赞助款购头一批奖品，若以1台NS 计算器和3本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买100份奖品；若以1台NS 计算器和5本《数学竞赛讲座》书为一份奖品．则可买80份奖品．问这 笔钱全部用来购买计算器或《数学竞赛讲座》书，可各买多少? (湖北省黄冈市竞赛题)，
22．阅读下列材料：十六大提出全面建设小康社会，国际上常用恩格尔系数(记作n)来衡量一个国家和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为：%100⨯=消费支出总额
食品消费支出总额n ，
根据上述材料，解答下列问题：某校初三学生对我市一个乡的农民家庭进行抽样调查．从1997年至2002年间，该乡每户家庭消费支出总额每年平均增加500元，其中食品消费支出总额每年平均增加200元，1997年该乡农民家庭平均刚达到温饱水平，已经该年每户家庭消费支出总额平均为8000元．
求：(1)1997年该乡平均每户家庭食品消费支出总额为多少元?
(2)设从1997年起m 年后该乡平均每户的恩格尔系数为m n （rn 为正整数）．请用rn 的代数式表示该乡平均每户当年的思格尔系数m n ，并利用这个公式计算2003年该乡平均每户的恩格尔系数(百分号前保留整数)．
(3)按这样的发屉，该乡将于哪年开始进入小康家庭生活?该乡农民能否实现十六大提出的2020年我国全面进入小康社会的目标? (桂林市中考题)．
参考答案。