频率的稳定性
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6.2频率的稳定性
0.4
0.2
20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
试验总次数
数学史实
人们在长期的实践中发现,在随机试验 中,由于众多微小的偶然因素的影响,每次 测得的结果虽不尽相同,但大量重复试验所 得结果却能反应客观规律.
频率稳定性定理 频率的稳定性是由瑞士数学 家雅布·伯努利（1654－ 1705）最早阐明的，他还提 出了由频率可以估计事件发 生的可能性大小。
0＜P(A) ＜ 1
小凡做了5次抛掷均匀硬币的实验，其中有3次正 面朝上，2次正面朝下，他认为正面朝上的概率大 2 3 约为 5 ,朝下的概率为 5 ，你同意他的观点吗？ 你认为他再多做一些实验，结果还是这样吗？
因为试验的次数不多（只有5次），此时用频率来 估计概率，其误差一般较大，所以，认为“正面朝
2
1、下列事件发生的可能性为0的是（ ） D A.掷两枚骰子，同时出现数字“6”朝上 B.小明从家里到学校用了10分钟， 从学校回到家里却用了15分钟 Ｃ.今天是星期天，昨天必定是星期六 Ｄ.小明步行的速度是每小时４０千米
BACK
2、 口袋中有９个球，其中４个红球， ３个蓝球，２个白球，在下列事件 中，发生的可能性为1的是（ C ）
)
(B)0.44
(C)0.50
(D)0.56
掷一枚均匀的骰子。 （1）会出现哪些可能的结果？ （2）掷出点数为1与掷出点数为2的可能 性相同吗？ 掷出点数为1与掷出点数为3的可能 性相同吗？ （3）每个出现的可能性相同吗？
(2)累计全班同学的试验结果, 并将实 验数据汇总填入下表：
实验总次数 正面朝上 的次数 正面朝上 的频率 正面朝下 的次数 正面朝下 的频率 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 10 22 32 41 47 57 67 79 89 99
2 频率的稳定性
2 频率的稳定性
1.频率
(1)定义:在 n 次重复试验中,不确定事件 A 发生了 m 次,则比值 m 称为事件 A n
发生的 频率
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)频率的稳定性:在试验次数很大时,事件发生的频率都会在一个 常数 附
近摆动,这就是频率的稳定性.
2.概率 (1)我们把刻画事件A发生的 可能性 大小的数值,称为事件A发生的概率,记
(2)小明的说法错误;因为只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率稳 定在事件发生的概率附近.小明只做100次试验,试验次数较少,事件发生的频 率不具有稳定性.
频率是指在试验中,事件发生的次数与总试验次数的比,随试验次数 的不断增多而趋于稳定.
探究点二:用频率估计概率
【例2】 (2019杭州)一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下 表是几位科学家“掷硬币”的试验数据:
3.(2019黔东)从一个不透明的口袋中随机摸出一球,再放回袋中,不断重复上述 过程,一共摸了150次,其中有50次摸到黑球,已知口袋中仅有黑球10个和白球若 干个,这些球除颜色外,其他都一样,由此估计口袋中有 20 个白球. 4.对一批西装质量的抽检情况如下:
抽检件数 200
400
600
800
1 000 1 200
朝上的点数 1
2
3
4
5
6
出现的次数 14
15
23
16
20
12
(1)计算“4点朝上”的频率; (2)小明说:“试验中出现3点朝上的频率最大,所以随机投掷骰子一次,出现3点 朝上的概率最大”.他的说法正确吗?为什么? 【导学探究】 1.共做了 100 次试验,“4点朝上”的次数为 16 . 2.质地均匀的正方体有6个面,随机投掷骰子一次,会出现6种可能结果,而出现3 点朝上结果只有 1 种.
1.频率
(1)定义:在 n 次重复试验中,不确定事件 A 发生了 m 次,则比值 m 称为事件 A n
发生的 频率
.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(2)频率的稳定性:在试验次数很大时,事件发生的频率都会在一个 常数 附
近摆动,这就是频率的稳定性.
2.概率 (1)我们把刻画事件A发生的 可能性 大小的数值,称为事件A发生的概率,记
(2)小明的说法错误;因为只有当试验的次数足够大时,该事件发生的频率稳 定在事件发生的概率附近.小明只做100次试验,试验次数较少,事件发生的频 率不具有稳定性.
频率是指在试验中,事件发生的次数与总试验次数的比,随试验次数 的不断增多而趋于稳定.
探究点二:用频率估计概率
【例2】 (2019杭州)一个猜想是否正确,科学家们要经过反复的实验论证.下 表是几位科学家“掷硬币”的试验数据:
3.(2019黔东)从一个不透明的口袋中随机摸出一球,再放回袋中,不断重复上述 过程,一共摸了150次,其中有50次摸到黑球,已知口袋中仅有黑球10个和白球若 干个,这些球除颜色外,其他都一样,由此估计口袋中有 20 个白球. 4.对一批西装质量的抽检情况如下:
抽检件数 200
400
600
800
1 000 1 200
朝上的点数 1
2
3
4
5
6
出现的次数 14
15
23
16
20
12
(1)计算“4点朝上”的频率; (2)小明说:“试验中出现3点朝上的频率最大,所以随机投掷骰子一次,出现3点 朝上的概率最大”.他的说法正确吗?为什么? 【导学探究】 1.共做了 100 次试验,“4点朝上”的次数为 16 . 2.质地均匀的正方体有6个面,随机投掷骰子一次,会出现6种可能结果,而出现3 点朝上结果只有 1 种.
6.2频率的稳定性(教案)
（3）数据分析能力的培养：学生在分析数据时，容易受到偶然性的影响，难以发现其中的规律。
突破方法：指导学生学会从大量数据中寻找规律，通过画图、计算等方法，降低偶然性因素的影响。
（4）逻辑推理能力的提升：学生在推理过程中，容易忽略细节，导致推理错误。
突破方法：教师应引导学生关注细节，培养学生的逻辑推理能力，让学生学会从特殊到一般的推理方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率稳定性定理和利用频率稳定性估计概率这两个重点。对于难点部分，我会通过抛硬币实验和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与频率稳定性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币和掷骰子实验操作。这些操作将演示频率稳定性的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解频率稳定性的基本概念。频率稳定性是指在相同条件下，大量重复试验中事件发生的频率会趋于一个固定值。它是概率理论的一个重要依据，可以帮助我们估计事件发生的概率。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币实验，观察不同次数下正面朝上的频率，分析频率稳定性在实际中的应用，以及如何帮助我们估计概率。
2.教学难点
（1）理解频率与概率的区别与联系：学生容易混淆频率和概率的概念，难以理解它们之间的关系。
突破方法：通过实例和图表，让学生直观地感受到频率是随着试验次数变化的数据，而概率是理论上的固定值。
（2）频率稳定性定理的应用：学生在运用频率稳定性定理解决实际问题时，往往不知道如何下手。
突破方法：教师需给出具体的案例，引导学生学会将实际问题抽象为数学模型，并运用定理进行求解。
6.2频率的稳定性（教案）
突破方法：指导学生学会从大量数据中寻找规律，通过画图、计算等方法，降低偶然性因素的影响。
（4）逻辑推理能力的提升：学生在推理过程中，容易忽略细节，导致推理错误。
突破方法：教师应引导学生关注细节，培养学生的逻辑推理能力，让学生学会从特殊到一般的推理方法。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调频率稳定性定理和利用频率稳定性估计概率这两个重点。对于难点部分，我会通过抛硬币实验和数据分析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与频率稳定性相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行抛硬币和掷骰子实验操作。这些操作将演示频率稳定性的基本原理。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解频率稳定性的基本概念。频率稳定性是指在相同条件下，大量重复试验中事件发生的频率会趋于一个固定值。它是概率理论的一个重要依据，可以帮助我们估计事件发生的概率。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过抛硬币实验，观察不同次数下正面朝上的频率，分析频率稳定性在实际中的应用，以及如何帮助我们估计概率。
2.教学难点
（1）理解频率与概率的区别与联系：学生容易混淆频率和概率的概念，难以理解它们之间的关系。
突破方法：通过实例和图表，让学生直观地感受到频率是随着试验次数变化的数据，而概率是理论上的固定值。
（2）频率稳定性定理的应用：学生在运用频率稳定性定理解决实际问题时，往往不知道如何下手。
突破方法：教师需给出具体的案例，引导学生学会将实际问题抽象为数学模型，并运用定理进行求解。
6.2频率的稳定性（教案）
频率的稳定性 课件-高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
课堂精讲
【例 1】 下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解
优等品数
(1)根据优等品频率＝抽取球数，
(1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1 的概率.
500 小时
[1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
193 165 42
0.193 0.165 0.042
(2)样本中使用寿命不足 1 500 小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率mn (1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解 (1)表中依次填入的数据为：
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455
(2)由于频率稳定在常数 0.9 附近， 所以这个射手射击一次，
击中靶心的频率mn 0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
击中靶心的概率约是 0.9.
7
10.3.1 频率的稳定性
题型二 游戏公平性的判断
数学
8
知识梳理
课堂精讲
【例 1】 下表是某品牌乒乓球的质量检查统计表：
抽取球数 50 100 200 500 1 000 2 000
优等品数 45 92 194 470 954 1 902
优等品频率
(1)计算各组优等品频率，填入上表；
(2)根据频率的稳定性估计事件“抽取的是优等品”的概率.
解
优等品数
(1)根据优等品频率＝抽取球数，
(1)将各组的频率填入表中； (2)根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足 1 的概率.
500 小时
[1 500，1 700) [1 700，1 900) [1 900，＋∞)
193 165 42
0.193 0.165 0.042
(2)样本中使用寿命不足 1 500 小时的灯管的频率是
0.048＋0.121＋0.208＋0.223＝0.6，
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455
击中靶心的频率mn (1)填写表中击中靶心的频率；
(2)这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？
解 (1)表中依次填入的数据为：
射击次数 n 10 20 50 100 200 500
0.80，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91. 击中靶心次数 m 8 19 44 92 178 455
(2)由于频率稳定在常数 0.9 附近， 所以这个射手射击一次，
击中靶心的频率mn 0.80 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
击中靶心的概率约是 0.9.
7
10.3.1 频率的稳定性
题型二 游戏公平性的判断
数学
8
知识梳理
北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》教案
北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》教案一. 教材分析北师大版数学七年级下册6.2《频率的稳定性》是统计学的一个基本概念。
本节内容通过具体实例让学生了解频率的稳定性，掌握频率稳定性概念，并能够运用频率稳定性分析实际问题。
教材通过生活中的实例，引导学生探究频率的稳定性，培养学生的统计观念和数据分析能力。
二. 学情分析学生在学习本节内容前，已经学习了数据的收集、整理和表示方法，对统计学有了一定的了解。
但学生对频率稳定性的理解可能存在一定的困难，需要通过具体实例和活动让学生感受和理解频率的稳定性。
三. 教学目标1.让学生了解频率的稳定性概念，理解频率稳定性在实际问题中的应用。
2.培养学生收集、整理、分析数据的能力，发展学生的统计观念。
3.培养学生通过实例分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：频率稳定性的概念及其在实际问题中的应用。
2.难点：频率稳定性的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动法，让学生在解决问题的过程中理解频率稳定性。
2.采用实例分析法，通过具体实例让学生感受频率稳定性。
3.采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的生活实例和数据，用于引导学生探究频率稳定性。
2.准备教学课件，用于辅助教学。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过引入生活中的一些实例，如抛硬币、掷骰子等，引导学生思考：在这些实验中，结果出现的频率是否会发生变化？从而引出频率稳定性的概念。
2.呈现（10分钟）教师呈现一些具体实例，如大量抛硬币实验的数据，让学生观察和分析频率的稳定性。
学生通过观察数据，发现频率在大量实验中趋近于一个稳定的值。
3.操练（10分钟）教师学生进行小组合作学习，让学生自己设计实验，收集数据，分析频率的稳定性。
学生通过自主探究，加深对频率稳定性的理解。
4.巩固（10分钟）教师提出一些问题，让学生回答，以巩固对频率稳定性的理解。
如：频率稳定性是什么意思？为什么频率会趋近于一个稳定的值？频率稳定性在实际问题中的应用等。
频率的稳定性-频率与概率
案例二：电力系统中的频率稳定性问题
电力系统中的频率稳定性问题
在电力系统中，频率的稳定性对于保证电力系统的稳定运行至关重要。频率不稳定会导致电力系统的负荷波动， 严重时甚至可能导致系统崩溃。
解决电力系统频率稳定性问题的方法
解决电力系统中的频率稳定性问题需要从多个方面入手，如优化电源配置、进行负荷管理、采用稳定的控制系统 等。
条件概率
一个事件发生的概率，在另一个事件 已经发生的情况下。
期望值
随机变量的平均值，或期望值，通常 表示为E(X)。
方差
衡量随机变量偏离其期望值的程度。
CHAPTER 03
频率稳定性的影响因素
系统因素
设备稳定性
设备的稳定性和可靠性对频率稳 定性有重要影响。设备故障或异 常运行可能会导致频率波动，影
案例三：运动状态的频率稳定性研究
运动状态下的频率稳定性研究
对于运动状态下的系统，如机械振动、电磁振荡等，频率的稳定性是保证系统稳定运行的关键。
提高运动状态下的频率稳定性的方法
提高运动状态下的频率稳定性需要从多个方面入手，如优化机械结构设计、选择合适的材料、进行动 态调整等。
案例四：工业生产过程中的频率稳定性控制
频率稳定性案例分析
案例一：通信系统的频率稳定性优化
频率稳定性在通信系统中的重要性
在通信系统中，频率的稳定性直接影响到信号的传输质量和速度。频率不稳定 会导致信号失真、传输错误等问题，从而影响通信质量。
频率稳定性优化的方法
为了提高通信系统的频率稳定性，可以采用多种方法，如采用高精度的频率源 、进行频率校准、采用稳定的传输介质等。
要点一
工业生产过程中的频率稳定性控 制
在工业生产过程中，尤其是化工、制药等领域，生产过程 中对于温度、压力、流量等参数的频率稳定性要求较高。
【高中数学】频率的稳定性 (教学课件) 高一数学同步备课系列(人教A版2019必修第二册)
人教A版2019必修第二册
第10章 概率
10.3.1 频率的稳定性
学习目标
1、理解频率的稳定性；
2、理解频率与概率的关系，掌握用频率估计概率
重点：用频率估计概率
难点：频率与概率的关系以及用频率估计概率
新知导入
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次.
【问题】
(1)你能计算出正面朝上的频率吗？
果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的.对“降水的
概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有
90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件
下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实要下雨了，那么应该认为预
事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法.
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，
相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验
中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重
复试验，用频率去估计概率.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的
有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件
发生的频率 ()会逐渐稳定于事件发生的概率().我们称频率的这个性质为频
率的稳定性.因此，我们可以用频率 ()估计概率().
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、
我们发现：
(1)试验次数相同，频率 ()可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当
第10章 概率
10.3.1 频率的稳定性
学习目标
1、理解频率的稳定性；
2、理解频率与概率的关系，掌握用频率估计概率
重点：用频率估计概率
难点：频率与概率的关系以及用频率估计概率
新知导入
小刚抛掷一枚硬币100次，出现正面朝上48次.
【问题】
(1)你能计算出正面朝上的频率吗？
果是否准确呢？
降水的概率是气象专家根据气象条件和经验，经分析推断得到的.对“降水的
概率为90%”比较合理的解释是：大量观察发现，在类似的气象条件下，大约有
90%的天数要下雨.
只有根据气象预报的长期记录，才能评价预报的准确性.如果在类似气象条件
下预报要下雨的那些天(天数较多)里，大约有90%确实要下雨了，那么应该认为预
事件的概率，我们需要寻求新的求概率的方法.
我们知道，事件的概率越大，意味着事件发生的可能性越大，在重复试验中，
相应的频率一般也越大；事件的概率越小，则事件发生的可能性越小，在重复试验
中，相应的频率一般也越小.在初中，我们利用频率与概率的这种关系，通过大量重
复试验，用频率去估计概率.那么，在重复试验中，频率的大小是否就决定了概率的
有随机性.一般地，随着试验次数的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件
发生的频率 ()会逐渐稳定于事件发生的概率().我们称频率的这个性质为频
率的稳定性.因此，我们可以用频率 ()估计概率().
例1 新生婴儿性别比是每100名女婴对应的男婴数. 通过抽样调查得知，我国2014年、
我们发现：
(1)试验次数相同，频率 ()可能不同，这说明随机事件发生的频率具有随机性.
(2)从整体来看，频率在概率0.5附近波动.当试验次数较少时，波动幅度较大；当
6.2 频率的稳定性课件(第1、2课时)
课堂检测
6.2 频率的稳定性/
基础巩固题
4.养鱼专业户为了估计他承包的鱼塘里有多少条鱼(假设这个塘里 养的是同一种鱼),先捕上100条做上标记，然后放回塘里，过了 一段时间，待带标记的鱼完全和塘里的鱼混合后，再捕上100条 ，发现其中带标记的鱼有10条，鱼塘里大约有鱼多少条？
解：设鱼塘里有鱼x条，根据题意可得
巩固练习
变式训练
6.2 频率的稳定性/
小明练习射击，共射击60次，其中有38次击中靶子，由此可估 计，小明射击一次击中靶子的频率稳定在( C )
A.38% C.约63%
B.60% D.无法确定
探究新知
6.2 频率的稳定性/
素养考点 2 频率稳定性的应用
例2 在一个不透明的布袋中，红球、黑球、白球共有若干个，除
钉尖朝上频率（钉尖朝上次数/ 试验总次数） 钉尖朝下频率（钉尖朝下次数/ 试验总次数）
探究新知
6.2 频率的稳定性/
频率：在n次重复试验中，不确定事件A发生了m次，则
比值 m
n
称为事件A发生的频率.
（2）累计全班同学的试验结果，并将试验数据汇总
填入下表：
试验总次数n 20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400
制了下面的折线统计图，观察图像，钉尖朝上的频率的变化
有什么规律？
结论：
钉尖朝上的频率
在试验次数很
1.0
大时，钉尖朝
0.8
上的频率都会 在一个常数附
0.6
近摆动，即钉
0.4
尖朝上的频率
0.2
具有稳定性.
20 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 试验总次数
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电脑模拟试验
（3）根据上面试验表，完成下面的折线统计图。
频率
实验总次数
20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
(4)观察上面的折线统计图，你 发现了什么规律？
新发现，新知识
1、 在实验次数很大时事件发生的频率， 都会在一个常数附近摆动，这个性质称为 频率的稳定性。
2、我们把这个刻画事件A发生的 可能性大小的数值，称为 事件A发生的概率，记为P(A)。
一般的，大量重复的实验中，我们常用 不确定事件A发生的频率来估计事件A发生 的概率。
事件A发生的概率P(A)的取值范围是 什么？必然事件发生的概率是多少？不可 能事件发生的概率又是多少?
必然事件发生的概率为1；不可能事 件发生的概率为0；不确定事件A发生的 概率P(A)是0与1之间的一个常数。
1.对某批乒乓球的质量进行随机抽查，如下表所示： 随机抽取的 10 20 50 100 200 500 1000 乒乓球数 n 优等品数 m 7 16 43 81 164 414 825 优等品率m/n 0.7 0.8 0.86 0.81 0.82 0.828 0.825 （1）完成上表； （2）根据上表，在这批乒乓球中任取一个，它 为优等品的概率是多少？
第六章 频率与概率
频率的稳定性2. 举例说明什么是不可能事件。 3. 举例说明什么是随机事件。
问题的引出
必然事件发生的可能性大小是 1 不可能事件发生的可能性大小是 随机事件发生的可能性大小 0~1
0
怎么确定随机事件发生的可能性 大小呢？
任意掷一枚均匀的硬币，可能出现哪些结 果？每种结果出现的可能性相同吗？正面 朝上的概率是多少？
我们来做一做，试一试
(1) 同桌两人做20次掷硬币的游戏， 并将记录记载在下表中：
试验总次数 正面朝上的次数 正面朝下的次数 正面朝上的频率 动起 来！ 你能 行。
正面朝下的频率
(2)累计全班同学的试验结果, 并将实验 数据汇总填入下表：
实验总次数 正面朝上 的次数 正面朝上 的频率 正面朝下 的次数 正面朝下 的频率 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
2、小明抛掷一枚均匀的硬币，正面朝上
的概率为
,那么，抛掷100次硬币，你
能保证恰好50次正面朝上吗？
小
1、频率的稳定性。 2、事件A的概率，记为P(A)。
结
3、一般的，大量重复的实验中，我们 常用不确定事件A发生的频率来估计事 件A发生的概率。 4、必然事件发生的概率为1； 不可能事件发生的概率为0； 不确定事件A发生的概率P(A)是0与1 之间的一个常数。