多种功率谱估计的比较

多种功率谱估计的比较

1．实验目的：

a.了解功率谱估计在信号分析中的作用；

b.掌握随机信号分析的基础理论，掌握参数模型描述形式下的随机信 号的功率谱的计算法；

c.掌握在计算机上产生随机信号的法；

d.了解不同的功率谱估计法的优缺点。 2．实验准备：

有三个信号源，分别代表三种随机信号（序列）。 信号源1：

123()2cos(2)2cos(2)2cos(2)()x n f n f n f n z n πππ=+++

其中，1230.08,=0.38,0.40f f f ==

z(n)是一个一阶 AR 过程，满足程： ()(1)(1)()z n a z n e n =--+ (1)0.823321a =-

e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，差20.1σ=

信号源2和信号源3：

都是4阶的AR 过程，它们分别是一个宽带和一个窄带过程，满足程：

()(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)()x n a x n a x n a x n a x n e n =--------+

e(n)是一高斯分布的实白噪声序列，差2σ，参数如下：

a. 描绘出这三个实验信号的真实功率谱波形。

b. 在计算机上分别产生这个三个信号，令所得到的数据长度 256 = N 。

注意：产生信号的时候注意避开起始瞬态点。例如，可以产生长度为512 的信号序列，然后取后面256 个点作为实验数据。

c. 分别用如下的谱估计法，对三个信号序列进行谱估计。 1、经典谱估计 z 期图法 z 自相关法

z 平均期图法（Bartlett 法）

z Welch 法（可选每段64 点，重叠32 点，用Hamming 窗） 2、现代谱估计

z Yule - Walker 程（自相关法） z 最小二乘法

注：阶次p 可在3－20之间，由自己给定。 4.实验结果及分析

1 分析信号源1 1> 期图法

期图法又称直接法，是直接建立在功率谱的定义式上的。

21ˆ()()PER

S X k N

ω=

图1 一次期图法

图2 50次期图法平均 （红色：平均，蓝色：单次）

期图法在理论上渐近无偏的非一致估计，数据量越大，期图沿频率轴的起伏变化愈激烈所求得的功率谱振荡剧烈，信号差较大，不利于对功率信号的分析。但是从上图上可以看出，对于确定信号成分较大信号源里，期图法能够较好的表现出信号的频谱成分。本信号为确定信号和白噪声相加，且性噪比较大，因此信号有较好的平均性。 2>自相关法

原理：由维纳- 辛钦公式，经自相关函数间接获得

()()()

()()

()

||1

xx

2

1

xx

1

1

ˆ

ˆˆ

N m

n

N j km

N

BT

m N

R m x n x n m

N

S k R m e

π

--

=

--

=--

⎧

=+

⎪

⎪

⎨

⎪=

⎪⎩

∑

∑

图3 一次自相关法

图4 50次自相关法平均

（红色：平均，蓝色：单次）

自相关法是由维纳-辛钦公式出发的，本质上是对期图法的插值，因此而这本质上来说是一致的。由于采用差值的法，会使谱线相对平滑一些。同样，对于本信号源（确定信号+白噪声），自相关法较好的跟随了谱线峰值，且也有较好的平均性。

3>平均期图法（Bartlett 法）

原理：K个独立同分布的随机变量的均值之差，等于单个变量差的1/K 。

法：长数据N分成K段，每段M= N/K，每段用期图法求谱：

()()

2

1

1M

jwn

i

n

I x n e

M

ω

-

-

=

=∑

)

K 段平均后的谱估计为：

()()

1

1

ˆˆ

K

xx i

i

S I

K

ωω

=

=∑

图5 一次BT法

图6 50次BT法平均

（红色：平均，蓝色：单次）

平均期图法是通过改进的经典谱估计法，是以牺牲分辨率和偏差来改善差性能的。但是在本信号源（确定信号+白噪声）分析中，很好的分辨出了相邻的两根谱线值。

4> Welch法

原理：

1把N 个数据分成K 段，每段可以互相独立(如平均期图法), 也可以互相交叠, 例如交叠一半, 即K = N / L 或K = (N-L /2) / (L /2)

2. 再把每段数据乘上窗函数w (n) (如加窗平滑法) 后作DFT。

()()()()

1

M

j n

i i i

n

X DFT x n w n x n w n eω

-

-

=

==

⎡⎤

⎣⎦

∑

()()2

1

ˆ

xi i

S X

M

ωω

=

()()

1

1

ˆˆ

K

xx xi

i

S S

UM

ωω

=

=∑

图7 一次welch法

图8 50次welch法平均

（红色：平均，蓝色：单次）

Welch法结合了平均期法和加窗平滑法的优点，保证了差性能，但是由于每段数据点数较少，所以在跟随峰值的面较差。对于本信号，使用welch法有较好的平均性。

5> Yule - Walker程（自相关法）

目标：找到已知参数和未知参数的关系，以便求解未知参数。

未知参数：2

12

,,,,:1

p

a a a p

σ+

L个