第十章 Stokes 公式【高等数学+同济大学】
第十章第节斯托克斯公式资料讲解
o
y
则 n 1 {1,1,1}
x
3
7
即 co sco sco s1,
3
1
1
1
3
I
x
y2 z2
3
y z2 x2
3 ds z
x2 y2
D xy
x y1 2
x y3 2
43(xyz)ds
(在 上 xyz3) 2
4 3
23ds
2
3
Dxy
3dxdy
9 2
.
8
三、物理意义---环流量与旋度
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线,是
以为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与
的侧符合右手规则, 函数
P( x, y, z),Q( x, y, z),R( x, y, z)
在包含曲面(R yQ z)dyd(zP zR x)dzdx(Q xP y)dxdy
[ R y ( Q z ) co ( P z s R x ) co ( Q x s P y ) c] o d
(P co Q sco s R co )dss
其中
的单 n c 位 i o c s 法 o j c sk o ,向
的单 t c 位 o i c s 切 o j c sk o 向
PdxQdyRdz
斯托克斯公式
2
便于记忆形式
dydzdzdxdxdy
x
y
z PdxQdyRdz
PQR
另一种形式
cos cos cos
x
y
z dsPdxQdyRdz
P QR
其 n {c , 中 c, o c o } o s s s
斯托克斯公式
d xd y
∂ ∂z
∫ zd x + xd y + yd z =
Γ ∑
∫∫
Σ
∂ ∂x
= ∫∫ d y d z + d z d x + d x d y
z
x
y
利用轮换对称性
= 3 ∫∫ d x d y
Σ
3 = 3 ∫∫ d x d y = . 2 D
xy
例2 利用斯托克斯公式计算曲线积分
I = ∫ ( y 2 − z 2 )dx + ( z 2 − x 2 )dy + ( x 2 − y 2 )dz
3 其中Γ 是用平面 x + y + z = 截立方体 : 2 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 的表面所得的截痕 , 若从 Ox轴的正向看去 , 取逆时 针方向. 3 解 取Σ为平面 x + y + z = 的上侧被 Γ 所围的部分， 2
Γ
1 {1, 1, 1}, Σ的单位法向量 n = 3 1 即 cosα = cos β = cos γ = 3 1 1 1 3 3 3
∂ ∂P ∂P Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z
∂P ⎞ ∂P ⎞ ⎛ ∂P ⎛ ∂P 左边 = − ∫∫ ⎜ fy + fy + ⎟ cos γdS = − ∫∫ ⎜ ⎟ d xd y ∂y ⎠ ∂y ⎠ ⎝ ∂z ⎝ ∂z Σ ∑ ∂P ∂P ∂ Q P [ x , y , f ( x , y )] = + ⋅ fy ∂y ∂y ∂z ∂ = − ∫∫ P [ x , y , f ( x , y )] dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx ∂y c ∂P ∂P ∴ ∫∫ dzdx − dxdy = ∫ P [ x , y , f ( x , y )] dx 成立 ∂y ∂z c
同济高等数学公式大全
270°+α -cosα sinα -ctgα -tgα
360°-α -sinα cosα -tgα -ctgα
360°+α sinα cosα tgα ctgα
sin( ) sin cos cos sin
cos( ) cos cos sin sin
tg (
)
tg 1 tg
2
2
高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：
n
(uv)(n)
C
k n
u
(nk
)
v
(
k
)
k 0
u (n)v nu (n1)v n(n 1) u (n2)v n(n 1)(n k 1) u v (nk ) (k ) uv(n)
2!
k!
中值定理与导数应用：
拉格朗日中值定理：f (b) f (a) f ( )(b a) 柯西中值定理：f (b) f (a) f ( )
s0 s ds(1 ຫໍສະໝຸດ y2 )3直线： K 0;
半径为 a的圆： K 1 . a
定积分的近似计算：
b
矩形法：
a
f
(x)
b
n
a
(
y0
y1
yn1 )
b
梯形法：
a
f
(x)
b
n
a
[1 2
(
y0
yn
)
y1
yn1 ]
b
抛物线法：
a
f
(x)
ba 3n
[(
y0
yn
)
2(
y2
y4
yn2
)
4(
y1
y3
(完整版)同济高等数学公式大全
高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin 2cos 2sin sin 2cos2sin 2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμx xarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x xxx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
第十章 Stokes 公式
2u 2u 2u = 2 + 2 + 2 = u x y z
------Laplace算子
A = Pi + Qj + Rk
P Q R A= + + = divA x y z i × A= x P j y Q k = rotA z R
z0
z
y0
o x
M1
y
M2
四,物理意义---环流量与旋度 物理意义---环流量与旋度 --1. 环流量的定义: 环流量的定义:
设向量场 A( x , y , z ) = P ( x , y , z )i + Q ( x , y , z ) j + R( x , y , z )k 则沿场 A中某一封闭的有向曲线 C上的曲线积分 Γ = ∫ A ds = ∫ Pdx + Qdy + Rdz
xy
1
根椐格林公式
∫∫
Dxy
P[ x, y, f ( x, y)]dxdy = ∫ P[ x, y, f ( x, y)]dx c y
P P 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫cP[ x, y, f ( x, y)]dx 2 y ∑ z
平面有向曲线
P P ∫∫ z dzdx y dxdy = ∫Γ P( x, y, z)dx, ∑ 空间有向曲线
P P P P f y )dxdy 即 ∫∫ dzdx dxdy = ∫∫ ( + y z ∑ z ∑ y
P P P[ x , y , f ( x , y )] = + fy y y z
10-7斯托克斯公式与旋度
Q Q 同理可证 Q d y d xd y d yd z L x z R R L R d x y d y d z x d z d x
三式相加, 即得斯托克斯公式。
定理1 目录 上页 下页 返回 结束
情形2：
曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个，则可 通过作辅助曲线把 分成与 z 轴只交于一点的几 部分，在每一部分上应用斯托克斯公式，然后相 加，由于沿辅助曲线方向相反的两个曲线积分相 加刚好抵消，所以对这类曲面斯托克斯公式仍成 立。 证毕
R Q P R Q P ( )dydz ( )dzdx ( )dxdy y z z x x y
Pdx Qdy Rdz
L
——斯托克斯公式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
n
右手法则
L是有向曲面 的 正向边界曲线
z
L
证明： 情形1：如右图
第七节
第十章
斯托克斯公与旋度
一、斯托克斯公式 二、空间曲线积分与路径 无关的条件 三、环流量与旋度
机动
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结束
一、斯托克斯(stokes)公式
定理 1： 设 L 为分段光滑的空间有向闭曲线， 是以 L 为边界的分片光滑的有向曲面， L 的正向与 的侧符 合右手规则，函数 P ( x , y , z ) , Q ( x , y , z ) , R( x , y , z ) 在包 含曲面 在内的一个空间区域内具有一阶连续偏导数, 则有公式：
( 4 ) (1 ) 由斯托克斯公式可知结论成立.
定理2 目录
证毕
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说明： 同平面曲线一样，当曲线积分
数学分析 Stokes 公式
有时也用 curlX 表示旋度. 利用旋度, Stokes 公式可以改写为
rotX · n dσ = X · T ds,
Ω
∂Ω
其中 n 为曲面的单位法向量, T 为曲线的单位切向量, s 为弧长参数.
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂R ∂Q
∂P ∂R
∂Q ∂P
− dy ∧dz+ − dz∧dx+ − dx∧dy = P dx+Q dy+R dz.
Ω ∂y ∂z
∂z ∂x
∂x ∂y
∂Ω
我们只证明一个特殊情形: 假定 ϕ : D → R3 为定向曲面的 C2 参数表示, 且 ϕ(Ω˜ ) = Ω, Ω˜ 为 D ⊂ R2 中的有界区域. 根据诱导定向的定义, ∂Ω˜ 的定向也是平
关于 Q, R 有完全类似的等式, 将它们代入前式可得 Tu − Sv = Py (yuxv − xuyv ) + Pz (zuxv − xuzv ) + Qx (xuyv − yuxv ) + Qz (zuyv − yuzv ) + Rx (xuzv − zuxv ) + Ry (yuzv − zuyv ),
∂x ∂y
∂Ω
Stokes 公式
(Stokes 公式)
设 Σ 为定向曲面, Ω 为曲面上的有界区域, 其边界赋以诱导定向. 如果 P, Q, R 为 Ω 附近的 C1 函数, 则
同济大学高等数学公式大全共15页文档
高等数学公式导数公式： 基本积分表：ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式： ·诱导公式：⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x Cx dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin(μμμ·倍角公式： ·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑ΛΛΛ中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
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R
rotA ndS A t ds
斯托克斯公式成立的条件
斯托克斯公式的物理意义
练习题
一、 计 算 3 ydx xzdy yz 2dz , 其 中 是 圆 周 x2 y2 2z , z 2 若从z 轴正向看去,这圆周是 逆时针方向 .
二、 计 算 y 2dx z 2dy x 2dz , 其 中 是 球 面 x 2 y 2 z 2 a 2 和 园 柱 面 x 2 y 2 ax 的 交 线 (a 0 , z 0),从x 轴正向看去,曲线为逆时针方
C
a
a
( x y)d[b(1 x )]
a
C
[(1
b) a
y
b]dx
[b
(1
b) a
x]dy
D
2(1
b a
)dxdy
2a(a b)
Green公式
三、空间曲线积分与路径无关的条件
前面我们利用Green公式得到了平面曲线积分
与路径无关的条件，完全类似地，利用Stokes 公 式可推得空间曲线积分与路径无关的条件
x2 y2 a2
x z 1 ab
消去 x 得
(z
b)2 b2
y2 a2
1
dydz dydz ab （椭圆面积）
D yz
在 xoy 面的投影：x2 y2 a2
dxdy dxdy a2
Dxy
（圆面积）
Pdx Qdy Rdz 2a(a b)
定理 设 为分段光滑的空间有向闭曲线, 是以 为边界的分片光滑的有向曲面, 的正向与 的侧符合右手规则, 函数P( x, y, z),Q( x, y, z) , R( x, y, z)在包含曲面 在内的一个空间区域内具
有一阶连续偏导数, 则有公式
(R y
Q z
)dydz
2a(a b)
解三 投影方法
将
:
x
2 y2 xz ab
a 1
2
投影到 xoy
面得投影曲线
C : x2 y2 a2 （逆时针方向）
记 C 所围区域为 D
I Pdx Qdy Rdz
[ y b(1 x)]dx [b(1 x) x]dy
Q x
dxdy
Q z
dydz
Q(
x,
y,
z
)dy,
R y
dydz
R x
dzdx
R(
x,
y,
z
)dz
,
R Q
P R
Q P
(
y
z
)dydz
( z
)dzdx x
( x
)dxdy y
Pdx Qdy Rdz .. 故有结论成立.
解二 化为参变量的定积分计算
令
x y
cos t sin t
则 z b(1 x ) b(1 cos t) a
2
I [a sin t b(1 cos t)](a sin t)
0
[b(1 cos t) a cos t]a cos t [a cos t a sin t]bsin t
div(rotA) 0
rot(gradu) 0
---------即旋度场是无源场 ---------即梯度场是无旋场
六、小结
cos cos cos
斯托克斯公式
x
ds y z
PQR
dydz dzdx dxdy
x
P
y Q
z
Pdx Qdy Rdz
向.
三、 求向量场 A (z sin y)i (z x cos y) j 的旋度 .
四、利用斯托克斯公式把曲面积分 rot A nds 化成曲 线积分,并计算积分值,其中A , 及n 分别如下: A y 2 i xy j xzk , 为上半个球面 z 1 x 2 y 2 的上侧, n 是 的单位法向量.
刚体在每一点的线速度构成一线
速场，则向量 r OM x, y, z
在点 M 处的线速度场的旋度 等于角速度的 2 倍
L
o
v
M
解
由力学知道点
M
的线速度为
i jk
v r 1 2 3
由此可看出速 度场的旋度与 旋转角速度的来自观察旋度rot v
x
2
即
P
P
P P
dzdx z
y
dxdy
(
y
z
f y )dxdy
y
P[ x,
y,
f
( x,
y)]
P y
P z
fy
P z
dzdx
P y
dxdy
Dxy
P[ x, y
y,
f
(
x,
y)]dxdy
,
1
根椐格林公式
1
y
, 2
z 2,
2
3
关 系2.
.
五、向量微分算子
i
j
k
---------Hamilton 算子
x y z
u gradu
2u u gradu
(
i
j
k
)
(u
i
u
j
u
k)
x y z x y z
i jk
环流量
CA
ds
x
y
ds z
PQR
2. 旋度的定义:
i jk
称向量
为向量场的旋度
(rotA)
.
x y z
PQR
i jk
旋度
rotA
x y z
PQR
(R
Q
)i
(P
R
)
j
(
Q
P
)k .
y z z x x y
斯托克斯公式的又一种形式
[(
R y
Q ) cos
z
(P z
R)cos
x
(Q x
P )cos
y
]dS
(P cos Q cos Rcos )ds
其中
的单位法向量为
n
y z
z x
x y
At
A
n
P cos
Qcos
Rcos
环流量
rotA
ds
Atds
Stokes公式的物理解释:
向 量场A沿有向闭曲线 的环流量等于向量场 A的旋度场通过 所张的曲面的通量.( 的正 向与 的侧符合右手法则)
例转4动，设其一角刚速体度绕为过原点的1 ,某 2个,轴3
( x,y,z)
u( x, y, z)
Pdx Qdy Rdz
( x0 , y0 ,z0 )
zM
x
y
u( x, y, z) P( x, y0, z0 )dx Q( x, y, z0 )dy M0
x0
z
y0
o
y
R( x, y, z)dz
z0
x
M1
M2
四、物理意义---环流量与旋度
(P z
R x
)dzdx
(Q x
P y
)dxdy
Pdx Qdy Rdz
n
右手法则
是有向曲面 的
正向边界曲线
证明 如图
设Σ 与平行于z 轴的直线
z n
:z f (x, y)
相交不多于一点, 并Σ 取
上侧,有向曲线 C 为Σ 的正
向边界曲线 在 xoy 的投 影.且所围区域Dxy . x
空间一维单连域：若 G 内任一闭曲线总可以 张一张完全属于 G 的曲面，则称 G 为空间一维 单连域，或称 G 为按曲面是单连通区域
定理 设G是空间一维单连域，P,Q, R在G内具有 一阶连续偏导数，则空间曲线积分
Pdx Qdy Rdz在G内与路径无关（或沿G内
任一闭曲线的曲线积分为0）的充要条件是 P Q , Q R , R P 在G内恒成立 y x z y x z
cos
i
cos
j
cos
k,
的单位切向量为
t cos i cos j cos k
斯托克斯公式的向量形式