2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期9月阶段调研测试数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期9月阶段调研测试数学试题一、单选题 1．在等差数列中，若=4，=2，则= （ ）A ．-1B ．0C ．1D ．6【答案】B 【解析】在等差数列中，若，则，解得，故选B.2．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．不确定【答案】C【解析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值. 【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=± 当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C. 【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.3．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+（0πx <<） C ．4e e x x y -=+ D ．3log log 3x y x =+（01x <<）【答案】C【解析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】解：对于A ：当0x <时，44y x x=+-…，∴该函数的最小值不是4，排除A ；对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；对于C ：44x x y e e -=+…，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，4e e x x y -∴=+的最小值为4，对于D ：01x <<Q ，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题 4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤ D ．{|04}a a ≤≤【答案】D【解析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。
【详解】设()21f x ax ax =-+当0a =时，()10f x =>，满足题意 当0a ≠时，()f x 时二次函数 因为{}2|10A x ax ax =-+<=∅所以()21f x ax ax =-+恒大于0，即0≤n所以240a a -≤，解得04a ≤≤。
【点睛】本题考察的是集合和带有未知数的函数的综合题，需要对未知数进行分类讨论。
5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若624S a =，33a =，则10a =（ ） A ．3- B ．3C ．6-D ．6【答案】A【解析】111103661544,23737a d a d a d d a a d +=++=⇒=-∴=+=-，选A. 6．在正数组成的等比数列{a n }中，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25C ．50D ．不存在 【答案】A【解析】∵正数组成的等比数列，，∴，∴，当且仅当时，取最小值20，故选A.7．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =- B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-【答案】D【解析】S n ＝()111na q q--＝11n a q a q -⋅-＝21313na -＝3－2a n .8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年【答案】B【解析】试题分析：设从2015年开始第n 年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得()11200130112%200, 1.12130n n --⨯+≥∴≥， 两边取常用对数得200(1)lg1.12lg,130n -≥lg 2lg1.30.30.111 3.8,5lg1.120.05n n --∴-≥==∴≥，故从2019年开始，该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，故选B. 【考点】增长率问题，常用对数的应用【名师点睛】本题考查等比数列的实际应用．在实际问题中平均增长率问题可以看作等比数列的应用，解题时要注意把哪个数作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可求解．9．已知数列{}22n n λλ++是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞【答案】A【解析】由已知条件推导出12120n n a a n λ+-=++>恒成立，由此能求出实数λ的取值范围． 【详解】解：Q 数列{}22n n λλ++的通项公式为22n a n n λλ=++，数列{}n a 是递增数列，1n n a a +∴-22(1)2(1)2n n n n λλλλ⎡⎤=++++-++⎣⎦2120n λ=++>恒成立212n λ++Q 的最小值是2112320λλ⨯++=+>32λ∴>-即实数λ的取值范围是3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭． 故选：A ． 【点睛】本题考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意单调性的灵活运用，属于中档题．10．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b < B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b aa b< 【答案】C 【解析】【详解】若a <b <0,则a 2>b 2，A 不成立；若220{,ab a b ab a b>⇒<<B 不成立；若a =1，b=2，则12,2b a b aa b a b==⇒>,所以D 不成立 ,故选C. 11．已知数列为等差数列,若,且其前项和有最大值,则使得的最大值为A ．11B ．19C ．20D ．21 【答案】B 【解析】因为,所以一正一负,又因为其前项和有最大值,所以,则数列的前10项均为正数,从第11项开始都是是负数,所以又因为,所以,即,所以使得的最大值为19.选B.12．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（ ） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593【答案】A【解析】首先可得()()11f x f x +-=，又2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，则20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即20191n n a a -+=，则可得20181009S =，再由()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭及201920182019S S a =+计算可得； 【详解】解：因为()442xx f x =+，所以()114214242x x xf x ---==++ 所以()()21414242xx x f x f x +=-+=++因为2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭所以2019n n a f ⎛⎫=⎪⎝⎭，20192019120192019n n n f f a --⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以20191n n a a -+=则数列{}n a 的前2018项和2018S 则1220182018a a S a =+++L2018212018017S a a a =+++L所以201820182S =所以20181009S = 又()91201120119422019423a f f ⎛⎫==== ⎪+⎝⎭20192018201923029100933S S a ∴=+=+=故选：A 【点睛】本题考查数列的递推公式的应用，函数与数列，倒序相加法求和，属于中档题.二、填空题13．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 【答案】1213. 【解析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误．14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 【答案】63-【解析】首先根据题中所给的21n n S a =+，类比着写出1121n n S a ++=+，两式相减，整理得到12n n a a +=，从而确定出数列{}n a 为等比数列，再令1n =，结合11,a S 的关系，求得11a =-，之后应用等比数列的求和公式求得6S 的值. 【详解】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=， 当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-， 所以数列{}n a 是以-1为首项，以2为公比的等比数列，所以66(12)6312S --==--，故答案是63-.点睛：该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.15．已知数列{}n a 中，11a =,()()12123n n n a n a -+=-（2n ≥）则数列{}n a 的通项公式为n a =______. 【答案】()()32121n n -+【解析】通过对1(21)(23)(2)n n n a n a n -+=-…变形可知123(2)21n n a n n a n --=+…，进而利用累乘法计算即得结论． 【详解】解：1(21)(23)(2)n n n a n a n -+=-Q …， ∴123(2)21n n a n n a n --=+…， ∴122521n n a n a n ---=-，⋯，3237a a =，2115a a =， 累乘得：113(21)(21)n a a n n ⨯=+-，又11a =Q ， ()()32121n n a n -=+∴，故答案为：()()32121n n -+．【点睛】本题考查数列的通项，利用累乘法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．16．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 【答案】14【解析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-， 且：312228aa bb -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224aba b ---+≥⨯⨯=⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误．三、解答题17．解不等式组23216210x x x x -⎧≤⎪-⎨⎪-->⎩ 【答案】[－2，－12)∪(1，6)． 【解析】先解分式不等式，再解一元二次不等式，最后求两者交集. 【详解】 解：≤1⇒≤0⇒x ∈[－2，6)，2x 2－x －1>0⇒(2x ＋1)(x －1)>0 ⇒x ∈(－∞，－)∪(1，＋∞)，所以原不等式组的解为x ∈[－2，－)∪(1，6)． 【点睛】本题考查分式不等式解法以及一元二次不等式解法，考查基本求解能力.18．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差d 为整数，且满足13243,5a a a a +<+>.数列{}n b 满足11n n n b a a +=，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）21n a n =-（2）n S 21nn =+ 【解析】（1）依题意，可得到关于公差d 的不等式组，解出d 的取值范围，再由d 为整数即可得到d ，即可求得数列{}n a 的通项公式； （2）利用裂项相消法求和； 【详解】解：（1）∵132435a a a a +<⎧⎨+>⎩即11113253a a da d a d +<+⎧⎨++>+⎩ ∴3252d d ⎧>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，∴3522d <<， 又∵d Z ∈，∴2d =， ∴21n a n =-. （2）()()1111212122121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭∴111111123352121n S n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111221n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭21nn =+. 【点睛】本题考查等差数列的通项公式的应用以及裂项相消法求和，属于基础题. 19．已知数列{}n a 满足：()*111,22,n n n a n a a a n N +=-=∈.（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设*35,n n n b a n N n-=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（1）见解析；（2）()3828nn -⋅+【解析】试题分析：（1）根据题意，可化简得121n n a a n n +=⋅+，即可得到数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列.（2）由（1）知，求得()1352n n b n -=-⋅，再利用乘公比错位相减法，即可求解数列{}n b 的前n 项和. 试题解析:（1）∵()n 1n n n a 2a 2a +-=，∴()n 1n na 2n 1a +=+，∴n 1n a a 2n 1n +=⋅+，则数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知，n 1na 2n-=，∴n 1n a n 2-=⋅，∴()n 1n b 3n 52-=-⋅. ∴()()012n 2n 1n S 2212423n 823n 52--=-⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，()()123n 1n n 2S 2212423n 823n 52-=-⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ，∴()()12n 1nn S 232223n 52--=-++++--⋅L()()()n 1nn 212233n 52883n 212--=-+⋅--⋅=-+-⋅-，∴()nn S 3n 828=-⋅+.20．要制作一个如图的框架（单位：米）.要求所围成的总面积为19.5（），其中是一个矩形，是一个等腰梯形，梯形高，，设米，米.（1）求关于的表达式；（2）如何设计，的长度，才能使所用材料最少？【答案】（1）y ＝－x （2）AB ＝3m ，BC ＝4m【解析】(1)如图，在等腰梯形CDEF 中，DH 是高．依题意：DH ＝AB ＝x ，EH ＝×x ＝x ， ∴＝xy ＋ x ＝xy ＋x 2，∴y ＝－x.∵x ＞0，y ＞0，∴－x ＞0，解之得0＜x ＜. ∴所求表达式为y ＝－x .(2)在Rt △DEH 中，∵tan ∠FED ＝，∴sin ∠FED ＝，∴DE ＝＝x×＝x ，∴l ＝(2x ＋2y)＋2×x ＋＝2y ＋6x ＝－x ＋6x ＝＋x≥2＝26， 当且仅当＝x ，即x ＝3时取等号，此时y ＝－x ＝4，∴AB ＝3m ，BC ＝4m 时，能使整个框架所用材料最少．21．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设24n n n c b -=（n *∈N ），若存在n *∈N ，使不等式219n k k c -≤成立，求实数k 的取值范围.【答案】（1）21n a n =-，3n n b =（2）2193k -≤≤【解析】（1）运用等比中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差d ，进而得到n a ，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求n b ；（2）首先可得n c 的通项公式，再证明n c 的单调性，存在n *∈N 使不等式219n k k C -≤成立，即()2max 19n k k C -≤，最后解一元二次不等式即可； 【详解】解：（1）∵2514,,a a a 分别是等比数列{}n b 的前三项，∴25214a a a =， ∴()()()2111413a d a d a d +=++，∴212a d d =，11a =， ∵0d >，∴2d =，∴21n a n =-，∴13b =，259b a ==，∴1333n n n b -=⨯=.（2）243n nn C -=∵1112224104333n n n n n n n n C C +++----=-=， ∴2n ≤时，10n n C C +->，即123C C C <<，3n ≥时，10n n C C +-<，即34C C >>⋅⋅⋅，∴()3max 227n C C ==， ∵存在n *∈N 使不等式219n k k C -≤成立， ∴()2max 12927n k k C -≤=， ∴2193k -≤≤. 【点睛】本题考查等差、等比数列的通项公式的计算，数列的单调性的计算，以及一元二次不等式的解法，属于中档题.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()1122n n n S a a =-+且0n a >（n *∈N ）.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项的和n T . 【答案】（1）1n a n =+（2）()24,247,2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨++⎪-⎪⎩为偶数为奇数 【解析】（1）由1n n n a S S -=-可得{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列，即可求出数列的通项公式；（2）当n 为偶数时利用裂项相消计算可得，当n 为奇数时11n n n T T b ++=-计算可得；【详解】解：（1）∵()()112,2n n n S a a n *=-+∈N ， ∴2n ≥时，()()1111122n n n S a a ---=-+， ∴()()()()1111121222n n n n n a a a a a --=-+--+， ∴()()1110n n n n a a a a --+--=（2n ≥），∵0n a >，∴11n n a a --=（2n ≥），又当1n =时，()()11111122S a a a ==-+， ∴12a =，∴{}n a 是首项为2，公差为1的等差数列.∴1n a n =+.（2）()()()112n n b n n =-++，当n 为偶数时，123n n T b b b b =+++⋅⋅⋅+123344512n n a a a a a a a a a a +=-+-+++L()242n a a a =++⋯+()31222n n ++=⨯⨯ ()42n n +=当n 为奇数，11n n n T T b ++=- ()()()()15232n n n n ++=-++2472n n ++=- 综上：()24,247,2n n n n T n n n ⎧+⎪⎪=⎨++⎪-⎪⎩为偶数为奇数. 【点睛】本题考查由n a 与n S 的关系求{}n a 的通项公式，裂项相消法求和，属于中档题.。
江苏省苏州市常熟市2019_2020学年高二数学上学期期中试题(含解析)
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F1PF2 90 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围为
A. (0, 2 ] 2
B. [ 2 ,1) 2
C. (0, 3 ] 2
D. [ 3 ,1) 2
【答案】B
【解析】
由椭圆上存在点 P ，使 F1PF2 90 可得以原点为圆心，以 c 为半径的圆与椭圆有公共点， ∴c b，
所以
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a2 a1 41 ， a3 a2 4 2
an an1 4 (n 1) 累加得： an a1 4[1 2 3 (n 1)] 2n(n 1) ，
所以 an 2n2 2n 21 ，
故 an 2n 21 2 ，
m4 所以 c 1， 若焦点在 x 轴上，则12 m 4 ，得 m 5 ，
若焦点在 y 轴上，则12 4 m ，得 m 3 ，
故选：C
【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程，属于容易题.
6.设等比数列an 的前
n
项和为 Sn ，若 a6
2a3
，则
S9 S6
的值为（
）
A. 2
7
B.
C. 8
3a
2 2
，当 t
4a2 3
时，取得最小值，由此能求出结果.
【
详
解
】
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an2
2Sn21 (n 1)2
[a2
(n
2)d ]2
2[a1(n
1) n(n 1) d ]2 2
江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高二上学期9月阶段调研测试数学试题
绝密★启用前江苏省苏州市常熟中学2019-2020学年高二上学期9月阶段调研测试数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6= （ ） A ．-1B ．0C ．1D ．62．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3B ．3C ．－3D ．不确定3．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+（0πx <<） C ．4e e x x y -=+ D ．3log log 3x y x =+（01x <<）4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a << B ．{|04}a a ≤< C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若624S a =，33a =，则10a =（ ） A ．3-B ．3C ．6-D ．66．在正数组成的等比数列{a n }中，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在7．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=）A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年9．已知数列{}22n n λλ++是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞10．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b<D ．b a a b< 11．已知数列{a n }为等差数列,若a11a 10<−1,且其前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为A ．11B ．19C ．20D ．2112．已知函数()442x x f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（ ） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题13．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 15．已知数列{}n a 中，11a =,()()12123n n n a n a -+=-（2n ≥）则数列{}n a 的通项……○………学校:________……○………16．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128a b+的最小值为_____________. 三、解答题17．解不等式组23216210x x x x -⎧≤⎪-⎨⎪-->⎩18．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差d 为整数，且满足13243,5a a a a +<+>.数列{}n b 满足11n n n b a a +=，其前n 项和为n S . （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .19．已知数列{}n a 满足：()*111,22,n n n a n a a a n N +=-=∈.（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；（2）设*35,n n n b a n N n-=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S . 20．要制作一个如图的框架（单位：米）.要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形， EFCD 是一个等腰梯形，梯形高ℎ=12AB ， tan∠FED =34，设AB =x 米， BC =y 米.（1）求y 关于x 的表达式；（2）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？21．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设24n n n c b -=（n *∈N ），若存在n *∈N ，使不等式219n k k c -≤成立，求实数k 的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()1122n n n S a a =-+且0n a >（n *∈N ）. （1）数列{}n a 的通项公式；（2）设()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项的和n T .参考答案1．B 【解析】在等差数列{a n }中，若a 2=4,a 4=2，则a 4=12(a 2+a 6)=12(4+a 6)=2，解得a 6=0，故选B. 2．C 【解析】 【分析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值. 【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=±当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C.【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识. 3．C 【解析】 【分析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】解：对于A ：当0x <时，44y x x=+-„，∴该函数的最小值不是4，排除A ；对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；对于C ：44x x y e e -=+…，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，4e e x x y -∴=+的最小值为4，对于D ：01x <<Q ，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ， 故选：C ．【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题 4．D 【解析】 【分析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。
江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷
江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置．．．．．．．上．1．已知集合，集合，则______．2．命题：“”的否定是__________．3．写出命题“若，则或”的否命题为__________．4．命题“”是“”的__________条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）5．已知函数f(x)=的图象一定过点P,则P点的坐标是__________.6．函数f(x)= 的值域是____________7．函数的单调增区间为 _________.8．用“”将，，从小到大排列是__________．9. 方程的解在区间（k，k 1）（）上，则k =_______．10．已知函数，则曲线在点处切线的倾斜角为__________．11.已知函数,则_____.12. 已知奇函数满足的值为___________ 。
13．定义在R上的偶函数f(x), 当x≥0时,f(x)为减函数。
若f(1－m)<f(m),则实数m的取值范围是________.14已知二次函数f （x ）=ax 2+bx+1的导函数为f ′（x ），f ′（0）＞0，f （x ）与x 轴恰有一个交点，则的最小值为 ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内．．．．．．．．作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ，E 是BC 的中点，求证： （1）平面AB 1E ⊥平面B 1BCC 1； （2）A 1C //平面AB 1E ．16．（本小题满分14分）在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos B ＝45．（1）若c ＝2a ，求sin Bsin C的值； （2）若C －B ＝π4，求sin A 的值．17．（本小题满分14分）某工厂有100名工人接受了生产1000台某产品的总任务，每台产品由9个甲型装置和3个乙型装置配套组成，每个工人每小时能加工完成1个甲型装置或3个乙型装置．现将工人分成两组分别加工甲型和乙型装置．设加工甲型装置的工人有x 人，他们加工完甲型装置所需时间为t 1小时，其余工人加工完乙型装置所需时间为t 2小时．设f (x )＝t 1＋t 2．A 1B 1C 1ABCE(第15题）（1）求f (x )的解析式，并写出其定义域； （2）当x 等于多少时，f (x )取得最小值？18．（本小题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，且过点(1，32)．过椭圆C 的左顶点A 作直线交椭圆C 于另一点P ，交直线l ：x ＝m (m ＞a )于点M ．已知点B (1，0)，直线PB 交l 于点N ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若MB 是线段PN 的垂直平分线，求实数m 的值．19．（本小题满分16分）已知函数f (x )＝2x 3－3(a +1)x 2＋6ax ，a ∈R ．（1）曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线的斜率为3，求a 的值；（2）若对于任意x ∈(0，+∞)，f (x )＋f (－x )≥12ln x 恒成立，求a 的取值范围； （3）若a ＞1，设函数f (x )在区间[1，2]上的最大值、最小值分别为M (a )、m (a )，yxBAMNOP(第18题）l记h(a)＝M(a)－m(a)，求h(a)的最小值．20．(本小题满分16分)已知数列{a n}的各项均为正数，记数列{a n}的前n项和为S n，数列{a n2}的前n项和为T n，且3T n＝S n2＋2S n，n∈N*．（1）求a1的值；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）若k，t∈N*，且S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，求k和t的值．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题21．【选做题】在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答卷．．卡指定区域内．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．选修4—1：几何证明选讲如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DA＝DC．求证： CA＝3CB．DA B COB ．选修4—2：矩阵与变换设二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234．（1）求A －1；（2）若曲线C 在矩阵A 对应的变换作用下得到曲线C ：6x 2－y 2＝1，求曲线C 的方程．C ．选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t （t为参数），圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin （θ为参数）．若直线l 与圆C 相切，求实数a 的值．D ．选修4—5：不等式选讲解不等式：|x －2|＋|x ＋1|≥5．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答卷卡指定区域内．．．．．．．．作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，AD ∥BC ，AP ＝AB ＝AD＝1．（1）若直线PB 与CD 所成角的大小为π3，求BC 的长； （2）求二面角B －PD －A 的余弦值．CDPBA23．（本小题满分10分）袋中有形状和大小完全相同的四种不同颜色的小球，每种颜色的小球各有4个，分别编号为1，2，3，4．现从袋中随机取两个球． （1）若两个球颜色不同，求不同取法的种数；（2）在（1）的条件下，记两球编号的差的绝对值为随机变量X ，求随机变量X 的概率分布与数学期望．江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.） 1．；2．； 3．若，则且； 4．充分不必要5、P(-1,4)；6、； 7、； 8、9、2； 10、； 11、1； 12、；13、； 14、2二、解答题（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内） 15．（本小题满分14分）证明：（1）在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CC 1平面ABC ． 因为AE 平面ABC ，所以CC 1AE ． ……………2分 因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE BC ． 因为BC 平面B 1BCC 1，CC 1平面B 1BCC 1，且BC ∩CC 1＝C ，所以AE 平面B 1BCC 1． ………………5分 因为AE 平面AB 1E ，所以平面AB 1E 平面B 1BCC 1. ……………………………7分 （2）连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝F ，连接EF ．在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形AA 1B 1B 为平行四边形，所以F 为A 1B 的中点． ……………………………9分A 1B 1C 1 A BC E(第15题） F又因为E是BC的中点，所以EF∥A1C．……………………………11分因为EF平面AB1E，A1C平面AB1E，所以A1C∥平面AB1E. ……………………………14分16．（本小题满分14分）解：（1）解法1在△ABC中，因为cos B＝45，所以a2＋c2－b22ac＝45．………………………2分因为c＝2a，所以(c2)2＋c2－b22c×c2＝45，即b2c2＝920，所以bc＝3510．……………………………4分又由正弦定理得sin Bsin C＝bc，所以sin Bsin C＝3510．……………………………6分解法2因为cos B＝45，B∈(0，)，所以sin B＝1－cos2B＝35．………………………2分因为c＝2a，由正弦定理得sin C＝2sin A，所以sin C＝2sin(B＋C)＝65cos C＋85sin C，即－sin C＝2cos C．………………………4分又因为sin2C＋cos2C＝1，sin C＞0，解得sin C＝25 5，所以sin Bsin C＝3510．………………………6分（2）因为cos B＝45，所以cos2B＝2cos2B－1＝725．…………………………8分又0＜B＜π，所以sin B＝1－cos2B＝3 5，所以sin2B＝2sin B cos B＝2×35×45＝2425．…………………………10分因为C－B＝π4，即C＝B＋π4，所以A＝π－(B＋C)＝3π4－2B，所以sin A＝sin(3π4－2B)＝sin 3π4cos2B－cos3π4sin2B ………………………………12分＝22×725－(－22)×2425＝31250．…………………………………14分17．（本小题满分14分）解：（1）因为t1＝9000x，………………………2分t 2＝30003(100－x)＝1000100－x，………………………4分所以f(x)＝t1＋t2＝9000x＋1000100－x，………………………5分定义域为{x|1≤x≤99，x∈N*}．………………………6分（2）f(x)＝1000(9x＋1100－x)＝10[x＋(100－x)](9x＋1100－x)＝10[10＋9(100－x)x＋x100－x]．………………………10分因为1≤x≤99，x∈N*，所以9(100－x)x＞0，x100－x＞0，所以9(100－x)x＋x100－x≥29(100－x)xx100－x＝6，…………………12分当且仅当9(100－x)x＝x100－x，即当x＝75时取等号．…………………13分答：当x＝75时，f(x)取得最小值．………………………14分18．（本小题满分16分） 解：（1）因为椭圆C 的离心率为32，所以a 2＝4b 2． ………………………2分 又因为椭圆C 过点(1，32)，所以1a 2＋34b 2＝1， ………………………3分解得a 2＝4，b 2＝1．所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1． ………………………5分 （2）解法1设P (x 0，y 0)，－2＜x 0＜2， x 0≠1，则x 024＋y 02＝1．因为MB 是PN 的垂直平分线，所以P 关于B 的对称点N (2－x 0，－y 0)， 所以2－x 0＝m ． ………………………7分 由A (－2，0)，P (x 0，y 0)，可得直线AP 的方程为y ＝y 0 x 0＋2(x ＋2)，令x ＝m ，得y ＝y 0(m ＋2) x 0＋2，即M (m ，y 0(m ＋2)x 0＋2)．因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1，所以k PB ·k MB ＝y 0x 0－1·y 0(m ＋2)x 0＋2 m －1＝－1， ………………………10分即y 02（m ＋2）(x 0－1)( x 0＋2)( m －1)＝－1． 因为x 024＋y 02＝1．所以( x 0－2)(m ＋2)4(x 0－1) ( m －1)＝1． ………………………12分因为x 0＝2－m ，所以化简得3m 2－10m ＋4＝0， 解得m ＝5±133． ………………………15分 因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 解法2①当AP 的斜率不存在或为0时，不满足条件． ………………………6分 ②设AP 斜率为k ，则AP ：y ＝k (x ＋2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k (x ＋2)，消去y 得(4k 2＋1)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0．因为x A ＝－2，所以x P ＝－8k 2＋24k 2＋1，所以y P＝4k 4k 2＋1， 所以P (－8k 2＋24k 2＋1，4k4k 2＋1)． ………………………8分因为PN 的中点为B ，所以m ＝2－－8k 2＋24k 2＋1＝16k 24k 2＋1．(*) ……………………10分因为AP 交直线l 于点M ，所以M (m ，k (m ＋2))，因为直线PB 与x 轴不垂直，所以－8k 2＋24k 2＋1≠1，即k 2≠112，所以k PB ＝4k4k 2＋1－8k 2＋24k 2＋1－1＝－4k 12k 2－1，k MB＝k (m ＋2)m －1． 因为PB ⊥MB ，所以k PB ·k MB ＝－1， 所以－4k 12k 2－1·k (m ＋2)m －1＝－1．（**） ………………………12分 将(*)代入（**），化简得48k 4－32k 2＋1＝0，解得k 2＝4±1312，所以m ＝16k 24k 2＋1＝5±133． ………………………15分又因为m ＞2，所以m ＝5＋133． ………………………16分 19．（本小题满分16分）解：（1）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ，所以曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率k ＝f ′(0)＝6a ，所以6a ＝3，所以a ＝12． ………………………2分（2）f (x )＋f (－x )＝－6(a ＋1)x 2≥12ln x 对任意x ∈(0，+∞)恒成立，所以－(a ＋1)≥2ln xx 2． ………………………4分令g (x )＝2ln xx 2，x ＞0，则g (x )＝2(1－2ln x )x 3．令g(x )＝0，解得x ＝e ．当x ∈(0，e)时，g(x )＞0，所以g (x )在(0，e)上单调递增； 当x ∈(e ，＋∞)时，g(x )＜0，所以g (x )在(e ，＋∞)上单调递减．所以g (x )max ＝g (e)＝1e ， ………………………6分所以－(a ＋1)≥1e ，即a ≤－1－1e，所以a 的取值范围为(－∞，－1－1e ]． ………………………8分（3）因为f (x )＝2x 3－3(a ＋1)x 2＋6ax ，所以f ′(x )＝6x 2－6(a ＋1)x ＋6a ＝6(x －1)(x －a )，f (1)＝3a －1，f (2)＝4． 令f ′(x )＝0，则x ＝1或a ． ………………………10分 f (1)＝3a －1，f (2)＝4．①当1＜a ≤53时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增． 又因为f (1)≤f (2)，所以M (a )＝f (2)＝4，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝4－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋4． 因为h (a )＝3a 2－6a ＝3a (a －2)＜0， 所以h (a )在(1，53]上单调递减，所以当a ∈(1，53]时，h (a )最小值为h (53)＝827．………………………12分②当53＜a ＜2时，当x ∈(1，a )时，f (x )＜0，所以f (x )在(1，a )上单调递减； 当x ∈(a ，2)时，f (x )＞0，所以f (x )在(a ，2)上单调递增．又因为f (1)＞f (2)，所以M (a )＝f (1)＝3a －1，m (a )＝f (a )＝－a 3＋3a 2， 所以h (a )＝M (a )－m (a )＝3a －1－(－a 3＋3a 2)＝a 3－3a 2＋3a －1． 因为h (a )＝3a 2－6a ＋3＝3(a －1)2≥0． 所以h (a )在(53，2)上单调递增，所以当a∈(53，2)时，h(a)＞h(53)＝827．………………………14分③当a≥2时，当x∈(1，2)时，f (x)＜0，所以f(x)在(1，2)上单调递减，所以M(a)＝f(1)＝3a－1，m(a)＝f(2)＝4，所以h(a)＝M(a)－m(a)＝3a－1－4＝3a－5，所以h(a)在[2，＋∞)上的最小值为h(2)＝1．综上，h(a)的最小值为827．………………………16分20．（本小题满分16分）解：（1）由3T1＝S12＋2S1，得3a12＝a12＋2a1，即a12－a1＝0．因为a1＞0，所以a1＝1．………………………2分（2）因为3T n＝S n2＋2S n，①所以3T n＋1＝S n＋12＋2S n＋1，②②－①，得3a n＋12＝S n＋12－S n2＋2a n＋1．因为a n＋1＞0，所以3a n＋1＝S n＋1＋S n＋2，③………………………5分所以3a n＋2=S n＋2＋S n＋1＋2，④④－③，得3a n＋2－3a n＋1＝a n＋2＋a n＋1，即a n＋2＝2a n＋1，所以当n≥2时，an＋1an＝2．………………………8分又由3T2＝S22＋2S2，得3(1＋a22)＝(1＋a2)2＋2(1＋a2)，即a22－2a2＝0．因为a2＞0，所以a2＝2，所以a2a1＝2，所以对n∈N*，都有an＋1an＝2成立，所以数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N*．………………………10分(3)由(2)可知S n＝2n－1．因为S1，S k－S1，S t－S k成等比数列，所以(S k－S1)2＝S1(S t－S k)，即(2k－2)2＝2t－2k，………………………12分所以2t＝(2k)2－32k＋4，即2t－2＝(2k－1)2－32k－2＋1(*)．由于S k－S1≠0，所以k≠1，即k≥2．当k＝2时，2t＝8，得t＝3．………………………14分当k≥3时，由(*)，得(2k－1)2－32k－2＋1为奇数，所以t－2＝0，即t＝2，代入(*)得22k－2－32k－2＝0，即2k＝3，此时k无正整数解．综上，k＝2，t＝3．………………………16分江苏省苏州市2019-2020学年高三9月调研考试数学试卷数学附加题参考答案及评分标准21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做2题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接OD ，因为DA =DC ，所以∠DAO =∠C ．………………………2分在圆O 中，AO =DO ，所以∠DAO =∠ADO ，所以∠DOC =2∠DAO =2∠C ．………………………5分因为CD 为圆O 的切线，所以∠ODC =90°， 从而DOC ＋C ＝90°，即2C ＋C ＝90°， 故∠C ＝30°， ………………………7分 所以OC ＝2OD ＝2OB ，所以CB ＝OB ，所以CA ＝3CB ． ………………………10分 B ．选修4—2：矩阵与变换解：（1）根据逆矩阵公式，可得A－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2132－12． ………………………4分 （2）设曲线C 上任意一点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下得到点P(x，y)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤xy ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x＝x ＋2y ，y ＝3x ＋4y ．……………………8分因为(x ，y )在曲线C 上，所以6x2－y 2＝1，代入6(x ＋2y )2－(3x ＋4y )2＝1，化简得8y 2－3x 2＝1，所以曲线C 的方程为8y 2－3x 2＝1． ………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 解：由直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t ，y ＝t ，得直线l 的普通方程为x －y ＋1＝0．………………………2分由圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋cos ，y ＝2a ＋sin，得圆C 的普通方程为(x －a )2+(y －2a )2＝1．DA B C O （第21A 题）………………………4分因为直线l 与圆C 相切，所以∣a －2a ＋1∣2＝1， ………………………8分 解得a ＝1±2．所以实数a 的值为1±2． ………………………10分 D ．选修4—5：不等式选讲解：(1)当x ＜－1时，不等式可化为－x ＋2－x －1≥5，解得x ≤－2；……………………2分(2)当－1≤x ≤2时，不等式可化为－x ＋2＋x ＋1≥5，此时不等式无解；……………4分 (3)当x ＞2时，不等式可化为x －2＋x ＋1≥5，解得x ≥3； ……………………6分 所以原不等式的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞). …………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．（本小题满分10分）解：（1）以{→AB ，→AD ，→AP }为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ． 因为AP ＝AB ＝AD ＝1，所以A (0，0，0)，B (1，0，0)，D (0，1，0)，P (0，0，1)． 设C (1，y ，0)，则→PB ＝(1，0，－1)，→CD ＝(－1，1－y ，0)．…………………………2分因为直线PB 与CD 所成角大小为π3， 所以|cos ＜→PB ，→CD ＞|＝|→PB →CD∣→PB ∣∣→CD ∣|＝12，即12×1＋(1－y )2＝12，解得y ＝2或y ＝0（舍），所以C (1，2，0)，所以BC 的长为2． ………………………5分CDPBA（第22题）xy z（2）设平面PBD 的一个法向量为n 1＝(x ，y ，z )．因为→PB ＝(1，0，－1)，→PD ＝(0，1，－1)， 则⎩⎪⎨⎪⎧→PB n 1＝0，→PDn 1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －z ＝0，y －z ＝0． 令x ＝1，则y ＝1，z ＝1，所以n 1＝(1，1，1)． ………………………7分因为平面PAD 的一个法向量为n 2＝(1，0，0)， 所以cos ＜n 1，n 2＞＝n 1n 2∣n 1∣|n 2∣＝33， 所以，由图可知二面角B －PD －A 的余弦值为33． ………………………10分23．（本小题满分10分）解：（1）两个球颜色不同的情况共有C2442＝96(种). ………………………3分 （2）随机变量X 所有可能的值为0，1，2，3．P (X ＝0)＝4 C 2496＝14， ………………………5分 P (X ＝1)＝3C 14C1396＝38，P (X ＝2)＝2C14C 1396＝14， P (X ＝3)＝C14C 1396＝18． 所以随机变量X 的概率分布列为：………………………8分所以E (X )＝014＋138＋214＋318＝54． ………………………10分 X 0 1 2 3 P14381418。
2019—2020年最新苏教版高二数学上学期阶段性检测试题及答案解析.docx
（新课标）2019—2020学年苏教版高中数学必修二高二数学阶段检测试卷一、填空题:(本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上．)1．A,B,C 为空间三点,经过这三点的平面有 个.2.两个球的半径之比为1∶2，那么两个球的表面积之比为________． 3．已知a,b 是两条异面直线，直线c 平行于直线a,那么直线c 与直线b 的位置关系是____________．4. 空间中直线l 和三角形的两边AC ，BC 同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB 的位置关系是________．5. 以下角：①异面直线所成角；②直线和平面所成角；③二面角的平面角，可能为钝角的有________个．6．过平面外一点能作 条直线与这个平面平行． 7. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为916， 则正方体的棱长为________． 8.如右图所示的水平放置的平面图形的直观图，它所表示的平面图形ABCD 是9.如图所示，P 是三角形ABC 所在平面外一点，平面α∥平面ABC ，α分别交线段PA 、PB 、PC 于A ′、B ′、C ′，y C BD A x若PA′∶AA′＝3∶4，则S△A′B′C′∶S△ABC＝________.10.已知平面α外两点A、B到平面α的距离分别是3和5，则A，B的中点P到平面α的距离是________．11.若圆锥的全面积是底面积的3倍，则该圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为________度．12. 已知高为3的棱柱ABC—A1B1C1的底面是边长为2的正三角形(如图)，则三棱锥B1—ABC的体积为________．13. 在正四面体P－ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，下面四个结论中不成立的是________．①BC∥面PDF；②面PDF⊥面ABC；③DF⊥面PAE；④面PAE⊥面ABC.AB D C14. 设α∥β，A ∈α，C ∈α，B ∈β，D ∈β，直线AB 与CD 交于O ， 若AO ＝8，BO ＝9，CD ＝51，则CO ＝________．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 15.(本题14分)已知：平面α∩平面β=b ，直线a ∥α，a ∥β，求证：a ∥b 。
2019-2020学年江苏省苏州市常熟市高二(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省苏州市常熟市高二（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将你认为正确的选项填涂在答题卡相应的位置．1. 关于x的不等式−x2+2x≥0的解集为（）A.[0, 2]B.(−∞, 0]∪[2, +∞)C.(−∞, 2]D.(−∞, 0)∪(2, +∞)【答案】A【考点】一元二次不等式的应用【解析】不等式化为x2−2x≤0，求出解集即可．【解答】不等式−x2+2x≥0可化为x2−2x≤0，即x(x−2)≤0，解得0≤x≤2，所以不等式的解集为[0, 2]．2. 已知x∈R，则“|x|>1”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】由|x|>1，解得x>1或x<−1，故“x>1”是“|x|>1”的充分不必要条件，3. 若x>2，则函数y=x+4x−2的最小值为（）A.3B.4C.5D.6【答案】D【考点】基本不等式及其应用【解析】容易得出x−2>0，从而得出y=x+4x−2=(x−2)+4x−2+2，根据基本不等式即可得出y≥6，即得出原函数的最小值为6．【解答】∵ x >2，∴ x −2>0，∴ y =x +4x−2=(x −2)+4x−2+2≥2√(x −2)⋅4x−2+2=6，当且仅当x −2=4x−2，即x ＝4时取等号，∴ 函数y =x +4x−2的最小值为6．4. 中心在原点，焦距为2，离心率为12的椭圆标准方程为（ ） A.x 23+y 24=1或x 24+y 23=1B.x 24+y 23=1C.x 24+y 2=1D.x 2+y 24=1【答案】 A【考点】椭圆的离心率 【解析】根据题意，分析可得椭圆中c 、a 的值，计算可得b 的值，分情况讨论椭圆焦点的位置，求出椭圆的标准方程，综合即可得答案． 【解答】根据题意，要求椭圆的焦距为2，即2c ＝2，则c ＝1， 又由椭圆的离心率为12，即e =ca =12，解可得a ＝2， 则b =√4−1=√3，若椭圆的焦点在x 轴上，则其标准方程为x 24+y 23=1， 若椭圆的焦点在y 轴上，则其标准方程为x 23+y 24=1，故要求椭圆的标准方程为x 24+y 23=1或x 23+y 24=1，5. 椭圆x 2m+y 24=1的焦距为2，则m 的值为( )A.5B.3C.3或5D.6 【答案】 C【考点】 椭圆的定义 【解析】根据椭圆方程的标准形式，求出a 、b 、c 的值，即得焦距2c 的值列出方程，从而求得n 的值． 【解答】解：由椭圆x 2m+y 24=1得：2c =2，得c =1．依题意得4−m =1或m −4=1， 解得m =3或m =5， ∴ m 的值为3或5， 故选C ．6. 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 9S 6的值为（ ）A.2B.73C.83D.3【答案】 B【考点】等比数列的前n 项和 【解析】根据等比数列通项公式和前n 项求和公式进行计算即可． 【解答】a 6＝2a 3，a 6=a 3q 3=2a 3，q 3＝2， q 9＝(q 3)3＝8，q 6＝(q 3)2＝4， 故s 9s6=a 1(1−q 9)1−q a 1(1−q 6)1−q=1−q 91−q 6=1−81−4=73，7. 已知数列{a n }中，a 1=14，a n =1−1a n−1(n ≥2)，则a 2020的值是（ ）A.43B.14C.−3D.15【答案】 B【考点】 数列递推式 【解析】利用数列的递推关系式求出数列的前几项，得到数列的周期，然后求解即可． 【解答】数列{a n },a 1=14,a n =1−1an−1(n ≥2)，可得a 2＝−3；a 3=43；a 4=14；所以数列的周期为3， a 2020＝a 673×3+1＝a 1=14．8. 设F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的左，右焦点，P 为椭圆上一点，M 是线段PF 1的中点，若OM ＝3（O 为坐标原点），则PF 1的值是（ ）A.6B.5C.4D.3【答案】C【考点】椭圆的离心率 【解析】由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10，再由中位线定理，可得|PF 2|＝6，即可得到|PF 1|． 【解答】∵ F 1，F 2分别是椭圆x 225+y 216=1的的左、右焦点，P 为椭圆上一点，则|PF 1|+|PF 2|＝2a ＝10， ∵ M 是PF 1的中点，O 是F 1F 2中点， ∴ |OM|=12|PF 2|＝3，则|PF 2|＝6，|PF 1|＝10−6＝4．9. 在等差数列{a n }中，已知首项a 1＝0，公差d ≠0，若a k ＝a 1+a 2+a 3+...+a 7，则k 的值为（ ） A.24 B.23 C.22 D.21 【答案】 C【考点】等差数列的性质 【解析】根据等差数列的性质，我们可将a k ＝a 1+a 2+a 3+...+a 7，转化为a k ＝7a 4，又由首项a 1＝0，公差d ≠0，我们易得a k ＝7a 4＝21d ，进而求出k 值． 【解答】∵ 数列{a n }为等差数列 且首项a 1＝0，公差d ≠0，又∵ a k ＝(k −1)d ＝a 1+a 2+a 3+...+a 7＝7a 4＝21d 故k ＝2210. 已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，若椭圆上存在点P ，使得PF 1⊥PF 2，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A.(0,√22]B.(0,√32]C.[√22,1) D.[√32,1) 【答案】 C【考点】 椭圆的离心率 【解析】根据椭圆上存在点P 使得直线PF 1与直线PF 2垂直，可得|OP|＝c ≥b ，从而可求椭圆离心率e 的取值范围． 【解答】由PF 1⊥PF 2，知△F 1PF 2是直角三角形， ∴ |OP|＝c ≥b ，即c 2≥a 2−c 2， ∴ a ≤√2c ， ∵ e =ca ，0<e <1，∴ √22≤e <1，11. 已知数列{a n }满足a 1＝21，a n+1−a n ＝4n ，则a nn 的最小值为（ ） A.2√42−2 B.454C.10D.11【答案】 D【考点】 数列递推式 【解析】直接利用叠加法和基本不等式的应用求出结果． 【解答】数列{a n }满足a 1＝21，a n+1−a n ＝4n ，则a n −a n−1＝4(n −1)， a n−1−a n−2＝4(n −2)， …，a 2−a 1＝4×1，所有的式子相加得到：a n −a 1＝4(1+2+...+n −1)=4×n(n−1)2=2n 2−2n ，所以a n =2n 2−2n +21， 则a n n=2n 2−2n+21n =2n +21n−2，由于2n +21n≥2√2n ⋅21n，当且仅当2n =21n，解得n 2=212，由于n ∈N +，所以当n ＝3时，a nn 的最小值为6+7−2＝11．12. 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若不等式a n 2+2S n+12(n+1)≥ma 22对任意正整数n 都成立，则实数m 的取值范围是（ ） A.(−∞,12]B.[15,12]C.(−∞,15]D.(−∞,13]【答案】D【考点】数列与不等式的综合 【解析】利用等差数列的前n 项和S n =(a 1+a n )n2；代入化简可得3a n 2+2a 2a n +(1−2m)a 22≥0，再利用配方法即可求解． 【解答】∵ 数列{a n }为等差数列； ∴ a n ＝a 1+(n −1)d ，S n =(a 1+a n )n2；∴2S n+12(n+1)2=(a 1+a n+1)22=(a 2+a n )22；∵ a n 2+2S n+12(n+1)2≥ma 22；∴ a n 2+(a 2+a n )22−ma 22≥0；∴ 3a n 2+2a 2a n +(1−2m)a 22≥0； ∴ 3(a n +13a 2)2+(23−2m)a 22≥0；∵ 不等式a n 2+2S n+12(n+1)2≥ma 22对任意正整数n 都成立； ∴ 23−2m ≥0，即m ≤13；二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案直接填写在答题卡相应的位置． 不等式x+1x≥3的解集为________．【答案】(0,12] 【考点】其他不等式的解法 【解析】利用移项，通分，转化不等式求解即可． 【解答】 由x+1x≥3可得，x+1x−3≥0，即2x−1x≤0，解可得，0<x ≤12，即不等式的解集为(0, 12]．在等比数列{a n }中，a 1>0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6＝25，则a 3+a 5的值是________． 【答案】 5【考点】等比数列的通项公式 等比数列的性质 【解析】由{a n }是等比数列，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6＝25，利用等比数列的通项公式知a 32+2a 3a 5+a 52＝25，再由完全平方和公式知(a 3+a 5)2＝25，再由a n >0，能求出a 3+a 5的值． 【解答】∵ {a n }是等比数列，且a 1>0，a 2a 4+2a 3a 5+a 4a 6＝25，∴ a 32+2a 3a 5+a 52＝25，即 (a 3+a 5)2＝25． 再由a 3＝a 1⋅q 2>0，a 5＝a 1⋅q 4>0，q 为公比，可得a 3+a 5＝5，已知椭圆x 24+y 2=1的左、右焦点为F 1，F 2，点P 为椭圆上动点，则PF 1→⋅PF 2→的取值范围是________． 【答案】 [−2, 1] 【考点】平面向量数量积的性质及其运算 椭圆的离心率 【解析】求出椭圆的焦点坐标，设P 的坐标，利用向量的数量积化简，通过椭圆的范围，求解即可． 【解答】 椭圆x 24+y 2=1两个焦点分别是F 1(−√3,0),F 2(√3,0)，设P(x, y)，则PF 1→=(−√3−x,−y)，PF 2→=(√3−x,−y)，PF 1→⋅PF 2→=(−√3−x)(√3−x)+y 2=x 2+y 2−3， 因为y 2=1−x 24，代入可得PF 1→⋅PF 2→=34x 2−2，而−2≤x ≤2，PF 1→⋅PF 2→的取值范围是[−2, 1]已知实数x ，y 满足x >0，y >0，且x +y3+1x +3y =5，则3x +y 的最小值为________． 【答案】 3【考点】基本不等式及其应用 【解析】根据题意可以将x +y3+1x +3y =5⇒3x+y 3+3x+y xy=(3x +y)(13+1xy)=5，在根据基本不等式求出1xy 的范围，再求出3x +y 的范围． 【解答】∵ x +y3+1x +3y =5， ∴3x+y 3+3x+y xy=(3x +y)(13+1xy )=5，设3x +y ＝t ，∵ x >0，y >0，∴ 3x +y ≥2√3xy ，当且仅当3x ＝y 时取等号⇒1xy ≥12t 2，∴ (3x +y)(13+1xy )≥t ⋅(13+12t 2)， ∴ 5≥13t +12t ，∴ t 2−15t +36≤0， ∴ 3≤t ≤12；∴ 3x +y 的最小值是3．三、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区城内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．已知关于x 的不等式(m −1)x 2−(m −1)x +1>0的解集为R ；关于x 的不等式x 2−2ax +a 2−1<0的解集为N ． （1）求实数m 的取值集合M ；（2）对（1）中的M ，若x ∈N 是x ∈M 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 【答案】当m ＝1时，1>0，不等式恒成立．当m >1时，△＝(m −1)2−4(m −1)<0，解得1<m <5． 综上，M ＝{x|1≤m <5}．因为N ＝{x|a −1<x <a +1}．由x ∈N 是x ∈M 的充分不必要条件，得N⫋M ， 所以{a −1≥1a +1≤5，得2≤a ≤4． 【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】解出关于a 的不等式，结合充分必要条件的定义，从而求出答案 【解答】当m ＝1时，1>0，不等式恒成立．当m >1时，△＝(m −1)2−4(m −1)<0，解得1<m <5． 综上，M ＝{x|1≤m <5}．因为N ＝{x|a −1<x <a +1}．由x ∈N 是x ∈M 的充分不必要条件，得N⫋M ， 所以{a −1≥1a +1≤5，得2≤a ≤4．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 4−2a 2＝10，且a 1，a 2，a 5恰为等比数列{b n }的前三项． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n =anb n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，求证：T n <3．【答案】由题意可得{S 4−2a 2=10a 22=a 1⋅a 5 ，即{4a 1+6d −2a 1−2d =10(a 1+d)2=a 1(a 1+4d) ， 得{a 1+2d =5d 2=2a 1d， 由d ≠0，得a 1＝1，d ＝2． 所以a n ＝2n −1．由b 1＝1，b 2＝3，得公比q ＝3，所以b n =3n−1． 证明：因为c n =2n−13n−1，所以T n =130+331+532+⋯+2n−13n−1①得13T n =13+332+533+⋯+2n−33n−1+2n−13n ②①-②得23T n =1+23+232+⋯+23n−1−2n−13n=1+23[1−(13)n−1]1−13−2n−13n=2−2n+23n．所以T n =3−3n+33n．从而T n <3． 【考点】等差数列与等比数列的综合 数列的求和 【解析】（1）运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式a n ；再由等比数列的通项公式可得b n ； （2）可得c n =2n−13n−1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式和不等式的性质，即可得证． 【解答】由题意可得{S 4−2a 2=10a 22=a 1⋅a 5 ，即{4a 1+6d −2a 1−2d =10(a 1+d)2=a 1(a 1+4d) ， 得{a 1+2d =5d 2=2a 1d， 由d ≠0，得a 1＝1，d ＝2． 所以a n ＝2n −1．由b 1＝1，b 2＝3，得公比q ＝3，所以b n =3n−1． 证明：因为c n =2n−13n−1，所以T n =130+331+532+⋯+2n−13n−1①得13T n =13+332+533+⋯+2n−33n−1+2n−13n ②①-②得23T n =1+23+232+⋯+23n−1−2n−13n=1+23[1−(13)n−1]1−13−2n−13n=2−2n+23n．所以T n =3−3n+33n．从而T n <3．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)过点(1,32)，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线l:x ＝4上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ．（1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0, b)时，求△PBM 的面积． 【答案】由题意{ca =121a 2+94b 2=1，因为a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3，c ＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．直线PB 的方程为y =√32(x +2)，得P(4,3√3)．所以直线PC 的方程y =3√32(x −2)，联立方程组{y =3√32(x −2)3x 2+4y 2=12，化简得5x 2−18x +16＝0， 解得x 1＝2，x 2=85，得点M(85,−3√35)．又点M 到直线PB 的距离d =√35√7，|PB|=3√7，所以S △PBM =12×3√7×√35√7=36√35．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）根据椭圆的性质求解；（2）根据直线PB 经过点B 和上顶点可以求出直线PB 的方程，然后求出点P ，从而求出直线PC 的方程，联立椭圆方程求出点M ，再由点到直线的距离公式求出M 到直线PB 的距离，利用两点间距离公式求出|PB|，根据三角形面积公式即可求出△PBM 的面积． 【解答】由题意{ca=121a 2+94b 2=1 ， 因为a 2＝b 2+c 2，得a ＝2，b =√3，c ＝1． 所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1．直线PB 的方程为y =√32(x +2)，得P(4,3√3)．所以直线PC 的方程y =3√32(x −2)，联立方程组{y =3√32(x −2)3x 2+4y 2=12，化简得5x 2−18x +16＝0， 解得x 1＝2，x 2=85，得点M(85,−3√35)．又点M到直线PB的距离d=√35√7，|PB|=3√7，所以S△PBM=12×3√7×√35√7=36√35．某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元．（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）从第几年开始，该设备开始盈利？（3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．【答案】由题意可知x年的维修，保养费用组成以8为首项，以4为公差的等差数列，故使用x年后的总保养、维修费用为8x+x(x−1)2×4=2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x−(2x2+6x)−128＝−2x2+48x−128(x∈N×)．由y>0，得−2x2+48x−128>0，即x2−24x+64<0，解得12−4√5<x<12+4√5，由x∈N∗，得4≤x≤20．答：第4年该设备开始盈利．方案①年平均盈利yx =48−2(x+64x)≤48−4√64=16，当且仅当x=64x ，即x＝8时取等号，(yx)max=16．所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y＝−2(x−12)2+160，x＝12时y取得最大值160，所以方案②总利润为160+10＝170（万元），答：选择方案①处理较为合理．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）先根据等差数列的求和公式计算使用x年后的总维修费用，再得出总利润关于x的函数；（2）令y>0解出x的范围即可得出结论；（3）分别计算两种方案对应的利润和年限，得出结论．【解答】由题意可知x年的维修，保养费用组成以8为首项，以4为公差的等差数列，故使用x年后的总保养、维修费用为8x+x(x−1)2×4=2x2+6x．所以盈利总额y关于x的函数为：y＝54x−(2x2+6x)−128＝−2x2+48x−128(x∈N×)．由y>0，得−2x2+48x−128>0，即x2−24x+64<0，解得12−4√5<x <12+4√5， 由x ∈N ∗，得4≤x ≤20． 答：第4年该设备开始盈利． 方案①年平均盈利yx =48−2(x +64x)≤48−4√64=16，当且仅当x =64x，即x ＝8时取等号，(yx )max =16． 所以方案①总利润为16×8+42＝170（万元），方案②y ＝−2(x −12)2+160，x ＝12时y 取得最大值160， 所以方案②总利润为160+10＝170（万元）， 答：选择方案①处理较为合理．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 1，F 2分别是椭圆E:x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的左，右焦点，点P 是椭圆E 上一点，满足PF 1⊥x 轴，∠PF 2F 1＝30∘．（1）求椭圆E 的离心率；（2）过点M(a, a)的直线l 与椭圆E 交于两点A ，B ，若在椭圆B 上存在点Q ，使得四边形OAQB 为平行四边形，求直线l 的斜率． 【答案】由PF 1⊥x 轴，得P(−c,±b 2a)，所以PF 1=b 2a．因为∠PF 2F 1＝30∘，F 1F 2＝2c ，所以2c =√3⋅b 2a，即2ac =√3(a 2−c 2)，得√3e 2+2e −√3=0， 解得e =√33或e =−√3（舍），所以e =√33．因为e =c a =√33，所以b 2=a 2−c 2=23a 2，椭圆E 方程可化为2x 2+3y 2＝2a 2．若直线l 斜率不存在，直线l:x ＝a ，与椭圆E 只有一个交点，不成立．（法一）设直线l 方程为y ＝kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 中点D(x 0, y 0)， 因为直线l 过点M(a, a)，所以m ＝a −ak ，联立方程组{y =kx +m 2x 2+3y 2=2a 2 ，得(2+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−2a 2＝0．△＝(6km)2−4(2+3k 2)(3m 2−2a 2)>0，得k >16． 由韦达定理，x 1+x 2=−6km2+3k 2，x 1x 2=3m 2−2a 22+3k 2，得x 0=−3km2+3k 2，y 0=kx 0+m =2m2+3k 2．因为平行四边形OAQB ，所以点Q(−6km2+3k 2,4m2+3k 2)， 因为点Q 在椭圆上，所以2⋅36k 2m 2(2+3k 2)2+316m 2(2+3k 2)2=2a 2， 化简得12m 2＝(2+3k 2)a 2．由m ＝a −ak ，得9k 2−24k +10＝0，解得k =4±√63． （法二）设直线l 的方程为y −a ＝k(x −a)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 中点D(x 0, y 0)， 由{y =kx −a(k −1)2x 2+3y 2=2a 2 ，得(2+3k 2)x 2−6ak(k −1)x +3a 2(k −1)2−2a 2＝0，△＝[6ak(k −1)]2−4(2+3k 2)[3a 2(k −1)2−2a 2]>0，得k >16． 由韦达定理，x 1+x 2=6ak(k−1)2+3k 2，x 1x 2=3a 2(k−1)2−2a 22+3k 2， 得x 0=3ak(k−1)2+3k 2，y 0=2a(1−k)2+3k 2，即点D(3ak(k−1)2+3k 2,2a(1−k)2+3k 2)．因为平行四边形OAQB ，所以点Q(6ak(k−1)2+3k 2,4a(1−k)2+3k 2)，因为点Q 在椭圆上，所以2⋅36a 2k 2(k−1)2(2+3k 2)2+3⋅16a 2(1−k)2(2+3k 2)2=2a 2，化简得9k 2−24k +10＝0，解得k =4±√63． 【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）先求出点P 的坐标，然后求得PF 1=b 2a，然后由正切的定义求解离心率；（2）分类讨论，先确定直线l 的斜率一定存在，设出直线l 的方程，与椭圆方程联立写出韦达定理，写出AB 中点坐标，从而求出点Q 的坐标，代入到椭圆的方程中即可求解． 【解答】由PF 1⊥x 轴，得P(−c,±b 2a)，所以PF 1=b 2a．因为∠PF 2F 1＝30∘，F 1F 2＝2c ，所以2c =√3⋅b 2a，即2ac =√3(a 2−c 2)，得√3e 2+2e −√3=0， 解得e =√33或e =−√3（舍），所以e =√33．因为e =c a =√33，所以b 2=a 2−c 2=23a 2，椭圆E 方程可化为2x 2+3y 2＝2a 2．若直线l 斜率不存在，直线l:x ＝a ，与椭圆E 只有一个交点，不成立．（法一）设直线l 方程为y ＝kx +m ，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 中点D(x 0, y 0)， 因为直线l 过点M(a, a)，所以m ＝a −ak ，联立方程组{y =kx +m 2x 2+3y 2=2a 2 ，得(2+3k 2)x 2+6kmx +3m 2−2a 2＝0．△＝(6km)2−4(2+3k 2)(3m 2−2a 2)>0，得k >16．由韦达定理，x 1+x 2=−6km2+3k 2，x 1x 2=3m 2−2a 22+3k 2，得x 0=−3km2+3k 2，y 0=kx 0+m =2m2+3k 2．因为平行四边形OAQB ，所以点Q(−6km2+3k 2,4m2+3k 2)， 因为点Q 在椭圆上，所以2⋅36k 2m 2(2+3k 2)2+316m 2(2+3k 2)2=2a 2， 化简得12m 2＝(2+3k 2)a 2．由m ＝a −ak ，得9k 2−24k +10＝0，解得k =4±√63． （法二）设直线l 的方程为y −a ＝k(x −a)，A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，AB 中点D(x 0, y 0)， 由{y =kx −a(k −1)2x 2+3y 2=2a 2 ，得(2+3k 2)x 2−6ak(k −1)x +3a 2(k −1)2−2a 2＝0，△＝[6ak(k −1)]2−4(2+3k 2)[3a 2(k −1)2−2a 2]>0，得k >16． 由韦达定理，x 1+x 2=6ak(k−1)2+3k 2，x 1x 2=3a 2(k−1)2−2a 22+3k 2， 得x 0=3ak(k−1)2+3k 2，y 0=2a(1−k)2+3k 2，即点D(3ak(k−1)2+3k 2,2a(1−k)2+3k 2)．因为平行四边形OAQB ，所以点Q(6ak(k−1)2+3k 2,4a(1−k)2+3k 2)，因为点Q 在椭圆上，所以2⋅36a 2k 2(k−1)2(2+3k 2)2+3⋅16a 2(1−k)2(2+3k 2)2=2a 2，化简得9k 2−24k +10＝0，解得k =4±√63．已知数列{a n }的首项为12，设其前n 项和为S n ，且对n ∈N ∗有a n ≠0，S n =2a n a n+1an+1−a n+1．（1）设b n =ana n+1−a n ，求证：数列{b n }为等差数列；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）是否存在正整数m ，k ，使得S 2，S m ，S k (2<m <k)成等差数列？若存在，求出m ，k 的值；若不存在，说明理由． 【答案】 证明：因为S n =2a n a n+1an+1−a n+1①，a 1=12，所以n ＝1时，a 1=S 1=2a 1a 2a 2−a 1+1，得a 2=16．当n ≥2时，S n−1=2a n−1a na n −a n−1+1②，①-②得a n =2a n a n+1an+1−a n−2a n−1a nan −a n−1，因为a n ≠0，所以a n+1an+1−a n−a n−1an −a n−1=12．当n ≥2时，有b n −b n−1=a na n+1−a n−a n−1an −a n−1=a nan+1−a n−(a n+1an+1−a n−12)=−12．所以数列{b n }为等差数列． 因为b 1=a 1a 2−a 1=−32，公差d =−12，整理得b n =−n+22．所以a nan+1−a n=−n+22，得a n+1a n=nn+2．所以a2a 1⋅a3a 2⋯⋯an−1a n−2a nan−1=13⋅24⋯n−2n⋅n−1n+1，得a n =2a1n(n+1)，即a n =1n(n+1)．S n =11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n −1n+1=1−1n+1． 假设存在正整数m ，k ，使S 2，S m ，S k 成等差数列， 所以2S m ＝S 2+S k ，即2(1−1m+1)=1−13+1−1k+1， 化简得m =5−18k+4．因为m ，k ∈N ∗，所以k +4＝6时，k ＝2，m ＝2（舍去）； k +4＝9时，k ＝5，m ＝3； k +4＝18时，k ＝14，m ＝4．综上，存在m ＝3，k ＝5或m ＝4，k ＝14． 【考点】 数列递推式 【解析】（1）直接利用递推关系式的应用求出数列{b n }为等差数列．（2）利用（1）的结论，进一步利用叠乘法的应用求出数列的通项公式．（3）利用（2）的结论，进一步利用裂项相消法的应用和等差中项的应用求出结果． 【解答】 证明：因为S n =2a n a n+1an+1−a n+1①，a 1=12，所以n ＝1时，a 1=S 1=2a 1a 2a 2−a 1+1，得a 2=16．当n ≥2时，S n−1=2a n−1a na n −a n−1+1②，①-②得a n =2a n a n+1an+1−a n−2a n−1a nan −a n−1，因为a n ≠0，所以a n+1an+1−a n−a n−1an −a n−1=12． 当n ≥2时，有b n −b n−1=a na n+1−a n−a n−1an −a n−1=a nan+1−a n−(a n+1an+1−a n−12)=−12．所以数列{b n }为等差数列． 因为b 1=a 1a 2−a 1=−32，公差d =−12，整理得b n =−n+22．所以a nan+1−a n=−n+22，得a n+1a n=nn+2．所以a2a 1⋅a3a 2⋯⋯an−1a n−2a nan−1=13⋅24⋯n−2n⋅n−1n+1，得a n =2a 1n(n+1)，即a n =1n(n+1)．S n =11×2+12×3+⋯+1n(n+1)=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1．假设存在正整数m ，k ，使S 2，S m ，S k 成等差数列， 所以2S m ＝S 2+S k ，即2(1−1m+1)=1−13+1−1k+1， 化简得m =5−18k+4．因为m ，k ∈N ∗，所以k +4＝6时，k ＝2，m ＝2（舍去）； k +4＝9时，k ＝5，m ＝3； k +4＝18时，k ＝14，m ＝4．综上，存在m ＝3，k ＝5或m ＝4，k ＝14．。
2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期12月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年江苏省苏州市常熟中学高二上学期12月月考数学试题一、单选题1．不等式2230x x +->的解集是（ ） A ．{|31}x x -<<B ．{|13}x x -<<C ．3|}1{x x ≤<D ．3|32x x ⎧⎫-≤<⎨⎬⎩⎭【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求解出2230x x +->，然后写成集合形式. 【详解】解：2230x x +-> 等价于2230x x --<， 即(3)(1)0x x -+<， 解得：13x -<<，不等式2230x x +->的解集为{|13}x x -<<. 故选：B. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，一般情况下首先要将二次项前的系数变为正数，最后的结果要以集合的形式呈现.2．椭圆2219x y m +=的焦距是2，那么实数m 的值为（ ）A ．5B ．5或13C ．8或10D ．10【答案】C【解析】计算得到1c =，讨论9m >和09m <<两种情况，计算得到答案. 【详解】椭圆2219x y m +=的焦距是2，故22c =，1c =.当9m >时，91m -=，解得10m =；当09m <<时，91m -=，解得8m =.【点睛】本题考查了根据椭圆的焦距求参数，漏解是容易发生的错误. 3．若正数x ，y 满足131y x+=，则34x y +的最小值是（ ） A ．24 B ．28C ．25D ．26【答案】C【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【详解】解：Q 正数x ，y 满足131y x+=，则1331234(34)()1313325x y x y x y y x y x +=++=+++⨯…，当且仅当25x y ==时取等号．34x y ∴+的最小值是25．故选：C ． 【点睛】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 4．抛物线24y x =上的点()04,M y 到其焦点F 的距离为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】利用焦半径公式可得FM 的长度. 【详解】44152pFM =+=+=，故选C. 【点睛】如果抛物线的方程为()220y px p =>，则抛物线上的点()00,M x y 到焦点F 的距离为02px +. 5．设n S 是等比数列{}n a 的前n 项的和，若6312a a =-，则63S S =（ ）A ．23B ．12 C ．14D ．13【解析】根据6312a a =-得到312q =-，代入公式计算得到答案. 【详解】36312a q a ==-，61363311111121q a S q q q S a q--==+=--. 故选：B . 【点睛】本题考查了等比数列的公式的应用，意在考查学生的计算能力.6．已知平面α，β的法向量分别为()2,3,a λ=r 和()4,,2b μ=-r（其中,R λμ∈），若//αβ，则λμ+的值为（ ）A ．52-B ．-5C ．52D ．5【答案】D【解析】根据平面平行得到//a b r r，故()()2,3,4,,2k λμ=-，计算得到答案. 【详解】//αβ，则//a b r r ，故()()2,3,4,,2k λμ=-，即2432kk kμλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩，解得61μλ=⎧⎨=-⎩.故5λμ+=. 故选：D . 【点睛】本题考查了法向量的平行问题，意在考查学生的计算能力.7．某同学在画“切面圆柱体”（用与圆柱底面不平行的平面去截圆柱，底面与截面之间的部分叫做切面圆柱体）的过程中，发现“切面”是一个椭圆，若“切面”所在平面与底面成60︒角，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12B．2C．2D ．13【答案】C【解析】如图所示，切面与底面的二面角的平面角为BAM ∠，设圆半径为r ，则2AM r =，4AB r =，2CD r =，得到2a r =，b r =，3c r =，得到答案.【详解】如图所示：切面与底面的二面角的平面角为BAM ∠，设圆半径为r ， 则2AM r =，4AB r =，2CD r =.故24a r =，22b r =，故2a r =，b r =，3c r =，32e =. 故选：C .【点睛】本题考查了圆柱的切面，椭圆离心率，意在考查学生的综合应用能力.8．椭圆221169x y +=中以点M(1，2)为中点的弦所在直线斜率为（ ）A ．932-B ．9 32C ．9 64D ．9 16【答案】A【解析】先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率． 【详解】设弦的两端点为()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆得2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()121212120169x x x x y y y y +-+-+=，即()()()()12121212 169x x x x y y y y +-+-=-，即()()()()12121212916x x y y y y x x +--=+-，即121292164y y x x -⨯-=⨯-，即12129 32y y x x -=--，∴弦所在的直线的斜率为932-，故选A.【点睛】本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系．在解决弦长的中点问题，涉及到“中点与斜率”时常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化，达到解决问题的目的，属于中档题.9．已知双曲线22221x y a b-=的左右焦点为12,F F ,右支上一点B 与1F 的连线交双曲线左支于点A ，若224,3,5AB BF AF ===,则12F AF ∆的面积为（） A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】根据双曲线的定义列方程，求得1AF ,然后求得12F AF ∆的面积. 【详解】 由于22222AB BF AF +=，所以三角形2ABF 是直角三角形，且22ABF π∠=.根据双曲线的定义可知21122AF AF BF BF a -=-=，即11543AF AF -=+-，解得12AF =.所以12F AF ∆的面积为121123322AF BF ⨯⨯=⨯⨯=.故选B.【点睛】本小题主要考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，考查勾股定理，考查数形结合的思想方法，属于基础题.10．对于以1F ，2F 为公共焦点的椭圆E 和双曲线C ，设P 是它们的一个公共点，1e ，2e 分别为它们的离心率.若1260F PF ∠=︒，则1211e e +的最大值为（ ） A ．34B ．43C ．334D 43【答案】D【解析】设椭圆方程是222211x y a b +=1，双曲线方程是222222x y a b -=1，由定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2，求出|PF 1|＝a 1+a 2，|PF 2|＝a 1﹣a 2，利用余弦定理，化简4221213e e =+的表达式，利用柯西不等式求解即可． 【详解】设椭圆方程是222211x y a b +=1，双曲线方程是222222x y a b -=1，由定义可得|PF 1|+|PF 2|＝2a 1，|PF 1|﹣|PF 2|＝2a 2， ∴|PF 1|＝a 1+a 2，|PF 2|＝a 1﹣a 2， 在△F 1PF 2中由余弦定理可得，（2c ）2＝（a 1+a 2）2+（a 1﹣a 2）2+2（a 1+a 2）（a 1﹣a 2）cos60°， 即4c 2＝a 12+3a 22， ∴4221213e e =+， 由柯西不等式得（113+）（221213e e +）≥（1121e e ⨯）2＝（1211e e +）2， 即（1211e e +）243≤⨯4163=，即1211e e +≤，当且仅当e1=e2= 故选：D ． 【点睛】本题考查椭圆以及双曲线的简单性质的应用，涉及余弦定理以及柯西不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．二、多选题11．等差数列{}n a 中，若67S S <且78S S >，则下面结论正确的是（ ） A ．10a > B ．96S S <C ．7a 最大D ．()7max n S S =【答案】ABD【解析】根据题意得到70a >，80a <，0d <，依次判断每个选项得到答案. 【详解】等差数列{}n a 中，若67S S <且78S S >，则70a >，80a <，故0d <.1760a a d =->，A 正确；96789830S S a a a a -=++=<，故96S S <，B 正确； 67a a >，故C 错误；70a >，80a <，故()7max n S S =，D 正确；故选：ABD . 【点睛】本题考查了等差数列的性质，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.12．已知抛物线C ：()220y px p =>的焦点为F ，直线的斜率为3且经过点F ，直线l 与抛物线C 交于点A ，B 两点（点A 在第一象限）、与抛物线的准线交于点D ，若4AF =，则以下结论正确的是（ ） A ．2p = B ．F 为AD 中点C ．2BD BF =D ．2BF =【答案】ABC【解析】如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E ，计算得到2p =，F 为AD 中点，2DB BF =，43BF =，得到答案. 【详解】如图所示：作AC ⊥准线于C ，AM x ⊥轴于M ，BE ⊥准线于E . 直线的斜率为3，故tan 3AFM ∠=，3AFM π∠=，4AF =，故2MF =，3AM =.2,232p A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，代入抛物线得到2p =； 2NF FM ==，故AMF DNF ∆≅∆，故F 为AD 中点；6BDE π∠=，故22DB BE BF ==；2BD BF =，4BD BF DF AF +===，故43BF =； 故选：ABC .【点睛】本题考查了抛物线相关命题的判断，意在考查学生的综合应用能力.13．如图，已知椭圆1C ：2214x y +=，过抛物线2C ：24x y =焦点F 的直线交抛物线于M ，N 两点，连接NO ，MO 并延长分别交1C 于A ，B 两点，连接AB ，OMN ∆与OAB ∆的面积分别记为OMN S ∆，OAB S ∆，则在下列命题中，正确的为（ ）A ．若记直线NO ，MO 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k 的大小是定值为14- B ．OAB ∆的面积OAB S ∆是定值1C ．线段OA ，OB 长度的平方和22OA OB +是定值5 D ．设OMNOABS S λ∆∆=，则2λ≥ 【答案】ABCD【解析】()0,1F ，设直线方程为1y kx =+，()()1122,,A x y B x y ，联立方程得到121244x x kx x +=⎧⎨=-⎩，再计算每个选项的值，得到答案. 【详解】()0,1F ，设直线方程为1y kx =+，()()1122,,A x y B x y ，不妨设N 在第一象限. 则241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，故2440x kx --=.216160k ∆=+>恒成立，121244x x k x x +=⎧⎨=-⎩，()()()21212122212121212121111144kx kx k x x k x x y y k k k k x x x x x x +++++=⋅===--=-⋅⋅.ON ：1y k x =，则12214y k x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得122114141A k k ⎛⎫++， 同理222224141B k k ⎛⎫++，即122114141B k k ⎛⎫++.点A 到直线OB的距离d ==11122OABS d OB ∆=⋅⋅==. 2222112222111141641541414141k k OA OB k k k k +==+++=++++.12112OMN S x x ∆=⨯⨯-，故()222212121211444444OMN S x x x x x x k ∆⎡⎤=-=+-=+≥⎣⎦.故2OMN S ∆≥，2OMNOABS S λ∆∆=≥. 故选：ABCD . 【点睛】本题考查了椭圆和抛物线的综合问题，涉及斜率，面积，定值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.三、填空题14．命题“x R ∀∈，20x ≤”的否定是______. 【答案】x R ∃∈，20x >【解析】直接根据全称命题的否定是特称命题得到答案. 【详解】全称命题的否定是特称命题，故命题“x R ∀∈，20x ≤”的否定是“x R ∃∈，20x >”. 故答案为：x R ∃∈，20x >. 【点睛】本题考查了全称命题的否定，意在考查学生的推断能力.15．已知{}n a 是公差为2-的等差数列，n S 为其前n 项和，若21a +，51a +，71a +成等比数列，则1a =_____，当n =_______时，n S 取得最大值． 【答案】19. 10.【解析】根据题意，列出方程，即可求出首项，再由等差数列的求和公式，即可得出结果. 【详解】因为21a +，51a +，71a +成等比数列， 所以()75221(1)(1)+=++a a a ， 又{}n a 是公差为2-的等差数列，所以()2111821(1)(112)+=---++a a a ， 即()2111()7(111)--=-a a a ，解得119a =，所以2219(1)20(10)100=--=-+=--+n n n n n S n n ，因此，当10n =时，n S 取得最大值． 故答案为(1). 19. (2). 10. 【点睛】本题主要考查等差数列与等比数列，熟记数列的求和公式与通项公式即可，属于常考题型.16．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 作直线交椭圆于P ，Q 两点，且212PF F F =，1134PF QF =，则椭圆的离心率为______. 【答案】57【解析】根据1212cos cos PF F PF F ∠=-∠，利用余弦定理得到2251270a ac c -+=，计算得到答案. 【详解】2122PF F F c ==，故122PF a c =-，1134PF QF =，故()132QF a c =-，2113222QF a QF a c =-=+. ()121212cos cos cos PF F PF F PF F π∠=-∠=-∠，利用余弦定理得到：()()()()22222291344444223222222a c c a c a c c c a c c a c c ⎛⎫-+-+ ⎪-+-⎝⎭=-⋅-⋅⋅-⋅， 整理化简得到：2251270a ac c -+=，即271250e e -+=，解得57e =或1e =（舍去）.故答案为：57. 【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.17．已知,a b R +∈，且()27a b b ++=，则32ab a b ++的最小值为_______________. 【答案】10【解析】由()27a b b ++=解出72ba b -=+,将其代入32ab a b ++后,变形为9(2)42b b ++++,再利用基本不等式可求得最小值. 【详解】因为()27a b b ++=,所以72ba b -=+, 所以732(3)2(3)22bab a b a b b b b b -++=++=+++ [9(2)](21)2(2)42b b b b -+++=++-+9(1)(21)2(2)42b b b =-++++-+ 99(2)12(2)42b b b =-++-++-+9(2)42b b =++++,因为,a b R +∈,所以9(2)42b b ++++4≥6410=+=, 当且仅当922b b =++,解得1b =,此时71212a -==+, 所以32ab a b ++的最小值为:10. 故答案为10 【点睛】本题考查了利用基本不等式求和的最小值,解题关键是要变形为积为定值的形式,属于中档题.四、解答题18．已知双曲线C 的中心在原点，焦点1F 、2F 在坐标轴上，一条渐近线方程为y x =.且过点()N . （1）求双曲线C 的方程；（2）若点N 在此双曲线上，且1260F NF ∠=︒，求12F NF ∆的面积.【答案】（1）22144x y -= （2）【解析】（1）设双曲线方程：()220x y λλ-=≠，代入点()N ，计算得到答案.（2）利用余弦定理计算得到16mn =，得到面积. 【详解】（1）∵渐近线方程：y x =，∴设双曲线方程：()220x y λλ-=≠，将()N 代入方程有4λ=，∴双曲线C 方程：22144x y -=.（2）设1F N m =，2F N n =，∴2242cos6032m n m n mn ⎧-=⎨+-⋅︒=⎩，∴16mn =.∴1sin 602S mn ∆=︒=. 【点睛】本题考查了双曲线方程，面积的计算，意在考查学生的计算能力. 19．已知函数()2f x ax x a =+-，a R ∈.（1）若函数()f x 有最大值178，求实数a 的值； （2）解关于x 不等式()1f x >. 【答案】（1）2-或18-；（2）见解析【解析】（1）根据题意有20411748a a a<⎧⎪⎨--=⎪⎩，解得答案.（2）化简得到()()110x ax a -++>，讨论0a =，0a >，0a <三种情况得到答案. 【详解】（1）由题意得20411748a a a<⎧⎪⎨--=⎪⎩，∴2a =-或18a =-.（2）()1f x >，即210ax x a +-->，即()()110x ax a -++>，0a =时，10x ->，解集为()1,+∞.0a >时，()110a x x a +⎛⎫-+> ⎪⎝⎭，解集为()1,1,a a +⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U .0a <时，()110a x x a +⎛⎫-+< ⎪⎝⎭，102a -<<时，解集为11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭；12a =-时，解集为∅；12a <-时，解集为1,1a a +⎛⎫-⎪⎝⎭. 综上所述：0a =时，解集为()1,+∞；0a >时，解集为()1,1,a a +⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U ；102a -<<时，解集为11,a a +⎛⎫- ⎪⎝⎭；12a =-时，解集为∅；12a <-时，解集为1,1a a +⎛⎫-⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了根据二次函数最值求参数，解不等式，分类讨论是常用的数学方法，需要熟练掌握.20．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 【答案】（1）12n n a +=（2）12n n T n -=⋅ 【解析】（1）根据等差数列公式计算得到答案. （2）计算()212n n n a b n -=+⋅，利用错位相减法计算得到答案.【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则1122329322a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，∴1112a d =⎧⎪⎨=⎪⎩，∴12n n a +=. （2）11b =，48b =，设等比数列{}n b 的公比为q ，∴2q =，∴12n n b -=，∴()212n n n a b n -=+⋅，∴()12223212n n T n --=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⋅，()021222212n n n T n n --=⨯+⋅⋅⋅+⋅++⋅，∴()0121122212n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-+⋅()111211212n n n ---=+-+⋅-12n n -=-⋅.∴12n n T n -=⋅.【点睛】本题考查了等差数列通项公式，错位相减法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.21．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ．（1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =u u u v u u u v，求|AB |． 【答案】（1）12870x y --=；（2）3. 【解析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得1252x x +=；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =u u u r u u u r可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果. 【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB =u u u r u u u rQ 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则()2121241341314412933AB y y y y =+⋅+-=⋅+=【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 22．（本小题满分10分）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线交于点，，，，底面，设点满足．（1）当时，求直线与平面所成角的正弦值；（2）若二面角的大小为，求的值．【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）以为坐标原点，建立坐标系，求出相关点的坐标，平面的法向量，利用空间数量积求解直线与平面所成角的正弦值；（2）求出平面的一个法向量，设，代入，求得，求出平面的法向量，通过向量的数量积得到方程即可求出的值．试题解析：（1）以为坐标原点，建立坐标系，则，，，，，所以，，．当时，得，所以，设平面的法向量，则，得，令，则，所以平面的一个法向量，所以，即直线与平面所成角的正弦值．（2）易知平面的一个法向量．设，代入，得，解得，即，所以，设平面的法向量，则，消去，得，令，则，，所以平面的一个法向量，所以，解得或，因为，所以．【考点】1．二面角的平面角的求法；2．直线与平面所成的角；3．利用空间向量求空间角．23．如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点，A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见证明【解析】（Ⅰ）由题意可得，结合可求出，进而可求得椭圆的方程；（Ⅱ）设EF的方程为：，E（）、F（），与椭圆联立，运用韦达定理得，，又设，由三点共线得，，求出中点坐标，求出点M到直线EF的距离，进而证得结果.【详解】（Ⅰ）∵当时，点E恰为线段AD的中点，∴，又，联立解得：，，，∴椭圆的方程为.（Ⅱ）设EF的方程为：，E（）、F（），联立得：∴，∴……（）又设，由A、E、D三点共线得，同理可得.，∴.设AB中点为M，则M坐标为（）即（），∴点M到直线EF的距离.故以AB为直径的圆始终与直线EF相切.【点睛】本题主要考查了椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，韦达定理的运用，考查了学生的计算能力，计算量较大，“设而不求，整体代换”的思想，直线与圆相切即圆心到直线的距离等于圆的半径，有一定难度.。
江苏省苏州市19年-20年学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．直线x+y+3＝0的倾斜角为．2．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线AD1与平面ABCD所成的角的大小为．3．已知A（﹣1，﹣3），B（5，3），则以线段AB为直径的圆的方程为．（写成标准方程）4．直线l经过点（1，1），且在两坐标轴上的截距相反，则直线l的方程是．5．若直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5＝0与l2：2x+（m+5）y﹣8＝0平行，则m的值为．6．经过圆x2+2x+y2＝0的圆心C，且与直线x+y＝0垂直的直线方程是．7．圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1关于直线x+y﹣1＝0对称的圆的方程是．8．正三棱锥P﹣ABC中，若底面边长为a，侧棱长为2a，则该正三棱锥的高为．9．已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出下列命题：①若m⊂β，α∥β，则m∥α；②若m∥β，α∥β，则m∥α；③若m⊥α，β⊥α，m∥n，则n∥β；④若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n．其中正确的结论有．（请将所有正确结论的序号都填上）10．设点A（﹣2，3），B（3，2）若直线ax+y+2＝0与线段AB有公共点，则a的取值范围是．11．有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为（结果用π表示）．12．已知P是直线3x+4y+8＝0上的动点，PA，PB是圆x2+y2﹣2x+2y+1＝0的两条切线，A，B 为切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为．二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请把答案填写在答题纸相应位置上13．（14分）如图：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1的中点（1）求证：BD1∥平面AEC（2）求证：AC⊥BD1．14．（14分）设△ABC顶点坐标A（0，a），B（﹣3a，0），C（3a，0），其中a＞0，圆M 为△ABC的外接圆．（1）求圆M的方程（2）当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由．15．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥BC，BC⊥BC1，AB＝BC1，E，F分别为线段AC1，A1C1的中点．（1）求证：EF∥面BCC1B1；（2）求证：BE⊥平面AB1C1．16．（16分）已知直线l过点P（1，1），并与直线l1：x﹣y+3＝0和l2：2x+y﹣6＝0分别交于点A、B，若线段AB被点P平分．求：（1）直线l的方程；（2）以O为圆心且被l截得的弦长为的圆的方程．17．（16分）已知等腰梯形PDCB中，PB＝3，DC＝1，PD＝BC＝，A为PB边上一点，且PA＝1，将△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．（1）求证：平面PAD⊥平面PCD．（2）在线段PB上是否存在一点M，使截面AMC把几何体分成的两部分的体积之比为V多面体PDCMA：V三棱锥M﹣ACB＝2：1？（3）在M满足（2）的条件下，判断PD是否平行于平面AMC．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0，3）和直线l：y＝2x﹣4，设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（1）若圆心C也在直线y＝x﹣1上，过点A作圆C的切线．①求圆C的方程；②求切线的方程；（2）若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．参考答案一、填空题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.）1．135°； 2．45°； 3．（x﹣2）2+y2＝18；4．x﹣y＝0； 5．﹣7； 6．x﹣y+1＝0；7．（x+2）2+（y+1）2＝1； 8．； 9．①④；10．（﹣∞，﹣]∪[，+∞）； 11．5π； 12．；二、解答题：（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请把答案填写在答题纸相应位置上13．（1）连结BD交AC于O点，连EO，可证明EO∥D1B，从而可证D1B∥平面EAC（2）可证AC⊥BD，AC⊥DD1，从而可证AC⊥平面BDD1，所以，有AC⊥BD1．14．15．16．17．18．。
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷A卷
江苏省苏州市2019-2020年度数学高二上学期理数期中考试试卷A卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2016高三上·吉安期中) 命题“存在x0∈R，2x0≤0”的否定是（）A . 不存在B . 对任意的C . 对任意的D . 存在2. （2分） (2018高三上·双鸭山月考) 已知命题，命题 ,则（）A . 命题是假命题B . 命题是真命题C . 命题是真命题D . 命题是假命题3. （2分）已知不重合的两直线与对应的斜率分别为与，则“”是“”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不是充分也不是必要条件4. （2分）直线截圆x2+y2=4得的劣弧所对的圆心角是（）A .B .C .D .5. （2分） (2018高二上·衢州期中) 若关于的方程有实数解，则正数的最大值是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高三上·湖北期中) 若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）满足约束条件且最大值为40，则 + 的最小值为（）A . 1B .C . 4D .7. （2分）(2017·六安模拟) 已知椭圆E： =1（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1、F2 ，短轴的一个端点为P，直线l：x+2y=0与椭圆E的一个交点为A，若|AF1|+|AF2|=10，点P到直线l的距离不大于，则椭圆E的离心率的取值范围是（）A . （0， ]B . [ ，1）C . [ ，1）D . （0， ]8. （2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当=20时，点C的轨迹为（）A . 线段B . 圆弧C . 抛物线一段D . 椭圆一部分9. （2分）椭圆的焦距是（）A . 2B . 4C . 2D .10. （2分）(2012·全国卷理) 椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）A .B .C .D .11. （2分）已知椭圆（a＞b＞0）上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且，则该椭圆离心率e的取值范围为（）A .B .C .D .12. （2分） (2019高二上·集宁月考) 到定点(2,0)的距离与到定直线的距离之比为的动点的轨迹方程（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高二上·牡丹江期中) 直线过点，且在两坐标轴上的截距相等的直线一般式方程：________14. （1分） (2018高二上·睢宁月考) 以点为圆心且与直线相切的圆的方程为________．15. （1分） (2016高二上·大连期中) 椭圆2x2+3y2=1的焦点坐标为________．16. （1分） (2018高二上·武邑月考) 设椭圆的左、右焦点分别为，M为椭圆上异于长轴端点的一点，，的内心为I，则________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2018高二上·哈尔滨月考) 已知一组动直线方程为: .（1）求证:直线恒过定点，并求出定点的坐标;（2）若直线与轴正半轴，轴正半轴半分别交于点两点，求ΔAOB 面积的最小值.18. （10分）(2017·延边模拟) 已知椭圆C： + =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2 ，由椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成一个等边三角形．它的面积为4 ．（1）求椭圆C的方程；（2）已知动点B（m，n）（mn≠0）在椭圆上，点A（0，2 ），直线AB交x轴于点D，点B′为点B关于x 轴的对称点，直线AB′交x轴于点E，若在y轴上存在点G（0，t），使得∠OGD=∠OEG，求点G的坐标．19. （10分） (2017高二上·湖北期中) 为迎接2017年“双11”，“双12”购物狂欢节的来临，某青花瓷生产厂家计划每天生产汤碗、花瓶、茶杯这三种瓷器共100个，生产一个汤碗需5分钟，生产一个花瓶需7分钟，生产一个茶杯需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个汤碗可获利润5元，生产一个花瓶可获利润6元，生产一个茶杯可获利润3元．（1）使用每天生产的汤碗个数x与花瓶个数y表示每天的利润ω（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？20. （10分） (2015高三上·苏州期末) 图1是一段半圆柱形水渠的直观图，其横断面如图2所示，其中C 为半圆弧的中点，坝宽AB为2米．（1）当渠中水深CD为0.4米时，求水面的宽度；（2）若把这条水渠改挖（不准填土）成横断面为等腰梯形的水渠，且使渠的底面与地面平行，则当改挖后的水渠底宽为多少时，所挖出的土量最少？21. （10分） (2016高一上·鹤岗江期中) 设幂函数f（x）=（a﹣1）xk（a∈R，k∈Q）的图象过点．（1）求k，a的值；（2）若函数h（x）=﹣f（x）+2b +1﹣b在[0，2]上的最大值为3，求实数b的值．22. （5分）已知动点P（x，y）与两定点M（﹣1，0），N（1，0）连线的斜率之积等于常数λ（λ≠0）．（I）求动点P的轨迹C的方程；（II）试根据λ的取值情况讨论轨迹C的形状．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、第11 页共11 页。
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二上学期期中数学试题
21. 如图，在平面直角坐标系xOy中， ， 分别是椭圆 ．
的左，右焦点，点P是椭圆E上一点，满足
轴，
（1）求椭圆E的离心率；
（2）过点
的直线l与椭圆E交于两点A，B，若在椭圆B上存在点Q，使得四边形OAQB为平行四边形，求直线l的斜率．
江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二上学期期中数学试题
，离心率为 ，点B，C分别是椭圆E的左、右顶点，点P是
（1）求椭圆E的方程； （2）当直线PB过椭圆E的短轴顶点
时，求
的面积．
20. 某工厂今年初用128万元购进一台新的设备，并立即投入使用，计划第一年维修、保养费用8万元，从第二年开始，每年的维修、保养修费用 比上一年增加4万元，该设备使用后，每年的总收入为54万元，设使用x年后设备的盈利总额y万元． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）从第几年开始，该设备开始盈利？ （3）使用若干年后，对设备的处理有两种方案：①年平均盈利额达到最大值时，以42万元价格卖掉该设备；②盈利额达到最大值时，以10万元 价格卖掉该设备．问哪种方案处理较为合理？请说明理由．
，
，则 的最江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二上学期期中数学试题
C．10
D．11
12. 设等差数列 的前n项和为 ，若不等式
A．
B．
二、填空题
13. 不等式
的解集为________．
对任意正整数n都成立，则实数m的取值范围是（ ）
C．
D．
14. 在等比数列 中，
，
，则
的解集为N．
18. 已知数列 （1）求数列
是公差
的等差数列，其前n项和为 ，满足
， 的通项公式；
（2）设
常熟中学2019年9月高二数学调研测试卷附答案解析
常熟中学2019年9月高二数学调研测试卷一、单选题1．在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6= （ ） A ．-1B ．0C ．1D ．62．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3B ．3C ．－3D ．不确定3．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+（0πx <<） C ．4e e x x y -=+ D ．3log log 3x y x =+（01x <<）4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若624S a =，33a =，则10a =（ ）A ．3-B ．3C ．6-D ．66．在正数组成的等比数列{a n }中，若a 1a 20＝100，则a 7＋a 14的最小值为( ) A ．20 B ．25 C ．50 D ．不存在 7．设首项为1，公比为23的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A ．21n n S a =-B ．32n n S a =-C ．43n n S a =-D ．32n n S a =-8．某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入，若该公司2015年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05=，lg1.30.11=，lg 20.30=） A ．2018年B ．2019年C ．2020年D ．2021年9．已知数列{}22n n λλ++是单调递增数列，则实数λ的取值范围为（ ）A ．3,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．3,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．()1,-+∞D ．[)1,-+∞10．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b< D ．b a a b< 11．已知数列{a n }为等差数列,若a 11a 10<−1,且其前n 项和S n 有最大值,则使得S n >0的最大值n 为A ．11B ．19C ．20D ．2112．已知函数()442xx f x =+，设2019n n a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（n *∈N ），则数列{}n a 的前2019项和2019S 的值为（ ） A ．30293B ．30323C ．60563D ．60593二、填空题13．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________． 14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________．15．已知数列{}n a 中，11a =,()()12123n n n a n a -+=-（2n ≥）则数列{}n a 的通项公式为n a =______.16．已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________. 三、解答题17．解不等式组23216210x x x x -⎧≤⎪-⎨⎪-->⎩18．已知等差数列{}n a 中，首项11a =，公差d 为整数，且满足13243,5a a a a +<+>.数列{}n b 满足11n n n b a a +=，其前n 项和为n S .（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n b 的前n 项和n S .19．已知数列{}n a 满足：()*111,22,n n n a n a a a n N +=-=∈.（1）证明：数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列； （2）设*35,n n n b a n N n-=∈，求数列{}n b 的前n 项和n S .20．要制作一个如图的框架（单位：米）.要求所围成的总面积为19.5（米2），其中ABCD 是一个矩形， EFCD 是一个等腰梯形，梯形高ℎ=12AB ， tan∠FED =34，设AB =x 米， BC =y 米.（1）求y 关于x 的表达式；（2）如何设计x ，y 的长度，才能使所用材料最少？21．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差0d >，且第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{}n b 的前三项.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设24n n n c b -=（n *∈N ），若存在n *∈N ，使不等式219n k k c -≤成立，求实数k 的取值范围.22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S .若()()1122n n n S a a =-+且0n a >（n *∈N ）.（1）数列{}n a 的通项公式；（2）设()11nn n n b a a +=-，求数列{}n b 的前n 项的和nT.解析常熟中学2019年9月高二数学调研测试卷一、单选题1．在等差数列{a n }中，若a 2=4，a 4=2，则a 6= （ ） A ．-1 B ．0 C ．1D ．6【答案】B【解析】在等差数列{a n }中，若a 2=4,a 4=2，则a 4=12(a 2+a 6)=12(4+a 6)=2，解得a 6=0，故选B.2．已知实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，则实数x 的值为( ) A ．3或－3 B ．3 C ．－3 D ．不确定【答案】C【解析】根据等比中项的性质可以得到一个方程，解方程，结合等比数列的性质，可以求出实数x 的值. 【详解】因为实数1,,,,9a x b --依次成等比数列，所以有2(1)(9)3x x =-⨯-⇒=±当3x =时，2(1)33a =-⨯=-，显然不存在这样的实数a ，故3x =-，因此本题选C.【点睛】本题考查了等比中项的性质，本题易出现选A 的错误结果，就是没有对等比数列各项的正负性的性质有个清晰的认识.3．下列函数中，最小值为4的是（ ） A ．4y x x=+B ．4sin sin y x x=+（0πx <<） C ．4e e x x y -=+ D ．3log log 3x y x =+（01x <<）【答案】C【解析】利用基本不等式求函数最值的条件逐项检验即可． 【详解】 解：对于A ：当0x <时，44y x x=+-„，∴该函数的最小值不是4，排除A ；对于B ：若取到最小值，则sin 2x =，显然不成立，故排除B ；对于C ：44x x y e e -=+=…，当且仅当4x x e e -=即2x ln =-时取等号，4e e x x y -∴=+的最小值为4，对于D ：01x <<Q ，0y ∴<，其最小值不为4，排除D ， 故选：C ． 【点睛】本题考查函数的最值以及基本不等式的应用，考查计算能力，属于基础题 4．若集合{}2|10A x ax ax =-+<=∅,则实数a 的取值范围是 ( ) A ．{}|04a a <<B ．{|04}a a ≤<C ．{|04}a a <≤D ．{|04}a a ≤≤【答案】D【解析】本题需要考虑两种情况，00a a =≠，，通过二次函数性质以及即集合性质来确定实数a 的取值范围。