线性空间与线性变换习题
线性空间与线性变换练习题
线性空间与线性变换练习题§1 线性空间1．设}|),,,({2121n n n x x x x x x V ===∈== R x 是否按向量的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
2．设⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=+++∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⨯022d c b a d c b a V R 是否按矩阵的加法和数乘构成R 上的线性空间？若是，求出它的维数和一个基。
3．证明n 阶实对称矩阵全体1V 和n 阶实反对称矩阵全体2V 均构成n n ⨯R 的子空间，并求它们的维数。
4．已知4R 中向量T )1,3,2,1(1=a ， T )1,2,1,1(2-=a ，T )6,1,6,2(3---=a ， T )1,7,4,3(4-=a ，求},,,Span{4321a a a a 的一个基和维数。
5．已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101102121k k k A ),,,(4321a a a a =（1）求A 的零空间}|{)(40Ax x A =∈=R N 的基与维数；（2）求T A 的零空间}|{)(30x A x A =∈=T T N R 的基与维数（3）求},,,Span{4321a a a a 一个基和维数。
6．已知3R 中的两组基为T )1,1,1(1=a ，T )1,0,1(2-=a ，T )1,0,1(3=a ，和T )1,2,1(1=b ，T )4,3,2(2=b ，T )3,4,3(3=b 。
（1）求向量T )4,2,2(=x 在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（2）求从基1a ，2a ，3a 到基1b ，2b ，3b 的过渡矩阵；（3）求向量3212b b b z -+=在基1a ，2a ，3a 下的坐标；（4）求向量321424a a a y -+=在基1b ，2b ，3b 下的坐标。
7．已知3R 中的两组基为T )1,0,1(1=a ，T )1,1,1(2-=a ，T )1,1,1(3-=a ，和T )1,0,3(1=b ，T )0,0,2(2=b ，T )2,2,0(3-=b 。
（完整版）高等代数（北大版）第7章习题参考答案
第七章 线性变换1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=； 5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f ；6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数；是一固定的数；7） 把复数域上看作复数域上的线性空间，把复数域上看作复数域上的线性空间，A ξξ=。
8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
不是。
2)当0=α时,是;当0≠α时,不是。
不是。
3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αkk A()α。
4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β， A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-==k A )(α， 故A 是P 3上的线性变换。
上的线性变换。
5) 是因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令并令 )()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g ， 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f ， 故A 为][x P 上的线性变换。
高等代数线性空间与线性变换练习题
第六章 线性空间一 判断题(1) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: ,,k k R αα=∈ 作成实数域R 上的向量空间. ( ) .(2) 平面上全体向量对于通常的向量加法和数量乘法: 0,,k k R α=∈ 作成实数域R 上 的向量空间. ( ).(3) 一个过原点的平面上所有向量的集合是3V 的子空间. ( ).(4) 所有n 阶非可逆矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(5) 121{(,,,)|1,}nn i i i x x x x x R ==∈∑为n R 的子空间. ( ).(6)所有n 阶实反对称矩阵的集合为全矩阵空间()n M R 的子空间. ( ).(7)11{(,0,,0,)|,}n n x x x x R ∈为n R 的子空间. ( ).(8)若1234,,,αααα是数域F 上的4维向量空间V 的一组基, 那么122334,,,αααααα++ 是V 的一组基. ( ).(9)n 维向量空间V 的任意n 个线性无关的向量都可构成V 的一个基. ( ).(10)设12,,,n ααα是向量空间V 中n 个向量, 且V 中每一个向量都可由12,,,n ααα 线性表示, 则12,,,n ααα是V 的一组基. ( ).(11) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, 如果12,,,n βββ与12,,,n ααα等价, 则12,,,n βββ也是V 的一个基. ( ).(12) 3x 关于基332,,1,1x x x x x +++的坐标为(1,1,0,0). ( ).(13)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++.若12dim dim dim s V V V n +++=, 则12s V V V +++为直和. ( ). (14)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若121230,()0,V V V V V =+=121,()0,S s V V V V −+++= 则12s V V V +++为直和.( ).(15) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},i j j i V V ≠=∑ 则12s V V V +++为直和. ( ).(16)设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 若(){0},,i j V V i j =≠则12s V V V +++为直和. ( ).(17) 设12,,,s V V V 为n 维空间V 的子空间, 且12s V V V V =+++. 零向量表法是唯一的, 则12s V V V +++为直和. ( ).(18) 设12,,,n ααα是向量空间V 的一个基, f 是V 到W 的一个同构映射, 则W 的一个基是12(),(),,()n f f f ααα. ( ). (19) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, 若向量空间V 与W 同构, 那么W 也是数域F 上的n 维向量空间. ( ).(20) 把同构的子空间算作一类, n 维向量空间的子空间能分成n 类. ( ). 答案 (1)错误 (2)错误 (3)正确 (4)错误 (5)错误 (6)正确 (7)正确 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)正确 (16)错误 (17)正确(18)正确 (19)正确 (20)错误二 填空题(1) 全体实对称矩阵, 对矩阵的________________作成实数域R 上的向量空间.(2) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间.则此空间的零向量为___.(3) 全体正实数的集合R +,对加法和纯量乘法,,k a b ab k a a ⊕==构成R 上的向量空间. 则a R +∈的负向量为________.(4) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则此空间的零向量为___.(5) 全体实二元数组对于如下定义的运算:2(,)(,)(,),(1)(,)(,),2a b c d a c b d ac k k k a b ka kb a ⊕=+++−=+ 构成实数域R 上的向量空间. 则(,)a b 的负向量为________.(6) 数域F 上一切次数n ≤的多项式添加零多项式构成的向量空间[]n F x 维数等于_____.(7) 任一个有限维的向量空间的基________的, 但任两个基所含向量个数是________.(8) 复数域C 作为实数域R 上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(9) 复数域C 看成它本身上的向量空间, 维数等于______, 它的一个基为_______.(10) 实数域R 上的全体n 阶上三角形矩阵, 对矩阵的加法和纯量乘法作成向量空间, 它的维数等于_____.(11) 向量(0,0,0,1)ξ=关于基123(1,1,0,1),(2,1,3,1),(1,1,0,0)ααα===4(0,1,1,1)α=−−的坐标为__________.(12) 223x x ++关于3[]F x 的一个基332,,1,1x x x x x +++的坐标为__________.(13) 三维向量空间的基12(1,1,0),(1,0,1),αα== 则向量(2,0,0)β=在此基下的坐标为 _______.(14) V 和W 是数域F 上的两个向量空间, V 到W 的映射f 满足条件__________________________________________, 就叫做一个同构映射.(15) 数域F 上任一n 维向量空间V 都与向量空间______同构.(16) 设V 的子空间123,,,W W W 有1213230W W W W W W ===, 则123W W W ++ ________直和.答案(1)加法和数量乘法 (2)1 (3)1a(4)(0,0) (5)2(,)a a b −− (6)1n + (7)不唯一, 相等 (8)2;1,i (9)1;1 (10)(1)2n n + (11)(1,0,1,0)− (12)(0,0,1,2) (13)(1,1,1)− (14)f 是V 到W 的双射; 对任意,,()()()V f f f αβαβαβ∈+=+; 对任意,,()()a F V f a af ααα∈∈= (15)n F (16)不一定是三 简答题(1) 设().n V M R = 问下列集合是否为V 的子空间, 为什么?1) 所有行列式等于零的实n 阶矩阵的集合1W ;2) 所有可逆的实n 阶矩阵的集合2W ;(2) 设()L R 是实数域R 上所有实函数的集合, 对任意,(),,f g L R R λ∈∈ 定义()()()(),()()(),f g x f x g x f x f x x R λλ+=+=∈对于上述运算()L R 构成实数域R 上向量空间. 下列子集是否是()L R 的子空间? 为什么? 1) 所有连续函数的集合1W ;2) 所有奇函数的集合2W ;3) 3{|(),(0)(1)};W f f L R f f =∈=(3) 下列集合是否为n R 的子空间? 为什么? 其中R 为实数域.1) 11212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α==+++=∈; 2) 21212{(,,,)|0,}n n i W x x x x x x x R α===∈; 3) 312{(,,,)|n W x x x α==每个分量i x 是整数};(4)设,,A X b 分别为数域F 上,1,1m n n m ⨯⨯⨯矩阵, 问AX b =的所有解向量是F 上的向量空间吗? 说明理由.(5) 下列子空间的维数是几?1) 3((2,3,1),(1,4,2),(5,2,4))L R −−⊆;2)22(1,1,)[]L x x x x F x −−−⊆(6) 实数域R 上m n ⨯矩阵所成的向量空间()m n M R ⨯的维数等于多少? 写出它的一个基.(7) 实数域R 上, 全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的维数是多少？(8) 若12,,,n ααα是数域F 上n 维向量空间V 的一个基，122311,,,,n n n αααααααα−++++ 也是V 的一个基吗？(9) 1,2,(1)(2)x x x x −+−+是向量空间2[]F x 的一个基吗？(10) 取4R 的两个向量12(1,0,1,0),(1,1,2,0)αα==−.求4R 的一个含12,αα的基.(11) 在3R 中求基123(1,0,1),(1,1,1),(1,1,1)ααα==−=−到基123(3,0,1),(2,0,0),(0,2,2)βββ===−的过渡矩阵.(12) 在中4F 求向量(1,2,1,1)ξ=关于基123(1,1,1,1),(1,1,1,1),(1,1,1,1)ααα==−−=−− 4(1,1,1,1)α=−−的坐标.(13) 设1W 表示几何空间3V 中过原点之某平面1∏的全体向量所构成的子空间, 2W 为过原点之某平面2∏上的全体向量所构成的子空间, 则12W W 与12W W +是什么? 12W W +能不能是直和? (14) 设1123212(,,),(,),W L W L αααββ==求12W W 和12W W +. 其中123(1,2,1,2),(3,1,1,1),(1,0,1,1)ααα=−−==−; 12(2,5,6,5),(1,2,7,3).ββ=−=−−(15) 证明 数域F 上两个有限维向量空间同构的充分必要条件是它们维数相等.(16)设{|,,},{(,)|,},a b V a b c R W d e d e R b c ⎛⎫=∈=∈ ⎪⎝⎭都是实数域R 的向量空间.问V 与W 是否同构? 说明理由.(17) 设12,,,n ααα为向量空间的一个基, 令12,1,2,,i i i n βααα=+++=且 ()i i W L β=.证明 12n V W W W =⊕⊕⊕.答案(1)1)1W 不是V 的子空间. 若1,,||A B W A B ∈+若未必等于零, 1W 对加法不封闭. 2)2W 不是V 的子空间. 因为3,||0A W A ∈≠, 则||0A −≠, 但|()|0A A +−=, 对加法不封闭.(2)1) 1W 是()L R 的子空间. 因为两个连续函数的和及数乘连续函数仍为连续函数. 2) 2W 是()L R 的子空间. 因为两个奇函数的和及数乘奇函数仍为奇函数.3) 3W 是()L R 的子空间. 因为3W 非空, 且对任意3,,,f g W R λ∈∈有()(0)(0)(0)(1)(1)()(1);(0)((0))((1))()(1),f g f g f g f g f f f f λλλλ+=+=+=+=== 故3,.f g f W λ+∈(3)1) 是. 因1W 是齐次方程组120n x x x +++=的全体解向量.2) 2W 不是n R 的子空间. 因2W 对加法不封闭.3) 3W 不是子空间. 因对数乘运算不封闭.(4)当0b ≠时, AX b =的所有解向量不能构成F 上的向量空间. 因n 维零向量不是 AX b =的解向量. 当0b =时,0AX =的所有解向量能构成F 上的向量空间.(5)1) 维数是2. 因(2,3,1),(1,4,2)−线性无关, 而(5,2,4)2(2,3,1)(1,4,2)−=−+. 2) 维数是2. 因易证21,1x x −−线性无关, 但22(1)(1)()0x x x x −+−+−=.(6) 解 令ij E 表示i 行j 列位置元素是1其余是零的m n ⨯矩阵. 那么易证ij E 这m n ⨯个矩阵是线性无关的. 它们作成()m n M R ⨯的一个基, 故()m n M R ⨯的维数是m n ⨯.(7) ,,,1,2,3,,,,ii ij ji E E E i j n i j +=≠ 为全体n 阶对称矩阵构成的向量空间的一个基,其中共有12(1)n n ++++−个向量, 故此向量空间的维数(1)2n n +. (8) 解 由121112(,,,)(,,,)n n n n A ααααααααα−+++=. 得1||1(1)n A +=+−. 当n 为偶数时, ||0A =, 故12231,,n αααααα+++线性相关, 它不构成基. 当n 为奇数时, ||0,A ≠ 故12231,,n αααααα+++线性无关, 它构成一个基.(9) 解 在基21,,x x 之下有2122(1,2,(1)(2))(1,,)111001x x x x x x −−⎛⎫ ⎪−+−+= ⎪ ⎪⎝⎭. 因上式右方的3阶矩阵为可逆, 所以1,2,(1)(2)x x x x −+−+线性无关, 它是2[]F x 的一个基.(10) 解 取向量34(0,0,1,0),(0,0,0,1)εε==,由于1100010010,12100001−=−≠ 因此1234,,,ααεε线性无关, 所以向量组是4R 的一个基.(11) 解 由123123123123(,,)(,,),(,,)(,,)A B αααεεεβββεεε==推出 1123123(,,)(,,)A B βββααα−=因此所求过渡矩阵为10113201001100021112210211111122A B −⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=−= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪−− ⎪⎝⎭. (12) 解 取4F 的标准基1234,,,εεεε. 由1234,,,εεεε到1234,,,αααα的过渡矩阵为1111111111111111A ⎛⎫ ⎪−− ⎪= ⎪−− ⎪ ⎪−−⎝⎭于是(1,2,1,1)ξ=关于基1234,,,αααα的坐标为1541124114114A −⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪−⎪ ⎝⎭. (13) 解 由于1W ,2W 皆过原点, 它们必相交, 因此或重合, 或不重合. 若1W 与2W 重合, 则 121121,W W W W W W =+=. 若1W 与2W 不重合, 则12W W 为一条过原点的直线, 而12W W V +=, 但12W W +不能是直和.(14) 解 设112233112212k k k t t W W γαααββ=++=+∈为交空间的任意向量.由 11223311220,k k k t t αααββ++−−=得齐次线性方程组123121212123121231232025206702530k k k t t k k t t k k k t t k k k t t +−−+=⎧⎪+−−=⎪⎨−++++=⎪⎪−++−−=⎩ 由行初等变换知方程组的系数矩阵的秩为4, 解空间的维数为1, 且求得方程组的一般解为122232424896,,,7777k t k t k t k t =−=−=−=−因此维12()1W W =, 维12()4W W +=. 取27t =,令1267ξββ=−+便有12()W W L ξ=, 另外显然121231(,,,)W W L αααβ+=.(15) 证明 设数域F 上两个有限维向量空间V 与W 的维数均为n , 因,n n V F W F ≅≅所以V W ≅.反之, 若V W ≅, 设dim 0,V n => 且f 是V 到W 的同构映射. 取V 的一个基 12,,,n ααα, 易证12(),(),,()n f f f ααα是W 的一个基, 故dim W n =.(16) V 与W 不同构. 因dim 3,dim 2V W ==, V 与W 的维数不相等.(17) 证明 任取V α∈, 若1122n n a a a αααα=+++, 那么12123211()()()n n n n n n n a a a a a a a a αβββαβ−−=−−−+−−−+−+因此12n V W W W =+++, 并且V 中向量依诸i W 表示唯一, 故12n V W W W =⊕⊕⊕四 计算题(1) 设由123(1,2,2,2),(1,3,0,1),(2,1,2,5)ααα=−=−−=−−, 生成4R 的子空间.W 试从向量组1234(3,1,0,3),(2,1,0,3),(3,4,2,16),(1,7,4,15)ββββ==−=−−=−中找出W 的生成元.(1) 解 以123,,ααα及1234,,,ββββ为列做成矩阵A , 在对A 的行施行初等变换.11232312311147202002421533161510011/20201001/21100111/2100000400A B −⎛⎫⎪−−−⎪=→⎪−− ⎪⎪−−−⎝⎭⎛⎫⎪−− ⎪= ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭由于行初等变换不改变列向量间的线性关系. 由矩阵B 知,113323412,,2βααβααβαα=+=−+=+从而134(,,).L W βββ⊆但由B 还知134,,βββ线性无关, 故134,,βββ为W 的一组生成元.(2) 在向量空间4R 中, 求由向量123(2,1,3,1),(4,5,3,1),(1,1,3,1)ααα=−=−=−−4(1,5,3,1)α=−生成的子空间的一个基和维数.(2) 解 对下述矩阵施行行的初等变换241106391515151533330126181111042600001302.00000213−−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭此变换保持列向量间的线性关系, 由右方矩阵知13,αα是一个极大无关组, 因此1234(,,,)L αααα的维数实是2,而13,αα是它的一个基.(3) 在4R 中求出向量组12345,,,,ααααα的一个极大无关组,然后用它表出剩余的向量.这里123(2,1,3,1),(1,2,0,1),(1,1,3,0),ααα===−−45(1,1,1,1),(0,12,12,5)αα==−.(3) 解 对下述矩阵施行行的初等变换211101010********011230311230311211015110150001300013101121010500026000001101511002−−−⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪−− ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪−−−− ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭−−⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪−−− ⎪ ⎪→ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由右方矩阵知234,,ααα是一个极大无关组, 并且有 1235234,253ααααααα=−=++.(4) 求3()M F 中与矩阵A 可交换的矩阵构成的子空间的维数及一个基, 其中 100010.312A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4) 解 设这个子空间为,W 由于A I B =+, 这里 000000311B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭因此与A 可交换的3阶方阵, 就是与B 可交换的3阶方阵, 从而 3{()|}W X M F BX XB =∈=.任取,()ij C W C c ∈=. 由BC CB =, 可得1323112131330,33,c c c c c c ==++=122232333c c c c ++=,于是C W ∈当且仅当C 的元素为齐次线性方程组2111313322123233333c c c c c c c c =−−+⎧⎨=−−+⎩的解. 于是我们得到如下矩阵100010000300,030,100000000100⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 000000010,310010001⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭它们构成W 的一个基, 故W 的维数是5.(5) 求实数域上关于矩阵A 的全体实系数多项式构成的向量空间V 的一个基与维数.其中2100100,.200A ωωω⎛⎫−+ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭(5) 解 因31ω=, 所以22311,11A A I ωω⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭易证2,,I A A 线性无关. 于是任何多项式()(()[])f A f x R x ∈皆可由2,,I A A 线性表示, 故2,,I A A 为的一个基, dim 3V =.(6) 设1234(,,,)x x x x 为向量ξ关于基12(1,0,0,1),(0,2,1,0),αα==3(0,0,1,1),α=4(0,0,2,1)α=的坐标; 1234(,,,)y y y y 是ξ关于基1234,,,ββββ的坐标, 其中11y x =,221332442,,.y x x y x x y x x =−=−=−求基1234,,,ββββ.(6) 解 因1122123412343344(,,,)(,,,)x y x y x y x y ξααααββββ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且111222333444100011000110011y x x y x x P y x x y x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭则1122123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ααααββββ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭于是 12341234(,,,)(,,,)P ααααββββ=, 即 112341234(,,,)(,,,)P ββββαααα−=故所求的基为1234(1,2,4,3),(0,2,4,2),(0,0,1,1),(0,0,2,1)ββββ====.(7) 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基，11212,,,n αααααα++++也是V 的一个基，又若向量ξ关于前一个基的坐标为(,1,,2,1)n n −, 求ξ关于后一个基的坐标.(7) 解 基12,,,n ααα到后一个基的过渡矩阵为111101110011001P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 那么12111001101101120001211000111n n n y n n y P y −−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪−−− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故ξ关于后一个基的坐标为(1,1,,1).(8) 已知3R 的一个基为123(1,1,0),(0,0,2),(0,3,2)ααα===. 求向量(5,8,2)ξ=−关于这个基的坐标.(8) 解 设112233x x x ξααα=++, 的方程组 11323538222x x x x x =⎧⎪+=⎨⎪+=−⎩解得1235,2,1x x x ==−=. 故ξ关于基123,,ααα的坐标(5,2,1)−.(9) 已知1234(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1),(6,6,1,3)αααα=−===是4R 的一个基.求4R 的一个非零向量ξ, 使它关于这个基的坐标与关于标准基的坐标相同.(9) 解 由标准基1234,,,εεεε到基1234,,,αααα的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭设ξ关于两个基的坐标为1234(,,,)x x x x , 则11223344,x x x x P x x x x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即得齐次线性方程组134133412341345602360020x x x x x x x x x x x x x x ++=⎧⎪+++=⎪⎨−+++=⎪⎪++=⎩解得1234x x x x ===−, 令40,x k k R =≠∈, 则(,,,)k k k k ξ=−−−即为所求.(10)已知4R 的一个基123(2,1,1,1),(0,3,1,0),(5,3,2,1)ααα=−==4(6,6,1,3)α=.求1234(,,,)x x x x ξ=关于基1234,,,αααα的坐标.(10) 解 由标准基到所给基的过渡矩阵为 2056133611211013P ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪− ⎪ ⎪⎝⎭那么11221123412343344(,,,)(,,,)x x x x P x x x x ξεεεεαααα−⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故ξ关于基1234,,,αααα的坐标为1234(,,,)y y y y , 这里11122213334444/91/3111/91/274/91/323/271/3002/37/271/91/326/27y x x y x x P y x x y x x −−−⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−−⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.五 证明题(1) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. 1)证明: 12W W 是V 的子空间.2)12W W 是否构成V 的子空间, 说明理由. (1) 证明1) 显然120W W ∈, 即12W W ≠Φ, 任取1212,,W W k F αα∈∈, 易知1212112,W W k W W ααα+∈∈, 故12W W 是V 的子空间.2) 不一定. 当12W W ⊆或21W W ⊆时, 12W W 是V 的子空间. 但当1W 与2W 互不包含时,12W W 不是V 的子空间. 因为总存在1112,W W αα∈∉及2221,W W αα∈∉使1212,W W αα∈, 而1212W W αα+∉, 因为这时121122,W W αααα+∉+∉, 否则与选取矛盾.(2) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明: 12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间.(2) 证明 易知12121122{|,}W W W W αααα+=+∈∈为V 的子空间, 且112212,.W W W W W W ⊆+⊆+设W 为V 的包含1W 与2W 的任一子空间, 对任意1122,W W ξξ∈∈,有12W ξξ+∈, 即12W W W +⊆, 故12W W +是V 的即含1W 又含2W 的最小子空间..(3) 设12,W W 为向量空间()V F 的两个子空间. ,αβ是V 的两个向量, 其中2W α∈, 但1W α∉, 又2W β∉. 证明: 1)对任意2,k F k W βα∈+∉;2)至多有一个,k F ∈使得1k W βα+∈. (3) 证明1) 任意,k F ∈若2k W βα+∈, 则2()k k W ββαα=+−∈矛盾, 故1)成立.2) 当1W β∈时, 仅当0k =时, 有1k W βα+∈; 当1W β∉时, 若存在1212,,k k F k k ∈≠使得111221,k W k W αβααβα=+∈=+∈, 则12121()k k W ααα−=−∈, 因此1W α∈, 矛盾, 故2)成立.(4) 设12,W W 为向量空间V 的两个子空间. 证明 若1212W W W W +=, 则12W W ⊆或21W W ⊆.(4) 证明 因12W W 含1W 与2W 中所有向量, 12W W +含一切形如121122(,)W W αααα+∈∈的向量, 因为1212W W W W +=, 所以121W αα+∈或122W αα+∈. 若121W αα+∈, 令12ααβ+=, 则21αβα=−, 故21W W ⊆; 若122W αα+∈, 令12ααγ+=, 则12αγα=−, 故12W W ⊆.(5) 证明: n 维向量空间V 中, 任意n 个线性无关的向量都可作为V 的一个基.(5) 证明 设12,,,n ααα是V 中线性无关的向量, 取V 的单位向量12,,,n εεε, 则12(,,,)n V L εεε=, 且12,,,n ααα中每一个可由12,,,n εεε线性表示. 由替换定理知12,,,n ααα与12,,,n εεε等价, 所以V 中每一个向量可由12,,,n ααα线性表示, 又 12,,,n ααα线性无关, 故12,,,n ααα可作为V 的一个基.(6) 设V 为n 维向量空间, V 中有m 组线性无关的向量, 每组含t 个向量, 证明: V 中存在n t −个向量与其中任一组组成V 的一个基.(6) 证明 设V 中m 组线性无关的向量分别为12,,,(1,2,,),i i it i m t n ααα=≤. 令12(,,,)i i i it V L ααα=, 则dim i V t n =<. 因存在1,(1,2,,)i V i m ξ∉=, 使121,,,,i i it αααξ线性无关, 若1t n +<,令/121(,,,,)i i i it V L αααξ=, 则/i V 也为V 的非平凡子空间, 同理存在/2,1,2,,i V V i m ξ=−=, 而且1212,,,,,i i it αααξξ线性无关, 如此继续下去, 可找到12,,,n t ξξξ−使得12,,,,i i it ααα12,,,n t ξξξ−线性无关, 故对每个i ,它们都是V 的一个基.(7) 设n 维向量空间V 的向量组12,,,n ααα的秩为r , 使得11220n n k k k ααα+++=全体n 维向量12(,,,)n k k k 的集合为W . 证明W 是n F 的n r −维子空间.(7) 证明 显然12dim (,,,)n L r ααα=, 今设每个i α在12(,,,)n L ααα的某个基下的坐标为12[]i i i ir a a a α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,,i n =那么由11220n n k k k ααα+++=可得1122[][][]0n n k k k ααα+++=.它决定了一个含n 个未知量12,,,,n k k k r 个方程的齐次线性方程组, 其系数矩阵12([],[],,[])n ααα的秩为r , 故解空间即W 的维数为n r −.(8) 设12,,,n a a a 是数域F 中n 个不同的数, 且12()()()()n f x x a x a x a =−−−. 证明多(8) 证明 因1dim []n F x n −=, 所以只需证12,,n f f f 线性无关. 设有12,,,n k k k F ∈,使1220n n k f k f k f +++= (*)由()0,,()0j i i i f a i j f a =≠≠, 因此将i a 带入(*)得()0i i i k f a =, 从而0,(1,2,)i k i n ==故12,,n f f f 线性无关, 为1[]n F x −的一个基.(9) 设W 是n R 的一个非零子空间, 而对于W 的每一个向量12(,,,)n a a a 来说, 或者120n a a a ====, 或者每一个i a 都不等于零. 证明: dim 1.W =(9) 证明 由W 非零, 我们总可以取12(,,,)n b b b W β=∈, 且0β≠, 那么每个0i b ≠且β线性无关. 今对任意12(,,,)n a a a W α=∈, 若0α=当然α可由β线性表示; 若0α≠而11a W b αβ−∈, 由于其第一个分量为0, 由题设知11ab αβ=. 故β可作为W 的一个基,且dim 1.W =(10) 证明: 22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基, 并求2273x x ++关于这个基的坐标.(10) 证明: 2dim []3,F x =22,,1x x x x x +−+由基21,,x x 表示的演化矩阵为 001111110A ⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭但A 可逆, 故22,,1x x x x x +−+是2[]F x 的一个基.2273x x ++关于这个基的坐标(3,1,3)−,因为13371.23A −⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11) 若123,,W W W 都是V 的子空间, 求证:11231213(())()()W W W W W W W W +=+.(11) 证明: 任意1123(())W W W W α∈+, 则1W α∈, 且123()W W W α∈+, 因此1311233,,W W W ααααα=+∈∈, 但1W α∈, 知313W W α∈, 故 1213()()W W W W α∈+.反之, 任意1213()()W W W W β∈+, 12112213,,W W W W βββββ=+∈∈, 则1W β∈, 且123()W W W β∈+, 故1123(())W W W W β∈+.(12) 设12,,,s W W W 是n 维向量空间V 的子空间. 如果12s W W W +++为直和.证明:{0},,,1,2,,ij W W i j i j s =≠=.(12) 证明: 由12s W W W +++为直和, 有(){0},,,1,2,,ij i jW W i j i j s ≠=≠=∑, 而(){0},,,1,2,,i j ij i jW W W W i j i j s ≠⊆=≠=∑. 故{0},,,1,2,,i j W W i j i j s =≠=.(13) 设12,W W 分别是齐次线性方程组120n x x x +++=与12n x x x ===的解空间.证明: 12n F W W =+.(13) 证明 因120n x x x +++=的解空间的维数为1n −, 且一个基为12(1,1,0,,0),(1,0,1,0,,0),αα=−=−1,(1,0,,0,1)n α−=−, 又12n x x x ===即方程组12231000n n x x x x x x −−=⎧⎪−=⎪⎨⎪⎪−=⎩的系数矩阵的秩为1n −, 其解空间的维数为1, 且一个基为(1,1,,1)β=, 但121,,,n αααβ−线性无关, 它是n F 的一个基, 且12dim dim dim n F W W =+, 故12n F W W =+.(14) 证明 每一个n 维向量空间都可以表成n 个一维子空间的直和. (14) 证明: 设12,,,n ααα是n 维向量空间V 的一个基, 那么12(),(),,()n L L L ααα都是一维子空间.显然 12()()()n V L L L ααα=+++于是由V 中向量在此基下表示唯一, 立得结论.(15) 证明n 维向量空间V 的任意一个真子空间都是若干个1n −维子空间的交.(15) 证明: 设W 是V 的任一子空间, 且设12,,,s ααα为W 的一个基, 将其扩充为V 的一个基12,,,s ααα1,,,s n αα+, 那么令12111(,,,,,,,,,)i s s s i s i n W L ααααααα++−++=于是这些,1,2,i W i n s =−, 均为1n −维子空间, 且12n s W W W W −=.(16)设:f V W →是数域F 上向量空间V 到W 的一个同构映射, 1V 是V 的一个子空间.证明: 1()f V 是W 的一个子空间.(16) 证明: 因1(0)()f f V ∈, 所以1()f V 非空. 对任意//1,()f V αβ∈, 由于f 是1V 到1()f V 的满射, 因此存在1,V αβ∈, 使//(),()f f ααββ==, 对任意,a b F ∈, 有 1a b V αβ+∈, 于是//1()()()()f a b af bf a b f V αβαβαβ+=+=+∈, 故1()f V 是W的一个子空间.(17) 证明: 向量空间[]F x 可以与它的一个真子空间同构.(17) 证明: 记数域F 上所有常数项为零的多项式构成的向量空间V , 显然[]V f x ⊂, 且V 中有形式()xf x , 这里()f x ∈[]F x .定义:[];F x V σ()()f x xf x →, 显然σ是[]F x 到V 的双射, 且对于任意(),()f x g x ∈[],,,F x a b F ∈(()())(()())()()(())(())af x bg x x af x bg x axf x bxg x a f x b g x σσσ+=+=+=+故σ是[]F x 到V 的同构映射. 从而V 是[]F x 的一个真子空间, []F x V ≅.(18) 设,αβ是复数, {()[]|()0},{()[]|()0}V f x R x f W g x R x g αβ=∈==∈=,证明: ,V W 是R 上的向量空间, 并且V W ≅.(18) 证明: 易证,V W 是R 上的向量空间,设V 中次数最低的多项式为()h x , 则对任意()f x V ∈, 都有()[]s x R x ∈, 使()()()f x h x s x =, 因此{()()|()[]}V h x s x s x R x =∈同理, 设W 中次数最低的多项式为()k x , 则{()()|()[]}W k x s x s x R x =∈. 定义:()()()()h x s x k x s x σ易证σ是V 到W 的同构映射, 故V W ≅.(19) 证明 实数域R 作为它自身上的向量空间与全体正实数集R +对加法: a b ab ⊕=, 与纯量乘法: kk a a =构成R 上的向量空间同构.(19) 证明: 定义:(1)x xa a σ>显然σ是R 到R +的映射.1),x y R ∈, 若x y ≠, 则x y a a ≠, 所以σ为单射;任意b R +∈, 因log ,log ba b a b a R =∈, 则(log )ba b σ=, 即σ为满射.从而σ为双射.2) 任,,()()()x y x y x y x y R x y a a a a a x y σσσ+∈+===⊕=⊕. 3) 任,()()()kx x k x k R kx a a k a k x σσ∈====,于是σ是R 到R +的同构映射. 故R R +≅.(20) 设V 是数域F 上无限序列12(,,)a a 的集合, 其中i a F ∈, 并且只有有限i a 不是零.V 的加法及F 中的数与V 中元的纯量乘法同n F , 则V 构成F 上的向量空间. 证明: V 与[]F x 同构.(20) 证明: 取[]F x 的一个基21,,,x x , 则[]F x 中任一多项式01()n n f x a a x a x =+++关于这个基有唯一确定的坐标01(,,,,0,)n a a a V ∈.定义:()f x σ01(,,,,0,)n a a a则σ是[]F x 到V 的一个同构映射, 故[]F x V ≅.线性变换一 判断题(1) 在向量空间3R 中, 1231223(,,)(2,,)x x x x x x x σ=−, 则σ是3R 的一个线性变换. ( ). (2) 在向量空间[]n R x 中, 2(())()f x f x σ=, 则σ是[]n R x 的一个线性变换. ( ). (3) 取定()n A M F ∈, 对任意的n 阶矩阵()n X M F ∈, 定义()X AX XA σ=−, 则σ是()n M F 的一个线性变换. ( ).(4) σ是向量空间V 的线性变换, 向量组12,,,m ααα线性相关, 那么12(),(),,()m σασασα也线性相关. ( ).(5) 在向量空间[]n R x 中, 则微商'(())()f x f x σ=是一个线性变换. ( ). (6) 在向量空间3R 中, 已知线性变换1231223312313(,,)(,,),(,,)(,0,).x x x x x x x x x x x x x στ=++=则12321233(2)(,,)(,,)x x x x x x x x στ−=−+−. ( ).(7) 对向量空间V 的任意线性变换σ, 有线性变换τ, 使(στιι=是单位变换). ( ). (8) 向量空间2R 的两个线性变换σ,τ为12121(,)(,)x x x x x σ=−;12122(,)(,)x x x x x τ=−则212212()(,)(,).x x x x x στσ−=−+(9) 在实数域F 上的n 维向量空间V 中取定一组基后, V 的全体线性变换和F 上全体n阶矩阵之间就建立了一个一一对应. ( ).(10)在取定基后, V 的每个可逆线性变换对应于可逆矩阵, 但逆变换未必对应于逆矩阵.( ).(11) 线性变换在不同基下对应的矩阵是相似的. ( ). (12) 相似矩阵不一定是同一线性变换在不同基下的矩阵. ( ). (13) 域F 上的向量空间V 及其零子空间, 对V 的每个线性变换来说, 都是不变子空间.( ).(14) 除零变换外, 还存在向量空间V 的线性变换, 能使V 的任意子空间对该变换不变.( )(15) 向量空间V 的线性变换1σ的不变子空间W , 也是V 的另一线性变换2σ的不变子空间, 这里21σσ≠. ( ).(16) 向量空间V 的线性变换σ的象与核都是σ的不变子空间. ( ). (17) 线性变换σ的特征向量之和, 仍为σ的特征向量. ( ). (18) 属于线性变换σ同一特征根0λ的特征向量的线性组合仍是σ的特征向量. ( ). (19) 数域F 中任意数λ都是F 上的向量空间V 的零变换的特征根. ( ). (20) σ在一个基下可以对角化, 则σ在任何基下可以对角化. ( ).参考答案：(1)正确 (2)错误 (3)正确 (4)正确 (5)正确 (6)正确 (7)错误 (8)正确 (9)正确 (10)错误 (11)正确 (12)错误 (13)正确 (14)正确 (15)错误 (16)正确 (17)错误 (18)正确 (19)错误 (20)错误二 填空题(1) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是单射的充要条件是____________.(2) 设V 和W 是数域F 上的向量空间, 而:V W σ→是一个线性映射, 那么σ是满射的充要条件是____________.(3) σ是向量空间V 的线性变换, 若满足________________, 则称σ是可逆变换. (4) 向量空间V 的任意线性变换σ, 都有(0)_______,()______.σσα=−=(5)σ是n 维向量空间V 的一个位似变换: (),k σξξ=那么σ关于V 的__________基的矩阵是kI .(6) 在3V 的基123{,,}εεε下σ的矩阵是 111213212223313233a a a A a a a aa a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭那么σ关于基3121{,,2}εεεε+的矩阵是_____________.(7) 在3F 中的线性变换12312231(,,)(2,,)x x x x x x x x σ=−+, 那么σ关于基123(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)εεε===的矩阵是________________.(8)设12,σσ分别是向量空间2R 中绕原点逆时针旋转12,θθ角的线性变换, 那么21σσ关于基12(1,0),(0,1)αα==的矩阵是___________________.(9) 对于域F 上向量空间V 的数乘变换来说______________不变子空间. (10)2维平面上的旋转变换σ,_________非平凡的不变子空间.(11) 若线性变换σ与τ是_____________, 则τ的象与核都是σ的不变子空间. (12) 相似矩阵有_____的特征多项式.(13)0()0I A X λ−=的___________都是A 的属于0λ的特征向量. (14) A 与对角阵相似, ()[]f x F x ∈, 则()f A 必与某一______________. (15) 设V 是数域F 上的n 维向量空间, (),L V σσ∈的不同的特征根是12,,,t λλλ, 则σ可对角化的充要条件是_____________.(16) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, 如果V 的任意一维子空间都是σ的不变子空间, 那么σ可以_____________.(17) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, σ可对角化的充要条件是 1)σ的特征多项式的根都在F 内; 2)_______________________________;(18) 设()n A M F ∈, 如果A 的特征多项式在F 内有______________, 那么A 可对角化. (19) 设σ是实数域F 上的n 维向量空间V 的线性变换, λ是σ的一个特征根, 则dim ____V λλ的重数.(20) 矩阵327024005⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭的特征根是______________.答案(1)ker(){0}σ= (2)Im()W σ= (3)存在V 的线性变换τ, 使σττσι== (4)0,α−(5)任意 (6)131112112321222133313231222a a a a a a a a a a a a +⎛⎫⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭ (7)210011100−⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(8)12121212cos()sin()sin()cos()θθθθθθθθ+−+⎛⎫⎪++⎝⎭ (9)每个子空间都是 (10)没有 (11)可交换的(12)相同 (13)非零解向量 (14)对角阵相似 (15)1dim i ti V n λ==∑ (16)对角化 (17)对于σ的特征多项式的每一个根λ, 特征子空间V λ的维数等于λ的重数 (18)n 个不同的 单根 (19)≤ (20)3, 2, 5三. 单选题：1．向量空间()n V F 的零变换θ的象及核的维数分别是（ ）。
《线性代数》(陈维新)习题答案(第4章)
⇔ 矩阵 [α1 α 2 α 3 ] 的秩是否与矩阵 [α1 α 2 α 3
解 对矩阵 [α1
β ] 的秩相同.
α 2 α 3 β ] 作初等行变换化为阶梯形:
[α1
1 2 3 1 7 1 2 −1 α2 = α 3 β ] 3 7 −6 − 2 → 0 1 −3 − 5 . 5 8 1 a 0 0 0 a − 1 5
证明 设������ ≠ ������ ∈ ������ ，则������，2������， ⋯ ，������������， ⋯ ∈ ������ 。下证当������ ≠ ������时，������������ ≠ ������������。 (反证) 若������������ = ������������，则(������ − ������)������ = ������，因������ ≠ ������，则������ − ������ = 0，这与 ������ ≠ ������矛盾，所以������ 中 至少有无穷多个向量������，2������， ⋯ ，������������， ⋯。
第四章 线性空间和线性变换
习题 4.1
1．检验以下集合关于所指定的运算是否构成实数域������上的线性空间： (1) ������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘； (2) 次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式 的数乘； (3) 有理数的全体������，关于数的加法和实数与有理数的乘法； ： (4) 平面上全体向量������2 ，关于通常的向量加法和如下定义的数量乘法“∘” 解 (1) 是 因为任意两个������阶实对称矩阵和是������阶实对称矩阵， 任意一个实数乘以������阶实对称矩阵也 是������阶实对称矩阵，所以������阶实对称矩阵的全体关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘运算是 封闭的。下面验证八条运算规律成立。 记������阶零矩阵为������，显示������是实对称矩阵，且对任意的������阶实对称矩阵������都有������ + ������ = ������。 对任意的������阶实对称矩阵������，显然−������也是������阶实对称矩阵，且������ + (−������) = ������。 其它 6 条运算规律显然成立，这里就不证。 由此可知，������阶实对称矩阵的全体，关于矩阵的加法和实数与矩阵的数乘否构成实数域 ������上的线性空间。 (2) 否 因为零多项式的次数不是������，所以这个集合不含零向量，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系 数一元多项式的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性 空间。 或者说： 因为两个任意的次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式和的多项式次数不一定等于������， 有可能小于������，所以关于多项式的加法不封闭，因此次数等于������(������ ≥ 1)的实系数一元多项式 的全体，关于多项式的加法和实数与多项式的数乘不能构成实数域������上的线性空间。 ������ ∘ ������ = ������，∀������ ∈ ������，∀������ ∈ ������2
第1,2章 线性空间与线性变换
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Example
R 3={x=（x1，x2，x3）T：xi ∈R} ={x= ={空间中所有向量} ={空间中所有向量 空间中所有向量}
二、向量组的探讨 （Review)
向量组的极大线性无关组： 向量组的极大线性无关组： 为向量组A α1，α2，…，αs为向量组A的一个部分组 （精英组合） 满足 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 （彼此工作不可替代） 任意A的向量可以由α 任意A的向量可以由α1，α2，…，αs线性表示 （公司的任何人的工作可由精英组合完成） 向量组的秩(rank)： 向量组的秩(rank)：最大无关组中向量的个数
定义向量的加法，数与向量的乘积。 定义向量的加法，数与向量的乘积。 运算封闭 八条运算律成立
1.1 线性空间(Linear Spaces) 线性空间(Linear
一、线性空间的概念 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） 线性空间=集合+两种运算（所成完美集合） Definition:(线性空间或向量空间 Definition:(线性空间或向量空间view)
向量的线性相关与线性无关： 向量的线性相关与线性无关：
向量β可由α 向量β可由α1，α2，…，αs线性表示;（其工作可由多人 线性表示; 合力完成） 合力完成） 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性无关 ⇔ 任何一个向量不能由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 只有系数都为0 要使k 只有系数都为0 向量组α 向量组α1，α2，…，αs线性相关 ⇔ 其中一个向量可以由其余向量线性表示 ⇔ 要使k1α1+k2α2+…+ksαs =0, 必须有非零系数 要使k
第七章 线性空间与线性变换(1)
也可以写成:
1 A ( B1 , B2 , B3 ) 1 / 2 － 1/2
一般地, 向量在基1, 2,…, n下的坐标为(x1, x2,…xn)T,
也可表示为:
x1 x2 1 , 2 ,..., n xn
二. 基变换与坐标变换
线性空间如果有基, 显然基不唯一. 那么一个向量在不 同基下就有不同的坐标, 下面就来讨论它们之间的关系. 设1, 2,…,n和1, 2,…, n是线性空间VK的两组基, 则, 这两个向量组等价. 如果
c1k c2 k βk α1 ,α 2 , ...,α n cnk , k 1, 2,..., n
则合起来就有:
c11 c12 c21 c22 β1 ,β 2 , ...,βn = α1 ,α 2 , ...,αn cn1 cn 2
简记为
c1n c2 n cnn
β1 ,β2 ,...,βn = α1 ,α2 ,...,αn C
向量组1, 2,…r的一个极大线性无关组, 就是线性
空间L(1, 2,…r)的一组基, 其维数就是向量组的秩.
Hale Waihona Puke 定理7.2 设V是n维线性空间, 如果V中向量组1, 2,…, m线性无关, 则在V中必有n－m个向量m+1, m+2,…,n, 使得1, 2,…, m, m+1, m+2,…,n是V的一组基.
所以,
3 1 1 1 1 2 (1 , 2 , 3 ) 0 1 2 1 3 1 ( 1 , 2 , 3 ) 0 0 1 0 0 2 于是, 由1, 2, 3到 1, 2, 3的过渡矩阵为 1 1 1 C 0 1 2 0 0 1
第1,2章 线性空间与线性变换
§1·4 线性变换(Linear Transformations)
一、 线性变换的概念
1. 线性变换的来历；
Definition： （i）T是V上的映射：T：VV。 (ii) T具有线性性：
T（＋）=T（）＋T（）
(保持加法的三角形法则)
T（k）=kT（ ）
(保持比例关系)
2 线性变换的性质：
2 坐标变换公式
已知 ➢空间中两组基：
{1, 2,..., n} {1, 2 ,..., n}
满足:(1, 2 ,..., n ) (1,2 ,..., n )Cnn
➢: (12...n )X ; (12...n )Y
讨论X和Y的关系
X=CY
例 已知空间R中两组基（I）{Eij}
（II）；{ 2 1 0 1 0 0 0 0 } 0 0 1 0 3 1 0 3
Rmn ；Cmn 。
F[t]n ={f(x)=a0 + a1x+ a2x2+...+an-1xn-1 ：aiR}
运算：多项式的加法和数乘
•C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}
运算：函数的加法和数乘
•Example： V=R+，F=R， a b=ab， a=a
不是线性空间的集合
要点：
• 集合V 与数域F • 向量的加法和数乘向量运算 （运算之后的结果跑不出去） • 八条运算律 （能够保证向量的混合运算几乎与数的运算一样完美）
常见的线性空间
F=R或C
Fn={X=（x1，x2，…，xn）T：x F}
运算：向量加法和数乘向量
Fmn = {A=[aij]mn：a ijF}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵
线性空间与线性变换习题
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子 空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解 空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
a b = a+b, °a = a, (R, a, bR+)
问R+对上述加法与乘数运算是否构成(实数域R上的) 线性空间.
解: 可以验证, 所定义的运算是上的运算. 但对于 八条运算规律并不都成立. 对(7), (8)两条不成立.
例如,
(8) (k+l)°a = ak+l = ak al ak+al = ak al = k°a l °a .
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+ a22 2
+ a2n 2
+ + an2 n
+ + ann n
记
T(1, 2, ···, n)=(T(1), T(2), ···, T(n)),
则上式可表示为
T(1, 2, ···, n)= (1, 2, ···, n)A
其中
A
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
A为变换T的源集, 象的全体所构成的集合称为象集, 记作T(A), 即
T(A)={ =T() | A }.
显然, T(A)B. 变换概念是函数概念的推广.
定义: 设Vn, Um分别是实数域R上的n维和m维线 性空间, T是一个从Vn到Um的变换, 如果变换T满足:
(1) 任给1, 2Vn , 都有 T(1+2)=T(1)+T(2); (2) 任给Vn , kR, 都有 T(k)= kT().
而 1, x–1, (x–2)(x–1)P[x]2, 令
整理得
k1·1+k2(x–1)+k3(x–2)(x–1)=0 (k1–k2+2k3)+(k2–3k3)x +k3x2=0
比较等式两边得
k1
k2 k2
+
2 3
k k
3 3
= =
0 0
,
k3 = 0
由方程组易得 k1=k2=k3=0, 于是1, x–1, (x–2)(x–1)
定义: 设有两个非空集合A, B, 如果对于A中任一
元素, 按照一定规则, 总有B中一个确定的元素 和它
对应, 那么, 这个对应规则称为从集合A到集合B的变
换(或称映射), 记作 =T() 或记作 =T (A). 设A, T()= , 就说变换T把元素变为, 称为
在变换T下的象, 称为 在变换T下的源(或象源), 称
1, 2, ···, n;, 由基1, 2, ···, n到基1, 2, ···, n的过渡矩阵为P, Vn
中的线性变换T在这两个基下的矩阵依次为A和B, 那 末B=P-1AP.
定义: 线性变换T的象空间T(Vn)的维数, 称为线性 变换T的秩.
若A是线性变换T的矩阵, 则T的秩就是R(A).
若线性变换T的秩为r, 则T的核ST的维数为n–r.
= x11+x22+···+xnn , 则称有序数组 x1, x2, ···, xn 为元素在基1, 2, ···, n 下的坐标, 并记作 = (x1, x2, ···, xn)T.
线性空间V的任一元素在一个基下对应的坐标是 唯一的, 在不同的基下所对应的坐标一般不同.
在向量用坐标表示后, 它们的运算就归结为坐标 的运算, 因而对线性空间Vn的讨论就归结为线性空间 Rn的讨论.
典型例题
1. 线性空间的判定
(1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加乘运算, 则只需检验运算的封闭性.
(2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律.
例1: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为:
3. 若1, 2, ···, m 线性相关, 则T1, T2, ···, Tm
亦线性相关.
注意: 若1, 2, ···, m 线性无关, 则T1, T2, ···, Tm不一定线性无关.
4. 线性变换T的象集T(Vn)是线性空间Vn的一个子 空间, 称T(Vn)为线性变换T的象空间.
5. ST={ | T1=0, Vn}(经T变换到0的全体元素
(x+y)A(x+y)T=xAyT+yAxT =2xAyT=0
故,V构成Rn的子空间需要再增加条件: 对任意的 x, yV, 有xAyT=0.
3. 求向量在给定基下的坐标
例3: 证明: 1, x–1, (x–2)(x–1)是P[x]2的一组基, 并 求向量 1+x+x2 在这组基下的坐标.
证一: 因为P[x]2是3维线性空间, 所以P[x]2中任意 三个线性无关的向量都构成它的一组基.
线性无关, 所以1, (x–1), (x–2)(x–1)是P[x]2的一组基.
设1+x+x2在给定基1, (x–1), (x–2)(x–1)下的坐标为:
(a1, a2, a3)T. 则有
1+x+x2 = a1·1+a2(x–1)+a3(x–2)(x–1), 整理得 1+x+x2 = (a1–a2+2a3)+(a2–3a3)x +a3x2
所以, R+对所定义的运算不构成线性空间.
2. 子空间的判定
例1: 设A为n阶实对称矩阵, 问在什么条件下满足 xAxT=0的n维实向量 x=(x1, x2, ···, xn)构成Rn的子空间?
解: 记V={ x=(x1, x2, ···, xn) | xAxT= 0 } 显然0 V, 所以V非空. 对任意的 xV, kR, 有xAxT=0. 则
比较等式两边得:
a1
a2 a2
+
2 3
a3 a3
= =
1 1
,
解得:
a1 a2
= =
3 4
,
a3 = 1
a3 = 1
所以 1+x+x2 在给定基下的坐标为: (3, 4, 1)T.
即
1+x+x2 = 3+4(x–1)+(x–2)(x–1).
证二: 已知 1, x, x2 是P[x]2的一组基, 而 1, (x–1), (x–2)(x–1)P[x]2, 所以, 1, (x–1), (x–2)(x–1)由1, x, x2 线 性表示;又由于
(1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P
在基变换公式中, 矩阵P称为由基1, 2, ···, n到 基1, 2, ···, n的过渡矩阵, 过渡矩阵P是可逆的.
七、坐标变换公式
定理1: 设n维线性空间Vn中的元素, 在基1, 2, ···, n下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 在基1, 2, ···, n 下的坐标为: (x1, x2, ···, xn)T, 若两个基满足关系式: (1, 2, ···, n)=(1, 2, ···, n)P.
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的向量空间(或线性空间):
设, , , O V, 1, l, k R,
(1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: (+ )+ =+( + ) ; (3) 零元素: 存在O V, 对任一向量 , 有+O= ;
(4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有+ =O , 记 =– ;
则称T为从Vn到Um的线性变换.
一个从线性空间Vn到其自身的线性变换称为线性 空间Vn中的线性变换.
零变换O: O()=0 恒等变换(或称单位变换)E: E()=, V,
九、线性变换的性质
1. T(0)=0, T(–)=–T().
2. 若 =k11+k22+···+kmm , 则 T =k1T1+k2T2+···+kmTm .
六、基变换公式与过渡矩阵
设1, 2, ···, n及1, 2, ···, n是n维线性空间Vn的
两个基,
且有
1
=
p11 1
+
p21 2
++
pn1 n
2 = p121 + p22 2 + + pn2 n
n = p1n1 + p2n 2 + + pnn n
称以上公式为基变换公式. 将上式用矩阵形式表示为:
e1, e2, ···,en为单位坐标向量组.
十一、线性变换在给定基下的矩阵
定义: 设T是线性空间Vn中的线性变换, 在Vn中取
定一个基1, 2, ···, n, 如果这个基在变换T下的象为
T (1 ) = a111 + a21 2 + + an1 n
T
(
2
T ( n
)=
)=
a12 1
a1n 1
(2) T(x)=Ax的核ST就是齐次线性方程组Ax=0的解 空间.
十、线性变换的矩阵表示式
Rn中任何线性变换T, 都可用关系式
T(x)=Ax (xRn)
表示, 其中A = (T(e1), T(e2), ···, T(en))
=
a11 a21
an1
a12 a22
an2
a1n a2n
ann
,
ann
,
则称A为线性变换T在基1, 2, ···, n下的矩阵.
结论: 在Vn中取定一个基后: 由线性变换T可唯一 地确定一个矩阵A; 反之, 由一个矩阵A也可唯一地确 定一个线性变换T.
在给定一个基的条件下, 线性变换与矩阵是一一 对应的.
十二、线性变换在不同基下的矩阵
定理1: 设线性空间Vn中取定两个基:
(5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k(+ )= k+k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k+l .
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 2. 负元素是唯一的.
3. 0=0; (–1) =– ; 0=0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0.