苏教版数学高一-【苏州市高二文科复习参考资料】学案练习5__函数值域和最值(一)
苏教版数学高一- 必修1试题 函数的最值(二)
2.2.1 函数的最值（二）课时目标 1.理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义.2.体会函数的最大(小)值与单调性之间的关系.3.会求一些简单函数的最大(小)值．1．函数的最值设y ＝f (x )的定义域为A .(1)最大值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有__________，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值，记为______＝f (x 0)．(2)最小值：如果存在x 0∈A ，使得对于任意的x ∈A ，都有f (x )≥f (x 0)，那么称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值，记为________＝f (x 0)．2．函数最值与单调性的联系(1)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递增，则f (x )的最大值为______，最小值为______．(2)若函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上单调递减，则f (x )的最大值为______，最小值为______．一、填空题1．若函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a 的取值范围是________．2．已知函数y ＝x ＋2x －1，下列说法正确的是________．(填序号)①有最小值12，无最大值； ②有最大值12，无最小值； ③有最小值12，最大值2； ④无最大值，也无最小值．3．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是________．4．如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意的实数x ，都有f (1＋x )＝f (－x )，那么f (－2)，f (0)， f (2)的大小关系为________．5．函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的________．(填序号)①最小值是0，最大值是4；②最小值是－4，最大值是0；③最小值是－4，最大值是4；④没有最大值也没有最小值．6．函数f (x )＝11－x (1－x )的最大值是________． 7．函数y ＝2|x |＋1的值域是________． 8．函数y ＝－x 2＋6x ＋9在区间[a ，b ](a <b <3)有最大值9，最小值－7，则a ＝________，b ＝__________.9．若y ＝－2x，x ∈[－4，－1]，则函数y 的最大值为________．二、解答题10．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋2.(1)求f (x )在区间[12，3]上的最大值和最小值； (2)若g (x )＝f (x )－mx 在[2,4]上是单调函数，求m 的取值范围．11．若二次函数满足f (x ＋1)－f (x )＝2x 且f (0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若在区间[－1,1]上不等式f (x )>2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．能力提升12．已知函数f (x )＝3－2|x |，g (x )＝x 2－2x ，构造函数F (x )，定义如下：当f (x )≥g (x )时，F (x )＝g (x )；当f (x )<g (x )时，F (x )＝f (x )，那么F (x )________．(填序号)①有最大值3，最小值－1；②有最大值3，无最小值；③有最大值7－27，无最小值；④无最大值，也无最小值．13．已知函数f (x )＝ax 2－|x |＋2a －1，其中a ≥0，a ∈R .(1)若a ＝1，作函数f (x )的图象；(2)设f (x )在区间[1,2]上的最小值为g (a )，求g (a )的表达式．1．函数的最大(小)值(1)定义中M 首先是一个函数值，它是值域中的一个元素，如函数f (x )＝－x 2(x ∈R )的最大值为0，有f (0)＝0，注意对“存在”的理解．(2)对于定义域内任意元素，都有f (x )≤M 或f (x )≥M 成立，“任意”是说对每一个值都必须满足不等式．拓展 对于函数y ＝f (x )的最值，可简记如下：最大值：y max 或f (x )max ；最小值：y min 或f (x )min .2．函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y ＝1x.如果有最值，则最值一定是值域中的一个元素．(2)若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上单调，则f (x )的最值必在区间端点处取得．即最大值是f (a )或f (b )，最小值是f (b )或f (a )．3．二次函数在闭区间上的最值探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出y ＝f (x )的草图，然后根据图象的增减性进行研究．特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得．第2课时 函数的最大(小)值知识梳理1．(1)f (x )≤f (x 0) y max (2)y min2．(1)f (b ) f (a ) (2)f (a ) f (b )作业设计1．(－∞，－3]解析 由二次函数的性质，可知4≤－(a －1)，解得a ≤－3.2．①解析 ∵y ＝x ＋2x －1在定义域[12，＋∞)上是增函数， ∴y ≥f (12)＝12，即函数最小值为12，无最大值． 3．[1,2]解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2知，当x ＝1时，y 的最小值为2，当y ＝3时，x 2－2x ＋3＝3，解得x ＝0或x ＝2.由y ＝x 2－2x ＋3的图象知，当m ∈[1,2]时，能保证y 的最大值为3，最小值为2.4．f (0)<f (2)<f (－2)解析 依题意，由f (1＋x )＝f (－x )知，二次函数的对称轴为x ＝12， 因为f (x )＝x 2＋bx ＋c 开口向上，且f (0)＝f (1)，f (－2)＝f (3)，由函数f (x )的图象可知，[12，＋∞)为f (x )的增区间， 所以f (1)<f (2)<f (3)，即f (0)<f (2)<f (－2)．5．③解析 y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4 (x ≥3)－2x ＋2 (－1≤x <3)4 (x <－1).因为[－1,3)是函数y ＝－2x ＋2的减区间，所以－4≤y ≤4，综上可知③正确．6.43解析 f (x )＝1(x －12)2＋34≤43. 7．(0,2]解析 观察可知y >0，当|x |取最小值时，y 有最大值，所以当x ＝0时，y 的最大值为2，即0<y ≤2，故函数y 的值域为(0,2]．8．－2 0解析 y ＝－(x －3)2＋18，∵a <b <3，∴函数y 在区间[a ，b ]上单调递增，即－b 2＋6b ＋9＝9，得b ＝0(b ＝6不合题意，舍去)－a 2＋6a ＋9＝－7，得a ＝－2(a ＝8不合题意，舍去)．9．2解析 函数y ＝－2x在[－4，－1]上是单调递增函数， 故y max ＝－2－1＝2. 10．解 (1)∵f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[12，3]， ∴f (x )的最小值是f (1)＝1，又f (12)＝54，f (3)＝5， 所以，f (x )的最大值是f (3)＝5，即f (x )在区间[12，3]上的最大值是5，最小值是1. (2)∵g (x )＝f (x )－mx ＝x 2－(m ＋2)x ＋2，∴m ＋22≤2或m ＋22≥4，即m ≤2或m ≥6. 故m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．11．解 (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，∴c ＝1， ∴f (x )＝ax 2＋bx ＋1.∵f (x ＋1)－f (x )＝2x ，∴2ax ＋a ＋b ＝2x ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1b ＝－1，∴f (x )＝x 2－x ＋1. (2)由题意：x 2－x ＋1>2x ＋m 在[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立．令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝(x －32)2－54－m ， 其对称轴为x ＝32， ∴g (x )在区间[－1,1]上是减函数，∴g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，∴m <－1.12．③解析 画图得到F (x )的图象：射线AC 、抛物线AB 及射线BD 三段，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋3，y ＝x 2－2x ， 得x A ＝2－7，代入得F (x )的最大值为7－27，由图可得F (x )无最小值．13.解 (1)当a ＝1时，f (x )＝x 2－|x |＋1 ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋1， x <0x 2－x ＋1， x ≥0. 作图(如右所示)(2)当x ∈[1,2]时，f (x )＝ax 2－x ＋2a －1.若a ＝0，则f (x )＝－x －1在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝－3.若a >0，则f (x )＝a (x －12a )2＋2a －14a－1， f (x )图象的对称轴是直线x ＝12a. 当0<12a <1，即a >12时，f (x )在区间[1,2]上是增函数， g (a )＝f (1)＝3a －2.当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时， g (a )＝f (12a )＝2a －14a－1， 当12a >2，即0<a <14时，f (x )在区间[1,2]上是减函数， g (a )＝f (2)＝6a －3.综上可得g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 6a －3， 0≤a <142a －14a －1， 14≤a ≤123a －2， a >12。
苏教版数学高一-数学苏教版必修一学案 函数的最值
第9课时函数的最值教学过程一、问题情境在图1中,我们从图象上看出14时的气温为全天的最高气温,它表示在0~24时之间,气温于14时达到最大值;从图象上看出,图象在这一点的位置最高.(图1)在图1中,可以看出:对于任意的x∈R,都有f(x)≤f(14).二、数学建构(一)生成概念一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≤f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最大值,记为y max=f(x0);若存在定值x0∈A,使得对于任意x∈A,有f(x)≥f(x0)恒成立,则称f(x0)为函数y=f(x)的最小值,记为y min=f(x0).(二)理解概念1.单调性与最值设函数y=f(x)的定义域为[a,b],若y=f(x)是单调增函数,则y max=f(b), y min=f(a);若y=f(x)是单调减函数,则y max=f(a),y min=f(b).2.奇偶性与最值设奇函数y=f(x)的定义域为I,[a,b]⊆I,其中a>0,若f(x)在[a,b]上的最大值是M,则f(x)在[-b,-a]上的最小值是-M.(三)巩固概念常常借助于图象,综合运用函数的性质来求函数的最值、值域.三、数学运用【例1】求函数y=的值域.(见学生用书课堂本P27) [处理建议]根据它的图象,可以直观而准确地判断函数的值域.[规范板书]解由图象可知,函数的值域为(-∞, 0)∪(0,+∞).(例1)[题后反思]反比例函数的图象是基本初等函数图象,要熟练掌握.变式求函数y=|x-1|的值域.[规范板书]解由图象可知,函数的值域为[0,+∞).(变式)[题后反思]由图象观察得出函数的值域是常见的求值域的方法.【例2】求下列函数的最大值和最小值:(1)y=3-2x-x2,x∈;(2)y=|x+1|-|x-2|.(见学生用书课堂本P27)[处理建议]先画出函数的图象,然后根据图象观察最大值和最小值.[规范板书]解(1)二次函数y=3-2x-x2图象的对称轴为x=-1,其函数图象如图(1)所示.由图象可知,当x=-1时,y max=4;当x=时,y min=-.(1)(2)(例2)(2)y=|x+1|-|x-2|=其图象如图(2)所示.由图象可知,y∈[-3,3].所以函数的最大值为3,最小值为-3.[题后反思]①求二次函数在闭区间上的最大值或最小值,常根据闭区间与对称轴的关系,结合图象进行分析.②求含绝对值的函数的最大值或最小值,常用分零点讨论去掉绝对值,转化为分段函数进行研究;分段函数的图象注意分段作出,然后直接观察图象得到函数的最大值或最小值.变式求函数f(x)=x2-2ax,x∈[0, 4)的最小值.[规范板书]解f(x)=(x-a)2-a2,其图象是开口向上、对称轴为x=a的抛物线.①若a≤0,则函数f(x)在[0, 4)上是单调增函数,∴[f(x)]min=f(0)=0;②若0<a<4,则[f(x)]min=f(a)=-a2;③若a≥4,则函数f(x)在[0, 4)上是单调减函数,∴f(x)的最小值不存在.综上所述,当a≤0时,[f(x)]min=0;当0<a<4时,[f(x)]min=-a2;当a≥4时,f(x)的最小值不存在.[题后反思]含参数问题的最值,一般情况下,我们先将参数看成是已知数,当不能解的时候,我们再进行讨论.【例3】求函数y=2x+4的值域.(见学生用书课堂本P28) [处理建议]本题应优先考虑函数的定义域,再利用换元法求值域.[规范板书]解设t=,则t≥0,x=1-t2.∴原函数可化为y=2(1-t2)+4t=-2t2+4t+2=-2(t-1)2+4,∵t≥0,∴y≤4.[题后反思]对于形如y=ax+b+(ac<0)型的函数的值域,常采用换元法(令=t)求解.变式求y=2x-3+的值域.[规范板书]解令t=,则t≥0,x=.∴y=t2+t+=(t+1)2+3.∵t≥0,∴y∈,+∞.*【例4】求函数y=4x-1+的值域.[处理建议]先让学生思考,这时大部分学生会延续上一题的思路而采用换元法求解.教师可以说明:根据该函数解析式的特点,本题也可采用复合函数单调性法求解.[规范板书]解∵2x-3≥0,∴x≥,∴函数f(x)=4x-1+的定义域为.令f1(x)=4x-1,f2(x)=,∴函数f1(x),f2(x)为单调增函数,∴f(x)=f1(x)+f2(x)在定义域上单调递增,∴y≥f=5,因此该函数的值域为[5,+∞).[题后反思]本题既可以采用换元法求解,也可以采用复合函数单调性法求解,显然后一种方法简单很多.从上面2个例子,我们可以得到一些启示:求值域前可以先简单观察函数解析式的特点,然后再确定采用哪一种方法求解较简便.变式求函数y=3-的值域.[规范板书]解∵≥0,∴-≤0, 3-≤3,故该函数的值域是(-∞, 3].四、课堂练习1.求下列函数的最大值、最小值与值域:(1)y=x2-4x-7;(2)y=x2-4x-7,x∈[2, 6].解(1)y=x2-4x-7=(x-2)2-11≥-11,∴当x=2时,y min=-11;函数无最大值;函数的值域是{y|y≥-11 }.(2)函数的对称轴为x=2,所以函数在[2,6]上单调递增,所以y min=f(2)=-11, y max=f(6)=5,函数的值域为[-11, 5].2.已知二次函数f(x)=ax2+2ax+1在区间[-3, 2]上有最大值4,求实数a的值.解二次函数f(x)=ax2+2ax+1的对称轴为x=-1.当a>0时,则当x=2时函数取得最大值4,∴8a+1=4,解得a=;当a<0时,则当x=-1时函数取得最大值4,∴ 1-a=4,解得a=-3.所以a=或-3.五、课堂小结1.最值的定义.2.求简单函数的最值的常用解法.。
苏教版(文科)高中数学高考总复习知识梳理函数的最值与值域(文)(基础)
函数的最值与值域【考纲要求】1. 会求一些简单函数的定义域和值域；2. 理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义；3. 会运用函数图象理解和研究函数的性质．4. 在某些实际问题中，会建立不等式求参数的取值范围，以及求最大值和最小值. 【知识网络】1【考点梳理】考点一、函数最值的定义1.最大值：如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，存在0x D ∈，使得0()()f x f x ≤成立，则称0()f x 是函数()f x 的最大值．注意：下面定义错在哪里？应怎样订正．如果对于函数()f x 定义域D 内的任意一个自变量x ，都有()f x M ≤，则称M 是函数()f x 的最大值．2.最小值的定义同学们自己给出． 考点二、函数最值的常用求法1.可化为二次函数的函数，要特别注意自变量的取值范围．2.判别式法：主要适用于可化为关于x 的二次方程，由0∆≥（要注意二次项系数为0的情况）求出函数的最值，要检验这个最值在定义域内是否有相应的x 的值．3.换元法：很多含根式的函数的最值的求法经常用到换元法来求．常用的换元有———三角代换，整体代换．4.不等式法：利用均值不等式求最值．5.利用函数的性质求函数的最值6.含绝对值的函数或分段函数的最值的求法7.利用导数求函数的最值。
要点诠释：(1)求最值的基本程序：求定义域、求导数、求导数的零点、列表、根据表比较函数值大小给出最值； (2)一些能转化为最值问题的问题:()f x A >在区间D 上恒成立⇔函数min ()()f x A x D >∈函数的最值与值域 函数的值域函数的最大值函数的最小值()f x B <在区间D 上恒成立⇔函数max ()()f x B x D <∈在区间D 上存在实数x 使()f x B <⇔函数min ()()f x B x D <∈ 在区间D 上存在实数x 使()f x A >⇔函数max ()()f x A x D >∈ 【典型例题】类型一、通过转化或换元的方法求解函数的值域或最值 例1.求函数22()xx x f x e me e -=-+-x me -的最值．【解析】22()()xx x x f x ee m e e --=+-+2()()2xx xxe e m e e --=+-+-令x xt e e -=+（注意t 的范围），这样所求函数就变为二次函数．【总结升华】当式子中同时出现22x x -+和1x x -±时，都可以化为二次式． 举一反三：【变式】求函数y =解：平方再开方，得[3,1]y x =∈-[2,y ∴∈类型二、函数值的大小比较，求函数值域，求函数的最大值或最小值 例2. 求下列函数值域： (1)2-12x y x =+； ① x ∈[5，10]； ②x ∈(-3，-2)∪(-2，1)； (2)y=x 2-2x+3； ①x ∈[-1，1]； ②x ∈[-2，2]. 【解析】(1)2(2)-5-5-522x y y x x x+===+++2可看作是由左移2个单位，再上移2个单位得到，如图①f(x)在[5，10]上单增，919[(5),(10)][,]712y f f ∈即； ②1(-,(1))((-3),)(-)(7)3y f f ∈∞⋃+∞∞⋃+∞即，，； (2)画出草图①y ∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]； ②[(1),(-2)][2,11]y f f ∈即. 举一反三：【变式】已知函数13xf (x)13x+=-.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x ∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.【解析】(1)13x (3x 1)22f (x)113x 13x 3x 1+--++===----- 1f (x)(-)3∴∞在，上单调递增，在1(,)3+∞上单调递增；(2)1[1,3](,)3⊆+∞故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2 x=3时f(x)有最大值5f (3)4=-∴x ∈[1，3]时f(x)的值域为5[2,]4--.例3.若函数()y f x =的值域是1[,3]2，则函数1()()()F x f x f x =+的值域是（ ） A ．1[,3]2 B ．10[2,]3 C ．510[,]23 D ．10[3,]3答案：B【解析】令()t f x =，则1[,3]2t ∈，110()[2,]3F x t t=+∈ 举一反三：【变式】设函数2211()21x x f x x x x ⎧-⎪=⎨+->⎪⎩，，，，≤则1()(2)f f 的值为（ ） A ．1516B ．2716-C ．89D ．18答案：A【解析】∵2(2)2224f =+-=，∴211115()()1()(2)4416f f f ==-=. 类型三、含参类函数的最值与值域问题例4（2015 沈阳四模）函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则a 的范围是（）A. 1ln 2,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ B. 10,ln 22⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C. (],0-∞ D. 1,ln 22⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】D【解析】先画出分段函数()f x 的图像如图:显然当[]2,0x ∈-时，函数()f x 的最大值为2；欲使得函数()32231,0,0ax x x x f x e x ⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩在[]2,2-上的最大值为2，则当2x =时，2ae 的值必须小于等于2，即22ae ≤解得：1ln 22a ≤.故选D .【变式】（2014 甘肃一模）若不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A. 1,16⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B. 2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C. 14,613⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.1,6⎡⎢⎣ 【答案】B 【解析】函数22212t y t t t+==+，在(]0,2t ∈上为减函数 ∴当2t =时，22t t+的最小值为1;又2196t t ≤=+，当且仅当3t =时等号成立 所以函数29ty t =+在区间(]0,2上为增函数 可得2t =时，29t t +的最大值为213.因为不等式2229t t a t t+≤≤+在(]0,2t ∈上恒成立 所以22max min 29t t a t t +⎛⎫⎛⎫≤≤⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭即2113a ≤≤可得a 的取值范围是2,113⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
苏教版数学高一《函数的最值》 名师学案
第二章2.1.3函数的最值第6课时
【教师活动】
【教学目标】
1.能利用函数的单调性结合函数的图象，求出有关函数的最小值与最大值，并能准确地表示有关函数的值域；
【教学重难点】
重点：利用函数的单调性求函数的值域．
【教学准备】
多媒体
【教学活动】
1 问题情境
2 师生互动
2．函数的最值与单调性之间的关系：
四．数学应用
例1．书本第36页的例3.
例2.求出下列函数的最小值：
（1）y＝x2－2x；（2）y＝ ，x∈[1，3]．
变式：
（1）求上述函数的值域。
（2）将y＝x2－2x的定义域变为(0，3]或[1，3]或[－2，3]，再求最值．
（3）将y＝ 的定义域变为(－2，－1]，(0，3]结果如何？
3 建构数学
4 数学应用
5 课堂练习
【教学反思】
【学生活动】
【学习目标】
1.结合图像理解函数的最值
2.能够利用函数的单调性结合函数图像求有关函数的值域【课时安Fra bibliotek】1课时
【课堂探究】
一．问题情境
问题：结合函数的图象说出该天的气温变化情况．
二．师生互动
三．建构数学
1．函数的最大值、最小值
问题：函数的最值与函数图像间的关系
【当堂练习】
1.书本第37页的练习3,4.
2.求下列函数的值域：（1）y＝ ，x[0，3]；（2）y＝ ，x[2，6]；（3）y＝
【课后巩固】
课时训练
【课后反思】
高中数学3.3《函数的最值》学案(苏教版选修1-1)
函数的最值
课型
新授
时间
09/ 10 /
学习目标
1.了解函数的最值与导数的关系；
2.会求函数的最值；
3重点
函数最值的求解
一、自主学习
1.求函数 的最大值和最小值。
2.已知函数 。
（1）求函数 的极值；（2）确定函数 在区间 上的单调区间；
（3）求函数 在区间 上的最大值和最小值；其值域是什么？
（1）求 的值；（2）求函数 在 上的最大值和最小值。
五、课堂小结
学习反思：
学习反思：
学习反思：
学习反思：
备用题：已知函数
问是否存在实数
使得 在 上取得最大值3，最小值-29，若存在求
的解析式，若不存在，请说明理由。
（2）你能大致地画出函数 ， 的图像吗？
自学检测：
1.求下列函数的最值：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） 。
自学小结：
二、问题探究
问题1：求函数 的最小值，并刻画其函数图像。（ 呢？）
小结：
问题2：求函数 的最值。
小结：
三、合作交流
例1：设 ，当 时， 恒成立，求实数 的取值范围。
变式训练：已知 ，对一切 ，都有
恒成立，求实数 的取值范围。
例2.设函数 是定义在 上的偶函数，当 时，
，
（1）当 时，求 的解析式；
（2）若函数在 上单调，求 的取值范围；
（3）是否存在 ，使得当 时， 有最大值1？
四、巩固练习
1.已知函数 在区间 上的最大值和最小值分别为
M和m，则M – m = ;
2.设函数 为奇函数，其图像在点 处的切线与直线 垂直，且 有最小值 ，
高考数学总复习 第2单元 第3节 函数的值域与最值 文 苏教版
第三节 函数的值域与最值一、填空题1. 已知函数f (x )与g (x )分别由下表给出，那么f (f (2))＝________，f (g (3))＝________，g (f (4))＝________，g (g2. (2011·靖江中学调研)函数f (x )＝x ＋x(x ∈(0,2])的值域是________．3. (2011·江苏南通模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧ba ≥b a a <b则函数f (x )＝3x *3－x的值域是________．4. 某产品的总成本y 与产量x 的关系为y ＝3 000＋20x －0.1x 2，x ∈(0,240)，若每件产品的销售价为25，则企业不亏本的最低产量x 应为________．5. (2010·重庆)已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1t的最小值为________．6. 函数f (x )＝x 2－2x ＋2x 2－5x ＋4的最小值为________．7. 已知函数y ＝1－x ＋x ＋3的最大值为M ，最小值为m ，则mM的值为________． 8. (2011·苏州中学模拟)函数f (x )＝x 2＋ax ＋5对x ∈R 恒有f (－2＋x )＝f (－2－x )，若x ∈[m,0](m <0)时，f (x )的值域为[1,5]，则实数m 的取值范围是________．9. (2011·苏北调研)已知函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[a ，b ]的值域为[－1,3]，则b －a 的取值范围是________．二、解答题10. (2010·天津改编)设函数g (x )＝x 2－2(x ∈R )，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g x x ＋4，x ＜g x g x x ，x ≥g x 求函数f (x )的值域．11. 对于函数f (x )，在使f (x )≤M 成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值称为函数f (x )的 “上确界”，则函数f (x )＝x ＋12x 2＋1的“上确界”为多少？12. 设a为实数，函数f(x)＝2x2＋(x－a)|x－a|.(1)若f(0)≥1，求a的取值范围；(2)求f(x)的最小值．参考答案1. 4 1 2 2 解析：因为f (2)＝3， 所以f (f (2))＝f (3)＝4. 同理f (g (3))＝f (4)＝1； g (f (4))＝g (1)＝2； g (g (2))＝g (1)＝2.2. [22，＋∞) 解析： f (x )＝x ＋2x，∵x ∈(0,2]，2x≥1，∴f (x )≥22，当且仅当x ＝2x，即x ＝2时取等号，∴值域为[22，＋∞)．3. (0,1] 解析：f (x )＝3x *3－x＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x，x ≥0，3x，x <0.又当x ≥0时，0<3－x≤1，当x <0时，0<3x<1，故值域为(0,1]．4. 150 解析：若企业不亏本，则x 应满足25x ≥3 000＋20x －0.1x 2， 解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．5. －2 解析：y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t－4≥－2(t >0)，当且仅当t ＝1时，y min ＝－2. 6. 1＋2 2 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ≥0，x 2－5x ＋4≥0，得x ≤0或x ≥4.当x ≥4时，f (x )为增函数；当x ≤0时，f (x )为减函数．又∵f (0)＝22＝4， f (4)＝22＋1，∴f (x )min ＝f (4)＝1＋2 2.7. 22 解析：定义域⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ＋3≥0⇒－3≤x ≤1，y 2＝4＋21－x ·x ＋3＝4＋21－xx ＋3＝4＋2x ＋12＋4，所以当x ＝－1时，y 取最大值M ＝22；当x＝－3或1时，y 取最小值m ＝2，∴m M ＝22.8. [－4，－2] 解析：由f (－2＋x )＝f (－2－x )， 知函数f (x )的对称轴为x ＝－2，∴a ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋5＝(x ＋2)2＋1， f (0)＝f (－4)＝5，f (－2)＝1，∵x ∈[m,0]，f (x )的值域为[1, 5]． ∴m ∈[－4，－2]．9. [2,4] 解析：值域为[－1,3]，当a ＝－1，b ＝3时，满足要求，(b －a )max ＝4. 当a ＝－1，b ＝1或a ＝1，b ＝3时，满足要求，(b －a )min ＝2. 综上，b －a ∈[2,4]．10. 依题意知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋4x ＜x 2－2，x 2－2－x ，x ≥x 2－2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋2，x ＜－1或x ＞2，x 2－x －2，－1≤x ≤2.如图，可得f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0∪(2，＋∞)．。
苏教版高中数学必修第一册《函数的基本性质---二次函数的最值问题》名师课件
则最大(小)值不一定在顶点处取得，而应看其图象的对称轴 = 与x轴
的交点的横坐标和区间 , 的位置关系，是在区间 , 内还是在该
区间的左边或右边，当函数图象的对称轴在区间的某一边时，应利用
函数的单调性求解.
在求二次函数的最值时，应先判断它的图象的开口方向，若含有
参数，则要根据对称轴与轴交点和区间的位置关系对参数进行分类讨
(2)当 ∈ [−1，1]时,
max
2
max
= 4 = 4
= (2) = 22 − 2 × 2 − 5 = −5.
2
− 2 × 4 − 5 = 3,
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
思路
分析
由于二次函数的最值与其图象的对称轴位置有关，而题中函数图象的对称轴为
的最小值本题主要考查直观想象、数学运算的核心素养.
变式训练
1.求函数 = − − 在下列区间上的最值：
(1)[-3，0]；(2)[-1，1]；(3)[2，4].
分析
函数 = 2 − 2 − 5 = − 1
(1)当 ∈ [−3，0]时,
min
min
min
= () = − .
典例讲解
例3、求函数() = − − 在区间 , 上的最大值和最小值.
解析
(2)当 ⩽ ⩽ 时，由图②可知，对称轴在区间[, ]内，
，
=
=
−
−
= () = − .
(3)当 < ⩽ 时，由图③可知，对称轴在区间[, ]内，
苏教版(文科)高中数学高考总复习巩固练习函数的最值与值域(文)(基础)
【巩固练习】1．关于x 的方程9(4)340x x a ++⋅+=有解，则实数a 的取值范围是（ ）A ．（-∞，-8]∪[0，+∞）B 、（-∞，-4） C.[-8，4） D 、（-∞，-8]2.（2015 唐山一模）直线y a =分别与曲线()21y x =+，ln y x x =+交于A 、B,则AB 的最小值为（）A.3B.2C.32D. 3．已知不等式222(cos 5)4sin 0m m θθ+-+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A.04m ≤≤B. 14m ≤≤ C ．4m ≤或0m ≤ D. 1m ≤或0m ≤4. 已知函数()x f x a -=,()log (0,1)a g x x a a =>≠,若f(2)·g(2)<0，则f(x)与g(x)在同一坐标系内的图象可能是（ ）A B C D5．设定义域为R 的函数⎩⎨⎧=≠-=1,01||,1|lg |)(x x x x f ，则关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有7个不同实数解的充要条件是（ ）A ．0<b 且0>cB ．0>b 且0<cC ．0<b 且0=cD ．0≥b 且0=c6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，2()f x x =。
若对任意的x ∈[t ，t+2]，不等式()2()f x t f x +≥恒成立，则实数t 的取值范围是（ ）A．)+∞ B ．[2，+∞）C ．（0，2] D．[1][2,3]-7．关于x 的方程mx 2+2x+1=0至少有一个负根，则（ ）A ．m ≤1B ．0＜m ＜1C ．m ＜1D ．0＜m ≤1或m ＜08.已知()f x 是奇函数，当(0,1)x ∈时1()lg1f x x =+，那么当(1,0)x ∈-时()f x 的表达式是_____． 9. 记1010101111112212221S =++++++-，则S 与1的大小关系是 . 10.（2015 浙江高考）已知函数()2,166,1x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨+->⎪⎩，则()()2f f -= ，()f x 的最小值是 .11.实数,x y 满足x x y y=-,则x 的取值范围是__________. 12.设不等式221(1)x m x ->-对满足22m -≤≤的一切实数m 的值都成立，则实数x 的取值范围 。
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学案5 函数值域和最值（一）
一、课前准备：
【自主梳理】
1在函数y =f (x )中，与自变量x 的值对应的值，叫做 ，函数值的集合叫做 2确定函数的值域的原则：
（1）当函数用y =f (x )表格给出时，函数的值域是指表格中实数y 的集合。
(2）当函数y =f (x )用图象给出给出时，函数的值域是指图象在轴上的投影所覆盖的实数y
的值.
（3）当函数y =f (x )用解析式给出时，函数的值域是由函数的 和 确定.
（4）当函数由实际问题给出时，函数的由问题的 确定.
3基本初等函数的值域。
（1） b kx y += )0(≠k 的值域为
（2） y =a 2
x +bx +c ()0≠a 的值域为 （3） (0)k y k x
=≠的值域为 （4） y = x a )1,0(≠>a a 的值域为
（5） x y a log =)1,0(≠>a a 的值域为
（6） x y x y x y tan ,cos ,sin ===的值域分别为
4求值域的方法： 配方法 换元法 分离常数法 单调性 不等式法 求导法 数形结合法 判别
式法
5函数的最值：
设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有
M x f ≥)( (2)存在I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数M 是函数的 值.
设函数)(x f y =的定义域为I ,如果存在实数M 满足: (1)对于任意实数I x ∈,都有
M x f ≤)( (2)存在 I x ∈0, 使得 0()f x M =,那么我们称实数是M 函数的 值.
【自我检测】
1 函数x
y 1= ()32<<-x 的值域为_________ . 2函数[]3,2,2-∈=x x y 的值域为_________.
3 .已知函数{0,log 0,23)(>≤=x x x x x f ，则=))9
1((f f _________.
4 函数 x
y 3=的值域为_________.
5 函数2log (1)y x =+的值域为_________.
6函数1
1+=x y 的值域是__________. 二、课堂活动：
【例1】填空题：
求下列函数的值域
1.2
sin 3sin 4y x x =-+ _________
2.938x x y =-- _________
3. y =_________
4.y x =+【例2】．求函数2223(20)()23(03)
x x x f x x x x ⎧+--<⎪=⎨--⎪⎩， ≤ ≤≤的值域．
【例3】1求函数31
x y x -=+的值域 . 2 求函数221
x
x y =+的值域．
课堂小结
三、课后作业
135,[3,)1
x y x x -=∈+∞+ 2.函数x x y cos sin 2+=的值域____
3函数21()f x x x
=+，(1)x -≤的值域是 ． 4已知函数32)(2+-=x x x f 在闭区间[]m ,0上最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围
为 .
5函数x y 416-=的值域是________．
6函数133+=x x
y 的值域是____________． 7函数)1lg(2+=x y 的值域是____________.
8函数22+-=x y 的值域是____________.
9设02x ≤≤，求函数1()432
1x x f x +=-•+的值域． 10已知函数624)(2++-=a ax x x f ，R x ∈
（1）求函数的值域为[)+∞,0时的a 的值；
（2）若函数的值均为非负值，求函数32)(+-=a a a f 的值域.
错
题
卡
题 号
错 题 原 因 分 析
【自主梳理】
1. 函数值 函数值域
2. 定义域 对应法则 实际意义
3 基本初等函数的值域：1.R 2. 22440,,;0,,44ac b ac b a a a a ⎡⎫⎛⎤-->+∞<-∞⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦
3.(),0(0,)-∞⋃+∞ 4 (0,)+∞ 5. R 6 []1,1-，[]1,1-，R
5 最小值 最大值
【自我检测】
1 11,,23⎛
⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
2 []0,9
3 1
4 4 [)1,+∞
5 R
6 {}0/≠y y
【例1】填空题：
1 []2,8
2 13,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭
3 50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
4 [)1,-+∞ 【例2】解：分析：求分段函数的值域可作出它的图象，则其函数值的整体变化情况就一目了然了，从而可以快速地求出其值域．
作图象如图所示．(1)(1)4f f -==-∵，(2)3f -=-，(3)0f =，(0)3f =-，
∴函数的最大值、最小值分别为0和4-，即函数的值域为[40]-，
【例3】 1 {}1y y ∈≠R 2 (01)，
三、课后作业
1 [)3,1
2 51,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
3 []4,2.
4 []2,1
5 [)4,0
6 ()0,1
7 [)+∞,0
8 []2,0
9解：12()4321(23)8x x x f x +=-+=--，
02x ∵≤≤，24x 1∴≤≤．
∴当23x =时，函数取得最小值8-；当21x =时，函数取得最大值4-，
∴函数的值域为[84]--，
． 10解(1）∵函数的值域为[)+∞,0，
,0)62(4162=+-=∆a a 2
3,1=-=a a （2）对一切R x ∈，函数值均非负,∴2310≤
≤-⇒≤∆a ∴03>+a ∴417)23()(2+
+-=a a f ， 231≤≤-a ∴)(a f 的值域为⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-
4,419。