随机过程 第三讲
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第3讲 随机过程的基本概念、平稳随机过程
通信原理
第2章 随机过程
（一）统计平均
1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值 称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即
E[ (t )]
注：t1→t，x1 →x
xf ( x，t )dx
1
记为 a(t )
(2.2.2)
物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。 2.均方值 随机变量ξ(t)的二阶原点矩
通信原理
第2章 随机过程
2.数字特征
引言 ●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 ●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。 ●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。 统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)－－随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。 时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现ξi(t) ，用数学分 析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
通信原理
第2章 随机过程
●一维概率密度函数 若一维分布函数对x1的偏导数存在，则
F x1 , t1 f1 x1 , t1 x1
叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。
（2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系 ●二维分布函数
若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，而在时 刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t2)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称 F2（x1，x2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。
第2章 随机过程
（一）统计平均
1.均值 随机过程在任意时刻 t 的取值所组成随机变量ξ(t)的均值 称为随机过程的均值，也称为统计平均或数学期望。即
E[ (t )]
注：t1→t，x1 →x
xf ( x，t )dx
1
记为 a(t )
(2.2.2)
物理意义：均值代表随机过程的摆动中心。 2.均方值 随机变量ξ(t)的二阶原点矩
通信原理
第2章 随机过程
2.数字特征
引言 ●问题：随机过程的分布函数（或概率密度）族能够完善 地刻画随机过程的统计特性。但实际中：难；不必。 ●措施：用随机过程的数字特征来描绘随机过程的统计特性， 更简单方便。 ●方法：求随机过程数字特征的方法有“统计平均”和“时 间平均”两种。 统计平均: 对随机过程ξ(t)某一特定时刻不同实现的可能 取值ξ(ti)－－随机变量 ，用统计方法得出的种种平均值叫统 计平均。 时间平均:对随机过程ξ(t)的某一特定实现ξi(t) ，用数学分 析方法对时间求平均得出的种种平均值叫时间平均。
通信原理
第2章 随机过程
●一维概率密度函数 若一维分布函数对x1的偏导数存在，则
F x1 , t1 f1 x1 , t1 x1
叫做随机过程ξ(t)的一维概率密度。
（2）二维描述－－随机过程不同时刻取值之间的相互关系 ●二维分布函数
若随机过程ξ(t)在时刻 t1 的取值是随机变量ξ(t1)，而在时 刻t2的取值是随机变量ξ(t2)，则ξ(t2)与ξ(t2)构成一个二元随机 变量[ξ(t1)，ξ(t2)]，称 F2（x1，x2；t1，t2）= P[ξ(t1)≤x1；ξ(t2)≤x2 ] 为随机过程ξ(t)的二维分布函数。
随机过程第3讲
第二章 Markov 过程（03）本章我们先讨论一类特殊的参数离散状态空间离散的随机过程，参数为0},2,1,0{N T == ，状态空间为可列},2,1{ =S 或有限},,2,1{n S =的情况，即讨论的过程为Markov 链。
Markov 链最初由Markov 于1906年引入，至今它在自然科学、工程技术、生命科学及管理科学等诸多领域中都有广泛的应用。
之后我们将讨论另一类参数连续状态空间离散的随机过程，即纯不连续Markov 过程。
1． Markov 链的定义定义：设随机序列}0);({≥n n X 的状态空间为S ，如果对0N n ∈∀，及0})(,,)1(,)0({,,,,,10110>===∈+n n n i n X i X i X P S i i i i ，有：})()1({})(,,)1(,)0()1({1101n n n n i n X i n X P i n X i X i X i n X P ==+======+++ (A)则称}0);({≥n n X 为Markov 链。
注1：随机序列}0);({≥n n X 也可记为}0;{≥n X n 。
注2： 等式（A ）刻画了Markov 链的特性，称此特性为Markov性或无后效性，简称为马氏性。
Markov 链也称为马氏链。
定义：设}0);({≥n n X 为马氏链，状态空间为S ，对于S j i ∈∀,，称)(ˆ})()1({n p i n X j n X P j i ===+为马氏链}0);({≥n n X 在n 时刻的一步转移概率。
若对于S j i ∈∀,，有j i j i p n p i n X j n X P ≡===+)(ˆ})()1({即上面式子的右边与时刻n 无关，则称此马氏链为齐次（或时齐的）马氏链。
对于齐次马氏链，我们记)(j i p P =，称矩阵P 为齐次马氏链的一步转移概率矩阵，简称为转移矩阵。
第三讲 随机过程
• • 随机过程简记为 {xt} 或 xt。随机过程也常简称为过程。
随机过程
• 随机过程一般分为两类。一类是离散型的，一类 是连续型的。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个连 续型随机变量，则称此随机过程为连续型随机过 程。 • 如果一个随机过程{xt}对任意的tT 都是一个离 散型随机变量，则称此随机过程为离散型随机过 程。我们只考虑离散型随机过程。
随机过程
• 例如，对河流水位的测量。其中每一时刻 的水位值都是一个随机变量。如果以一年 的水位纪录作为实验结果，便得到一个水 位关于时间的函数xt。这个水位函数是预先 不可确知的。只有通过测量才能得到。而 在每年中同一时刻的水位纪录是不相同的。
随机过程
• 随机过程：由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程， 记为{x (s， t) ， sS ， tT }。其中S表示样本空间， T表示序数集。对于每一个 t， tT， x (· t ) 是样本空 ， 间S中的一个随机变量。 • 对于每一个 s， sS ， x (s， · 是随机过程在序数集T ) 中的一次实现。
随机过程
随机过程
• 为什么在研究时间序列之前先要介绍随机 过程？就是要把时间序列的研究提高到理 论高度来认识。时间序列不是无源之水。 它是由相应随机过程产生的。只有从随机 过程的高度认识了它的一般规律。对时间 序列的研究才会有指导意义。对时间序列 的认识才会更深刻。
随机过程
• 自然界中事物变化的过程可以分成两类。一类是 确定型过程，一类是非确定型过程。 • 确定型过程即可以用关于时间t的函数描述的过程。 例如，真空中的自由落体运动过程，电容器通过 电阻的放电过程，行星的运动过程等。 • 非确定型过程即不能用一个（或几个）关于时间t 的确定性函数描述的过程。换句话说，对同一事 物的变化过程独立、重复地进行多次观测而得到 的结果是不相同的。
7-3 随机过程第三章讲课版
k
,
四、Poisson过程 (1)放射性物质在[0，t]中放出的α－粒子的数目. (2)某服务台在[0，t]中到达的顾客数. (3)某建筑物指定面积上出现的点负荷数目.
3.1 泊松过程的定义
• 定义3.1随机过程{N(t)，t 0 }是计数过 程，如果 N(t) 表示到时刻 t为止已发生 的事件A的总数，且N(t)满足条件 (1) N(t) 0 ; (2) N(t)取整数; (3)若s < t ，则N(s) N(t); (4)当s < t时，N(t) - N(s)等于区间(s, t]中 发生事件A的次数。
k 1
应 用 举 例
设保险公司的人寿保险单持有者在ti时刻死亡 获得的保险金为Di,诸Di相互独立，均服从[10000，20000] 上的均匀分布.若在[0,t]内死亡的人数N(t)，t 0为强度为 5 的Poisson过程，并与{Dn}独立.试求保险公司在 [0,t]内将要支付的总保险金额 X (t ) 的均值与方差.
3.3 非齐次泊松过程
解 设t=0为早晨5时，t=16为晚上9时， • 则
200 400t ,0 t 3 (t ) 1400 , 3 t 13 1400 400(t 13),13 t 16
3.3 非齐次泊松过程
解 12时至14时为t[7,9] 在[0,t]内到达的乘车人数X(t)服从参数为 (t)的非齐次泊松过程 12时至14时乘车人数的数学期望为
P X(t h) X(t ) 1 h o(h) P X(t h) X(t ) 2 o(h)
(参数>0)
3.2 泊松过程的性质
• 一、数字特征 设{X(t), t 0}是参数为的泊松过程， 对任意t, s[0, +)，若s < t ，则有 E[ X (t ) X ( s)] D[ X (t ) X ( s)] (t s) m X (t ) E[ X (t )] E[ X (t ) X (0)] t
随机过程第三章 泊松过程
解：设一年开始为 0 时刻，1 月末为时刻 1，则年末为时刻 12，依泊松过程的定义可知
PN (12) N (0) n e412 (412)n
n!
平均索赔请求次数及金额
E[N(12) N(0)] 412 48
3.2 与泊松过程相联系的若干分布
记 Tn , n 1, 2,表示第 n 次事件发生的时刻，规定T0 0 。记 Xn , n 1,2, 表示第 n
即
N(t) n Tn t
因此
PTn
T
P N (t )
n
in
et
(t)i i!
对上式求导，得到Tn 的概率密度函数
f (t)
et (t)i
et
(t)i1
et
(t )( n 1)
in
i! in
(i 1)!
(n 1)!
命题得证。
注：Tn 的数字特征
ETn
n
,
DTn
n 2
；且
ETn
nEX n
P ti Ti ti hi ,i 1, 2,, n N (t) n
PN (ti
hi )
N (ti )
1,
N (ti1) N (ti hi )
PN (t) n
0,1
i
n,
N (t1)
0
h1e h1
h e e hn (th1h2 hn ) n et (t)n / n!
n! tn
-2-
P0 (t) et
类似地，当 n 1时
Pn (t h) PN (t h) n PN (t) n, N (t h) N (t) 0 PN (t) n 1, N (t h) N (t) 1
随机过程第三课件PPT资料(正式版)
2
为止已发生的“事件A”的总数，且N 泊松过程的基本性质
分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。
(t)满足下列条件：
3 泊松过程的应用举例
(1) N (t) 0 ; 设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示时刻事件A发生（顾客出现）的次数，
(2) 时间间隔与等待时间的分布
<
n
，求在
[
0
,
s
]
内事件A发生
k
次的概率。
F(t)P{Tt} 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ( Tn )。
n
0, t0 Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间
随机过程第三课件
引言
[泊松分布] 随机变量X 的所有可能取值为0, 1, 2, … ，
而取各个值的概率为
P {Xk}ke, k0,1 ,2, (0 为常 ) 数
k! 则随机变量X 服从参数为 的泊松分布，简记为 ()。
E (X ) , D (X )
3.1 泊松过程的定义
已知仪器在 [ 0 , t ] 内发生振动的次数 X(t) 是具有参数 的泊松过程。
(2) 时间间隔与等待时间的分布
设 {X (t), t 0 }是泊松过程，令X (t)表示时刻事件A 发生（顾客出现）的次数，
T1 T2 T3
Tn
t
0 W1 W2 W3
Wn-1 Wn
Wn —— 第n次事件A发生的时刻，或称等待时间
Tn —— 从第n-1次事件A发生到第n次事件A发生的 时间间隔，或称第n个时间间隔
(3) 到达时间的条件分布 分布又称为爱尔兰分布，它是n个相互独立且服从指数分布的随机变量之和的概率密度。
随机过程_课件---第三章
随机过程_课件---第三章第三章随机过程3.1 随机过程的基本概念1、随机过程定义3-1 设(),,F P Ω是给定的概率空间，T 为一指标集，对于任意t T ∈，都存在定义在(),,F P Ω上，取值于E 的随机变量()(),X t ωω∈Ω与它相对应，则称依赖于t 的一族随机变量(){},:X t t T ω∈为随机过程，简记(){}tX ω，{}tX 或(){}X t 。
注：随机过程(){,:,}X t t T ωω∈Ω∈是时间参数t 和样本点ω的二元函数，对于给定的时间是()00,,t T X t ω∈是概率空间(),,F P Ω上的随机变量；对于给定样本点()00,,X t ωω∈Ω是定义在T 上的实函数，此时称它为随机过程对应于0ω的一个样本函数，也成为样本轨道或实现。
E 称为随机过程的相空间，也成为状态空间，通常用""t X x =表示t X 处于状态x 。
2、随机过程分类：随机过程t X 按照时间和状态是连续还是离散可以分为四类：连续型随机过程、离散型随机过程、连续随机序列、离散随机序列。
3、有穷维分布函数定义3-2 设随机过程{}t X ，在任意n 个时刻1,,n t t 的取值1,,nt tX X 构成n 维随机向量()1,,n t t XX ，其n 维联合分布函数为：()()11,,11,,,,nnt t nt t nF x x P X x Xx ≤≤其n 维联合密度函数记为()1,,1,,n t tn f x x 。
我们称(){}1,,11,,:1,,,nt t n n Fx x n t t T ≥∈ 为随机过程{}t X 的有穷维分布函数。
3.2 随机过程的数字特征1、数学期望对于任何一个时间t T ∈，随机过程{}t X 的数学期望定义为()()tX t t E X xdF x μ+∞-∞==?()t E X 是时间t 的函数。
2、方差与矩随机过程{}t X 的二阶中心矩22()[(())],tX t t t Var X E X E X t T σ==-∈称为随机过程{}t X 的方差。
《随机信号分析》第五章-窄带随机过程_第三讲
c
s
t t
t cos 2 ˆ t cos 2
fct fct
ˆ t sin 2 t sin 2
fct fct
■ 若E t 0，E c t E s t 0.
■ 若 t 是高斯过程，c t 和s t 也是高斯过程. ■ 若 t 是广义平稳过程，c t 和s t 是联合广义平稳随机
(t
)
arctan
s c
(t (t
) )
2020/7/24
2
窄带随机过程的低通表示
■ t 的等效低通表示
(t ) (t ) jˆ(t ) L (t )e j2 fct
复包络 复载波
其中L (t) ~(t)e j2fct
L (t) c (t) js (t) a (t)e j (t)
(t ) Re t Re L (t)e j2 fct
2020/7/24
3
5.3.2窄带随机过程的统计特性
解析信号的统计特性
■ R E * t t E (t) jˆ(t) (t ) jˆ(t )
R Rˆ jRˆ jRˆ 2 R jRˆ
P ( f ) A
0
fc
fc fc f
f
A P ( f fc )
0
2 fc
fc
0 f
f
A P ( f fc )
0
f 0
fc
2 fc
f
2020/7/24
Pc ( f ) Ps ( f )
2A
f 0 f
f
10
5.4 窄带随机过程包络和相位的分布
窄带正态噪声的包络和相位分布
一维分布 二维分布
12
5.4.1
J 为Jocabian行列式。
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散样本空间）
概率分布函数(cdf,cumulative distribution function)
（离散和连续样本空间）
概率密度函数(pdf,probability density function)（离散
和连续样本空间）
广义导数的定义
18
概率分布函数的性质
理解：是累积概率(总质量) 性质2.2的证明 好处：不论离散样本空间还是连续样本 空间，皆可以描述概率的分布。
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
4
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
5
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两 个集合，其所含元素的“个数”一样多。
6
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
第一章的总结和第二章的总结可以合并成一次，注意：总结应包 含两部分内容
一是内容总结； 二是学习心得，即自己的理解、体会及思想途举例 等等
26
《随机过程》第三讲“随机对象 （一）” 终
27
7
无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的关系。
8
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
n m
n2
2m2
n
2n1
m2 2n12 m 2m1 n12 2m12 L L
第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零）
10
第三次数学危机
罗素悖论
A x is set x x,
if A A, then A A; if A A, then A A.
回到 主标题
对“无穷问题”的评价：大脑的概念和 存在性问题（认识主体和客体的关系）。
11
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件 必然事件 基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
14
概率集函数
概率集函数的标准化 概率集函数的性质2.1 证
明
概率集函数的确定：从基本事件集上进 行扩充
可数样本空间概率集函数的确定（p.18） 不可数样本空间概率集函数的确定（p.19）
15
条件概率 P
A
|
B
P A B PB
,
P
B
0
理解意义：此时条件已经成了必然事件 阅读p.20 独立性的概念 全概率公式
23
RV的独立性和条件分布
独立的定义(定义2.8) 条件概率分布（密度）函数的定义 性质2.5
24
总结
样本空间、事件集合 概率空间（三要素） 条件概率：全概率公式、Bayes公式 随机对象 随机变量 随机向量 三类函数及其性质
25
作业
2.4 2.7 2.12 2.19 2.20 2.26 2.27
19
概率密度函数的性质
理解：单位长度上的概率（密度） 性质2.3的证明 连续和离散样本空间皆可描述 再强调质量分布的比喻
20
离散型随机变量
定义 概率质量函数 概率分布函数（Heavyside函数的表述） 概率密度函数（delta函数的表述）
Delta函数的定义性质
21
连续型和混合型随机变量
连续型
完全描述 不完全描述
2
概率空间
认识随机系统
举例，p.13-14
要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键
认识样本空间
可数和不可数 瞬态和过程
插入部 分
标准化：数、向量、函数
下一 张
3
关于可数和不可数
集合的映射：单射、满射和双射(p.23)
证明 应用意义 在连续情形下的推广
Bayes公式
16
随机对象
样本空间的标准化：同构 随机对象是抽象的概念（图2.4） 三类具体的随机对象
随机变量、复随机变量 随机对象 随机过程
17
随机变量
用一维实数集合标准化了的样本空间，或者说 样本空间是实数集合 此时，概率集函数则有相应的形式
概率质量函数（pmf,probability mass function）（离
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
是一个子集 E 2,4,6,L ，但我们将N中的 n
和 E 中的2n建立对应关系，就发现这是一 个双射。 自然数旅馆的“故事” 不可数集合的“部分等于全体”
9
无穷大的趣闻——三次数学危机
第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线）
x
2
2, x
12
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法 概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
件集、概率集函数,(S,B,P) 样本空间和Borel事件集是随机系统的输出 概率集函数对事件发生可能性的大小进行了
先验的量化
13
概率空间的建模方法
舍弃了对输出某个结果机制的观察，而 是观察某个结果的输出可能性 是对输出结果的统计观察 先验量化的理由有许多 完成先验量化的是概率集函数
《随机过程》教程
第三讲 随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。
根本思想是对随机系统的输出机制不加考虑，而是对 输出样本的可能性大小进行先验地规定。
按照随机系统输出样本的差异，有三类随机对象
随机变量、随机向量（瞬态观察） 随机过程（过程观察）
如何描述、刻画这三类随机对象
定义 性质
混合型
定义 性质
三类随机变量之例(p.31-33)
22
随机向量
样本空间是高维欧氏空间 和随机变量的本质区别
不仅有分量（随机变量）的概率信息 还有分量之间的关联信息
描述
联合概率质量函数 联合概率分布函数 联合概率密度函数 降维：边界概率（质量、分布、密度）函数
联合概率分布（密度）函数的性质(2.4) 随机向量的例子
概率分布函数(cdf,cumulative distribution function)
（离散和连续样本空间）
概率密度函数(pdf,probability density function)（离散
和连续样本空间）
广义导数的定义
18
概率分布函数的性质
理解：是累积概率(总质量) 性质2.2的证明 好处：不论离散样本空间还是连续样本 空间，皆可以描述概率的分布。
原像集
像集 单射（不同的原
f
像具有不同的像）
f a1 f a2
4
满射（每一个像都有原像）
原像集
像集
f
b, a, s.t.
b f a
5
双射（既是单射，又是满射）
原像集
像集
f
从直觉上承认能建立双射关系的两 个集合，其所含元素的“个数”一样多。
6
可数和不可数的定义
凡是能和自然数集合或者自然数集合的 一个子集建立双射关系的集合称为可数 集合；否则称为不可数集合。 可数和不可数是人类认识“无穷”所产 生的概念，是对无穷的分类。 已经证明连续的区间，和实数集等都是 不可数集合：[1,2],(0.1,0.01),R,等等
第一章的总结和第二章的总结可以合并成一次，注意：总结应包 含两部分内容
一是内容总结； 二是学习心得，即自己的理解、体会及思想途举例 等等
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《随机过程》第三讲“随机对象 （一）” 终
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无穷大的分类
0, 1 ,2 ,3,……(自然数集合的无限多 为0， 0集合的所有子集构成的集合的 “无限多（势）”为1 ， 1集合的所有 子集构成的集合的势为2 ， ……)，在数 学上已经严格证明： 0, 1 ,2 ,3,等之 间不能建立双射的关系。
8
对于无穷大，“整体大于部分”的直觉不再成立
n m
n2
2m2
n
2n1
m2 2n12 m 2m1 n12 2m12 L L
第二次危机：微积分中的无穷小量（确 定无穷小是运动的量，无限趋于零但不 等于零）
10
第三次数学危机
罗素悖论
A x is set x x,
if A A, then A A; if A A, then A A.
回到 主标题
对“无穷问题”的评价：大脑的概念和 存在性问题（认识主体和客体的关系）。
11
事件和Borel集
事件：样本空间中满足一定条件的全体 元素构成子集，“一定条件”有事件的 意义，因此称样本空间的子集为事件。
（举例说明）
不可能事件 必然事件 基本事件：可数和不可数 Borel集：规定了事件的全体及其相容性
14
概率集函数
概率集函数的标准化 概率集函数的性质2.1 证
明
概率集函数的确定：从基本事件集上进 行扩充
可数样本空间概率集函数的确定（p.18） 不可数样本空间概率集函数的确定（p.19）
15
条件概率 P
A
|
B
P A B PB
,
P
B
0
理解意义：此时条件已经成了必然事件 阅读p.20 独立性的概念 全概率公式
23
RV的独立性和条件分布
独立的定义(定义2.8) 条件概率分布（密度）函数的定义 性质2.5
24
总结
样本空间、事件集合 概率空间（三要素） 条件概率：全概率公式、Bayes公式 随机对象 随机变量 随机向量 三类函数及其性质
25
作业
2.4 2.7 2.12 2.19 2.20 2.26 2.27
19
概率密度函数的性质
理解：单位长度上的概率（密度） 性质2.3的证明 连续和离散样本空间皆可描述 再强调质量分布的比喻
20
离散型随机变量
定义 概率质量函数 概率分布函数（Heavyside函数的表述） 概率密度函数（delta函数的表述）
Delta函数的定义性质
21
连续型和混合型随机变量
连续型
完全描述 不完全描述
2
概率空间
认识随机系统
举例，p.13-14
要点：随机系统的关键在于输出的不可预知性，但 对输出的范围是清楚的。因此给出样本空间是关键
认识样本空间
可数和不可数 瞬态和过程
插入部 分
标准化：数、向量、函数
下一 张
3
关于可数和不可数
集合的映射：单射、满射和双射(p.23)
证明 应用意义 在连续情形下的推广
Bayes公式
16
随机对象
样本空间的标准化：同构 随机对象是抽象的概念（图2.4） 三类具体的随机对象
随机变量、复随机变量 随机对象 随机过程
17
随机变量
用一维实数集合标准化了的样本空间，或者说 样本空间是实数集合 此时，概率集函数则有相应的形式
概率质量函数（pmf,probability mass function）（离
对于自然数集 N 1,2,3,4,5,L ，偶数集合
是一个子集 E 2,4,6,L ，但我们将N中的 n
和 E 中的2n建立对应关系，就发现这是一 个双射。 自然数旅馆的“故事” 不可数集合的“部分等于全体”
9
无穷大的趣闻——三次数学危机
第一次危机：无理数的发现（正方形的 对角线）
x
2
2, x
12
概率空间的定义
阅读讲解p.16定义2.1 理解概率空间
概率空间是对随机现象的基本建模方法 概率空间有三个要素：样本空间、Borel事
件集、概率集函数,(S,B,P) 样本空间和Borel事件集是随机系统的输出 概率集函数对事件发生可能性的大小进行了
先验的量化
13
概率空间的建模方法
舍弃了对输出某个结果机制的观察，而 是观察某个结果的输出可能性 是对输出结果的统计观察 先验量化的理由有许多 完成先验量化的是概率集函数
《随机过程》教程
第三讲 随机对象（一）
本章要义（阅读引言部分）
本章介绍如何对随机现象建立数学模型。
根本思想是对随机系统的输出机制不加考虑，而是对 输出样本的可能性大小进行先验地规定。
按照随机系统输出样本的差异，有三类随机对象
随机变量、随机向量（瞬态观察） 随机过程（过程观察）
如何描述、刻画这三类随机对象
定义 性质
混合型
定义 性质
三类随机变量之例(p.31-33)
22
随机向量
样本空间是高维欧氏空间 和随机变量的本质区别
不仅有分量（随机变量）的概率信息 还有分量之间的关联信息
描述
联合概率质量函数 联合概率分布函数 联合概率密度函数 降维：边界概率（质量、分布、密度）函数
联合概率分布（密度）函数的性质(2.4) 随机向量的例子