专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题
【专题说明】
一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】
【模型】三、一定两动之点线
在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】
1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.
B
B
【答案】3 【详解】
如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C
根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11
,,
A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又
1AB 1BB ==，
根据勾股定理得，13AB =，故答案为3
2、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．
B
B
B
B
3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；
（3）试求出AM+AN的最小值．
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），
∴DN+AN的最小值=22
+=，
6561
∴AM+AN的最小值为61．
4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．
（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；
（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．
【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】
（1）结论：CF=2DG．
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，
∵DE=AE，
∴AD=CD=2DE，
∵EG⊥DF，
∴∠DHG=90°，
∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，
∴∠CDF=∠DEG，
∴△DEG∽△CDF，
∴DG
CF
=
DE
DC
=
1
2
，
∴CF=2DG．
（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，
此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．
5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）
A．B．C．9 D．
【答案】A
【详解】
解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE
中，∠BCE=90°，BC=9，CE=1
3
CD=3，∴BE=22
93
=310．故选A．
6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．
【答案】（3
2
，
3
2
）．
【详解】
解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，
∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=
3
2
，∴P（
3
2
，
3
2
）．故答案为：（
3
2
，
3
2
）．。
2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
专题03 将军饮马求最小值2-平移(解析版)
中考数学压轴题--二次函数第3节 将军饮马求最值2--平移内容导航方法点拨已知A 、B 是两个定点，P 、Q 是直线m 上的两个动点，P 在Q 的左侧,且PQ 间长度恒定,在直线m 上要求P 、Q 两点，使得PA+PQ+QB 的值最小。
(原理用平移知识解)（1）点A 、B 在直线m 两侧：过A 点作AC ∥m,且AC 长等于PQ 长，连接BC,交直线m 于Q,Q 向左平移PQ 长，即为P 点，此时P 、Q 即为所求的点。
（2）点A 、B 在直线m 同侧：例题演练A B E Q P B Q P Q P AC Q P例1．如图1，抛物线y＝x与x轴交于点A，B（A在B左边），与y轴交于点C，连AC，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，过点D作DE∥AC交抛物线于点E，交y轴于点P．（1）点F是直线AC下方抛物线上点一动点，连DF交AC于点G，连EG，当△EFG的面积的最大值时，直线DE上有一动点M，直线AC上有一动点N，满足MN⊥AC，连GM，NO，求GM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）如图1中，作FH∥y轴交DE于H．设F（m，m2+m+2）．由题意可知A（﹣6，0），B（﹣2，0），C（0，2），∵抛物线的对称轴x＝﹣4，C，D关于直线x＝﹣4对称，∴D（﹣8，2），∴直线AC的解析式为y＝x+2，∵DE∥AC，∴直线DE的解析式为y＝x+，由，解得或，∴E（2，），H（m，m+），∵S△DEF＝S△DEG+S△EFG，△DEG的面积为定值，∴△DEF的面积最大时，△EFG的面积最大，∵FH的值最大时，△DEF的面积最大，∴FH的值最大时，△EFG的面积最大，∵FH＝﹣m2﹣m+，∵a＜0．开口向下，∴x＝﹣3时，FH的值最大，此时F（﹣3，﹣）．如图2中，作点G关于DE的对称点T，TG交DE于R，连接OR交AC于N，作NM⊥DE于M，连接TM，GM，此时GM+MN+ON的值最小．∵直线DF的解析式为：y＝﹣x﹣2，由，解得，∴G（﹣，），∵TG⊥AC，∴直线GR的解析式为y＝﹣x﹣，由，解得，∴R（﹣，），∴RG＝4，OR＝，∵GM＝TM＝RN，∴GM+MN+ON＝RN+ON+RG＝RG+ON＝4+．∴GM+MN+NO的最小值为4+．练1.1如图1，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接BC（1）点G是直线BC上方抛物线上一动点（不与B、C重合），过点G作y轴的平行线交直线BC 于点E，作GF⊥BC于点F，点M、N是线段BC上两个动点，且MN＝EF，连接DM、GN．当△GEF的周长最大时，求DM+MN+NG的最小值；【解答】解：（1）y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣3）（x+1）＝﹣（x﹣1）2+4∴抛物线与x轴交于点A（﹣1，0）、点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），顶点D（1，4），∴直线CB解析式：y＝﹣x+3，∠BCO＝45°∵GE∥y轴，GF⊥BC∴∠GEF＝∠BCO＝45°，∠GFE＝90°∴△GEF是等腰直角三角形，EF＝FG＝GE∴C△GEF＝EF+FG+GE＝（+1）GE设点G（a，﹣a2+2a+3），则点E（a，﹣a+3），其中0＜a＜3∴GE＝﹣a2+2a+3﹣（﹣a+3）＝﹣a2+3a＝﹣（a﹣）2+∴a＝时，GE有最大值为∴△GEF的周长最大时，G（，），E（，），∴MN＝EF＝，E点可看作点F向右平移个单位、向下平移个单位如图1，作点D关于直线BC的对称点D1（﹣1，2），过N作ND2∥D1M且ND2＝D1M∴DM＝D1M＝ND2，D2（﹣1+，2﹣）即D2（，）∴DM+MN+NG＝MN+ND2+NG∴当D2、N、G在同一直线上时，ND2+NG＝D2G为最小值∵D2G＝∴DM+MN+NG最小值为练1.2如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l，点D（﹣4，n）在抛物线上．（1）求直线CD的解析式；（2）E为直线CD下方抛物线上的一点，连接EC，ED，当△ECD的面积最大时，在直线l上取一点M，过M作y轴的垂线，垂足为点N，连接EM，BN，若EM＝BN时，求EM+MN+BN的值．【解答】解：（1）由题意C（0，﹣3），D（﹣4，5），设直线CD的解析式为y＝kx+b，则有解得，∴直线CD的解析式为y＝﹣2x﹣3．（2）如图1中，过点E作EG∥y轴交直线CD于G．设E（m，m2+2m﹣3）．则G（m，﹣2m﹣3），GE＝﹣m2﹣4m．∴S△EDC＝•EG•|D x|＝（﹣m2﹣4m）×4＝﹣2（m+2）2+8，∵﹣2＜0，∴m＝﹣2时，△DEC的面积最大，此时E（﹣2，﹣3），∵C（0，﹣3），∴EC∥AB，设CE交对称轴于H，∵B（1，0），∴EH＝OB＝1，∵EM＝BN，∴Rt△EHM≌Rt△BON，∴MH＝ON＝OC＝，∴EM＝BN＝＝，∴EM+MN+BN＝1+．练1.3如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2﹣x+b与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，OB＝1，∠OBC＝60°．（1）如图1，求直线BC的解析式；（2）如图1，线段AC上方抛物线上有一动点P，PD⊥x轴于点H，交线段AC于点D，直线BG ∥AC，交抛物线于点G，点F是直线BC上一动点，FE∥BC交AC于点E，点Q是点A关于直线BG的对称点，连接PE、QF．当线段PD取最大值时，求PE+EF+QF的最小值及点E的坐标；【解答】解：（1）在△BOC中，OB＝1，∠OBC＝60°∴BC＝2，OC＝．∴抛物线解析式为：；令y＝0，得解之得，x1﹣3，x2＝1∴A（﹣3，0），B（1，0），C（0，）设直线BC解析式为：y＝kx+b，经过B（1，0），C（0，）∴，∴，∴；（2）设直线AC解析式为：y＝k1x+b1，经过A（﹣3，0），B（1，0），得设P点坐标为，则D点坐标为∴PD＝═当时，PD有最大值．∴P点坐标为；在R△AOC中，可以求出AC＝2，AB＝4∴AC2+BC2＝12+4＝16＝AB2由勾股定理逆定理得，可得∠ACB＝90°，可得∠CAB＝30°＝∠ABG，由对称可得，AB＝BQ＝4，∠ABQ＝30°+30°＝60°，∴△ABQ是等边三角形．过点Q作QM⊥x轴于点M．∴MB＝4，且OB＝1∴OM＝1，QM＝2∴Q点坐标为（﹣1，﹣2）；由题意得，四边形BCEF是矩形，可得EF＝BC＝2．将Q点沿射线EF方向平移2个单位（向左平移1个单位，向上平移个单位），可得Q′的坐标为（﹣2，﹣），连接P Q′交AC于点E，点E即为所求．P Q′＝PE+EF+QF最小值＝P Q′+EF＝+2，直线P Q的解析式为：联立，解得：x＝﹣，故E点坐标；练1.4如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x﹣与x轴交于A、B两点（点A 在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与x轴交于点E，直线CE交抛物线于点F （异于点C），直线CD交x轴交于点G．（1）如图1，求直线CE的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，点P为直线CF上方抛物线上一点，连接PC、PF，当△PCF的面积最大时，点M 是过P垂直于x轴的直线l上一点，点N是抛物线对称轴上一点，求FM+MN+NO的最小值；【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x﹣与y轴交于点C，∴C（0，﹣），∵y＝﹣x2+2x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴顶点D（2，），对称轴x＝2，∴E（2，0），设CE解析式y＝kx+b，∴，解得：，∴直线CE的解析式：y＝x﹣；（2）∵直线CE交抛物线于点F（异于点C），∴x﹣＝﹣（x﹣2）2+，∴x1＝0，x2＝3，∴F（3，），过P作PH⊥x轴，交CE于H，如图1，设P（a，﹣a2+2a﹣）则H（a，a﹣），∴PH＝﹣a2+2a﹣﹣（a﹣），＝﹣a2+，∵S△CFP＝PH×3＝﹣a2+，∴当a＝时，S△CFP面积最大，如图2，作点M关于对称轴的对称点M'，过F点作FG∥MM'，FG＝1，即G（4，），∵M的横坐标为，且M与M'关于对称轴x＝2对称，∴M'的横坐标为，∴MM'＝1，∴MM'＝FG，且FG∥MM'，∴FGM'M是平行四边形，∴FM＝GM'，∴FM+MN+ON＝GM'+NM'+ON，根据两点之间线段最短可知：当O，N，M'，G四点共线时，GM'+NM'+ON的值最短，即FM+MN+ON 的值最小，∴FM+MN+ON＝OG＝＝；练1.5如图所示，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的顶点坐标分别为A（﹣2，0），O（0，0），B（0，4），把△AOB绕点O按顺时针方向旋转90°，得到△COD．（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF＝1，使四边形ACEF 的周长最小，求出E、F两点的坐标．【解答】解：（1）由旋转的性质可知：OC＝OA＝2，OD＝OB＝4∴C点的坐标是（0，2），D点的坐标是（4，0），（2）设所求抛物线的解析式为y＝ax2+bx+c，由题意，得，解得，b＝1，c＝4，∴所求抛物线的解析式为；（3）只需求AF+CE最短，抛物线的对称轴为x＝1，将点A向上平移至A1（﹣2，1），则AF＝A1E，作A1关于对称轴x＝1的对称点A2（4，1），连接A2C，A2C与对称轴交于点E，E为所求，可求得A2C的解析式为，当x＝1时，，∴点E的坐标为，点F的坐标为．练1.6如图1，已知抛物线y＝x2+2x﹣3与x轴相交于A，B两点，与y轴交于点C，D为顶点．（1）求直线AC的解析式和顶点D的坐标；（2）已知E（0，），点P是直线AC下方的抛物线上一动点，作PR⊥AC于点R，当PR最大时，有一条长为的线段MN（点M在点N的左侧）在直线BE上移动，首尾顺次连接A、M、N、P构成四边形AMNP，请求出四边形AMNP的周长最小时点N的坐标；【解答】解：（1）对于抛物线y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0），B（1，0），令x＝0，得y＝﹣3，∴C（0，﹣3），∵抛物线y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点D坐标为（﹣1，﹣4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，则有，解得，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，点D坐标（﹣1，﹣4）．（2）如图1中，设P（m，m2+2m﹣3），由题意，当PR最大时，△ACP的面积最大，即四边形APCO的面积最大，∵S四边形APCO＝S△AOP+S△POC﹣S△AOC＝•3•（﹣m2﹣2m+3）+•3•（﹣m）﹣•3•3＝﹣m2﹣m ＝﹣（m+）2+，∴当m＝﹣时，四边形APCO的面积最大，即PR最长，∴P（﹣，﹣），将点P沿BE方向平移个单位得到G（﹣，﹣），作点A关于直线BE的对称点K，连接GK交BE于M，此时四边形APNM的最长最小，∵直线BE的解析式为y＝﹣x+，直线AK的解析式为y＝2x+6，由解得，∴J（﹣，），∵AJ＝JK，∴k（﹣，），∴直线KG的解析式为y＝x+，由解得，∴M（﹣2，），将点M向下平移1个单位，向右平移2个单位得到N，∴N（0，）．。
【中考2020】专题突破（2）将军饮马之最短路径
【中考2020】专题突破（2）将军饮马之最短路径写在前面转眼间，距离中考已不足3个月，今年，新冠肺炎疫情已在全球蔓延，国内多地也延期开学，为了广大初三考生能在未来的中考中取得好成绩，笔者开设了《中考2020》专题突破的系列专栏，结合自身收集的好题与优质公众号的内容，以及笔者的《领跑数学二轮专题复习》，对一些热门中考内容作一个整理，今天分享将军饮马最短路径！【导入】：唐朝诗人李欣的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题．在平面几何中，涉及最值问题的相关定理或公理有：① 线段公理：两点之间，线段最短. 并由此得到三角形三边关系；②垂线段的性质：从直线外一点到这条直线上各点所连的线段中,垂线段最短. 在一些“线段和最值”的问题中，通过翻折、旋转、平移变换，把一些线段进行转化即可应用①② 的基本图形，并求得最值，这类问题一般被称之为“将军饮马”模型。
【模型总结及例题讲解】--小编从四个角度具体分析01定点与定直线线段和最小值问题，可通过变换（轴对称变换、旋转变换、平移变换）将动点变换到异侧且有公共点，构造三角形，从而运用三角形的两边之和大于第三边--两点之间线段最短），来解决线段最值问题。
看上述表格：我们举出反例（点P'），此时，点A、P'、B构成一个三角形，则转化为三角形三边关系；【延伸】：以下三种情况（定点与定直线）也可看为另一种（定点与定角）【例题讲解】：视频1：（包含1道例题、1道变式训练题）视频2：（包含1道例题、2道变式训练题）【有时候定直线是隐含的】-两个定点一个动点和两个动点一个定点02定点与定角【例题讲解】：视频1：（包含1道例题、1道变式训练题）图文1：（包含6道例题）一定两动两直线：图文2：（包含4道例题）两定两动两直线：[变式训练题可查看模拟考及期末测试卷]03两定点与一定长【例题讲解】：图文1：（沈阳市2019年中考第25题）04三动点-直线型与圆弧型直线型：从而得到一个重要结论：锐角三角形的所有内接三角形中，垂足三角形周长最小【例题】：直线—沈阳2015年中考数学第25题圆弧—陕西2018年中考数学第25题。
中考数学专题利用”将军饮马“解决线段最值问题
针对训练 2. 在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O为坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴 的正半轴上，OA＝3，OB＝4，D为边OB的中点，且E、F为边OA上的两个动点，且 EF＝2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标．
在平面直角坐标系中矩形oacb的顶点o为坐标原点顶点ab分别在x轴y轴轴的正半轴上oa3ob4d为边ob的中点且ef为边oa上的两个动点且ef2当四边形cdef的周长最小时求点ef的坐标
微专题 利用“将军饮马”解决线段最值问题
模型一 “一线两点”型(一个动点＋两个定点) (1)异侧线段和最小值问题 模型分析
5. 如图，抛物线的顶点D(-1，4)，抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，与y轴交 于点C(0，3)．已知点E(0，-3)，点F为抛物线对称轴上一动点，当△CEF的周长取得 最小值时，点F的坐标为___________．
第5题图
(3)同侧线段差最大值问题
模型分析 问题：两定点A、B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA-PB|的值最大． 解题思路：当A、B、P三点不共线时，根据三角形任意两边之差小于第三边可得|PAPB|<AB，当A、B、P三点共线时，|PA-PB|＝AB，则|PA-PB|的最大值为线段AB的 长．连接AB并延长，与直线l的交点即为点P.
针对训练 1. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2，点G、H分别是边BC、 CD上的动点，则四边形EFGH周长的最小值为________．
第1题图
中考重难点易错专题 最值模型之将军饮马11个常考模型(模型精讲)
最值模型之将军饮马(11个常考模型)模型背景【模型来历】早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．【考点】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系；轴对称；平行四边形--平移；【解题思路】学会化归，移花接木，化折为直【核心思想】共线与垂线段最短。
模型精讲一.两动一定型(2种模型)：两定点到直线上一动点的距离和最小。
1如图1-1在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.【证明】图1-2。
PA+PB的最小值即为线段AB的长度理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.反思：解决本题很简单，但却点明了将军饮马的解题思路。
1.1如图1-3，如图，定点A和定点B在定直线l的同侧要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 。
作法：图1-41.作A关于直线CD对称点A'。
2.连A'B。
3.交点P就是要求点。
连线长A'B就是PA+PB最小值。
【证明】：图1-5在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´，在△ABP'中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小.二.造桥选址，移花接木。
1已知：如图2-1，直线a∥b,A、B分别为a上方和b下方的定点，(直线AB不与a垂直)要求：在a、b之间求作垂线段PQ，使得AP+PQ+BQ最小。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题-解题技巧总结精选全文
图T3-13
1
10
3
3
(3)∵y=- x2+ x,∴抛物线的对称轴为直线 x=5.
∵A,O 两点关于对称轴对称,∴PA=PO,
当 P,O,D 三点在一条直线上时,PA+PD=PO+PD=OD,此时△ PAD 的周长最小.
如图,OD 与对称轴的交点即为满足条件的点 P,
由(2)可知 D 点坐标为(10,5).
1
1
1
∵S△ PAB=3S 矩形 ABCD,∴2AB·h=3AB·AD,
2
∴h=3AD=2,∴动点 P 在与 AB 平行且与 AB 的距离是 2 的线段 l 上,如图,作点 A
关于直线 l 的对称点 A',连接 AA',BA',则 BA'即为所求的最短距离.在 Rt△ ABA'中,
AB=4,AA'=2+2=4,∴BA'= 2 + '2 = 42 + 42 =4 2,即 PA+PB 的最小值为
)
D.80°
[答案]D
[解析]分别作A关于直线BC和CD的对称点A',A″,连接A'A″,交BC于E,交CD于F,则
A'A″长即为△AEF周长的最小值.作DA延长线AH,易知∠DAB=130°,∠HAA'=50°.
又∠EA'A=∠EAA',∠FAD=∠A″,且∠EA'A+∠EAA'=∠AEF,∠FAD+∠A″=
图T3-4
.
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM.
= ,
在△ CDA 与△ CDM 中, ∠ = ∠,
2020年中考数学培优 专题讲义 第9讲 最值问题之将军饮马问题
第10讲最值问题之将军饮马问题最值问题是老师们最爱考的热门题型之一，综合性较强，需要一定的基本功，一般考察时一般放在压轴位置。
模型讲解【基本模型】问题：在直线l上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：连接AB，与直线l交点即为点P(两点之间线段最短)【拓展模型1】问题：在直线/上找一点P，使得P A＋PB的值最小解析：点A作关于l的对称点A'，连接BA'，与直线l的交点即为点P，此时P A＋PB的最小值即为线段BA′的长度．【练习】1、尺规作图：在直线MN上找一点P，使得∠APN＝∠BPN．(保留作图痕迹)【模型拓展2】1、如图，已知点P为定点，定长线段AB在直线MN上运动，在什么位置时，P A＝PB最小？思维转化：将线段AB移动，点P不动，理解为线段AB不动，点P在直线CD上移动，将模型转化为最基本模型【模型拓展3】问题：∠MON内一定点A，点P、Q分别为OM、ON上的动点，求△APQ周长的最小值．解析：点A作关于ON和OM的对称点A1、A2，，连接A1A2，与ON、OM交点即为Q、P，线段A1A2的长度即为△APQ周长的最小值．基本结论：①△A1OA2必为等腰三角形，且腰长等于线段OA的长．②∠A1OA2＝2∠MON．四边形ABPQ周长最小的模型，最小值即为线段AB＋A'B'的长度和．【模型拓展4】问题：求AB＋BC＋CD的最小值问题解析：作点A关于ON的对称点A'，点D关于OM的对称点D′，连接A'D′，最小值即为线段A'D'的长度．(作点A和点D的对称点的过程中，也可以直接将OM、ON整个对称过去，使得图形更加完整)【模型拓展5】MN垂直两平行线，求AM＋MN＋NB的最小值模型．其中MN为定值，故只需求AM＋NB的最小值，将点A向下平移MN的长度得到A′，连接A′B，线段A′B的长度即为AM＋NB的最小值直线l上有一长度不变线段MN移动，求AM＋MN＋NB最小值的模型．将A点向右平移MN的长度，以此转化为基本模型，最小值即为MN＋A2B【例题讲解】例题1、如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为(3，3)，点C的坐标为(12，0)，点P为斜边OB上的一动点，则P A＋PC的最小值为．解：作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时P A＋PC的值最小，∵DP＝P A，∴P A＋PC＝PD＋PC＝CD，∵B(33，∴AB3OA＝3，∵tan∠AOB＝ABOA3AOB＝30°，∴OB＝2AB＝3由三角形面积公式得：12×OA×AB＝12×OB×AM，∴AM＝32，∴AD＝2×32＝3，∵∠AMB＝90°，∠B＝60°，∴∠BAM＝30°，∵∠BAO＝90°，∴∠OAM＝60°，∵DN⊥OA，∴∠NDA＝30°，∴AN＝12AD＝32，由勾股定理得：DN332，∵C(12，0)，∴CN＝3﹣12﹣32＝1，在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC31，即P A＋PC的最小值是312．【思考】若把题中条件点“C的坐标为(12，0)”改为“点C为OA边上一动点”，其它条件不变，那么此时P A＋PC最小值又是多少呢？解答：∵P A＋PC＝PC＋PD＝CD≥DN＝332，∴P A＋PC的最小值为332．例题2、某长方体的长、宽、高分别为4、3、5，(1)如图1，点A、B分别为该长方体的两个顶点，已知蚂蚁从点A沿长方体侧面爬到点B，则最短路线长是多少？(2)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(3)如图2，点A、C分别为该长方体的两个顶点，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕三圈到达点C，那么所用细线最短长度是．(4)如图3，已知圆柱高4米，底面周长1米．如果用花圈从上往下均匀缠绕圆柱3圈(如图)，那么螺旋形花圈的长至少米．答案：(1)74(2)221(3)1789(4)2916π+例题3、如图，在五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N．(1)当△AMN的周长最小时，∠AMN＋∠ANM＝；(2)求△AMN的周长最小值．解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，则A′A″即为△AMN的周长最小值．⑴作EA延长线的垂线，垂足为H，∠BAE＝120°，∴∠AA′A″＋∠AA″A′＝60°，∠AA′A″＝∠A′AM，∠AA″A′＝∠EAN，∴∠CAN＝120°－∠AA′A″－∠AA″A′＝60°，也就是说∠AMN＋∠ANM＝180°－60°＝120°.⑵过点A′作EA延长线的垂线，垂足为H，∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，∵A′H⊥HA，∴∠AA″H＝30°，∴AH＝12AA′＝1，∴A′H＝3，A″H＝1＋4＝5，∴A′A″＝27，例题4、如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边BC上且CE＝1，长为2的线段MN在AC上运动．(1)求四边形BMNE周长最小值；(2)当四边形BMNE的周长最小时，则tan∠MBC的值为．解：作EF∥AC且EF2DF交AC于M，在AC上截取MN2DF交BC于P，作FQ⊥BC于Q，作出点E关于AC的对称点E′，则CE′＝CE＝1，将MN平移至E′F′处，则四边形MNE′F′为平行四边形，当BM＋EN＝BM＋FM＝BF′时，四边形BMNE的周长最小，由∠FEQ＝∠ACB＝45°，可求得FQ＝EQ＝1，∵∠DPC＝∠FPQ，∠DCP＝∠FQP，∴△PFQ∽△PDC，∴PQPQ QE EC++＝PQCD，∴2PQPQ+＝14，解得：PQ＝23，∴PC＝83，由对称性可求得tan∠MBC＝tan∠PDC＝23．例题5、在平面直角坐标系中，已知点A(一2，0)，点B(0，4)，点E在OB上，且∠OAE＝∠OB A．如图，将△AEO沿x轴向右平移得到△AE′O′，连接A'B、BE'．当AB＋BE'取得最小值时，求点E'的坐标．【提示】将△AEO向右平移转化为△AEO不动，点B向左平移，则点B移动的轨迹为一平行于x轴的直线，所以作点E关于该直线的对称点E1，连接AE1，与该直线交点F即为最小时点B的位置，求出BF长度即可求出点E向右平移的距离．例题6、如图，已知正比例函数y＝kx(k＞0)的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的坐标为(0，4)，P为y轴上的一个动点，M、N为函数y＝kx(k＞0)的图像上的两个动点，则AM＋MP＋PN的最小值为．解：如图所示，直线OC、y轴关于直线y＝kx对称，直线OD、直线y＝kx关于y轴对称，点A′是点A关于直线y＝kx的对称点．作A′E⊥OD垂足为E，交y轴于点P，交直线y＝kx于M，作PN⊥直线y＝kx垂足为N，∵PN＝PE，AM＝A′M，∴AM＋PM＋PN＝A′M＋PM＋PE＝A′E最小(垂线段最短)，在RT△A′EO中，∵∠A′EO＝90°，OA′＝4，∠A′OE＝3∠AOM＝60°，∴OE＝12OA′＝2，A′E＝2242＝23．∴AM＋MP＋PN的最小值为23．【巩固练习】1、如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为．2、在菱形ABCD中，对角线AC＝6，BD＝8，点E、F、P分别是边AB、BC、AC上的动点，PE＋PF的最小值是．3、如图，在边长为2的等边△ABC中，D为BC的中点，E是AC边上一点，则BE＋DE的最小值为．4、如图，钝角三角形ABC的面积为9，最长边AB＝6，BD平分∠ABC，点M、N分别是BD、BC上的动点，则CM＋MN的最小值为．5、如图，在△ABC中，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，(1)若AC＝4，S△ABC＝6，则BD＋DE的最小值为(2)若∠BAC＝30°，AB＝8，则BD＋DE的最小值为．(3)若AB＝17，BC＝10，CA＝21，则BD＋DE的最小值为．AB CDEM6、如图，在△ABC中，AB＝BC＝4，S△ABC＝43，点P、Q、K分别为线段AB、BC、AC上任意一点，则PK＋QK的最小值为．7、如图，AB是⊙O的直径，AB＝8，点M在⊙O上，∠MAB＝20°，N是弧MB的中点，P是直径AB上的一动点，则PM＋PN的最小值为．OAPMBN8、如图，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是．9、如图，圆柱形玻璃杯高为12cm、底面周长为18cm，在杯内离杯底4cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为cm．10、如图，菱形OABC中，点A在x轴上，顶点C的坐标为(1，3)，动点D、E分别在射线OC、OB上，则CE＋DE＋DB的最小值是．11、如图，点A(a，1)、B(－1，b)都在双曲线y＝－3x(x＜0)上，点P、Q分别是x轴、y轴上的动点，当四边形P ABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的解析式是．yxBAP OQ12、如图，点P是∠AOB内任意一点，OP＝5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是．13、如图，∠AOB＝30°，点M、N分别在边OA、OB上，且OM＝1，ON＝3，点P、Q分别在边OB、OA上，则MP＋PQ＋QN的最小值是．14、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB边的中点，过D作DE⊥BC于点E．(1)点P是边BC上的一个动点，在线段BC上找一点P，使得AP＋PD最小，在下图中画出点P；(2)在(1)的条件下，连接CD交AP于点Q，求AQ与PQ的数量关系；AC ED15、在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，G 为边AD 的中点．(1)如图1，若E 为AB 上的一个动点，当△CGE 的周长最小时，求AE 的长．(2)如图2，若E 、F 为边AB 上的两个动点，且EF ＝4，当四边形CGEF 的周长最小时，求AF 的长．16、图1，图2为同一长方体房间的示意图，图2为该长方体的表面展开图．(1)蜘蛛在顶点A ′处，①苍蝇在顶点B 处时，试在图1中画出蜘蛛为捉住苍蝇，沿墙面爬行的最近路线；②苍蝇在顶点C 处时，图2中画出了蜘蛛捉住苍蝇的两条路线，往天花板ABCD 爬行的最近路线A 'GC 和往墙面BB 'C 'C 爬行的最近路线A 'HC ，试通过计算判断哪条路线更近？(2)在图3中，半径为10dm 的OM 与D 'C '相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，蜘蛛P 在线段AB 上，苍蝇Q 在OM 的圆周上，线段PQ 为蜘蛛爬行路线．若PQ 与OM 相切，试求PQ 的长度的范围．17.如图，抛物线21242y x x =-++交y 轴于点B ，点A 为x 轴上的一点，OA =2，过点A 作直线MN ⊥AB 交抛物线与M 、N 两点.（1）求直线AB 的解析式；（2）将线段AB 沿y 轴负方向平移t 个单位长度，得到线段11A B ，求11MA MB +取最小值时实数t 的值.参考答案1.解：连接BD，∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD＋PE＝PB＋PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝23，又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝23，故所求最小值为23．2.解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC＝6，BD＝8，∴AB＝5，作E关于AC的对称点E′，作E′F⊥BC于F交AC于P，连接PE，则E′F即为PE＋PF的最小值，∵12⋅AC⋅BD＝AD⋅E′F，∴E′F＝245，∴PE＋PF的最小值为245.3.解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，∵B、B′关于AC的对称，∴AC、BB′互相垂直平分，∴四边形ABCB′是平行四边形，∵三角形ABC是边长为2，D为BC的中点，∴AD⊥BC，AD3BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝3，作B′G⊥BC的延长线于G，∴B′G＝AD3，在Rt△B′BG中，BG＝3，∴DG＝BG﹣BD＝3﹣1＝2，在Rt△B′DG中，B′D7故BE＋ED的最小值为7．4.解：过点C作CE⊥AB于点E，交BD于点M，过点M作MN⊥BC于N，∵BD平分∠ABC，ME⊥AB于点E，MN⊥BC于N，∴MN＝ME，∴CE＝CM＋ME＝CM＋MN是最小值．∵三角形ABC的面积为9，AB＝6，∴12×6 CE＝9，∴CE＝3．即CM＋MN的最小值为3．5.HE'AB CDEM提示：作点E关于AM的对称点E′，BH⊥AC于H，易知BD＋DE的最小值即为BH的长.答案：(1)3；(2)4；(3)8．6.解：如图，过A作AH⊥BC交CB的延长线于H，∵AB＝CB＝4，S△ABC＝3AH＝3∴cos∠HAB＝AHAB233HAB＝30°，∴∠ABH＝60°，∴∠ABC＝120°，∵∠BAC＝∠C＝30°，作点P关于直线AC的对称点P′，过P′作P′Q⊥BC于Q交AC于K，则P′Q的长度＝PK＋QK的最小值，∴∠P′AK＝∠BAC＝30°，∴∠HAP′＝90°，∴∠H＝∠HAP′＝∠P′QH＝90°，∴四边形AP′QH是矩形，∴P′Q＝AH＝23，即PK＋QK的最小值为23．7.解：作点N关于AB的对称点N′，连接OM、ON、ON′、MN′，则MN′与AB的交点即为PM＋PN的最小时的点，PM＋PN的最小值＝MN′，∵∠MAB＝20°，∴∠MOB＝2∠MAB＝2×20°＝40°，∵N是弧MB的中点，∴∠BON＝12∠MOB＝12×40°＝20°，由对称性，∠N′OB＝∠BON＝20°，∴∠MON′＝∠MOB＋∠N′OB＝40°＋20°＝60°，∴△MON′是等边三角形，∴MN′＝OM＝OB＝12AB＝182⨯＝4，∴PM＋PN的最小值为4，8.解：如图，作BH⊥AC，垂足为H，交AD于M′点，过M′点作M′N′⊥AB，垂足为N′，则BM′＋M′N′为所求的最小值．∵AD是∠BAC的平分线，∴M′H＝M′N′，∴BH是点B到直线AC的最短距离，∵AB＝4，∠BAC＝45°，∴BH＝AB⋅sin45°＝42＝2∵BM＋MN的最小值是BM′＋M′N′＝BM′＋M′H＝BH＝29.解：沿过A的圆柱的高剪开，得出矩形EFGH，过C作CQ⊥EF于Q，作A关于EH的对称点A′，连接A′C交EH于P，连接AP，则AP＋PC就是蚂蚁到达蜂蜜的最短距离，∵AE＝A′E，A′P＝AP，∴AP＋PC＝A′P＋PC＝A′C，∵CQ＝12×18cm＝9cm，A′Q＝12cm﹣4cm＋4cm＝12cm，在Rt△A′QC中，由勾股定理得：A′C＝15cm，故答案为：15．10.解：连接AC，作B关于直线OC的对称点E′，连接AE′，交OC于D，交OB于E，此时CE＋DE＋BD的值最小，∵四边形OCBA是菱形，∴AC⊥OB，AO＝OC，即A和C关于OB对称，∴CE＝AE，∴DE＋CE＝DE＋AE＝AD，∵B和E′关于OC对称，∴DE′＝DB，∴CE＋DE＋DB＝AD＋DE′＝AE′，过C作CN⊥OA于N，∵C(13)，∴ON＝1，CN3由勾股定理得：OC＝2，即AB＝BC＝OA＝OC＝2，∴∠CON＝60°，∴∠CBA＝∠COA＝60°，∵四边形COAB是菱形，∴BC∥OA，∴∠DCB＝∠COA＝60°，∵B和E′关于OC对称，∴∠BFC＝90°，∴∠E′BC＝90°﹣60°＝30°，∴∠E′BA＝60°＋30°＝90°，CF＝12BC＝1，由勾股定理得：BF3E′F，在Rt△EBA中，由勾股定理得：AE′＝4，即CE＋DE＋DB的最小值是4．11.解：把点A(a，1)、B(﹣1，b)代入y＝﹣3x(x＜0)得a＝﹣3，b＝3，则A(﹣3，1)、B (﹣1，3)，作A点关于x轴的对称点C，B点关于y轴的对称点D，所以C点为(﹣3，﹣1)，D点为(1，3)，连结CD分别交x轴、y轴于P点、Q点，此时四边形P ABQ的周长最小，设直线CD的解析式为y＝kx＋b，则313k bk b-+=-⎧⎨+=⎩，解得12kb=⎧⎨=⎩，所以直线CD的解析式为y＝x＋2．12.解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如图所示：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM＝DM，OP＝OD，∠DOA＝∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN＝CN，OP＝OC，∠COB＝∠POB，∴OC＝OP＝OD，∠AOB＝12∠COD，∵△PMN周长的最小值是5cm，∴PM＋PN＋MN＝5，∴DM＋CN＋MN＝5，即CD＝5＝OP，∴OC＝OD＝CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD＝60°，∴∠AOB＝30°；13.解：作M关于OB的对称点M′，作N关于OA的对称点N′，连接M′N′，即为MP＋PQ＋QN的最小值．根据轴对称的定义可知：∠N′OQ＝∠M′OB＝30°，∠ONN′＝60°，∴△ONN′为等边三角形，△OMM′为等边三角形，∴∠N′OM′＝90°，∴在Rt△M′ON′中，M′N′＝10．故答案为10．14.A'ABPC EDQA'ABPC ED解：(1)作点A关于BC的对称点A′，连DA′交BC于点P.(2)由(1)可证得PA垂直平分CD，∴AQ＝3CQ＝3PQ15.解：(1)∵E为AB上的一个动点，∴作G关于AB的对称点M，连接CM交AB于E，那么E满足使△CGE的周长最小；∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而AE∥CD，∴△AEM∽△DCM，∴AE：CD＝MA：MD，∴AE＝CD MAMD＝2；(2)∵E为AB上的一个动点，∴如图，作G关于AB的对称点M，在CD上截取CH＝4，然后连接HM交AB于E，接着在EB 上截取EF＝4，那么E、F两点即可满足使四边形CGEF的周长最小．∵在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，G为边AD的中点，∴AG＝AM＝4，MD＝12，而CH＝4，∴DH＝2，而AE ∥CD ，∴△AEM ∽△DHM ，∴AE ：HD ＝MA ：MD ，∴AE ＝HD MA MD ⨯＝23， ∴AF ＝4＋23＝143．16.解：(1)①根据“两点之间，线段最短”可知：线段A ′B 为最近路线，如图1所示．②Ⅰ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形ABCD 在同一平面内，如图2①．在Rt △A ′B ′C 中，∠B ′＝90°，A ′B ′＝40，B ′C ＝60，∴AC ＝224060+＝2013． Ⅱ．将长方体展开，使得长方形ABB ′A ′和长方形BCC ′B ′在同一平面内，如图2②．在Rt △A ′C ′C 中，∠C ′＝90°，A ′C ′＝70，C ′C ＝30，∴A ′C ＝227030+＝1058． ∵5200＜5800，∴往天花板ABCD 爬行的最近路线A ′GC 更近；(2)过点M 作MH ⊥AB 于H ，连接MQ 、MP 、MA 、MB ，如图3．∵半径为10dm 的⊙M 与D ′C ′相切，圆心M 到边CC ′的距离为15dm ，BC ′＝60dm ， ∴MH ＝60﹣10＝50，HB ＝15，AH ＝40﹣15＝25，根据勾股定理可得AM 22AH MH +3125，MB 22BH MH +2725∴50≤MP 3125∵⊙M 与PQ 相切于点Q ，∴MQ ⊥PQ ，∠MQP ＝90°，∴PQ当MP ＝50时，PQ当MP时，PQ55．∴PQ 长度的范围是≤PQ ≤55dm ．17.解：（1）依题意，易得B （0，4），A （2，0），则AB 解析式：42+-=x y（2）∵AB ⊥MN∴直线MN ：121-=x y 与抛物线联立可得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=++-=12142212x y x x y 解得：M （-2，-2）将AB 向负方向平移t 个单位后，A 1（2，-t ），B 1（0，4-t ） 则A 1关于直线x =-2的对称点A 2为（-6，-t ）当A 2、M 、B 1三点共线时，11MA MB +取最小值 ∴314=t。
专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题专题三 将军饮马中一定两动模型与最值问题【专题说明】一定两动型可转化为两点之间线段最短和点到直线的垂线段最短问题，进而求最值。
关键是作定点（或动点）关于动折点所在直线的对称点，通过等量代换转化问题。
【模型展示】【模型】三、一定两动之点线在OA 、OB 上分别取M 、N 使得PM +MN 最小。
此处M 点为折点，作点P 关于OA 对称的点P ’，将折线段PM +MN 转化为P ’M +MN ，即过点P ’作OB 垂线分别交OA 、OB 于点M 、N ，得PM +MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段最短） 【精典例题】1、如图，在边长为1的菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，将ABD ∆沿射线BD 的方向平移得到A B D '''∆，分别连接A C '，A D '，B C '则A C B C ''+的最小值为____.BB【答案】3 【详解】如图，过C 点作BD 的平行线l ，以l 为对称轴作B 点的对称点1B ，连接1AB 交直线l 于点1C根据平移和对称可知11A C B C AC BC +=+''，当11,,A B C 三点共线时11AC BC +取最小值，即1AB ，又1AB 1BB ==，根据勾股定理得，13AB =，故答案为32、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取M 、N ，使得PM+MN 最小。
3、点P 是定点，在OA 、OB 上分别取点M 、N ，使得△PMN 周长最小．BBBB3、如图，抛物线y=ax2﹣5ax+c与坐标轴分别交于点A，C，E三点，其中A（﹣3，0），C（0，4），点B 在x轴上，AC=BC，过点B作BD⊥x轴交抛物线于点D，点M，N分别是线段CO，BC上的动点，且CM=BN，连接MN，AM，AN．（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；（2）当△CMN是直角三角形时，求点M的坐标；（3）试求出AM+AN的最小值．∵DB=BC=AC=5，CM=BN，∴△ACM≌△DBN，∴AM=DN，∴AM+AN=DN+AN，而DN+AN≥AD（当且仅当点A、N、D共线时取等号），∴DN+AN的最小值=22+=，6561∴AM+AN的最小值为61．4、如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是边AD，BC的中点，连接DF，过点E作EH⊥DF，垂足为H，EH的延长线交DC于点G．（1）猜想DG与CF的数量关系，并证明你的结论；（2）过点H作MN∥CD，分别交AD，BC于点M，N，若正方形ABCD的边长为10，点P是MN上一点，求△PDC周长的最小值．【答案】（1）结论：CF=2DG，理由见解析；（2）△PCD的周长的最小值为10+226．【详解】（1）结论：CF=2DG．理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=BC=CD=AB，∠ADC=∠C=90°，∵DE=AE，∴AD=CD=2DE，∵EG⊥DF，∴∠DHG=90°，∴∠CDF+∠DGE=90°，∠DGE+∠DEG=90°，∴∠CDF=∠DEG，∴△DEG∽△CDF，∴DGCF=DEDC=12，∴CF=2DG．（2）作点C关于NM的对称点K，连接DK交MN于点P，连接PC，此时△PDC的周长最短．周长的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK．5、如图，在正方形ABCD中，AB=9，点E在CD边上，且DE=2CE，点P是对角线AC上的一个动点，则PE+PD的最小值是（）A．B．C．9 D．【答案】A【详解】解：如图，连接BE，设BE与AC交于点P′，∵四边形ABCD是正方形，∴点B与D关于AC对称，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最小．即P在AC与BE的交点上时，PD+PE最小，为BE的长度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=9，CE=13CD=3，∴BE=2293=310．故选A．6、如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点P是OA上的一动点，点N（3，0）是OB上的一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°，要使PM+PN最小，则点P的坐标为______．【答案】（32，32）．【详解】解：作N关于OA的对称点N′，连接N′M交OA于P，则此时，PM+PN最小，∵OA垂直平分NN′，∴ON=ON′，∠N′ON=2∠AON=60°，∴△NON′是等边三角形，∵点M是ON的中点，∴N′M⊥ON，∵点N（3，0），∴ON=3，∵点M是ON的中点，∴OM=1.5，∴PM=32，∴P（32，32）．故答案为：（32，32）．。
专题一 将军饮马中两定一动模型与最值问题 2020年中考数冲刺难点突破 将军饮马与最值问题(解析版)
2020年中考数冲刺难点突破将军饮马与最值问题专题一将军饮马中两定一动模型与最值问题【专题说明】这类问题的解法主要是通过轴对称，将动点所在直线同侧的两定点中的一个映射到直线的另一侧，转化为两点之间线段最短问题。
1、如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A．B．C．D．【答案】B【详解】在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.2、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AB＝8，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值_____．【答案】10【详解】解：如图：连接DE 交AC 于点P ，此时PD ＝PB ，PB +PE ＝PD +PE ＝DE 为其最小值，∵四边形ABCD 为正方形，且BE ＝2，AB ＝8，∵∵DAB ＝90°，AD ＝AB ＝8，AE ＝AB -BE ＝6，在Rt∵ADE 中，根据勾股定理，得DE ＝22AD AE +＝2286+＝10．∵PB +PE 的最小值为10．故答案为10．3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的边BC 交x 轴于点D ，AD x ⊥轴，反比例函数(0)k y x x=>的图象经过点A ，点D 的坐标为(3,0)，AB BD =．（1）求反比例函数的解析式；（2）点P 为y 轴上一动点，当PA PB +的值最小时，求出点P 的坐标．91245，轴，（2）过点B 作BE AD ⊥垂足为E ，∵90B =∠，AB BD =，BE AD ⊥∵1322AE ED AD ===， ∵39322OD BE +=+=， ∵93(,)22B ，则点B 关于y 轴的对称点193(,)22B -，直线1AB 与y 轴的交点就是所求点P ，此时PA PB +最小， 设直线AB 1的关系式为y kx b =+，将 (3,3)A ,193(,)22B -，代入得， 339322k b k +=⎧⎪⎨-+=⎪⎩ 解得：15k =，125b =， ∵直线1AB 的关系式为11255y x =+， 当0x =时，125y =， ∵点12(0,)5P 答：点P 的坐标为12(0,)5．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M，使∵BDM的周长最小，求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；直线AC的解析式为y=3x+3；（2）点M的坐标为（0，3）；（3）符合条件的点P的坐标为（73，209）或（103，﹣139），【详解】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3），即y=ax2﹣2ax﹣3a，∵﹣2a=2，解得a=﹣1，∵抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时，y=﹣x2+2x+3=3，则C（0，3），设直线AC的解析式为y=px+q，把A（﹣1，0），C（0，3）代入得3p qq-+=⎧⎨=⎩，解得33pq=⎧⎨=⎩，∵直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，∵顶点D的坐标为（1，4），作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，如图1，则B′（﹣3，0），∵MB=MB′，∵MB+MD=MB′+MD=DB′，此时MB+MD的值最小，而BD的值不变，∵此时∵BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y=x+3，当x=0时，y=x+3=3，∵点M的坐标为（0，3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P，如图2，∵直线AC的解析式为y=3x+3，∵直线PC的解析式可设为y=﹣13x+b，把C（0，3）代入得b=3，∵直线PC的解析式为y=﹣13x+3，解方程组223133y x xy x⎧-++⎪⎨-+⎪⎩＝＝，解得3xy=⎧⎨=⎩或73209xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，则此时P点坐标为（73，209）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P，直线PC的解析式可设为y=﹣x+b，把A（﹣1，0）代入得13+b=0，解得b=﹣13，∵直线PC的解析式为y=﹣13x﹣13，解方程组2231133y x xy x⎧-++⎪⎨--⎪⎩＝＝，解得1xy=-⎧⎨=⎩或103139xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，则此时P点坐标为（103，﹣139）.5、如图1（注：与图2完全相同），在直角坐标系中，抛物线经过点三点0(1)A ，,(50)B ，,4(0)C ，．（1）求抛物线的解析式和对称轴；的值为最小的点P坐标（请在图1中探索）；（2）P是抛物线对称轴上的一点，求满足PA PC（3）在第四象限的抛物线上是否存在点E，使四边形OEBF是以OB为对角线且面积为12的平行四边形？若存在，请求出点E坐标，若不存在请说明理由.（请在图2中探索）【答案】（1）2545442y x x -+＝，函数的对称轴为：3x ＝；（2）点8(3)5P ，；（3）存在，点E 的坐标为12(2,)5-或12,)5(4-． 【详解】解：1（）根据点0(1)A ，,(50)B ，的坐标设二次函数表达式为：()()()21565y a x x a x x +--＝﹣＝， ∵抛物线经过点4(0)C ，， 则54a ＝，解得：45a ＝， 抛物线的表达式为：()()2224416465345555245y x x x x x --+--+＝=＝ ， 函数的对称轴为：3x ＝；2（）连接B C 、交对称轴于点P ，此时PA PC +的值为最小，设BC 的解析式为：y kx b +＝，将点B C 、的坐标代入一次函数表达式：y kx b +＝得：05,4k b b =+⎧⎨=⎩。
2020中考数学总复习：将军饮马型最值问题 解题技巧总结
4.如图T3-5,菱形ABCD中,AB=2,∠A=120°,点P,Q,K分别为线段BC,CD,BD上的任
意一点,则PK+QK的最小值为
.
图T3-5
[答案] 3 [解析]如图,作点 P 关于 BD 的对称点 P',则 PK+QK=P'K+QK.当 P',K,Q 三点共线, 且 P'Q⊥CD 时,PK+QK 取得最小值.过点 A 作 AE⊥CD 于点 E.∵在菱形 ABCD 中,AB=AD=2,∠BAD=120°,∴∠ADC=60°,∴AE=AD·sin∠ADC=2×23 = 3. ∵P'Q⊥CD,AE⊥CD,AB∥CD,∴P'Q=AE= 3.∴PK+QK 的最小值为 3.
MD=1AM=1,所以 MN=2,NQ=MN·
2
图T3-2
cosN=2×23 = 3.
2.如图T3-3,在矩形ABCD中,AD=4,∠DAC=
30°,点P,E分别在AC,AD上,则PE+PD的最小
值是
.
[答案] 2 3 [解析]如图,作点 D 关于直线 AC 的对称点 D'.当 D',P,E 三点共线, 且 D'E⊥AD 时,PE+PD 最小.易得 CD=433,∠ADD'=60°,DD'=4,所以 D'E=2 3.
图T3-3
3.[2019·合肥二模]如图T3-4,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=6,CD平分∠ACB交
AB于点D,点E是AC的中点,点P是CD上一动点,则PA+PE的最小值是
.
图T3-4
[答案] 2 5
[解析]如图,在 CB 上截取 CM=CA,连接 DM. ������������ = ������������,