高等数学期末复习---知识点归纳

微分方程

知识点：微分方程的相关概念（常微分方程、微分方程的解、通解、特解、通解所含任意常数的个数、）

1、下列方程中（ ）是常微分方程。

A. 2

2

2

a y x =+ B. 0)(arctan =+x e

dx d y C. 02222=∂∂+∂∂y

u

x u D. 22y x y +='' 2、下列方程中（ ）是二阶微分方程。

A.022=+'+''x y x y

B.3223)(x y x y =+'

C.03=+''+'''y y y

D.x y y sin 2=-'

3、微分方程()()2

5

0xyy x y y y ''''+-=的阶数是 。

4、微分方程20y y x '''+-=的通解所含任意常数的个数为 。

5、微分方程0)67(=+-dy dx y x 的阶数是__________。

知识点：一阶微分方程（通解、特解） 求下列微分方程的通解 6、22

cos y y x x x

'-

= 7、ln 0xy y y '-=

求一阶微分方程的特解（先求通解，再定常数）

8、02,|1x y xy y ='==

9、⎩⎨⎧=='=-00

2x y

x y e y

10、

y

x

dx dy -=，1=x 时，3=y

知识点：二阶常系数齐次线性微分方程（通解、特解）

11、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==21,，则p 等于__________，q 等于 __________。

12、若某个二阶常系数线性齐次微分方程的通解为x x e C e C y -+=21，其中21,C C 为独立的任意常数，则该方程为 __________。

13、若方程0=+'+''qy y p y （q p ,均为实常数）有特解x x e y e y -==231,，则p 等

于__________，q 等于 __________。 14、求微分方程的解 20y y y '''+-= 15、求微分方程的解40y y ''+=

16、求微分方程的解20y y y '''++=

知识点：导数的几何意义

17、设有一曲线，在其上任一点(,)x y 处的切线斜率等于该点横坐标的平方。求该曲线的方程。

空间解析几何

知识点：空间解析中的相关概念（点的位置、向量求解、向量的模、两向量的夹角、向量之间的关系）

1、设1(3,2,1)M -，2(1,0,3)M ，则12,M M 连线中点M 的坐标为 。

2、已知102A （，，）,4510B （，，），AB =

。

3、设(3,2,2)a =-

，则与a 平行的单位向量的坐标为 。 4、向量23a i j k =-+

的模为 。

5、设(1,3,2),(3,3,1)A B -，则A,B 两点间的距离为 。

6、球心为(1,1,2)-，半径为4的球面方程为 。

7、以(1,2,3),(3,1,5),(2,4,3)A B C 为顶点的三角形 直角三角形。（填 “是”或“不是”）

8、已知点153B --（，，），则点153B --（，，）在第________卦限。

知识点：数量积、向量积（两向量平行、垂直关系）

9、设(1,1,2)a = ，(1,1,1)b =-- ，则a

b 。（用“⊥”或“//”填空）

10、设3a i k =- ，232b i j k =-+

，则a b ⋅ = 。

11、设(1,2,3)a =

，(1,2,3)b =--- ，则a b 。（用“⊥”或“//”填空）

12、设向量(1,2,)a k =-

，(2,4,1)b =- ,若b a ⊥，则k = 。

13、设3a i k =- ，232b i j k =-+ ，则a b ⨯

= 。 知识点：空间曲面及其方程

14、在空间里22

2

194

y z x ++=是（ ） A 、椭球面 B 、单叶双曲面 C 、双叶双曲面 D 、锥面 15、在空间里2221x y z -+=是（ ）

A 、椭球面

B 、单叶双曲面

C 、双叶双曲面

D 、锥面

知识点：空间平面及其方程（点法式、平面之间的关系） 16、平面340x y z -+=的法向量=→

n 。

17、过点(2,1,1)M --且与平面340x y z -+=平行的平面方程为 。 18、过点(2,1,3)且过Ox 轴的平面方程为 。 19、求过点(1,2,4)-且与平面2340x y z -+-=垂直的直线方程。 20、求过点(2,3,0)-且与直线

3

2111z

y x =--=+垂直的平面方程。 21、已知(1,2,4)A -、(2,3,0)B -，求AB 的中垂面方程

22、两平行平面0362145=++-z y x 与092145=-+-z y x 间的距离为( ). (A) 45 (B ) 27 (C) 3 (D)

5

9

知识点：空间直线及其方程（点向式、参数式、直线之间的关系、线面关系）

23、直线1232

:321

x y z L -++==--的方向向量为=→

s 。 24、已知点(1,2,3)M --，直线1123

:312

x y z L -+-==--，则过点M 且与1L 平行的直线方程为 。