高等数学第一章第九节教案-吴赣昌
高数切线方程的求法
高数切线方程的求法标题：高数切线方程的求法一、引言在微积分中，切线是一个基本的概念。
它是曲线在某一点处的局部近似，可以用来描述物理现象的变化趋势，也可以用于优化问题等。
本篇文章将详细介绍如何求解高数中的切线方程。
二、切线的基本概念给定一个函数y=f(x)，在点(x0,y0)处的切线就是与曲线相切的一条直线。
这条直线经过点(x0,y0)，并且其斜率等于函数在该点的导数f'(x0)。
三、切线方程的求法1. 求出函数在指定点的导数：对于任意可导函数y=f(x)，在点x0处的导数可以通过求导法则得出，即f'(x0)。
2. 利用导数得到切线的斜率：切线的斜率就等于函数在指定点的导数，即k=f'(x0)。
3. 通过点斜式求得切线方程：已知切线的斜率和经过的定点(x0,y0)，可以利用点斜式求得切线方程。
点斜式为y-y0=k(x-x0)，其中k是切线的斜率，(x0,y0)是切线经过的点。
四、实例解析例如，我们要求函数y=x^2在点(1,1)处的切线方程。
首先，我们求出函数在x=1处的导数，因为y'=2x，所以f'(1)=2。
然后，我们得到切线的斜率为k=2。
最后，我们将斜率和切线经过的点代入点斜式，得到切线方程为y-1=2(x-1)，化简后为y=2x-1。
五、结论求解高数中的切线方程，关键在于理解并掌握导数的概念和求导的方法，以及切线的基本性质。
通过实际的例子，我们可以更深入地理解和应用这些知识。
六、参考文献[1] 吴赣昌. 高等数学[M]. 北京: 高等教育出版社, 2004.[2] 斯坦利·艾林. 微积分及其应用[M]. 北京: 科学出版社, 2012.以上内容仅为初步指导，具体的理论学习和实践操作还需结合教材和教师的讲解进行。
《高等数学B-微积分一》本科教学大纲
《高等数学B-微积分(一)》本科教学大纲课程编号：上海立信会计金融学院《高等数学B—微积分(一)》课程教学大纲一、课程基本信息课程名称：高等数学B-微积分(一)英文名称：Advanced Mathematics (B)-Calculus Ⅰ课程编号：课程类别：长学段-专业必修课预修课程：初等数学开设部门：统计与数学学院适用专业：经管类专业（本科）学分：4总课时：60学时其中理论课时：60学时，实践课时：0学时二、课程性质、目的微积分是经济管理类本科专业的学科专业课。
本课程的教学目的是使学生掌握经济管理学科所需的微积分基础知识，学会应用变量数学的方法分析研究经济现象中的数量关系，同时通过本课程的教学，培养学生的抽象思维和逻辑推理能力，为后继课程的学习和将来进一步的专业发展打好扎实必要的数学基础。
思政元素融入课程，引导学生树立正确的科学观，培养学生科学理性思维能力、创新思维能力、独立思考能力，解决实际问题能力，培养探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感；引导学生树立正确的人生观和价值观，了解数学发展史和数学文化，提升数学素养、弘扬中华文明、培养民族文化自信，以精神文明为切入点，科学育人、文化育人。
在大纲中，概念、理论方面用“理解”表述，方法、运算方面用“掌握”表述的内容，应该使学生深入领会和掌握，并能熟练运用；概念理论方面用“了解”表述，方法、运算方面用“熟悉”表述的内容，也是必不可少的，只是在教学要求上低于前者。
三、教学内容、基本要求、课时分配四、课程考核考核方式：考试；期末考核形式：课程试卷闭卷（教考分离）；题型：填空、选择、计算、证明题和应用题等；课程类别：■必修（考试）课程□除体育类、短学段开设、实践教学类以外的必修（考查）课程□选修课程□体育类必修（考查）课程□短学段开设的必修（考查）课程□实践教学类必修（考查）课程平时成绩占50 %，期末成绩占50 %（见下表）。
平时成绩考核项目参照表平时成绩考核评定依据与标准:1. 课堂表现（含考勤）：随机抽查考勤、课堂提问、参与讨论等20次，每次5分，满分100分，按20%的比例记入平时成绩；2. 课外作业：作业共收15次，随机抽10次记分，每次满分10分，满分100分，按30%的比例记入平时成绩；3. 阶段测验：在学期1/4和3/4节点处各安排1次阶段测验，每次满分100分，取两次成绩平均分，按30%的比例记入平时成绩；4. 期中测验：在学期1/2节点处安排1次期中测验，满分100分，按20%的比例记入平时成绩。
高等数学第一章第九节教案-吴赣昌
★连续函数与连续区间★ 例6
★函数的间断点
★ 例7★ 例8★ 例9
★ 例10★ 例11★ 例12
★ 例13★ 例14★ 例15
★内容小结★课堂练习
★习题1-9
教学过程设计
01、本节引言：（观察一些自然现象，引入连续性的概念）
02、承前启后：（简述连续性的重要性及严格定义的发展过程，导出变量增量（或改变量）的概念和计算方法——定义1）
例4：利用定理1来求分段函数中的待定系数。
例5：利用定理1求满足条件时待定系数的值。
08、承前启后：总结前面讲授的主要内容，引出函数在区间内的连续的概念。
09、例题选讲：
例6：证明正弦函数在实数域上的连续性。
10、承前启后：分析函数在某点连续的充要条件，引出函数间断点的概念，并对间断点进行分类。
11、例题选讲：（选择2-4例）
例1：证明分段函数在分段点连续。
例2：证明单调增函数，若在定义区间的某点上极限存在，则在这点也连续。
06、承前启后：回顾左、右极限等于函数数值的情况，引出左、右连续的概念，阐述连续与左、右连续的关系——定理1，并强调定理1是判断分段函数在分段点处是否连续的重要方法。
07、例题选讲：（选择1-2例）
例3：讨论分段函数在分段点处的连续性。
例12：利用定理1和定义4，讨论分段函数的间断点情形。
例13：利用定理1和定义4，判断分段函数的间断点，并做适当修改使其在间断点连续。
例14：利用定理1和定义4，讨论含有待定常量的分段函数的连续性。
例15：根据变量的取值，讨论极限函数的连续性。
12、课堂小结：总结本节的主要内容和归纳解题方法。
13、课堂练习：根据教学情况，可在讲解例题之间或课堂小结安排适当的例习题。
高等数学第一章第三节教案-吴赣昌
01、承上启下：回顾初等函数、分段函数，列出等教学要学习和讨论的主要内容。 02、本节引言：介绍刘徽的割圆术和极限的思想方法。 03、数列极限：给出数列的概念，列举并观察数列的变化趋势，引入极限的概念，深入 分析，用数学语言表述数列的极限，并演示几何意义。 04、例题选讲： （选择 1-2 例，介绍对给定的ε 找 N 的方法） 例 1：利用数列极限的定义，验证数列是否收敛，以及数列的极限。 例 2：利用 N 论证法，证明一个数列的极限为某个确定的值。 例 3：利用数列极限的定义，证明一常数数列的极限为其自身的值。 例 4： 利用数列极限的定义， 证明一抽象数列在某区间内极限是否为某个确定的值。 。 例 5：利用数列极限的定义和一已知数列的极限，证明另一数列的极限值。 例 6：利用数列极限定义，证明一数列的极限。 例 7：利用数列极限定义，证明一特殊数列的极限。 例 8：利用数列极限的 N 定义，证明一不等式成立。 05、承前启后：分析极限的定义，介绍数列的有界性，并归纳导出有极限的数列必有界 （定理 1） 。 06、定理的说明：说明定理中的条件是充分的，但不是必要的，并举例。进一步分析， 有定理的逆否命题导出推论。 07、承前启后：分析常数的唯一性和确定性，引入极限的唯一性（定理 2） 。 08、例题选讲： （举例说明定理 2 的应用，即用定理 2 证明列举的数列极限不存在。 ） 例 9：利用数列极限的定义和反证法，证明数列是发散的。 09、承前启后：由数列极限与数列有界的关系，联想到数列极限的符号与数列的符号之 间的联系，引出极限的保号性（定理 3） 。 10、定理的推论：分析定理 3 的逆命题，导出定理 3 的推论。 11、承前启后：回顾数列收敛的概念，分析数列与其部分之间的关系，引出子数列的概 念，并举例观察他们的收敛性，归纳导出定理 4. 12、定理的说明：分析定理 4 的逆否命题，导出判断数列发散的充分条件，并举例说明
线性代数 吴赣昌 教案--第一章--行列式
专业层次
授课班级
授课教师
年月日
《线性代数》教案
任课教师
授课班级
1
授课时间
教学时间安排
2学时
授课题目
（章节）
第一章行列式
第一节二阶与三阶行列式
教学目的、要求（教学目标）
⑴了解行列式的概念
⑵掌握二阶、三阶行列式的计算方法
教学重点
与难点
二阶、三阶行列式的计算
教学方式、方法与手段
讲授与练习相结合、板书与多媒体相结合
例1解方程组
例2计算三阶行列式
例3求解方程
例4解三元线性方程组
本学期要求叙述5分钟
课程介绍20分钟
理论讲解35分钟，习题选讲25分钟，练习、答疑5分钟
提问：行列式是什么？是否具有几何意义？
注：沙路法则是对角线发则的变形，仅适用于要条件.
2.求一个二次多项式 ，使
张天德线性代数习题精选精解山东科学技术出版社2009课后小结这节课介绍了行列式的性质知道了当对行列式的行或列进行了某些变换如行与列互换交换两行列位置某行列乘以某个数某行列乘以某数后加到另一行列等后变换前后两个行列式的值仍保持着线性关系们可以利用这些关系大大简化高阶行列式的计算
学年度第学期
线性代数课堂教学方案
P5 2⑵⑶3
课外阅读
资料或自主学习体系安排
1.《经济应用数学基础》编写组编，线性代数与线性规划学习指导，同心出版社，1995
2.张天德，线性代数习题精选精解，山东科学技术出版社，2009
3./special/opencourse/daishu.html，麻省理工公开课：线性代数
内容要点
一、行列式按一行(列)展开
定义1在 阶行列式 中,去掉元素 所在的第 行和第 列后,余下的 阶行列式,称为 中元素 的余子式,记为 ,再记 称 为元素 的代数余子式.
微积分课件-经管类(吴赣昌 中国人民大学)第一章第一节 函数
例7 设函数f(x)是周期为T的周期函数，试求函数f(ax+b) 的周期，其中a,b常数，且a>0。
解：
T f (ax b ) f (ax b T ) f a (x ) b a
所以函数f(ax+b)的周期为T/a
五、数学建模——函数关系的建立
1.依题意建立函数关系
例5 证明函数y
x
1x
在( 1, )上是单调增加函数。
3. 奇偶性
设函数 y = f (x) 的定义域 Df 关于坐标原点对称, 若x
Df , 有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为偶函数; x Df ,
有f (x ) = f ( x ) 成立, 则称 f ( x ) 为奇函数; 奇函数的图形关于坐标原点对称, 偶函数的图形关于 y 轴对称. 在关于坐标原点对称的区间 I 内: 两个偶 (奇) 函数之和仍是一偶 (奇) 函数. 两个偶 (奇) 函数之积均为一个偶函数.
实数的连续性：实数点能铺满整个数轴，而不会留下任何空隙，即实数与 数轴上的点成一一对应关系。
常用数集： N 表示全体正整数的集合；Z 表示全体整数的集合； Q 表示全体有理数的集合；R 表示全体实数的集合； C 表示全体复数的集合．．
（1）有限区间
（2）无限区间
[a , ) x a x ;[ , b ) x x b .
y O M y
x
m O
x
有上界 在区间 I 上:
有下界
f (x)有界 f (：
2
x x 1
2
在( , )上是有界的。
x 1 2 x ,
1 f (x ) 2 x 1 2
高等数学 上册 第 章习题答案 吴赣昌 人民大学出版社 高数 理工类
第4章不定积分习题4-11.求下列不定积分：知识点：直接积分法的练习——求不定积分的基本方法。
思路分析：利用不定积分的运算性质和基本积分公式，直接求出不定积分！★(1)⎰思路: 被积函数52x-=，由积分表中的公式（2）可解。
解：532223x dx x C --==-+⎰★(2)dx-⎰思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：1141113332223()24dx x x dx x dx x dx x x C --=-=-=-+⎰⎰⎰⎰★(3)22x x dx +⎰（） 思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：2232122ln 23x xxx dx dx x dx x C +=+=++⎰⎰⎰（）★(4)3)x dx -思路:根据不定积分的线性性质，将被积函数分为两项，分别积分。
解：3153222223)325x dx x dx x dx x x C -=-=-+⎰⎰★★(5)4223311x x dx x +++⎰思路:观察到422223311311x x x x x ++=+++后，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：42232233113arctan 11x x dx x dx dx x x C x x++=+=++++⎰⎰⎰ ★★(6)221x dx x +⎰思路:注意到222221111111x x x x x +-==-+++，根据不定积分的线性性质，将被积函数分项，分别积分。
解：2221arctan .11x dx dx dx x x C x x =-=-+++⎰⎰⎰ 注：容易看出(5)(6)两题的解题思路是一致的。
一般地，如果被积函数为一个有理的假分式，通常先将其分解为一个整式加上或减去一个真分式的形式，再分项积分。
★(7)x dx x x x ⎰34134（-+-）2 思路:分项积分。
解：3411342x dx xdx dx x dx x dx x x x x --=-+-⎰⎰⎰⎰⎰34134（-+-）2 223134ln ||.423x x x x C --=--++ ★(8)23(1dx x -+⎰思路:分项积分。
高等数学第一章第七节教案-吴赣昌
12、例题选讲：（挑选1-3例，说明第二个重要极限的应用）
例19：应用第二个重要极限，求一数列的极限
例20：应用第二个重要极限，求一函数当x→0时极限
例21：通过变换函数形式应用第二重要极限。
02、承前启后：为求形如 的极限，导出夹逼准则。
03、夹逼准则：（说明夹逼法的思想，应用中的关键步骤）
04、例题选讲：（选择1-2例，分析应用夹逼法求极限的放缩技巧）
例1：利用函数组成项之间的变化特点进行放大和缩小。
例2：把函数进行恒等变形后，再进行放大和缩小。
例3：利用函数项的变化规律，进行放大和缩小。
★例5★例6★例7★ 例8ห้องสมุดไป่ตู้例9
★单调有界准则★ 例10★ 例11
★ ★ 例12★ 例13★ 例14
★ 例15 ★ 例16 ★ 例17★ 例18
★ ★ 例19-20 ★ 例21 ★ 例22
★ 例23 ★ 例24★ 例25
★ 柯西极限存在准则
★内容小结★课堂练习★习题1-7
教学过程设计
01、承上启下：复习极限的运算法则，引出本节要讨论的问题。
16、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
06、例题选讲：（选一例说明单调准则的应用）
例10：利用单调有界准则求递归数列的极限。
例11：利用单调有界准则求递归数列的极限。
07、承前启后：分析、总结夹逼准则的思想方法，并推广到求函数的极限，导出准I’。
08、第一个重要极限：作图直观分析，应用夹逼准则，给出第一个重要极限的证明，并阐述第一个重要的极限的特征和在求极限中的应用。
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例8：利用定理1，判断分段函数在分段点的连续性。
例9：利用定理1，判断分段函数在分段点的连续性。
例10：（1）利用定理1和定义4，讨论分段函数的连续性及间断点的类别。
（2）利用定义4，判断复合函数间断点的类别。
例11：利用定理1，判断使分段函数在分段点连续的待定系数的值
授课单元
第一章函数、极限与连续：第九节函数的连续与间断
授课时间
授课地点
授课类型
理论课
教学要求
理解函数连续性（含左、右连续）的概念，会求函数的连续区间，会判断函数间断点的类型。
教学重点
函数连续性概念，判断间断点的类型。
教学难点
函数连续性的概念
教学内容分布
★ 引言
★函数的连续性★ 例1★ 例2
★左右连续
例4：利用定理1来求分段函数中的待定系数。
例5：利用定理1求满足条件时待定系数的值。
08、承前启后：总结前面讲授的主要内容，引出函数在区间内的连续的概念。
09、例题选讲：
例6：证明正弦函数在实数域上的连续性。
10、承前启后：分析函数在某点连续的充要条件，引出函数间断点的概念，并对间断点进行分类。
11、例题选讲：（选择2-4例）
★ 例3★ 例4★ 例5
★连续函数与连续区间★ 例6
★函数的间断点
★ 例7★ 例8★ 例9
★ 例10★ 例11★ 例12
★ 例13★ 例14★ 例15
★内容小结★课堂练习
★习题1-9
教学过程设计
01、本节引言：（观察一些自然现象，引入连续性的概念）
02、承前启后：（简述连续性的重要性及严格定义的发展过程，导出变量增量（或改变量）的概念和计算方法——定义1）
14、课外作业：根据教学要求，选择适量的习题或补充题。
例1：证明分段函数在分段点连续。
例2：证明单调增函数，若在定义区间的某点上极限存在，则在这点也连续。
06、承前启后：回顾左、右极限等于函数数值的情况，引出左、右连续的概念，阐述连续与左、右连续的关系——定理1，并强调定理1是判断分段函数在分段点处是否连续的重要方法。
07、例题选讲：（选择1-Байду номын сангаас例）
例3：讨论分段函数在分段点处的连续性。
例12：利用定理1和定义4，讨论分段函数的间断点情形。
例13：利用定理1和定义4，判断分段函数的间断点，并做适当修改使其在间断点连续。
例14：利用定理1和定义4，讨论含有待定常量的分段函数的连续性。
例15：根据变量的取值，讨论极限函数的连续性。
12、课堂小结：总结本节的主要内容和归纳解题方法。
13、课堂练习：根据教学情况，可在讲解例题之间或课堂小结安排适当的例习题。
03、函数的连续性：通过图形直观分析函数在某点连续和不连续的特征，并用数学解析式表示这种特征，导出定义2，并举例。
04、承前启后：为将定义2中的极限转化为熟知的形式，导出定义3，并说明判断函数在某点的连续性用定义3，证明函数的连续性用定义2.
05、例题选讲：（举两例（或补充一例）说明两种定义的应用）