《高等数学》教案 第一章 函数
高等数学电子教案
高等数学电子教案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义：函数是一种关系，将一个集合（定义域）中的每个元素对应到另一个集合（值域）中的一个元素。
函数的性质：单调性、连续性、奇偶性、周期性等。
1.2 极限的概念极限的定义：当自变量x趋近于某个值a时，函数f(x)趋近于某个值L，称f(x)当x趋近于a时的极限为L，记作lim(x→a)f(x)=L。
极限的性质：保号性、保不等式性、夹逼定理等。
1.3 极限的计算极限的基本计算方法：代入法、因式分解法、有理化法等。
无穷小与无穷大的概念：无穷小是指绝对值趋近于0的量，无穷大是指绝对值趋近于无穷的量。
1.4 极限的应用函数的连续性：如果函数在某一点的极限值等于该点的函数值，称该函数在这一点连续。
导数的概念：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。
第二章：微积分基本定理2.1 导数的定义与计算导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率，记作f'(x)。
导数的计算：基本导数公式、导数的四则运算法则等。
2.2 微分的概念与计算微分的定义：微分表示函数在某一点的切线与x轴的交点横坐标的差值，记作df(x)。
微分的计算：微分的基本公式、微分的四则运算法则等。
2.3 积分的概念与计算积分的定义：积分表示函数图像与x轴之间区域的面积，记作∫f(x)dx。
积分的计算：基本积分公式、积分的换元法、分部积分法等。
2.4 微积分基本定理微积分基本定理的定义：微积分基本定理是微分与积分之间的关系，即导数的不定积分是原函数，积分的反函数是原函数的导数。
第三章：微分方程3.1 微分方程的定义与分类微分方程的定义：微分方程是含有未知函数及其导数的等式。
微分方程的分类：常微分方程、偏微分方程等。
3.2 常微分方程的解法常微分方程的解法：分离变量法、积分因子法、变量替换法等。
3.3 微分方程的应用微分方程在物理、工程等领域的应用，例如描述物体运动、电路方程等。
第四章：级数4.1 级数的概念与性质级数的定义：级数是由无穷多个数按照一定的规律相加的序列，记作∑an。
高等数学教案第一章
第一章函数与极限一、教学内容1．函数：常量与变量、函数的定义；2．函数的表示方法：解析法、图示法、表格法；函数的性质：单调性、奇偶性、有界性和周期性；3．初等函数：基本初等函数、反函数、复合函数、初等函数、分段表示的函数，并会建立函数关系；4．极限：数列极限、函数极限、左右极限、极限四则运算法则、两个重要极限、无穷小量、无穷大量、无穷小量的性质；5．连续：连续、间断、初等函数的连续性、闭区间上连续函数的性质。
二、教学目的1．理解函数的概念及其性质，熟练掌握求函数定义域和函数值的方法；2．掌握基本初等函数的解析表达式、定义域、主要性质和图形；3．了解反函数的概念及互为反函数的函数图象之间的关系；理解复合函数、分段函数的概念；了解初等函数的概念；会建立函数关系；4．了解数列极限与函数极限的概念(描述性定义)；会求左右极限；5．掌握极限四则运算法则；掌握用两个重要极限求极限的方法；能熟练进行极限运算；6．理解无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；7．理解函数连续概念；掌握由初等函数的连续性求极限的方法；了解闭区间上连续函数的性质。
三、教学重点1．函数的概念及其性质、基本初等函数、复合函数；2．极限的运算。
3．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系；4．函数连续概念、闭区间上连续函数的性质。
四、教学难点1．极限的概念；2．无穷小量、无穷大量的概念及相互关系； 3．函数连续概念。
第一节 函数一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉ A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N + 元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
高等数学(上册)第一章教案
第一章：函数、极限与连续教学目的与要求1.解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
2.解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。
3.理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。
4.掌握基本初等函数的性质及其图形。
5.理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限之间的关系。
6.掌握极限的性质及四则运算法则。
7.了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
8.理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。
9.理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。
10.了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。
所需学时：18学时（包括：6学时讲授与2学时习题）第一节：集合与函数一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。
集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。
比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。
我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。
如果a是集合A 中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a∉A。
⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。
记作N⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。
记作N+或N+。
⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。
记作Z。
⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。
记作Q。
⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。
记作R。
集合的表示方法⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。
集合间的基本关系⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A⊆B（或B⊇A）。
《高等数学》教案
《高等数学》教案课 题：§1.1函数及其性质教学目的：1.理解函数、分段函数的概念，会求函数的定义域、表达式及函数值2.了解函数的有界性、单调性、奇偶性、周期性及反函数的定义教学重点：初等函数的概念、图形及性质 教学难点：分段函数的概念 课 型： 讲授课 课 时：2课时 教学过程一、导入新课在自然界中，某一现象中的各种变量之间，通常并不都是独立变化的，它们之间存在着依赖关系，我们观察下面几个例子：例如：某种商品的销售单价为p 元，则其销售额L 与销售量x 之间存在这样的依赖关系：L =px又例如：圆的面积S 和半径r 之间存在这样的依赖关系：2r S π=不考虑上面两个例子中量的实际意义，它们都给出了两个变量之间的相互依赖关系，这种关系是一种对应法则，根据这一法则，当其中一个变量在其变化范围内任意取定一个数值时，另一个变量就有确定的值与之对应。
两个变量间的这种对应关系就是函数概念的实质。
二、讲授新课（一）函数的定义定义 设有两个变量x ，y 。
对任意的x ∈D ，存在一定规律f ，使得y 有唯一确定的值与之对应，则y 叫x 的函数。
记作y=f(x)，x ∈D 。
其中x 叫自变量，y 叫因变量。
定义10（集合的观点）A ，B 为两个数集，对任意的x ∈D ，存在f ，在B 中有唯一确定的值与之对应。
记作：f ：A →B函数两要素：对应法则、定义域（有的可直接看出，有的需计算），而函数的值域一般称为派生要素。
例1 f(x)=2x 2+3x-1就是一个特定的函数，f 确定的对应法则为：f( )=2( )2+3( )-1 例10：设f(x+1)=2x 2+3x-1，求f(x). 解：设x+1=t 得x=t-1，则f(t)=2(t-1)2+3(t-1)-1=2t 2-t-2 ∴f(x)=2x 2 – x – 2其对应法则：f( )=2( )2 - ( ) -2定义域：使函数有意义的自变量的集合。
《高等数学教案》
《高等数学教案》word版第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质定义函数的概念讨论函数的性质（单调性、奇偶性、周期性等）1.2 极限的概念与性质引入极限的概念探讨极限的性质与运算1.3 无穷小与无穷大定义无穷小与无穷大的概念比较无穷小与无穷大的大小关系1.4 极限的运算法则极限的加减乘除法则极限的复合函数法则第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质引入导数的概念探讨导数的性质（单调性、极值等）2.2 导数的计算法则基本导数公式和、差、积、商的导数法则2.3 微分的方法与应用微分的概念与方法微分在近似计算与优化问题中的应用第三章：泰勒公式与微分中值定理3.1 泰勒公式的概念与性质引入泰勒公式的概念探讨泰勒公式的性质与应用3.2 微分中值定理的概念与证明罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理微分中值定理的应用（导数与函数的极值关系等）第四章：积分与微分方程4.1 积分的基本概念与方法引入积分的概念探讨积分的方法（牛顿-莱布尼茨公式、换元积分、分部积分等）4.2 微分方程的基本概念与方法引入微分方程的概念探讨微分方程的解法（常微分方程、线性微分方程等）第五章：线性代数基础5.1 向量的概念与运算定义向量的概念探讨向量的运算（加减、数乘、点积、叉积等）5.2 矩阵的概念与运算定义矩阵的概念探讨矩阵的运算（加减、数乘、转置、逆矩阵等）5.3 线性方程组的概念与解法引入线性方程组的概念探讨线性方程组的解法（高斯消元法、矩阵求逆法等）5.4 行列式的概念与性质定义行列式的概念探讨行列式的性质与计算方法第六章：概率论基础6.1 随机事件与概率定义随机事件与概率的概念探讨概率的计算（古典概率、条件概率、独立事件等）6.2 随机变量及其分布引入随机变量的概念探讨离散型随机变量与连续型随机变量的分布律6.3 期望与方差定义期望与方差的概念探讨期望与方差的计算及其性质第七章：线性代数进阶7.1 特征值与特征向量定义特征值与特征向量的概念探讨特征值与特征向量的计算及其应用7.2 二次型定义二次型的概念探讨二次型的标准型与判定定理7.3 线性空间与线性变换引入线性空间与线性变换的概念探讨线性变换的性质与计算第八章：常微分方程与应用8.1 常微分方程的基本概念定义常微分方程的概念探讨常微分方程的解法（分离变量法、积分因子法等）8.2 常微分方程的应用探讨常微分方程在物理、生物学等领域的应用8.3 线性微分方程组引入线性微分方程组的概念探讨线性微分方程组的解法与应用第九章：复变函数基础9.1 复数的基本概念与运算定义复数的概念探讨复数的运算（加减、乘除、共轭等）9.2 复变函数的概念与性质引入复变函数的概念探讨复变函数的性质（解析性、奇偶性等）9.3 复变函数的积分与级数探讨复变函数的积分（柯西积分定理、柯西积分公式等）探讨复变函数的级数（泰勒级数、洛朗级数等）第十章：实变函数与泛函分析初步10.1 实函数的基本概念与性质定义实函数的概念探讨实函数的性质（单调性、有界性等）10.2 泛函分析的基本概念引入泛函分析的概念探讨赋范线性空间与希尔伯特空间的基本概念10.3 赋范线性空间的基本定理探讨赋范线性空间中的基本定理（闭区间上的有界线性算子等）重点解析第一章：函数与极限重点：函数的概念与性质、极限的概念与性质、无穷小与无穷大、极限的运算法则。
高等数学教案
《高等数学》教案第一章：函数与极限（18课时）第一节：映射与函数教学目的与要求：理解函数的概念，掌握函数的初等函数的性质及其图形，并会建立简单应用问题中的函数关系式。
教学重点（难点）：理解复合函数及分段函数，反函数及隐函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。
一、集合 1、集合概念具有某种特定性质的事物的总体叫做集合。
组成这个集合的事物称为该集合的元素。
表示方法：用A ，B ，C ，D 表示集合；用a ，b ，c ，d 表示集合中的元素。
1)},,,{321 a a a A = 2)}{P x x A 的性质=元素与集合的关系：A a ∉，A a ∈一个集合，若它只含有有限个元素，则称为有限集；不是有限集的集合称为无限集。
常见的数集：N ，Z ，Q ，R ，N +元素与集合的关系：A 、B 是两个集合，如果集合A 的元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集，记作B A ⊂。
如果集合A 与集合B 互为子集，则称A 与B 相等，记作B A = 若作B A ⊂且B A ≠则称A 是B 的真子集。
全集I ：A i ⊂I （I=1，2，3，……..）。
空集φ：A ⊂φ。
2、集合的运算并集B A ⋃：}A x |{x B A B x ∈∈=⋃或 交集B A ⋂：}A x |{x B A B x ∈∈=⋂且 差集B A \：}|{\B x A x x B A ∉∈=且补集（余集）CA ：I ＼A集合的并、交、余运算满足下列法则：交换律：A B B A ⋃=⋃A B B A ⋂=⋂结合律：)()(C B A C B A ⋃⋃=⋃⋃，)()(C B A C B A ⋂⋂=⋂⋂分配律：)()()(C B C A C B A ⋂⋃⋂=⋂⋃，)()()(C B C A C B A ⋃⋂⋃=⋃⋂对偶律： (c c c B A B A =⋃)cc c B A B A ⋃=⋂)(笛卡儿积： A ×B }|),{(B y A x y x ∈∈=且 3、区间和邻域1）有限区间：开区间),(b a ，闭区间[]b a ,，半开半闭区间]()[b a b a ,,。
大学高数第一章教案
一、教学目标1. 知识目标：（1）掌握函数、极限与连续的基本概念；（2）熟悉一元函数微分学的相关概念和计算方法；（3）了解一元函数积分学的基本概念和计算方法。
2. 能力目标：（1）培养学生运用数学知识解决实际问题的能力；（2）提高学生的逻辑思维和抽象思维能力；（3）培养学生严谨的数学素养。
3. 情感目标：（1）激发学生对数学学习的兴趣和热情；（2）培养学生的团队合作精神；（3）树立学生克服困难的信心。
二、教学内容1. 函数、极限与连续（1）函数的定义、性质和图像；（2）极限的概念和运算法则；（3）连续函数的定义和性质。
2. 一元函数微分学（1）导数的定义、性质和运算法则；（2）求导法则的应用；（3）微分的应用。
3. 一元函数积分学（1）定积分的定义、性质和计算方法；（2）不定积分的定义、性质和计算方法；（3）积分的应用。
三、教学过程1. 导入新课（1）通过实际例子，引导学生回顾函数、极限与连续的相关知识；（2）介绍本章学习的重要性和必要性。
2. 讲授新课（1）函数、极限与连续- 讲解函数的定义、性质和图像，结合实例进行说明；- 介绍极限的概念和运算法则，通过实例让学生理解极限的求法；- 讲解连续函数的定义和性质，让学生了解连续函数的特点。
（2）一元函数微分学- 讲解导数的定义、性质和运算法则，通过实例让学生掌握求导方法；- 介绍求导法则的应用，让学生能够灵活运用求导法则；- 讲解微分的应用，让学生了解微分在实际问题中的应用。
（3）一元函数积分学- 讲解定积分的定义、性质和计算方法，通过实例让学生掌握定积分的计算；- 介绍不定积分的定义、性质和计算方法，让学生能够求出不定积分；- 讲解积分的应用，让学生了解积分在实际问题中的应用。
3. 课堂练习（1）布置课堂练习题，让学生巩固所学知识；（2）指导学生解题，及时解答学生提出的问题。
4. 课堂小结（1）总结本章所学内容，让学生回顾重点知识；（2）强调学习方法，提高学生的自学能力。
《高等数学》(1-3章)教学教案(全)
高等数学教学教案第1章函数、极限与连续授课序号01(是一个给定的非空数集.若对任意的授课序号02的左邻域有定义，如果自变量为当0x x →时函数授课序号032n n ++)(1,2,n x =授课序号04授课序号05授课序号06高等数学教学教案第2章导数与微分授课序号01授课序号02授课序号03授课序号04高等数学教学教案第3章微分中值定理与导数的应用授课序号01授课序号02授课序号03!n +!n +()()!n x n +!n +!n +[cos (x θ+=21)2!!x n α-++)(1(1)!n n αθ-++()nx R x +授课序号04（1）在生产实践和工程技术中，经常会遇到求在一定条件下，怎样才能使“成本最低”、“利润最高”、“原材料最省”等问题．这类问题在数学上可以归结为建立一个目标函数，求这个函数的最大值或最小值问题.（2）对于实际问题，往往根据问题的性质就可以断定函数()f x 在定义区间内部存在着最大值或最小值．理论上可以证明这样一个结论：在实际问题中，若函数()f x 的定义域是开区间，且在此开区间内只有一个驻点0x ，而最值又存在，则可以直接确定该驻点0x 就是最值点，0()f x 即为相应的最值． 四．例题讲解例1.讨论函数32()29123f x x x x =-+-的单调增减区间． 例2.判断函数3()=f x x 的单调性.例3.设3,0,()arctan ,0.x x f x x x x ⎧-<=⎨≥⎩确定()f x 的单调区间.例4.证明：当0x >时，e 1x x >+． 例5.求函数32()(1)f x x x =-的极值．例6.求函数22()ln f x x x =-的极值．例7.求函数233()2f x x x =+在区间1[8]8-，上的最大值与最小值．例8.水槽设计问题有一块宽为2a 的长方形铁皮如图3.8所示，将宽所在的两个边缘向上折起，做成一个开口水槽，其横截面为矩形，问横截面的高取何值时水槽的流量最大（流量与横截面积成正比）． 图3.8例9.用料最省问题要做一圆柱形无盖铁桶，要求铁桶的容积V 是一定值，问怎样设计才能使制造铁桶的用料最省？ 例10.面积最大问题将一长为2L 的铁丝折成一个长方形，问如何折才能使长方形的面积最大．授课序号05授课序号06教学基本指标教学课题第3章第6节弧微分与曲率课的类型新知识课教学方法讲授、课堂提问、讨论、启发、自学教学手段黑板多媒体结合教学重点曲率的计算公式教学难点曲率的计算参考教材同济七版《高等数学》上册作业布置课后习题大纲要求了解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
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第一章函数函数是积分的主要研究对象，后边关于微积分性质的研究都是对函数性质的研究。
本章首先引入集合，然后研究两个实数集合之间的一种对应关系——函数关系，并介绍函数的基本性质和常见的初等函数。
§1.1 集合一、概念集合是具有某种属性的事物的全体，或者说是一些确定对象的汇总。
构成集合的事物或对象，称为集合的元素。
举例：有限集合：由有限个元素构成的集合。
无限集合：由无限个元素构成的集合。
集合通常用大写字母A、B、C、X、Y等表示。
元素由小写字母a、b、c、x、y等表示。
如果a是集合A的元素，记作a∈A；否则记作a∉A。
二、表示方法1、列举法：按任意顺序列出集合的所有元素，并用花括号“｛ ｝”括起来。
如：A =｛a，b，c，d｝即列出集合中所有元素，不计较顺序，但不能遗漏和重复。
2、描述法：设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a 构成的集合，记为A =｛a∣P(a)｝。
如：A =｛x∣x2－5x＋6＝0｝ 即把集合中元素所具有的某个共同属性描述出来，用｛a∣a具有的共同属性｝。
3、文氏图：可以表示集合以及集合间的关系。
三、全集与空集由所研究的所有事物构成的集合称为全集，记为U。
全集是相对的。
不包含任何元素的集合称为空集，记为Φ。
四、子集1、定义：如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，即“如果a∈A，则a∈B”，则称A为B的子集。
记为A⊆B或B⊇A。
如果A⊆B成立，且B中确有元素不属于A，则称A为B的真子集。
记作A⊂B或B⊃A。
2、定义：设有集合A和B，如果A⊆B且B⊆A，则称A与B相等。
结论：（1）A⊆A，即“集合A是其自己的子集”；（2）Φ⊆A，即“空集是任意集合的子集”；（3）若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，即“集合的包含关系具有传递性”。
五、集合的运算1、定义：设有集合A和B，由A和B的所有元素构成的集合，称为A和B 的并，记为A∪B。
即A∪B =｛x∣x∈A或x∈B｝。
性质：（1）A⊂A∪B，B⊂A∪B；（2）A∪Φ = A，A∪U = U，A∪A = A。
2、定义：设有集合A和B，由A和B的所有公共元素构成的集合，称为A 与B的交，记为A∩B。
即A∩B =｛x∣x∈A且x∈B｝。
性质：（1）A∩B⊂A，A∩B⊂B；（2）A∩Φ =Φ，A∩U = A，A∩A = A。
3、定义：设有集合A和B，属于A而不属于B的所有元素构成的集合，称为A与B的差，记为A－B。
即A－B =｛x∣x∈A且x ∉ B｝。
4、定义：全集中所有不属于A的元素构成的集合，称为A的补集，记为A。
即A=｛x∣x∈U且x ∉ A｝。
性质：A∪A =U，A∩A=Φ。
习题7、8：六、集合运算律（1）交换律：（Ⅰ）A∪B = B∪A （Ⅱ）A∩B = B∩A（2）结合律：（Ⅰ）(A∪B)∪C = A∪(B∪C)（Ⅱ）(A∩B)∩C = A∩(B∩C)（3）分配率：（Ⅰ）(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)（Ⅱ）(A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)∩=A∪∪= （Ⅱ）B（4）摩根律：（Ⅰ）BA∩求不等式所构成集合的并、交运算，最好借助于数轴表示，显得一目了然；进行并、交的混合运算应注意并、交无先后，但括号优先，先里后外；抽象集合的并、交运算特点是：并集取全部，交集取公共。
习题11：七、集合的笛卡尔乘积将两元素x和y按前后顺序排列成一个元素组（x，y），称为有序元素组。
（x，y）与（y，x）是两个不同的有序元素组。
有二元、三元、……n元有序元素组。
定义：设有集合A和B，对任意的x∈A，y∈B，所有二元有序元素组（x，y）构成的集合，称为A与B的笛卡尔乘积，记为A×B。
集合的笛卡尔乘积与集合的次序有关，一般地，A×B和B×A是不同的两个集合。
习题15：习题1--15§1.2 实数集一、实数与数轴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧虚数无理数分数负整数正整数整数有理数实数复数0 有理数：整数、有限小数或无限循环小数。
无理数：无限不循环小数。
具有原点、正方向和单位长度的直线称为数轴。
二、绝对值定义：一个实数x 的绝对值，记为x ，定义为：⎪⎩⎪⎨⎧−=，，x x x 00<≥x x 性质：（1）2x x = （2）0≥x（3）x x =− （4）x x x ≤≤−（5）若a ﹥0，则｛x ∣a x <｝=｛x ∣﹣a < x < a ｝（6）若b ﹥0，则｛x ∣b x >｝=｛x ∣x <﹣b 或x > b ｝=｛x ∣x <﹣b ｝∪｛x ∣x > b ｝（7）y x y x +≤+ （8）y x y x −≥−（9）y x xy ⋅= （10）yx y x = 三、区间 设a 、b 为实数，且a < b ，1、满足不等式a < x < b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的开区间，记作（a ，b ），即（a ，b ）=｛x ∣a < x < b ｝。
2、满足不等式a ≤ x ≤ b 的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的闭区间，记作[a ，b ]，即[a ，b ] =｛x ∣a ≤ x ≤ b ｝。
3、满足不等式a < x ≤ b （或a ≤ x < b ）的所有实数x 的集合，称为以a 、b 为端点的半开区间，记作(a ，b ]（或[a ，b )），即(a ，b ] =｛x ∣a < x ≤ b ｝,[a ，b ) =｛x ∣a ≤ x < b ｝。
以上为有限区间，以下为无限区间。
4、（a ，﹢∞）=｛x ∣x ﹥a ｝，[a ，﹢∞）=｛x ∣x ≥a ｝5、（﹣∞，b ）=｛x ∣x ﹤b ｝，（﹣∞，b ]=｛x ∣x ≤b ｝6、（﹣∞，﹢∞）=｛x ∣﹣∞< x <﹢∞ ｝求解含绝对值的不等式关键是要正确的去掉绝对值符号。
四、邻域实数集合｛x ∣δ<−0x x ，δ﹥0｝在数轴上是以点x 0为中心，长度为2δ的开区间（x 0﹣δ，x 0﹢δ），称为点x 0的δ邻域。
x 0为邻域的中心，δ为邻域的半径。
微积分中常常用到集合｛x ∣δ<−<00x x ，δ﹥0｝，这是在点x 0的δ邻域内去掉点x 0后其余的点所组成的集合，即集合（x 0﹣δ，x 0）∪（x 0，x 0﹢δ），称为以点x 0为中心、以δ为半径的空心邻域（或去心邻域）。
习题18（3）用区间表示实数集合：习题16--18§1.3 函数关系一、关系数学是一门研究数量关系的科学，因此，“关系”是数学中一个非常重要的基本概念。
如y ﹤x ：对于每一个x ∈X ，有无穷多个y ∈Y 与之对应。
如y = 2x ：对于每一个x ∈X ，均只有一个确定的y ∈Y 与之对应。
这种关系称为函数关系。
微积分学的研究对象主要是函数关系。
二、函数关系函数关系是满足一定条件的一种关系。
1、定义：若D 是一个非空实数集合，设有一个对应规则f ，使每一个x ∈D 都有一个确定的实数y 与之对应，则称这个对应规则f 为定义在D 上的一个函数关系，或称变量y 是变量x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D 。
x 称为自变量，y 称为因变量，集合D 称为函数的定义域，记作D （f ）。
x 0对应的y 值，记作y 0或f （x 0）或0x x y =，称为当x = x 0时，函数y = f （x ）的函数值。
全体函数值的集合｛y ∣y = f （x ），x ∈D ｝，称为函数y = f （x ）的值域，记作Z （f ）。
如果两个函数的定义域和对应规则都相同，就称这两个函数是相同的函数。
2、函数的三种表示方法（1）解析法：把一个函数关系用解析式表示的方法称为函数解析法，也叫公式法。
（2）表格法：把自变量所取得值和对应的函数值列成表，用以表示函数关系，如我们所用的各种数学用表——平方表、对数表、三角函数表等，函数的这种表示方法称为表格法。
（3）图形法：用某个坐标系中的一条曲线来表示两个变量之间的对应关系，称为图形法或图示法。
三、函数记号y 是x 的函数，记作y = f （x ），x ∈D ，f 表示y 与x 的对应规则。
有时也表示为y = φ（x ）、y = g （x ）、y = F （x ）等等。
把y = f （x ）中x 若换成一个常数值x 0，即可算出当x = x 0时的函数值f （x 0）；x 若换成一个x 的函数，即可产生一个新的函数，称为复合函数，如y = f [φ（x ）]。
四、函数定义域指与有唯一确定数值的因变量对应的自变量的全体实数值所构成的集合，这种定义域称为函数的自然定义域。
求函数定义域要注意：（1）偶次方根号下不能为负数（2）分式的分母不能为零（3）对数的真数必须大于零（4）三角函数与反三角函数考虑各自的变化范围 如：arcsin x 或arccos x 的定义域为∣x ∣≤1；tan x 的定义域为x ≠ k π + 2π（k ∈Z ）； cot x 的定义域为x ≠ k π（k ∈Z ）。
注意：区别两个函数是否相同，关键是研究确定函数关系的两个要素——定义域和对应法则，而与变量用什么字母表示无关。
习题22：习题27（6）（8）（9）求定义域：解：（A）和（B）中两个函数的定义域不同；（C）中两个函数定义域相同，但对应法则不同；（D）中两个函数只是变量的表示字母不同，但定义域和对应法则完全相同。
故选（D）。
五、多值函数前面定义的函数关系可称为单值函数，如不做声明，本书提到的函数均为单值函数。
如果对于每一个x ∈D ，都有两个或更多的y 值与之对应，这种关系称为多值函数。
六、隐函数如前说述的对应规则都是因变量用自变量的一个数学表达式表示出来，这些函数称为显函数。
如果对应规则用一个方程F （x ，y ）= 0来表示，在区间D 内，对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应，则称在D 内y 是x 的一个隐函数关系。
习题19--22, 25--28§1.4 分段函数有些函数，对于其定义域内自变量不同的值，其对应规则不能用一个统一的数学表达式表示，而要用两个或两个以上的式子表示，这类函数称为分段函数。
如：符号函数⎪⎩⎪⎨⎧−==，，，101sgn x y 000>=<x x x 定义域为（﹣∞，﹢∞）如：取整函数y = [x ]，表示不超过x 的最大整数。
[﹣3.2] =﹣4注意：（1）分段函数的定义域就是将每段表达式的定义域并在一起。
（2）由于分段函数在各段上的对应法则是不同的，所以在求某点的函数值时，关键是要弄清该自变量所在区间段对应的函数表达式是哪一个，然后再代入求值。