高等数学_课程教案

_____________高等数学_______________课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第九章 重积分第一节 二重积分的概念与性质 本授课单元教学目标或要求：理解二重积分的概念及几何意义，了解二重积分的性质，知道二重积分中值定理。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：一、二重积分的概念1、曲顶柱体的体积2、平面薄片的质量3、二重积分的定义()()∑⎰⎰=→∆=ni i i iDf d y x f 1,lim ,σηξσλ几何意义：若()0,≥y x f ,二重积分表示以()y x f z ,=为顶,以D 为底的曲顶柱体的体积。

如果()y x f ,是负的，柱体就在xoy 面的下方，二重积分的绝对值仍等于柱体的体积，但二重积分的值是负的。

如果()y x f ,在D 的若干部分区域上是正的，而在其他的部分区域上是负的，我们可以把xoy 面上方的柱体体积取成正，xoy 下方的柱体体积取成负，则()y x f ,在D 上的二重积分就等于这些部分区域上的柱体体积的代数和。

二、二重积分的性质 1、【线性性】 [(,)(,)](,)(,)]αβσασβσ⋅+⋅=⋅+⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰f x y g x y d f x y d g x y d D DD其中:αβ,是常数。

2、【对区域的可加性】若区域D 分为两个部分区域1D 与2D ,则f x y d f x y d f x y d DD D (,)(,)(,)σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰213、若在D 上, ()1,=y x f ,σ为区域D 的面积,则：σσσ==⎰⎰⎰⎰1d d DD几何意义: 高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。

4、若在D 上,f x y x y (,)(,)≤ϕ,则有不等式：⎰⎰⎰⎰≤DDd y x d y x f σϕσ),(),(特别地,由于),(),(),(y x f y x f y x f ≤≤-，有：σσd y x f d y x f D D ⎰⎰⎰⎰≤),(),(5、【估值不等式】设M 与m 分别是()y x f ,在闭区域D 上最大值和最小值, σ是D 的面积,则⎰⎰⋅≤≤⋅DM d y x f m σσσ),(6、【二重积分的中值定理】设函数()y x f ,在闭区域D 上连续, σ是D 的面积,则在D 上至少存在一点()ηξ,,使得⎰⎰⋅=Df d y x f σηξσ),(),(重点与难点：二重积分的概念及性质 三、讲解例题：【例1】估计二重积分⎰⎰++=Dd y x I σ)94(22 的值, D 是圆域x y 224+≤。

解: 求被积函数 f(x,y)=x 2+4y 2+9在区域D 上的最值：25max =f ,9min =f ,于是有ππππ1004254936=⋅≤≤⋅=I【例2】比较积分⎰⎰+Dd )y x ln(σ与⎰⎰+Dd )]y x [ln(σ2的大小, 其中D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0)。

解：三角形斜边方程2=+y x，在D 内有e y x <≤+≤21,故1<+)y x ln(, 于是[]2)y x ln()y x ln(+>+,因此>+⎰⎰Dd )y x ln(σ⎰⎰+Dd )]y x [ln(σ2 。

本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处。

作业 P79 5(2,3)本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

_____________高等数学_______________课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十章 重积分第二节 二重积分的计算法（1） 本授课单元教学目标或要求：熟练掌握二重积分在直角坐标系下的计算方法本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：一、利用直角坐标计算二重积分如果积分区域D 为X －型：)x (y )x (21ϕϕ≤≤，b x a ≤≤，)x (1ϕ、)x (2ϕ在区间[]b ,a 上连续。

()σd y ,x f D⎰⎰的值等于以D 为底，以曲面()y ,x f z =为顶的曲顶柱体的体积应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得：.dy )y ,x (f dx d )y ,x (f Dba )x ()x (⎰⎰⎰⎰=21ϕϕσ如果积分区域D 为Y －型：),y (x )y (21ψψ≤≤d y c ≤≤，)y (1ψ、)y (2ψ在区间[]d ,c 上连续。

⎰⎰⎰⎰=Ddc )y ()y (dx )y ,x (f dy d )y ,x (f 21ϕϕσ 。

重点与难点：确定积分区域的类型，将二重积分如何转化为二次积分。

二、讲解例题： 【例1】改变积分⎰⎰-xdy )y ,x (f dx 1010的次序.【例2】改变积分⎰⎰⎰⎰--+xx x dy )y ,x (f dx dy )y ,x (f dx 202120102的次序.【例3】计算σd xy D⎰⎰, 其中D 是由抛物线x y =2及直线2-=x y 所围成的区域。

解：(法一)x y x x D ≤≤-≤≤,10:1 , x y x x D ≤≤-≤≤2,41:28452411021=+=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--σσσσσd xy dx d xy dx d xy d xy d xy xx xxD D D(法二)2,21:2+≤≤≤≤-y x y y D , 8452212==⎰⎰⎰⎰+-dx xy dy d xy y yDσ 【例4】求⎰⎰-Dydxdy e x 22，其中D 是以),,(),,(1100),(10为顶点的三角形. 解: ⎰-dy ey 2无法用初等函数表示， ∴ 积分时必须考虑次序。

⎰⎰-Dy dxdy e x 22⎰⎰-=yy dx e x dy 02102dy y ey ⎰⋅=-10332210262dy y ey ⎰⋅=-).e(2161-= 注意：在化二重积分为二次积分时，为了计算简便，需要选择恰当的二次积分的次序。

这时，即要考虑积分区域D 的形状，又要考虑被积函数()y x f ,的特性。

【例5】求由曲面z x y =+222及z x y =--6222所围成的立体的体积。

解:立体在xoy 面的投影区域为：D x y :222+≤V x y x y d D =---+⎰⎰[()()]6222222σ =--⎰⎰()63323x y d D σ()π633622222222=--=⎰⎰----dy y xdx x x本授课单元教学手段与方法： 多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题 设)(x f 在]1,0[上连续，并设A dx x f =⎰1)(，求⎰⎰110)()(xdy y f x f dx作业P95 1（4） 2（1，2） P96 6（3，5） 8 10本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。

_____________高等数学_______________课程教案授课类型 理 论 课 授课时间 2 节授课题目（教学章节或主题）：第十一章 重积分第二节 二重积分的计算法（2） 第三节 三重积分（1） 本授课单元教学目标或要求：1． 熟练掌握二重积分在极坐标下的计算方法 2． 理解三重积分的概念3． 掌握三重积分在直角坐标系的计算方法。

本授课单元教学内容（包括基本内容、重点、难点，以及引导学生解决重点难点的方法、例题等）：基本内容：一、利用极坐标计算二重积分.d d )sin ,cos (f dxdy )y ,x (f DD⎰⎰⎰⎰=θρρθρθρ极坐标系中的二重积分, 同样可以化归为二次积分来计算。

【情形一】βθαθϕρθϕ≤≤≤≤,)()(:21D ，其中函数ϕθ1(), ϕθ2()在[,]αβ上连续。

()()⎰⎰⎰⎰=θϕθϕβαρρθρθρθθρρθρθρ21)sin ,cos ()sin ,cos (d f d d d f D【情形二】βθαθϕρ≤≤≤≤,)(0:D ，极点O 在区域D 的边界曲线上。

()⎰⎰⎰⎰=θϕβαρρθρθρθθρρθρθρ0)sin ,cos ()sin ,cos (d f d d d f D【情形三】πθθϕρ20,)(0:≤≤≤≤D ，极点O 在区域D 的内部。

()⎰⎰⎰⎰=θϕπρρθρθρθθρρθρθρ020)sin ,cos ()sin ,cos (d f d d d f D二、三重积分的概念三、利用直角坐标计算三重积分若()()(){}b x a x y y x y y x D xy ≤≤≤≤=,,21，则三重积分可化为如下三次积分：()()()()()()dz z y x f dy dx dv z y x f y x z y x z x y x y ba⎰⎰⎰⎰⎰⎰=Ω,,2121,,,,重点与难点：二重积分在极坐标下的计算方法，三重积分在直角坐标系的计算方法。

四、讲解例题：【例1】将下列区域用极坐标变量表示1、D xy y 1222:+≤2、D R x R R y R R x 222:,-≤≤≤≤+-【例2】计算dxdy eDy x ⎰⎰--22，其中D 是由中心在原点，半径为a 的圆周所围成的闭区域.注意：使用极坐标变换计算二重积分的原则：(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧,直线段 )； （2）、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单 【例3】计算dxdydz xyz ⎰⎰⎰Ω, 其中Ω为球面1222=++z y x 及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体。

【例4】计算三重积分⎰⎰⎰Ωzdxdydz ，其中Ω为三个坐标面及平面1=++z y x 所围成的闭区域【例5】 计算三重积分dxdydz z ⎰⎰⎰Ω2，其中 Ω是由椭球面1222222=++c z b y a x 所成的空间闭区域.本授课单元教学手段与方法：多媒体教学，启发式本授课单元思考题、讨论题、作业： 思考题Ω为六个平面2,,42,1,2.0===+===z x z y x y x x 围成的区域，),,(z y x f 在Ω上连续，则累次积分=⎰⎰⎰Ωdv z y x f ),,(作业P97 14（2） 15（4） 16 P106 1（3） 5本授课单元参考资料（含参考书、文献等，必要时可列出）注：1.每单元页面大小可自行添减；2.一个授课单元为一个教案；3. “重点”、“难点”、“教学手段与方法”部分要尽量具体；4.授课类型指：理论课、讨论课、实验或实习课、练习或习题课。