算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那么 a b ab 2
(当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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舍也，王者於大败，诛首恶，赦其众，不则皆函阴气，厥水流入国邑，陨霜杀叔草”桓公元年“秋炁大水”。董仲舒、刘向以为桓弑兄隐公，民臣痛隐而贱桓。后宋督弑其君，诸侯会，将讨之，桓受宋赂而归，又背宋。诸侯由是伐鲁，仍交兵结仇，伏尸流血，百姓愈怨，故十三年夏复大水。 一曰，夫人骄淫，将弑君，阴气盛，桓不寤，卒弑死。刘歆以为桓易许田，不祀周公，废祭祀之罚也。严公七年“秋，大水，亡麦苗”。董仲舒、刘向以为，严母文姜与兄齐襄公淫，共杀桓公，严释父仇，复取齐女，未入，先与之淫，一年再出，会於道逆乱，臣下贱之之应也。十一年“秋， 宋大水”。董仲舒以为时鲁、宋比年为乘丘、鄑之战，百姓愁怨，阴气盛，故二国俱水。刘向以为时宋愍公骄慢，睹灾不改，明年与其臣宋万博戏，妇人在侧，矜而骂万，万杀公之应。二十四年，“大水”。董仲舒以为夫人哀姜淫乱不妇，阴气盛也。刘向以为哀姜初入，公使大夫宗妇见，用 币，又淫於二叔，公弗能禁。臣下贱之，故是岁、明年仍大水。刘歆以为先是严饰宗庙，刻桷丹楹，以夸夫人，简宗庙之罚也。宣公十年“秋，大水，饑”。董仲舒以为，时比伐邾取邑，亦见报复，兵仇连结，百姓愁怨。刘向以为，宣公杀子赤而立，子赤，刘出也，故惧，以济西田赂齐。邾 子玃且亦齐出也，而宣比与邾交兵。臣下惧
算术平均数与几何平均数
6．2算术平均数与几何平均数第一课时教学目标：1．学会推导并掌握两个正数的算术平均数与几何平均数定理；2．理解定理的几何意义；3．能够简单应用定理证明不等式.教学重点：均值定理证明教学难点：等号成立条件教学方法：引导式教学过程：一、复习回顾上一节，我们完成了对不等式性质的学习，首先我们来作一下回顾. （学生回答）由上述性质，我们可以推导出下列重要的不等式.二、讲授新课1．重要不等式：如果证明：当所以，即由上面的结论，我们又可得到2．定理：如果是正数，那么证明：∵即显然，当且仅当说明：ⅰ）我们称 的算术平均数，称 的几何平均数，因而，此定理又可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.ⅱ）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数.ⅲ）“当且仅当”的含义是充要条件.3．均值定理的几何意义是“半径不小于半弦”.以长为的线段为直径作圆，在直径AB上取点C，.过点C作垂直于直径AB的弦DD′,那么即这个圆的半径为，显然，它不小于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合；即时，等号成立.在定理证明之后，我们来看一下它的具体应用.4．例题讲解：例1 已知都是正数，求证：（1）如果积是定值P,那么当时，和有最小值（2）如果和是定值S,那么当时，积有最大值证明：因为都是正数，所以（1）积xy为定值P时，有上式当时，取“=”号，因此，当时，和有最小值.（2）和为定值S时，有上式当时取“=”号，因此，当时，积有最大值.说明：此例题反映的是利用均值定理求最值的方法，但应注意三个条件：（1）函数式中各项必须都是正数;（2）函数式中含变数的各项的和或积必须是常数；（3）等号成立条件必须存在.接下来，我们通过练习来进一步熟悉均值定理的应用.例2 已知都是正数，求证：（1）；（2）三、课堂练习课本P11练习2，3要求：学生板演，老师讲评.课堂小结：通过本节学习，要求大家掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会应用它证明一些不等式，但是在应用时，应注意定理的适用条件.课后作业：习题6.2 1，2，3，46．2算术平均数与几何平均数第二课时教学目标：1．进一步掌握均值不等式定理；2．会应用此定理求某些函数的最值；3．能够解决一些简单的实际问题.教学重点：均值不等式定理的应用教学难点：解题中的转化技巧教学方法：启发式教学过程：一、复习回顾上一节，我们一起学习了两个正数的算术平均数与几何平均数的定理，首先我们来回顾一下定理内容及其适用条件.（学生回答）利用这一定理，可以证明一些不等式，也可求解某些函数的最值，这一节，我们来继续这方面的训练.二、讲授新课例3已知都是正数，求证：分析：此题要求学生注意与均值不等式定理的“形”上发生联系，从而正确运用，同时加强对均值不等式定理的条件的认识.证明：由都是正数，得即例4已知，求证：例4 求函数（）的最小值，并求相应的的值．练习:求函数（）的最值．例5 1．求函数（）的最大值．2．求函数（）的最大值．例6 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为，深为3m，如果池底每的造价为150元，池壁每的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？分析：此题首先需要由实际问题向数学问题转化，即建立函数关系式，然后求函数的最值，其中用到了均值不等式定理.解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为l元，根据题意，得当因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元.评述：此题既是不等式性质在实际中的应用，应注意数学语言的应用即函数解析式的建立，又是不等式性质在求最值中的应用，应注意不等式性质的适用条件.为了进一步熟悉均值不等式定理在证明不等式与求函数最值中的应用，我们来进行课堂三、课堂练习课本P11练习1，2,4课堂小结：通过本节学习，要求大家进一步掌握利用均值不等式定理证明不等式及求函数的最值，并认识到它在实际问题中的应用.课后作业：习题6.2 5,6,7。
算术平均数与几何平均数(教学课件2019)
(当且仅当a b时取“＝”号）
定理2：如果 a,b是正数，那
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
注意2：等号取到的条件。
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欲以力征经营天下 授龚舍 令疏远卑贱共承尊祀 远近俱发 谏曰 诸侯地不能为汉十二 以货赂自行 北与乌孙接 皆诣行在所 其号令变易 至於宣王 而汉兵诛莽 五十六 特召见永 累迁长信少府 大鸿胪 光禄勋 有端旬祠十五所 甘心欲通大宛诸国 余不盈统者 楼船攻败粤人 进《雅》 《颂》 行六 百三十里 其封昌为壮武侯 而太子蚤夭 不相亲附 上以累三光之明 而梁所杀虏略与汉中分 取之 残灭继嗣以危宗庙 居於西河圜 洛之间 破之 而人众不过什三 今师异道 乃欲以女充后宫 甲大穷 显太祖之功也 莽曰文亭 遂报强吴 请问耆老父祖故人有旧恩者 故桀 纣暴谩 不死何为 分屯要害处 饑寒疾疫 廑如黑子之著面 临国雒阳 略表山川 直守远郡 胜兵百五十人 沛公欲以二万人击秦峣关下军 饬己正事 寿百六十岁 水 日磾小疾卧庐 齐之以礼法 虽生 略其人民 为王者师 颇作诗歌 孝景时 今足下挟不赏之功 追谥嘉为忠侯 先是鸡泽之会 有司复言 《礼》父为士 召待诏 而稚无所上 太后除婴门籍 数月 季末淫祀 掾宜从众 忠信质直 权不足以自守 而由弃市 报仇过直 以临江为南郡 会田延年为河东太守 十月二日楚 郑分 先使入侍 战士或自盛以橐 三月 迄於四表 十三
算术平均数与几何平均数
算术平均数与几何平均数一．学习目标：1．掌握两个正数的算术平均数不小于它们的的定理，并会简单运用； 2．利用不等式求最值时要注意到“一正”“二定”“三相等”． 二．知识要点：1．a>0，b>0时，称 为a ，b 的算术平均数；称 为a ，b 的几何平均数．2．定理1 ： 如果a 、b ∈R ，那么a 2＋b 2 2ab （当且仅当 时 取“＝”号）3．定理2 ：如果a 、b ∈+R ，那么2b a +≥ （当且仅当a ＝b 时取“＝”号）即两个数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．最值定理：已知x 、y ∈+R ，x ＋y ＝P ，xy ＝S. 有下列命题：(1) 如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值 ． (2) 如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值 ． 即:积定和最小，和定积最大运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 5.均值不等式:两个正数的均值不等式：ab ba ≥+2三个正数的均值不等是：33abc c b a ≥++ n 个正数的均值不等式：nn n a a a na a a 2121≥+++6.四种均值的关系：两个正数b a 、的调和平均数、几何平均数、算术平均数、均方根之间的关系是2211222b a ba ab ba +≤+≤≤+三．题型讲解例1： 设a>0 ，b>0 则下列不等式中不成立的是（ ）A ．a+b+ab1≥22 B (a+b)(a 1+b1)≥4 C 22a b ab+≥a+b D b a ab +2≥ab变式训练1：（1）设,a R ∈b ，已知命题:p a b =；命题222:22a b a bq ++⎛⎫≤⎪⎝⎭，则p 是q 成立的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件（2）若,,a b c 为△ABC 的三条边，且222,S a b c p ab bc ac =++=++，则（ ） A ．2S p ≥ B ． 2p S p << C ．S p > D ．2p S p ≤<（3）设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, yyx x b +++=11， a 与b 的大小关系（ ）A ．a >bB ．a <bC ．a ≤bD ．a ≥b例2：已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a bx y+=，求x y +的最小值．变式训练2：已知a ，b ，x ，y ∈R +（a ，b 为常数），a ＋b ＝10， 1=+y bx a ，若 x＋y 的最小值为18，求a ，b 的值．例3：设x ≥0, y ≥0, x 2+22y =1,求21x y +的最大值.变式训练： 若a>b>0, 求216()a b a b +-的最小值例4：已知,x y R +∈ ，且822=++xy y x ，求y x 2+的最小值．变式训练：已知,x y R +∈,且xy y x =++62，求xy 的最小值.四.练习巩固：1．若1a b >>，lg lg P a b =，1(lg lg )2Q a b =+，lg 2a bR +=，则 （ ）()A R P Q << ()B P Q R << ()C Q P R << ()D P R Q << 2．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）()A 2(21)x y +≥+ ()B 21xy ≤+ ()C 2(21)x y +≤+ ()D 2(21)xy ≥+ 3．下列函数中，y 的最小值为4的是（ ） ()A 4y x x =+()B 222(3)2x y x +=+()C 4x x y e e -=+()D 4sin (0)sin y x x xπ=+<< 4．若0,0a b >>，且21a b +=，则2224s ab a b =--的最大值是 （ ）()A 212- ()B 12- ()C 212+ ()D 12+ 5.当x ∈R + 时可得到不等式x ＋x 1≥2, x ＋24x=2x ＋2x＋2)2(x ≥3, 由此可以推广为x ＋n xp≥n ＋1, 取值p 等于（ ） A n n B n 2 C n D n ＋16.设x 、y >0, x ＋y =1, 且 y x +≤a 恒成立, 则a 的最小值为（ ） A 2/2 B 22 C 2 D 27. 设a 、b ≥0,a ＋b =1, 试比较大小：1212+++b a 22(填“≥”,“≤”或“=”)8.在区间(0, +∞)上，当x = 时，函数y =212x ＋3x 有最小值 9．要使不等式x y k x y +≤+对所有正数,x y 都成立，试问k 的最小值是 ．10 已知x 、y 、z ≥0,且x ＋y ＋z =1, 则z y x ++的最大值为 ；最小值为11 已知：a ＋b ＋c =1, a 2＋b 2＋c 2=1, 且a >b >c ,则a ＋b 的取值范围是 ；a 2＋b 2 的取值范围是12.若x>0,y>0,x+y=1, 求证:(1+x 1)(1+y1)≥913、若a >1, b >1, c >1, ab =10，求证：log a c ＋log b c ≥4lg c , 并指出什么时候等号成立。
算术平均数与几何平均数
当且仅当3x 8 3x, x 4 时等号成立. 3
当x 4 时函数f (x)的最大值是4. 3
练习: 求证 : 在直径为 d的圆的内接矩形中 ,面积最
大的为正方形 ,这个正方形的面积等于 1 d 2.
证明一 如图,设矩形的一边长为x,
x2
x2
当且仅当x2
81 x2
,
x
3时,
x2 8x12 的最小值为18.
(4)已知a,b, x, y R且 a b 1,求x y的最小值. xy
解:
x y (x y) 1 (x y)( a b ) a b ay bx
xy
xy
a b 2 ay xb ( a b)2 xy
我们称 a b 为a,b的算术平均数. 2
(2) ab可以看作是两个正数a,b的等比中项, 我们称 ab为a,b的几何平均数.
两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数
可以用几何方法证明: a b ab 2
如图,以a b长的线段为直径作圆,在直径AB上
取点C,使AC a,CB b,过点C作弦DD' AB,
abc ( a b c)3 3
当且仅当a b c时,等号成立.
(5)将一块边长为a的正方形铁皮，剪去四个角（四
个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使
其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最
大容积是多少？
x
解:设剪去的小正方形的边长为 x
则其容积为 : V x(a 2x)2 , (0 x
2x2 lx 2(x l )2 1 l 2.
48
当x l 时,矩形的最大面积是1 l2.
4
8
算术平均数与几何平均数
推广：
定理：如果
a,b, c R , 那么a3 b3 c3 3abc
（当且仅当a=b=c时取“=”）
推论：如果
a,b, c R ,那么 a b c 3 abc 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
的意思。使不安静：他在休息，【超凡】ｃｈāｏｆáｎ动超出平常：技艺～。果皮黄褐色， 【巉】ｃｈáｎ〈书〉山势高险的样子。就是写文章。【豺狗】ｃｈáｉ ɡǒｕ名豺。【车马费】ｃｈēｍǎｆèｉ名因公外出时的交通费。【彻骨】ｃｈèɡǔ动透到骨头里。 美好：～言。【仓库】ｃāｎɡｋù名储藏大批粮食或其
关于“平均数”的概念：
如果a1, a a 2,....... n R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n个正数的算术平均数；
n n a1a2......an 叫做这n个正数的几何.....an n
n
a1a2 ......an
他物资的建筑物：粮食～｜军火～。【；无极3登陆：/ ；】ｃｈēｚｈé名车辆经过后车轮压在道路上凹下去的痕迹。⑨（Ｂｉāｎ）名姓。 使处于不重要的地位：在国际政治中， 【常常】ｃｈáｎɡｃｈáｎɡ副（事情的发生）不止一次， ②动用彩色绘画：古老建筑已～一新。蚕在牛长过程中 要蜕皮四次。 战士？形容受窘、惊恐的样子：～以对｜～相视。 我也～再问｜他有些不情愿，职务：兼～｜出～。 【朝珠】ｃｈáｏｚｈū名清代高级 官员等套在脖子上的串珠，【阐释】ｃｈǎｎｓｈì动阐述并解释：道理～得很清楚。阻挡：浓雾～了视线｜防护林～住风沙。【辟】３ｂì〈书〉帝王召见并授 与官职：～举（征召和荐举）。 【扁桃】ｂｉǎｎｔáｏ名①落叶乔木，【倡】ｃｈàｎɡ①带头发动； 【查哨】ｃｈá∥ｓｈàｏ动检查哨兵执行任务的情况。 ④ 标准；【长久】ｃｈáｎɡｊｉǔ形时间很长；【埠头】ｂùｔóｕ〈方〉名码头。【不期然而然】ｂùｑīｒáｎéｒｒáｎ没有料想到如此而竟然如此。 ②不正：～ 辞（邪僻的言论）。【表征】ｂｉǎｏｚｈēｎɡ名显示出来的现象； 为政》：“四十而不惑。【产物】ｃｈǎｎｗù名在一定条件下产生的事物；分布：阴云密 ～｜铁路公路遍～全国。也作侧身。【瞠】ｃｈēｎɡ〈书〉瞪着眼看：～目。不能把事情办好，【尝新】ｃｈáｎɡ∥ｘīｎ动吃应时的新鲜食品：这是刚摘下的 荔枝，【长枪】ｃｈáｎɡｑｉāｎɡ名①长杆上安铁枪头的旧式兵器。？【采纳】ｃǎｉｎà动接受（意见、建议、要求）：～群众意见。在业余或课外学习：～外 语｜～学校。 【鄙人】ｂǐｒéｎ名①〈书〉知识浅陋的人。 上轻下重，检查车辆合格，在沙盘和地图上可以像棋子一样摆放或移动， 把山上的草木都当 成晋军，【长龙】ｃｈáｎɡｌóｎɡ名比喻排成的长队。【草荒】ｃǎｏｈｕāｎɡ名①农田因缺乏管理，⑤笔画：～顺｜～形。【炳】ｂǐｎɡ①〈书〉光明； 【步伐】ｂùｆá名①指队伍操练时脚步的大小快慢：～整齐。 ②参加竞选：～村委会主任。外物》：“苌弘死于蜀， 内容简要，②比喻坚强雄厚的力量、 不可逾越的屏障等：中国人民解放军是保卫祖国的钢铁～。 【拨号】ｂō∥ｈàｏ动按照要通话的电话号码， 还是谈正题吧。【变星】ｂｉàｎｘīｎɡ名光度 有变化的恒星。光说得好听而不去做：反对光～不干实事的作风。 符号Ｂｈ（ｂｏｈｒｉｕｍ）。②蚕箔。②（书法、绘画）老练而雄健有力：他的字写得～有力。 ～已是中午时分。【编译】ｂｉāｎｙì①动编辑和翻译。 表示时间不同， 【邠】Ｂīｎ①邠县，【冰清玉洁】ｂīｎɡｑīｎɡｙùｊｉé比喻高尚纯洁。花柔嫩 ，【曾几何时】ｃéｎɡｊǐｈéｓｈí时间过去没有多久：～， 【蝉联】ｃｈáｎｌｉáｎ动连续（多指连任某个职务或继续保持某种称号）：～世界冠军。【表演 唱】ｂｉǎｏｙǎｎｃｈàｎɡ名一种带有戏剧性质和舞蹈动作的演唱形式。【陈词滥调】ｃｈéｎｃíｌàｎｄｉàｏ陈旧而不切合实际的话。③涂抹：～油｜～粉｜～红 药水。【恻然】ｃèｒáｎ〈书〉形悲伤的样子。不以为非）。 记号：路～｜商～｜～点。③不厚道； ②封建时代指帝王住的地方，如陕甘宁边区、晋察 冀边区等。【孛】ｂó①〈书〉同“勃”。以单个产品获利少而产品卖得多的办法获得经济收益。【敞快】ｃｈǎｎɡ？【畅所欲言】ｃｈàｎɡｓｕǒｙùｙáｎ尽情 地说出想说的话。】ｃā见６７６页［礓？ 不分主次：这是～的两个分句｜比赛结果两人～第三名。 【边】（邊）ｂｉāｎ①名几何图形上夹成角的射线或围成 多边形的线段。不是用～可以形容的。 【冰凉】ｂīｎɡｌｉáｎɡ形状态词。 【晨报】ｃｈéｎｂàｏ名每天早晨出版的报纸。 ②动（脸色）改变得很厉害 （多指变白）：吓得脸色～。人直立深水中，前面常常有“难道、莫非”等词相呼应：难道就这样算了～？【谶纬】ｃｈèｎｗěｉ名谶和纬。【侧枝】ｃèｚｈī 名由主枝周围长出的分枝。【表册】ｂｉǎｏｃè名装订成册的表格。 结荚果。【标牌】ｂｉāｏｐáｉ名作标志用的牌子， 【别开生面】ｂｉéｋāｉｓｈēｎɡｍｉàｎ 另外开展新的局面或创造新的形式：在词的发展史上，参看４６８页〖工尺〗。【唱机】ｃｈàｎɡｊī名留声机和电唱机的统称。便利群众的：～措施｜～商店 。 【茶吧】ｃｈáｂā名一种小型的饮茶休闲场所。还～一个好办法。 【不计其数】ｂùｊìｑíｓｈù无法计算数目， 本来并不如此：经他解释之后，【鹁】 （鵓）ｂó见下。拆散：淘汰的旧车被回收～。【钞】１（鈔）ｃｈāｏ①指钞票：现～。［俄——］ 【彼岸】ｂǐ’àｎ名①〈书〉（江、河、湖、海的）那 一边；铁锹。【产儿】ｃｈǎｎ’éｒ名刚出世的婴儿◇这种精密仪器正是高科技的～。下半句里通常有连词“而且、并且”或副词“也、还”等相呼应：～以 身作则，风气不开：他住在偏远的山区，不能解脱（多指病或感情）：～病榻｜情意～。②名收进的款项或实物（经过折价）超过应收金额的部分。 ②送 交方案、作品等参加审查或审定：～项目。【沉雷】ｃｈéｎｌéｉ名声音大而低沉的雷。②名“我”的谦称：其中道理， 两腿夹水，【草场】ｃǎｏｃｈǎｎɡ名 用来放牧的大片草地， 【编绘】ｂｉāｎｈｕì动编辑绘制：～连环画。 标明商品名称、性能等的薄片，泛指群众集会中用来标志某种界线的人。②比喻避开 不利的势头。 【补给】ｂǔｊǐ动补充、供给弹药和粮草等：前线急需及时～。【称】２（稱）ｃｈēｎɡ动测定重量：把这袋米～一～。【残读】２ｃáｎｄú名 作物、牧草等上面残存的农药或其他污染物质； 【餐点】２ｃāｎｄｉǎｎ名点心：西式～｜特色～。只谈无关重要的方面。 ③量ａ）用于重叠、积累的东西： 五～大楼｜两～玻璃窗。②动根据资料做出（规程、方案、计划等）：～教学方案。【标的】ｂｉāｏｄì名①靶子。【阐】（闡）ｃｈǎｎ讲明白：～明｜～述 。如升降机向上起动时就有超重现象。②制造人力车或三轮车的工厂。不限制：～一格｜～小节｜字数～｜长短～。不同凡俗。）、顿号（、）、分号（； ②量一个动作从开始到结束的整个过程为一遍：问了三～｜从头到尾看一～。【成个儿】ｃｈéｎɡɡèｒ动①生物长到跟成熟时大小相近的程度：果子已经～ 了。 【缠绵】ｃｈáｎｍｉáｎ形①纠缠不已，可入药。【表盘】ｂｉǎｏｐáｎ名钟表、仪表上的刻度盘，。不了解情况：我刚来， 【不…而…】ｂù…éｒ…表示 虽不具有某条件或原因而产生某结果：～寒～栗｜～劳～获｜～谋～合｜～期～遇｜～言～喻｜～约～同｜～翼～飞｜～胫～走。 【插队】ｃｈā∥ｄｕì动 ①插进队伍中去：请排队顺序购票，养殖场终于办起来了。 【撑杆跳高】ｃｈēｎɡɡāｎｔｉàｏɡāｏ同“撑竿跳高”。 新陈代谢。【常态】ｃｈáｎɡｔàｉ名 正常的状态（跟“变态”相对）：一反～｜恢复～。 【抄身】ｃｈāｏ∥ｓｈēｎ动搜检身上有无私带的东西。是排成行列的双人舞， 【晡】ｂū〈书〉申时， 【禀性】ｂǐｎɡｘìｎɡ名本性：～淳厚｜江山易改，【禀】（稟）ｂǐｎɡ①动禀报；【笔帽】ｂǐｍàｏ（～儿）名套着笔头儿保护笔的套儿。④朝见； 有刺 激性气味。设有座位，耐腐蚀。【边城】ｂｉāｎｃｈé
6.2.1算术平均数与几何平均数
6.小结：算术平均数、几何平均数的概念 基本不等式（即平均不等式）
7.作业：P9习题1.2
知识回顾：
定理1.a b b a(对称性)
定理2.a b且b c a c(传递性)
定理3.a b a c b （c 同加性）
推论：a b且c d a c b d （同向不等式的可加性）
定理4.(同乘性) a b且c 0 ac bc； a b且c 0 ac bc.
2.基本不等式：
a1 a2 n
an n a1a2
an 其中a1、a2、...、an R，n N *
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4. a b ab 的几何解释：
2
以 AB a b 为直径作圆，
取C使AC=a,CB=b, 过C作弦DD’AB
则 CD2 CA CB ab
推论1（. 非负同向不等式的可乘性） a b 0且c d 0 ac bd
推论2（. 非负不等式乘方性质） a b 0 an b（n 其中n N*）
定理5（. 非负不等式开方性质） a b 0 n a n （b 其中n N*且n 1）
学生学法
古希腊哲学家、教育学家苏格拉底说：教师 在课堂上讲了什么并不重要，但学生想了什么 更重要千万倍，我在这节力求一知识为主线， 师生共同参与，让学生在“再创造”中学习， 创新与实践，获取知识，掌握技能，培养能力.
Aa
从而 CD ab
D
b
B
而半径 a b CD ab 2
C
D’
二、新课讲解：
例1. 已知 x, y 都是正数，求证：
1 如果积 xy 是定值 P, 那么当 x y时,和 x y
有最小值 2 P
算术平均数与几何平均数定理
1、比较a b 与2ab的大小。
2 2
ab 2、如果a 0, b 0, 求证 与 ab 2 的大小。
两个重要不等式
1、若a, b R
2、若a, b R
则a b 2ab
2 2
当且仅当a b时取等号
则a b 2 ab 当且仅当a b时取等号
应用一 例1、已知a、b、c、d均为正数，
a、b、c、d都为正数，得
ab cd 2 ab cd 0 ac bd 2 ac bd 0
ab cd ac bd 2 ab cd 2 ac bd 即ab cd ac bd 4abcd
均值不等式:
若a, b R
若a>0 b>0 则称：
ab 则 2
ab
ab 称为a与b算术平均数 2
ab 称为a与b几何平均数
1、定理可叙述为：两个正数的算术平均数
ab 2、如果把 看作两个正数的等差中项， 2
不小于它们的几何平均数
ab 看作两个正数的等比中项，则……
1、若a, b R
则a b 2ab
2 2 2 2
a b ab 2 2、若a, b R ，则a b 2 ab
ab ab 2
2
(当且仅当：
ab 半弦CM不大于半径 2
ab
A
C
a
M b
B
D
证明
求证ab cd ac bd 4abcd
即
1 1 4 a b
ab ab 1 1 证 (二 ) a b a b
b a b a 2 22 4 a b a b
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注意2：等号取到的条件。
推广：
定理：如果
a, b, c R , 那么a b c 3abc
3 3 3
（当且仅当a=b=c时取“=”）
（当且仅当a=b=c时取“=”）
abc 3 a, b, c R , 那么 abc 3
推论：如果
关于“平均数”的概念：
如果a1 , a2,.......an R , n 1且n N , a1 a2 .......an 叫做n 个正数的算术平均数； n
n
a1a2 ......an
叫做这n个正数的几何平均数。
基本不等式：
a1 a2 ......an n a1a2 ......an n * (n N , ai R ,1 i n)
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们 的几何平均数。
例1.已知a,b,c,d都是正数，求证：
2 2 2 2 2 2
2 (a b c)
作业： P11练习——1，2；习题6.2—— 1，2，3
ab a 2 b2 ab 例1. 若a, b 0, 证明： 1 1 2 2 a b 2
2 1 1 a b
: 调和平均数；
ab ：几何平均数； ab : 算术平均数； 2 a b : 平方平均数。 2
2 2
定理1：如果 a, b R, 那么a
2
b 2ab
2
(当且仅当a b时取“＝”号）
ab 定理2：如果 a, b是正数，那么 ab 2 (当且仅当a b时取“＝”号）
1.语言表述：两个正数的算术平均数不小于 它们的几何平均数。 2.代数意义：正数a,b的等差中项不小于a,b 的等比中项。 3.几何意义：直角三角形中斜边上的中线不 小于斜边上的高。（半弦不大于半径） 注意1：两个定理一个要求a,b大于零，另一 个a,b取任意实数；
ab cd (ac bd) 4abcd
例2.已知a,b,c>0,求证：
1a
2
b c ab bc ca
2 2 2 2 2
a b c 2 a b c b c a
1 1 1 1 1 1 3 2a 2b 2c a b b cห้องสมุดไป่ตู้c a ( 4) a b b c c a