数列知识点和常用的解题方法归纳
数列之方法归纳总结
数列之方法归纳总结数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。
在数学中，研究数列的性质和规律，对于解决各种数学问题以及应用于实际生活中的各种情境具有重要意义。
在实际应用中，数列的归纳总结方法有助于我们找到数列中的规律，从而更好地理解和运用数列。
一、等差数列等差数列是指数列中，任意两个相邻的数之间的差等于一个常数，这个常数称为公差。
等差数列的一般形式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1为第一个数，d为公差，n为项数。
等差数列的求和公式为Sn=n(a1+an)/2，其中Sn表示数列的前n项和。
等差数列的归纳总结方法：1.找到首项a1和公差d；2. 利用数列的递推关系式an=a1+(n-1)d，找到第n个数；3. 利用求和公式Sn=n(a1+an)/2，求出前n项和Sn。
二、等比数列等比数列是指数列中，任意两个相邻的数之间的比等于一个常数，这个常数称为公比。
等比数列的一般形式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1为第一个数，r为公比，n为项数。
等比数列的求和公式为Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，其中Sn表示数列的前n项和。
等比数列的归纳总结方法：1.找到首项a1和公比r；2. 利用数列的递推关系式an=a1*r^(n-1)，找到第n个数；3.利用求和公式Sn=a1*(1-r^n)/(1-r)，求出前n项和Sn。
三、斐波那契数列斐波那契数列是一个特殊的数列，前两项为1，后续的每一项都是前两项之和。
斐波那契数列的一般形式为an=an-1+an-2，其中an表示第n 个数，n>=3斐波那契数列的归纳总结方法：1.找到前两项a1和a2；2. 利用数列的递推关系式an=an-1+an-2，找到第n个数；3.可以使用递归法求解斐波那契数列，也可以使用循环遍历的方法求解。
四、特殊数列除了上述常见的数列，还存在一些特殊的数列，例如等差数列的等差为0的情况，即数列中的每一项都相等；等比数列的公比为1的情况，即数列中的每一项都相等；等差数列和等比数列的公差或公比为0的情况。
数列知识点总结(经典)
数列基础知识点和方法归纳
1.等差数列的定义与性质
定义： （ 为常数）,
等差中项: 成等差数列
前n 项和()()11122
n n a a n n n S na d +-==+ 性质: 是等差数列
（1）若 , 则
（2）数列 仍为等差数列, 仍为等差数列, 公差为 ；
（3）若三个成等差数列, 可设为
（4）若 是等差数列, 且前 项和分别为 , 则
（5） 为等差数列 （ 为常数, 是关于 的常数项为0的二次函数） 的最值可求二次函数 的最值；或者求出 中的正、负分界项,
2.等比数列的定义与性质
定义: （ 为常数, ）, .
等比中项： 成等比数列 , 或 .
前 项和: （要注意！ ）
性质: 是等比数列
（1）若 , 则
（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q .
注意: 由 求 时应注意什么？
时, ；
时, .
4.求数列前n 项和的常用方法
(1) 裂项法
（2）错位相减法
如: ①
()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……
② ①—②()21
11n n n x S x x x nx --=++++-……
时, , 时,。
数列题型及解题方法
数列题型及解题方法数列是数学中常见的概念，也是高中数学中重要的内容之一。
在数学学习中，数列题型及解题方法是学生们需要掌握的重要知识点。
本文将从数列的基本概念入手，介绍常见的数列题型及解题方法，希望能帮助学生们更好地理解和掌握数列的相关知识。
一、数列的基本概念。
数列是按照一定顺序排列的一串数，这些数之间存在着一定的规律。
数列可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列等多种类型。
在解题时，首先需要明确数列的类型，然后根据数列的特点和规律进行分析和计算。
二、等差数列题型及解题方法。
1. 求等差数列的通项公式。
等差数列的通项公式一般为an=a1+(n-1)d，其中an表示数列的第n项，a1为首项，d为公差，n为项数。
通过已知的首项和公差，可以利用通项公式求出数列的任意一项。
2. 求等差数列的前n项和。
等差数列的前n项和公式为Sn=n/2(a1+an)，通过这个公式可以求出等差数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，an为第n项。
3. 应用等差数列解决实际问题。
在解决实际问题时，可以将问题转化为等差数列的形式，然后利用等差数列的性质进行求解。
例如，求等差数列中满足某个条件的项数，或者求解等差数列中某些项的和等问题。
三、等比数列题型及解题方法。
1. 求等比数列的通项公式。
等比数列的通项公式一般为an=a1q^(n-1)，其中an表示数列的第n项，a1为首项，q为公比，n为项数。
通过已知的首项和公比，可以利用通项公式求出数列的任意一项。
2. 求等比数列的前n项和。
等比数列的前n项和公式为Sn=a1(q^n-1)/(q-1)，通过这个公式可以求出等比数列前n项和的数值，其中n为项数，a1为首项，q为公比。
3. 应用等比数列解决实际问题。
同样地，可以将实际问题转化为等比数列的形式，然后利用等比数列的性质进行求解。
例如，求等比数列中满足某个条件的项数，或者求解等比数列中某些项的和等问题。
四、其他特殊数列题型及解题方法。
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数学数列部分知识点梳理一数列的概念1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ⎩⎨⎧≥-==-)2()1(11n S S n S a n n n2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。
前n 项和公式2)(1n n a a n S +=或d n n na S n )1(211-+=. 2）等差中项：b a A +=2。
3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）⇔{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )⇔{}n a 是等差数列.4）等差数列的性质：⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列；⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd .⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a )⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+；⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则nn a aS S nd S S 1,+==-奇偶奇偶；当项数为)(12+∈-N n n ，则nn S S a S S n 1,-==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则（是常数）是公差为的等差数列；(8)设，，，则有；(9)是等差数列的前项和，则；(10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为，则①．为等差数列，公差为；②．（即）为等差数列，公差；③．（即）为等差数列，公差为.二、等比数列 1）通项公式：11-=n n q a a ，1a 为首项，q 为公比 。
基础数列知识点归纳总结
基础数列知识点归纳总结在学习数列的过程中，我们需要掌握数列的基本概念、常见的数列类型、数列的性质以及求解数列的方法等知识。
下面我们来归纳总结一下数列的基础知识点。
一、数列的基本概念数列是一组按照一定规律排列的数的集合。
数列中的每一个数称为数列的项，用an表示第n项。
数列的项数可能是有限个，也可能是无限个。
1. 有限数列：数列的项数是有限个的，可以用一个有限个项的列表表示出来。
例如：1, 3, 5, 7, 92. 无限数列：数列的项数是无限个的，无法用有限个项的列表表示出来。
例如：1, 2, 3, 4, ...二、常见的数列类型数列根据其递推规律的不同，可以分为等差数列、等比数列和其他特殊数列。
1. 等差数列如果一个数列中任意相邻两项的差值都相等，那么这个数列就是等差数列。
等差数列的递推公式为：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
例如：1, 3, 5, 7, 9 是一个公差为2的等差数列。
2. 等比数列如果一个数列中任意相邻两项的比值都相等，那么这个数列就是等比数列。
等比数列的递推公式为：an = a1 * r^(n-1)，其中a1为首项，r为公比。
例如：2, 6, 18, 54, 162 是一个公比为3的等比数列。
3. 其他特殊数列除了等差数列和等比数列之外，还有一些特殊的数列，例如：斐波那契数列、调和数列、几何级数等。
三、数列的性质1. 数列的有界性数列中的项是否有界，与数列的性质密切相关。
有界数列指的是数列中的项都在一定的范围内，可以是上界和下界。
2. 数列的求和公式对于等差数列和等比数列，我们可以通过求和公式来计算数列的前n项和。
等差数列的求和公式为：Sn = n/2 * (a1 + an)，等比数列的求和公式为：Sn = a1*(1-r^n)/(1-r)。
3. 数列的极限性质对于无限数列，我们可以关注它的极限性质。
当n趋向于无穷大时，数列的极限值将是一个重要的性质，它可以帮助我们理解数列的最终发展趋势。
数列知识点总结和题型归纳
数列知识点总结和题型归纳一、数列的定义和性质数列是由一系列有序的数按照一定规律排列而成的序列。
数列中的每个数叫做数列的项，用an表示第n个项。
1. 等差数列等差数列是指一个数列中相邻两项之差都是相等的。
公差d是等差数列中相邻两项的差值。
2. 等比数列等比数列是指一个数列中相邻两项之比都是相等的。
公比q是等比数列中相邻两项的比值。
二、数列的通项公式和前n项和公式1. 等差数列的通项公式设等差数列的首项为a1，公差为d，则该等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d。
2. 等差数列的前n项和公式设等差数列的首项为a1，公差为d，前n项和为Sn，则该等差数列的前n项和公式为Sn = n(a1 + an)/2。
3. 等比数列的通项公式设等比数列的首项为a1，公比为q，则该等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)。
4. 等比数列的前n项和公式设等比数列的首项为a1，公比为q，前n项和为Sn，则该等比数列的前n项和公式为Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)。
三、数列的常见题型1. 求等差数列的第n项已知等差数列的首项a1和公差d，求该等差数列的第n项an，则可以利用等差数列的通项公式an = a1 + (n-1)d进行计算。
2. 求等差数列的前n项和已知等差数列的首项a1、公差d和项数n，求该等差数列的前n项和Sn，则可以利用等差数列的前n项和公式Sn = n(a1 + an)/2进行计算。
3. 求等比数列的第n项已知等比数列的首项a1和公比q，求该等比数列的第n项an，则可以利用等比数列的通项公式an = a1 * q^(n-1)进行计算。
4. 求等比数列的前n项和已知等比数列的首项a1、公比q和项数n，求该等比数列的前n项和Sn，则可以利用等比数列的前n项和公式Sn = a1 * (1 - q^n)/(1 - q)进行计算。
四、数列的应用数列在数学中有广泛的应用，特别是在数学建模和实际问题的解决中常常用到。
高中数列知识点、解题方法和题型大全
一 高中数列知识点总结1. 等差数列的定义与性质定义：1n n a a d +-=（d 为常数），()11n a a n d =+- 等差中项：x A y ，，成等差数列2A x y ⇔=+ 前n 项和()()11122n n a a n n n S nad +-==+性质：{}n a 是等差数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+；（2）数列{}{}{}12212,,+-n n n a a a 仍为等差数列，232n n n n n S S S S S --，，……仍为等差数列，公差为d n 2；（3）若三个成等差数列，可设为a d a a d -+，， （4）若n n a b ，是等差数列，且前n 项和分别为n n S T ，，则2121m m m m a S b T --=（5）{}n a 为等差数列2n S an bn ⇔=+（a b ，为常数，是关于n 的常数项为0的二次函数）n S 的最值可求二次函数2n S an bn =+的最值；或者求出{}n a 中的正、负分界项，即：当100a d ><，，解不等式组100n n a a +≥⎧⎨≤⎩可得n S 达到最大值时的n 值.当100a d <>，，由10n n a a +≤⎧⎨≥⎩可得n S 达到最小值时的n 值.(6)项数为偶数n 2的等差数列{}n a ，有),)(()()(11122212为中间两项++-+==+=+=n n n n n n n a a a a n a a n a a n Snd S S =-奇偶，1+=n na a S S 偶奇. （7）项数为奇数12-n 的等差数列{}n a ，有)()12(12为中间项n n n a a n S -=-，n a S S =-偶奇，1-=n n S S 偶奇. 2. 等比数列的定义与性质定义：1n na q a +=（q 为常数，0q ≠），11n n a a q -=.等比中项：x G y 、、成等比数列2G xy ⇒=，或G =前n 项和：()11(1)1(1)1n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩（要注意！）性质：{}n a 是等比数列（1）若m n p q +=+，则m n p q a a a a =··（2）232n n n n n S S S S S --，，……仍为等比数列,公比为n q . 注意：由n S 求n a 时应注意什么？1n =时，11a S =；2n ≥时，1n n n a S S -=-.二 解题方法1 求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法如：数列{}n a ，12211125222n n a a a n +++=+……，求n a解 1n =时，112152a =⨯+，∴114a = ①2n ≥时，12121111215222n n a a a n --+++=-+…… ②①—②得：122n n a =，∴12n n a +=，∴114(1)2(2)n n n a n +=⎧=⎨≥⎩［练习］数列{}n a 满足111543n n n S S a a +++==，，求n a注意到11n n n a S S ++=-，代入得14n nS S +=；又14S =，∴{}n S 是等比数列，4n n S = 2n ≥时，1134n n n n a S S --=-==……·（2）叠乘法如：数列{}n a 中，1131n n a na a n +==+，，求n a解3212112123n n a a a n a a a n --=·……·……，∴11n a a n=又13a =，∴3n a n =. （3）等差型递推公式由110()n n a a f n a a --==，，求n a ，用迭加法2n ≥时，21321(2)(3)()n n a a f a a f a a f n --=⎫⎪-=⎪⎬⎪⎪-=⎭…………两边相加得1(2)(3)()n a a f f f n -=+++……∴0(2)(3)()n a a f f f n =++++……（4）等比型递推公式1n n a ca d -=+（c d 、为常数，010c c d ≠≠≠，，）可转化为等比数列，设()()111n n n n a x c a x a ca c x --+=+⇒=+- 令(1)c x d -=，∴1d x c =-，∴1n d a c ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是首项为11d a c c +-，为公比的等比数列∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫+=+ ⎪--⎝⎭·，∴1111n n d d a a c c c -⎛⎫=+- ⎪--⎝⎭ （5）倒数法如：11212nn n a a a a +==+，，求n a 由已知得：1211122n n n n a a a a ++==+，∴11112n n a a +-= ∴1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，111a =，公差为12，∴()()11111122n n n a =+-=+·， ∴21n a n =+(附：公式法、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==、累加法、累乘法.构造等差或等比1n n a pa q +=+或1()n n a pa f n +=+、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)2 求数列前n 项和的常用方法 (1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：{}n a 是公差为d 的等差数列，求111nk k k a a =+∑解：由()()11111110k k k k k k d a a a a d d a a ++⎛⎫==-≠ ⎪+⎝⎭·∴11111223111111111111nnk k k k k k n n a a d a a d a a a a a a ==+++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+-++-⎢⎥ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑…… 11111n d a a +⎛⎫=- ⎪⎝⎭［练习］求和：111112123123n+++++++++++ (121)n n a S n ===-+…………， （2）错位相减法若{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，求数列{}n n a b （差比数列）前n 项和，可由n n S qS -，求n S ，其中q 为{}n b 的公比.如：2311234n n S x x x nx -=+++++……①()23412341n n n x S x x x x n x nx -=+++++-+·……②①—②()2111n n n x S x x x nx --=++++-……1x ≠时，()()2111nnnx nx S xx -=---，1x =时，()11232n n n S n +=++++=……（3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++⎫⎬=++++⎭…………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++……［练习］已知22()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由2222222111()111111x x x f x f x x x xx ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎝⎭+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭∴原式11111(1)(2)(3)(4)111323422f f f f f f f ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦⎣⎦(附：a.用倒序相加法求数列的前n 项和如果一个数列{a n }，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。
数列复习基本知识点归纳与总结
数列基本知识点归纳与总结一、数列的概念：数列是按一定次序排成的一列数。
数列中的每一个数都叫做这个数列的项。
数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n ｝）的特殊函数，如果数列{}a n 的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的通项公式。
数列的通项公式也就是相应函数的解析式。
如（1）已知*2()156n n a n N n =∈+，则在数列{}na 的最大项为__（答：125）； （2）数列}{n a 的通项为1+=bn ana n ，其中b a ,均为正数，则n a 与1+n a 的大小关系为___（答：n a <1+n a ）； （3）已知数列{}n a 中，2n a n n λ=+，且{}n a 是递增数列，求实数λ的取值范围（答：3λ>-）；递推关系式：已知数列{}a n 的第一项（或前几项），且任何一项n a 与它的前一项a n-1（前n 项）间的关系可以用一个式子来表示，则这个式子就叫数列的递推关系式。
数列的分类：①按项数多少，分为有穷数列、无穷数列；②按项的增减，分为递增数列、递减数列、摆动数列、常数列。
③按项有无界限，分为有界数列、无界数列。
数列的前n 项和：a a a a s n n ++++= (3)21.已知s n 求a n 的方法（只有一种）：即利用公式 a n=⎪⎩⎪⎨⎧≥=--)2(,)1(,11n n s s s n n注意：一定不要忘记对n 取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合当n ≥2的关系式，从而决定能否将其合并。
二、等差数列的有关概念：1、 等差数列的定义：如果数列{}a n 从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差。
即)2,*(1≥∈=--n N n d a a n n 且.(或)*(1N n d a a n n ∈=-+).（1） 等差数列的判断方法：①定义法：)(1常数d a a n n =-+⇔{}a n 为等差数列。
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数列知识点和常用的解题方法归纳一、 等差数列的定义与性质() 定义：为常数，a a d d a a n d n n n +-==+-111() 等差中项：，，成等差数列x A y A x y ⇔=+2()()前项和n S a a n nan n d n n =+=+-11212{}性质：是等差数列a n（）若，则；1m n p q a a a a m n p q +=++=+{}{}{}（）数列，，仍为等差数列；2212a a ka b n n n -+ S S S S S n n n n n ，，……仍为等差数列；232--（）若三个数成等差数列，可设为，，；3a d a a d -+ （）若，是等差数列，为前项和，则；42121a b S T n a b S T n n n n m m m m =-- {}（）为等差数列（，为常数，是关于的常数项为52a S an bn ab n n n ⇔=+0的二次函数）{}S S an bn a n n n 的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界=+2项，即：当，，解不等式组可得达到最大值时的值。
a d a a S n n n n 11000><≥≤⎧⎨⎩+当，，由可得达到最小值时的值。
a d a a S n n n n 110000<>≤≥⎧⎨⎩+{}如：等差数列，，，，则a S a a a S n n n n n n =++===--1831123（由，∴a a a a a n n n n n ++=⇒==----12113331()又·，∴S a a aa 31322233113=+===()()∴·S a a n a a n nn n n =+=+=+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-12122131218 ∴=n 27）二、等比数列的定义与性质 定义：（为常数，），a a q q q a a q n nn n +-=≠=1110 等比中项：、、成等比数列，或x G y G xy G xy ⇒==±2()前项和：（要注意）n S na q a q q q n n ==--≠⎧⎨⎪⎩⎪111111()()!{}性质：是等比数列a n（）若，则··1m n p q a a a a m n p q +=+= （），，……仍为等比数列2232S S S S S n n n n n -- 三、求数列通项公式的常用方法1、公式法2、n n a S 求由；（时，，时，）n a S n a S S n n n ==≥=--121113、求差（商）法{}如：满足……a a a a n n n n 121212251122+++=+<>解：n a a ==⨯+=1122151411时，，∴n a a a n n n ≥+++=-+<>--2121212215212211时，……<>-<>=12122得：n n a ，∴a n n =+21，∴a n n n n ==≥⎧⎨⎩+141221()()［练习］{}数列满足，，求a S S a a a n n n n n +==++111534 （注意到代入得：a S S S S n n n n n+++=-=1114 {}又，∴是等比数列，S S S n n n144==n a S S n n n n ≥=-==--23411时，……·4、叠乘法{}例如：数列中，，，求a a a a nn a n n n n 1131==++解：a a a a a a n n a a nn n n 213211122311·……·……，∴-=-= 又，∴a a nn 133== 5、等差型递推公式由，，求，用迭加法a a f n a a a n n n -==-110()n a a f a a f a a f n n n ≥-=-=-=⎫⎬⎪⎪⎭⎪⎪-22321321时，…………两边相加，得：()()()a a f f f n n -=+++123()()()…… ∴……a a f f f n n =++++023()()() ［练习］{}()数列，，，求a a a a n a n n n n n 111132==+≥--()（）a n n=-1231 6、等比型递推公式()a ca d c d c c d n n =+≠≠≠-1010、为常数，，， ()可转化为等比数列，设a x c a x n n +=+-1()⇒=+--a ca c x n n 11令，∴()c x d x d c -==-11∴是首项为，为公比的等比数列a d c a dc c n +-⎧⎨⎩⎫⎬⎭+-111 ∴·a d c a d c c n n +-=+-⎛⎝ ⎫⎭⎪-1111∴a a d c c dc n n =+-⎛⎝⎫⎭⎪---1111［练习］{}数列满足，，求a a a a a n n n n 11934=+=+（）a n n =-⎛⎝ ⎫⎭⎪+-843117、倒数法例如：，，求a a a a a n n n n 11122==++ ，由已知得：1221211a a a a n n n n+=+=+∴11121a a n n +-= ， ∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭=111121a a n 为等差数列，，公差为 ()()∴=+-=+11112121a n n n · ，∴a n n =+21三、 求数列前n 项和的常用方法1、公式法：等差、等比前n 项和公式2、裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。
{}如：是公差为的等差数列，求a d a a n k k k n111+=∑ 解：()()由·11111011a a a a d d a a d k k k k k k ++=+=-⎛⎝ ⎫⎭⎪≠∴11111111a a d a a k k k nkk k n+=+=∑∑=-⎛⎝ ⎫⎭⎪=-⎛⎝⎫⎭⎪+-⎛⎝ ⎫⎭⎪++-⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++11111111111223111d a a a a a a d a a n n n ……［练习］ 求和：…………111211231123+++++++++++n（…………，）a S n n n ===-+2113、错位相减法：{}{}{}若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项a b a b n n n n n{}和，可由求，其中为的公比。
S qS S q b n n n n -如：……S x x x nxn n =+++++<>-12341231()x S x x x x n x nx n n n ·……=+++++-+<>-234122341()<>-<>-=++++--121121：……x S x x xnx n n n ()()x S x x nx xnnn≠=----11112时，()x S n n n n ==++++=+112312时，……4、倒序相加法：把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加。
S a a a a S a a a a n n n n n n =++++=++++⎫⎬⎪⎭⎪--121121…………相加()()()21211S a a a a a a n n n n =++++++-………… ［练习］已知，则f x x x f f f f f f f ()()()()()=+++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪++⎛⎝ ⎫⎭⎪=2211212313414（由f x f x x x x x x x x ()+⎛⎝ ⎫⎭⎪=++⎛⎝ ⎫⎭⎪+⎛⎝ ⎫⎭⎪=+++=1111111112222222 ∴原式=++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥++⎛⎝ ⎫⎭⎪⎡⎣⎢⎤⎦⎥f f f f f f f ()()()()1212313414=+++=12111312）例1设{a n }是等差数列，若a 2=3，a 7=13，则数列{a n }前8项的和为（ ）A ．128B ．80C ．64D ．56 （卷第3题）略解：∵ a 2 +a 7= a 1+a 8=16，∴{a n }前8项的和为64，故应选C ．例2 已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A ．64B ．81C ．128D ．243 （全国Ⅰ卷第7题）答案：A ．例3 已知等差数列{}n a 中，26a =，515a =，若2n n b a =，则数列{}n b 的前5项和等于（ ）A ．30B ．45C ．90D ． （北京卷第7题）略解：∵a 5-a 2=3d=9，∴ d=3，b 1=26a =，b 5=a 10=30，{}n b 的前5项和等于90，故答案是C ．例4 记等差数列的前n 项和为n S ，若244,20S S ==，则该数列的公差d =（ ）A ．2B ．3C ．6D ．7 （错误!未找到引用源。
第4题） 略解：∵422412,3S S S d d --===,故选B. 例5在数列{}n a 中，542n a n =-，212n a a a an bn +++=+L ，*n N ∈,其中,a b 为常数，则ab = ．（卷第15题）答案：－1．例6 在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a =（ ）A ．2ln n +B ．2(1)ln n n +-C ．2ln n n +D ．1ln n n ++（卷第5题） 答案：A ．例7 设数列{}n a 中，112,1n n a a a n +==++，则通项n a = ___________．（卷第16题） 此题重点考查由数列的递推公式求数列的通项公式，抓住11n n a a n +=++中1,n n a a +系数相同是找到方法的突破口．略解：∵112,1n n a a a n +==++ ∴()111n n a a n -=+-+，()1221n n a a n --=+-+，()2331n n a a n --=+-+，K ，3221a a =++，2111a a =++，1211a ==+．将以上各式相加，得()()()123211n a n n n n =-+-+-+++++⎡⎤⎣⎦L ()()111122n n n n n -+=++=+，故应填(1)2n n ++1． 例8 若(x +12x)n 的展开式中前三项的系数成等差数列，则展开式中x 4项的系数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9 (卷第10题) 答案：B ．使用选择题、填空题形式考查的文科数列试题，充分考虑到文、理科考生在能力上的差异，侧重于基础知识和基本方法的考查，命题设计时以教材中学习的等差数列、等比数列的公式应用为主，如，例4以前的例题．例5考查考生对于等差数列作为自变量离散变化的一种特殊函数的理解；例6、例7考查由给出的一般数列的递推公式求出数列的通项公式的能力；例8则考查二项展开式系数、等差数列等概念的综合运用．卷第1题，卷第4题，卷第4题，天津卷第4题，上海卷第14题，全国Ⅱ卷第19题等，都是关于数列的客观题，可供大家作为练习．例9 已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=11n a +）（n ∈N*）在函数y =x 2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式； (Ⅱ)若数列｛b n ｝满足b 1=1，b n +1=b n +2n a，求证：b n ·b n +2＜b 2n +1. （卷第20题）略解：（Ⅰ）由已知，得a n +1-a n =1，又a 1=1,所以数列｛a n ｝是以1为首项，公差为1的等差数列．故a n =1+(n -1)×1=n.(Ⅱ)由（Ⅰ）知，a n =n ，从而b n +1-b n =2n ，b n =(b n -b n -1)+(b n -1-b n -2)+…+（b 2-b 1）+b 1=2n -1+2n -2+…+2+1=2n-1．∵. b n •b n +2-b 21+n =(2n -1)(2n +2-1)-(2n+1-1)2= -2n＜0, ∴ b n ·b n +2＜b 21+n ．对于第（Ⅱ）小题，我们也可以作如下的证明：∵ b 2=1,b n ·b n +2- b 21+n =(b n +1-2n )(b n +1+2n +1)- b 21+n =2n +1·b n +1-2n ·b n +1-2n ·2n +1＝2n （b n +1-2n +1）=2n（b n +2n-2n +1）=2n（b n -2n）= (2)（b 1-2）=-2n<0，∴ b n -b n +2<b 2n +1.例10 在数列{}n a 中，11a =，122n n n a a +=+．（Ⅰ）设12nn n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．（全国Ⅰ卷第19题）略解：（Ⅰ）1n n b b +-=1122n n n n a a +--=122n n n a a +-=22nn =1，则{}n b 为等差数列，11b =，n b n =，12n n a n -=．（Ⅱ）01211222(1)22n n n S n n --=+++-+g g L g g ，12121222(1)22n nn S n n -=+++-+g g L g g ．两式相减，得01121222221n n n n n S n n -=----=-+g g L g =(1)21n n -+．对于例10第（Ⅰ）小题，基本的思路不外乎推出后项减前项差相等，即差是一个常数．可以用迭代法，但不可由b 2-b 1=1，b 3-b 2=1等有限个的验证归纳得到{}n b 为等差数列的结论，犯“以偏盖全”的错误．第（Ⅱ）小题的“等比差数列”，在高考数列考题中出现的频率很高，求和中运用的“错项相减”的方法，在教材中求等比数列前n 项和时给出，是“等比差数列”求和时最重要的方法．一般地，数学学习中最为重要的容常常并不在结论本身，而在于获得这一结论的路径给予人们的有益启示．例9、例10是高考数学试卷中数列试题的一种常见的重要题型，类似的题目还有卷第18题，卷第19题，卷第20题等，其共同特征就是以等差数列或等比数列为依托构造新的数列．主要考查等差数列、等比数列等基本知识，考查转化与化归思想，考查推理与运算能力．考虑到文、理科考生在能力上的差异，与理科试卷侧重于理性思维，命题设计时以一般数列为主，以抽象思维和逻辑思维为主的特点不同；文科试卷则侧重于基础知识和基本方法的考查，以考查具体思维、演绎思维为主．例11 等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为n S ，{}n b 为等比数列, 11b =，且2264,b S =33960b S =．(Ⅰ)求n a 与n b ； (Ⅱ)求和：12111nS S S +++L ．（卷第19题）略解：(Ⅰ)设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，依题意有22233(6)64,(93)960.S b d q S b d q =+=⎧⎨=+=⎩解之，得2,8;d q =⎧⎨=⎩或6,540.3d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去，为什么？)故132(1)21,8n n na n nb -=+-=+=．（Ⅱ）35(21)(2)n S n n n =++++=+L ，∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+L L 111111(1232435=-+-+-+11)2n n +-+L 1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++． “裂项相消”是一些特殊数列求和时常用的方法．使用解答题形式考查数列的试题，其容还往往是一般数列的容，其方法是研究数列通项及前n 项和的一般方法，并且往往不单一考查数列，而是与其他容相综合，以体现出对解决综合问题的考查力度．数列综合题对能力有较高的要求，有一定的难度，对合理区分较高能力的考生起到重要的作用．例12 设数列{}n a 的前n 项和为22nn n S a =-，（Ⅰ）求14,a a ；（Ⅱ）证明： {}12n n a a +-是等比数列；（Ⅲ）求{}n a 的通项公式．（卷第21题）略解：（Ⅰ）∵1111,22a S a S ==+，所以112,2a S ==．由22n n n a S =+知，11122n n n a S +++=+112n n n a S ++=++得，112n n n a S ++=+ ①∴222122226,8a S S =+=+==，3332328216,24a S S =+=+==，443240a S =+=．（Ⅱ）由题设和①式知，()()11222n n n n n n a a S S ++-=+-+122n n +=-2n =，∴{}12n n a a +-是首项为2，公比为2的等比数列．（Ⅲ）()()()21112211222222n n n n n n n a a a a a a a a -----=-+-++-+L ()112n n -=+⋅此题重点考查数列的递推公式，利用递推公式求数列的特定项，通项公式等．推移脚标，两式相减是解决含有n S 的递推公式的重要手段，使其转化为不含n S 的递推公式，从而有针对性地解决问题．在由递推公式求通项公式时，首项是否可以被吸收是易错点．同时，还应注意到题目设问的层层深入，前一问常为解决后一问的关键环节，为求解下一问指明方向．例13 数列{}n a 满足,2,021==a a 222(1cos)4sin ,1,2,3,,22n n n n a a n ππ+=++=L （I ）求43,a a ，并求数列{}n a 的通项公式；（II ）设1321k k S a a a -=+++L ，242k k T a a a =+++L ， 2(2kk kS W k T =∈+)N *，求使1k W >的所有k 的值，并说明理由．（卷第20题）略解：（I ）22311(1cos )4sin 44,22a a a ππ=++=+=22422(1cos )4sin 24,a a a ππ=++==一般地, 当21()n k k N *-∈=时，22212121(21)(21)[1cos]4sin 4,22k k k k k a a a ππ+----=++=+即2121 4.k k a a +--= 所以数列{}21k a -是首项为0、公差为4的等差数列，因此214(1).k a k -=-当2()n k k N *∈=时，22222222(1cos )4sin 2,22k k k k k a a a ππ+=++=所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.kk a =故数列{}n a 的通项公式为22(1),21(),2,2().n n n n k k N a n k k N **⎧-=-∈⎪=⎨⎪=∈⎩（II ）由（I ）知，1321k k S a a a -=+++L =044(1)2(1),k k k +++-=-L 242k kT a a a =+++L 2122222,k k +++=-L 12(1).22k k k k S k k W T --==+ 于是，10,W =21,W =33,2W =43,2W =55,4W =61516W =. 下面证明:当6k ≥时， 1.k W <事实上, 当6k ≥时，11(1)(1)(3)0,222k k k k kk k k k k k W W +-+---=-=<即1.k k W W +<又61,W <所以当6k ≥时，1.k W <故满足1k W >的所有k 的值为3,4,5.。