912林海东-27.2.2 相似三角形的性质
27.2.2相似三角形的性质.ppt
2
B' D' C'
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
都等于相似比.
角 对应角平分线的比
形 周长的比
面积的比等于相似比的平方
课堂训练
1.如果两个三角形相似,相似比为3∶5,则 对应角的角平分线的比等于____3_∶_.5
2.相似三角形对应边的比为2:5, 那么相似比为____2_:5__, 对应角的角平分线的比为__2_:5___, 周长的比为___2_:5_____, 面积的比为___4_:2_5____.
(1) 1 (2)
2
(3)
3
(1)与(2)的相似比=__1_∶__2_, (1)与(2)的周长比=__1_∶___2
(2)与(3)的相似比=__2_∶__3_, (2)与(3)的周长比=__2_∶__3_
结论：相似三角形的周长比等于_相__似__比_．
相似三角形的性质
相 对应高的比
似 三
对应中线的比
4.如图，在 ABCD中，若E是AB的中点，
则(1)∆AEF与∆CDF的相似比为__1__: _2_.
(2)若∆AEF的面积为5cm2，
k AE 1 CD 2
则∆CDF的面积为____2_0_c.m2 D
C
∵∆AEF与 SAEF ( 1 )2，
F
∆CDF
SCDF 2 A
E
B
5 1，
SCDF 4
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
已知△ABC∽△ A，B且C 相似比为k，
AD、 分A别D是△ABC、△ 对AB应C边 BC、
上的高B，C求 证：
证明：∵△ABC∽△ABC
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是几何学中一个重要的概念，它们具有一些独特的性质和特点。
在本篇文章中，我们将深入探讨相似三角形的性质，并介绍一些相关的定理和应用。
一、比例性质相似三角形的首要性质是比例性质。
两个三角形相似的条件之一是它们各个对应顶点的角度相等，另一个重要条件是它们对应的边长成比例。
具体而言，如果两个三角形的对应边长之比相等，那么它们就是相似三角形。
这一性质可以用以下比例关系表达：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$其中，AB、BC、AC分别是一个三角形的三边的长度，DE、EF、DF分别是另一个相似三角形的对应边的长度。
二、边长比例的重要性质边长比例是相似三角形中一个非常重要的性质，它具有一些独特的特点：1. 任意两边之比相等在相似三角形中，任意两边的长度比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{AC}{DF}$$2. 任意一边与其他边的长度比相等对于相似三角形中的一条边，它与其他两条边之比都是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\frac{AB}{BC} = \frac{DE}{EF} = \frac{DF}{AC}$$3. 相似三角形的边长比例唯一如果两个三角形的边长比例相等，那么它们一定是相似的。
这是因为边长比例包含了相似三角形的全部信息，只有这些比例相等，两个三角形的形状才会完全一致。
三、角度对应的性质除了边长比例之外，相似三角形还有一些角度对应的性质：1. 对应角相等在相似三角形中，对应的角是相等的。
例如，在三角形ABC和三角形DEF中，我们有以下关系：$$\angle A = \angle D, \angle B = \angle E, \angle C = \angle F$$2. 对角相等的必要条件如果两个三角形的对应角相等，那么它们一定是相似的。
27.2.2相似三角形的性质 课件
k.
相似三角形周长比等于相似比
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它 们的面积比与D′．
SABC
1 BC AD 2
BC AD
SABC 1 BC AD BC AD
（3）如图，DE∥BC，AG⊥BC 于G，DE＝2，BC＝6，AF＝1， 则AG＝___3__．
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，它 们的周长比是多少？
解∵△ABC∽△A′B′C′ 且相似比为k，
AB kAB, BC kBC, AC kAC.
AB BC AC AB BC AC
∴∠B＝∠B′,
AB BC AB BC
BD 1 BC, BD 1 BC,
BD BD
2 1 BC
2 1 BC
2
BC BC
AB AB
2
∴△ABD∽△A′B′D′
AD AB k AD AB
对应中线的比等于相似比
如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为k，分 别作△ABC和△A′B′C′对应角平分线AD和 A′D′．AD和A′D′的比是多少？
单元目标
本章学习目标 1.通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比的含义。 2.掌握基本事实:两条直线被组平行线所截，所得的对应线段成比例。 3.了解相似三角形的判定定理:两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的 两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似. 4.了解相似三角形判定定理的证明. 5.了解相似三角形的性质定理:相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的 方. 6.了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。 7.在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标 (有一个顶点为原点、 有一条边在 坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的. 8.会利用图形的相似解决一些简 单的实际问题.
相似三角形的性质
相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。
在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。
本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。
一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。
对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。
2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。
即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。
4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。
例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。
二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。
具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。
3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。
具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。
三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。
通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。
2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。
通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。
相似三角形的基本定义与性质
相似三角形的基本定义与性质相似三角形是中学数学中一个非常重要的概念。
在几何学中，相似三角形是指具有相同形状但不一定相等的三角形。
本文将介绍相似三角形的基本定义与性质，以帮助读者更好地理解和运用相似三角形的知识。
1. 基本定义：相似三角形的定义是：两个三角形的对应角度相等，对应边线之比相等。
换句话说，如果两个三角形的三个角度分别相等，且三边之比相等，那么它们就是相似三角形。
例如，若三角形ABC和三角形DEF的对应角度分别是∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，且边线之比为AB/DE=BC/EF=AC/DF，那么三角形ABC与三角形DEF就是相似三角形。
2. 性质一：相似三角形的对应边线比例相等如果两个三角形相似，那么它们的对应边线之比相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这一性质在实际应用中非常有用。
例如，当我们在地图上测量两个城市之间的距离时，可以利用相似三角形的边线比例来计算实际距离。
3. 性质二：相似三角形的对应角度相等如果两个三角形相似，那么它们的对应角度相等。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
这一性质使我们能够根据已知的相似三角形，推导出其他角度的大小关系。
例如，如果我们已知两个三角形相似，且其中一个角度的大小，就可以通过对应角度相等的性质，计算出其他角度的值。
4. 性质三：相似三角形的边线比例等于对应边线的平方如果两个三角形相似，那么它们的边线比例等于对应边线的平方。
也就是说，如果三角形ABC与三角形DEF相似，则有AB/DE=BC/EF=AC/DF=(AB/DE)^2=(BC/EF)^2=(AC/DF)^2。
这一性质可以应用于解决各种问题。
例如，当我们已知三角形的某一边线比例，可以利用相似三角形的边线比例等于对应边线的平方的性质，计算其他边线的比例。
综上所述，相似三角形的基本定义与性质已经介绍完毕。
相似三角形的性质与定理
相似三角形的性质与定理相似三角形是指具有相同形状但可能不同大小的三角形。
掌握相似三角形的性质与定理对于解决几何问题具有重要意义。
本文将介绍相似三角形的基本性质、判定方法以及一些重要的相似三角形定理。
一、相似三角形的基本性质1. 成比例边性质：若两个三角形相似，则它们的对应边成比例。
2. 对应角性质：若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
3. 对应边比例相等性质：若两个三角形对应角相等，则它们的对应边成比例。
二、相似三角形的判定方法1. AA相似法则：若两个三角形的对应角相等，则它们相似。
证明：设∠A≌∠D，∠B≌∠E，通过辅助线段可以证明∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。
2. SSS相似法则：若两个三角形的对应边成比例，则它们相似。
证明：设AB/DE = BC/EF = AC/DF，通过辅助直线可以证明∠A≌∠D，∠B≌∠E，∠C≌∠F，进而得出三角形ABC与三角形DEF相似。
三、相似三角形的重要定理1. 直角三角形的两个直角边与斜边上对应的角相等，即斜边夹角定理。
定理表述：若两个直角三角形的两个直角边成比例，则它们相似。
证明：设ABC和DEF为直角三角形，且∠B和∠E为直角。
由于两个直角边成比例，即AB/DE = BC/EF，而直角三角形中∠A = ∠D = 90°，所以由SSS相似法则可得ABC与DEF相似。
2. 一般三角形的角平分线定理：角平分线将对边分成两段，这两段的比等于除这个角所对的边的两边上相等部分的比。
定理表述：若角ABC的内角∠BAC和∠ABC的平分线交于点D，则AD/CD = AB/CB。
证明：通过角平分线定理的几何证明，可以得出定理成立。
3. 相似三角形的高线定理：相似三角形的高线与底边成比例。
定理表述：若两个相似三角形ABC和DEF，且∠A = ∠D，则高AD与高DE的比等于底边BC和EF的比，即AD/DE = BC/EF。
证明：通过辅助线段可以证明∠C ≌∠F，并通过高线的定义和相似三角形的性质得出AD/DE = BC/EF。
相似三角形及其性质
相似三角形及其性质相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。
在这篇文章中，我们将讨论相似三角形的性质以及与它们相关的一些重要定理和公式。
一、相似三角形的定义相似三角形是指两个三角形的对应角相等，且对应边成比例。
用数学语言描述就是：如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC和DEF是相似的。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的边比例关系：假设三角形ABC和DEF相似，边长比例的关系可以表示为AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这意味着相似三角形的任意两条边之比都相等。
2. 相似三角形的角度关系：相似三角形的对应角相等，即∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。
这是相似三角形的重要性质之一。
3. 相似三角形的周长比例关系：相似三角形的周长比例等于它们任意两条边比值的比例。
假设三角形ABC和DEF相似，则AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
4. 相似三角形的面积比例关系：相似三角形的面积比例等于它们任意两条边长度平方的比例。
假设三角形ABC和DEF相似，则三角形ABC的面积与三角形DEF的面积的比值等于AB²/DE² = AC²/DF² = BC²/EF²。
三、相似三角形的重要定理1. AA相似定理（角-角相似定理）：如果两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
例如，如果∠A = ∠D，∠B = ∠E，则三角形ABC与DEF相似。
2. SSS相似定理（边-边-边相似定理）：如果两个三角形的对应边成比例，且对应边的比例相等，则这两个三角形相似。
例如，如果AB/DE = AC/DF = BC/EF，则三角形ABC与DEF相似。
3. SAS相似定理（边-角-边相似定理）：如果两个三角形的一个内角相等，且两边分别成比例，则这两个三角形相似。
相似三角形的性质与判定
相似三角形的性质与判定相似三角形是指具有相等对应角度的三角形，它们的对应边长之比也相等。
相似三角形不仅在几何学中具有重要意义，而且在实际生活中应用广泛。
本文将介绍相似三角形的性质及其判定方法。
一、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对于两个三角形ABC和DEF，若∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，则可以判断这两个三角形相似。
2. 相似三角形的对应边长比相等：对于两个相似三角形ABC与DEF，若AB/DE = AC/DF = BC/EF，则可以判断这两个三角形相似。
二、判定相似三角形的方法1. AA判定法（角-角判定法）：如果两个三角形的两个角分别对应相等（即两个角的对应边平行），则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，∠C = ∠F，并且∠B与∠E不相等，但∠B与∠E之间没有已知的关系。
根据AA判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
2. SAS判定法（边-角-边判定法）：如果两个三角形的一个角和两边分别相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知∠A = ∠D，并且AB/DE = AC/DF。
根据SAS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
3. SSS判定法（边-边-边判定法）：如果两个三角形的三条边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个三角形ABC与DEF，已知AB/DE = BC/EF =AC/DF。
根据SSS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
4. RHS判定法（直角边-斜边-直角边判定法）：如果两个直角三角形的一个直角边和斜边的比例相等，则可以判断这两个三角形相似。
例如，已知两个直角三角形ABC与DEF，已知∠C = ∠F = 90°，并且AB/DE = AC/DF。
根据RHS判定法，可以得出结论这两个三角形相似。
三、实际应用相似三角形的性质及判定方法在实际生活中有广泛的应用。
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林海东
证明：∵△ABC∽△A'B'C',相似比是 k,
∴ ∠B=∠B'，
AB k A B
又∵AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的高 A 'D'B' =90º ∴∠ADB=∠A _______ ∴△ABD∽ ________. △A' D' B' B D
C
∴
AD A 'D '
AB ______=k A B
2 k k =______·______=k
k ( AB BC AC) =_________________=k AB BC AC
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1、一个三角形各边同时扩大为原来的5倍, 这个三角形的周长也扩大为原来的____ 5 倍. 2、如图△ABC∽△A'B'C'，AD、BE是△ABC AD BE 的高,A'D'、B'E'是△A'B'C'的高,求证：
林海东
证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比是k AB ∴ ∠B=∠B'， A ' B ' k
又∵AD、A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线 A 1 1 ∴ BD 2 BC ,B'D'= 2 B C ∴
AB A' B '
=
BD BD
=k
B A'
D
C
∴△ABD∽△A'B'D' AD AB ∴ A 'D' = =k
A A'
B
D
C
B'
D'
C'
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林海东
证明：∵△ABC∽△A′B′C′,相似比是k
BC AD k BC AD ______________________ SABC S ABC 1 BC AD AD BC 2 A D 1 C _________________ B BC AD 2
“引导学生读懂数学书”
课题研究成果配套课件
学习数学要多做习题，边做边思索。 先知其然，然后知其所以然。 ——苏步青
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第12课时 相似三角形的性质
冷坑镇中心初级中学 林海东
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一、学习目标 1 理解相似三角形对应线段的比 都等于相似比；
A E B D A' E'
C
∴
AD AB A D A B
∴
AD BE A D BE
B'
D'
C'
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知识点二
相似三角形面积的比
证明：相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比是k，AD、 A′D′ 分别是△ABC与△A′B′C′的高. 求证： S A B C k2 S A B C
k·B'C' k·A'C' ∴AB=k·A'B',BC=________,AC=________
∴
k AB k BC k AC AB BC AC ______________ AB BC AC A B B C A C
A
∴ ∴BAD BA D ∴△ABD∽ △A'B'D' AB AD ∴ A D = A B =k
1 1 BAD BAC ， BA D BA C B 2 2
D A'
C
B'
D'
C'
归纳 相似三角形对应线段的比等于相似比 _______.
广东省怀集县冷坑镇中心初级中学 林海东
B'
A'
D'
C'
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2、类似地，证明：相似三角形对应中线 的比与对应角平分线的比都等于相似比. 已知,如图△ABC∽△A'B'C',相似比是k,AD、 A'D'分别是△ABC与△A'B'C'的中线. 求证： A D K
A 'D '
A A'
B
D
C
B'
D'
C'
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AB
B'
D'
C'
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已知,如图△ABC∽△A'B'C'，相似比是 k,AD、A'D'分别是∠BAC与∠B'A'C'的角平 分线线. 求证： AD K
A 'D'
A A'
B
D
C
B'
D'
Hale Waihona Puke C'广东省怀集县冷坑镇中心初级中学
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证明:∵△ABC∽△A'B'C',相似比是k AB ∴ ∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C', A B =k 又∵AD、A'D'分别是∠BAC与∠B'A'C'的角平 分线.
A A' E
A D
BE
E'
B
D
C
B'
D'
C'
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证明:∵△ABC∽△A'B'C' AB BC ∴ ∠C=∠C'， A B BC 又∵BE、B'E'分别是△ABC与△A'B'C'的高 ∴∠ADC=∠A'D'C'=90° ∴△BCE∽△B'C'E' BE BC ∴ B E B C 同理可证,△ABD∽△A'B'D'
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知识点一 相似三角形对应线段的比 1、证明：相似三角形对应高的比等于 相似比.
已知,如图,△ABC∽△A'B'C'，相似比是k， AD、A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高.求证：
AD K A D
A A'
B
D
C
B'
D'
C'
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3、证明：相似三角形周长的比等于相似比. 如图，△ABC∽△A′B′C′,相似比是k. 求证: AB BC AC k
A B B C A C
A A'
B
C
B'
C'
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证明:∵△ABC∽△A′B′C′,相似比是k
∴
AB BC AC k AB BC AC
2 理解相似三角形周长的比等于 相似比，面积的比等于相似比 的平方.
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二、新课引入
什么叫做相似比？ _______________________________ 相似多边形对应边的比叫做相似比。
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三、研学教材
认真阅读课本第37至39页的内容，完 成下面练习并体验知识点的形成过程。