有序对与笛卡尔积
二元关系
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
粗糙集理论优质获奖课件
若rij＝1, 且 i≠j, 则rji＝0
对M2中1所 在位置,M 中相应位置 都是1
假如两 假如顶
点之
点xi
间有边, 到xj有边,
一定
xj
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4、等价关系
等价关系旳定义：设R是非空集合A上旳关系，假如满足 ⑴ R是自反旳; ⑵ R是对称旳; ⑶ R是传递旳; 则称R是A上旳等价关系。
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内容提要
一、概述 二、知识分类 三、知识旳约简 四、决策表旳约简 五、粗糙集旳扩展模型 六、粗糙集旳试验系统 七、粒度计算简介
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一、 概述
现实生活中有许多模糊现象并不能简朴地 用真、假值来表达﹐怎样表达和处理这些现 象就成为一种研究领域。早在1923年谓词逻 辑旳创始人G.Frege就提出了模糊(Vague)一 词，他把它归结到边界线上，也就是说在全 域上存在某些个体既不能在其某个子集上分 类，也不能在该子集旳补集上分类。
自反性 反自反性 对称性 反对称性 传递性
12
关系性质旳三种等价条件
体 现 式
关系 矩阵
关系图
自反性 IAR
主对角 线元素 全是1
每个顶 点都有 环
反自反性 R∩IA=
主对角线 元素全是 0
每个顶点 都没有环
对称性 R=R1
反对称性 R∩R1 IA
传递性 RRR
矩阵是对称 矩阵
假如 两个 顶
定义 假如一种集合满足下列条件之一： （1）集合非空, 且它旳元素都是有序对 （2）集合是空集 则称该集合为一种二元关系, 简称为关系，记作R. 如<x,y>∈R, 可记作 xRy；假如<x,y>R, 则记作xRy
实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面旳记法，能够写1R2, aRb, aSb等.
二元关系和函数
关系矩阵适于表示从 A 到 B 的关系或者 A 上的关系
关系图适于表示 A 上的关系
例：设A＝{1, 2, 3, 4}, A上的关系
R＝{<1,1>, <1,2>, <2,3>, <2,4>, <4,2>}
求：R的关系矩阵MR和关系图GR
解：关系矩阵MR
关系图GR
1 1 0 0
(4) R = EA－IA = {<1,2>, <1,3>, <1,4>,<2,1>, <2,3>, <2,4>, <3, 1>,<3, 2>,<3, 4>,<4, 1>,<4, 2>,<4, 3> }
关系的表示
表示方式：关系的集合表达式、关系矩
阵、关系图
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm},
∴ A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)
例题
例： (1) 证明 A=B ∧C=D AC=BD
(2) AC=BD是否推出 A=B ∧ C=D ? 为什么？
解： (1) 任取<x, y>
<x, y>AC xA ∧ yC xB ∧ yD <x, y>BD
(2) 不一定。反例如下： A={1}, B={2}, C=D=, 则
三、二元关系的定义
所谓二元关系就是在集合中两个元素之间 的某种相关性。
例：甲、乙、丙三个人进行乒乓球比赛, 如果
任何两个人之间都要赛一场, 那么共要赛三场。 假设三场比赛的结果是乙胜甲、甲胜丙、乙 胜丙, 这个结果可以记作
第七章 二元关系
二、笛卡儿积 定义： 为集合， 中元素为第一元素， 1．定义： 设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第 二元素构成有序对．所有这样的有序对组成的集合叫做A 二元素构成有序对．所有这样的有序对组成的集合叫做A和B 的笛卡儿积，记作AⅹB． 的笛卡儿积，记作A 笛卡儿积的符号化表示为 <x， AⅹB＝ { <x，y> | x ∈A ∧ y∈B } 笛卡儿积是以序偶为元素的集合（平面上的点的坐标） 序偶为元素的集合 注：笛卡儿积是以序偶为元素的集合（平面上的点的坐标） 第一成员取自于集合A 第二成员取自于B （所有 第一成员取自于集合A，第二成员取自于B） 有限集合的笛卡儿积的元素： 2．有限集合的笛卡儿积的元素： 如果 |A| ＝m ,|B| ＝n，则| A ⅹ B| ＝ m n 3.笛卡儿积的性质 3.笛卡儿积的性质 对任意集合A 1） 对任意集合A，根据定义有 A ⅹ ø ＝ ø ，ø ⅹ A＝ø 一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律（有序的要求） 2）一般地说，笛卡儿积运算不满足交换律（有序的要求）
§7.3 关系的运算
0、关系作为集合来说，具有一般集合的运算：并、交相对补、补及对称差 关系作为集合来说，具有一般集合的运算： 相对补、 1、关系的逆运算 定义： <x， <y， 1）定义：R-1 ＝ ｛<x，y> | ∃<y，x>∈R ｝ 的逆关系R 完全由R 唯一确定， 注：1、R的逆关系R-1完全由R 唯一确定， 中有元素<x <x， 中就有<y x>， <y， 即R中有元素<x，y> ，则R-1 中就有<y，x>， 的元素是由R中的元素交换有序对所构成。 R-1的元素是由R中的元素交换有序对所构成。 2）性质 任何关系R （1）任何关系R均存在其逆关系 的关系矩阵是R （2）R-1的关系矩阵是R的关系矩阵的转置矩阵 的关系图是R （3）R-1的关系图是R的关系图中将所有有向弧改变方向得到 （4）(F-1 ) -1＝ F 1 1 ranF， （5） domF—1 ＝ ranF， ranF—1 ＝ domF
关系r与s的结构相同,笛卡尔积运算
关系r与s的结构相同,笛卡尔积运算一、概述在数学中,关系是一种有序对的集合,而笛卡尔积是关系代数中的一个重要运算。
如果两个关系r和s的结构相同,那么它们的笛卡尔积运算将会有一些特殊的性质。
本文将探讨关系r与s的结构相同时,它们的笛卡尔积运算的特点和性质。
二、关系的定义关系是集合论的一个重要概念,它描述了不同元素之间的某种通联或者对应关系。
设A和B是两个集合,关系r从A到B是A与B的笛卡尔积A×B的子集。
若元素(a,b)∈r,则称a与b有关系r。
三、笛卡尔积的定义设A和B是两个集合,则A和B的笛卡尔积(A×B)是一个集合,它包含所有形如(a,b)的有序对,其中a∈A,b∈B。
换句话说,笛卡尔积是将A中的每个元素与B中的每个元素组成的一组有序对的集合。
四、结构相同的关系当两个关系r和s的结构相同时,意味着它们所涉及的集合A和B是相同的,并且它们的元素之间的通联或者对应也是相同的。
换言之,如果r 和s的元素具有相同的排列顺序和对应关系,那么它们的结构就是相同的。
五、结构相同关系的笛卡尔积设关系r和s的结构相同,它们的笛卡尔积可以表示为：r×s={(a,c)|(a,b)∈r,(c,d)∈s,且b=c}。
换句话说,关系r与s的笛卡尔积是由r和s中的元素按照一定的规则组合而成的新的关系,这个规则要求r和s中的元素必须具有相同的对应关系。
六、结构相同关系笛卡尔积的特点1.封闭性：结构相同的关系r和s的笛卡尔积仍然是一个关系。
2.对称性：如果r和s的结构相同,那么它们的笛卡尔积的对称性也是相同的。
3.传递性：结构相同的关系r和s的笛卡尔积具有传递性,即如果(a,b)∈r,(b,c)∈s,那么(a,c)∈r×s。
七、结论通过以上的讨论,我们可以得出结论：当两个关系r和s的结构相同时,它们的笛卡尔积运算具有一些特殊的性质,包括封闭性、对称性和传递性。
这些特点使得结构相同的关系的笛卡尔积在关系代数中具有重要的地位和应用。
4.1 笛卡尔积与二元关系4.2 关系的运算
.
17
包含关系: R={<x,y>| x,y∈A∧={,{a},{b},{a,b}}, 则 A上的包含关系是
R={<,>,<,{a}>,<,{b}>,<,{a,b}>,<{a},{a}>,
<{a},{a,b}>,<{b},{b}>,<{b},{a,b}>,<{a,b},{a,b}>} 除此以外,还可以构成其他关系:
1
26
A上的关系数目为 ,这个数目往往是很大的, 而我们通常关注的是其中少量的有特殊含义的关 系. 如EA,IA,整除,小于等于,包含等 3 关系的表示方法. 1)集合表达式 2)关系矩阵 3)关系图 2 接下来的课程,我们将学习关系的运算,关系的性质等.
27
作业（清华版）
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7.3 关系的运算
关系矩阵表示从A到B的关系
关系矩阵：若A={x1, x2, …, xm}，B={y1, y2, …, yn}，R 是从A到B的关系，R的关系矩阵是布尔矩阵MR = [ rij ] mn, 其中 rij = 1 < xi, yj> R. 注意：A, B为有穷集，关系矩阵适于表示从A到B的 关系或者A上的关系
3)R的域fidR: R的定义域和值域的并集
fldR=domR∪ranR
例1 R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
domR={1, 2, 4}
ranR={2, 3, 4}
fldR={1, 2, 3, 4}
30
关系的基本运算定义（续）
1)关系的逆 R的记作 R1 = {<y,x> | <x,y>R} R 求关系的逆就是把其中的有序对颠倒过来 .
第七章二元关系ppt课件
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例：A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>},
R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
MR
0 0
0 0
1 0
1 0
0 1 0 0
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§7.3 关系的运算
举法表示R。 解：R={<2,1><3,1><4,2>}
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2. 关系矩阵
设A={a1, a2, …, an}，B={b1, b2, …, bm}，R是 从A到B的一个二元关系，称矩阵MR = [ rij ] nm 为关系R的关系矩阵，其中：
1， < ai, bj> R
rij =
(i=1,2,…,n,j=1,2,…,m)
26
注意： 1. 不是任意两个关系都求复合的， FA×B , GB×C , F∘G 才有意义；
2. 若F A×B , G B×A , F∘G、G∘F
都有意义；若F、G是A上的关系，则
F∘G、G∘F都有意义； 3. 即使F∘G、G∘F都有意义，也不能保
证F∘G=G∘F ；
27
例： A={0,1,2,3} , A上的关系F，G定义如下，
R↾{1}={<1,2>,<1,4>}
R[{1}]={2,4}
R↾=
注意：R ↾ AR, R[A] ranR
R[{1,2}]={2,3,4}
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运算顺序
本节所定义的关系运算中逆运算优先于 其他运算，而所有的关系运算都优先于集合 运算，对于没有规定优先权的运算以括号决 定运算顺序。
大学数学集合知识点总结
大学数学集合知识点总结引言：集合论是数学的一个重要分支，它研究的是“集合”这个抽象的概念。
集合是具有给定特征的事物的总体，我们可以用集合来描述和表达各种数学问题。
在现代数学中，集合论已经成为数学的基础，几乎所有的数学领域都会涉及到集合论的概念。
因此，深入理解和掌握集合论的知识，对于学习数学是非常重要的。
本文将从集合的基本概念、集合运算、集合的关系、集合的代数结构和应用五个部分对集合论的知识点进行总结。
一、集合的基本概念（一）集合的定义在数学中，集合是由一些确定的、互不相同的对象组成的整体。
这些对象称为集合的元素，如果一个对象是某个集合的元素，就说这个对象属于这个集合。
如果不是，就说这个对象不属于这个集合。
集合的概念是数学上一个非常基础和抽象的概念，它没有具体的形状和大小，可以是有限的，也可以是无限的。
例如，{1, 2, 3, 4, 5}是一个有限集合，而全体自然数的集合N={1, 2, 3, 4, …}是一个无限集合。
（二）集合的表示方法1. 列举法：用花括号{}将所有元素列举出来，用逗号分隔。
例如，一个由元素a、b、c组成的集合可以表示为{a, b, c}。
2. 描述法：用一个条件来描述一个集合的元素的性质。
例如，全体正整数的集合可以表示为{ x | x是正整数 }。
这里“|”表示“使得”，意思是“满足某个条件”，“x | x是正整数”就表示“x是正整数”，这样集合的元素可以用条件分隔开。
（三）集合的基本符号在集合论中，我们一般用大写字母表示集合，用小写字母表示集合的元素。
例如，A={a, b, c}表示集合A由元素a、b、c组成。
另外，集合论中常用的符号有：1. 属于：如果一个元素属于某个集合，我们用符号“∈”表示。
例如，a∈A表示元素a属于集合A。
2. 不属于：如果一个元素不属于某个集合，我们用符号“∉”表示。
例如，d∉A表示元素d不属于集合A。
3. 全集：包含研究对象的集合，通常用符号“U”表示。
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3.2.3 有序对与笛卡儿积
定义3.14
由两个元素x和y按一定的顺序排列成的二元组叫做一个有序对，也称序偶，记作<x, y>，其中x是它的第一元素，y是它的第二元素。
例如，平面直角坐标系中点的坐标就是有序对，<1, 3>, <3, 1>, <2, 0>等代表平面中不
同的点。
由定义可知，有序对具有如下性质：
（1）当x ≠ y时,<x, y> ≠ <y, x>，即与顺序有关。
（2）给定两个有序对<x, y>和<u, v>，<x, y> = <u, v>的充分必要条件是x=u且y=v。
（3）有序对<x, y>与集合{x, y}不同，后者中的元素是无次序的。
如当x ≠ y时，{x, y} = {y, x}。
3.2.3 有序对与笛卡儿积
定义3.16
设A，B为集合，用A中元素为第一元素，B中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做A和B的笛卡儿积，记作A ⨯ B。
笛卡儿积的符号化表示为：
A ⨯
B = {<x, y>|x ∈ A∧y ∈ B}
3.2.3 有序对与笛卡儿积
（1）对任意集合A，有∅⨯ A = A ⨯∅ = ∅
（2）当A ≠ B∧A ≠∅ ∧B ≠∅时，有A ⨯ B ≠ B ⨯ A，即笛卡儿积运算不适合交换律。
（3）当A, B, C都不是空集时，有(A ⨯ B) ⨯ C ≠ A ⨯(B ⨯ C)，即笛卡儿积运算不满足结合律。
（4）笛卡儿积运算对和运算满足分配律。
即对任意的集合A, B, C有，
A ⨯(B∪C) = (A ⨯ B)∪(A ⨯ C)
(B∪C) ⨯ A = (B ⨯ A)∪(C ⨯ A)
A ⨯(B∩C) = (A ⨯ B)∩(A ⨯ C)
(B∩C) ⨯ A = (B ⨯ A)∩(C ⨯ A)
作为集合的一种二元运算，笛卡儿积运算具有如下性质：
3.2.3 有序对与笛卡儿积
定理
3.9
设A, B, C为集合，C ≠∅ ，则
（1）A ⊆ B的充分必要条件是A ⨯ C ⊆ B ⨯ C。
（2）A ⊆ B的充分必要条件是C ⨯ A ⊆ C ⨯ B。
必要条件：对于任意的<x,y>，
<x,y> ∈ A ⨯ C ⇔ x ∈ A∧y ∈ C ⇒ x ∈ B∧y ∈ C ⇔ <x,y> ∈ B x C
所以A x C ⊆ B x C。
充分条件：因为C ≠∅ ，所以存在y ∈ C，对于任意的x，
x ∈ A ⇒ x ∈ A∧y ∈ C ⇔ <x,y> ∈ A ⨯ C ⇒ <x,y> ∈ B ⨯ C
⇔ x ∈ B∧y ∈ C ⇒ x ∈ B
所以A ⊆ B。
证：仅证明（1），可类似地证明（2）。
3.2.3 有序对与笛卡儿积
定理3.10
设A, B, C, D为非空集合，则A ⨯ B ⊆ C ⨯ D的充分必要条件是A ⊆ C且B ⊆ D。
证：必要条件：对于任意的x，y，
x ∈ A∧y ∈ B ⇒ <x,y> ∈ A ⨯ B ⇒ <x,y> ∈ C ⨯ D ⇔ x ∈ C∧y ∈ D
所以A ⊆ C且B ⊆ D。
充分条件：对于任意的<x, y>，
<x, y> ∈ A ⨯ B ⇔ x ∈ A∧y ∈ B ⇒ x ∈ C∧y ∈ D ⇔ <x, y> ∈ C ⨯ D
所以A ⨯ B ⊆ C ⨯ D。
小结
集合运算分类：并、交、差（相对补）、补（绝对补）和对称差运算的性质：常用的集合恒等式或集合的运算定律
证明集合恒等式的方法
恒等演算法：集合恒等式
谓词演算法：逻辑等价式
不满足交换律
对⋃和⋂运算满足分配律
不满足结合律
若|A|=m，|B|=n，则|A⨯B|=|B⨯A|=m⨯n
笛卡儿积运
算的性质。