第3章 关系代数
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
数据库——关系运算
3.1 集合运算 刘鹤年编写
（属于R而且也属于S）
第3章 关系代数
喜欢跳舞的学生关系R
Sname
Sex
李敬
女
高全英
女
吴秋娟
女
穆金华
男
张欣欣
女
王婷
女
喜欢唱歌的学生关系S 刘鹤年编写
Sname
Sex
赵成刚
男
张峰
男
吴秋娟
女
穆金华
男
孙政先
男
王婷
女
吕文昆
男
孙炜
女
既喜欢跳舞也喜欢唱歌的学生R∩S
Sname
Sex
有相同的域。
则关系R和S的交，将产生一个包含所有既属于R
也属于S的元组的新关系。记作：R∩S。
由于R∩S =R–(R-S),或者R∩S =S–(S-R),
所以R∩S 运算是一个复合运算。
第3章 关系代数
3.1.3 交运算（续）
交操作的示意图，如图3-3所示。
刘鹤年编写
第3章 关系代数
3.1.3 交运算(续)
李敬
16020010 C语言程序设计
李敬
16020011 图像处理
李敬
16020012 网页设计
第3章 关系代数
3.2 特殊的关系运算
3.2 特殊的关系运算 刘鹤年编写
关系数据库是用数学方法处理数据的，关系 间可以进行各种运算，以支持对数据库的各种操 作。我们介绍其中最基本的三种运算：
选择（Selection）
从一组集合的笛卡尔积中，抽取能反映现实世界的， 具有实际意义的子集。该子集即为一个关系。
D1×D2×…×Dn的子集叫做在域D1×D2×…×Dn 上的关系，表示为:
第三章 关系运算
3、自然联接(natural join)---特殊的等值连接
将关系R和S中公共属性组满足对应分量相等的元组 联接起来， 并且要在结果中将重复的属性去掉。
R ⋈ S≡πi1,...im(σR.A1=S.A1∧... ∧R.AK=S.AK(R×S))
举例：
第17页，本讲稿共63页
4、 除(division)
A a
B b
abc bcd
a
b
bbf bce c a
cad adb
b
b
关系R
e f g null e
关系S
ABC D
AB
abc d
ab
abc e
ab
cad b
ca
b
b
f null
null e
CD cd ce db f null fg
CD cd ce db fg
第28页，本讲稿共63页
2. 外部并（outer union）
第26页，本讲稿共63页
i、如果R和S做自然联接时，把R中原该舍弃的元组放 到新关系中，那么这种操作称为“左外联接”操作， 用符号: R S表示。
ii、如果R和S做自然联接时，把S中原该舍弃的元组 放到新关系中，那么这种操作称为“右外联接”操作， 用符号: R S表示。
第27页，本讲稿共63页
ABC BCD
举例：
第10页，本讲稿共63页
2. 差(differedce)：设关系R和关系S具有相同的元数，
且相应的属性列具有相同的特征：
R―S≡{t︱t∈R∧tS}
其中：t是元组变量，R和S的元数相同。
举例：
第11页，本讲稿共63页
3. 笛卡儿积（cartesian product）
第3章 关系模型与关系规范化理论 第2节 关系代数
Sname
李勇 刘晨 王敏 张立 吴宾 张海
Ssex
男 男 女 男 女 男
Sage
19 20 20 22 21 20
Sdept
计算机系 计算机系 计算机系
信息系 信息系 信息系
（2）投影（Projection）
∏A（R）＝ { r.A | r∈R }
投影运算示意图
R
其中： • ∏是投影运算符， • R是关系名， • A是被投影的属性或属性组。 • r.A表示r这个元组中相应于属性（集） A的分量，也可以表示为r[A]。
象集示例1
Sno
9512101 9512102 9512103 9521101 9521102 9521103
Sname
李勇 刘晨 王敏 张立 吴宾 张海
Ssex
男 男 女 男 女 男
Sage
19 20 20 22 21 20
Sdept
计算机系 计算机系 计算机系 信息系 信息系 信息系
有元组：（9521101，张立，男，20，信息系）
笛卡儿乘积示例
设：D1＝{计算机软件专业，信息科学专业}
D2＝{张珊，李海，王宏}
D3＝{男，女}
则D1×D2×D3笛卡尔积为：
D1×D2×D3＝{
（计算机软件专业，张珊，男），（计算机软件专业，张珊，女），
（计算机软件专业，李海，男），（计算机软件专业，李海，女），
（计算机软件专业，王宏，男），（计算机软件专业，王宏，女），
• 其结果仍是n目关系，由属于R并且也属于S的元组组成。
顾客号 姓名
S01
张宏
S02
李丽
S03
王敏
性别
男 女 女
北理工《实用数据库》期末考试精选题汇总【含答案解析】81
《实用数据库》课程复习提纲第1章数据库系统概述本章要点掌握数据库最常用的术语和基本概念明确常用数据模型组成要素明确最常用的数据模型的区别及优缺点掌握数据库系统的三级模式结构了解数据库系统的组成具体内容1.在数据库方式下，信息处理中占据中心位置的是数据。
2.数据库在磁盘上的基本组织形式是文件。
3.DBS是指数据库系统。
4.数据库系统中，最早出现的数据模型是层次模型。
5.数据库技术的主要目的是有效地管理和存取大量的数据资源。
6.与“文件”结构相比，“数据库”结构有些什么不同？•数据的结构化。
文件由记录组成，但各文件之间缺乏联系。
数据库中数据在磁盘中仍以文件形式组织，但这些文件之间有着广泛的联系。
数据库的逻辑结构用数据模型来描述，整体结构化。
数据模型不仅描述数据本身的特点，还要描述数据之间的联系。
•数据独立性。
文件只有设备独立性，而数据库还具有逻辑独立性和物理独立性。
•访问数据的单位。
访问文件中的数据，以记录为单位。
访问数据库中的数据，以数据项（字段）为单位，增加了系统的灵活性。
第2章数据库设计本章要点•了解数据库设计的任务与步骤•了解需求分析阶段的任务•掌握实体-联系模型•掌握E-R图的概念及设计方法•掌握关系模型的概念•了解数据库的实施、使用与维护具体内容1.实体集的联系类型有如下3种类型：（1）一对一联系设有实体集A与实体集B，如果A中的一个实体，至多与B中的一个实体关联，反过来，B中的一个实体，至多与A中的一个实体关联，称A与B是“一对一”联系类型，记作(1:1)。
（2）一对多联系设有实体集A与实体集B，如果A中的一个实体，与B中可以有多个实体关联，反过来，B中的一个实体，至多与A中的一个实体关联，称A与B是“一对多”联系类型，记作(1∶n)。
（3）多对多联系设有实体集A与实体集B，如果A中的一个实体，与B中可以有多个实体关联，反过来，B中的一个实体，与A中可以有多个实体关联，称A与B是多对多联系类型，记作(m∶n)。
第三章 关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）（c）（d） (e)2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S 的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S 有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
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第3章关系代数
3.2.1 投影运算
3.2 特殊的关系运算
投影是选择关系R中的若干属性组成新的关系,并去掉 投影是选择关系 中的若干属性组成新的关系, 中的若干属性组成新的关系 了重复元组,是对关系的属性进行筛选.记作 了重复元组,是对关系的属性进行筛选. 投影运算的示意图如图下: 投影运算的示意图如图下:
第3章关系代数
3.2.4 除法运算
3.2 特殊的关系运算
设有关系R , 和 设有关系 (X,Y)和S (Y),其中 ,Y可以是单个属 ,其中X, 可以是单个属 性或属性集, ÷ 的结果组成的新关系为 的结果组成的新关系为T. 性或属性集,R÷S的结果组成的新关系为 . R÷S运算规则:如果在 (R)中能找到某一行 , ÷ 运算规则 如果在∏( )中能找到某一行u, 运算规则: 使得这一行和S的笛卡尔积含在 中 中有u. 使得这一行和 的笛卡尔积含在R中,则T中有 . 的笛卡尔积含在 中有 除法运算示意图如下: 除法运算示意图如下1.4 笛卡尔积运算
两个已知关系R 两个已知关系R和S的笛卡尔积,是 的笛卡尔积, R中每个元组与S中每个元组连接组成的 中每个元组与S 新关系.记作: 新关系.记作:R×S.
第3章关系代数
3.1.5 应用实例
3.1 集合运算
阳光超级市场信息管理系统"为例, 例3.5:以"阳光超级市场信息管理系统"为例,已 : 知商品SA(如表 知商品 (如表3-13)是2003年"阳光超级市场"经营 ) 年 阳光超级市场" 的商品,商品 (如表3-14)是2004年1月取消经营的商 的商品,商品SB(如表 ) 年 月取消经营的商 月新增经营商品, 品,商品SC(如表 商品 (如表3-15)是2004年9月新增经营商品,商 ) 年 月新增经营商品 品SD(如表 (如表3-16)是2004年12月"阳光超级市场"经营 ) 年 月 阳光超级市场" 的商品. 的商品.
授课教师: 授课教师:
第3章 关系代数
本章要点
掌握并运算, 差运算,交 运算, 笛卡尔积运算规则,及 其集合运算的应用,掌握投影 运算,选择运算和连接运算规 则,及其关系运算的应用.
第3章关系代数
3.1.1 并运算
3.1 集合运算
两个已知关系R 两个已知关系R和S的并将产生一个包含R,S中所有不同 的并将产生一个包含R 元组的新关系.记作:R∪S. 元组的新关系.记作:R∪S. 并操作的示意图如下: 并操作的示意图如下:
第3章关系代数
3.1.2 差运算
3.1 集合运算
两个已知关系R 两个已知关系R和S的差,是所有属于R但不属于S的元组 的差,是所有属于R但不属于S 组成的新关系.记作: 组成的新关系.记作:R-S. 差操作的示意图如下: 差操作的示意图如下:
第3章关系代数
3.1.3 交运算
3.1 集合运算
两个已知关系R 两个已知关系R和S的交,是属于R而且也属于S的元组 的交,是属于R而且也属于S 组成的新关系.记作:R∩S. 组成的新关系.记作:R∩S. 交操作的示意图,如图3 所示. 交操作的示意图,如图3-3所示.
3.2.3 连接运算
3.2 特殊的关系运算
连接是根据给定的条件,从两个已知关系 和 的笛卡尔积中 的笛卡尔积中, 连接是根据给定的条件,从两个已知关系R和S的笛卡尔积中, 选取满足连接条件(属性之间)的若干元组组成新的关系.记作: 选取满足连接条件(属性之间)的若干元组组成新的关系.记作: (公式 其中 是选择条件. 公式)其中 是选择条件. 公式 其中F是选择条件 1.条件连接:从两个关系的笛卡尔积中选取属性间满足一定条 条件连接: 条件连接 件的元组. 件的元组. 2.相等连接:从关系R与S的笛卡尔积中选取满足等值条件的 相等连接:从关系 与 的笛卡尔积中选取满足等值条件的 相等连接 元组. 元组. 3.自然连接:也是等值连接,从两个关系的笛卡尔积中,选取 自然连接:也是等值连接,从两个关系的笛卡尔积中, 自然连接 公共属性满足等值条件的元组,但新关系不包含重复的属性. 公共属性满足等值条件的元组,但新关系不包含重复的属性. 4.外连接:是在连接条件的某一边添加一个符号"*",其连 外连接:是在连接条件的某一边添加一个符号" " 外连接 接结果是为符号所在边添加一个全部由"空值"组成的行. 接结果是为符号所在边添加一个全部由"空值"组成的行.
�
第3章关系代数
3.2.2 选择运算
3.2 特殊的关系运算
选择是根据给定的条件选择关系R中的若干元组组成新的关系, 选择是根据给定的条件选择关系 中的若干元组组成新的关系, 中的若干元组组成新的关系 是对关系的元组进行筛选. 是对关系的元组进行筛选.记作 选择运算示意图如下: 选择运算示意图如下:
第3章关系代数