交并差与笛卡尔积
第四章 数据库设计基础——关系运算

3. 交(Intersection) )
R和S
具有相同的目n 相应的属性取自同一个域
R∩S
仍为n目关系,由既属于R又属于S的元组组成 R∩S = { t|t ∈ R∧t ∈S } R∩S = R –(R-S)
An Introduction to Database System
交 (续) 续
An Introduction to Database System
(c)
An Introduction to Database System
1. 选择(Selection) 选择( )
1) 选择又称为限制(Restriction) 2) 选择运算符的含义 在关系R中选择满足给定条件的诸元组 σF(R) = {t|t∈R∧F(t)= '真'} F:选择条件,是一个逻辑表达式,基本形式为:
学生-课程数据库: 学生关系Student、课程关系Course和选修关系SC
Student
学号 Sno 200215121 200215122 200215123 200215125 姓名 Sname 李勇 刘晨 王敏 张立 性别 Ssex 男 女 女 男 (a) 年龄 Sage 20 19 18 19 所在系 Sdept CS IS MA IS
An Introduction to Database System
(b)
专门的关系运算(续 专门的关系运算 续)
SC
学号 Sno 200215121 200215121 200215121 200215122 200215122 课程号 Cno 1 2 3 2 3 成绩 Grade 92 85 88 90 80
200215121 200215121 200215122 200215122
数据库关系代数表达式学习

数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作:关系代数中包括了:并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作:并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作:交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2:等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后,对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2:自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性,则自动作为关联条件,且仅列出一列二、关系代数表达式:由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明:设教学数据库中有3个关系:学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC,先进行自然连接,然后再执行选择投影操作。
关系代数一

数据库技术及应用一、并运算两个已知关系R和S的并将产生一个包含R、S中所有不同元组的新关系。
记作:R∪S = { t|t ∈R∨t∈ S }结果为n目关系,由属于R或属于S的元组组成。
进行并运算的关系必须具有相容性。
在实际应用中,并运算可实现插入新元组的操作。
并运算的示意图,如图所示。
例两个班学生的信息要合并,已知A1011001班的学生信息为学生A,A1021001班的学生信息为学生B,两班学生的信息若想合并在一起,可采用并运算来进行数据集成。
学生A学号姓名性别出生年月籍贯A101100102赵盘男1988/2/4 北京A101100109江鑫男1988/1/9 内蒙古….….….….….学生B学号姓名性别出生年月籍贯A102100101 罗旭女1988/5/23 海南A102100114 周康男1988/3/9 上海A102100123 邓平女1988/6/9 北京A102100132 白涛男1988/5/18 上海….….….….….学生A ∪学生B学号姓名性别出生年月籍贯A101100102赵盘男1988/2/4 北京A101100109江鑫男1988/1/9 内蒙古….….….….…. A102100101 罗旭女1988/5/23 海南A102100114 周康男1988/3/9 上海A102100123 邓平女1988/6/9 北京A102100132 白涛男1988/5/18 上海….….….….….二、差运算两个已知关系R和S的差,是所有属于R但不属于S的元组组成的新关系。
记作:R-S = { t|t∈R∧t∉S }结果:为n目关系,由属于R而不属于S的所有元组组成。
差运算使用的关系也必须具有相容性。
差运算是有序,R-S不等于S-R。
差运算的示意图,如图所示。
例现要将学生信息按照性别分开,将男女生的信息表分别给男女宿舍的管理员,已经有女学生信息表,现在要将女学生信息从学生信息表中删除,得到男学生信息表。
传统的集合运算

D
所有选课的学生-仅选1号课程之外的学生
求仅选修了1号课程的学生号
S#
C#
SCORE
P03
C02
88
P01
C03
92
S#
P01
P02
S#
P01
P03
S#
P02
外连接 为避免自然连接时因失配而发生的信息丢失,可以假定往参与连接的一方表中附加一个取值全为空值的行,它和参与连接的另一方表中的任何一个未匹配上的元组都能匹配,称之为外连接 外连接 = 自然连接 + 失配的元组 外连接的形式:左外连接、右外连接、全外连接 左外连接 = 自然连接 + 左侧表中失配的元组 右外连接 = 自然连接 + 右侧表中失配的元组 全外连接 = 自然连接 + 两侧表中失配的元组
RS = { t|t=﹤tr,ts﹥∧trRtsS }
A
B
1 2
R
C
D
10 10 20 10
E
a a b b
S
A
B
1 1 1 1 2 2 2 2
C
D
10 19 20 10 10 10 20 10
E
a a b b a a b b
R x S
专门的关系运算包括选择、投影、连接、除等。 几个记号: 1.设关系模式为R(A1, A2,..., An)。它的一个关系设为R。t∈R表示t是R的一个元组。t[Ai]则表示元组t中相应于属性Ai的一个分量 。 2.若A={Ai1, Ai2,..., Aik},其中Ai1, Ai2, ..., Aik是A1, A2,..., An中的一部分,则A称为属性列或域列。フA则表示{A1, A2,..., An}中去掉{Ai1, Ai2,..., Aik}后剩余的属性组。t[A]=(t[Ai1], t[Ai2],..., t[Aik])表示元组t在属性列A上诸分量的集合。
第3章 集合代数

3.1.2 集合的环和与环积运算
定理3.6 对任意集合A, B 有 (1)AB = (AB) – (AB) (2)AB = (AB¯ )(A¯ B) 证 (1)AB = (A-B) (B-A) = (AB¯ ) (BA¯ ) = (AB)UU (A¯ B¯ ) = (AB) (AB)¯ = (AB)- (AB)
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.1 集合的并、交、差、补运算
证明(5) AB,A– B = , A∪B = B , A∩B = A 四命题等价。
证 设4个命题为P, Q, R, S ,
PQ:设A–B ,aA–B,即aA,但aB, 这与A B矛盾.故A – B = 。得证。
据(4)式
据(4)式 据(5)式 据(4)式 据(4)式
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.3 幂集与广义并、交运算
定义3.3 对任意集合A,ρ(A)称为A的幂集。定义为 ρ(A)={ x | x A } 即A的全体子集组成的集合是A的幂集。 例3.2
(1) A ={ a, b } ,
离散数学 第3章 集合代数
3.1 集合运算
3.1.2 集合的环和与环积运算
定理3.7 对任意集合A, B ,C有
(1)AB = BA
(2)AA = (3)A¯ B¯= AB
(4) AB = (AB)¯= A¯ B = AB¯
(5)(AB)C = A(BC) (6)AB = BA
(等幂律)
(交换律)
(AB)C=A (BC)
(4) A(BC)=(AB)(AC) A(BC)=(AB)(AC) (5)A( AB)=A,A(AB) =A (6) A=A,AU = U
关系代数中的基本元算是并、交、差、投影、选择和笛卡尔积

关系代数中的基本元算是并、交、差、投影、选择和笛卡尔积
关系代数在数据库理论领域中是重要的研究内容之一。
它是数据库概念模型中
的基本概念,提供了完善的数据库抽象性和关系分析机制的实现方式。
关系代数的
基本元素包括并、交、差、投影、选择和笛卡尔积。
并是提取表中相同属性的记录,合并两个表中记录的过程,可以获得多个表的
运算结果集,使用关键字"union"来实现并集运算。
交为取两个表交集,同时满足两个或两个以上表中条件的记录,使用关键字"intersect"来实现交集运算。
差为去两个表之间的差集,只保留存在于表A而不存在于表B中的记录,使用
关键字"minus"来实现差集运算。
投影功能为把表中字段查询出来,但不改变表中记录数,使用关键字"project"来实现投影运算。
选择功能为把表中满足一定条件运算,通过满足某种条件来过滤表中的记录,
使用关键字"select"来实现选择运算。
笛卡尔积为连接符号的运算,它表示左右的表的连接运算,可以把两个表中的
数据合并成一个笛卡尔积表,使用关键字"cross join"来实现笛卡尔积运算。
所有这些元素,都是学习关系代数的基础,可以为设计更为复杂的数据库操作
提供基础。
在学前教育领域,可以借助关系代数,帮助孩子们认识数据库的基本概
念,让孩子学习到结构化思维的方法论,为他们未来的职业发展打下坚实的基础。
交集 并集 差集 笛卡尔积的区别

交集并集差集笛卡尔积的区别示例文章篇一:哎呀呀,同学们,今天咱们来聊聊数学里交集、并集、差集还有笛卡尔积的那些事儿!先来说说交集吧。
交集就好像是两个好朋友都喜欢的玩具。
比如说,我喜欢小汽车和小飞机,我的好朋友小明喜欢小飞机和小火车。
那我们都喜欢的就是小飞机,这小飞机就是我们喜欢的玩具的交集。
这交集是不是很有趣?你说要是没有交集,我们怎么能找到共同的爱好呢?再讲讲并集。
并集就像是把两个箱子里的东西都放到一个大箱子里。
比如我箱子里有苹果、香蕉,小明箱子里有橘子、葡萄,那把我们两个箱子里的水果都放一起,苹果、香蕉、橘子、葡萄,这就是并集啦!这并集是不是让东西变得更多更丰富啦?接着说差集。
差集呢,就好比我有一堆糖果,小明也有一堆糖果,我有的糖果里减去小明有的,剩下的就是差集。
比如说我有草莓糖、牛奶糖和巧克力糖,小明有牛奶糖和水果糖,那我有的糖果减去小明有的,就只剩下草莓糖和巧克力糖啦。
差集是不是有点像做减法呀?最后说说笛卡尔积。
笛卡尔积就像是给两个队伍的人两两配对。
比如说一个队伍里有小红、小黄、小蓝,另一个队伍里有小绿、小紫、小黑,那他们两两组合,小红可以和小绿、小紫、小黑分别配对,小黄也一样,小蓝也一样。
这笛卡尔积可真是能组合出好多好多对呢!那它们到底有啥区别呢?交集是找共同的部分,就像找到共同的秘密基地;并集是把所有的都加起来,像把不同的拼图拼成一幅大画;差集是减去一部分,就像从一堆宝藏里挑出不要的;笛卡尔积是让它们相互组合,像让不同的星星找到自己的伙伴。
反正我觉得呀,这些概念虽然有点复杂,但是只要我们多想想,多做做题目,就一定能搞明白!同学们,你们是不是也这么觉得呢?我相信,只要咱们用心,这些都不是事儿!示例文章篇二:《数学世界里的那些事儿:交集、并集、差集、笛卡尔积》嘿,同学们!今天我想和你们好好聊聊数学里特别有趣的四个概念:交集、并集、差集和笛卡尔积。
先来说说交集吧!交集就好像是两个好朋友都喜欢的东西。
关系代数

、4 关系代数关系代数就是一种抽象的查询语言,通过对关系的运算来表达查询。
关系代数的运算对象就是关系,运算结果也就是关系。
系代数运算可以分为四类:1.普通的集合运算: 并、交、差2.删除一部分关系的运算选择运算“σ”会删除某些行投影运算“π”会删除某些列3.合并两个关系的运算“笛卡儿积”运算把两个关系的元组以所有可能的方式组合起来、“连接”运算有选择地从两个关系取出元组组合在一起4.改名运算不改变关系的元组,只改变关系的模式:改变属性的名字或者关系本身的名字一、关系的集合运算三种最普通的集合运算:并、交与差:1、R∪S,R与S的并,它就是R中的元素与S中的元素共同组成的集合。
2、R∩S,R与S的交,它就是既出现在R中又出现在S中的元素组成的集合。
3、R―S,R与S的差,它就是只在R中出现,不在S中出现的元素组成的集合。
要想对两个关系R与S进行上述运算,R与S必须满足如下条件:R与S的模式具有相同的属性集在对R与S进行集合运算之前,要对R与S的属性列进行排序,保证两个关系的属性顺序相同1、并, R∪S ={ r | r∈R ∨ r∈S }关系R:关系SR∪S:2、交, R∩S ={ r | r∈R ∧ r∈S }R∩S:3、差, R-S ={ r | r∈R ∧ r?S }R-S:二、投影运算投影运算符就是π,该运算作用于关系R将产生一个新关系S,S只具有R的某几个属性列。
投影运算的一般表达式如下:S = πA1, A2, … , An(R)S就是投影运算产生的新关系,它只具有R的属性A1, A2, … , An所对应的列。
例:对于关系表:Student投影运算:πStudentNo, StudentName(Student) 结果为:三、选择运算(σ)选择运算符就是σ,该运算符作用于关系R也将产生一个新关系S,S的元组集合就是R的一个满足某条件C的子集。
选择运算的一般表达式为:S = σC(R)S的模式与R的模式完全相同。
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SQL的并集UNION,交集JOIN,交叉连接(CROSS JOIN笛卡尔积),差集(NOT IN)
1.
a. 并集
SELECT column1, column2 FROM table1
UNION
SELECT column1, column2 FROM table2
b. 交集
SELECT * FROM table1 AS a
JOIN table2 AS b
ON =
c. 差集
SELECT * FROM table1
WHERE name NOT IN
(SELECT name
FROM table2)
d. 笛卡尔积
SELECT * FROM table1 CROSS JOIN table2
与
SELECT * FROM table1,table2相同
2. SQL中的UNION
UNION与UNION ALL的区别是,前者会去除重复的条目,后者会仍旧保留。
a. UNION SQL Statement1 UNION SQL Statement2
b. UNION ALL SQL Statement1 UNION ALL SQL Statement2
3. SQL中的各种JOIN SQL中的连接可以分为内连接,外连接,以及交叉连接(即是笛卡尔积)
a. 交叉连接CROSS JOIN 如果不带WHERE条件子句,它将会返回被连接的两个表的笛卡尔积,返回结果的行数等于两个表行数的乘积;举例SELECT * FROM table1 CROSS JOIN table2 等同于SELECT * FROM table1,table2 一般不建议使用该方法,因为如果有WHERE子句的话,往往会先生成两个表行数乘积的行的数据表然后才根据WHERE条件从中选择。
因此,如果两个需要求交际的表太大,将会非常非常慢,不建议使用。
b. 内连接INNER JOIN
如果仅仅使用SELECT * FROM table1 INNER JOIN table2 没有指定连接条件的话,和交叉连接的结果一样。
但是通常情况下,使用INNER JOIN需要指定连接条件。
-- 等值连接(=号应用于连接条件, 不会去除重复的列) SELECT * FROM table1 AS a INNER JOIN table2 AS b on a.column=b.column
-- 不等连接(>,>=,<,<=,!>,!<,<>) 例如SELECT * FROM table1 AS a INNER JOIN table2 AS b on a.column<>b.column
-- 自然连接(会去除重复的列)
c. 外连接OUTER JOIN 首先内连接和外连接的不同之处:内连接如果没有指定连接条件的话,和笛卡尔积的交叉连接结果一样,但是不同于笛卡尔积的地方是,没有笛卡尔积那么复杂要先生成行数乘积的数据表,内连接的效率要高于笛卡尔积的交叉连接。
指定条件的内连接,仅仅返回符合连接条件的条目。
外连接则不同,返回的结果不仅包含符合连接条件的行,而且包括左表(左外连接时), 右表(右连接时)或者两边连接(全外连接时)的所有数据行。
1)左外连接LEFT [OUTER] JOIN 显示符合条件的数据行,同时显示左边数据表不符合条件的数据行,右边没有对应的条目显示NULL 例如SELECT * FROM table1 AS a LEFT [OUTER] JOIN ON a.column=b.column
2)右外连接RIGHT [OUTER] JOIN 显示符合条件的数据行,同时显示右边数据表不符合条件的数据行,左边没有对应的条目显示NULL 例如SELECT * FROM table1 AS a RIGHT [OUTER] JOIN ON a.column=b.column
3)全外连接显示符合条件的数据行,同时显示左右不符合条件的数据行,相应的左右两边显示NULL。