笛卡尔积结合律
二元关系
1二元关系1. 有序对与笛卡尔积定义1.1 两个对象x , y 组成的满足如下性质的二元组(x , y )：(x , y )=(u,v ) 当且仅当x=u , y=v其中x 称为第一元素，y 称为第二元素。
定义1.2 集合A 和B 的笛卡尔积定义为{(,)|,}A B x y x A y B ⨯=∈∈特别地，若A 或者B 是空集，则A ×B 是空集。
例：注意：笛卡尔积不满足结合律和交换律。
2. 二元关系定义2.1 若A 和B 是集合， 则A ×B 的任何子集R 称为从A 到B 的二元关系，简称关系。
若(,)x y R ∈，则称有序对(x , y )满足关系R ，一般记为xRy .定义域dom(R )=值域ran(R )=集合C 在R 下的像：R [C]=例2.2 设集合R ={(a,1),(a,2), (b,2),(b,3)}，则该集合可视为从{a,b}到{1,2,3}的二元关系，其定义域和值域为dom(R )={a,b}ran(R )={1,2,3}定义2.3（关系矩阵）M R 是由真值组成的0-1矩阵。
例2.4关系图：G R 是一个二部图（bipartite ）。
定义2.4 若R 是从集合A 到A 的二元关系，即R A A ⊆⨯，则称R 是A 上的二元关系。
定义2.5 集合A 上的三种特殊关系：（1） 空关系：∅ 其矩阵是0方阵。
（2） 全关系：E A =A ×A 其矩阵是全1方阵。
（3） 恒等关系：{(,)|}A I x x x A =∈，其矩阵是单位矩阵。
23. 二元关系的几种运算我们考虑对于二元关系的如下运算，即并、逆、复合、方幂和限制。
定理3.1 设R ，Q 是从A 到B 的二元关系，则R Q R Q M M M =+U注意：其中的加法是真值加法，即逻辑或，即0+0=0, 1+1=1，1+0=1，0+1=1证明： 证毕定义3.2（二元关系的逆）设R 是从A 到B 的二元关系。
DM专题关系概念与关系运算
domR = { x | y (<x,y>R) }
ranR = { y | x (<x,y>R) }
fldR = domR ranR
例5 设A={1,2,3,4} ,B={1,2,3,4}，A到B的关系
R={<1,2>,<1,3>,<2,4>,<4,3>}, 则
(5) 若 |A| = m, |B| = n, 则 |AB| = mn
4
二元关系
定义2.3 如果一个集合满足以下条件之一： (1) 集合非空, 且它的元素都是有序对 (2) 集合是空集 则称该集合为一个二元关系, 简称为关系，记作R. 如果<x,y>∈R, 可记作xRy；如果<x,y>R, 则记作x y 实例：R={<1,2>,<a,b>}, S={<1,2>,a,b}. R是二元关系, 当a, b不是有序对时，S不是二元关系 根据上面的记法，可以写1R2, aRb等.
注意：
关系矩阵适合表示从A到B的关系或A上的关系（A,B为有 穷集）
关系图适合表示有穷集A上的关系
10
实例
例4 A={1,2,3,4}, R={<1,1>,<1,2>,<2,3>,<2,4>,<4,2>}, R的关系矩阵MR和关系图GR如下：
1 1 0 0
M
R
0
0
0 0
1 0
1
0
0
1
0
0
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实例
例如, A={1, 2}, 则 EA = {<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>} IA = {<1,1>,<2,2>}
什么是笛卡尔积
什么是笛卡尔积
笛卡尔积是指在数学中，两个集合X和Y的笛卡尓积（Cartesian product），又称直积，表示为X ×Y，第一个对象是X的成员而第二个对象是Y的所有可能有序对的其中一个成员。
笛卡尔积又叫笛卡尔乘积，是一个叫笛卡尔的人提出来的。
简单的说就是两个集合相乘的结果。
假设集合A={a, b}，集合B={0, 1, 2}，则两个集合的笛卡尔积为{(a, 0), (a, 1), (a, 2), (b, 0), (b, 1), (b, 2)}。
出现笛卡尔积的原因是
某一张表用来连接的字段并不是唯一的，他有多少个重复项就会重复多少倍
但实际上并不是结果集直接乘以多少倍，而是受影响的才会成倍出现
比如一班有两个班主任，一班会收影响
二班有一个班主任，二班就不会受影响
所以用主键关联的employee表相关的结果，会出现左连接右连接完全外链接都是一种效果
所以问题出在关联条件所对应的要寻找的列，和关联条件必须是一一对应的关系才不会出现笛卡尔积。
关系r与s的结构相同,笛卡尔积运算
关系r与s的结构相同,笛卡尔积运算一、概述在数学中,关系是一种有序对的集合,而笛卡尔积是关系代数中的一个重要运算。
如果两个关系r和s的结构相同,那么它们的笛卡尔积运算将会有一些特殊的性质。
本文将探讨关系r与s的结构相同时,它们的笛卡尔积运算的特点和性质。
二、关系的定义关系是集合论的一个重要概念,它描述了不同元素之间的某种通联或者对应关系。
设A和B是两个集合,关系r从A到B是A与B的笛卡尔积A×B的子集。
若元素(a,b)∈r,则称a与b有关系r。
三、笛卡尔积的定义设A和B是两个集合,则A和B的笛卡尔积(A×B)是一个集合,它包含所有形如(a,b)的有序对,其中a∈A,b∈B。
换句话说,笛卡尔积是将A中的每个元素与B中的每个元素组成的一组有序对的集合。
四、结构相同的关系当两个关系r和s的结构相同时,意味着它们所涉及的集合A和B是相同的,并且它们的元素之间的通联或者对应也是相同的。
换言之,如果r 和s的元素具有相同的排列顺序和对应关系,那么它们的结构就是相同的。
五、结构相同关系的笛卡尔积设关系r和s的结构相同,它们的笛卡尔积可以表示为：r×s={(a,c)|(a,b)∈r,(c,d)∈s,且b=c}。
换句话说,关系r与s的笛卡尔积是由r和s中的元素按照一定的规则组合而成的新的关系,这个规则要求r和s中的元素必须具有相同的对应关系。
六、结构相同关系笛卡尔积的特点1.封闭性：结构相同的关系r和s的笛卡尔积仍然是一个关系。
2.对称性：如果r和s的结构相同,那么它们的笛卡尔积的对称性也是相同的。
3.传递性：结构相同的关系r和s的笛卡尔积具有传递性,即如果(a,b)∈r,(b,c)∈s,那么(a,c)∈r×s。
七、结论通过以上的讨论,我们可以得出结论：当两个关系r和s的结构相同时,它们的笛卡尔积运算具有一些特殊的性质,包括封闭性、对称性和传递性。
这些特点使得结构相同的关系的笛卡尔积在关系代数中具有重要的地位和应用。
数据模型数据模型的三要素数据模型的分类和各自的特点
= 27.8小时
查询优化的必要性（续）
2. Ｑ2＝ ПＳname(бo=' 2' (Student ①
SC))
读取总块数= 2100块
读数据时间=2100/20=105秒
中间结果大小=10000 （减少1000倍）
写中间结果时间=10000/10/20=50秒
②б
读数据时间=50秒
③П
总时间＝105＋50＋50秒＝205秒=3.4分
（1）分解选择运算 利用规则4把形如бF1 ∧F2 ∧ … ∧ Fn (E)变换为 бF1 (бF2(… (бFn(E))… ))
关系代数表达式的优化算法 (续)
（2）通过交换选择运算，将其尽可能移到叶端 对每一个选择，利用规则4～8尽可能把它移
到树的叶端。
（3）通过交换投影运算，将其尽可能移到叶端 对每一个投影利用规则3，9，l0，5中的一般 形式尽可能把它移向树的叶端。
③П
总时间＝5＋5秒＝10秒
查询优化的必要性（续）
4. Ｑ2＝ ПＳname(Student бo='2' (SC)) 假设SC表在Cno上有索引，Student表在Sno上有
索引 ①б
读SC表索引= 读SC表总块数= 50/100<1块 读数据时间 中间结果大小=50条 不必写入外存
查询优化的必要性（续）
8. 选择与差运算的交换
假设：E1与E2有相同的属性名 бF(E1-E2)≡ бF(E1) - бF(E2)
关系代数等价变换规则（续）
9. 投影与笛卡尔积的交换
假设：E1和E2是两个关系表达式， A1，…，An是E1的属性， B1，…，Bm是E2的属性
π A1,A2, …,An,B1,B2, …,Bm （E1×E2)≡ π A1,A2, …,An（E1)× π B1,B2, …,Bm(E2)
主要内容有序对与笛卡儿积二元关系的定义与表示法关系的运
R↾{1} = {<1,2>,<1,3>} R↾ = R↾{2,3} = {<2,2>,<2,4>,<3,2>}
R[{1}] = {2,3} R[] = R[{3}] = {2}
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关系运算的性质
定理7.1 设F是任意的关系, 则 (1) (F1)1=F (2) domF1= ranF, ranF1= domF
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关系运算的性质
定理7.5 设F 为关系, A, B为集合, 则
(1) F ↾(A∪B) = F ↾A∪F ↾B
(2) F [A∪B] = F [A]∪F [B]
(3) F ↾(A∩B) = F ↾A∩F ↾B
(4) F [A∩B] F [A]∩F [B]
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证明
证 只证 (1) 和 (4). (1) 任取<x,y>
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A到B的关系与A上的关系
定义7.4 设A,B为集合, A×B的任何子集所定义的二元关系叫做从A 到B的二元关系, 当A=B时则叫做A上的二元关系.
例3 A={0,1}, B={1,2,3}, 那么 R1={<0,2>}, R2=A×B, R3=, R4={<0,1>}
R1, R2, R3, R4是从 A 到 B 的二元关系, R3 和 R4 也是A上的二元关系.
7.1 有序对与笛卡儿积
定义7.1 由两个元素 x 和 y，按照一定的顺序组成的二元组 称为有序对，记作<x,y>. 有序对性质: (1) 有序性 <x,y><y,x> （当xy时） (2) <x,y>与<u,v>相等的充分必要条件是
笛卡尔积的计数
笛卡尔积的计数
设a,b为集合，用a中元素为第一元素，b中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫做a与b的笛卡尔积，记作a x b.笛卡尔积的符号化为:a×b={(x,y)|x∈a∧y∈b}。
笛卡尔乘积是一个数学概念：笛卡尔乘积是指在数学中，两个集合 X 和 Y 的笛卡尔积，又称直积。
表示为 X × Y，第一个对象是 X 的成员而第二个对象是 Y 的所有可能有序对的其中一个成员。
笛卡尔出生于法国，毕业于普瓦捷大学，法国著名哲学家、物理学家、数学家，被黑格尔称为“近代哲学之父”。
笛卡尔对数学最重要的贡献是创立了解析几何。
在笛卡尔时代，代数还是一个比较新的学科，几何学的思维还在数学家的头脑中占有统治地位。
离散数学26笛卡尔乘积及相关性质
笛卡尔乘积及相关性质一、笛卡尔乘积1、定义令A和B为任意两个集合, 如果序偶的第一元素是A 的元素, 第二元素是B的元素;所有这样的序偶的集合称为集合A 和B的笛卡尔乘积或者直积, 记作A ⨯ B. 笛卡尔乘积的符号化表示为:A ⨯B = { <x, y> | (x∈A)∧(y∈B) }例如, 设A = { a, b }, B = { 0, 1, 2 }, 则A ⨯B = { <a, 0>, <a, 1>, <a, 2>, <b, 0>, <b, 1>, <b, 2> }B ⨯ A = { <0, a>, <0, b>, <1, a>, <1, b>, <2, a>, <2, b> }A⨯B≠B⨯A 即“⨯”是不满足交换律.笛卡尔乘积举例Jerry,Kelly,July三人去访友，可选择的汽车线路有：382，381。
每人与一个汽车线路配对，共有多少种方式？设集合A={ Jerry,Kelly,July }，集合B={ 382，381 }所有可能的配对的集合是A B。
共有6种方式.2、笛卡尔积运算性质1)．对任意集合A，根据定义有A×Φ = Φ, Φ×A = Φ2)．一般的说，笛卡尔积运算不满足交换律，即A×B≠B×A(当A≠Φ∧B≠Φ∧A≠B时)3)．笛卡尔积运算不满足结合律，即(A×B)×C≠A×(B×C) (当A≠Φ∧B≠Φ∧C≠Φ时)注意：(A×B)×C的元素是三元组，但A×(B×C)的元素不是三元组.例1 设A={a，b}，B={1，2}，C={z}(A⨯B)⨯C={〈a,1〉,〈a,2〉,〈b,1〉,〈b,2〉}⨯{z}={〈a,1,z〉,〈a,2,z〉,〈b,1,z〉,〈b,2,z〉}A⨯ ( B⨯C ) ={a, b}⨯{〈1,z〉,〈2,z〉}={〈a,〈1,z〉〉,〈a,〈2,z〉〉,〈b,〈1,z〉〉,〈b,〈2,z〉〉} 故（A⨯B）⨯C≠A⨯（B⨯C）“⨯”不满足结合律.二、笛卡尔乘积相关定理1.定理3-4.1 笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即A×(B∪C) = (A×B)∪(A×C)A×(B∩C) = (A×B)∩(A×C)(A∪B)×C = (A×C)∪(B×C)(A∩B)×C = (A×C)∩(B×C)2.定理3-4.2 设A, B, C为任意集合，若C≠Φ，则：A⊆B ⇔(A⨯C⊆B⨯C) ⇔ (C⨯A⊆C⨯B)3.定理3-4.3 若A，B，C，D为四个非空集合，则A⊆C∧B⊆D ⇔ A×B⊆C×D求证：A ⨯ (B∪C) = (A ⨯ B)∪(A ⨯ C).证明任取<x, y> ∈A ⨯ (B∪C) ,<x, y>∈A ⨯ (B∪C)⇔ x∈A∧y∈(B∪C)⇔ x∈A∧(y∈B∨y∈C)⇔ (x∈A∧y∈B)∨(x∈A∧y∈C)⇔ <x, y>∈A ⨯ B∨<x, y>∈A ⨯ C⇔ <x, y>∈(A ⨯ B)∪(A ⨯ C)定理3-4.2 A, B, C是任意三个集合, C≠Φ,(1) A ⊆ B ⇔ (A⨯C⊆B⨯C)；(2) A ⊆ B ⇔ (C⨯A⊆C⨯B)(1)证明(必要性)因C非空，存在c∈C，若A⊆B，则对任意的<a,c> ∈A⨯C，其中a∈ A ⊆ B，c ∈ C,必有<a,c> ∈ B ⨯ C,所以A⨯C ⊆ B ⨯ C. (充分性)因C非空，存在c∈C，任意a∈ A ，有<a,c> ∈ A⨯C，因为A⨯C ⊆ B ⨯ C ，则必有<a,c> ∈ B ⨯ C，所以a∈ B,所以 A⊆B.同理可证（2）.定理3-4.3 若A，B，C，D为四个非空集合，则(A⊆C)∧(B⊆D) ⇔ A×B⊆C×D证：(充分性)若A⨯B ⊆ C⨯D,又A,B,C,D都不是空集, 故对任意的a∈A,b∈B,<a,b>∈ A⨯B ⊆ C⨯D.所以a∈C, b∈D, 所以 A ⊆ C, B ⊆ D.(必要性)若A ⊆C, B ⊆D,故对任意的<a,b>∈A×B ，必有a∈A⊆C, b∈B⊆D.所以<a,b> ∈ C×D，所以A×B ⊆ C×D.例2 设A , B , C , D 为任意集合，判断下列命题是否为真.（1）A ×B ＝A ×C ⇒ B=C（2）(A –B)×C = (A ×C) – (B ×C)（3）(A=B)∧(C=D) ⇒ A ×C=B ×D（4）存在集合A,使 A ⊆A ×A解:(1) 不一定为真.(3) 为真. (4) 为真. (2) 为真.等量代入.当A = Φ时,使A ⊆A ×A. 当A=Φ, B={1}, C={2,3}时，便不真.。