根式的运算技巧
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
【数学知识点】初中数学根式运算法则公式
根式开方法则是根式的运算法则之一，算术根开n次方，把根指数扩大n倍，被开方数不变。
非算术根的开方不总是可能的，负数的奇次方根开奇次方时，一般先将给定根式化为算术根后再按法则开方
1.根号2乘以2,把2变成根号4再乘,就是根号4乘根号2,再根号下的2乘以zhi4的积,就是根号8,也可化简写成2倍根号
2.
如题:√dao2*2=2√2=√2*√4=√(2*4)=√(2^2*4)=√8
2.根号3乘以根号6就是根号下6乘以3的积,就是根号18,再把18变成9乘以2,因为9可以开根,所以最后化简得出3倍根号2.
如题:√3*√6=√(3*6)=√18=√(9*2)=√3^2*2)=3√2
3.根号32乘以根号25,得出根号800,根号800再化简得根号下的400乘以2的
积,400又等于20乘以20,就是20的平方,最后化简得出20倍根号2.
如题:√32*√25=√(32*25)=√800=√(400*2)=√(20^2*2)=20√2
①根据字母的取值范围化简二次根式；
②根据二次根式的化简结果确定字母的取值范围；
③利用二次根式的性质求字母（或代数式）的最小（大）值；
④利用平方差公式进行分母有理化的计算求值；再者就是相关最简二次根式、同类二次根式等相关的基础知识考察，
在实数范围内：
（1）偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。
（2）奇次根号下可以为负数。
不限于实数，即考虑虚数时，偶次根号下可以为负数，利用【i=√-1】即可。
以上就是一些数学根式的相关信息，希望对大家有所帮助。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
根式的运算技巧
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：2=a，则x叫做a的平方根，记作“a”（a称为被开方数）。
⑴、定义：如果x⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作“a”。
2、立方根：3=a，则x叫做a的立方根，记作“3a”（a称为被开方数）。
⑴、定义：如果x⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3、a本身为非负数，即a≥0；a有意义的条件是a≥0。
4、公式：⑴(a)2=a（a≥0）；⑵3a=3a（a取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2(3)；（3）151；⑷4912(3)例2求下列各式的值（1）81；（2）16；（3）925 ；（4）2(4).（5）1.44，（6）36，（7）2549 （8）(25)2例3、求下列各数的立方根：⑴343；⑵ 21027；⑶0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a的平方根是±a，即a是非负数.x例4、若2xx2y6,求y的立方根.练习：已知y12x2x12,求yx的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a≥0时，a的平方根是±a，而(a)(a)0.例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a，求a的平方的相反数的立方根. 练习：若2a3和a12是数m的平方根，求m的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36（2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道a0,即a=0时其值最小,换句话说a的最小值是零.例4、已知：y=a23(b1),当a、b取不同的值时，y也有不同的值.当y最小时, a求b的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8，则这个数的立方根是（）．A．2B．2C．4D．42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m的平方根是5a1和a19，则m=．4、327=，64的立方根是；5、7的平方根为，1.21=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x=时，3x1有意义；当x=时，35x2有意义；4n9、若x16，则x=；若381，则n=；10、若x，则x=；若xx3x3x2，则x；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____,b=____2 12、解方程：(x1)3240（2）3 125(x2)343（3） 264(x3)90（4）123 (x1)8013、已知2 x3y3(z2)0，求xyz的值。
根式计算方法和技巧
根式计算方法和技巧根式计算是一种常见的数学运算，以下是一些根式计算的方法和技巧：1. 化简根式：将根号内的数化简为最简形式，例如将$\sqrt{18}$ 化简为 $3\sqrt{2}$。
化简根式可以方便计算和比较大小。
2. 合并根号：可以将根号内的因子相同的项合并在一起，例如将 $\sqrt{6} + \sqrt{24}$ 合并为 $\sqrt{6} + 2\sqrt{6}$。
3. 提取公因子：将根号内的数字进行因式分解，然后提取出公因子。
例如，将 $\sqrt{75}$ 提取公因子得到 $5\sqrt{3}$。
4. 有理化分母：当根号出现在分母中时，可以通过乘以一个适当的分数，将根号消除在分母之外。
例如，将$\frac{1}{\sqrt{2}}$ 有理化分母得到 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
5. 分解质因数：将根号内的数字进行质因数分解，以便更容易进行计算和化简。
例如，将 $\sqrt{72}$ 分解质因数得到$\sqrt{2^3 \cdot 3^2}$。
6. 倍乘：将根号内的数字进行倍数化，使得根号后面的数字变为完全平方数。
例如，将 $\sqrt{32}$ 倍乘得到$\sqrt{16}\cdot\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
7. 嵌套根式：当根号内还有其他根式时，可以将其转换为简单的根式。
例如，将$\sqrt{\sqrt{2}}$ 转换为$2^{\frac{1}{4}}$。
8. 平方差公式：根据平方差公式 $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，可以简化一些根式的计算。
例如，将 $\sqrt{9-4}$ 使用平方差公式简化为 $\sqrt{(3-2)(3+2)}=\sqrt{1}=1$。
以上是一些常见的根式计算方法和技巧，通过灵活运用这些方法和技巧，可以更高效地进行根式计算。
根式的运算技巧
根式的运算之迟辟智美创作平方根与立方根一、知识要点1、平方根：（a⑴、界说：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“称为被开方数）.⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作2、立方根：（a⑴、界说：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作称为被开方数）.⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是0和1；立方根是其自己的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3a≥0.4、公式：⑴(（a≥0）；a 取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和即是0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）. 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值 （1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被开方数的非负性求值.年夜家知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求yx 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取分歧的值时，y 也有分歧的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =．4、327=，64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它自己的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部份为a,小数部份为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 13、已知23(2)0y z -++=，求xyz 的值.14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 16、若12112--+-=x x y ，求xy 的值.二次根式一、知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必需同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba【例题讲解】a （a ＞0）==a a2 a -（a ＜0）0 （a =0）；一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数.）例1：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是.4、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn =.6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根即是这个数的绝对值)来解题 【例题讲解】 例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的结果为（ ）A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ）A 、x 为任意实数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混合运算法则）【例题讲解】 （一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++-- 【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a 323c b a ，4cab，a bc a 2、计算下列各题： （1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x ，则x 即是（ ） A ．4 B ．±2C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求xy y x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部份与小数部份的问题31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部份是a ，小数部份是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部份分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比力年夜小 （1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、实数范围内因式分解：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 练习： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（ ）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若230a b -+-=，则2a b -=．3、计算： （1） （2（3）． （4）．4、先将2x -÷322x x x-x 值，代入化简后的式子求值.5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 ：222()a b a b ---6、若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点暗示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所暗示的数是 A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a+=+，求221a a +的值.9、已知：,x y为实数，且113yx x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b±化简，若你能找到两个数m和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可酿成222m n mn +±，即酿成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简.例如： 526±=3226++=222++=，∴==请仿照上例解下列问题：（1； （2）二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算.下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法 例1、计算)3418)(4823(-+分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比力简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算 解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯=)4818)(4818(-+=18-48 =-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(-+分析：∵2=2)2(∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算 解：原式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192三、公式法例3、计算)632)(632(---+分析：巧分组，声东击西，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便 解：原式=]3)62][(3)62[(--+-=22)3()62(--=366222-+-=345-四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x +÷++分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便 解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++=)()(2y x y x +÷+ =y x +五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便 解：原式=)23)(36()23(3)36(+++++=363231+++=3623-+-=26-六、配方法例6、计算33+--2-+8192625分析：此题是双二次根式的加减，必需把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=22)321(+-+--4()23()2=)3(+2-+--4()1)23(=-5七、整体代入，别具一格例5. 已知，求下列各式的值.（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单很多.解：因为所以（1）（2）（也可以将酿成来求）八、巧换元，干净利索例6. 计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方.解法1：设两边平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，到达事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简3－3(1－3)的结果是()A．3 B．－3 C.3D．－32．计算(28－23＋7)×7＋84的结果是( ) A ．117B ．153C ．21 D ．243．计算(32＋53)×(32－53)的结果是( ) A ．－57 B ．57 C ．－53 D ．534．计算⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的结果是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________；6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．7．计算⎝⎛⎭⎫50－8÷2的结果是________．8、计算：40＋55＝________．9、有下列计算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________． 10、计算：(2＋1)(2－1)＝________． 二、计算题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)；(3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1. (5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2bb ；二、解答题（本题40分，每小题10分）：1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a2＋b2＋7的值？2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x21＋x22？3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再求值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。
根式的加减乘除运算
根式的加减乘除运算根式是数学中常见的一种表示方式，它用来表示一个数的平方根、立方根等。
根式的加减乘除运算与我们熟悉的常规运算略有不同，下面我们将详细介绍根式的加减乘除运算规则和方法。
一、根式的加法运算根式的加法运算遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相加。
例如√3 + √3 = 2√32. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行加法运算，需要保持原样，即合并不了。
例如√2 + √3二、根式的减法运算根式的减法运算也遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相减。
例如√5 - √5 = 02. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行减法运算，需要保持原样，即合并不了。
例如√10 - √6三、根式的乘法运算根式的乘法运算有以下规则：1. 两个根式相乘时，直接将根号外的系数相乘，并将根号下的被开方数相乘。
例如2√2 × 3√3 = 6√62. 根式与非根式乘法时，可以直接将根号外的系数和非根式相乘。
例如2√2 × 4 = 8√2四、根式的除法运算根式的除法运算也遵循以下规则：1. 两个根式相除时，可以直接将根号外的系数相除，并将根号下的被开方数相除。
例如4√6 ÷ 2√2 = 2√32. 根式与非根式相除时，可以直接将根号外的系数与非根式相除。
例如6√2 ÷ 3 = 2√2综上所述，根式的加减乘除运算需要根据具体的情况进行合并或者保持原样。
在运算过程中，我们可以根据根号下的被开方数是否相同来判断是否可以直接合并。
如果无法合并，我们需要保持原样进行运算。
同时，在进行根式的加减乘除运算时，可以先化简根式，将根号下的被开方数分解成素因数的乘积，再根据乘法、除法的运算规则进行计算。
根式的加减乘除运算是数学中的一个重要概念，在解决实际问题时常常会用到，希望通过上述的介绍能够帮助你更好地理解和应用根式的加减乘除运算规则。
根式的运算技巧【范本模板】
根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果x2=a,则x叫做a的平方根，记作“(a称为被开方数)。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a.2、立方根：⑴、定义：如果x3=a，则x叫做a a称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根,这个立方根的符号与原数相同。
30a≥0。
4、公式：⑴2=a（a≥0）;a取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0(此性质应用很广,务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值(1）81±； （2）16-; (3)259； （4）2)4(-. (5)44.1，（6）36-，（7）4925±(8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-; ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值. 大家知道,当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数。
例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求yx 的值。
三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值。
我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2—a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值。
根式的四则运算和化简
根式的四则运算和化简数学是一门抽象而又实用的学科，其中根式的四则运算和化简是初中数学中的重要内容。
掌握了这一知识点，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的逻辑思维能力。
本文将以实例为基础，从加减乘除四个方面，详细介绍根式的四则运算和化简的方法和技巧。
一、加法运算首先，我们来看一个例子：计算√2 + √3。
根据根式的加法运算法则，我们可以将根式相加，但要求根号下的数必须相同。
因此，√2 + √3 不能直接相加。
为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。
首先，我们可以将√2 + √3 改写为√2 + √3 = √(2 + 3) = √5。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
二、减法运算接下来，我们来看一个例子：计算√5 - √2。
根据根式的减法运算法则，我们可以将根式相减，但要求根号下的数必须相同。
因此，√5 - √2 不能直接相减。
为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。
首先，我们可以将√5 - √2 改写为√5 - √2 = √(5 - 2) = √3。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
三、乘法运算再来看一个例子：计算(√2 + √3) × (√2 - √3)。
根据根式的乘法运算法则，我们可以将根式相乘。
首先，我们可以将(√2 + √3) × (√2 - √3) 展开，得到(√2 × √2) - (√2 × √3) + (√3 × √2) - (√3 × √3)。
化简后，我们得到 2 - √6 + √6 - 3 = 2 - 3 = -1。
这样，我们就得到了最简形式的结果。
四、除法运算最后，我们来看一个例子：计算(√5 + √2) ÷ (√5 - √2)。
根据根式的除法运算法则，我们可以将根式相除。
首先，我们可以将(√5 + √2) ÷ (√5 - √2) 乘以分子的共轭复数，即(√5 + √2) × (√5 + √2)。
二次根式加减乘除的运算法则
二次根式加减乘除的运算法则二次根式是数学中的一种特殊形式，它常常出现在代数表达式中。
在进行二次根式的加减乘除运算时，需要遵循一定的运算法则。
本文将从加法、减法、乘法和除法四个方面，详细介绍二次根式的运算法则。
一、加法运算法则对于两个二次根式的加法运算，要求根号下的数相同，即根号内数值和根号外系数相等。
例如√3+√3=2√3。
二、减法运算法则对于两个二次根式的减法运算，同样要求根号下的数相同。
例如√5-√2不能直接进行运算，需要进行化简。
化简的方法是将二次根式的根号内数值和根号外系数相同的项合并在一起，即(√5-√2)=(√5+√2)(√5-√2)=5-2=3。
三、乘法运算法则对于两个二次根式的乘法运算，可以运用分配律进行展开。
例如(√3+√2)(√3-√2)=3-2=1。
四、除法运算法则对于两个二次根式的除法运算，需要将被除数和除数进行有理化处理。
有理化处理的方法是将被除数和除数同除以一个数的平方，使得根号内只剩下一个数。
例如(√7+√3)/(√7-√3)可以进行有理化处理，得到[(√7+√3)(√7+√3)]/[(√7-√3)(√7+√3)]=10。
运用以上的加减乘除运算法则，可以解决二次根式的各种运算问题。
接下来，我们通过一些例题来加深理解。
例题1：计算√5+√2+2√5-3√2的值。
解：根据加法运算法则，可以将√5和2√5合并，将√2和-3√2合并，得到(1+2)√5+(-1-3)√2=3√5-4√2。
例题2：计算(√7+√3)(√7-√3)的值。
解：根据乘法运算法则，展开括号得到(√7+√3)(√7-√3)=7-3=4。
例题3：计算(√5+√3)/(√5-√3)的值。
解：根据除法运算法则，进行有理化处理，得到[(√5+√3)(√5+√3)]/[(√5-√3)(√5+√3)]=8/2=4。
通过以上例题的解答，我们可以看到，只要掌握了二次根式的运算法则，就能够轻松解决各种二次根式的加减乘除运算问题。
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根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。
⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。
2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。
⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。
3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。
二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。
2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。
3≥0a ≥0。
4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。
5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。
例1 求下列各数的平方根和算术平方根 （1）64；（2）2)3(-； （3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±； （2）16-； （3）259； （4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（ ）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是 ，16的平方根是 ； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是 ； 5、7的平方根为 ，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是 ，一个数的立方根是1，则这个数是 ；7、平方数是它本身的数是 ；平方数是它的相反数的数是 ；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。
14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2, 2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根．16、若12112--+-=x x y ，求x y 的值。
二次根式一、知识点1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。
2.最简二次根式：必须同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。
3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。
4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）； （2） 5.二次根式的运算：⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可。
⑵二次根式的乘除运算：①ab =b a •（a ≥0,b ≥0）； ②()0,0>≥=b a ba b a【例题讲解】一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。
）例1 ：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。
（1） （2）121+-x （3）45++x x(4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（ ）。
A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是（＞0）（＜0） 0 （=0）；3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。
4是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn = 。
6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<<m B 、2≥m C 、2<m D 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a |=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 【例题讲解】例1 ：已知233x x +＝－x3+x ，则（ ）A.x ≤0B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0例2 ：化简21)2(---x x 的结果为（ ） A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（ ） A ．ab a -- B ．ab a - C ．ab a D ．ab a -2、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（ ） A 、x 为任意实数 B 、1≤x ≤4 C 、x ≥1 D 、x ≤43、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（ ） A ．x y 2- B ．y C ．y x -2 D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（ ）。
A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a ≥0），即||2a a =以及混合运算法则） 【例题讲解】 （一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++--【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101； （2）,533c b a323c b a ，4cab，a bc a2、计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）a c c b b a 53654⋅⋅ （4）24182 （5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x，则x 等于（ ） A ．4 B ．±2 C ．2 D ．±44、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1) 22y x + (2) y x x y +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值。
②.已知:x =2323,2323-+=+-y ，求3x 2－5xy +3y 2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 = 。
2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++ 。
3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求x yy x +的值 （2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题1.估算31－2的值在哪两个数之间（ ）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 3 3.已知9+13913-与的小数部分分别是a 和b ，求ab －3a +4b +8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a= .五、二次根式的比较大小（1）3220051和 （2）－5566-和 （3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（ ）A. c b a >>B. b c a >>C. a b c >>D. a c b >>六、实数范围内因式分解：9x 2－5y 24x 4－4x 2＋1 x 4+x 2－6练习：1、若，则xy 的值为（ ）A ．B ．C ．D ． 2、若230a b --=，则2a b -= ． 3、计算： （1） （2（3）． （4）．42x -322x x x -x 值，代入化简后的式子求值。
5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简 222()a b a b -b a y b a x +=-=,a 2b 2b a +b a -6、若，则的取值范围是 A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点表示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所表示的数是A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a +=+，求221a a+的值。
9、已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+。
10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b±可变为222m n mn+±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b±化简。