【全国百强校】北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题
北京市中国人民大学附属中学2019届高三数学下第三次调研考试试题文
北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试文 科 数 学 试 题本试卷共5页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知i 为虚数单位，则201932ii i i ++++Λ等于( )A .iB .1C .i -D .-12. 已知集合(){}N y x y x y x A ∈≤+=,,2|,，则A 中元素的个数为A ． 1B ． 5C ． 6D ． 无数个3.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）第4题81.A 41.B 83.C 21.D4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为A.64B.73C.512D.5855.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点),(y x D 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，向圆122=+y x 内均匀撒M 粒黄豆，已知落在不等式组 所表示的区域内的黄豆数是N ，则圆周率π为（ ）A.M NB. M N 2C. N M 2D. N M 26.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面I SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.47．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞ C ． 2(0,)3 D ． 24(,)338．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aqaq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
2019年5月北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
绝密★启用前北京市清华大学附属中学2019届高三年级下学期第三次高考模拟考试数学（文）试题(解析版)2019年5月25日一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 23 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可． 【详解】由3222x >=,解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ,因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜, 所以312a +=,解得21=a ．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质,意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力,是基础题．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入,设这n 个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上世界首富的年收入1n x +,则这1n +个数据中,下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变B. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大C. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D. 年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变【答案】B【解析】解：∵数据x 1,x 2,x 3,…,x n 是上海普通职工n （n≥3,n ∈N *）个人的年收入,而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x 1,x 2,x 3,…,x n ,故这n+1个数据中,年收入平均数大大增大,但中位数可能不变,也可能稍微变大,但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响,而更加离散,则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为（ ） A. 12B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,得出2c a =,然后求得离心率21==a c e 即可. 【详解】由题意,椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,熟悉性质是解题的关键,属于基础题.4.已知函数f （x ）=21111log x x x x ≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜,则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）。
2019年北京清华大学附属中学朝阳学校 高三数学文模拟试卷含解析
2019年北京清华大学附属中学朝阳学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数上的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B略2. 已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为( )A．m＜B．m＜5 C．m＜4 D．m≤5参考答案：C【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5＞1在[1，3]上恒成立，即g min（t）＞1．再利用二次函数的性质，分类讨论求得实数m的取值范围．【解答】解：令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5=+5﹣＞1在[1，3]上恒成立，故有g min（t）＞1．①当＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6﹣m，由6﹣m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．②当∈[1，3]时，函数g（t）在[1，]上单调递减，在（ 3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（）=5﹣＞1，由此求得﹣4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．③当＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14﹣3m，由14﹣3m＞1，求得m＜，综合可得m无解．综上可得，m＜4，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．3. 已知全集,集合,则为A． B．C． D．参考答案：C,所以，选C.4. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BB1中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，表示出与，求两向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，记直线与所成角为，则.故选D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.5. 抛物线的准线方程是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略6. 设为随机变量，～，若的方差为则等于参考答案：D略7. 在等比数列{a n}中，，公比|q|≠1，若a m= a1·a2· a3· a4· a5,则m=_________A．9 B．10C．11 D．12参考答案：C8. 已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A． B． C． D．参考答案：D得,选D.9. 已知( )A. 6B.8 C. 10 D.参考答案：C10. 已知函数的图象关于直线对称，且当时，成立，若a=（20.2）·,则a,b,c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故答案为：312. 在平行四边形中，，，，则__________ .参考答案：略13. 已知点A抛物线C：的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则参考答案：略14. 若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．参考答案：0.8413【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P （ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841315. 已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为__________参考答案：g(x)＝3x－2略16. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是．参考答案：；，因此焦距为．17. 已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A，B两点，则弦长|AB|=____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
【全国百强校】北京市清华大学附属中学2019届高三学术能力诊断测试数学(文)试题(无答案)-最新教育文档
A．1B．2C．3D．22
8．已知正四棱锥P-ABCD，底面ABCD为正方形，点P在底面的投影为O，已知PO1，该四棱锥的侧面积为
42，则该四棱锥的体积为（）
，则(x3−1)(x4−1)的取值范围是．
x1x2
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作 答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
中学生标准学术能力诊断性测试2019年9月测试
死记硬背是一种传统的教学方式,在我国有悠久的历史。但随着素质教育的开展,死记硬背被作为一种僵化的、阻碍学生能力发展的教学方式,渐渐为人们所摒弃;而另一方面,老师们又为提高学生的语文素养煞费苦心。其实,只要应用得当,“死记硬背”与提高学生素质并不矛盾。相反,它恰是提高学生语文水平的重要前提和基础。
9．要得到函数ysin3x的图像，只需将函数ycos3x−π的图像（）
4
文科数学试卷
教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。本试卷共150分，考试时间120分钟。
1．已知集合AxZ
x−12，BxZ−2x1，则AB=（）
10．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AA12AB，D是AA1的中点，则BD与A1C1所成角的余弦值为（）
A．{−1,0,1}
B．{0，1}
C．{−1,0}
D．{−2,−1,0}
A．1B．
北京市清华附中高考数学三模试卷(理科)解析版
高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1-i）=n，则|m+ni|的值为（）A. 1B.C.D.4.已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A. -2B. 0C. 2D. 45.数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足，若函数F （x ）=f （x ）-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A. B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知直线l 1：x -y +1=0与l 2：x +ay +3=0平行，则a =______，l 1与l 2之间的距离为______ 10. 已知函数f （x ）=（x +t ）（x -t 2）是偶函数，则t =______11. 著名的“3n +1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n +1猜想，则输出的n 为______12. 某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是______团队．13. 已知平面内两个定点M （3，0）和点N （-3，0），P 是动点，且直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （a ≠0），设点P 的轨迹为C ．①存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）14. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠DCA =2∠BAC ，若=x +y （x ，y ∈R ），则x -y 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求sin（2B+A）的值．16.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，E、F分别为BC、BB1的中点，点D为线段AB上一点，（1）求证：AC1∥平面DEF；（2）若AC1⊥EF，求二面角F-DE-B的余弦值．17.某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95] A零件8 12 40 30 10B零件9 16 40 28 7（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．18.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．19.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．20.对于给定的奇数m，（m≥3），设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数a ij∈{0，1}，记c（i）为A的第i行所有数之和，r（j）为A的第j列所有数之和，其中i，j∈{1，2，…，m}．对于i，j∈{1，2，…，m}，若且同时成立，则称数对（i，j）为数表A的一个“好位置”（Ⅰ）直接写出所给的3×3数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当m=5时，若对任意的1≤i≤5都有c（i）≥3成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．3.【答案】D【解析】解：由（1+mi）（1-i）=（1+m）+（m-1）i=n，得，即m=1，n=2．∴|m+ni|=|1+2i|=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，-1），=（-1，t-1），∴=-+1-t+1=2-（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，-1），=（-1，t-1），由此能求出的最大值．本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1-1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4-1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．由a n+1=，a1=∈[，1），可依次求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律，继而可得a2018的值．本题考查数列的递推式，由数列{a n}满足的关系式a n+1=，a1=可求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律是解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．根据随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】6【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故答案为：6．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】D【解析】解：由实际上每个名次都有人猜对，①若A第一，则D第四，与E第四矛盾，故此情况不符题意，②若B第一，则C第五，E第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，③若C第一，则B第三，D第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，故答案为：D．按照①若A第一；②若B第一；③若C第一，三种情况进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．13.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】-1【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°-α，∴∠DCM=180°-2α-（90°-α）=90°-α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x-y=-1．故答案为：-1．过D作DM⊥BC，则Rt△ABC∽Rt△DMC，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，．化简得，b2+c2-a2=bc．由余弦定理得，．又0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又a=3，，∴sin B==．又b＜a，,∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=1-2sin2B=-，∴sin（2B+A）=sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=．【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．16.【答案】（1）证明：取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴OC⊥AB，OM⊥平面ABC，以O为原点，以OA，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示，∵，∴D是OB的中点，又E是BC的中点，∴DE∥OC，DE=OC．设等边三角形ABC的边长为a，则D（-，0，0），E（-，a，0），F（-，0，），A（，0，0），C1（0，，2），取EF的中点N，则N（-，a，），∴=（-，a，），=（-，a，2）．∴=4，∴∥，∴AC1∥DN，又AC1⊄平面DEF，DN⊂平面DEF，∴AC1∥平面DEF．（2）解：=（-，-a，），∵AC1⊥EF，∴=0，即-+4=0，解得a=4，∴BD=1．∵OC∥DE，OC⊥平面AA1B1B，∴DE⊥平面AA1B1B，∴DE⊥DB，DE⊥DF，∴∠BDF为二面角F-DE-B的平面角，∵BD=1，BF=，∴DF=，∴cos∠BDF==，即二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）建立坐标系，取EF的中点N，利用向量证明DN∥AC1得出结论；（2）根据AC1⊥EF得出底面边长，证明DE⊥平面AA1B1B得出∠BDF为二面角F-DE-B 的平面角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，元件B为正品的概率约为=0.75；（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次；∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；计算数学期望为0.05=78.25；（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．依题意得60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，所以取n=4或n=5；设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．【解析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）=．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+a4．当a≥1时，△=16a2（1-a）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当0＜a＜1时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＞0，由g（x）=0，解得＞0，＞0．可知g（x）在（0，）∪（，+∞）上大于0，在（，）上小于0，∴f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上单调递减，∴，而=＜0，∴存在，，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．故函数y=f（x）的零点个数为3．综上，当a≤0或a≥1时函数y=f（x）的零点个数为1个，当0＜a＜1时，有3个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）“好位置”有：（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．5×5此数表的“好位置”的个数恰好为9，综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9．（Ⅲ）证明：当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，则数表A可以分成如下四个子表：其中A1是p行q列，A3是p行m-q列，A2是m-p行q列，A4是m-p行m-q列，设A1，A2，A3，A4中1的个数分别为x1，x2，x3，x4，则A1，A2，A3，A4中0的个数分别为pq-x1，q（m-p）-x2，p（m-q）-x3，（m-p）（m-q）-x4，则数表A中好位置的个数为x1+（m-p）（m-q）-x4个，而，x3+x4，所以，所以x1+（m-p）（m-q）-x4，而（m-p）（m-q）+p×==p×=（p-）（q-）-=（p-）（q-），显然当（p-）（q-）取得最小值时，上式取得最小值，因为0≤p，q≤m，所以（p-）（q-），（p-）（q-）+，当p=m时，数表A中至少含有个1，而，所以q至少为2，此时（p-）（q-）=2m-1．当p=m-1时，数表A中至少含有（m-1）×个1，而（m-1）×，所以q至少为1，此时（p-）（q-）≥[（m-1）-]（1-）=2m-2，下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2．【解析】（Ⅰ）按定义直接写出即可；（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．继而列表得解；（Ⅲ）当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c （i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，继而再分成子列表讨论得解．本题考查数列的递推公式，涉及的知识比较多，属于选做题，难度大．。
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学(文)试题(解析版)
2019年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。
用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合＞＜，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，，＜，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. B. ， C. D.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则数列{a n}的通项公式为（）A. B. C. D.7.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A. B. 84 C. 3 D. 218.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量，，，，，，若，则x=______．10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，sin（A+C）=，且A，B，C成等差数列，则C的大小为______．11.设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=______．12.已知，为单位向量且夹角为，设=3+2，=3，则在方向上的投影为______．13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．14.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．16.已知正项数列{a n}的前n项和为，，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．17.如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=45，AB=，BC=2，BE AD于点E，将△ABE沿BE折起，使∠AED=90°，连接AC、AD，得到如图②所示的几何体．（1）求证：平面ACD平面ABC；（2）若点P在线段AB上，直线PD与平面BCD所成角的正切值为，求三棱锥P-BCD的体积．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19.已知椭圆：＞＞的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．20.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由2x＞2，解得x ＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．根据指数函数与对数函数的性质，列方程求出a的值．本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大，故A，C，D都错误，B正确．故选：B．年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a∴e==故选：A．根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c=a，然后根据离心率e=，即可得到答案．此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．4.【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0][1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据三视图可知，该几何体是球替，挖去一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为V=••23-••4•2•2=-．故选：D．根据三视图可知该几何体是球，挖去一个三棱锥，把数据代入体积公式即可求解．本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．6.【答案】D【解析】解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，当n=2时，a2=a1+a1+1×1=3=1+2，当n=3时，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，所以：a n=1+2+3+…+n=．故选：D．直接利用赋值法和数列的通项公式的转换的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，赋值法的应用，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|pF1|•|pF2|=21故选：D．设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．8.【答案】C【解析】解：i=1，S＞1000否，i=2，S=2+1=3，i=2，S＞1000否，i=3，S=6+1=7，i=3，S＞1000否，i=4，S=14+1=15，i=4，S＞1000否，i=5，S=30+1=31，i=5，S＞1000否，i=6，S=62+1=63，i=6，S＞1000否，i=7，S=126+1=127，i=7，S＞1000否，i=8，S=254+1=255，i=8，S＞1000否，i=9，S=510+1=511，i=9，S＞1000否，i=10，S=1022+1=1023，i=10，S＞1000是，输出i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】-10【解析】解：；∵；∴；∴x=-10．故答案为：-10．可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．10.【答案】【解析】解：△ABC中，A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，即B=，sin（A+C）=，即为sinB=，即有b2=c2+ac，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，即有a=2c ，b=c ， cosC===，由C 为三角形的内角，可得C=． 故答案为：．由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得B ，再由余弦定理和面积公式，可得a=2c ，b=c ，再由余弦定理求得cosC ，可得角C ．本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】-【解析】解：∵tan （θ+）==，∴tanθ=-，而cos 2θ==，∵θ为第二象限角， ∴cosθ=-=-，sinθ==，则sinθ+cosθ=-=-．故答案为：- 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 12.【答案】【解析】解：根据题意得，•=9•+62=9×+6×1×1=-+6=；又∵|b|=3， ∴在方向上的投影为==；故答案为．运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题． 本题考查向量的夹角，投影的概念． 13.【答案】144【解析】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》， 分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后． 第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共=4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共=72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以=2即可，即六场的排法有4×72÷2=144（种） 故答案为：144．由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共=4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B 排在D 的前面，只需除以即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．14.【答案】-1【解析】解：设切点的横坐标为x 0，f′（x ）=1--==1⇒x 0=-⇒-a=，则有：f （x 0）=x 0+-alnx 0=x 0+1⇒lnx 0-x 0+1=0，令h （x ）=lnx-x+1⇒h′（x ）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．15.【答案】解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cosC=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1=+4n-1-[+4（n-1）-1]，化为：=，a n＞0．∴a n-a n-1=2，或a n+a n-1=2，a n-a n-1=2时，数列{a n}是等差数列，a n=1+2（n-1）=2n-1．a n+a n-1=2，∵a1=1，可得a n=1．（2）{a n}是递增数列，∴a n=2n-1．==，数列{b n}的前n项和T n==＜，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．【解析】（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1，化为：=，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n=2n-1．可得==，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（1）证明：方法1：∵BE AE，DE AE，BE∩DE=E，∴AE平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，，），∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），∴=0，=0，∴DM AB，DM BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD平面ABC．方法2：取AC的中点M，BC的中点N，连接DM，DN，MN．在平行四边形中，由AB=，∠BAE=45°，BE AD可得AE=BE=1，又AD=BC=2，∴DE=1，∴BN=BE=DE，又BN∥DE，BE DE，∴四边形BEDN 是正方形，∴DN ∥BE ，BN BE ， 又MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥AB ， 又BE ∩AB =B ，DN ∩MN =N ， ∴平面DMN ∥平面ABE ， ∵BE AE ，DE AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE 平面BCDE ，又BC ⊂平面BCDE ， ∴AE BC ，又BC BE ，BE ∩AE =E ， ∴BC 平面EAB ，∴BC 平面DMN ，∴BC DM ． ∵AD = = ，CD =AB = ， ∴AD =CD ，∴DM AC ， 又AC ∩BC =C ， ∴DM 平面ABC ，又DM ⊂平面ACD ，∴平面ABC 平面ACD ． （2）过P 作PN BE ，垂足为N ，连接DN ， 则PN ∥AE ，∴PN 平面BCDE ，∴∠PDN 为直线PD 与平面BCD 所成的角．设PN =x ，则BN =x ，故EN =1-x ，∴DN = ， ∴tan ∠PDN == = ，解得x = ，即PN =． ∵BD = = ，CD =AB = ，BC =2，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴BD CD ．∴S △BCD ==1，∴三棱锥P -BCD 的体积V =S △BCD •PN ==． 【解析】（1）取AC 中点M ，建系，利用向量证明DM AB ，DM BC 即可得出DM 平面ABC ，故而平面ACD 平面ABC ；（2）做出直线PD 与平面BCD 所成角，求出P 到平面BCDE 的距离，代入体积公式即可． 本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． …（4分） （Ⅱ）2×2列联表如下图：K 2=≈5.208＞2.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 【解析】（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小； （Ⅱ）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（1）∵椭圆 ：＞ ＞ 的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，∴，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为．证明：（2）∵椭圆C 的方程为=1，∴A （-2，0），B （0，-1），设M （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），则=1，即m 2+4n 2=4，则直线BM 的方程为y =，令y =0，得，同理，直线AM 的方程为y = ，令x =0，得，∴ ×| +2|×| |====2，∴四边形ABCD的面积为定值2．【解析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设M（m，n），（m＞0，n＞0），则m2+4n2=4，从而直线BM的方程为y=，进而，同理，得，进而×|+2|×|，由此能证明四边形ABCD的面积为定值2．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．若＜≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。
2019届北京高三高考模拟（三）数学（文）试题
2019届北京师范大学附属中学高三高考模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A∩B ）=（ ） A ．3，B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据A 与B 求出两集合的并集，由全集U ，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A ∪B={1，2，3}， ∵全集U={1，2，3，4}， ∴∁U （A ∪B ）={4}． 故选D【考点】交、并、补集的混合运算．2．已知复数z 满足()113z i i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得. 【详解】由22(1)|13|(1)(3)2z i i +=-+=-+=，得z=22(1)11(1)(1)i i i i i -==-++-，∴1z i =+． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富. 3．已知双曲线=1的一个焦点F 的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程. 【详解】双曲线的一个焦点为由得，解得双曲线方程为：,双曲线的渐近线方程为.故选A项.【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的渐近线方程.属于简单题.4．设D为△ABC所在平面内一点BC=3CD，则（）A．41AD AB AC33=+B．41AD AB AC33=-C．14AD AB AC33=-D．14AD AB AC33=-+【答案】D【解析】利用平面向量的基向量表示AD，把AD向目标向量靠拢即可. 【详解】如图，1141()3333AD AC CD AC BC AC BA AC AC AB =+=+=++=-，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量的基底向量的表示，侧重考查数学运算的核心素养.5．函数f（x）=sin（ωx+）（其中||＜）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．【详解】解：由图知，，，；又，，又，，，，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则1m+9n的最小值为（）A．32B．83C．114D．不存在【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式及条件，求出,m n的关系式，结合均值定理可得. 【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）， 因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a12，则q m+n-2=16，解得m+n=6，所以1911919198(m n)101026663n m n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，nm 91+取最小值为114，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的运算及均值定理应用，均值定理使用时注意使用条件. 7．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332-B ．634-C ．33D ．63【答案】B【解析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为22221113sin 62364S r r r r π=π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形圆222132464634r r r πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 8．已知函数f （x ）=，g （x ）=-e x-1-lnx+a 对任意的x 1∈[1，3]，x 2∈[1，3]恒有f （x 1）≥g （x 2）成立，则a 的范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】 由题得在[1，3]上单调递增，所以由题得，所以函数g （x ）在[1,3]上单调递减，所以，由题得所以.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题9．若实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z x y =-的最大值为2，则实数m =______． 【答案】2【解析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m. 【详解】先作出实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图，∵目标函数z=x-y 的最大值为2，由图象知z=2x-y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2．由20x y y -=⎧⎨=⎩，解得A （2，0），同时A （2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键.10．已知函数()22xsin x tanx,x 0f x e ,x 0-⎧-<=⎨≥⎩，则25πf f 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=______． 【答案】31e 【解析】先求内层函数值，再求外层函数值. 【详解】根据题意，函数22sin tan ,0(),0xx x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，则225252513sin tan (1)44422f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则332531f f f e 42e π-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故答案为：31e ． 【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略. 11．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。
5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0x x a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥,1AB t=,AC t =,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP ABAC=+,当t 变化时,PB PC ⋅的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭nA ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)e xxx x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A.211(,)16e -B.211(,0)(0,)16e- C.21(0,)e D.21[0,)e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；A B C D E A C B B A D C E D D B C团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N-，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)a a≠，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；②存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD中，90ABC∠=︒，2DCA BAC∠∠=．若BD xBA yBC=+（x y∈R，），则x y-的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c，，，满足sin1sin sinb Ca c A B=-++．（1）求角A的值；（2）若=3=22a b，sin(2+)B A的值．E A E16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是A B 80cm 80cm A B A正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．X A B X B20.（本小题满分14分）对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9. 1,- 10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1- 三．解答题15．（本小题满分13分） 解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分又0πA <<，∴π3A =． .…….……6分（2）由（Ⅰ）知，π3A =，又 3a =，b = ∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，D∴cos B=．.…….……9分∴sin22sin cosB B B=，.…….……10分21cos212sin3B B=-=-．.…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin2cos cos2sin333B A B B B+=+=+．.…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC交于EF于点H，E、F为BC、1BB的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH∴∥，DH ⊂面DEF，1AC∴∥面DEF．（2）矩形11BCC B中，连结1C F、1C E，连结AE，AE BC⊥，面1BCC B⊥面ABC，1AE BCC B∴⊥面，AE EF∴⊥，1AC EF⊥，EF∴⊥面1AC E，1EF EC∴⊥，1FECRt△中，22211EF EC FC+=，221112FC B C=+，221184EC BC=+，22124EF BC=+，4BC∴=，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，(F，()1,0,0D，()E，(DF=-，()0,DE=，平面DEF的一个法向量()1,,x y z=n，∴11DFDE⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩nn，即0x⎧-==⎪，取x=)1=n，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110，，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∵生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即， 生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为． 18. （本小题满分13分）80cm A B A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→， ∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e aa -<<<，∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内． ∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点． 19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2，又∵椭圆C 1的离心率是√32．∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． （2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y 2=8x x=my+2得y 2-8my -16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8（1+m 2）． 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0，x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1．∴|CF |=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1•√1+m 2． △ABC 面积s =12|AB |•|CF |=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f （t ）=16t 34t 2−3，f ′（t ）=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2，令f ′（t ）=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)（2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”， 则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =-下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。
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【全国百强校】北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 若集合，则实数的值为（）
A．B．2
C．
D．1
2. 设数据是郑州市普通职工个人的年收入，若这个数据的中位数为，平均数为，方差为，如果再加上世界首富的年收入
，则这个数据中，下列说法正确的是（）
A．年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变
B．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大
C．年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D．年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变
3. 若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
4. 已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤1的解集为（）
A．B．，C．D．
5. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．B．C．D．
6. 在数列中，已知，且对于任意的，都有
，则数列的通项公式为（）
A．B．
C．D．
7. 若椭圆和双曲线的共同焦点为，，是两曲线的一个交点，则的值为 ( )
B．84 C．3 D．21
A．
8. 如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）
A．8 B．9 C．10 D．11
二、填空题
9. 已知向量，若，则______．
10. 在中，内角所对的边分别为为的面积，
，且成等差数列，则的大小为______．
11. 设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=_________.
12. 已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为____
13. 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答）
14. 直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是
______．
三、解答题
15. 在中，.
（1）求；
（2）若，求的周长.
16. 已知正项数列{a n}的前n 项和为．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n 项和，若恒成立，求实数m的取值范围．
17. 如图，在平行四边形中，于点
，将沿折起，使，连接，得到如图所示的几何体．
（1）求证：平面平面；
（2）若点在线段上，直线与平面所成角的正切值为，求三棱锥的体积．
18. 手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：
女性用户分值区
间
[50，
60）
[60，
70）
[70，
80）
[80，
90）
[90，
100] 频数20 40 80 50 10
男性用户分值区
间
[50，
60）
[60，
70）
[70，
80）
[80，
90）
[90，
100] 频数45 75 90 60 30
（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；
（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，完成下列列联表，并判断能否有的把握认为“评分良好用户”与性别有关？
女性用户男性用户合计
“认可”手机
“不认可”手
机
合计
参考公式，其中
19. 已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点为椭圆上位于第一象限内一动点，分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形
的面积为定值．
20. 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，，求的最大整数值．。