清华附中高三下数学理统练答案修订稿
2021年高三下学期统练(三)数学(理)试题 Word版含答案
2021年高三下学期统练（三）数学（理）试题 Word版含答案一、选择题：本大题共8小题，共40分.1. 已知为虚数单位，，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件2. 在这5个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有（）A. 36个B. 24个C. 18个D. 6个3. 已知，则（）A. B. C. D.4. 设为所在平面内一点，，则（）A. B.C. D.5. 已知点及抛物线上一动点，则的最小值是（）A. B. C. D.6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（）A. B. C. D.俯视图侧视图正视图37. 若满足且的最大值为，则的值为（）A. B. C. D.8. 某大学进行自主招生时，需要进行逻辑思维和阅读表达两项能力的测试.学校对参加测试的200名学生的逻辑思维成绩、阅读表达成绩以及这两项的总成绩进行了排名，其中甲、乙、丙三位同学的排名情况如下图所示：下列叙述一定正确的是（）A.甲同学的阅读表达成绩排名比他的逻辑思维成绩排名更靠前B.乙同学的逻辑思维成绩排名比他的阅读表达成绩排名更靠前C.甲、乙、丙三位同学的逻辑思维成绩排名中，甲同学更靠前D.乙同学的总成绩排名比丙同学的总成绩排名更靠前二、填空题：本大题共6小题，共30分.9. 如图，在中，，，，点为的中点，以为直径的半圆与，分别相交于点，则________，_______.B10. 在中，若，，，则的大小为__________.11. 在等差数列中，若，则的值为________.12. 已知点到和的距离相等，则的最小值为_______.13. 将个正整数任意排列成行列的数表，对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值.”当时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为_________.14. 设函数①若，则的最小值为_________；②若恰有2个零点，则实数的取值范围是_________.三、解答题（本大题共6小题，共80分）15. 设函数，..（1）当时，求函数的值域；（2）已知函数的图象与直线有交点，求相邻两个交点间的最短距离.16. 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间（单位：天）记录如下：组：；组：.假设所有病人的康复时间相互独立，从两组随机各选1人，组选出的人记为甲，组选出的人记为乙.（1）求甲的康复时间不少于14天的概率；（2）如果，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；（3）当为何值时，两组病人康复时间的方差相等？（结论不要求证明）17. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.（1）求证：；（2）若且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.C18. 已知函数.（1）若函数在点处的切线方程为，求切点的坐标；（2）求证：当时，；（其中…）；（3）确定非负实数．．．．的取值范围，使得，成立.19. 已知椭圆上的点到它的两个焦点的距离之和为，以椭圆的短轴为直径的圆经过这两个焦点，点分别是椭圆的左、右顶点.（1）求圆和椭圆的方程；（2）已知分别是椭圆和圆上的动点（位于轴两侧），且直线与轴平行，直线分别与轴交于点.求证：为定值.20. 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为，.（1）若为，是一个周期为的数列（即对任意，）写出的值；（2）设为非负整数，证明：的充分必要条件为为公差为的等差数列；（3）证明：若，，则的项只能是或，且有无穷多项为.北京一零一中xx学年度第二学期统练三高三数学（理）参考答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.9. , 10. 或11. 12.13. 14. ,三、解答题：本大题共6小题，共80分15. 解:（1）当时，，故当时，函数的值域为（2）当，即时或解得：或故函数的图象与直线相邻两个交点间的最短距离为16. 解：（1）由题意可知：组7位病人中康复时间不少于14天的共有3人，故从组中选出的人甲康复时间不少于14天的概率为（2）当时，甲的康复时间比乙的康复时间长的情况有：共10种，故甲的康复时间比乙的康复时间长的概率为（3）17. 解：（1）证明：由四边形为菱形可知：，因，平面故由线面平行的判定定理可得：平面又平面，平面平面=故由线面平行的性质定理可得：.（2）如图所示，取的中点，连接、由题意易知：为正三角形，而由可得：又平面平面，平面平面平面故由面面垂直的性质定理可得：而于是由线面垂直的性质定理可得：，以所在直线为轴，以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设易知三点坐标分别为，于是设平面即平面的法向量为则有解得：取可得：，故平面的一个法向量为易知平面于是平面即平面的一个法向量为设平面与平面所成的锐二面角为，则18. 解（1）的导函数可知：，依题意有：故可得：解得： 于是即所求切点的坐标为（2）证明：令其导函数令 可得：；令 可得：.故的单调递增区间为，单调递减区间为而，()()()2212ln 121410g e e e e e e -=--+-=-->在区间上的最小值为.从而当时，.（3）令()()()()2222ln 12h x f x a x x x ax ax =--=++-其导函数()()222'22111h x ax a ax a x x =+-=-+++ ①时，在时恒成立，故在区间上单调递增，此时在区间上的最小值为：，因此当时，，即对于任意恒成立；②当时，可知在时恒成立，故在区间上单调递增，此时在区间上的最小值为：，因此当时，，即对于任意恒成立；③当时，令，可得： ；令，可得：.故在区间上单调递减，在区间上单调递增.此时在区间上的最小值为则有：22ln 12h a ⎫=+-⎪⎪⎭又知，故当时不符合题意.综上所述：当时，使得，恒成立.19. 解：（1）由题意易知：又，故可得：因此所求圆的方程为椭圆的方程为（2）依题意可设点坐标为，有：易知椭圆左右顶点的坐标分别为，直线的方程为：直线的方程为：于是可得：两点坐标分别为，依题意设点坐标为，有于是，，故有：22221122Q P p p MQ NQ x y x x ⎛⎫⎛⎫⋅=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪+-⎝⎭⎝⎭因此，，即为定值20. 解：（1）由题意可得：；；；.（2）充分性：设数列为公差为的等差数列，则，必要性：设 则有假设是第一个使的项，则这与相矛盾，故是一个不减的数列.，即，故是公差为的等差数列.（3）证明：若，首先，的项不能等于零，否则，矛盾；而且，的项不能超过2，证明如下：假设的项中，是第一个大于的项.由于的项中一定有，否则与矛盾，因此，存在最大的在到之间，使得此时，，矛盾.综上所述，的项不能超过2，故的项只能是或2.下面用反证法证明的项中，有无穷多项为.若是最后一个1，则后面各项均为，故，与已知条件矛盾.因此，假设不成立，原结论正确，即的项中有无穷多项为综上可得：的项只能是或，且有无穷多项为.x9l€!d[ZF39663 9AEF 髯20633 5099 備h33497 82D9 苙。
2020届北京市清华附中高三第二学期第三次统练数学试题(含解析)
清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3B.2 C. 33 D. 228.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ）A . a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n nf x f x f xg x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g xg x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为y x =，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断： ①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地 ABCDE批发价格 150160140155170市场份额15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤. 故选：D .【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. B.C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】 依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ） A. a b c << B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =， 所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18【答案】C 【解析】 【分析】 令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值. 【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦， 使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤，故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314n h x ≤≤ 故5314n -≤，故max 14n =. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.【答案】12【解析】 【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为33y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.【答案】30- 【解析】 【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ， 故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________． 【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=u u u r u u u r，故1122ac =，即24ac =， 又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=，所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解，即满足12BC BA ⋅=u u u r u u u r的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+， 整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】 【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-， 故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S Sn n --=--， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n =+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<， 故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，BC DC ==MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）277. 【解析】 【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE . 因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，13,0,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()1,0,0MN =u u u ur .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 即300y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =1z =，所以()3,1m =u r.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3030v w u w ⎧-=⎪⎨=⎪⎩，取1w =，则3,3u v == 故()3,3,1n =r，所以27cos ,47m n m n m n⋅==⨯u r ru r r u r r因为二面角A NP M --的平面角为锐角， 故二面角A NP M --的余弦值为77.【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地 ABCDE批发价格 150160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望. （3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论）【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】 【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===， 所以X 的分布列为：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++，其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比， 则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题.19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】 【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++， 故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数. 取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数； 当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数， 所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为 ()()()211221*********M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->，又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+， 故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因为()41T A =， 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对，则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况：①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个. ②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=. 综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --. （3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯， 所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。
2022届北京市清华大学附属中学高三第二学期入学检测数学(理)试题Word版含答案
2022届北京市清华大学附属中学第二学期入学检测高三数学（理）试题一、单选题1．已知复数z 满足()1i z i +=，i 为虚数单位，则z 等于（ ）A ．1i -B ．1i +C ．1122i - D ．1122i + 【答案】A【解析】因为2(1)1(1)(1)i z i i i -===-+-，所以应选答案A ． 2．已知圆的极坐标方程为4sin 4P πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则其圆心坐标为（ ）A ．2,4π⎛⎫⎪⎝⎭B ．32,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．2,4π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．()2,0【答案】B【解析】把圆的极坐标方程化为直角坐标方程，求得圆心坐标(，再根据极坐标与直角坐标的互化公式，即可求解. 【详解】由题意知，圆的极坐标方程为4sin 4πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭，即ρθθ=-，即2sin cos ρθθ=-，所以220x y ++-=，所以圆心坐标为(，又由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，可得圆心的极坐标为3(2,)4π，故选B. 【点睛】本题主要考查了极坐标与直角坐标的互化，及圆的方程应用，其中解答中熟记极坐标与直角坐标的互化公式，把极坐标化为直角坐标方程是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 3．执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．4B ．3C ．2-D ．3-【答案】A【解析】执行程序框图，2i = ，第一次循环，2;s = 3i = ，第二次循环，1;s =-4i = ，第三次循环，3;s =5i = ，第四次循环，2;s =-6i = ，第五次循环，4;s =7i = 结束循环，输出4,s =故选A.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.4．设a ，b ∈R ，则“（a ﹣b ）a 2＜0”是“a ＜b ”的（ ）条件 A ．充分不必要 B ．必要不充分 C ．充要 D ．既不充分也不必要【答案】A【解析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行求解即可. 【详解】由（a ﹣b ）a 2＜0得到：0,0a a b ≠-<，则a ＜b 成立，即充分性成立，反之不成立，故为充分不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查了不等式的关系，充分必要条件，考查了学生逻辑推理，数学运算的能力，属于基础题.5．将一枚硬币连续抛掷n次，若使得至少有一次正面向上的概率不小于1516，则n的最小值为（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【解析】由题意得1151()4216n n-=⇒= ,选A.6．自点A（﹣3，4）作圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1的切线，则A到切点的距离为（）A．5B．3 C．10D．5【答案】D【解析】求出圆心和半径，求出AC的值，可得切线的长度.【详解】圆（x﹣2）2+（y﹣3）2＝1表示以C(2,3)为圆心，1为半径的圆，由于26AC=且A,C,切点三个点构成以切点为直角顶点的直角三角形，故切线长为：2615-=故选：D【点睛】本题考查了圆的切线长求解，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题. 7．某几何体的三视图如图所示，在该几何体的体积是（）A．103B．203C．25D．45【答案】B【解析】由三视图，可得该几何体为四棱锥，由体积公式即得解. 【详解】如图所示，该几何体为四棱锥，其中PA ⊥平面ABCD ，作BE CD ⊥，垂足为E 底面可以看成直角梯形ADEB 和直角三角形BEC 构成， 则：1121204(222)3223V +=⨯⨯⨯+⨯⨯= 故选：B 【点睛】本题考查了三视图及棱锥的体积，考查了学生空间想象，运算求解能力，属于基础题.8．已知点(),P x y 是平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-内的动点, 点()1,1,A O -为坐标原点, 设()OP OA R λλ-∈的最小值为M ,若2M ≤, 则实数m 的取值范围是（ ）A ．11,35⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．11,,35⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭C ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】试题分析：直线()4x m y =-恒过定点(0,4)，当0m >时，约束条件()4{04y x y x m y ≤-≤≥-对应的可行域如图，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤当0m =时，直线()4x m y =-与y 轴重合，平面区域()4{04y x y x m y ≤-≤≥-为图中y 轴右侧的阴影区域，则()OP OA R λλ-∈的最小值为0M =，满足2M ≤，当0m <时，由约束条件()4{04y xy x m y ≤-≤≥-表示的可行域如图，点P 与点B 重合时，()OP OA R λλ-∈的最小值为M OB =，联立{(4)y x x m y ==-，解得44(,)11m mB m m --，所以421m OB m =-，由4221m m ≤-，解得1135m -≤≤，所以103m -≤≤，综上所述，实数m 的取值范围是1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，故选C.【考点】简单的线性规划.【方法点晴】本题主要考查了二元一次不等式组所表示的平面区域、简单的线性规划求最值问题，着重考查了数形结合思想方法及分类讨论的数学思想方法的应用，关键是正确的理解题意，作出二元一次不等式组所表示的平面区域，转化为利用线性规划求解目标函数的最值，试题有一定的难度，属于难题.二、填空题9．在等差数列{}n a 中，若()246n n a a n n N *++=+∈,则该数列的通项公式n a =_____【答案】21n【解析】由已知条件可得数列的首项和公差，可得通项公式. 【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，由246n n a a n ++=+ ①，可得24414n n a a n +++=+ ② ，可得②-①，48n n a a +-=，可得2d =， 把1n =代入①，可得12410a +=，可得13a =， 可得数列的通项公式32(1)21n a n n =+-=+，故答案为：21n . 【点睛】本题考查等差数列的通项公式，求出数列的首项和公差是解题的关键.10．102a x ⎫⎪⎭展开式中的常数项为180，则a =_________． 【答案】2或2-【解析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x 的幂指数等于0，求得r 的值，即可求得展开式中的常数项的值，再根据常数项的值为180，求得a 的值． 【详解】2a x ）10展开式中的通项公式为 T r+1=10r C •a r •552r x -， 令5﹣52r =0，求得r=2，可得它的常数项为a 2•210C =180，故a=±2，故答案为2或2- 【点睛】求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.11．若函数π()2sin(2)(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点，则函数()f x 在[0,]π上的单调减区间是____． 【答案】π7π(,)1212(或π7π[,]1212)【解析】函数()()π2sin 2(0)2f x x ϕϕ=+<<的图象过点(，则2sin ϕ=sin 2ϕ=，0,23ππϕϕ<<∴=，()2sin(2)3f x x π∴=+.0x π≤≤,022x π∴≤≤,72333x πππ≤+≤,有于sin y x =在3[,]22ππ为减函数，所以32232x πππ≤+≤，解得71212x ππ≤≤.【点睛】根据函数图象过已知点，求出sin ϕ ，借助ϕ的范围求出ϕ的值.求三角函数在某一区间上的最值及单调区间时，务必要注意“范围优先原则”，根据x 的范围研究x ωϕ+的范围，有时还要关注A 的符号，因此当自变量有范围限制时，解题更要小心失误.12．经过点(2,2)A -且与双曲线2212xy -=有公共渐近线的双曲线方程为_________．【答案】22124x y -=【解析】由题意设所求双曲线的方程为22(0)2x y λλ-=≠，∵点()2,2-在双曲线上， ∴4422λ=-=-， ∴所求的双曲线方程为2222x y -=-，即22124y x -=．答案：22124y x -=13．已知非零向量a ，b 满足|b |＝1，b 与b a -的夹角为30°，则|a |的最小值是_____． 【答案】12． 【解析】构造满足题意的三角形，根据几何意义求出|a |的最小值. 【详解】根据题意：作,,30o CB a CA b b a BA A ==∴-=∠= 过C 作CD AB ⊥，垂直为D ，则CD 的长度即为|a |的最小值，1=sin 302o CD CA =，故|a |的最小值为12故答案为：12【点睛】本题考查了向量的线性运算的应用，考查了学生转化与划归，数形结合，数学运算的能力，属于中档题.14．在平面直角坐标系xOy 中，对于⊙O ：x 2+y 2＝1来说，P 是坐标系内任意一点，点P 到⊙O 的距离S P 的定义如下：若P 与O 重合，S P ＝r ；若P 不与O 重合，射线OP 与⊙O 的交点为A ，S P ＝AP 的长度（如图）． （1）直线2x +2y +1＝0在圆内部分的点到⊙O 的最长距离为_____； （2）若线段MN 上存在点T ，使得： ①点T 在⊙O 内；②∀点P ∈线段MN ，都有S T ≥S P 成立．则线段MN 的最大长度为_____．【答案】12-4 【解析】（1）作出对应的图象，由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，此时P 到⊙O 的距离最长，即得解；（2）分析可得S P ≤1，因此当线段MN 过原点时，当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为4，即得解. 【详解】作出对应的图象如图：由图象可知当直线与2x +2y +1＝0垂直时对应的交点P ，|OP|取得最小值，此时P 到⊙O 的距离最长，此时OP 2212822===+，则AP ＝1﹣OP ＝12（2）∵点T 在⊙O 内，∴S T ≤1， ∵S T ≥S P 成立，∴S P ≤1，∀点P ∈线段MN ，若P 在圆内，都满足S P ≤1；若P 在圆外，P 必须在以原点为圆心，2为半径的圆的内部（含边界） ∴当线段MN 过原点时，MN 的最大长度为1+2+1＝4，【点睛】本题考查了直线和圆的新定义问题，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.三、解答题15．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，R x ∈（其中ππ0,0,22A ωϕ>>-<<），其部分图像如图所示．（1）求函数()f x 的解析式；（2）已知横坐标分别为1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，求sin MNP ∠的值． 【答案】（1）()sin()44f x x ππ=+；（2）45. 【解析】【详解】试题分析：本题主要考查三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、读图能力、转化能力、计算能力. 第一问，利用函数图象先看出周期，再利用周期公式得到ω，再利用特殊点（1,1）解出ϕ的值，从而得到()f x 解析式；第二问，先利用1-、1、5的三点,,M N P 都在函数()f x 的图像上，得到,,M N P 点坐标，从而利用两点间距离公式得到边MN 、MP 、PN 的长，利用余弦定理得到cos MNP ∠的值，最后利用平方关系得到sin MNP ∠，法二：还可以利用向量的数量积来计算. 试题解析：（1）由图可知，1A =， 最小正周期428,T =⨯= ∴2ππ8,.4T ωω===又∵π(1)sin()14f ϕ=+=，且ππ22ϕ-<< ∴ππ3π444ϕ-<+<，πππ,.424ϕϕ+==∴()sin()44f x x ππ=+．（2） 解法一: ∵ππ(1)sin(11)0,(1)sin (11)1,44f f -=-+==+= π(5)sin(51)14f =+=-， ∴(1,0),(1,1),(5,1)M N P --，MN MP PN ===从而3cos5MNP ∠==-，∵()0,MNP π∠∈，∴4sin 5MNP ∠==. 【考点】三角函数的周期、三角函数的图象、余弦定理、平方关系.16．某地区人民法院每年要审理大量案件，去年审理的四类案件情况如表所示：其中结案包括：法庭调解案件、撤诉案件、判决案件等．根据以上数据，回答下列问题． （Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，求该件是结案案件的概率； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件，求该件是判决案件的概率；（Ⅲ）在编号为1、2、3的三类案件中，判决案件数的平均数为x ，方差为S 12，如果表中n x =，表中全部（4类）案件的判决案件数的方差为S 22，试判断S 12与S 22的大小关系，并写出你的结论（结论不要求证明）．【答案】（Ⅰ）9395；（Ⅱ）1229；（Ⅲ）2212S S ＞； 【解析】（Ⅰ）此概率模型为古典概型，分别计算在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件和取到的是结案案件的方法数，即得解;（Ⅱ）此题仍为古典概型，分别计算对应的事件数，即得解;（Ⅲ）设4类案件的均值为x ，则34x x X x +==,代入运算，得解. 【详解】（Ⅰ）在编号为1、2、3的收案案件中随机取1件，共有2400+3000+4100＝9500种取法，其中取到的是结案案件方法数为2400+2900+4000＝9300种，设“在收案案件中取1件结案案件”为事件A ，则P （A ）9395=； （Ⅱ）在编号为2的结案案件中随机取1件共有2900种取法，其中是判决案件有1200种取法，设“在该结案案件中取1件判决案件”为事件B ，则P （B ）1229=； （Ⅲ）2212S S ＞；设4类案件的均值为x ，则34x x X x +== 2214S =[22221234()()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[()2222123()()()x x x x x x x x -+-+-+-] 14=[222123()()()x x x x x x -+-+-] 13＜[222123()()()x x x x x x -+-+-]21S =． 【点睛】本题考查了统计与概率综合，考查了学生数据处理，转化划归，数学运算的能力，属于基础题.17．如图，四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC ．（Ⅰ）求证：AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）求证：FC ∥平面EAD ；（Ⅲ）求二面角A ﹣FC ﹣B 的余弦值．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）15 【解析】试题分析：（Ⅰ）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，且O 为AC 中点，由FA FC =，知AC FO ⊥，由此能够证明AC ⊥平面BDEF ；（Ⅱ）因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以//,//AD BC DE BF ，平面//FBC 平面EAD ，由此能够证明//FC 平面EAD ；（Ⅲ）因为四边形BDEF 为菱形，且60DBF ∠=，所以DBF ∆为等边三角形，因为O 为BD 中点，所以FO BD ⊥，故FO ⊥平面ABCD ，由,,OA OB OF 两两垂直，建立空间直角坐标系O xyz -，设2AB =，因为四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=，则2BD =，所以()3,0,3CF =，()3,1,0CB =，求得平面BFC 的法向量为()1,3,1n =--，平面AFC 的法向量为()0,1,0v =，由此能求出二面角A FC B --的余弦值.试题解析：（Ⅰ）证明：设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，且O 为AC 中点．又 FA=FC ，所以 AC ⊥FO ．因为 FO ∩BD=O ，所以 AC ⊥平面BDEF ．（Ⅱ）证明：因为四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，所以AD ∥BC ，DE ∥BF ，所以 平面FBC ∥平面EAD ．又FC ⊂平面FBC ，所以FC ∥平面EAD ．（Ⅲ）解：因为四边形BDEF 为菱形，且∠DBF=60°，所以△DBF为等边三角形．因为O为BD中点，所以FO⊥BD，故FO⊥平面ABCD．由OA，OB，OF两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．…（9分）设AB=2．因为四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，则BD=2，所以OB=1，．所以．所以，．设平面BFC的法向量为=（x，y，z），则有，取x=1，得．∵平面AFC的法向量为=（0，1，0）．由二面角A﹣FC﹣B是锐角，得|cos＜，＞|==．所以二面角A﹣FC﹣B的余弦值为．18．已知椭圆E：2xm+y2＝1（m＞13P（1，0）的直线与椭圆E交于A，B不同的两点，直线AA0垂直于直线x＝4，垂足为A0．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）求证：直线A0B恒过定点．【答案】（Ⅰ）m＝4（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）利用221c b a a =-（Ⅱ）设AB方程并与椭圆联立，利用韦达定理化简直线A0B的方程为点斜式形式，得到定点. 【详解】（Ⅰ）∵椭圆E：2xm+y2＝1（m＞1）的离心率为3，∴221311c ba a m=-=-=⇒m＝4，（Ⅱ）当直线AB与x轴不重合时，设其方程为x＝my+1．A（x1，y1），B（x2，y2），由22144x myx y=+⎧⎨+=⎩⇒（m2+4）y2+2my﹣3＝0．∴12224my ym-+=+，12234y ym-=+．因为A0（4，y1），2124A By ykx-=-，所以直线A0B的方程为：y﹣y1()21244y yxx-=--，⇒y21221212122122144444y y x y y x y yx y xx y y x y y⎛⎫⎛⎫----=-+⋅=+⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭21122122144y y my y y yxx y y⎛⎫--+=+⎪--⎝⎭．∵()121232my y y y=+，∴()121221212154522y ymy y y yy y y y--+==---，∴直线A0B的方程为：y212542y yxx-⎛⎫=-⎪-⎝⎭，当直线AB 与x 轴重合时，直线A 0B 与x 轴重合，综上，直线A 0B 恒过定点（52，0） 【点睛】本题考查了直线和椭圆综合，考查了学生转化与划归，综合分析，数学运算的能力，属于较难题.19．设f （x ）＝xe x ﹣ax 2﹣2ax ．（Ⅰ）若y ＝f （x ）的图象在x ＝﹣1处的切线经过坐标原点，求a 的值；（Ⅱ）若f （x ）存在极大值，且极大值小于0，求a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）a 1e =；（Ⅱ）（0，12e ）∪（12e ，1e）． 【解析】（Ⅰ）求f '（x ）得到切线斜率，结合直线过原点，即得解;（Ⅱ）分a ≤0，a ＞0两种情况分析导数极值，得到f （ln 2a ）是极大值，由极大值小于0，求a 的取值范围.【详解】（Ⅰ）f '（x ）＝e x +xe x ﹣2ax ﹣2a ＝（x +1）（e x ﹣2a ），f '（﹣1）＝0，f （﹣1）1e=-+a ， 所以由题意得：011a e -+=-，∴a 1e =； （Ⅱ）由（Ⅰ）得，当2a ≤0时，即a ≤0时，e x ﹣2a ≥0，∴x ＜﹣1，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，x ＞﹣1，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，所以f （x ）有极小值，无极大值；当a ＞0，f '（x ）＝0，x ＝﹣1或x ＝ln 2a ，当ln 2a ＞﹣1时，即a 12e＞， ∴x ∈（﹣∞，﹣1）和 （ln 2a ，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，当﹣1＜x ＜ln 2a 时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （﹣1）为极大值，且f （﹣1）1e =-+a ，由题意得：f （﹣1）＜0，∴112a e e ＜＜； 当ln 2a ＜﹣1时，即0＜a 12e＜， ∴x ∈（﹣∞，ln 2a ）和 （﹣1，+∞），f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，x ∈（ln 2a ，﹣1），f '（x ）＜0，f （x ）单调递减，所以f （ln 2a ）是极大值，且f （ln 2a ）＝2aln 2a ﹣aln 22a ﹣2aln 2a ＝﹣aln 22a ＜0恒成立； 当ln 2a ＝﹣1时，即a 12e=，f '（x ）＝（x +1）2≥0恒成立，f （x ）单调递增，无极值，舍去； 综上所述：符合条件的a 的取值范围：（0，12e ）∪（12e ，1e ）． 【点睛】本题考查了函数与导数综合，考查了学生综合分析，转化划归，分类讨论的能力，属于较难题.20．如果无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，则称数列{a n }具有性质P ．（Ⅰ）若a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N ），判断数列{a n }是否具有性质P ，并说明理由， （Ⅱ）若数列{a n }具有性质P ，求证：{a n }中一定存在三项a i ，a j ，a k （i ＜j ＜k ）构成公差为奇数的等差数列；（Ⅲ）若数列{a n }具有性质P ，则{a n }中是否一定存在四项a i ，a j ，a k ，a l ，（i ＜j ＜k ＜l ）构成公差为奇数的等差数列？证明你的结论．【答案】（Ⅰ）数列{a n }具有性质P ．见解析（Ⅱ）见解析（Ⅲ）不一定存在，见解析【解析】（Ⅰ）分n 为奇数，n 为偶数讨论，研究a n 包含的数的情况，即得解;（Ⅱ）考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a 开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ,分j a 为奇数，偶数讨论，分别构造,,t j k a a a ，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列，即得证. （Ⅲ）构造反例：{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,利用反证法，即得证,【详解】（Ⅰ）解：∵a n 12112n n k n n k +=-⎧=⎨-=⎩，，（k ∈N ），∴数列{a n }具有性质P ． 理由如下：当n 为奇数，n ∈N 时，a n ＝n +1包含所有的正偶数，当n 为偶数，n ∈N 时，a n ＝n ﹣1包含所有的正奇数，∴无穷数列{a n }的所有项恰好构成全体正整数的一个排列，∴数列{a n }具有性质P ．（Ⅱ）证明：不妨设1,2,max{,}s t a a m s t ===考虑12,,...,m a a a ，令12max{,,...,}m M a a a =，从1m a 开始寻找第一个大于M 的项，记为：j a ，则12,,...,j a a a 中含有1，2，且j a 为前j 项中的最大项(3j a ≥)(i )若j a 为奇数，22j j a a ->，所以22j a -在j a 之后，记为22k j a a =-，则k j t >>，,,t j k a a a 为公差为奇数的等差数列;(ii ) 若j a 为偶数，令21k j a a =-，则k j s >>，,,s j k a a a 为公差为奇数的等差数列. 故结论成立.（Ⅲ）不一定存在例如{}n a 为1，2，4，3，6，8，…,2k -1,4k -2,4k ,…,即每三项构成一组，第k 组的通项公式为：2k -1,4k -2,4k ，假设存在4项构成公差为奇数的等差数列，则存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差， 由于{}n a 中，任意一项奇数j a 后面的偶数都大于等于2j a ，因此不可能存在三项（偶数，奇数，偶数）成等差.故假设不成立.【点睛】本题是数列的创新题型，考查了学生综合分析，转化划归的能力，属于较难题.。
北京市海淀区清华附中2022~2023学年第二学期高三数学统练(2)参考答案
高20级统练二数学（高20级）2023.03第一部分（选择题 共40分）一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1) 已知集合{|10}A x x =+>，{2,1,1,2}B =−−，则A B = (A) {2} (B) {1,2} (C) {1,1,2}− (D) {2,1,1,2}−− (2) 已知复数(1i)(2i)z a =−+(R a ∈)在复平面对应的点在虚轴上，则a =(A)12 (B) 12− (C) 2 (D) 2− (3) 已知a ，b 为平面向量，若a =(1,)m ，b=(2,1)m −+，若a //b ，则实数m = (A) 13−(B)13(C) 1 (D) 2−(4) 已知抛物线22y px =的焦点为(2,0)，直线4x =与该抛物线交于,A B 两点，则||AB = (A) 4(B)(C) 8(D)(5) 若双曲线22221y x a b−=的一条渐近线方程为y =，则该双曲线的离心率为(A)(B)(C)(D)(6) 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，119a =−，746a a −=，若对于任意的N*n ∈，总有n m S S ≥恒成立，则m =(A) 6(B) 7(C) 9(D) 10(7) 大气压强p =压力受力面积，它的单位是“帕斯卡”（Pa ，1Pa=1N/m 2），大气压强p （Pa ）随海拔高度h （m ）的变化规律是0e khp p −=（0.000126k = m -1）， 0p 是海平面大气压强．已知在某高山12,A A 两处测得的大气压强分别为12,p p ，1212p p =，那么12,A A 两处的海拔高度的差约为（参考数据：ln 20.693≈）（A ）550m （B ）1818m （C ）5500m（D ）8732m(8) 已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，10a >，则“公比0q >”是“对于任意*n N ∈，0n S >”的(A) 充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件(9) 已知正方形ABCD 的边长为2，若将正方形ABCD 沿对角线BD 折叠成三棱锥A BCD −，则在折叠过程中，不可能出现(A) AB CD ⊥(B) AC BD ⊥(C) 三棱锥A BCD −(D) 平面ABD ⊥平面BCD(10) 函数()f x x =，2()3g x x x =−+，若存在129,,,[0,]2n x x x ∈，使得121121()()()()()()()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x −−++++=++++，则n 的最大值为 (A) 5(B) 6 (C) 7 (D) 8第二部分（非选择题 共110分）二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分。
清华附中第二学期高三数学理科第三次统练试卷 新课标 人教版
ABCDA 1B 1C 1D 1E F 清华附中第二学期高三数学理科第三次统练试卷 新课标 人教版本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．函数3x y =的反函数是 ( ) A ．3y x = B ．3y x =C ．3log y x =D ．1()3x y =2．已知向量b a ,，且b a BC b a AB 65,2+-=+=，b a CD 27-=，则一定共线的三点是( ) A ．A 、B 、D B ．A 、B 、C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D3．正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱C 1C 与 BC 的中点，则直线EF 与直线D 1C 所成角的大小是( )A ．45°B ．60°C ．75°D ．90°4．设命题p ：若a b >，则11a b <；:00aq ab b<⇔<． 给出下列四个复合命题：①p 或q ；②p 且q ；③p ⌝；④q ⌝．其中真命题的个数有（ ）个A ．0B ．1C ．2D ．35．若直线l ：ax +by =1与圆C ：x 2+y 2=1有两个不同的交点，则点P (a ，b )与圆C 的位置关系是 ( )A ．点在圆上B ．点在圆内C ．点在圆外D ．不能确定 6．下面四图都是同一坐标系中某三次函数及其导函数的图象，其中一定不正确．．．．．的序号是 ( ) A ．①、② B ．③、④ C ．①、③ D ．①、④7．某校5名文科生和10名理科生报名参加暑假英语培训，现按分层抽样的方式从中选出6名学生进行测试，则不同的选法有( )种A ．616C B ．41025A A C ．31035C C D ．41025C C 8．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，令12nn S S S T n+++=，称n T 为数列1a ，2a ，…，na 的“理想数”，已知数列1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为2004，那么数列2，1a ，2a ，…，500a 的“理想数”为( )A ．2002B ．2004C ．2006D ．2008二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，有两空者，前空2分后空3分．9．曲线y = x 3 - 3x 2+ 1在点(1，- 1)处的切线方程是 __________________． 10．设22,0,0,1y x y x y x +≥≥=+则的取值范围是________________．11．若α为第二象限角，cos α =45-，则2[sin(180)cos(360)]tan(180)ααα-+-=+________． 12．已知222lim2x x cx a x →++=-，则c =_____________， a = _______． 13．已知P (- 13是圆{cos sin x r y r θθ==(θ为参数，0 ≤ θ ≤ 2π)上的点，则圆的普通方程 为___________________，过点P 的圆的切线方程是________________．14．设函数f (x )的定义域为R ，若存在与x 无关的正常数M ，使| f (x )| ≤ M |x |对一切实数x 都成立，则称函数f (x )为有界泛函，在函数① f (x ) = 2x ，② g (x ) = x 2，③h (x ) = x sin x 中，属于有界泛函的有_______________(写出你认为正确的所有函数的序号)．三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分13分)学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞的有5人，现从中选2人．设ξ为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且7(0)10P ξ>=．(I) 求文娱队的人数；(II) 写出ξ的概率分布列并计算E ξ．16．(本小题满分12分)已知{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列． (I) 求q 的值；(II) 设{b n }是以2为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为S n ，当n ≥ 2时，比较S n与b n 的大小，并说明理由．已知函数f(x) = mx3 + nx2 (m、n∈R，m ≠ 0)，函数y = f(x)的图象在点(2，f(2))处的切线与x轴平行，(I) 用关于m的代数式表示n；(II) 求函数f(x)的单调递增区间；(III) 若x1 > 2，记函数y = f(x)的图象在点M(x1，f(x1))处的切线为l，设l与x轴的交点为(x2，0)，证明：x2 ≥ 3．18．(本小题满分14分)如图，直三棱柱A1B1C1－ABC中，C1C=CB=CA=2，AC⊥CB，D、E分别是棱C1C、B1C1的中点，(I) 求点B到平面A1C1CA的距离；(II) 求二面角B－A1D－A的大小；(III) 在线段AC上是否存在一点F，使得EF⊥平面A1BD？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．19．(本小题满分14分)双曲线C：22221x ya b-=(a > 0，b > 0)的离心率为2，且22224||||||||3OA OB OA OB+=⋅，其中A(0，-b)，B(a，0)．(I) 求双曲线C的方程；(II) 若双曲线C上存在关于直线l：y = kx + 4对称的点，求实数k的取值范围．设M是由满足下列条件的函数f(x)构成的集合：“①方程f(x) -x= 0有实数根；②函数f(x)的导数f '(x)满足0 < f '(x) < 1．”(I) 判断函数sin()24x xf x=+是否是集合M中的元素，并说明理由；(II) 集合M中的元素f(x)具有下面的性质：若f(x)的定义域为D，则对于任意[m，n] ⊆D，都存在x0∈[m，n]，使得等式f(n) -f(m) = (n-m) f '(x0)成立”．试用这一性质证明：方程f(x) -x = 0只有一个实数根；(III) 设x1是方程f(x) -x = 0的实数根，求证：对于f(x)定义域中任意的x2，x3，当| x2-x1| < 1，且| x3-x1| < 1时，| f(x3) -f(x2)| < 2．[参考答案]题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CABCCBDA二、填空题：(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 9． y = - 3x + 2_； 10．]1,21[； 11．475-； 12．_- 3_；_1_； 13．_ x 2 + y 2= 4_；_x -3y + 4 = 0_； 14．_①③_．三、解答题：(本大题共6小题，共80分) 15．(本小题满分13分)解：设既会唱歌又会跳舞的有x 人，则文娱队中共有(7 - x )人，那么只会一项的人数是(7 - 2x )人．(I)∵7(0)(1)1(0)10P P P ξξξ>=≥=-==，∴3(0)10P ξ==．………… 3分 即27227310x x C C --=．∴(72)(62)3(7)(6)10x x x x --=--．∴x = 2．…………………………… 5分 故文娱队共有5人． ………………………………………………7分(II) ξξ 012P103 35101 112325C C 3(1)C 5P ξ⋅===，…………9分2225C 1(2)C 10P ξ===，………… 11分 ∴33101210510E ξ=⨯+⨯+⨯=35．…………………………13分16．(本小题满分12分)解：(I) 由题设2a 3 = a 1 + a 2，即2a 1q 2= a 1 + a 1q ，∵a 1 ≠ 0，∴2q 2- q - 1 = 0，∴q = 1，或q = -12． …………………………4分 (II) 若q = 1，则2(1)32122n n n n nS n -+=+⋅=，当n ≥ 2时，1(1)(2)02n n n n n S b S --+-==>，故S n > b n ．……………………8分若q = -12，则2(1)192()224n n n n n S n --+=+-=， 当n ≥ 2时，1(1)(10)4n n n n n S b S ----==-，故对于n ∈ N *，当2 ≤ n ≤ 9时，S n > b n ；当n = 10时，S n = b n ；当n ≥ 11时，S n < b n ． …………………………12分17．(本小题满分13分)解：(I) ∵f (x ) = mx 3 + nx 2，∴f '(x ) = 3mx 2+ 2nx ，………………2分由已知条件得：f '(2) = 0，∴3m+ n = 0，即n = - 3m ．………………4分(II) ∵n = - 3m ，∴f (x ) = mx 3 - 3mx 2，………………5分∴f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，………………6分令f '(x ) > 0得3mx 3- 6mx > 0，当m > 0时，x < 0或 x > 2， ………………7分 ∴函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)，综上：当m > 0时，函数f (x )的单调递增区间为(- ∞，0)，(2，+ ∞)； 当m < 0时，函数f (x )的单调递增区间为(0，2)． ………………9分(III) 由(I)得：f (x ) = mx 3 - 3mx 2，f '(x ) = 3mx 3- 6mx ，l ：32211111(3)(36)()y mx mx mx mx x x --=--，…………10分令y = 0，由m ≠ 0，x 1 > 2，得21121233(2)x x x x -=-，………………11分2221111211123212182(3)333(2)3(2)3(2)x x x x x x x x x --+--=-==---， ∵x 1 > 2，(x 1 - 3 )2≥ 0，∴x 2 - 3 ≥ 0，即：x 2 ≥ 3．……………………13分18．(本小题满分14分)解法一：(I) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ， ∴CC 1⊥BC ，∵AC ⊥CB ， ∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，……………2分 ∴BC 长度即为B 点到平面A 1C 1CA 的距离， ∵BC = 2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2．………………4分(II) 分别延长AC ，A 1D 交于G ，过C 作CM ⊥A 1G 于M ，连结BM ， ∵BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴CM 为BM 在平面A 1C 1CA 的内射影，∴BM ⊥A 1G ， ∴∠GMB 为二面角B —A 1D —A 的平面角，………………6分 平面A 1C 1CA 中，C 1C = CA = 2，D 为C 1C 的中点， ∴CG = 2，DC = 1，在直角三角形CDG 中，25CM =∴tan 5GMB =，……………………8分即二面角B —A 1D —A 的大小为5arctan ．………………9分(III) 在线段AC 上存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ， ………………10分 其位置为AC 中点，证明如下： ………………11分 ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱， ∴B 1C 1//BC ， ∵由(I)，BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴B 1C 1⊥平面A 1C 1CA ，∵EF 在平面A 1C 1CA 内的射影为C 1F ， ∵F 为AC 中点， ∴C 1F ⊥A 1D ， ∴EF ⊥A 1D ， ………13分同理可证EF ⊥BD ，∴EF⊥平面A 1BD ， …………………14分 ∵E 为定点，平面A 1BD 为定平面，∴ 点F 唯一． 解法二：(I) 同解法一．……………………4分(II) ∵A 1B 1C 1－ABC 为直三棱柱，C 1C = CB = CA = 2， AC ⊥CB ，D 、E 分别为C 1C 、B 1C 1的中点． 建立如图所示的坐标系得C (0，0，0)，B (2，0，0)，A (0，2，0)， C 1(0，0，2)，B 1(2，0，2)，A 1(0，2，2)，D (0，0，1)，E (1，0，2)，………………6分∴BD = (- 2，0，1)，1BA = (- 2，2，2)，设平面A 1BD 的法向量为n = (1，λ，μ)，∴10201222020n BD n BA μλλμμ⎧⋅=-+==-⎧⎧⎪⎨⎨⎨-++==⋅=⎩⎩⎪⎩即得，∴n = (1，- 1，2)， …………8分 平面A 1C 1CA 的法向量为m = (1，0，0)，16cos ,66n m <>==，…………9分 即二面角B －A 1D －A 的大小为66arccos．………………10分 (III) 在线段AC 上存在一点F ，设F (0，y ，0)使得EF ⊥平面A 1BD ，……11分欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(II)知，当且仅当n //FE ，………………………12分 ∵EF = (1，- y ，2)，∴y = 1， ………………………………………13分 ∴存在唯一一点F (0，1，0)满足条件，即点F 为AC 中点． ………………………………………………14分19．(本小题满分14分)解：(I) 依题意有：22222222,4,3.c a a b a b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得：a = 1，b 3c = 2，所求双曲线的方程为2213y x -=． ………………………6分 (II) 当k = 0时，显然不存在． …………………………………7分 当k ≠ 0时，设双曲线上两点M 、N 关于直线l 对称， 由l ⊥ MN ，直线MN 的方程为1y x m k=-+， 则M 、N 两点的坐标满足方程组22133y x mkx y ⎧=-+⎪⎨⎪-=⎩消去y 得 .0)3(2)13(2222=+-+-k m kmx x k ……………………9分显然0132≠-k ，∴2222(2)4(31)[(3)]0km k m k ∆=---+>， 即.013222>-+k m k ①设线段MN 中点D (x 0，y 0)，则0220231331km x k k m y k -⎧=⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩， ∵D (x 0，y 0)在直线l 上，∴2222343131k m k mk k -=+--， 即2231k m k =-， ② 把②代入①中得2220k m mk +>，解得m > 0或m < - 1．∴22310k k -> 或 22311k k -<-， 则3||k >1||2k <，且k ≠ 0， ∴k 的取值范围是3113(,(,0)(0,)(,)223-∞-+∞．………………14分20．(本小题满分14分) 解：(I) 因为11()cos 24f x x '=+， …………………………2分所以13()[,]44f x'∈满足条件0 < f '(x) < 1，………………………………3分又因为当x = 0时，f(0) = 0，所以方程f(x) -x = 0有实数根0．所以函数sin()24x xf x=+是集合M中的元素．…………………………4分(II) 假设方程f(x) -x = 0存在两个实数根α，β (α≠β)，则f(α) -α = 0，f(β) -β = 0，………………………5分不妨设α < β，根据题意存在实数c∈ (α，β)，使得等式f(β) - f(α) = (β-α)f '(c)成立，……………………………7分因为f(α) = α，f(β) = β，且α≠β，所以f '(c) = 1，与已知0 < f '(x) < 1矛盾，所以方程f(x) -x = 0只有一个实数根；…………9分(III) 不妨设x2 < x3，因为f '(x) > 0，所以f(x)为增函数，所以f(x2) < f(x3)，又因为f '(x) - 1 < 0，所以函数f(x) -x为减函数，…………………………10分所以f(x2) - x2 > f(x3) -x3，……………………………………………11分所以0 < f(x3) -f(x2) < x3-x2，即| f(x3) -f(x2)| < | x3-x2|，………………12分所以| f(x3) -f(x2)| < | x3-x2| = | x3-x1- (x2-x1)| ≤ | x3-x1| + | x2-x1| < 2．…………………………14分。
北京市清华附中2023届高三统练二数学试题
一、单选题二、多选题1. 设，为双曲线的两个焦点，点P 在双曲线上，且满足，则的面积为（ ）A．B ．2C．D ．12.过点作圆的切线，则切线方程为（ ）A．B．C．D ．或3. 设m 为正整数，(x ＋y)2m 展开式的二项式系数的最大值为a ，(x ＋y)2m ＋1展开式的二项式系数的最大值为b ，若13a=7b ，则m ＝A ．5B ．6C ．7D ．84. 若复数满足，则的虚部是A．B．C．D．5. 甲、乙二人的投篮命中率分别为0.9、0.8，若他们二人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为（ ）A ．0.72B ．0.27C ．0.26D ．0.986.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列关于说法正确的是（ ）A ．奇函数B ．在上单调递增C ．图象关于点对称D ．图象关于直线对称7.已知函数满足，且在上单调递增，当时，，则m 的取值范围为（ ）A．B．C．D．8. 已知为虚数单位，复数满足：，则的共轭复数在复平面内对应点的坐标为（ ）A．B．C．D．9. 已知椭圆的左右焦点分别为、，长轴长为4，点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）A．离心率的取值范围为B ．当离心率为时，的最大值为C ．存在点使得D ．的最小值为110. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，过的截面与棱分别交于点，则下列说法正确的是（）北京市清华附中2023届高三统练二数学试题三、填空题四、解答题A ．存在点，使得B ．线段的长度的最大值是1C．当点与点重合时，多面体的体积为2D．点到截面的距离的最大值是11. 已知函数的部分图象如图所示.则（）A．B．在区间内有两个极值点C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象D ．A ，B ，C 是直线与曲线的从左至右相邻的三个交点，若，则12. 下列说法正确的是（ ）A ．相关系数可衡量两个变量之间线性关系的强弱，的值越接近于1，线性相关程度越强B ．在对两个分类变量进行独立性检验时，计算出的观测值为，已知，则可以在犯错误的概率不超过的前提下认为两个分类变量无关C ．一组容量为100的样本数据，按从小到大的顺序排列后第50，51个数据分别为13，14，则这组数据的中位数为D．相关指数可用来刻画一元回归模型的拟合效果，回归模型的越大，拟合效果越好13.函数的最大值是__________．14. 函数的零点个数是__________.15.如图，在直三棱柱中，，D ，E分别为，分如中点，则过点A ，D ，E 的截面与三棱柱的侧面的交线的长为__________．16. 据统计，2016年“双十”天猫总成交金额突破1207亿元．某购物网站为优化营销策略，对11月11日当天在该网站进行网购消费且消费金额不超过1000元的1000名网购者（其中有女性800名，男性200名）进行抽样分析．采用根据性别分层抽样的方法从这1000名网购者中抽取100名进行分析，得到下表：（消费金额单位：元）女性消费情况：消费金额人数5101547男性消费情况：消费金额人数23102(1)计算的值；在抽出的100名且消费金额在（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者恰好是一男一女的概率；(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.010的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”女性男性总计网购达人非网购达人总计附：0.100.050.0250.0102.7063.841 5.024 6.635（，其中）17. 已知函数（1）求不等式的解集；（2）记函数的最小值为，若是正实数，且，求证.18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，，二面角的大小为．(1)证明：平面平面；(2)求与平面所成角的正弦值．19. 已知函数.(1)若时，讨论函数的单调性；(2)若，过作切线，已知切线的斜率为，求证：.20. 给定三个平面向量．(1)求的大小；(2)若向量与向量共线，求实数的值．21. 如图，正方形所在平面与圆所在平面相交于，线段为圆的弦，垂直于圆所在平面，垂足是圆上异于．的点，，圆的直径为9．（2）求二面角的平面角的正切值．。
2021年高三12月学科统练数学理试题含答案
2021年高三12月学科统练数学理试题含答案注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2.每题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再改涂其它答案标号.一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知全集,集合,,则为（）A．{4} B．C．{0,2,4} D．{1,3}2.函数y=ln(1-x)的定义域为（）A.(0,1)B.[0,1)C.(0,1]D.[0,1]3.已知函数, 则的值是（）A． B． C． D．4.如果等差数列中，，那么等于（）A. 21B. 30C. 35D. 405.将函数的图象向右平移个单位后，所得的图象对应的解析式为（）A．B．C．D．6.“”是“直线与直线垂直”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件7. 设实数满足不等式组，则的最大值为（）A. 13B. 19C. 24D. 298. 直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.9. 函数的图象大致是（）10. 已知定义在R上的函数满足时，，则函数在区间上的零点个数是（）A.3B.5C.7D.9第II卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 在边长为1的正方形ABCD中，E、F分别为BC、DC的中点，则=_______.12.曲线与直线围成的封闭图形的面积为 .13. 不等式对任意实数x恒成立，实数a的取值范围为_______14.一个四棱锥的三视图如图所示,其中主视图是腰长为1的等腰直角三角形,则这个几何体的体积是________．15. 若函数满足，对定义域内的任意恒成立，则称为m函数，现给出下列函数：①；②；③；④其中为m函数的序号是。
（把你认为所有正确的序号都填上）三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知,,函数(1)求函数的解析式；(2)在中,角的对边为,若,,的面积为,求a的值．17. (本小题满分12分)已知四棱锥的底面是直角梯形,1//,,12AB CD AD AB AD AB CD⊥===,,,是的中点（1）证明：；（2）求二面角的大小.18. （本小题满分l2分）已知为等比数列,其中a 1=1,且a 2,a 3+a 5,a 4成等差数列．(1)求数列的通项公式： (2)设,求数列{}的前n 项和T n ．19.（本小题满分12分）近日，国家经贸委发出了关于深入开展增产节约运动，大力增产市场适销对路产品的通知，并发布了当前国内市场185种适销工业品和42种滞销产品的参考目录．为此，一公司举行某产品的促销活动，经测算该产品的销售量P 万件（生产量与销售量相等）与促销费用x 万元满足(其中，a 为正常数)．已知生产该产品还需投入成本10+2P 万元(不含促销费用)，产品的销售价格定为元／件．(1)将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； (2)促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大． 20．（本小题满分13分）已知函数．(1)求f(x)的单调区间；(2)若,在区间恒成立,求a 的取值范围． 21．（本小题满分14分）已知椭圆经过点,离心率为．(1)求椭圆C 的方程：(2)过点Q (1,0)的直线l 与椭圆C 相交于A 、B 两点,点P (4,3),记直线PA ,PB 的斜率分别为k 1,k 2,当k 1·k 2最大时,求直线l 的方程．xx 级高三上学期学科统练--数学（理） xx.12一、 选择题：1-5.ABBCD 6-10.AACAD 二、 填空题：11. 1 12. 13. 14. 15. ②③ 三、解答题：16. 解：(1)∵=(2sin ,sin cos ),sin cos )x x x x x x -⋅+=故函数的解析式为 --------------6分 (2)∵ 即 所以 -----8分又，可得： -------------10分 所以,得---------------12分17. 解：(1)设在等比数列中，公比为,因为成等差数列.所以 ------------------------------2分，解得 -------------------4分所以 ------------------------------6分 (Ⅱ).211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2311111135(21)22222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ------------------------------8分①—②,得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦------------------------------10分 所以 ------------------------------12分 18. 证明：取的中点为连接 ------------2分 又---------4分-------6分（2）建系：以DA ，DB ，DP 分别为x 轴、y 轴、z 轴， 则 -------7分------------------------------8分-----10分 令 x=1,则 又因为二面角为 ---12分 19. 解：（1）由题意知， ， 将代入化简得：（）. …………… 6分（2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 当且仅当时，上式取等号. …………… 9分当时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大; 当时, 在上单调递增,所以时,函数有最大值．即促销费用投入万元时，厂家的利润最大 . 综上,当时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;当时, 促销费用投入万元，厂家的利润最大 .…… 12分20..解：(1)的定义域为. ------------------------------1分2'11(1)(1)()a x ax a x x a f x x a x x x--+--+-=-+== ------------------------------3分 （i ）若即,则在上恒成立，故在单调增加.----------4分(ii)若,而,故,则当时，; 当或时，；故在单调减少，在单调增加. -----------------------------5分 (iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调递增. ------------------------------6分 综上所诉， 当时，增区间为；当时，增区间为，减区间为；当时，增区间为，减区间为。
2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷及答案解析(3月份)
2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷一、选择题（共8小题）1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（）A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×1033．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜04．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5B．5C．3D．﹣36．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A 的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：88．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），使得，则n的取值不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：4a2﹣28ab＝．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．15．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时频数公交车线25≤t ≤3030＜t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤45合计A 59151166124500B4357149251500据此估计，早高峰期间，乘坐B 线路“用时不超过35分钟”的概率为；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B ）线路．三、解答题：（共68分）17．计算：．18．解不等式组：．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，▱ABCD ．求证：∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ．方法一：证明：如图，连接AC ．方法二：证明：如图，延长BC 至点E ．方法三：证明：如图，连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．20．关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．（1）求函数解析式及点A的坐标；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．（1）分别求函数y1和y2的表达式；（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？24．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求⊙O半径的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）若c＝4，点C（﹣2，4）在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标（0，﹣2），过原点的直线OC与直线AB交于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°，AB＝4．（1）点C坐标为，OC＝，△BOC的面积为，＝；（2）点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为，请说明理由；（4）在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷参考答案与试题解析（3月份）一、选择题（共8小题）1．【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3．【分析】根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是关键数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．4．【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，故选：B．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．6．【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF是解题关键．8．【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．【解答】解：设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx 的图象上，即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．二、填空题9．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．故答案为：4a（a﹣7b）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．11．【分析】分析命题的题设和结论，写成“如果…那…”的形式即可．【解答】解：命题“不相等的角不是对顶角”的题设是两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角．改写成“如果…那…”的形式为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【点评】本题考查了命题即相关知识，掌握命题的形式是解决本题的关键．12．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ＝．14．【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE，和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x+3y＝6+15＝2（1分）．故答案为21；【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．【分析】用乘坐B线路“用时不超过35分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路40分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．【解答】解：由表知，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.752，B线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.498，∴若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A线路，故答案为：，A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三、解答题：（共68分）17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算．【解答】解：原式＝，＝，＝9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜5，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：选择方法一：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，在△ADC与△BCA中，，∴△ADC≌△BCA（SAS），∴∠B＝∠D，即平行四边形的对角相等．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．20．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21．【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM、PN是△OCD的中位线，∴PM∥OC，PN∥OD，∴四边形OMPN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠MON＝90°，∴平行四边形OMPN是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OC＝2，∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，∴AN＝OA+ON＝3，由（1）可知，四边形OMPN是矩形，∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，∴AP＝＝＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A 的坐标；（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．【解答】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴A点坐标为（0，5）；（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．23．【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得：，解得，∴y1＝﹣x+12；将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得：14＝a（11﹣5）2+8，解得a＝，∴y2＝（x﹣5）2+8，函数y1和y2的表达式分别为y1＝﹣x+12，y2＝（x﹣5）2+8；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得：w＝﹣x+12﹣[（x﹣5）2+8]＝﹣（x﹣4）2+2.5，＝2.5．∴当x＝4时，w有最大值，w最大∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．24．【分析】（1）由y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令x＝0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），＝S△PDC+S△PDB，得到S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次求出PD的长，由S△BDC函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；（3）将x＝代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2＝CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN＝x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG＝∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，即C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a ∴S△BDC﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）将x＝代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点D的坐标为（，）．过点C作CG⊥DF，则CG＝．①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．∵∠MNC＝90°，∴CD2+DM2＝CM2，∵C（0，3），D（，），M（m，0），∴（﹣0）2+（﹣3）2+（m﹣）2+（0﹣）2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2，解得m＝．∴点M的坐标为（，0），即m的最大值为；②点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3﹣x，∵∠MNC＝90°，∴∠CNG+∠MNF＝90°，又∵∠CNG+∠NCG＝90°，∴∠NCG＝∠MNF，又∵∠NGC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCG∽△MNF，∴＝，即＝，整理得，MF＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，此时M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，故实数m的变化范围为0≤m≤．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．【分析】（1）连接OC，则∠OCB＝∠OBC，由CD⊥AB于点E，得∠BEC＝90°，由CH⊥DF，CF＝CD，得∠FCH＝∠DCH，则∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC ＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE，而CD＝CF＝8，所以CE＝CD＝4，由＝tan∠DCB＝，则BE＝CE＝2，根据勾股定理得（OC﹣2）2+42＝OC2，即可求得OC＝5，则⊙O半径的长是5．【解答】（1）证明：连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CD⊥AB于点E，∴∠BEC＝90°，∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，∴CH⊥DF，∵CF＝CD，∴∠FCH＝∠DCH，∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，∵CD＝CF＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，∵＝tan∠DCB＝，∴BE＝CE＝×4＝2，∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2，∴（OC﹣2）2+42＝OC2，解得OC＝5，∴⊙O半径的长是5．【点评】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（2）分a＞0、a＜0两种情况，结合函数图象，分别求解即可．【解答】解：（1）若c＝4，则抛物线为y＝ax2﹣2x+4（a≠0），∵点C（﹣2，4）在抛物线上，∴4＝4a+4+4，∴a＝﹣1，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）当a＞0时，如图1．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴＞2，∴0＜a＜；（ⅱ）当a＜0时，如图2．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴抛物线与线段AB只有一个公共点A，∴a＜0，综上所述，a的取值范围是：0＜a＜或a＜0．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）先由∠OBA＝30°、AB＝4得到OA的长，即可得到点A的坐标，过点C 作CD⊥x轴于点D，然后结合∠COA＝∠OCA＝30°求得AC的长，进而得到AD、CD 的长，即可得到点C的坐标；然后得到OC的长；由点B的坐标得到OB的长，进而得到△BOC的面积；由点A、点B、点C的坐标求得△OAC和△OAB的面积，再求得的值；（2）直接由点C的坐标求得点C'的坐标；（3）由OE⊥OC得到∠COE＝90°，然后由∠COA＝30°求得∠AOE＝60°，再由∠OBA＝30°求得∠OAE＝60°，即可得到∠AOE＝∠OAB＝60°，从而得到△OAE是等边三角形；（4）分情况讨论：①△AOB≌△AOF；②△AOB≌OAF，然后作出对应的图形求得点F 的坐标．【解答】解：（1）∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∵AB＝4，∠OBA＝30°，∠AOB＝90°，∴OA＝2，即A（2，0），∵∠AOC＝∠ACO＝30°，∴AC＝OA＝2，∠OAB＝60°，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝，∴OD＝OA+AD＝2+1＝3，∴C（3，），＝＝＝3，∴OC＝2，S△BOC＝＝，S△OAB＝＝2，∴S△AOC∴＝，故答案为：（3，），2，3，．（2）∵C（3，），点C与点C'关于x轴对称，∴C'（3，﹣），故答案为：（3，﹣）；（3）∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠COA＝30°，∴∠AOE＝60°，∵∠OAE＝60°，∴∠AOE＝∠OAB＝60°，∴△OAE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（4）在坐标平面内存在点F使△AOF和△AOB全等；理由如下：①如图1，当△AOB≌△AOF时，OB＝OF，∵OB＝2，∴OF＝2，∴F1（0，2），F2（0，﹣2），②如图2，当△AOB≌OAF时，AF＝OB，∴AF＝2，∴F3（2，2），F4（2，﹣2），综上所述，存在F1（0，2），F2（0，﹣2），F3（2，2），F4（2，﹣2），使得△OAB与△OAF全等．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形三边关系、等腰三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过含30°角的直角三角形三边关系求得相关线段的长度．28．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，如图1，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图2，在DE上取EP＝EH，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O 作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，∵在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，设PE＝x，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝32﹣x2，3解得：x＝，∴PE＝HE＝，∴AP＝PH＝CH＝BH＝，BE＝，∴AH＝PH＝，∴HQ＝BH＝，在Rt△ABQ中，BQ＝HQ＝，AQ＝+＝，∴AB＝＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝2；方法二：作DL⊥AC，如图4，∵∠DLA＝90°，∠DBC＝45°，∴△DLA是等膘直角三角形，∴DL＝AL，∵CF⊥AB，∠DBA+∠FGB＝90°，CE＝CG，∴∠FGB＝∠CGE＝∠CEG＝∠DEL，∴∠DBA＝∠ACE＝∠EDL，∵△DLE∽△DCL，设DL为x，则CL＝6﹣x，∴＝，解得：x＝2，∴CL＝4，∴CD＝＝2．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键。
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清华附中高三下数学理
统练答案
Document number【SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18】
清华附中2006-2007高三下数学(理)统练2答案
1-5 C D D D A 6-8 A D D
9、四 10、2 11、 2 12 、 4
3
13、3 14
8
33 15、解：(1) 令⎩⎨⎧-==⎩⎨⎧=-=⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+⋅-=+=1001143cos 21
),(2
2y x y x y x y x y x 或则π， )1,0()0,1(-=-=∴或 2分 (2) )1,0(0),0,1(-=∴=⋅= 3分
))3
2cos(,(cos )1)23(
cos 2,(cos 2x x x x b n -=--=+π
π
4分 2)
234cos(122cos 1)32(cos cos ||222x x x x -+++=-+=+π
π 6分 )]23
cos(2[cos 211)]234cos(2[cos 211x x x x --+=-++=π
π
)3
2cos(211]2sin 232cos 212[cos 211π
++=-
-+=x x x x 8分 35323320π
πππ<
+<⇒<<x x ， 45
||2121)32cos(12<+≤⇒<+≤-∴x π 9分
故2
5
||22<+≤ 10分
16、 (1)63(注：第1、2次或第2、3次或三次均击中)；(2)162；(3)
ξ 3
4 … k
… P
27125 162
625
…
233123()()55
k k C --
…
17、方法一：(1) 证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ．
∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点，
在PAC ∆中，EO 是中位线，∴PA
⊂EO ⊄PA ⊂DC DC PD ⊥PDC ∆PC DE ⊥⊂DE DE BC ⊥⊥DE ⊂
PB PB DE ⊥PB EF ⊥E EF DE = DF PB ⊥EFD ∠DB
PD EF DE ⊥⊥,a BD a DC PD 2,===a BD PD PB 322=+=a
DC PD PC 222=+=a PC DE 22
21==
PDB Rt ∆a a
a a PB BD PD DF 3632=⋅=⋅=
EFD Rt ∆233
6
22
sin =
==a a DF DE EFD 3π=∠EFD 3πa DC =)2,2,
0(),,0,0(),0,0,(a a E a P a A )0,2,2(a a (,0,),(,0,)22a a
PA a a EG =-=-2=⊂EG ⊄PA )
0,,(a a B ),,(a a a -=(0,,)22
a a
DE =022022=-+=⋅a a DE PB ⊥PB EF ⊥E DE EF = ⊥PB ),,(000z y x PB PF λ=)
,,(),,(000a a a a z y x -=-λa
z a y a x )1(,,000λλλ-===00011
(,
,)(,(),())2222a a FE x y z a a a λλλ=---=---PB EF ⊥0=⋅PB FE 0)21()21(222=---+-a a a λλλ31=λ)32,3,3(a a a (,,)
366
a a a
FE =--2(,,)333a a a
FD =---03233222=+--=⋅a a a FD PB ⊥EFD
∠691892222a a a a =+-=⋅a a a a 6636369||222=++=a
a a a 3
6
9499||222=++=2
13
6666|
|||cos 2
=
⋅=
=a a a FD FE EFD 3π=∠EFD 3π
3381122)2(12234341=⇒=-+=⇒≥-+=-a a a a a n n n
3分
(2) 假设存在的实数λ符合题意，则
n
n n n n n n a a a a 2
222111λ
λλ--=+-+--- n
n n 211212λ
λ+-=--=必是与n 无关的常数，则
.102
1-=⇒=+λλ
n
7分 故存在实数λ= 1，使得数列}21{n λ
+为等差数列.
(3) 由(2) 知数列}21
{
n
n a -是公差d = 1的等差数列 12)1(11)1(212
11+⋅+=⇒+=⨯-+-=-∴
n
n n
n n a n n a a 9分 S n = n +2×2 + 3×22 + 4×23 +…+(n +1)·2n +1
2S n = 2n +2×22 + 3×22 +…+n ·2n + (n +1)·2n +1
⇒相减整理得： S n = n (2n +1 +1) 12分
附加．解：(1) 设)0,(),0,(),,(2100c F c F y x P -，
其中),(),()0,(,0000122y c x y x c PF b a c ---=--=-=则，
).,(),()0,(00002y x c y x c PF --=-=
从而.),(),(22
02020220000021c y x y c x y x c y c x PF PF -+=+-=--⋅---=⋅ 2分 由于222122220202,c a PF PF c b a y x b -≤⋅≤-≤+≤所以，
即.222122b PF PF a b ≤⋅≤- 3分
又已知3
4
3421≤⋅≤-PF PF ， 4分
所以⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧=-=-.
34,4,34,3
422222
2b a b a b
从而椭圆的方程是.14
342
2=+y x (2) 因为PCQ CQ CP F F CQ CP ∠+
=⋅+
|
||
|,0|
||
|(
21的平分线平行，
所以∠PCQ 的平分线垂直于x 轴.
由).1,1(,1,1,
,14342
2C y x x y y x ∴⎩⎨
⎧==⎪⎩
⎪⎨⎧==+
解得 不妨设PC 的斜率为k ，则QC 的斜率为k ，因此PC 和QC 的方程分别为
)1(,1)1(--=+-=x k y x k y ，
其中⎪⎩⎪
⎨⎧=++-=≠.1434
,1)1(,022y x x k y k 由
消去y 并整理得(*).0163)1(6)31(222=--+--+k k x k k x k 9分 ∵C (1，1) 在椭圆上，∴x = 1是方程(*) 的一个根.
从而2
22231163,31163k k k x k k k x Q P +-+=+--=同理， 10分
从而直线PQ 的斜率为
=
--=
x x y y k Q
P Q P PQ
11分
又知A (2，0) ，B (－1，－1) ，
所以,31
2101AB PQ AB k k k =∴=----=
12分
向量∴共线。