2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2018-2019学年清华附中高三12月月考数学试卷 (理)试卷(附参考答案)
1
3
3
A. 2
B. 3
C. 2
D. 3
7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的四个侧面的面积中最大的是（ ）
A. 3
B. 2 5
C. 6
D. 3 5
8. 在棱长为 2 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E 为棱 CD 的中点，点 P 是侧面 AA1D1D
上一动点，且 CP⊥B1E，则线段 CP 的取值范围为（ ）
B. ������ = ������3
C.
������ =
‒
1 ������
D. ������ = ������ ‒ 1
3. 甲、乙等四人排成一排，甲与乙不相邻的排法的种数有（ ）
A. 6
B. 12
C. 18
D. 24
4. 如图程序框图所示的算法来自于《九章算术》，若输入 a 的值为 16，b 的值为
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：抛物线 y2=2x 的焦点到准线的距离为：p=1． 故选：B． 利用抛物线的方程求出 p 即可得到结果． 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基础题． 2.【答案】B
【解析】
解：函数 y=x2 为偶函数，不满足条件； 函数 y=x3 为奇函数，在定义域内是单调递增的，满足条件；
的待机时间，现从某卖场库存手机中随机抽取 A，B 两个型号的手机各 7 台，在 相同条件下进行测试，统计结果如下：
手机编号
1
2
3
4
5
6
7
A 型待机时间（h） 120 125 122 124 124 123 123
B 型待机时间（h） 118 123 127 120 124 a
b
2017-2018学年北京市清华附中高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.下列各角中，与50°的角终边相同的角是（）A. B. C. D.2.设向量=（0，2），=（，1），则，的夹角等于（）A. B. C. D.3.已知角α的终边经过点P（4，-3），则的值为（）A. B. C. D.4.为了得到函数y=cos（2x-）的图象，只需将函数y=cos2x的图象（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度5.已知非零向量与满足=且，则△ABC为（）A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6.同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x=对称；③在[，]上是增函数”的一个函数是（）A. B.C. D.7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（）A. fB. fC. fD. f8.若定义[-2018，2018]上的函数f（x）满足：对任意x1，x2∈[-2018，2018]有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）-2017，且当x＞0时，有f（x）＞2017，设f（x）的最大值、最小值分别为M，m，则M+m的值为（）A. 0B. 2018C. 4034D. 4036二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.若θ为第四象限的角，且，则cosθ=______；sin2θ=______．10.已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，，，则△ABC的面积为______．11.已知tan x=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=______12.已知α∈（0，π）且sin（α+）=，则cos（α+）=______；sinα=______13.如图，在直角梯形ABCD中，AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，若E，F分别是线段DC和BC上的动点，则的取值范围是______．14.已知函数f（x）=2sin2x-2sin2x-a．①若f（x）=0在x∈R上有解，则a的取值范围是______；②若x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，则sin（x1+x2）=______三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知函数f（x）=4sin x cos（x+）+1．（1）求f（）的值；（2）求f（x）的最小正周期；（3）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．16.已知不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．（1）求•（-）；（2）是否存在实数λ，使λ+与（-2）共线？（3）若（k+2）⊥（-k），求实数k的值．17.设锐角三角形的内角A，B，C的对边分别为a、b、c，且sin A-cos C=cos（A-B）．（1）求B的大小；（2）求cos A+sin C的取值范围．18.已知向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ）．（2）若记f（θ）=，θ∈[0，]．当1≤λ≤2时，求f（θ）的最小值．19.借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数＞Z可以将g（x）表示为，例如要表示分段函数g（x）=＜g（x）=xh（x-2）+（-x）h（2-x）．（1）设f（x）=（x2-2x+3）h（x-1）+（1-x2）h（1-x），请把函数f（x）写成分段函数的形式；（2）已知G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）是R上的减函数，求a 的取值范围；（3）设F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），求函数F（x）的最小值．20.一个函数f（x），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在f（x）的定义域内，就有f（a），f（b），f（c）也是某个三角形的三边长，则称f（x）为“保三角形函数”．（1）判断f1（x）=x，f2（x）=log2（6+2sin x-cos2x）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，求M的最小值；（3）若函数h（x）=sin x（x∈（0，A））是“保三角形函数”，求A的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A．根据题意，分析可得f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f（x）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便（cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性．8.【答案】C【解析】解：令x1=x2=0得f（0）=2f（0）-2017，∴f（0）=2017，令x1=-x2得f（0）=f（-x2）+f（x2）-2017=2017，∴f（-x2）+f（x2）=4034，令g（x）=f（x）-2017，则g max（x）=M-2017，g min（x）=m-2017，∵g（-x）+g（x）=f（-x）+f（x）-4034=0，∴g（x）是奇函数，∴g max（x）+g min（x）=0，即M-2017+m-2017=0，∴M+m=4034．故选：C．计算f（0）=2017，构造函数g（x）=f（x）-2017，判断g（x）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】；-【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】【解析】解：∵A+C=2B，A+B+C=π，∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）．∴S△ABC=sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B，使用余弦定理解出c，代入三角形的面积公式计算．本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题．11.【答案】【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin（π+x）cos（+x）=cos2x-sinx•（-sinx）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin（π+x）cos（+x）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】；【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（），又sin（α+）=，∴cos（α+）=；则sinα=sin[（）-]=sin（）cos-cos（）sin故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[，]；解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题．15.【答案】解：函数f（x）=4sin x（cos x cos-sin x sin）+1，=2sin x cosx-2sin2x+1，=sin2x+cos2x，=2sin（2x+），（1）f（）=2sin（+）=2sin=（2）周期T=；（3）由x在[0，]上，∴2x+∈[，]，当2x+=，即x=，f（x）取得最小值为-1；当2x+=，即x=，f（x）取得最大值为2．【解析】（1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f（x）化简为f（x）=2sin（2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量，满足||=3，||=5，（-3）•（2+）=20．所以：，解得：，所以：•（-）==-．（2）存在实数使λ+与（-2）共线．由于：，故：（1-2λ），所以：．（3）若（k+2）⊥（-k），则：，整理得：，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k+2）⊥（-k）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A-cos C=cos（A-B），即sin A+cos（A+B）=cos（A-B），即sin A+cos A cos B-sin A sin B=cos A cos B+sin A sin B，即sin A=2sin A sin B，∴sin B=，∴B=．（2）cos A+sin C=cos A+sin（π-A-B）=cos A+sin（-A）=cos A+sin（+A）=cos A+cos A+sin A=sin（A+）．∵B=，∴A∈（，），A+∈（，），∴sin（A+）∈（，），∴sin（A+）∈（，），即cos A+sin C的取值范围为（，）．【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB的值，可得B的值．（2）化简要求的式子sin（A+），根据A∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量=（cosθ，sinθ），=（cosβ，sinβ），∴ -=（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|-|2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos（θ-β）=2-2cos=2-1=1，∴|-|=1；（2）•=cosθcosβ+sinθsinβ=cos（θ-β）=cos（2θ-），∴|+|==2|cos（θ-）|=2cos（θ-），∴f（θ）=cos（2θ-）-2λcos（θ-）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1令t=cos（θ-），则t∈[，1]，∴f（t）=2t2-2λt-1=2（t-）2--1，又1≤λ≤2，≤≤1，∴t=时，f（t）有最小值--1，∴f（θ）的最小值为--1．【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f（θ）=2cos2（θ-）-2λcos（θ-）-1，令t=cos（θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x＞1时，x-1＞0，1-x＜0，可得f（x）=（x2-2x+3）+0•（1-x2）=x2-2x+3；当x=1时，f（x）=2；当x＜1时，x-1＜0，1-x＞0，可得f（x）=1-x2．即有f（x）=，＞，，＜；（2）G（x）=[（3a-1）x+4a]h（1-x）+log a x h（x-1）=，由y=G（x）是R上的减函数，可得＜＜＜，解得≤a＜；（3）F（x）=（x2+x-a+1）h（x-a）+（x2-x+a+1）h（a-x），当x＞a时，x-a＞0，可得F（x）=x2+x-a+1；若a≥-，可得F（x）在x＞a递增，可得F（x）＞F（a）=a2+1；若a＜-，可得F（x）的最小值为F（-）=-a；当x=a时，可得F（x）=2（a2+1）；当x＜a时，x-a＜0，a-x＞0，则F（x）=x2-x+a+1．若a≥，可得F（x）在x＜a的最小值为F（）=a+；若a＜，可得F（x）在x＜a递减，即有F（x）＞F（a）=a2+1．①当a≥时，F（x）在区间（-∞，-）上单调递减，在区间（-，a）上单调递增，在区间（a，+∞）上单调递增，可得F（-）为最小值，且为-+a+1=a+；②当-＜a＜时，F（x）在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，+∞）上单调递增．F（x）的最小值为F（a）=a2+1；③当a≤-时，在区间（-∞，a）上单调递减，在区间（a，-）上单调递减，在区间（-，+∞）上单调递增．所以F（x）的最小值为F（）=-a+；综上所述，得当a≤-时，F（x）的最小值为-a+；当a≥时，F（x）的最小值为为a+；当-＜a＜时，F（x）的最小值为F（a）=a2+1．【解析】（1）分当x＞1、当x=1和当x＜1时3种情况加以讨论，分别根据S（x）的对应法则代入，可得f（x）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f（x）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G（x），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x＞a，x=a，x＜a，求得F（x）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a≤c，b≤c，由a+b＞c，可得f1（a）+f1（b）＞f1（c），即有f1（x）=x为“保三角形函数”；由6+2sin x-cos2x=sin2x+2sin x+5=（sin x+1）2+4∈[4，8]，可得f2（x）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f2（x）为“保三角形函数”；（2）函数g（x）=ln x（x∈[M，+∞））是“保三角形函数”，可得a≥M，b≥M，a+b＞c，即有a-1≥M-1；b-1≥M-1，则（a-1）（b-1）≥（M-1）2，即ab≥a+b-1+（M-1）2＞c-1+（M-1）2，只要-1+（M-1）2≥0，解得M≥2，即M的最小值为2；（3）A的最大值是．①当A＞时，取a==b，c=，显然这3个数属于区间（0，A），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值、、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h（x）=sin x，x∈（0，A）不是保三角形函数．②当A=时，对于任意的三角形的三边长a、b、c∈（0，），若a+b+c≥2π，则a≥2π-b-c＞2π--=，即a＞，同理可得b＞，c＞，∴a、b、c∈（，），∴sin a、sin b、sin c∈（，1]．由此可得sin a+sin b＞+=1≥sin c，即sin a +sin b＞sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．若a+b+c＜2π，则+＜π，当≤时，由于a+b＞c，∴0＜＜≤，∴0＜sin＜sin≤1．当＞时，由于a+b＞c，∴0＜＜＜，∴0＜sin＜sin＜1．综上可得，0＜sin＜sin≤1．再由|a-b|＜c＜，以及y=cos x在（0，π）上是减函数，可得cos=cos＞cos＞cos＞0，∴sin a+sin b=2sin cos＞2sin cos=sin c，同理可得sin a+sin c＞sin b，sin b+sin c＞sin a，故sin a、sin b、sin c可以作为一个三角形的三边长．故当A=时，h（x）=sin x，x∈（0，A）是保三角形函数，故A的最大值为．【解析】（1）不妨设a≤c，b≤c，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M的最小值；（3）A的最大值是，讨论①当A＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。
北京市清华附中2017-2018学年第一学期高一期末数学试题(含精品解析)
2017-2018学年北京市清华附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共40.0分） 1. 下列各角中，与50°的角终边相同的角是（ ）A. 40∘B. 140∘C. −130∘D. −310∘ 2. 设向量a⃗ =（0，2），b ⃗ =（√3，1），则a ⃗ ，b ⃗ 的夹角等于（ ） A. π3B. π6C. 2π3D. 5π63. 已知角α的终边经过点P （4，-3），则sin(π2+α)的值为（ ）A. 35B. −35C. 45D. −454. 为了得到函数y =cos （2x -π3）的图象，只需将函数y =cos2x 的图象（ ）A. 向左平移π6个单位长度 B. 向右平移π6个单位长度 C. 向左平移π3个单位长度D. 向右平移π3个单位长度5. 已知非零向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |且AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=12，则△ABC 为（ ） A. 三边均不相等的三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 等边三角形6. 同时具有性质“①最小正周期为π；②图象关于直线x =π3对称；③在[π6，π3]上是增函数”的一个函数是（ ）A. y =sin(x 2−π3) B. y =cos(2x +π6) C. y =sin(2x −π6)D. y =cos(2x +2π3)7. 定义在R 上的偶函数f （x ）满足f （x +2）=f （x ），且在[1，2]上是减函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则（ ） A. f (sinα)>f (cos β) B. f (sinα)<f (cos β) C. f (sin α)>f (sin β) D. f (cosα)<f (cos β)8. 若定义[-2018，2018]上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈[-2018，2018]有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）-2017，且当x ＞0时，有f （x ）＞2017，设f （x ）的最大值、最小值分别为M ，m ，则M +m 的值为（ ） A. 0 B. 2018 C. 4034 D. 4036 二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若θ为第四象限的角，且sinθ=−13，则cosθ=______；sin2θ=______．10. 已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a =1，b =√3，A +C =2B ，则△ABC的面积为______． 11. 已知tan x =2，则cos2x +sin （π+x ）cos （π2+x ）=______12. 已知α∈（0，π）且sin （α+π6）=13，则cos （α+π6）=______；sinα=______ 13. 如图，在直角梯形ABCD 中，AB //DC ，∠ABC =90°，AB =3，BC =DC =2，若E ，F分别是线段DC 和BC 上的动点，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EF⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是______． 14. 已知函数f （x ）=2sin2x -2sin 2x -a ．①若f （x ）=0在x ∈R 上有解，则a 的取值范围是______；②若x 1，x 2是函数y =f （x ）在[0，π2]内的两个零点，则sin （x 1+x 2）=______ 三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15. 已知函数f （x ）=4sin x cos （x +π6）+1．（1）求f （π12）的值； （2）求f （x ）的最小正周期；（3）求f （x ）在区间[0，π2]上的最大值和最小值．16. 已知不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．（1）求a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）；（2）是否存在实数λ，使λa ⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线？（3）若（k a⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），求实数k 的值．17. 设锐角三角形的内角A ，B ，C 的对边分别为a 、b 、c ，且sin A -cos C =cos （A -B ）．（1）求B 的大小；（2）求cos A +sin C 的取值范围．18. 已知向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）．（1）若|θ−β|=π3，求|a ⃗ −b ⃗ |的值；（2）若θ+β=π3记f （θ）=a ⃗ ⋅b ⃗ −λ|a ⃗ +b ⃗ |，θ∈[0，π2]．当1≤λ≤2时，求f （θ）的最小值．19. 借助计算机（器）作某些分段函数图象时，分段函数的表示有时可以利用函数ℎ(x)={0(x <0)1(x≥0)，例如要表示分段函数g （x ）={x(x ＞2)0(x =2)−x(x ＜2)Z 可以将g （x ）表示为g （x ）=xh （x -2）+（-x ）h （2-x ）．（1）设f （x ）=（x 2-2x +3）h （x -1）+（1-x 2）h （1-x ），请把函数f （x ）写成分段函数的形式； （2）已知G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）是R 上的减函数，求a 的取值范围； （3）设F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），求函数F （x ）的最小值．20. 一个函数f （x ），如果对任意一个三角形，只要它的三边长a ，b ，c 都在f （x ）的定义域内，就有f （a ），f （b ），f （c ）也是某个三角形的三边长，则称f （x ）为“保三角形函数”．（1）判断f 1（x ）=x ，f 2（x ）=log 2（6+2sin x -cos 2x ）中，哪些是“保三角形函数”，哪些不是，并说明理由；（2）若函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，求M 的最小值； （3）若函数h （x ）=sin x （x ∈（0，A ））是“保三角形函数”，求A 的最大值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：由50°的角终边相同的角的集合为{α|α=50°+k•360°，k∈Z}．取k=-1，可得α=-310°．∴与50°的角终边相同的角是-310°．故选：D．写出与50°的角终边相同的角的集合，取k=-1得答案．本题考查终边相同角的概念，是基础题．2.【答案】A【解析】解：∵=（0，2），=（，1），∴•=||||cos＜，＞=0×+2×1=2，又||=||=2，∴cos＜，＞==，又＜，＞∈[0，π]，∴＜，＞=．故选：A．利用向量的数量积即可求得，的夹角的余弦，继而可求得，的夹角．本题考查向量的数量积表示两个向量的夹角，属于中档题．3.【答案】C【解析】解：∵角α的终边经过点P（4，-3），∴p到原点的距离为5∴sinα=，cosα=∴故选：C．利用任意角函数的定义求出cosα，利用三角函数的诱导公式化简求出值．已知一个角的终边过某一个点时，利用任意角的三角函数的定义求出三角函数值．4.【答案】B【解析】解：函数=cos2（x-），故把函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度，可得函数的图象，故选：B．由条件利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规率可得结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．5.【答案】D【解析】解：△ABC中，=，∴=，∴cos＜，＞=cos＜，＞，∴B=C，△ABC是等腰三角形；又，∴1×1×cosA=，∴cosA=，A=，∴△ABC是等边三角形．故选：D．根据=得出B=C，得出A=，由此判断△ABC是等边三角形．本题考查了平面向量的数量积运算问题，也考查了三角形形状的判断问题，是基础题．6.【答案】C【解析】解：“①最小正周期是π，可得ω=2，排除选项A；②图象关于直线x=对称，可得：2×+=，cos=-，排除选项B，2×+=，cos=-，排除选项D；对于C，函数y=sin（2x-），最小正周期为π，且2×-=，sin=1，函数图象关于x=对称；x∈[，]时，2x-∈[，]，∴y=sin（2x-）是单调增函数，C满足条件．故选：C．根据三角函数的图象与性质，判断满足条件的函数即可．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．7.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+2）=f（x），则有f（-x）=f（x+2），即函数f（x）的图象关于直线x=1对称，又由函数f（x）在[1，2]上是减函数，则其在[0，1]上是增函数，若α，β是锐角三角形的两个内角，则α+β＞，则有α＞-β，则有sinα＞sin（-β）=cosβ，又由函数f（x）在[0，1]上是增函数，则f（sinα）＞f（cosβ）；故选：A ．根据题意，分析可得f （-x ）=f （x+2），即函数f （x ）的图象关于直线x=1对称，据此分析可得f （x ）在区间[0，1]上是增函数，由α，β是锐角三角形的两个内角便可得出sinα＞cosβ，从而根据f （x ）在（0，1）上是增函数即可得出f （sinα）＞f （cosβ），即可得答案．本题考查函数的奇偶性、周期性与周期性的综合应用，注意分析函数在（0，1）上的单调性． 8.【答案】C【解析】解：令x 1=x 2=0得f （0）=2f （0）-2017，∴f （0）=2017， 令x 1=-x 2得f （0）=f （-x 2）+f （x 2）-2017=2017， ∴f （-x 2）+f （x 2）=4034，令g （x ）=f （x ）-2017，则g max （x ）=M-2017，g min （x ）=m-2017， ∵g （-x ）+g （x ）=f （-x ）+f （x ）-4034=0， ∴g （x ）是奇函数，∴g max （x ）+g min （x ）=0，即M-2017+m-2017=0， ∴M+m=4034． 故选：C ．计算f （0）=2017，构造函数g （x ）=f （x ）-2017，判断g （x ）的奇偶性得出结论．本题考查了奇偶性的判断与性质，考查函数的最值求法，注意运用赋值法，属于中档题．9.【答案】2√23；-4√29【解析】解：∵θ为第四象限的角，且，∴cosθ==，sin2θ=2sinθcosθ=2×（-）×=-．故答案为：，-．由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosθ，进而利用二倍角的正弦函数公式可求sin2θ的值．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．10.【答案】√32【解析】解：∵A+C=2B ，A+B+C=π， ∴B=，由余弦定理得cosB===，解得c=2或c=-1（舍）． ∴S △ABC =sinB==．故答案为：．利用三角形的内角和解出B ，使用余弦定理解出c ，代入三角形的面积公式计算． 本题考查了余弦定理在解三角形中的应用，三角形的面积公式，属于中档题． 11.【答案】15【解析】解：∵tanx=2，则cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）=cos2x-sinx•（-sinx ）=+=+=+=，故答案为：．利用诱导公式，同角三角函数的基本关系，求得cos2x+sin （π+x ）cos （+x ）的值．本题主要考查诱导公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12.【答案】−2√23；√3+2√26【解析】解：∵α∈（0，π），∴α+∈（）， 又sin （α+）=，∴cos （α+）=； 则sinα=sin[（）-]=sin （）cos-cos （）sin==．故答案为：；．直接利用同角三角函数基本关系式求cos（α+）；再由sinα=sin[（）-]，展开两角差的正弦求解．本题考查两角和与差的三角函数，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．13.【答案】[-4，6]【解析】解：∵AB//DC，∠ABC=90°，AB=3，BC=DC=2，且E，F分别是线段DC和BC上的动点，∴=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），又=+，=+，∴=（+）•（+）=（+）•（λ+μ）=λ+μ=9λ+4μ．∵0≤λ≤，∴0≤9λ≤6①，又-1≤μ≤0，∴-4≤4μ≤0②，①+②得：-4≤9λ+4μ≤6．即的取值范围是[-4，6]，故答案为：[-4，6]．依题意，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），由=+，=+，可求得=（+）•（+）=λ+μ=9λ+4μ；再由0≤λ≤，-1≤μ≤0，即可求得-4≤9λ+4μ≤6，从而可得答案．本题考查平面向量数量积的坐标运算，设=λ（0≤λ≤），=μ（-1≤μ≤0），并求得=9λ+4μ是关键，考查平面向量加法的三角形法与共线向量基本定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．14.【答案】[−1−√5，√5−1]；2√55【解析】解：f（x）=2sin2x-2sin2x-a=2sin2x-（1-cos2x）-a=2sin2x+cos2x-1-a=-1-a．其中tanθ=①f（x）=0在x∈R上有解，则sin（2x+θ）=a+1有解，∵∴≤a+1．则a的取值范围是[，]，故答案为：[，]②∵x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，那么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．由f（x）=-1-a．其中tanθ=其对称轴2x+θ=+kπ，k∈Z．x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．∴对称轴x==∴x1+x2=．则sin（x1+x2）=sin（）=cosθ．∵tanθ=，即，∴cosθ=，则sin（x1+x2）=．故答案为：．①利用三角函数的公式化简，f（x）=0在x∈R上有解，转化为两个函数图象有交点问题即可求解；②x1，x2是函数y=f（x）在[0，]内的两个零点，即么x1，x2是关于在[0，]内的对称轴是对称的．即可求解 本题主要考查了三角函数的图象及性质的应用，同角三角函数间的基本关系式，属于中档题． 15.【答案】解：函数f （x ）=4sin x （cos x cos π6-sin x sin π6）+1，=2√3sin x cosx-2sin 2x +1，=√3sin2x +cos2x ，=2sin （2x +π6），（1）f （π12）=2sin （2×π12+π6）=2sin π3=√3（2）周期T =2π2=π；（3）由x 在[0，π2]上，∴2x +π6∈[π6，7π6]，当2x +π6=7π6，即x =π2，f （x ）取得最小值为-1；当2x +π6=π2，即x =π6，f （x ）取得最大值为2．【解析】 （1）根据两角和的余弦公式、二倍角公式及辅助角公式将f （x ）化简为f （x ）=2sin （2x+），即可计算；（2）根据周期公式求解即可；（3）由x 在[0，]上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最值．本题考查三角函数的恒等变换、三角形面积公式、余弦定理以及三角函数图象与性质的综合应用，熟练掌握相关定理及公式是解题的关键，属于中档题16.【答案】解：（1）不共线向量a ⃗ ，b ⃗ 满足|a ⃗ |=3，|b ⃗ |=5，（a ⃗ -3b ⃗ ）•（2a ⃗ +b ⃗ ）=20．所以：2a ⃗ 2−5a ⃗ ⋅b ⃗ −3b ⃗ 2=20，解得：a⃗ ⋅b ⃗ =775， 所以：a ⃗ •（a ⃗ -b ⃗ ）=a ⃗ 2−a ⃗ ⋅b ⃗ =9−775=-325． （2）存在实数λ=12使λa⃗ +b ⃗ 与（a ⃗ -2b ⃗ ）共线． 由于：λa ⃗ +b ⃗ =λ(a ⃗ −2b ⃗ )，故：（1-2λ）b ⃗ =0⃗ ，所以：λ=12． （3）若（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ），则：18k −775k 2+2⋅775−50k =0， 整理得：k 2+16077k +2=0，由于△＜0，故方程无解．所以不存在实数，使（k a ⃗ +2b ⃗ ）⊥（a ⃗ -k b ⃗ ）．【解析】（1）直接利用向量的数量积的应用求出结果．（2）利用向量的共线求出λ的值．（3）利用向量垂直的充要条件求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积的应用，向量垂直和共线的充要条件的应用．17.【答案】解：（1）设锐角三角形中，sin A -cos C =cos （A -B ），即sin A +cos （A +B ）=cos （A -B ）， 即sin A +cos A cos B -sin A sin B =cos A cos B +sin A sin B ，即sin A =2sin A sin B ，∴sin B =12，∴B =π6．（2）cos A +sin C =cos A +sin （π-A -B ）=cos A +sin （5π6-A ）=cos A +sin （π6+A ）=cos A +12cos A +√32sin A =√3sin （A +π3）． ∵B =π6，∴A ∈（π3，π2），A +π3∈（2π3，5π6），∴sin （A +π3）∈（12，√32），∴√3sin （A +π3）∈（√32，32）， 即cos A +sin C 的取值范围为（√32，32）． 【解析】（1）利用诱导公式，两角和差的三角公式，化简所给的式子，求得sinB 的值，可得B 的值． （2）化简要求的式子sin （A+），根据A ∈（，），利用正弦函数的定义域和值域，求得cosA+sinC 的取值范围．本题主要考查诱导公式，两角和差的三角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．18.【答案】解：（1）∵向量a ⃗ =（cosθ，sinθ），b ⃗ =（cosβ，sinβ）， ∴a ⃗ -b ⃗ =（cosθ-cosβ）+（sinθ-sinβ），∴|a ⃗ -b ⃗ |2=（cosθ-cosβ）2+（sinθ-sinβ）2=2-2cos （θ-β）=2-2cos π3=2-1=1，∴|a ⃗ -b ⃗ |=1；（2）a ⃗ •b ⃗ =cosθcosβ+sinθsinβ=cos （θ-β）=cos （2θ-π3），∴|a ⃗ +b ⃗ |=√2+2cos(θ−β)=2|cos （θ-π6）|=2cos （θ-π6），∴f （θ）=cos （2θ-π3）-2λcos （θ-π6）=2cos 2（θ-π3）-2λcos （θ-π6）-1令t =cos （θ-π6），则t ∈[12，1]，∴f （t ）=2t 2-2λt -1=2（t -λ2）2-λ24-1， 又1≤λ≤2，12≤λ2≤1，∴t =λ2时，f （t ）有最小值-λ24-1， ∴f （θ）的最小值为-λ24-1． 【解析】（1）根据向量的坐标运算和向量的模以及两角和差即可求出答案，（2）根据向量的数量积和二倍角公式化简得到f （θ）=2cos 2（θ-）-2λcos （θ-）-1，令t=cos （θ-），根据二次函数的性质即可求出．本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积以及三角函数的化简，以及二次函数的性质，属于中档题．19.【答案】解：（1）当x ＞1时，x -1＞0，1-x ＜0，可得f （x ）=（x 2-2x +3）+0•（1-x 2）=x 2-2x +3； 当x =1时，f （x ）=2；当x ＜1时，x -1＜0，1-x ＞0，可得f （x ）=1-x 2．即有f （x ）={x 2−2x +3，x ＞12，x =11−x 2，x ＜1；（2）G （x ）=[（3a -1）x +4a ]h （1-x ）+log a x ⋅h （x -1）={log ax,x >1(3a−1)x+4a,x≤1， 由y =G （x ）是R 上的减函数，可得{3a −1＜03a −1+4a ≥00＜a ＜1，解得17≤a ＜13；（3）F （x ）=（x 2+x -a +1）h （x -a ）+（x 2-x +a +1）h （a -x ），当x ＞a 时，x -a ＞0，可得F （x ）=x 2+x -a +1；若a ≥-12，可得F （x ）在x ＞a 递增，可得F （x ）＞F （a ）=a 2+1；若a ＜-12，可得F （x ）的最小值为F （-12）=34-a ；当x =a 时，可得F （x ）=2（a 2+1）；当x ＜a 时，x -a ＜0，a -x ＞0，则F （x ）=x 2-x +a +1．若a ≥12，可得F （x ）在x ＜a 的最小值为F （12）=a +34；若a ＜12，可得F （x ）在x ＜a 递减，即有F （x ）＞F （a ）=a 2+1．①当a ≥12时，F （x ）在区间（-∞，-12）上单调递减，在区间（-12，a ）上单调递增，在区间（a ，+∞）上单调递增，可得F （-12）为最小值，且为14-12+a +1=a +34；②当-12＜a ＜12时，F （x ）在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，+∞）上单调递增．F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1；③当a ≤-12时，在区间（-∞，a ）上单调递减，在区间（a ，-12）上单调递减，在区间（-12，+∞）上单调递增．所以F （x ）的最小值为F （12）=-a +34；综上所述，得当a ≤-12时，F （x ）的最小值为-a +34；当a ≥12时，F （x ）的最小值为为a +34；当-12＜a ＜12时，F （x ）的最小值为F （a ）=a 2+1．【解析】（1）分当x ＞1、当x=1和当x ＜1时3种情况加以讨论，分别根据S （x ）的对应法则代入，可得f （x ）相应范围内的表达式，最后综合可得函数f （x ）写成分段函数的形式；（2）运用分段函数形式表示G （x ），再由一次函数、对数函数的单调性，可得a 的范围；（3）由题意，讨论x ＞a ，x=a ，x ＜a ，求得F （x ）的解析式，再结合二次函数的图象与性质，分a≥、-＜a ＜和a≤-的4种情况进行讨论，最后综合可得F （x ）的最小值．本题以分段函数和含有字母参数的二次函数为载体，讨论函数的单调性与最小值，着重考查了基本初等函数的图象与性质、函数解析式的求解及常用方法和单调性的综合等知识，属于难题．20.【答案】解：（1）不妨设a ≤c ，b ≤c ，由a +b ＞c ，可得f 1（a ）+f 1（b ）＞f 1（c ），即有f 1（x ）=x 为“保三角形函数”；由6+2sin x -cos 2x =sin 2x +2sin x +5=（sin x +1）2+4∈[4，8]，可得f 2（x ）∈[2，3]，即有2+2＞3，可得f 2（x ）为“保三角形函数”；（2）函数g （x ）=ln x （x ∈[M ，+∞））是“保三角形函数”，可得a ≥M ，b ≥M ，a +b ＞c ，即有a -1≥M -1；b -1≥M -1，则（a -1）（b -1）≥（M -1）2，即ab ≥a +b -1+（M -1）2＞c -1+（M -1）2，只要-1+（M -1）2≥0，解得M ≥2，即M 的最小值为2；（3）A 的最大值是5π6．①当A ＞5π6时，取a =5π6=b ，c =π2，显然这3个数属于区间（0，A ），且可以作为某个三角形的三边长，但这3个数的正弦值12、12、1显然不能作为任何一个三角形的三边，故此时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）不是保三角形函数．②当A =5π6时，对于任意的三角形的三边长a 、b 、c ∈（0，5π6），若a +b +c ≥2π，则a ≥2π-b -c ＞2π-5π6-5π6=π3，即a ＞π3，同理可得b ＞π3，c ＞π3，∴a 、b 、c ∈（π3，5π6），∴sin a 、sin b 、sin c ∈（12，1]．由此可得sin a +sin b ＞12+12=1≥sin c ，即sin a +sin b ＞sin c ，同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ， 故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．若a +b +c ＜2π，则a+b 2+c 2＜π， 当a+b 2≤π2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2≤π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b 2≤1． 当a+b 2＞c 2时，由于a +b ＞c ，∴0＜c 2＜a+b 2＜π2， ∴0＜sin c 2＜sin a+b2＜1．综上可得，0＜sin c 2＜sina+b2≤1． 再由|a -b |＜c ＜5π6，以及y =cos x 在（ 0，π）上是减函数，可得cos a−b2=cos |a−b|2＞cos c 2＞cos 5π12＞0，∴sin a +sin b =2sin a+b2cos a−b2＞2sin c 2cos c2=sin c ， 同理可得sin a +sin c ＞sin b ，sin b +sin c ＞sin a ，故sin a 、sin b 、sin c 可以作为一个三角形的三边长．故当A =5π6时，h （x ）=sin x ，x ∈（0，A ）是保三角形函数，故A 的最大值为5π6．【解析】（1）不妨设a≤c ，b≤c ，由函数的值域，即可得到结论；（2）由对数函数的性质和对数的运算性质，可得M 的最小值；（3）A 的最大值是，讨论①当A ＞时；②当A=时；结合新定义和三角函数的恒等变换，即可得到最大值．本题考查新定义的理解和运用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于综合题．。
高一新生分班考试数学试卷含答案
CB高一新生分班考试数学试卷（含答案）（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（每题5分，共40分） 1．化简=-2aa （ ）A ．aB ．a -C ．aD ．2a2．分式1||22---x x x 的值为0，则x 的值为 （ ）A ．21或-B ．2C ．1-D ．2-3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点。
若EF ＝2，BC ＝5，CD ＝3， 则tan C 等于 （ ）A ．43 B ．35 C ．34 D ．45 4．如图，P A 、PB 是⊙O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，∠P = 40°，则∠BAC =（ ）A ．040 B ．080 C ．020 D ．0105．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是 （ ）A ．21 B ．165 C ．167 D ．436．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为( ) A . 6B.4C .5D . 37．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动B CD CB A 路线是A →D →C →B →A ,设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是 ( )8.若直角坐标系内两点P 、Q 满足条件①P 、Q 都在函数y 的图象上②P 、Q 关于原点对称，则称点对（P ，Q ）是函数y 的一个“友好点对”（点对（P ，Q ）与（Q ，P ）看作同一个“友好点对”）。
已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤++=02101422x xx x x y ，，,则函数y 的“友好点对”有（ ）个A ．0 B.1 C. 2 D.3注意：请将选择题的答案填入表格中。
2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2018年北大附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共12小题，共36分）1.如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A. 0B. 1C. 2D. 32.候选人甲乙丙丁测试成绩(百分制)面试86929083笔试90838392如果公司认为，作为公关人员面试的成绩应该比笔试的成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权．根据四人各自的平均成绩，公司将录取()A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁3.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为()A. 12x(x+1)=28 B. 12x(x−1)=28 C. x(x+1)=28 D. x(x−1)=284.如图，把一张矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论一定正确的是()A. ∠DAB′=∠CAB′B. ∠ACD=∠B′CDC. AD=AED. AE=CE5.若点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y3<y2B. y1<y2<y3C. y3<y2<y1D. y2<y1<y36.如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点，则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是()A. BCB. CEC. ADD. AC6题图 7题图 8题图7.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点B的对应点E恰好落在边AC上，点A的对应点为D，延长DE交AB于点F，则下列结论一定正确的是()A. AC=DEB. BC=EFC. ∠AEF=∠DD. AB⊥DF8.如图，是一种古代计时器--“漏壶”的示意图，在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间．若用x表示时间，y表示壶底到水面的高度，下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)()A. B. C. D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b2−4ac>0；②abc>0；③8a+c>0；④9a+3b+c<0其中，正确结论的个数是()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知抛物线y=−16x2+32x+6与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，若点D是AB的中点，则CD的长是()A. 154B. 92C. 132D. 15211.已知抛物线y=x2−4x+3与x轴相交于点A，B(点A在点B左侧)，顶点为M.平移该抛物线，使点M平移后的对应点M′落在x轴上，点B平移后的对应点B′落在y轴上，则平移后的抛物线解析式为()A. y=x2+2x+1B. y=x2+2x−1C. y=x2−2x+1D. y=x2−2x−112.二次函数y=ax2x…−2−1012…y…t m−2−2n…=ax2+bx+c且当x=−1时，与其对应的函数值y>0.有下列结论：2①abc>0；②−2和3是关于x的方程ax2+bx+c=t的两个根；③0<m+n<20．3其中，正确结论的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3二、填空题（本大题共9小题，共27分）13.如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为______(度)．13题图 14题图 15题图14.如图，已知正方形ABCD的边长为3，E为CD边上一点，DE=1.以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，得△ABE′，连接EE′，则EE′的长等于______．15.如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则AG的值为______．AF16.如图，在Rt△ABC中，D，E为斜边AB上的两个点，且BD=BC，AE=AC，则∠DCE的大小为____(度)．16题图 17题图17.如图，在正六边形ABCDEF中，连接对角线AC，CE，DF，EA，FB，可以得到一个六角星．记这些对角线的交点分别为H，I，J，K，L、M，则图中等边三角形共有______个．18.有一张矩形纸片ABCD，按下面步骤进行折叠：第一步：如图①，将矩形纸片ABCD折叠，使点B、D重合，点C落在点C′处，得折痕EF；第二步：如图②，将五边形AEFC′D折叠，使AE、C′F重合，得折痕DG，再打开；第三步：如图③，进一步折叠，使AE、C′F均落在DG上，点A、C′落在点A′处，点E、F落在点E′处，得折痕MN、QP．这样，就可以折出一个五边形DMNPQ．(1)请写出图①中一组相等的线段______写出一组即可；(2)若这样折出的五边形DMNPQ，如图③，恰好是一个正五边形，当AB=a，AD=b，DM=m时，有下列结论：①a2−b2=2abtan18°；②m=√a2+b2⋅tan18°；③b=m+atan18°；④b=32m+mtan18°．其中，正确结论的序号是______把你认为正确结论的序号都填上．19.如图，在正方形ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则S正方形MNPQS正方形AEFG的值等于______．19题图 20题图 21题图20.如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为______．21.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE、折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上，若DE=5，则GE的长为______．三、解答题（本大题共8小题，共47分）22.已知AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A是切点，BP与⊙O交于点C．(1)如图①，若AB=2，∠P=30°，求AP的长(结果保留根号)；(2)如图②，若D为AP的中点，求证：直线CD是⊙O的切线．23.在平面直角坐标系中，已知点A(−2,0)，点B(0,4)，点E在OB上，且∠OAE=∠OBA．(Ⅰ)如图①，求点E的坐标；(Ⅱ)如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0<m<2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标(直接写出结果即可)．24.注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答．青山村种的水稻2007年平均每公顷产8000kg，2009年平均每公顷产9680kg，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x．(1)用含x的代数式表示：①2008年种的水稻平均每公顷的产量为______；②2009年种的水稻平均每公顷的产量为______；(2)根据题意，列出相应方程______；(3)解这个方程，得______；(4)检验：______；(5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为______%.25.某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，根据跳水运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题：(1)本次接受调查的跳水运动员人数为______，图①中m的值为______；(2)求统计的这组跳水运动员年龄数据的平均数、众数和中位数．26.如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东64°方向，距离灯塔120海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处，求BP和BA的长(结果取整数)．(参考数据：sin64°≈0.90，cos64°≈0.44，tan64°≈2.05，√2取1.414)．27.已知抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴是直线l，顶点为点M.若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：(Ⅰ)求y1与x之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P(x,y2).(1)求y2与x之间的函数关系式；(2)当x12tx…−103…y1=ax2+bx+c (09)40…28.在平面直角坐标系中，O为原点，直线l：x=1，点A(2,0)，点E，点F，点M都在直线l上，且点E和点F关于点M对称，直线EA与直线OF交于点P．(Ⅰ)若点M的坐标为(1,−1)，①当点F的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；②当点F为直线l上的动点时，记点P(x,y)，求y关于x的函数解析式．(Ⅱ)若点M(1,m)，点F(1,t)，其中t≠0，过点P作PQ⊥l于点Q，当OQ=PQ时，试用含t的式子表示m．29.已知二次函数y=x2+bx+c(b,c为常数)．(Ⅰ)当b=2，c=−3时，求二次函数的最小值；(Ⅱ)当c=5时，若在函数值y=1的情况下，只有一个自变量x的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(Ⅲ)当c=b2时，若在自变量x的值满足b≤x≤b+3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为21，求此时二次函数的解析式．答案和解析1.【答案】C【解析】解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，故①与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为：1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，故②符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，故③符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选：C．①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，图象纵坐标不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．2.【答案】B【解析】解：甲的平均成绩为：(86×6+90×4)÷10=87.6(分)，乙的平均成绩为：(92×6+83×4)÷10=88.4(分)，丙的平均成绩为：(90×6+83×4)÷10=87.2(分)，丁的平均成绩为：(83×6+92×4)÷10=86.6(分)，因为乙的平均分数最高，所以乙将被录取．故选：B．根据题意先算出甲、乙、丙、丁四位候选人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．此题考查了加权平均数的计算公式，注意，计算平均数时按6和4的权进行计算．3.【答案】B【解析】解：每支球队都需要与其他球队赛(x−1)场，但2队之间只有1场比赛，x(x−1)=4×7．所以可列方程为：12故选：B．关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．【解答】解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，∴∠BAC=∠CAB′，∵AB//CD，∴∠BAC=∠ACD，∴∠ACD=∠CAB′，∴AE=CE，所以，结论正确的是D选项．故选：D．5.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，正确把握反比例函数的增减性是解题关键．直接利用反比例函数图象上点的坐标特点，结合增减性得出答案．【解答】的图象上，解：∵点A(−5,y1)，B(−3,y2)，C(2,y3)在反比例函数y=3x∴A，B点在第三象限，C点在第一象限，在每个象限y随x的增大而减小，∴y3一定最大，y1>y2，∴y2<y1<y3．故选：D．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查轴对称−最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．如图连接PC，只要证明PB=PC，即可推出PB+PE=PC+PE，由PE+PC≥CE，推出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度．【解答】解：如图连接PC，∵AB=AC，BD=CD，∴AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴PB+PE=PC+PE，∵PE+PC≥CE，∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为CE的长度，故选B．7.【答案】D【解析】解：由旋转可得，△ABC≌△DEC，∴AC=DC，故A选项错误，BC=EC，故B选项错误，∠AEF=∠DEC=∠B，故C选项错误，∠A=∠D，又∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠D+∠B=90°，∴∠BFD=90°，即DF⊥AB，故D选项正确，故选：D．依据旋转可得，△ABC≌△DEC，再根据全等三角形的性质，即可得出结论．本题主要考查了旋转的性质，解题时注意：旋转前、后的图形全等．8.【答案】B【解析】解：由题意知：开始时，壶内盛一定量的水，所以y的初始位置应该大于0，可以排除A、D；由于漏壶漏水的速度不变，所以图中的函数应该是一次函数，可以排除C选项；所以B选项正确．故选：B．由题意知x表示时间，y表示壶底到水面的高度，然后根据x、y的初始位置及函数图象的性质来判断．主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．9.【答案】D【解析】解：①由图知：抛物线与x轴有两个不同的交点，则△=b2−4ac>0，故①正确；②抛物线开口向上，得：a>0；=1，b=−2a，故b<0；抛物线的对称轴为x=−b2a抛物线交y轴于负半轴，得：c<0；所以abc>0；故②正确；③根据②可将抛物线的解析式化为：y=ax2−2ax+c(a≠0)；由函数的图象知：当x=−2时，y>0；即4a−(−4a)+c=8a+c>0，故③正确；④根据抛物线的对称轴方程可知：(−1,0)关于对称轴的对称点是(3,0)；当x=−1时，y<0，所以当x=3时，也有y<0，即9a+3b+c<0；故④正确；所以这四个结论都正确．故选：D．由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．10.【答案】D【解析】【分析】令y=0，则−16x2+32x+6=0，由此得到A、B两点坐标，由D为AB的中点，知OD的长，x=0时，y=6，所以OC=6，根据勾股定理求出CD即可．本题主要考查了二次函数与一元二次方程的关系和抛物线的对称性，求出AB中点D的坐标是解决问题的关键．【解答】解：令y=0，则−16x2+32x+6=0，解得：x1=12，x2=−3∴A、B两点坐标分别为(12,0)(−3,0)∵D为AB的中点，∴D(4.5,0)，∴OD=4.5，当x=0时，y=6，∴OC=6，∴CD=√4．52+62=152．故选：D．11.【答案】A【解析】【分析】此题主要考查了抛物线与坐标轴交点求法以及二次函数的平移，正确得出平移方向和距离是解题关键．直接利用抛物线与坐标轴交点求法结合顶点坐标求法分别得出A，B，M点坐标，进而得出平移方向和距离，即可得出平移后解析式．【解答】解：当y=0，则0=x2−4x+3，(x−2)2=1，解得：x1=1，x2=3，∴A(1,0)，B(3,0)，y=x2−4x+3=(x−2)2−1，∴M 点坐标为：(2,−1)，∵平移该抛物线，使点M 平移后的对应点M′落在x 轴上，点B 平移后的对应点B′落在y 轴上， ∴抛物线向上平移一个单位长度，再向左平移3个单位长度即可，∴平移后的解析式为：y =(x +1)2=x 2+2x +1．故选：A ．12.【答案】C【解析】【分析】①当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b =0，abc >0，①正确；②x =12是对称轴，x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，②正确； ③m +n =4a −4；当x =−12时，y >0，a >83，m +n >203，③错误；本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，能够从表格中获取信息确定出对称轴是解题的关键．【解答】解：当x =0时，c =−2，当x =1时，a +b −2=−2，∴a +b =0，∴y =ax 2−ax −2，∴abc >0，①正确；x =12是对称轴， x =−2时y =t ，则x =3时，y =t ，∴−2和3是关于x 的方程ax 2+bx +c =t 的两个根；②正确；m =a +a −2，n =4a −2a −2，∴m =n =2a −2，∴m +n =4a −4，∵当x =−12时，y >0，∴a >83，∴m +n >203，③错误；故选：C ．13.【答案】55【解析】解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°−∠PAO−∠P−∠PBO=360°−90°−70°−90°=110°，∴∠C=12∠AOB=55°．故答案为：55．首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．14.【答案】2√5【解析】解：根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中：EC=DC−DE=2，CE′=BC+ BE′=4．根据勾股定理得到：EE′=√EC2+CE′2=√20=2√5．根据旋转的性质得到：BE′=DE=1，在直角△EE′C中，利用勾股定理即可求解．本题主要运用了勾股定理，能根据旋转的性质得到BE′的长度，是解决本题的关键．15.【答案】√32【解析】解：在△CAD与△ABE中，AC=AB，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE，∴△CAD≌△ABE．∴∠ACD=∠BAE．∵∠BAE+∠CAE=60°，∴∠ACD+∠CAE=60°．∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG中，∵sin∠AFG=AGAF，∴AGAF =√32．首先证明△CAD≌△ABE，得出∠ACD=∠BAE，证明∠AFG=60°．本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度．16.【答案】45【解析】解：设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y．∵AE=AC，∴∠ACE=∠AEC=x+y，∵BD=BC，∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−x−y+x=90°−y．在△DCE中，∵∠DCE+∠CDE+∠DEC=180°，∴x+(90°−y)+(x+y)=180°，解得x=45°，∴∠DCE=45°．故答案为：45．设∠DCE=x，∠ACD=y，则∠ACE=x+y，∠BCE=90°−∠ACE=90°−x−y，根据等边对等角得出∠ACE=∠AEC=x+y，∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=90°−y.然后在△DCE中，利用三角形内角和定理列出方程x+(90°−y)+(x+y)=180°，解方程即可求出∠DCE的大小．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，设出适当的未知数列出方程是解题的关键．17.【答案】8【解析】【分析】本题考查了正六边形的性质，正确理解正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点是关键．在正六边形ABCDEF的六个顶点是圆的六等分点，即可求得图中每个角的度数，即可判断等边三角形的个数．【解答】解：等边三角形有△AML、△BHM、△CHI、△DIJ、△EKJ、△FLK、△ACE、△BDF共有8个．故答案是：8．18.【答案】(1)AD=C′D(答案不惟一，也可以是AE=C′F等)；(2)①②③【解析】解：(1)由题意知，C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；故答案为：AD=C′D．(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，由于五边形DMNPQ，恰好是一个正五边形，且由折叠的过程知：∠MDB=54°，∠DMB=108°，∴∠DBM=∠ABM=18°，∴∠DBA=36°．∵DE=BE，∠EDB=∠DBA=36°，∴∠ADE=∠MDB−∠EDB=54°−36°=18°．在Rt△ADE中，由勾股定理知，AD2+AE2=DE2=BE2，即b2+AE2=(a−AE)2，解得AE=a2−b22a．∵tan∠ADE=tan18°=AEAD =AEb=a2−b22ab，∴a2−b2=2abtan18°，即①正确；∵PN=DM，∴PG=NG=12PN=12DM=12m，∵BG=12DB=12√a2+b2，NG=12DM=12m，NG⊥BD，∴tan∠GBN=tan18°=NG：BG=12m：12√a2+b2．∴m=√a2+b2⋅tan18°，即②正确．∵AM=AD−DM=b−m，AB=a，∴tan∠ABM=tan18°=AM：AB=(b−m)：a，∴b=m+atan18°，即③正确，同时④错误．故答案为：①②③．【分析】(1)由翻折的性质知：C′D与CD是对应线段，而AB=CD，故有AD=C′D；(2)由题意知点G是矩形的中心，即延长DG过B点，延长MN也过点B，可得∠DBM=∠ABM=∠ADE=18°，然后分析四个结论．本题考查了翻折的性质：对应角相等，对应边相等及正五边形的性质、勾股定理．19.【答案】89【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的面积的计算，属于较难题．由∠ABD=∠CBD=45°，四边形MNPQ和AEFG均为正方形，推出△BEF与△BMN是等腰直角三角形，于是得到FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，则可得MN=13BD=√23AB，即可计算答案．【解答】解：在正方形ABCD中，∵∠ABD=∠CBD=45°，∵四边形MNPQ和AEFG均为正方形，∴∠BEF=∠AEF=90°，∠BMN=∠QMN=90°，∴△BEF与△BMN是等腰直角三角形，∴FE=BE=AE=12AB，BM=MN=QM，同理DQ=MQ，∴MN=13BD=√23AB，∴S正方形MNPQS正方形AEFG=(√23AB)2(12AB)2=89，故答案为：89．20.【答案】√5【解析】解：如图1，延长DA，GP相交于H，∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，∴EG//BC//AD，∴∠H=∠PGE，∠HAP=∠GEP，∵点P是AE的中点，∴AP=EP，∴△AHP≌△EGP，∴AH=EG=1，PG=PH=12HG，∴DH=AD+AH=4，DG=CD−CG=2，根据勾股定理得，HG=√DH2+DG2=2√5，∴PG=√5，故答案为√5．延长DA，GP相交于H，先证明△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．本题考查了勾股定理、全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造直角三角形是关键．21.【答案】4913【解析】【分析】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段的长度等，解题关键是能够灵活运用正方形的性质和轴对称的性质．由折叠及轴对称的性质可知，△ABH≌△GBH，则BF垂直平分AG，先证△ABF≌△DAE，推出AF的长，再利用勾股定理求出BF的长，最后在Rt△ABF中利用面积法可求出AH的长，可进一步求出AG的长，GE的长．【解答】解：设折痕BF与AE交于点H，如图，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=12，∠BAD=∠D=90°，由折叠及轴对称的性质可知，AB=BG，∠ABH=∠GBH，BH=BH∴△ABH≌△GBH(SAS)，∴AH=GH，且∠AHB=∠GHB=90°，∴BF垂直平分线段AG，即BF⊥AE，∴∠FAH+∠AFH=90°，又∵∠FAH+∠AED=90°，∴∠AFH=∠AED，又∠FAB=∠D=90°，AD=AB，∴△ABF≌△DAE(AAS)，∴AF=DE=5，在Rt△ABF中，BF=√AB2+AF2=√122+52=13，S△ABF=12AB⋅AF=12BF⋅AH，∴12×5=13×AH，∴AH=6013，∴AG=2AH=12013，∵AE=BF=13，∴GE=AE−AG=13−12013=4913，故答案为：4913．22.【答案】解：(1)∵AB是⊙O的直径，AP是切线，∴∠BAP=90°．在Rt△PAB中，AB=2，∠P=30°，∴BP=2AB=2×2=4．由勾股定理，得AP=√BP2−AB2=√42−22=2√3.(2)如图，连接OC、AC．∵AB是⊙O的直径，∴∠BCA=90°，又∵∠ACP=180°−∠BCA=90°．在Rt△APC中，D为AP的中点，∴CD=12AP=AD．∴∠4=∠3．又∵OC=OA，∴∠1=∠2．∵∠2+∠4=∠PAB=90°，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°．即OC⊥CD．∴直线CD是⊙O的切线．【解析】(1)易证PA⊥AB，再通过解直角三角形求解；(2)本题连接OC，证出OC⊥CD即可．首先连接AC，得出直角三角形ACP，根据直角三角形斜边上中线等于斜边一半得CD=AD，再利用等腰三角形性质可证∠OCD=∠OAD=90°，从而解决问题．此题考查了切线的判定和性质及解直角三角形等知识点，难度适中．23.【答案】方法一：解：(Ⅰ)如图①，∵点A(−2,0)，点B(0,4)，∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠OBA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴OAOB =OEOA，即24=OE2，解得OE=1，∴点E的坐标为(0,1)；(Ⅱ)①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m(0<m<2)，则A′O=2−m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′//AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又∵BE=OB−OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+ 27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是(1,1)．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE= 3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A′=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴AA′A′O =AB′OB=34，∴AA′AO =37，AO=2，∴AA′=37×2=67，∴EE′=AA′=67，∴点E′的坐标是(67,1)．方法二：(1)同上．(2)由AA′=m⇒A′(m−2,0)，E′(m,1)，B(0,4)，A′B2+BE′2=(m−2)2+(0−4)2+(0−m)2+(4−1)2，A′B2+BE2=2m2−4m+29，∴当m=1时，A′B2+BE2有最小值，最小值为27．(3)A′(m−2,0)，E(m,1)，B(0,4)，过B作平行于x轴的直线l，∴E′关于l的对称点为E″(m,7)，A′，B，E″三点共线时，A′B+BE′有最小值，根据黄金法则一：K A′B=K BE″时，A′，B，E″三点共线，(理由K1−K2，l1//l2，又l1，l2共线，即A′，B，E′三点共线)∴0−4m−2=7−4m−0，∴m=67，∴点E′的坐标是(67,1)．【解析】方法一：(Ⅰ)根据相似三角形△OAE∽△OBA的对应边成比例得到OAOB =OEOA，则易求OE=1，所以E(0,1)；(Ⅱ)如图②，连接EE′.在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=(2−m)2+42=m2−4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2−4m+29=2(m−1)2+27.所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是(1,1)时，A′B2+BE′2取得最小值．方法二：(1)利用相似求出E点坐标．(2)①分别求出A′，B，E三点坐标，利用两点间距离公式求出最小值．②当A′B+BE′取得最小值时，由于公共点为点B，过点B作x轴平行线L，作A’或E’关于L的对称点，利用直线A′B与BE′′的斜率相等，得出A′，B，E′′三点共线，并得出A′B+BE′取得最小值．本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握．24.【答案】(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．【解析】解：(1)①8000(1+x)；②8000(1+x)(1+x)=8000(1+x)2；(2)8000(1+x)2=9680；(3)x1=0.1，x2=−2.1；(4)x1=0.1，x2=−2.1都是原方程的根，但x2=−2.1不符合题意，所以只取x=0.1；(5)10．解此类题时，先将所求问题设为x，根据增长后的产值=增长前的产值(1+增长率)，即可用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．解此类题时，先将所求问题设为x，然后用含x的代数式表示，再求解，判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)4÷10%=40(人)，m=100−27.5−25−7.5−10=30；故答案为40人，30．(2)平均数=(13×4+14×10+15×11+16×12+17×3)÷40=15(岁)，16岁出现12次，次数最多，众数为16岁；按大小顺序排列，中间两个数都为15岁，中位数为15岁【解析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，掌握平均数、众数和中位数的定义是解题的关键．(1)频数÷所占百分比=样本容量，m=100−27.5−25−7.5−10=30；(2)根据平均数、众数和中位数的定义求解即可．26.【答案】解：如图作PC⊥AB于C．由题意∠A=64°，∠B=45°，PA=120，在Rt△APC中，sinA=PCPA ，cosA=ACPA，∴PC=PA⋅sinA=120⋅sin64°，AC=PA⋅cosA=120⋅cos64°，在Rt△PCB中，∵∠B=45°，∴PC=BC，∴PB=PCsin45∘=120×0.90√22≈153．∴AB=AC+BC=120⋅cos64°+120⋅sin64°≈120×0.90+120×0.44≈161．答：BP的长约为153海里和BA的长约为161海里．【解析】作PC⊥AB于C，分别在Rt△APC，Rt△PCB中求解即可解决问题．本题考查了解直角三角形的应用--方位角问题，结合航海中的实际问题，解直角三角形即可，体现了数学应用于实际生活的思想．27.【答案】解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0,94)，∴c=94．∴y1=ax2+bx+94，∵点(−1,0)、(3,0)在抛物线y1=ax2+bx+94上，∴{a−b+94=09a+3b+94=0，解得{a=−34b=32，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=−34x2+32x+94；(II)∵y1=−34x2+32x+94，∴y1=−34(x−1)2+3，∴直线l为x=1，顶点M(1,3)．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C(1,t)，当点A与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ABMP为菱形，∴PA//l，又∵点P(x,y2)，∴点A(x,t)(x≠1)，∴PM=PA=|y2−t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q(1,y2)，∴QM=|y2−3|，PQ=AC=|x−1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即(y2−t)2=(y2−3)2+(x−1)2，整理得，y2=16−2t (x−1)2+t+32，即y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P(1,t+32)，∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=16−2t x2−13−tx+10−t26−2t(t≠3)；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6−2t>0，即t<3时，抛物线y1的顶点M(1,3)，抛物线y2的顶点(1,t+32)，∵3>t+32，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6−2t<0，即t>3时，y1−y2=−3(x−1)2+3−[1(x−1)2+t+3]=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2，若3t−11≠0，要使y1<y2恒成立，只要抛物线y=3t−114(3−t)(x−1)2+3−t2开口方向向下，且顶点(1,3−t2)在x轴下方，∵3−t<0，只要3t−11>0，解得t>113，符合题意；若3t−11=0，y1−y2=−13<0，即t=113也符合题意．综上，可以使y1<y2恒成立的t的取值范围是t≥113．或这样考虑：y1与y2对称轴相同，当y2开口向下时可得到y2最值大于y21最值3，所以只要保证y2的开口大于y1的开口即可，根据二次函数性质，抛物线开口由a的绝对值决定，所以只要计算|16−2t |<34的绝对值即可．【解析】【分析】(I)先根据物线经过点(0,94)得出c的值，再把点(−1,0)、(3,0)代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；(II)先根据(I)中y 1与x 之间的函数关系式得出顶点M 的坐标．①记直线l 与直线l′交于点C(1,t)，当点A′与点C 不重合时，由已知得，AM 与BP 互相垂直平分，故可得出四边形ANMP 为菱形，所以PA//l ，再由点P(x,y 2)可知点A(x,t)(x ≠1)，所以PM =PA =|y 2−t|，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q(1,y 2)，故QM =|y 2−3|，PQ =AC =|x −1|，在Rt △PQM 中，根据勾股定理即可得出y 2与x 之间的函数关系式，再由当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合可得出P 点坐标，故可得出y 2与x 之间的函数关系式；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，可知6−2t >0，即t <3时，抛物线y 1的顶点M(1,3)，抛物线y 2的顶点(1,t+32)，由于3>t+32，所以不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6−2t <0，即t >3时，求出y 1−y 2的值；若3t −11≠0，要使y 1<y 2恒成立，只要抛物线方向及顶点(1,3−t 2)在x 轴下方，因为3−t <0，只要3t −11>0，解得t >113，符合题意；若3t −11=0，y 1−y 2=−13<0，即t =113也符合题意．本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用． 28.【答案】解：(Ⅰ)①∵点O(0,0)，F(1,1)， ∴直线OF 的解析式为y =x ．设直线EA 的解析式为：y =kx +b(k ≠0)、 ∵点E 和点F 关于点M(1,−1)对称， ∴E(1,−3)．又∵A(2,0)，点E 在直线EA 上， ∴{0=2k +b−3=k +b，解得{k =3b =−6，∴直线EA 的解析式为：y =3x −6．∵点P 是直线OF 与直线EA 的交点，则{y =xy =3x −6， 解得{x =3y =3，∴点P 的坐标是(3,3)．②由已知可设点F 的坐标是(1,t)． ∴直线OF 的解析式为y =tx ．设直线EA 的解析式为y =cx +d(c 、d 是常数，且c ≠0)． 由点E 和点F 关于点M(1,−1)对称，得点E(1,−2−t)． 又点A 、E 在直线EA 上， ∴{0=2c +d−2−t =c +d，解得{c =2+t d =−2(2+t)，∴直线EA 的解析式为：y =(2+t)x −2(2+t)． ∵点P 为直线OF 与直线EA 的交点，。
易错汇总2017-2018年北京市清华附中高一上学期数学期末试卷带答案
，则△ ABC的面积为
．
【解答】 解：∵ A+C=2B，A+B+C=π， ∴ B= ，
由余弦定理得 cosB= 解得 c=2 或 c=﹣ 1（舍）． ∴ S△ABC= sinB=
=
=，
=．
故答案为： ．
11．（ 5 分）已知 tanx=2，则 cos2x+sin（π+x）cos（ +x） =
【解答】 解：∵ tanx=2，则 cos2x+sin（π+x） cos（ +x）
17．（13 分）设锐角三角形的内角 A，B，C 的对边分别为 a、b、c，且 sinA﹣ cosC=cos （A﹣B）．
（ 1）求 B 的大小； （ 2）求 cosA+sinC的取值范围．
18．（ 13 分）已知向量 =（cos θ， sin θ）， =（ cos β，sin β）．
（ 1）若
，求
设 f（x）的最大值、最小值分别为 M ，m，则 M +m 的值为（ ）
A．0
B．2018
C．4034
D．4036
【解答】 解：令 x1=x2=0 得 f（ 0）=2f（0）﹣ 2017，∴ f（ 0） =2017， 令 x1=﹣x2 得 f（ 0）=f（﹣ x2）+f （x2）﹣ 2017=2017， ∴ f（﹣ x2）+f（x2） =4034， 令 g（x） =f（x）﹣ 2017，则 gmax（x）=M﹣2017，gmin（ x）=m﹣2017， ∵ g（﹣ x） +g（x）=f（﹣ x） +f （x）﹣ 4034=0， ∴ g（ x）是奇函数， ∴ gmax（x）+gmin（x） =0，即 M﹣2017+m﹣2017=0， ∴ M+m=4034． 故选： C．
2018年清华附中新高一分班考试数学试题-真题-含详细解析
2018 年清华附中新高一分班考试数学试题-真题2018.8一、选择题（本大题共 8 小题，共 24 分） 1. 如图， 和 相交于点 ，则下列结论正确的是( )AB C D O A.B.C. D. ∠1 > ∠4 + ∠5 ∠2 < ∠52. 不透明的袋子中有两个小球，上面分别写着数字“1”，“2”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两 次记录的数字之和为 3 的概率是( )B. C. D. A. 14131223x y太和门的点的坐标为(0, −1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，则 表示下列宫殿的点的坐标正确的是( )养心殿(−2,3) 武英殿(−3.5, −4)4. 如图，直线 A. ， AB C D 交于点 ，射线 平分 O M ，若 = 76°，则 D. 等于( )OB. C.38° 104° 142°144°4 题图5 题图5. 有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10 ，现向容器内注水，并同时开始计时，cm在注水过程中，水面高度以每秒 的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对 应的注水时间满足的函数关系是( ) A. B. C. D. 正比例函数关系 一次函数关系 二次函数关系 反比例函数关系6.某校共有200名学生，为了解本学期学生参加公益劳动的情况，收集了他们参加公益劳动时间(单位：小时)等数据，以下是根据数据绘制的统计图表的一部分时间t人数0≤<1010≤<2020≤<3030≤<40≥40学生类型男女25263630324448性别学段初中高中11下面有四个推断：①这②这③这④这200名学生参加公益劳动时间的平均数一定在～之间24.525.5200名学生参加公益劳动时间的中位数在～之间2030200名学生中的初中生参加公益劳动时间的中位数一定在～之间2030 200名学生中的高中生参加公益劳动时间的中位数可能在～之间2030所有合理推断的序号是()A. B. C. D.①③②④①②③①②③④7.一家游泳馆的游泳收费标准为30元/次，若购买会员年卡，可享受如下优惠：会员年卡类型A类办卡费用(元)每次游泳收费(元) 50252015200400C类例如，购买A类会员年卡，一年内游泳20次，消费50+25×20=550元.若一年内在该游泳馆游泳的次数介于45∼55次之间，则最省钱的方式为()A. C.B.D.购买A类会员年卡购买C类会员年卡购买B类会员年卡不购买会员年卡8. 一个寻宝游戏的寻宝通道如图 1 所示，通道由在同一平面内的， ， ， ， ， AB B C CA O A OB O C组成.为 记录寻宝者的行进路线，在 的中点 处放置了一台定位仪器.设寻宝者行进的时间为 ，寻宝者 B C M x 与定位仪器之间的距离为 ，若寻宝者匀速行进，且表示 与 的函数关系的图象大致如图 2 所示， yy x 则寻宝者的行进路线可能为( )A. B. C. D. → → → → → → → →二、填空题（本大题共 6 小题，共 18 分）9.的面积(填“>”，“=”或A B C D与△10. 在平面直角坐标系 中，点> 0, > 0)在双曲线 = 上，xOy 1 点 关于 轴的对称点 在双曲线 = 上，则 + 的值为______．A xB 2 1 2 11.12. +=______°(点 ， ， 是A B P网格线交点)．把图 1 中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图2，图 3 所示的正方形，则图 1 中菱形的面积为______．13. 如图是某剧场第一排座位分布图．甲、乙、丙、丁四人购票，所购票数分别为2，3，4，5.每人选座购票时，只购买第一排的座位相邻的票，同时使自己所选的座位号之和最小，如果按“甲、乙、丙、丁”的先后顺序购票，那么甲购买 1，2 号座位的票，乙购买 3，5，7 号座位的票，丙选座购票 后，丁无法购买到第一排座位的票．若丙第一个购票，要使其他三人都能购买到第一排座位的票， 写出一种满足条件的购票的先后顺序______．14. 北京市2009 − 2014年轨道交通日均客运量统计如图所示.根据统计图中提供的信息，预估 2015 年北京市轨道交通日均客运量约万人次，你的预估理由是.三、解答题（本大题共 14 小题，共 58 分）15. 已知：如图，△为锐角三角形， = ， ．12 求作：线段 ，使得点 在直线 BP P 上，且 C D= ． 作法：①以点 为圆心， 长为半径画圆，交直线 A C于 ， 两点；C D C P A ②连接 BP ．线段 就是所求作的线段．BP(1)使用直尺和圆规，依作法补全图形(保留作图痕迹)； (2)完成下面的证明． 证明：∵， =______． = ， ∴∵ ∴点 在⊙ 上．B 又∵点 ， 都在⊙ 上，C P∴∴= 1 ______)(填推理的依据)． 2= 1．216. 在△中， = 90°， > ， 是 D 的中点． 为直线 E 上一动点，连接 过点 作D AB A C EF ⊥ ，交直线 于点 ，连接 EF． FB C (1)如图 1，当 是线段 的中点时，设 = ， = ，求 的长(用含 ， 的式子表示)；a bE A C (2)当点 在线段 的延长线上时，依题意补全图 2，用等式表示线段 ， ， 之间的数量关C A AE EF BFE 系，并证明．17. 如图，在菱形 中，AC 为对角线，点 ， 分别在E F， 上，AB A D=，连接 EF ．AB C D (1)求证：⊥；(2)延长 交EF C D 的延长线于点 ，连接 G 交 B D A C于点 若 = 4，= ，求 1 的长． A O218.国家创新指数是反映一个国家科学技术和创新竞争力的综合指数．对国家创新指数得分排名前40的国家的有关数据进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息：国家创新指数得分的频数分布直方图(数据分成7组：30≤<40，40≤<50，50≤<60，60≤<70，70≤<80，80≤<90，90≤≤100)；国家创新指数得分在60≤<70这一组的是：61.7、62.4、63.6、65.9、66.4、68.5、69.1、69.3、69.540个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图：中国的国家创新指数得分为69.5．(以上数据来源于《国家创新指数报告(2018)》)根据以上信息，回答下列问题：(1)中国的国家创新指数得分排名世界第______；(2)在40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图中，包括中国在内的少数几个国家所对应的点位于虚线的上方，请在图中用“〇”圈出代表中国的点；1(3)在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为______万美元；(结果保留一位小数)(4)下列推断合理的是______．①相比于点，所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新A B型国家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；②相比于点，所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建B C成小康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值．19. 在平面内，给定不在同一条直线上的点 ， ， ，如图所示，点 到点 ， ， 的距离均等于为常数)，到点 的距离等于 的所有点组成图形 ， A B C O A B C 的平分线交图形 于点 ，连接 A D ，O a G G D C D ．(1)求证： = ； (2)过点 作 ⊥ ，垂足为 ，作 E ⊥ ，垂足为 ，延长 F 交图形 于点 ，连接 G M若D D F =，求直线 与图形 的公共点个数． D E G20.⏜ 如图， 是 与弦 ⏜ 所围成的图形的外部的一定点， 是 上一动点，连接 交弦 于点 ．AB DP AB C P C 小腾根据学习函数的经验，对线段 ， ， P C P D A D的长度之间的关系进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：对于点 在⏜ (1)C 上的不同位置，画图、测量，得到了线段 ， ， P C PD A D 的长度的几组值，如下表：位置 1 位置 2 位置 3 位置 4 位置 5 位置 6 位置 7 位置 8 3.44 3.30 3.07 2.70 2.25 2.25 2.64 2.83 3.44 2.69 2.00 1.36 0.96 1.13 2.00 2.83 0.00 0.78 1.54 2.30 3.01 4.00 5.11 6.00在 ， ， 的长度这三个量中，确定______的长度是自变量，______的长度和______的长度都 P C P D A D是这个自变量的函数；(2)在同一平面直角坐标系 中，画出(1)中所确定的函数的图象；xOy (3)结合函数图象，解决问题：当 =时，A D 的长度约为______ ．cm16− +2≥ −2)．21. 小云在学习过程中遇到一个函数 = 下面是小云对其探究的过程，请补充完整：(1)当−2 ≤ < 0时，对于函数 = ，即 =，当−2 ≤ < 0时， 随 的增大而______，且 x 111 > 0；对于函数 = − + 1，当−2 ≤ < 0时， 随 的增大而______，且 > 0；结合上述 2 x 12 2 2 分析，进一步探究发现，对于函数 ，当−2 ≤ < 0时， 随 的增大而______． y y x (2)当 ≥ 0时，对于函数 ，当 ≥ 0时， 与 的几组对应值如下表：y y x 12 5 2 x y0 01 2 13 … …1 1 695 487 21616结合上表，进一步探究发现，当 ≥ 0时， 随 的增大而增大．在平面直角坐标系 中，画出当xOy y x ≥ 0时的函数 的图象．y (3)过点(0,> 0)作平行于 轴的直线 ，结合(1)(2)的分析，解决问题：若直线 与函数 = x l l 16−+≥ −2)的图象有两个交点，则 的最大值是______．2 m 22. 在平面直角坐标系 中， , )， , )为抛物线 = 2 + + > 0)上任意两点，其中 xOy 1 12 2 < ． 1 2(1)若抛物线的对称轴为 = 1，当 ， 为何值时， = = ； 1 2 1 2 (2)设抛物线的对称轴为 = ，若对于 + > 3，都有 < ，求 的取值范围．t 1 2 1 2 23. 为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到 2013 年底，全 市已有公租自行车 25000 辆，租赁点 600 个.预计到 2015 年底，全市将有公租自行车 50000 辆，并且 平均每个租赁点的公租自行车数量是 2013 年底平均每个租赁点的公租自行车数量的1.2倍.预计到 2015 年底，全市将有租赁点多少个⋅中，抛物线 =2 +− 1 与 轴交于点 ，将点 向右平移 2 个单位长24. 在平面直角坐标系 xOy y A A度，得到点 ，点 在抛物线上． BB(1)求点 的坐标(用含 的式子表示)； B a (2)求抛物线的对称轴； 1 2, − )， 1 (3)已知点 若抛物线与线段 恰有一个公共点，结合函数图象，求 的取值范P Q a围．25. 如图， 为⊙ 的直径， 为 延长线上一点，CD 是⊙ 的切线， 为切点， ⊥于点 ，EAB C BA D交 于点 ．F C D (1)求证： =； (2)若= ， 1 = 8，求 的长．EF 326. 在平面直角坐标系 中，直线 ： = +≠ 0)与直线 = ，直线 = 分别交于点 ， ， A BxOy 直线 = 与直线 = (1)求直线 与 轴的交点坐标；l 交于点 ． C l y (2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记线段 ， ， 围成的区域(不含边界)为 ．AB BC CAW ①当 = 2时，结合函数图象，求区域 W 内的整点个数； ②若区域 W 内没有整点，直接写出 k 的取值范围．27.已知动点，连接P M，满足连接O N．(1)依题意补全图；=30°，为射线上一定点，=3+1，为射线上一点，为线段上一O HH O A√为钝角，以点为中心，将线段P O B顺时针旋转150°，得到线段PN，P MMP1(2)求证：=；(3)点关于点的对称点为，连接写出一个的值，使得对于任意的点总有M=，M H Q O P并证明．28.在平面直角坐标系中，⊙的半径为，，为⊙外两点，1A B=1．xOy给出如下定义：平移线段，得到⊙的弦AB分别为点，的对应点)，线段长度的最A B小值称为线段到⊙的“平移距离”．AB(1)如图，平移线段得到⊙的长度为的弦12和34，则这两条弦的位置关系是______；在点AB1，，，中，连接点与点______的线段的长度等于线段到⊙的“平移距离”；A AB到⊙的“平移距离”为，求的最小值；1234(2)若点，都在直线=A B+23上，记线段√AB√11(3)若点的坐标为(2,)，记线段3到⊙的“平移距离”为，直接写出的取值范围．ABA222答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵∠1和∠2是对顶角，∴∠1=∠2，故A正确；B.∵∠2=+∠3，∴∠2>∠3，故B错误；C.∵∠1=∠4+∠5，故③错误；D.∵∠2=∠4+∠5，∴∠2>∠5；故D错误；故选：A．根据对顶角定义和外角的性质逐个判断即可．本题主要考查了对顶角的定义和外角的性质，能熟记对顶角的定义是解此题的关键．2.【答案】C1 2 32 3 412由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为3的有2种结果，2=1所以两次记录的数字之和为3的概率为，42故选：C．首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为3的情况，再利用概率公式即可求得答案．本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平面直角坐标系的实际应用，解题的关键是确定坐标原点和x、y轴的位置及方向，属于容易题.根据平面直角坐标系，找出相应的位置，然后写出坐标即可．【解答】解：因为表示太和门的点的坐标为(0,−1)，表示九龙壁的点的坐标为(4,1)，所以可以确定表示中和殿的点的坐标为(0,0)，即坐标原点，所以表示景仁宫、养心殿、保和殿、武英殿的点的坐标分别为(2,4)、(−2,3)、(0,1)、(−3.5,−3)，故选项B正确．故选B．4.【答案】C【解析】解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：ℎ=+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．根据题意可得容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系式，进而判断出相应函数类型．本题主要考查了一次函数的应用，观察图象提供的信息，再分析高度、时间和容积的关系即可找到解题关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查了中位数与平均数，正确理解中位数与平均数的意义是解题的关键．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．它是反映数据集中趋势的一项指标．将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．【解答】解：①解这200名学生参加公益劳动时间的平均数：①(24.5×97+25.5×103)÷200=25.015，一定在24.5～25.5之间，正确；②由统计表类别栏计算可得，各时间段人数分别为正确．15，60，51，62，12，则中位数在～之间，故②2030③由统计表计算可得，初中学段栏0≤<10的人数在大于等于0小于等于15之间，当人数为0时中位数在20～30之间；当人数为15时，中位数在20～30之间，故③正确．④由统计表计算可得，高中学段栏各时间段人数分别为大于等于0小于等于15，35，15，18，1，当0≤<10时间段人数为0时，中位数在10～20之间；当0≤<10时间段人数为15时，中位数在10～20之间，故④错误．故选：C．7.【答案】C【解析】【分析】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是根据题意，列出函数关系式，属中档题．设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得到=，=50+，1=200+【解答】，=400+，当=45和=55时，确定x的值，再根据函数的增减性即可解答．解：设一年内在该游泳馆游泳的次数为x次，消费的钱数为y元，根据题意得：当不购买会员年卡时，=，1当购买A类会员年卡时，=50+，当购买B类会员年卡时，=200+，当购买C类会员年卡时，=400+，当=45时，=1350，=1175，=1100，=1075，1此时最小，当=55时，=1650，=1425，=1300，=1225，1此时最小，∵，，，均随x的增大而增大，1∴购买C类会员年卡最省钱．故选C．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查了函数图象的实际应用，解决本题的关键是将题目中行进路线与定位仪器之间的距离有机结合，从而寻找出合理的行进路线.属中等难度题．【解答】解：由于表示y与x的函数关系的图象是轴对称图形，那么行走路线相对于M来说也是对称的，从而排除A选项和D选项．B选项，→过程中，寻宝者与定位仪器之间的距离先减小，然后增大，但增大的时间比减小的时间要长，所以B选项错误．故选项C符合题意．故选C．9.【答案】==1×2×4=4，=2×5−1×5×1−1×1×3−1×2×2=4，【解析】解：∵2222∴=，故答案为：=．分别求出△的面积和△的面积，即可求解．本题考查了三角形的面积，掌握三角形的面积公式是本题的关键．10.【答案】0【解析】解：∵点=；>0,>0)在双曲线=上，1∴1又∵点A与点B关于x轴对称，∴∵点B在双曲线=上，2∴∴=+；21=+=0；2故答案为：0．>0,>0)在双曲线=上，可得=，由点A与点B关于x轴对称，可得到点B的由点11坐标，进而表示出，然后得出答案．2本题考查反比例函数图象上的点坐标的特征，关于x轴对称的点的坐标的特征以及互为相反数的和为0的性质．11.【答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线【解析】 【分析】本题考查了作线段的垂直平分线的依据，需要学生对相关的定理非常熟悉，题目不难，但对于学生而言 题目非常新颖，同时提醒教师在平时授课中要重视尺规作图.属基础题． 【解答】解：由小芸的作法可知， = ， = ，所以由“到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”可知点 、 在线段 C D 的垂直平分AB线上，再由“两点确定一条直线”可知直线 就是所求作的垂直平分线．C D 故答案为：到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线． 12.【答案】45 【解析】解：延长 AP2，2∴= 90°， ∴ = += 45°， 故答案为：45．延长 交格点于 ，连接 B D ，根据勾股定理得到 2 = D2 = 1 + 22 = 5， 2 = 12 + 32 = 10，求得AP + = 22，于是得到 = 90°，根据三角形外角的性质即可得到结论． 2 本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形的外角的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确 的作出辅助线是解题的关键． 13.【答案】12∵四边形 是菱形， AB C D ∴ = ， = ， ⊥ ，设= ，= ，+ = 5− = 1 由题意得：{ ， = 3= 2 解得：{ ， ∴== 6，== 4， 的面积= 1×= × 6 × 4 = 12；1 ∴菱形 AB C D 22故答案为：12．如图 1 所示：由菱形的性质得出 = ， = ， ⊥ ，设 = ， = ，由题意得：+ = 5 − = 1= 3 { ，解得：{ = 2，得出 == 6， == 4，即可得出菱形的面积．本题考查了菱形的性质、正方形的性质、二元一次方程组的应用；熟练掌握正方形和菱形的性质，由题 意列出方程组是解题的关键． 14.【答案】丙、丁、甲、乙【解析】解：根据题意，丙第一个购票，只能购买3，1，2，4号票，此时，3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，即甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，①第二个丁可以购买3号左边的5个座位，另一侧的座位甲和乙购买，即丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、甲(6,8)、乙(10,12)或丙(3,1，2，4)、丁(5,7，9，11，13)、乙(6,8)、甲(10,12)；②第二个由甲或乙购买，此时，只能购买5，7号票，第三个购买的只能是丁，且只能购买6，8，10，12，14号票，此时，四个人购买的票全在第一排，即丙(3,1，2，4)、甲(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、乙(9,11)或丙(3,1，2，4)、乙(5,7)、丁(6,8，10，12，14)、甲(9,11)，因此，第一个是丙购买票，丁只要不是最后一个购买票的人，都能使四个人购买的票全在第一排，故答案为：丙、丁、甲、乙．先判断出丙购买票之后，剩余3号左边有6个座位，4号右边有5个座位，进而得出甲、乙购买的票只要在丙的同侧，四个人购买的票全在第一排，即可得出结论．此题主要考查了推理与论证，判断出甲、乙购买的票在丙的同侧是解本题的关键．15.【答案】980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算【解析】【分析】本题考查折线统计图，考查用样本估计总体，关键是根据统计图分析其上升规律.根据统计图进行用样本估计总体来预估即可．【解答】解：折线图反映了日均客运量的具体数据和增长趋势，每年都在增加，幅度在50∼210之间．答案不唯一，只要有支撑预估的数据即可．例如：980；因为2012∼2013年发生数据突变，故参照2013∼2014年的增长量进行估算．16.【答案】同弧所对的圆周角等于圆心角的一半【解析】解：(1)如图，即为补全的图形；(2)证明：∵，∴∵=．=，∴点在⊙上．B又∵点，都在⊙上，C P∴∴=1同弧所对的圆周角等于圆心角的一半)，=1．2故答案为： ，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半． (1)根据作法即可补全图形；(2)根据等腰三角形的性质和同弧所对圆周角等于圆心角的一半即可完成下面的证明．本题考查了作图−复杂作图、等腰三角形的性质、圆周角定理，解决本题的关键是综合运用以上知识． 17.【答案】解：(1) ∵ 是 的中点， 是线段 E 的中点，A CAB ∴， = 1 ， 2∵∴∵ ∴= 90°， = 90°， ，⊥ = 90°， ∴四边形 是矩形， C E D F ∴ = = 1，2∴ ∵ ∴== == ， = ，+= + ；22 2 2 +=2．2 2 证明：过点 作B，与 的延长线交于点 ，连接 M F ，ME D 则 = ， == 90°， ∵ 点是 的中点， AB ∴ = ， 在△ 和△ 中， ={=，=∴△∴ ， =⊥ = ， ， ，2 = ， ∵ ∴ ∵ + = 2，2．2 ∴ + = 2212【解析】(1)由三角形的中位线定理得，=，进而证明四边形CE D F是矩形得=，得出CF，再根据勾股定理得结果；(2)过点作，与的延长线交于点，连接M F，证明△M得=，=B E D，由垂直平分线的判定定理得=，进而根据勾股定理得结论．本题主要考查了直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，垂直平分线的判定，关键在于构造全等三角形．18.【答案】(1)证明：∵四边形是菱形，AB C D∴∵∴∴∴==−=⊥，AC平分，，=，；−，(2)解：如图所示：∵四边形是菱形，，AB C D，∴∵∴⊥⊥，，∴四边形是平行四边形，，EB D G∴∵∴∴==，，==，∴∴===1，2=1，2∵∴∴=4，=2，=1．【解析】(1)由菱形的性质得出(2)证出=2，得出=，AC平分，由=得出=，即可得出结论；，由=4，得出===，得出1=1=，由三角函数得出22=1．本题考查了菱形的性质、解直角三角形等知识；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．19.【答案】解：(1)∵国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，∴国家创新指数得分排名前40的国家中，中国的国家创新指数得分排名世界第17，故答案为：17；(2)如图所示：(3)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，在国家创新指数得分比中国高的国家中，人均国内生产总值的最小值约为2.7万美元；故答案为：2.7；(4)由40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图可知，①相比于点、所代表的国家，中国的国家创新指数得分还有一定差距，中国提出“加快建设创新型国A B家”的战略任务，进一步提高国家综合创新能力；合理；②相比于点，所代表的国家，中国的人均国内生产总值还有一定差距，中国提出“决胜全面建成小B C康社会”的奋斗日标，进一步提高人均国内生产总值；合理；故答案为：①②．【解析】本题考查了频数分布直方图、统计图、近似数等知识；读懂频数分布直方图和统计图是解题的关键．(1)由国家创新指数得分为69.5以上(含69.5)的国家有17个，即可得出结果；(2)根据中国在虚线的上方，中国的创新指数得分为69.5，找出该点即可；1(3)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可得出结果；(4)根据40个国家的人均国内生产总值和国家创新指数得分情况统计图，即可判断①②的合理性．20.【答案】(1)证明：∵到点的距离等于的所有点组成图形O aG，的外接圆⊙，，=，⏜⏜==，；(2)如图，连接OD，∵∴∵∴∴∴==⊥，，，=，垂直平分D M，为直径，=90°，⏜⏜∵∴∴∵∴=⊥，，，，，⊥⊥又为半径，O D为⊙的切线，与图形的公共点个数为1．∴∴直线D E G⏜⏜，从而由【解析】(1)利用圆的定义得到图象为△G的外接圆⊙，由=得到=圆心角、弧、弦的关系得到=；(2)如图，证明=，则可得到垂直平分D M，利用垂径定理得到为直径，再证明⊥，B C B C从而可判断为⊙的切线，于是得到直线与图形的公共点个数．GD E D E本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理、切线的判定．21.【答案】解：，，P D，P C(2)描点画出如图图象；(3)2.3或4.0【解析】【分析】(1)按照函数的概念，A D是自变量，而、随P C P D A D的变化而变化，故、P C P D都是因变量，即可求解；(2)描点画出如图图象；(3)观察图像求解即可．本题考查的是动点的函数图象，此类问题主要是通过描点画出函数图象，根据函数关系，在图象上查出相应的近似数值．【解答】解：(1)按照函数的概念，A D是自变量，而、随P C P D A D的变化而变化，故、P C P D都是因变量，故答案为：、、；A D P C P D(2)见答案；(3)根据图像可得的长度约为2.3或4.0A D22.【答案】减小减小减小73【解析】解：(1)当−2≤<0时，对于函数=，即=，当−2≤<0时，随的增大而减x111小，且>0；对于函数=2−+1，当−2≤<0时，随的增大而减小，且>0；结合上述x1222分析，进一步探究发现，对于函数，当−2≤<0时，随的增大而减小．y y x故答案为：减小，减小，减小．(2)函数图象如图所示：(3)∵直线与函数=1−+2≥−2)的图象有两个交点，l61×2×(4+2+1)=7观察图象可知，=−2时，的值最大，最大值=，m637故答案为3(1)利用一次函数或二次函数的性质解决问题即可．(2)利用描点法画出函数图象即可．(3)观察图象可知，=−2时，的值最大．m本题考查二次函数与不等式，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：(1)由题意==，12∴=0，1∵对称轴=1，∴，关于=1对称，N∴∴−2，21=0，=2时，==．212(2)∵抛物线的对称轴为=，若对于+>3，都有<，1212∴≤3．2【解析】(1)根据抛物线的对称性解决问题即可．(2)由题意点,0)，,0)的中垂线与的交点的坐标大于，利用二次函数的性质判断即可．3x122本题考查二次函数的性质，二次函数的对称性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．24.【答案】解：设预计到2015年底，全市将有租赁点个．x25000=50000600由题意，得1.2×解得=1000．．经检验，=1000是原方程的解，且符合题意．答：预计到 2015 年底，全市将有租赁点 1000 个．【解析】本题考查了分式方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．根据租赁点的公租自行车数量变化表示出 2013 年和 2015 年平均每个租赁点的公租自行车数量，进而得 出等式，求出即可．25.【答案】解：1)− 1)；−点 向右平移 2 个单位长度，得到点 A 与 关于对称轴 = 1对称， B ∴抛物线对称轴 = 1； (3) ∵对称轴 = 1，∴ = ， ∴ =−− 1，2 > 0时， = − < 0，如图(1)，1∴根据图象可得函数与线段 无交点；P Q < 0时， = − > 0，如图(2)，1∵抛物线不可能同时经过点 和点 ，A P ∴当点 在点 上方或与点 重合时，抛物线与线段 恰有一个公共点，P QQ B B⩽ 2，解得 ≤ − 1即−， 21综上所述，当 ≤ − 时，抛物线与线段 恰有一个公共点．P Q 2【解析】本题考查二次函数的图象及性质；熟练掌握二次函数图象上点的特征，数形结合讨论交点是解 题的关键．(1)根据点的平移规律即可得；(2)根据 与 关于对称轴 = 1对称即可得； A B (3)结合函数图象即可得． 26.【答案】解：(1)连接 O D ，∴ ⊥ ⊥ ， ，， ∵ ∴∴ = ，∵ 是⊙ 的切线， 为切点， D∴= 90°， ∴ + == += 90°，∴ ， ∵ = = ， ， ∴ = =，， ∴ ； (2) ∵∴ = ， ∴ ∵= 1= 1 × 8 = 4，22== 1 ，3∴设 ∴ = ， = ，= ，∴= ， ∵， ∴△ ， ∴ =，∴ = ，8∴∴= 6，= −= 6 − 4 = 2．【解析】(1)连接 O D ，根据圆周角定理得到 = 90°，根据平行线的性质得到 =，根据切线的性质得到 = 90°，等量代换即可得到结论； (2)根据三角形中位线定理得到= 12= × 8 = 4，设1 = ， = ，根据相似三角形的性质即2。
北京市清华附中高一新生分班考试数学试题(解析版)
北京市清华附中高一新生分班考试数学试题一、单选题1=（ ）A B ．a - C ．a D ．2a【答案】B【解析】根据根式与分数指数幂的互化即可求解.【详解】()()11122222a a a a ⎡⎤=-⋅=-=-⎢⎥⎣⎦.故选：B【点睛】本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了基本运算求解能力，属于基础题.2．分式221x x x ---的值为0，则x 的值为（ ） A ．1-或2B ．2C ．1-D ．2-【答案】B 【解析】将该分式化为220||10x x x ⎧--=⎨-≠⎩，求解即可. 【详解】2201x x x --=- 220||10x x x ⎧--=∴⎨-≠⎩，解得2x =故选：B【点睛】本题主要考查了分式方程的解法，涉及了一元二次方程的解法，属于基础题.3．如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、AD 的中点.若2EF =，5BC =，3CD =，则tan C 等于（ ）A ．43B ．35C ．34D ．45【答案】A【解析】连接BD ，EF 是ABD △的中位线可得BD 的长，根据边长判断90BDC ∠=可得答案.【详解】连接BD ，因为E 、F 分别是AB 、AD 的中点，所以EF 是ABD △的中位线，24BD EF ==，5BC =，3CD =，所以222BD CD BC +=，所以90BDC ∠=，4tan 3BD C CD == 故选：A.【点睛】本题考查了中位线、三角函数求值问题，属于基础题.4．如图，PA 、PB 是O 切线，A 、B 为切点，AC 是直径，40P ∠=︒，则BAC ∠=（ ）A ．40°B ．80°C ．20°D ．10°【答案】C【解析】由PAB △为等腰三角形求出70PAB ︒∠=，再证明PA AC ⊥，最后由BAC PAC PA ∠=∠-∠得出答案.【详解】,40PA PB P ︒=∠=PAB ∴为等腰三角形，且18040702PAB ︒︒︒-∠== PA 是O 切线，A 为切点，AC 是直径PA AC ∴⊥即907020BAC PAC PAB ︒︒︒∠=∠-∠=-=故选：C【点睛】本题主要考查了圆的几何性质，属于基础题.5．在两个袋内，分别装着写有1、2、3、4四个数字的4张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，则所取两卡片上数字之积为偶数的概率是（ ）A ．12B ．516C ．716D ．34【答案】D【解析】确定抽取两张卡片的情况一共有16种，列举法求出两张卡片之积为偶数的情况共有12种，代入古典概型概率公式求解即可.【详解】抽取两张卡片的情况一共有16种，其中两张卡片之积为偶数的情况有以下几种：()()1,2,1,4,(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)，共12种， 故所取两卡片上数字之积为偶数的概率是123164=. 故选：D【点睛】本题考查列举法求古典概型问题的概率，属于基础题.6．如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD =8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF =3，则AB 的长为 （ ）A ．6B ．4C ．5D ．3【答案】A 【解析】先根据矩形的特点求出BE 的长，再由翻折变换的性质得出CEF △是直角三角形，利用勾股定理即可得出CF 的长，再在Rt ABC 中利用勾股定理即可得出AB 的长.【详解】因为四边形ABCD 是矩形，8AD =， AEF 是AEB △翻折而成，所以3,BE EF AB AF ===，CEF △是直角三角形，835CE =-=，在Rt CEF 中，2222534CF CE EF =-=-=，设AB x =，在Rt ABC 中，222AC AB BC =+，即()22248+=+x x ，解得6x =，所以6AB =.故选：A.【点睛】本题主要考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变.属于较易题.7．如图，正方形ABCD 的边长为4，P 为正方形边上一动点，运动路线是A →D →C →B →A ，设P 点经过的路程为x ，以点A 、P 、D 为顶点的三角形的面积是y .则下列图象能大致反映y 与x 的函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据动点从点D出发，首先向点C运动，此时y随x的增加而增大，当点P在DC上运动时，y随着x的增大而增大，当点P在CB上运动时，y不变，当点P在AB上运动时，y随着x的增大而减小，据此作出选择即可．【详解】当点P由点A向点D运动，即0≤x≤4时，y的值为0；当点P在DC上运动，即4＜x≤8时，y随着x的增大而增大；当点P在CB上运动，即8＜x≤12时，y不变；当点P在BA上运动，即12＜x≤16时，y随x的增大而减小．故选：B【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现y随x的变化而变化的趋势，属于基础题．8．若直角坐标系内两点P、Q满足条件①P、Q都在函数y的图象上，②P、Q关于原点对称，则称点对（P，Q）是函数y的一个“友好点对”（点对（P，Q）与（Q，P）看作同一个“友好点对”）.已知函数2241012x x xyxx⎧++≤⎪=⎨>⎪⎩，，，则函数y的“友好点对”有（）个A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C【解析】根据“友好点对”的概念知，函数1,02y xx=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x=++()0x≤的图象的交点个数即为函数y的“友好点对”个数，结合函数图象分析即可. 【详解】根据“友好点对”的概念知，作出函数1,02y xx=>的图象关于原点对称的图象与函数2241y x x =++()0x ≤的图象如下图所示：由图可知它们的交点有两个，所以函数y 的“友好点对”有2对.故选：C【点睛】本题考查函数的图象，理解新定义的概念是解题的关键，属于基础题.二、填空题9．已知a 、b 是一元二次方程2210x x --=的两个实数根，则代数式()()2a b a b ab -+-+的值等于______【答案】1-【解析】根据根与系数的关系求解即可.【详解】根据根与系数的关系得2,1a b ab +==-则()()()()22211a b a b ab a b -+-+=---=-故答案为：1-【点睛】本题主要考查了由一元二次方程的根求值，属于基础题.10．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示.如果记2的对面的数字为m ，3的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1k x k <<+，k 为整数，则k =______【答案】0【解析】由甲、乙、丙的图看出，2和6,1,3,2都相邻，可得出2的对面的数字和3的对面的数字，然后解方程1x m n +=即可.【详解】由图知，2和6,1,3,2都相邻，所以2的对面的数字为4，即m =4，3的对面的数字为6，n =6，所以方程1x m n +=即为146x +=，解得41log 6x +=，即()443log 61log 0,12x =-=∈， 因为x 满足1k x k <<+，k 为整数，所以k =0故答案为：0【点睛】本题主要考查正方体相对面问题以及指数方程的解法，还空间想象和运算求解的能力，属于中档题.11．如图，直角梯形纸片ABCD 中，//AD BC ，90A ∠=︒，30C ∠=︒，折叠纸片使BC 经过点D ，点C 落在点E 处，BF 是折痕，且8BF CF ==，则AB 的长为______【答案】6【解析】先判断出90BDC ∠=︒，然后在Rt BDF 中求出BD 的长度，继而在Rt ABD △中求出AB ．【详解】8BF CF ==，30FBC C ∴∠=∠=︒，30EBF CBF ∴∠=∠=︒（折叠的性质）， 60EBC ∴∠=︒，30ABD ∠=︒，90BDF ∴∠=︒，在Rt BDF 中，cos BD BF EBF =∠=在Rt ABD △中，cos 6AB BD ABD =∠==． 故答案为：6【点睛】本题考查了翻折变换的知识，涉及了解直角三角形的相关知识，解答本题的关键是判断出BDC ∠为直角，30ABD ∠=︒，难度一般．12．记函数y 在x 处的值为()f x （如函数2y x 也可记为()2f x x =，当1x =时的函数值可记为()11f =）.已知()x f x x=，若a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，则()()()f a f b f c ++的所有可能值为______【答案】1或1-【解析】根据题意得0,0a c ><，0b >或0b <，进而得()()()f a f b f c ++的所有可能值为1或1-.【详解】解：因为a b c >>且0a b c ++=，0b ≠，所以0,0a c ><，0b >或0b <，当0,0a c ><，0b >时，()()()1f a f b f c ++=，当0,0a c ><，0b <时，()()()1f a f b f c ++=-.故答案为：1或1-【点睛】本题考查函数值得求解，解题的关键在于由已知得0,0a c ><，0b >或0b <，是基础题.13．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积（含最底层正方体的底面面积）超过39，则该塔形中正方体的个数至少是______【答案】6【解析】分析各正方体的边长，利用等比数列的前n 项和公式即可求解.【详解】底层正方体的表面积为24，第2层正方体的棱长为2222⨯=1422⨯=， 第3层正方体的棱长为2222⎛⨯ ⎝⎭，每个面的面积为21412⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭， ，第n 层正方体的棱长为1222n -⎛⨯ ⎝⎭，每个面的面积为1142n -⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭，则该几何体为n 层，则它的表面积为2151111244444402222n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⨯⨯+⨯++⨯=-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ ， 5140392n -⎛⎫-> ⎪⎝⎭，解得5112n -⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴该塔形中正方体的个数至少是6.故答案为：6【点睛】本题考查了等比数列的前n 项和公式，需熟记公式，属于基础题.14．如图，三棱柱111ABC A B C -中，底面1AB =，2BC =，三个侧面都是矩形，13AA =，M 为线段1BB 上的一动点，则当1AM MC +最小时，BM =______【答案】1【解析】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，连接1AC ，此时11AM MC AC +=最小，再利用三角形相似求解.【详解】将三棱柱111ABC A B C -的侧面11A B BA 和侧面11C B BC 剪开在同一平面内，如图所示：连接1AC 与1BB 交于点M 时， 11AM MC AC +=最小，因为1//BM CC ，所以1ABM ACC ， 所以1BM AB CC AC=， 即1312BM =+， 解得1BM =故答案为：1【点睛】本题主要考查立体图形的展开图形和两点间距离最短问题以及相似三角形的应用，还考查转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.15．如图，AB 是半圆O 的直径，四边形CDMN 和DEFG 都是正方形，其中C ，D ，E 在AB 上，F ，N 在半圆上.若10AB =，则正方形CDMN 的面积与正方形DEFG 的面积之和是______【答案】25【解析】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===，由勾股定理得22()25x x z ++=，22()25y y z +-=，两式相减得+=x z y ，从而可求得22x y +．【详解】连接,ON OF ，设,,CN x EF y OD z ===， 则22()25x x z ++=，22()25y y z +-=， 两式相减得：2()()0x y x y z +-+=， ∵0x y +>，∴0x y z -+=，即+=x z y ， ∴2222()25x x z x y ++=+=． 故故答案为：25．【点睛】本题考查勾股定理，正方形的性质，题中证明+=x z y 是解题关键．16．如图，CD 为直角ABC 斜边AB 上的高，BC 长度为1，DE AC ⊥，设ADE ，CDB △，ABC 的周长分别是1p ，2p ，p ，当12p p p+取最大值时，AB =______【答案】2【解析】易证Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△，令BC a =，AB c =，即可求得212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++，根据二次函数的最值即可求得答案. 【详解】因为CD AB ⊥，DE AC ⊥ 所以易得Rt ADERt ABC ，Rt CBD Rt ABC △△．令BC a =，AB c =，则2a DB c =，2a AD c c =-．于是212()1p p AD BC a ap AB AB c c+=+=-++． 由二次函数性质知，当112(1)2a c =-=⨯-， 即12BC AB =时，12p p p +取最大值时，因为1BC =，所以2AB =故答案为：2 【点睛】本题考查了相似三角形对应边比值相等的性质，考查了相似三角形的证明，本题中求一元二次方程的最大值时x 的取值是解题的关键．17．如图放置的等腰直角ABC 薄片（90ACB ∠=︒，2AC =）沿x 轴滚动，点A 的运动轨迹曲线与x 轴有交点，则在两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为______【答案】42π+【解析】先根据题意画出点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象，再根据图象求面积即可得答案. 【详解】解：根据题意得点A 的运动轨迹中相邻两个零点间的轨迹图象如图所示，其轨迹与x 轴围成的图形是由以2为半径的四分之一的圆弧，以2238的圆弧以及ABC 构成，故两个相邻交点间点A 的轨迹曲线与x 轴围成图形面积为：(222131222242482S πππ=⨯⨯+⨯⨯+⨯=+ 故答案为：42π+ 【点睛】本题考查点的运动轨迹（圆），考查数形结合思想，是中档题.18．如图是一个数表，第1行依次写着从小到大的正整数，然后把每行相邻的两个数的和写在这两数正中间的下方，得到下一行，数表从上到下与从左到右均为无限项，则这个数表中的第11行第7个数为____（用具体数字作答）1234567 35791113 812162024 20283644 486480⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅【答案】12288【解析】设,m n a 表示第m 行的第n 个数，根据等差数列的性质以及递推公式求通项的方法得出2,(21)2m m n a m n -=+-，从而得出这个数表中的第11行第7个数.【详解】设,m n a 表示第m 行的第n 个数由数表可知，每一行成等差数列，且第m 行的公差为12m - 则11,,(1)2m m n m a a n -=+-2,11,11,21,122m m m m m a a a a ----=+=+，则,11,111224m m mm a a ---=即数列,12m m a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公差为14的等差数列 则,11(1)224m ma m -=+，即2,1(1)2m m a m -=+ 212,(1)2(1)2(21)2m m m m n a m n m n ---∴=+⋅+-+-=即9911,7(11141)224212288a =+-⨯=⨯= 故答案为：12288 【点睛】本题主要考查了求等差数列的通项公式以及求等差数列的项，属于中档题.三、解答题19．如图，抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，过点A 的直线与抛物线交于另一点B ，过点B 作BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C .（1）求直线AB 的函数关系式；（2）动点P 在线段OC 上从原点出发以每秒一个单位的速度向C 移动，过点P 作PN x ⊥轴，交直线AB 于点M ，交抛物线于点N .设点P 移动的时间为t 秒，MN 的长度为s 个单位，求s 与t 的函数关系式，并写出t 的取值范围；（3）设在（2）的条件下（不考虑点P 与点O ，点C 重合的情况），连接CM ，BN ，当t 为何值时，四边形BCMN 为平行四边形？问对于所求的t 值，平行四边形BCMN 能否为菱形？请说明理由.【答案】（1）112y x =+；（2）251544s t t =-+()03t ≤≤；（3）1t =或2；不是菱形；答案见解析.【解析】（1）由条件可得()0,1A ，()3,2.5B ，可求得直线AB 的解析式.（2）由t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+ ，2517144NP t t =-++，再根据s MN NP MP ==-得出答案.(3) 若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =,再分别计算能否为菱形.【详解】解：（1）抛物线2517144y x x =-++与y 轴交于A 点，则()0,1A . BC x ⊥轴，垂足为点()3,0C ,5175931442B y =-⨯+⨯+=,所以()3,2.5B设直线AB 的解析式为y kx b =+则1532b k b =⎧⎪⎨=+⎪⎩ ，解得112b k =⎧⎪⎨=⎪⎩可得直线AB 的解析式为112y x =+ （2）点P 从O 点移动到C 点共要3秒,所以03t ≤≤t 秒时，点(),0P t ，所以112PM t =+2517144NP t t =-++2517111442s MN NP MP t t t ⎛⎫==-=-++-+ ⎪⎝⎭251544t t =-+()03t ≤≤（3）若四边形BCMN 为平行四边形，则有MN BC =，此时，有25155442t t -+=，解得11t =，22t =所以当1t =或2时，四边形BCMN 为平行四边形.①当1t =时，32MP =，4NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，52MC ==，故MN MC =，此时四边形BCMN 为菱形②当2t =时，2M P =，92NP =，故52MN NP MP =-=，又在Rt MPC △中，MC =MN MC ≠，此时四边形BCMN 不是菱形.【点睛】本题主要考查求函数解析式，二次函数的应用以及特殊四边形的性质和判定，考查数形结合思想，属于中档题.20．函数()f x ，若自变量x 取值范围内存在0x ，使()00f x x =成立，则称以()00,x x 为坐标的点为函数()f x 图像上的不动点.（1）若函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，求a ，b 应满足的条件； （2）在（1）的条件下，若2a =，直线l ：()11y a x b =-+-与y 轴、x 轴分别相交于A 、B 两点，在by x=的图象上取一点P （P 点的横坐标大于2），过P 作PQ x ⊥轴，垂足是Q ，若四边形ABQP 的面积等于2，求P 点的坐标（3）定义在实数集上的函数()f x ，对任意的x 有()()f x f x -=-恒成立.下述命题“若函数()f x 的图像上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，给予证明；若不正确，举反例说明.【答案】（1）0a >且9a ≠；3b =；（2）56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭；（3）正确；证明见解析. 【解析】（1）根据不动点的定义，得出方程3x ax x b+=+有两个不等的实根，且互为相反数，转化为二次方程，利用根与系数的关系，即可求解； （2）由（1）和2a =，求得:2l y x =-+，设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据2AOB AOQP S S -=四边形△，列出方程，即可求解；（3）定义在R 上的奇函数()f x 必有()00f =，再设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，结合奇函数的定义得出()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点，即可求解. 【详解】（1）由题意，函数()3x af x x b+=+有两个关于原点对称的不动点，可得3x ax x b+=+有两个互为相反数的根00,x x -()00x ≠ 即()230x b x a +--=()x b ≠-有两个互为相反数的根00,x x -，带入得()()()2002003030x b x a x b x a ⎧+--=⎪⎨+---=⎪⎩，两式相减得()0230b x -=，所以3b =，方程变为20x a -=()3x ≠-，所以0a >且9a ≠.（2）由（1）得2a =，3b =，所以l ：2y x =-+，即()0,2A ，()2,0B设3y x =上任意一点3,P t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭()2t >，所以(),0Q t ()2t > 又因为2AOB AOQP S S -=四边形△，所以131222222t t ⎛⎫+-⨯⨯= ⎪⎝⎭，解得52t =， 所以P 点的坐标56,25P ⎛⎫⎪⎝⎭. （3）正确①在()()f x f x -=-，令0x =，可得()()00f f =-，所以()00f =， 所以()0,0为函数的不动点，②设()00,x x 为函数()f x 图像上的不动点，则()00f x x =， 所以()()000f x f x x -=-=-，所以()00,x x --也为函数()f x 图像上的不动点. 【点睛】本题主要考查了函数的新定义的应用，以及函数与方程的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及合理应用函数的奇偶性求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 21．已知圆O 圆心为坐标原点，半径为43，直线l：)4y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点（1）求BAO ∠（2）设圆O 与x 轴的两交点是1F ，2F ，若从1F 发出的光线经l 上的点M 反射后过点2F ，求光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程（3）点P 是x 轴负半轴上一点，从点P 发出的光线经l 反射后与圆O 相切.若光线从射出经反射到相切经过的路程最短，求点P 的坐标 【答案】（1）30BAO ∠=︒；（2）833；（3）()2,0-. 【解析】（1）由题意得()434,003A B ⎛- ⎝⎭，，，则3tan 3BAO ∠=，得出答案. (2) 由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上, 光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212F M MF F M MF F F ''+=+=可得出答案.(3) 对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ',上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短.连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，即可得答案.【详解】解：（1）直线l ：)343y x =+交x 轴负半轴于A 点，交y 轴正半轴于B 点 则()434,00A B ⎛- ⎝⎭，，由题4OA =，43OB =，所以3tan BAO ∠=，所以30BAO ∠=︒ （2）如图（1）由对称性可知，点1F 关于l 的对称点1F '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l '上,在21AF F '△中，160F AO '∠=︒，11183AF AF AO FO '==-=，2163AF = 所以21AF F '△为直角三角形，1290AF F '∠=︒.所以光线从1F 射出经反射到2F 经过的路程为121212833F M MF F M MF F F ''+=+==（3）如图（2）由对称性可知，点P 关于l 的对称点P '在过点()4,0A -且倾斜角为60°的直线l ', 上PM MQ P M MQ P Q ''+=+=，所以路程最短即为l '上点P '到切点Q 的切线长最短. 连接OQ ，OP '，在Rt OQP '△中，只要OP 最短，由几何知识可知，P '应为过原点O 且与l '垂直的直线与l '的交点，这一点又与点P 关于l 对称，∴cos602AP AP AO '==︒=，故点P 的坐标为()2,0-图（1）图（2） 【点睛】本题考查圆的性质、切线的性质，对称性，光线的反射原理，考查点关于直线的对称性以及最值问题，属于中档题.22．在金融危机中，某钢材公司积压了部分圆钢，经清理知共有2009根.现将它们堆放在一起.（1）若堆放成纵断面为正三角形(每一层的根数比上一层根数多1根)，并使剩余的圆钢尽可能地少，则剩余了多少根圆钢?（2）若堆成纵断面为等腰梯形(每一层的根数比上一层根数多1根)，且不少于七层， （Ⅰ）共有几种不同的方案?（Ⅱ）已知每根圆钢的直径为10cm ，为考虑安全隐患，堆放高度不得高于4m ，则选择哪个方案，最能节省堆放场地？【答案】（1）当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）共有4中方案；（Ⅱ）选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地. 【解析】（1）n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，需满足条件()120092n n n S +=≤，求解不等式使剩余圆钢尽可能少；（2）分析出从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，利用等差数列求和公式列出圆钢总数，根据21x n +-与n 的奇偶性不同来确定方案；（3）层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以讨论当41n =与49n =两种情况是否符合题意即可. 【详解】（1）由题意可知：第一层放1根，第二层放2根，第3层放3根，，第n 层放n 根，所以n 层一共放了()12n n n S +=根圆钢，由题意可知()120092n n n S +=≤，因为当62n =时，62626319532S ⨯==，当63n =时，63636420162S ⨯==， 所以当62n =时，能使剩余的圆钢尽可能地少，此时剩余56根圆钢；（2）（Ⅰ）当纵截面为等腰梯形时，设共堆放n 层，则从上到下每层圆钢根数是以x 为首项、1为公差的等差数列，从而()1120092nx n n +-=，即()212200927741n x n +-=⨯=⨯⨯⨯， 因1n -与n 的奇偶性不同，所以21x n +-与n 的奇偶性也不同，且21n x n <+-， 从而由上述等式得：721574n x n =⎧⎨+-=⎩或1421287n x n =⎧⎨+-=⎩或412198n x n =⎧⎨+-=⎩或492182n x n =⎧⎨+-=⎩， 共有4中方案可供选择；（Ⅱ）因为层数越多，最下层堆放得越少，占用面积也越少，所以由（2）可知：若41n =，则29x =，说明最上层有29根圆钢，最下层有69根圆钢，此时，两腰之长为400cm ，上下底之长为280cm 和680cm，从而梯形的高为，且1010400+<，所以符合条件；若49n =，则17x =，说明最上层有17根圆钢，最下层有65根圆钢，此时两腰之长为480cm ，上下底之长为160cm 和640cm，从而梯形的高为，显然大于4m ，不合条件，舍去. 综上所述，选择堆放41层这个方案，最能节省堆放场地.【点睛】本题考查数列的应用，属于中档题.23．试求出所有正整数a 使得关于x 的二次方程()()2221430ax a x a +-+-=至少有一个整数根.【答案】正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10【解析】将方程可化为()22212x a x +=+，分离参数可得()22122x a x +=+，根据题意可知()221212x x +≥+，解不等式求出x 整数解，然后代入()22122x a x +=+求出a 的值即可.【详解】解：原方程可化为()22212x a x +=+，易知2x ≠-，此时()22122x a x +=+因为a 是正整数，即()221212x x +≥+. 又()220x +>，则()22212x x +≤+即2280x x +-≤，解得42x -≤≤.因为2x ≠-且x 是整数，故x 只能取4-，3-，1-，0，1，2，依次带入的表达式得41x a =-⎧⎨=⎩，36x a =-⎧⎨=⎩，110x a =-⎧⎨=⎩，03x a =⎧⎨=⎩，1149x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，21x a =⎧⎨=⎩ 从而满足题意的正整数a 的值有4个，分别为1，3，6，10.【点睛】本题考查了一元二次方程的解、一元二次不等式的解法，考查了基本运算求解能力，属于基础题.。