2020年北京市清华附中高考数学三模试卷(一)(有答案解析)
2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学试题(word版)含参考答案
1 / 232020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－13．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）AB．2CD．24．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b aa b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）2 / 23A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点．3 / 23其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ． 14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小4 / 23值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；5 / 23（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}nc ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分）6/ 237 / 23已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）8 / 23已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>．2020年3月（北京卷）全真模拟卷（1）数学答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，9 / 23{}1A B x x =<U ，故选A ．2．【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ． 3．【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距2c ==，故离心率为e =A ． 4．【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．10 / 238．【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l<⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ． 9．【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ． 10．【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分． 11．【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．11 / 2312．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．【答案】(3,23)±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得23y =±，所以点M 的坐标为()3,23±．14．【答案】2π2π【解析】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22222⋅+⋅=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为 2π，故答案为2π， 2π． 15．【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y 与观影人数x 的函数为y kx b =+，0,0k b ><，即k 为票价，当0k =时，y b =，则b -为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k 不变，即票价不变，b 变大，则b-12 / 23变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y 轴的交点不变，直线斜率变大，k 变大，即提高票价，b 不变，则b -不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）56π． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ． 由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ． （2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直． 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，13 / 23则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r ，∴3cos θ=-，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决． 试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，14 / 23解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d =⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ． （2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，15 / 2323111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-16 / 2313(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统 计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由． 【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，17 / 23所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为： 0121625825125故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得18 / 231(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． （2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增． 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤． 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e 上单调递增，在1(,)e+∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11ea =-，2eb =时，b a -有最大值为11e +．19 / 2320．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅱ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道2EF x ⊥，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出c 、2ba的值，再根据222c a b =-，最后求出,a b 的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断0OM ON ⋅=u u u u r u u u r是否成立，可以判断以MN 为直径的圆是否过定点，也就能求出||||PM PN ⋅的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程y kx m =+，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，消去y ，得到一个关于x 的一元二次方程，利用根与系数关系，计算OM ON ⋅u u u u r u u u r的值，最后可以求出||||PM PN ⋅的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得2EF x ⊥轴，则2(,)bE c a，因为ABE ∆是边长为2的正三角形，所以2c =⨯=22b a =，且223a b -=，解得3a =，b =，所以椭圆方程为22196x y +=． （Ⅱ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为x =M，N ，则0OM ON ⋅=u u u u r u u u r ，所以OM ON ⊥，20 / 23此时以MN 为直径的圆过原点，2218||||||5PM PN OP r ⋅===为定值； 当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为y kx m =+，11(,)M x y ，22(,)N x y ，=22(5181)m k =+， 联立直线方程y kx m =+和椭圆方程222318x y +=，可得222(23)63180k x kmx m +++-=，即有>0∆，122623km x x k +=-+，212231823m x x k-=+， 12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++， 可得OM ON ⊥，此时2218||||||5PM PN OP r ⋅===． 综上可得以MN 为直径的圆过原点，且||||PM PN ⋅为定值185． 21．（本小题14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},ija a A ⊆．若12345aa a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>． 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析；()3证明见解析．21 / 23【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解．试题解析：()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是“独立的”．()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为：{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =，{}51234 ,,,A a a a a =．所以，M 至多有5个“关联子集”．若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”． 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾．所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集”， 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”． 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A ．若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”，所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-，1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-．1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-．22 / 23所以12345,,,,a a a a a 是等差数列．()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<．记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈．因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素．假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>，所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤，所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+，所以任取t T ∈，232n nt -≤+，任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素． (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立．因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立．所以12n n a a --≥．所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭， 而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，23 / 23所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=，因为4T ∈，所以121,3a a ==．因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+，所以22824n n a n --+-=，所以123n a a a a -+=+n ，矛盾． 所以命题成立．。
清华大学附属中学2025届高三上学期第三次统练数学试题含答案
统练3一、选择题 共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合{11}A x x =−<<，{02}B x x =≤≤，则A B =（A ）{12}x x −<<（C ）{01}x x <≤（D ）{02}x x ≤≤（2）若复数z 满足(1i)2z −⋅=，则z =（A ）1i −− （B ）1i −+ （C ）1i −（D ）1i + （3）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是 （A ）||a b > （B ）||a b >（C ）2a ab > （D ）2ab b >（4）已知13212112log log 33a b c −===，，，则( )（A ）a b c >>（B ）a c b >>（C ）c a b >>（D ）c b a >>（5）已知函数22()log 21f x x x x =−+−，则不等式()0f x >的解集为 (A) (1,4) (B) (0,1)(4,)+∞ (C) (1,2)(D) (0,1)(2,)+∞（6）若P 是△ABC 内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（B ）12（C ）1 （D ）2（7）无穷等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差为d ，则“n S 有最大值”是“0d <”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（8）已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移(0)t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象.若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是 （A ）π12（C ）π4（D ）π3（9）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去. 若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为 （参考数据：lg 20.301≈，lg30.477≈） （A ）9 （B ）10 （C ）11（D ）12（10）若函数()0,0,22>≤⎩⎨⎧−=x x x ax xe x f x 的值域为1[,)e−+∞，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）(0, e) （B ）(e, )+∞ （C ）(0, e] （D ）[e, )+∞二、填空题 共5道小题，每小题5分，共25分. （11 ）已知tan()24θπ−=，则tan θ= ______−3（12）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x = 对称，若3sin 5α=, 则cos β=_______．35（13）已知向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则()+⋅=a b c ___0____；⋅=a b ___3____．1第次操作2第次操作3第次操作（14）若函数()sin(+)(0)6f x x ωωπ=>和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____2_____；()6g π=_____±1_______．（15）已知各项均不为零的数列{}n a ，其前n 项和是n S ，1a a =，且1n n n S a a +=（1,2,n =）. 给出如下结论：①21a =；②{}n a 为递增数列；③若*n ∀∈N ，1n n a a +>，则a 的取值范围是(0,1)； ④*m ∃∈N ，使得当k m >时，总有102211e kk a a −−<+. 其中，所有正确结论的序号是 ．①③④三、解答题 共6道小题，共85分。
北京市清华附中高考数学三模试卷(文科)
故选：D．
8.【答案】C
【解析】解：i=1，S＞1000 否，i=2，S=2+1=3， i=2，S＞1000 否，i=3，S=6+1=7， i=3，S＞1000 否，i=4，S=14+1=15， i=4，S＞1000 否，i=5，S=30+1=31， i=5，S＞1000 否，i=6，S=62+1=63， i=6，S＞1000 否，i=7，S=126+1=127， i=7，S＞1000 否，i=8，S=254+1=255， i=8，S＞1000 否，i=9，S=510+1=511， i=9，S＞1000 否，i=10，S=1022+1=1023， i=10，S＞1000 是，输出 i=10， 故选：C． 根据程序框图进行模拟运算即可． 本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．
11. 设 θ 为第二象限角，若 tan（θ+ ）= ，则 sinθ+cosθ=______．
12. 已知 ， 为单位向量且夹角为 ，设
，
，则 在 方向上的投影为
________． 13. 《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛
每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵 味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《 清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙 》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用 数字作答）．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， ∴2c=a
2020年3月北京市高三质量检测数学试卷(word版)含参考答案
2020年3月北京市高三质量检测数学试卷（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}21,0A x x B x x =-<<=>，则集合A B =U （ ） A ．(2,1)- B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．(2,)-+∞2．已知复数3i1iz -=+，则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，则其渐近线方程为（ ）A ．y =B ．y =C ．y x =D ．y x = 4．等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，n S 为{}n a 的前n 项和，则7S =（ ） A ．28B ．21C ．14D ．75．设点P 是圆22(1)(2)2x y ++-=上任一点，则点P 到直线10x y --=距离的最大值为（ ）AB ．C ．D ．2+6．某三棱锥的三视图如图所示，已知网格纸上小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．43C ．2D ．47．若点5π5π(cos,sin )66M 在角α的终边上，则tan2α=（ ） A 3B ．3C 3D ．38．已知正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“1012112+>S S S ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．下列函数中，同时满足：①图像关于y 轴对称；②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-的是（ ） A ．()1f x x -=B ．()2log f x x =C ．()cos f x x =D ．()12x f x +=10．某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段，如表下为10名学生的预赛成绩，其中有三个数据模糊．学生序号12345678910立定跳远（单位：米） 1.92 1.96 1.78 1.76 1.74 1.72 1.80 1.82 1.68 1.60 30秒跳绳（单位：次）63a75 60 63 72 701a -b 65在这10名学生中，进入立定跳远决赛的有8人，同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人，则( ) A ．2号学生进入30秒跳绳决赛 B ．5号学生进入30秒跳绳决赛 C ．8号学生进入30秒跳绳决赛 D ．9号学生进入30秒跳绳决赛第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()()1,3,2,1==m n ，则向量m 与n 的夹角为 ．12．412x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为 ． 13．在ABC △中，2,33A a c π∠==，则bc = ．14．若顶点在原点的抛物线经过四个点()()()11,1,2,,2,1,4,22⎛⎫⎪⎝⎭中的2个点，则该抛物线的标准方程可以是 ．15．已知曲线4422:1C x y mx y ++=（m 为常数），给出下列结论： ①曲线C 为中心对称图形； ②曲线C 为轴对称图形；③当1m =-时，若点(),P x y 在曲线C 上，则1x ≥或1y ≥． 其中，所有正确结论的序号是 ．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小；在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线0x y -=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S 为椭圆右顶点，过椭圆C 的右焦点的直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点（异于S ），直线PS ，QS 分别交直线4x =于A ，B 两点．求证：A ，B 两点的纵坐标之积为定值．21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．2020年3月北京市质量检测数学试卷参考答案第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】{}{}{}2102A B x x x x x x =-<<>=>-U U ，故选D ． 2．【答案】D【解析】由题意，复数()()()()313241211i i i ii i i 2i 1z ----====-++-，∴复数z 对应的点(1,2)-位于第四象限，故选D ． 3．【答案】B【解析】∵双曲线C 方程为：22221(0,0)x y a b a b-=>>，∴双曲线的渐近线方程为b y x a =±，又∵双曲线离心率为2，2c a ∴=，可得b ==，因此，双曲线的渐近线方程为y =，故选B ． 4．【答案】C【解析】等差数列{}n a 中，若1476a a a ++=，则4436,2a a =∴=，则74714S a ==，故选C ． 5．【答案】C【解析】∵22(1)(2)2x y ++-=的圆心坐标为(1,2)-，半径为r =10x y --=的距离为22112(1)1221(1)d -⨯+⨯--==+-，∴点P 到直线10x y --=距离的最大值为32d r +=，故选C ．6．【答案】A【解析】如图所示，借助正方体得直观图为三棱锥P ABC -，∴三棱锥P ABC -的体积为：112212333ABC S ⨯⨯=⨯⨯=△，故选A ．7．【答案】D【解析】5π5π(cos ,sin )66M 即为312M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则2333tan tan 231313αα=-∴==-D ． 8．【答案】C【解析】由已知1012112+>S S S ，12111110S S S S ∴->-，即1211a a >，由于题目给定{}n a 各项为正，所以等价于公比为1q >，故选C ． 9．【答案】B【解析】由题知：①图像关于y 轴对称，则()f x 为偶函数； ②()()1212,0,x x x x ∀∈+∞≠，()()21210f x f x x x ->-，()f x 在(0,)+∞为增函数．A 选项：()1f x x -=，()f x 为奇函数，故A 错误；B 选项：()2log f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞为增函数，故B 正确；C 选项：()cos f x x =，()f x 为偶函数，且在区间(0,)+∞有增有减，故C 错误；D 选项：()12x f x +=，()f x 为非奇非偶函数，故D 错误．综上选B ．10．【答案】B【解析】首先立定跳远的是前8位同学进入决赛，若59a≤，则2号、8号不进入决赛，1、3、4、5、6、7号同学进入跳绳决赛，正好6人，因此2号不一定进入跳绳决赛；5号如果不进入跳绳决赛，则1、4、5号都不进入跳绳决赛，与立定跳远同进入决赛的只有5人，不合题意，5号一定进入跳绳决赛；8号进入决赛，则2号也进入决赛，这时1、4、5号都不进入跳绳决赛，不合题意；9号成绩不知是多少，不清楚是否进入决赛；只有5号可肯定进入跳绳决赛，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．【答案】4π【解析】由两个向量夹角公式得cos2θ⋅===⋅nnmm，因为[]0,,4θθπ∈π=Q．12．【答案】24【解析】由二项式412xx⎛⎫+⎪⎝⎭展开式通项公式为44421441(2)()2r r r r r rrT C x C xx---+==，令420r-=，解得2r=，即展开式中的常数项为422443242421C-⨯=⨯=⨯，故答案为24．13．【答案】1【解析】由正弦定理知2sisinsin12sin,,,, 1.2n3666A aCbC B ccC bcπππππ∴==∴=π--=∴=∴=∴===,14．【答案】28x y=或2y x=【解析】分两种情形：①若抛物线的焦点在x轴上，设抛物线的标准方程为：2x my=，不难验证两点()12,,4,22⎛⎫⎪⎝⎭适合，故28x y=；②若抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的标准方程为：2y nx=，不难验证()()1,1,4,2适合，故2y x=．故答案为：28x y=或2y x=．15．【答案】①②③【解析】在曲线C上任取一点(),P x y，则44221x y mx y++=，将点()1,P x y--代入曲线C的方程可得()()()()44221x y m x y -+-+--=，同理可知，点()2,P x y -、()3,P x y -都在曲线C 上，则曲线C 关于原点和坐标轴对称，命题①②正确；当1m =-时，2442222213124x y x y x y y ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭，反设1x <且1y <，则201x ≤<，201y ≤<，∴22111222x y -<-<，则22211024x y ⎛⎫≤-< ⎪⎝⎭，∴2442222213124x y x y x y y ⎛⎫+-=-+< ⎪⎝⎭，这与44221x y x y +-=矛盾．∴假设不成立，∴1x ≥或1y ≥，命题③正确．故答案为：①②③．注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求，全部选对得5分，不选或者选错得0分，其他得3分． 四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD AB =，E 是PB 的中点．（1）求证：平面PBC ⊥平面PCD ； （2）求二面角E AD B --的大小； 【答案】（1）证明见解析；（2）45︒．【解析】试题分析：（1）先根据条件证BC ⊥平面PCD ，又∵BC ⊂平面PBC ，∴可以证得平面PBC ⊥平面PCD ；（2）根据条件得,,DA DC DP 两两垂直，以此建立空间直角坐标系，求出平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r ，设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r，求出法向量(0,1,1)n =-r ，根据公式求出两个法向量的余弦值，即可得出二面角E AD B --的大小；（3）依题意可证AD ⊥平面PCD ，则平面PCD 的法向量为(1,0,0)DA =u u u r ，又∵1111,,02222AE AE DA ⎛⎫=-⋅⋅=-≠ ⎪⎝⎭u u u r u u u r u u u r ，则AE u u u r 与DA u u ur 不垂直，证得AE 与平面PCD不平行．试题解析：（1）证明：∵ABCD 是正方形BC CD ∴⊥． ∵PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴PD BC ⊥． ∵PD CD D ⋂=,PD CD ⊂平面PCD ，∴BC ⊥平面PCD ， 又∵BC ⊂平面PBC ，∴平面PBC ⊥平面PCD ．（2）∵PD ⊥平面ABCD ，,AD CD ⊂平面ABCD ，∴,PD AD PD CD ⊥⊥．又∵ABCD 是正方形∴AD CD ⊥，∴,,DA DC DP 两两垂直，∴以D 为原点如图建系，设1PD AB ==，∴0,0,0D （），(1,0,0)A ，(0,1,0)C ，(1,1,0)B ，(0,0,1)P ，111,,222E ⎛⎫⎪⎝⎭，∴111(1,0,0),,,222DA DE ⎛⎫== ⎪⎝⎭u u u r u u u r ，又∵PD ⊥平面ABCD ，∴平面ADB 的法向量(0,0,1)DP =u u u r．设平面ADE 的法向量(,,)n x y z =r ，则DA n ⊥u u u r r ，DE n ⊥u u u r r ，∴0,1110222DA n x DE n x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩u u u r ru u u r r ， 令1z =，得1,0y x =-=∴(0,1,1)n =-r ，∴2cos ,2||||12DP n DP n DP n ⋅<>===⋅⋅u u u r ru u u r r u u u r r ，∴二面角E AD B --的大小为45︒．17．（本小题14分）在①44a b =，②252a b +=，③624S =-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的正整数k 存在，求k 的值；若k 不存在，请说明理由．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，{}n b 是等比数列， ，15b a =，39b =-，6243b =．是否存在k ，使得1k k S S ->且1k k S S +<？ 【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】试题分析：先由已知条件结合所选条件求出数列{}n b 与数列{}n a 的通项公式，再结合题设要求求解即可得解．试题解析：方案①，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，4427a b ==，∴5428d a a =-=-，1273(28)111a ∴=-⨯-=，∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k kS S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<， 又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案②，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，25252,283a b a b +=∴=-=，∴522852a a d -==--，1273(28)111a ∴=-⨯-=， ∴28139n a n =-+．由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 方案③，设等比数列{}n b 的公比为q ，设等差数列{}n a 的公差为d ，由39b =-，33639243b b q q =⋅=-⨯=，得3q =-，又()2231139b b q b ==⨯-=-，∴11b =-，故()13n n b -=--．又511a b ==-，624S =-，即1141,656242a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=-⎪⎩，解得1111,28a d =⎧⎨=-⎩，∴28139n a n =-+． 由1k k S S +>且1k k S S +<，可得11100k k k k k k S S a S S a -++-=>⎧⎨-=<⎩，可知()12813902811390k k a k a k +=-+>⎧⎨=-++<⎩，得1111392828k <<，又k 为正整数，则4k =，∴存在4k =，使得1k k S S ->且1k k S S +<． 18．（本小题14分）随着经济全球化、信息化的发展，企业之间的竞争从资源的争夺转向人才的竞争，吸引、留住培养和用好人才成为人力资源管理的战略目标和紧迫任务，在此背景下，某信息网站在15个城市中对刚毕业的大学生的月平均收入薪资和月平均期望薪资做了调查，数据如下图所示．（1）若某大学毕业生从这15座城市中随机选择一座城市就业，求该生选中月平均收入薪资高于8500元的城市的概率；（2）现有2名大学毕业生在这15座城市中各随机选择一座城市就业，且2人的选择相互独立，记X 为选中月平均收入薪资高于8500元的城市的人数，求X 的分布列和数学期望E （X ）；（3）记图中月平均收入薪资对应数据的方差为21S ，月平均期望薪资对应数据的方差为22S ，判断21S 与22S 的大小（只需写出结论）．【答案】（1）25；（2）分布列见解析，()45E X =；（3）2212S S > 【解析】试题分析：（1）根据图表得到高于8500元的城市有6座，得到答案；（2）X 的可能取值为0,1,2，计算概率得到分布列，再计算期望得到答案；（3）根据数据的波动性得到答案． 试题解析：（1）根据图表知：月平均收入薪资高于8500元的城市有6座，故62155p == ． （2）X 的可能取值为0,1,2，则()33905525P ξ==⨯=；()12321215525P C ξ==⨯=；()22425525P ξ==⨯=． 分布列为：()012252525255E X =⨯+⨯+⨯==． （3）根据图像知月平均收入薪资对应数据波动更大，故2212S S >．19．（本小题15分）已知函数()ln f x x a x =-(0)a >． （1）求函数()f x 的单调区间； （2）求函数21()()2g x x ax f x =--的零点个数； （3）当1a =时，求证不等式1()x f x x-≤解集为空集． 【答案】（1）()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a ；（2）()g x 在(0,)+∞上只有一个零点（3）证明见解析；（3）空集．【解析】试题分析：（1）求导得到()1a x af x x x-'=-=，计算得到答案． （2）求导得到()(1)()x a x g x x--'=，分类讨论1a >，1a =和01a <<三种情况得到答案．（3）原题等价于1()ln 10h x x x x =+-->恒成立，求导得到函数的单调区间，计算最小值1)02h >得到证明．试题解析：（1）()f x 的定义域为(0,)+∞．()1a x af x x x-'=-=．令()0f x '=，得x a =．当x a >时，有()0f x '>，∴()f x 在(,)a +∞上单调递增． 当0x a <<时，有()0f x '<，∴()f x 在(0,)a 上单调递减． 综上所述：()f x 的单调增区间为(,)a +∞，单调减区间为(0,)a（2）函数21()ln 2g x x ax x a x =--+，()(1)()x a x g x x --'=．令()(1)()0x a x g x x --'==，解得12,1x a x ==， 1(1)--02g a =<，,()x g x →+∞→+∞，当1a >时，()g x 在(1,)a 上递减，有(1)()g g a >．∴()0g a <，∴()g x 有一个零点； 当1a =时，()g x 在(0,)+∞上递增，∴()g x 有一个零点；当01a <<时，()g x 在(0,)a 上递增，在(,1)a 上递减，在(1,)+∞上递增．此时21()ln 02g a a a a a =--+<，∴()g x 有一个零点．综上所述：()g x 在(0,)+∞上只有一个零点． （3）当1a =时，不等式1()x f x x -≤解集为空集，等价于1()x f x x->在定义域内恒成立， 即1()0x f x x-->在定义域内恒成立． 令11()()ln 1x h x f x x x x x-=-=+--． 222111()1x x h x x x x --'=--=，令()0h x '=，得x = 列表得11()1ln 22h =-∵12e <，∴1ln 12<．11 >，∴0h>，∴1()()0xh x f xx-=->恒成立．∴不等式1()xf xx-≤解集为空集．20．（本小题14分）已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线0x y-=相切．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）设S为椭圆右顶点，过椭圆C的右焦点的直线l与椭圆C交于P，Q两点（异于S），直线PS，QS 分别交直线4x=于A，B两点．求证：A，B两点的纵坐标之积为定值．【答案】（Ⅰ）22143x y+=；（Ⅱ）详见解析．【解析】试题分析：（Ⅰ）求出,,a b c后可得椭圆方程．（Ⅱ）当直线l的斜率不存在，计算可得A B，两点的纵坐标之积为9-．当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，112212()()(0)P x y Q x y x x≠,,,,，则212121212()142()4A Bx x x xy y kx x x x-++=-++，联立直线方程和椭圆方程，消去y后利用韦达定理化简A By y后可得定值．试题解析：（Ⅰ）∵以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线0x y-+=相切，∴半径b等于原点到直线的距离d，b d==b=由离心率12e=，可知12ca=，且222a b c=+，得2a=，故椭圆C的方程为22143x y+=．（Ⅱ）由椭圆C的方程可知(20)S,．若直线l的斜率不存在，则直线l方程为1x=，∴331122P Q⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,,．则直线PS的方程为3260x y+-=，直线QS的方程为3260x y--=．令4x=，得(43)A,-，(43)B,，∴,A B两点的纵坐标之积为9-．若直线l的斜率存在，设直线l的方程为(1)(0)y k x k=-≠，由22(1)34120y k xx y=-⎧⎨+-=⎩得2222(34)84120k x k x k+-+-=，依题意0∆≥恒成立．设112212()()(0)P x y Q x y x x ≠,,,,，则2212122284123434k k x x x x k k-+==++,． 设(4)A A y ,(4)B B y ,，由题意,,P S A 三点共线可知11422A y yx =--， ∴点A 的纵坐标为1122A y y x =-．同理得点B 的纵坐标为2222B y y x =-．∴12122222A B y y y y x x =⋅--212121212()142()4x x x x k x x x x -++=-++22222224128434412284(43)k k k k k k k --++=--⨯++22944k k-=⨯9=- 综上，A B ，两点的纵坐标之积为定值． 21．（本小题14分）给定整数()2n n ≥，数列211:n A x +、2x 、L 、21n x +每项均为整数，在21n A +中去掉一项k x ，并将剩下的数分成个数相同的两组，其中一组数的和与另外一组数的和之差的最大值记为()1,2,,21k m k n =+L ．将1m 、2m 、L 、21n m +中的最小值称为数列21n A +的特征值．（Ⅰ）已知数列5:1A 、2、3、3、3，写出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）若1221n x x x +≤≤≤L ，当()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，其中i 、{}1,2,,21j n ∈+L 且i j ≠时，判断i j m m -与i j x x -的大小关系，并说明理由； （Ⅲ）已知数列21n A +的特征值为1n -，求121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．【答案】（Ⅰ）11m =；22m =；33m =．5A 的特征值为1；（Ⅱ）=i j i j m m x x --，理由见解析；（Ⅲ）最小值为()1n n +．【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题中的定义可求出1m 、2m 、3m 的值及5A 的特征值；（Ⅱ）分i 、{}1,2,,1j n ∈+L 和i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 两种情况讨论，结合题中定义可证明出=i j i j m m x x --；（Ⅲ）设1221n x x x +≤≤≤L ，利用（Ⅱ）中的结论=i j i j m m x x --，结合数列21n A +的特征值为1n -，可得出()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ，并证明出()()()221n k p kq n p q +-+≥++，即可求出121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值．试题解析：（Ⅰ）由题知：()()133231m =+-+=，()()233312m =+-+=，33m =，5A 的特征值为1．（Ⅱ）=i j i j m m x x --．理由如下：由于()()110i n j n -+-+≥⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，可分下列两种情况讨论： 当i 、{}1,2,,1j n ∈+L 时，根据定义可知：()()212211i n n n n n i m x x x x x x x +++=+++-+++-L L ()()212211n n n n n i x x x x x x x +++=+++-++++L L ，同理可得：()()212211j n n n n n j m x x x x x x x +++=+++-++++L L ， ∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --． 当i 、{}1,2,,21j n n n ∈+++L 时，同理可得：()()212111i n n n i n n m x x x x x x x ++-=+++--+++L L ()()212111n n n n n i x x x x x x x ++-=+++-+++-L L()()212111j n n n n n j m x x x x x x x ++-=+++-+++-L L ，∴i j i j m m x x -=-，∴=i j i j m m x x --．综上有：=i j i j m m x x --． （Ⅲ）不妨设1221n x x x +≤≤≤L ，()2122111212222022i j n n n n n i j n x x nx n x x x x nx +++≤<≤+-=+-+++⋅---∑L L ()()()()2112222222n n n n n x x n x x x x ++=-+--++-L ，显然，211222n n n n x x x x x x ++-≥-≥≥-L ，()()()212211121221n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-+++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当121n n x x ++=时取等号；()()()2122112212311n n n n n n n n x x x x x x x x x x x m ++-++++++-+++≥++-+++=L L L L ．当且仅当11n x x +=时取等号；由（Ⅱ）可知1m 、21n m +的较小值为1n -，∴()2122111n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥-L L ， 当且仅当1121n n x x x ++==时取等号，此时数列21n A +为常数列，其特征值为0，不符合题意，则必有()212211n n n n n x x x x x x n ++-+++-+++≥L L ．下证：若0p q ≥≥，2k n ≤≤，总有()()()221n k p kq n p q +-+≥++．证明：()()()()()22111n k p kq n p q n k p n k q +-+-++=+--+-()()10n k p q =+--≥， ∴()()()221n k p kq n p q +-+≥++． 因此()()()()2112221212222i j n n n n i j n x x n x x n x x x x ++≤<≤+-=-+--++-∑L()()()21221111n n n n n n x x x x x x n n ++-≥++++----≥+L L ．当0,11,121k k n x n k n ≤≤⎧=⎨+≤≤+⎩时，121i j i j n x x ≤<≤+-∑可取到最小值()1n n +，符合题意，∴121i j i j n x x ≤<≤+-∑的最小值为()1n n +．。
清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题及答案详解
清华附中2020届高三第二学期第三次统考数学试题一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 56.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3B.2 C. 33 D. 228.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ）A . a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n ng x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______.14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断： ①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答.17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论） 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈；②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.清华附中2020届高三第二学期第三次统练数学试题答案详解一、选择题（共10小题；共40分）1.复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C 【解析】所对应的点为（-1，-2）位于第三象限.【考点定位】本题只考查了复平面的概念，属于简单题. 2.设{|210}S x x =+>，{|350}T x x =-<，则S T ?（ ）A. ∅B. 1{|}2x x <-C. 5{|}3x x >D. 15{|}23x x -<< 【答案】D 【解析】 【分析】集合S T ，是一次不等式的解集，分别求出再求交集即可 【详解】{}1210|2S x x x x ⎧⎫=+=>-⎨⎬⎩⎭Q ，{}5|350|3T x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，则15|23S T x x ⎧⎫⋂=-<<⎨⎬⎩⎭故选D【点睛】本题主要考查了一次不等式的解集以及集合的交集运算，属于基础题．3.祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是说：两个同高的几何体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等.设A 、B 为两个同高的几何体，:p A 、B 的体积不相等，:q A 、B 在等高处的截面积不恒相等.根据祖暅原理可知，p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由题意分别判断命题的充分性与必要性，可得答案.【详解】解：由题意，若A 、B 的体积不相等，则A 、B 在等高处的截面积不恒相等，充分性成立；反之，A 、B 在等高处的截面积不恒相等，但A 、B 的体积可能相等，例如A 是一个正放的正四面体，B 一个倒放的正四面体，必要性不成立，所以p 是q 的充分不必要条件， 故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判定，意在考查学生的逻辑推理能力. 4.下列图形中，不是三棱柱展开图的是（ ）A. B. C. D.【答案】C 【解析】 【分析】根据三棱柱的展开图的可能情况选出选项.【详解】由图可知，ABD 选项可以围成三棱柱，C 选项不是三棱柱展开图. 故选：C【点睛】本小题主要考查三棱柱展开图的判断，属于基础题.5.已知抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 到抛物线焦点的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5【答案】D 【解析】试题分析：抛物线24x y =焦点在y 轴上，开口向上，所以焦点坐标为(0,1)，准线方程为1y =-，因为点A 的纵坐标为4，所以点A 到抛物线准线的距离为415+=，因为抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，所以点A 与抛物线焦点的距离为5.考点：本小题主要考查应用抛物线定义和抛物线上点的性质抛物线上的点到焦点的距离，考查学生的运算求解能力.点评：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，这条性质在解题时经常用到，可以简化运算. 6.函数()()213f x ax a x =---在区间[)1,-+∞上是增函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. 1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B. (],0-∞C. 10,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D. 10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】 【分析】就0,0a a =≠分类讨论，后者需结合对称轴来讨论.【详解】若0a =，则()3f x x =-，()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，符合.若0a ≠，因为()f x 在区间[)1,-+∞上是增函数，故0112a a a>⎧⎪-⎨≤-⎪⎩，解得103a <≤.综上，103a ≤≤. 故选：D .【点睛】本题考查含参数的函数的单调性，注意根据解析式的特点合理分类，比如解析式是二次三项式，则需讨论二次项系数的正负以及对称轴的位置，本题属于基础题.7.若直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝1相交于P 、Q 两点，且∠POQ ＝120°(其中O 为坐标原点)，则k 的值为( ) A. 3 B.2 C. 3或－3D. 2和－2【答案】C 【解析】 【分析】直线过定点，直线y=kx +1与圆x 2+y 2=1相交于P 、Q 两点，且∠POQ=120°（其中O 为原点），可以发现∠QOx 的大小，求得结果．【详解】如图，直线过定点（0，1），∵∠POQ=120°∴∠OPQ=30°，⇒∠1=120°，∠2=60°， ∴由对称性可知k=±3 故选C ．【点睛】本题考查过定点的直线系问题，以及直线和圆的位置关系，是基础题． 8.函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移4π个单位 C. 向左平移4π个单位 D. 向右平移34π个单位 【答案】A 【解析】 依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.9.已知定义在R 上的函数()21x mf x -=-（m 为实数）为偶函数，记()32a f -=，()3m b f =，()2c f =-，则（ ）A. a b c <<B. a c b <<C. c a b <<D. c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据()f x 为偶函数得到0m =，求出函数的单调性后可得,,a b c 的大小关系. 【详解】因为()21x mf x -=-为偶函数，所以()()f x f x =-，故2121x m x m +--=-即x m x m +=-对任意的x ∈R 恒成立，故0m =， 所以()21xf x =-.当0x ≥时，()21xf x =-，()f x 在[)0,+∞上为增函数，因为302132m -<<=<，故()()()3232mf f f -<<，所以()2a b f <<.又()()22f f -=，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性以及指数式的大小比较，此类问题属于基础题. 10.函数()f x x =，()22g x x x =-+.若存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，则n 的最大值是（ ）A. 8B. 11C. 14D. 18【答案】C 【解析】 【分析】 令()222h x x x =-+，原方程可化为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n h x h x h x h x -++⋅⋅⋅+=，算出左侧的取值范围和右侧的取值范围后可得n 的最大值.【详解】因为存在129,,,0,2n x x x ⎡⎤⋅⋅⋅∈⎢⎥⎣⎦，使得()()()()121n n f x f x f x g x -++⋅⋅⋅++()()()()121n n g x g x g x f x -=++++L ，故2221111222222n n n n x x x x x x ---+++-+=-+L .令()222h x x x =-+，90,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则()5314h x ≤≤， 故()221111531222214n n n x x x x n ---≤-+++-+≤-L ，因为()5314n h x ≤≤ 故5314n -≤，故max 14n =. 故选：C.【点睛】本题考查二次函数的最值，注意根据解析式的特征把原方程合理整合，再根据方程有解得到n 满足的条件，本题属于较难题.二、填空题（共5小题；共25分）11.已知向量()21,4a x =+r ，()2,3b x =-r ，若//a b r r，则实数x 的值等于______.【答案】12【解析】 【分析】根据向量共线的坐标形式可求x 的值.【详解】因为//a b r r，故()()21342x x +⨯=⨯-，解得12x =. 故答案为：12. 【点睛】本题考查向量共线的坐标形式，一般地，如果()()1122,,,a x y b x y ==r r，那么：（1）若//a b r r ，则1221x y x y =；（2）若a b ⊥r r，则12120x x y y +=.12.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线方程为3y x =±，若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．【答案】223144x y -=【解析】 由已知，即，取双曲线顶点及渐近线，则顶点到该渐近线的距离为，由题可知，所以，则所求双曲线方程为223144x y -=.13.已知数列{}n a 对任意的*,p q N ∈满足p q p q a a a +=+，且26a =-，则10a =______. 【答案】30- 【解析】 【分析】令1p =，则11p p a a a +=+，从而可得{}n a 为等差数列且公差为1a ，再根据26a =-得到1a ，利用等差数列的通项公式可求10a .【详解】令1p =，则11p p a a a +=+，故11p p a a a +-=，故{}n a 为等差数列且公差为1a ， 故()1111n a a n a na =+-⨯=.因为26a =-，故13a =-，故1030a =-. 故答案为：30-【点睛】本题考查等差数列的基本量的计算，注意对给定的递推关系合理赋值，本题属于基础题. 14.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】 (1). 130. (2). 15. 【解析】 【分析】由题意可得顾客需要支付的费用，然后分类讨论，将原问题转化为不等式恒成立的问题可得x 的最大值. 【详解】(1)10x =,顾客一次购买草莓和西瓜各一盒,需要支付()608010130+-=元. (2)设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元,120y <元时,李明得到的金额为80%y ⨯,符合要求.120y ≥元时,有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立,即()87,8yy x y x -≥≤,即min158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元. 所以x 的最大值为15.【点睛】本题主要考查不等式的概念与性质､数学的应用意识､数学式子变形与运算求解能力,以实际生活为背景，创设问题情境，考查学生身边的数学，考查学生的数学建模素养.15.在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知60B =︒，4b =，下列判断：①若c =，则角C 有两个解；②若12BC BA ⋅=u u u r u u u r，则AC 边上的高为③a c +不可能是9.其中判断正确的序号是______. 【答案】③ 【解析】 【分析】利用余弦定理逐项判断后可得正确的选项.【详解】对于①，若c =2116322a a =+-⨯，故2130a -=，此方程有唯一解a ，故角C 有唯一解，所以①错.对于②，因为12BC BA ⋅=u u u r u u u r ，故1122ac =，即24ac =，又由余弦定理可得2211622a c a c =+-⨯⨯⨯，故2240a c +=， 所以()288a c +=即a c +=24a c ac ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，消元后可得2240a -+=，因889680∆=-=-<，故方程无解， 即满足12BC BA ⋅=u u u r u u u r的三角形不存在，故②错误.对于③，由余弦定理可得()()()2222231634a c ac a c ac a c a c =+-=+-≥+-+， 整理得到()2164a c +≥即8a c +≤，故a c +不可能是9，故③正确.故答案为：③.【点睛】本题考查余弦定理在解三角形中的应用，还考查了基本不等式的应用，注意根据三角形中已知的量选择合适的定理来构建关于未知量的方程，再对所得的方程进行代数变形（如放缩、消元等），本题属于中档题.三、解答题（共6小题；共85分）16.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，()1n n S na n n =+-，______.指出1S 、2S 、…n S 中哪一项最大，并说明理由.从①120S >，130S <，②5a 是2a 和6a 的等比中项这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】①②均能得到6S 最大.【解析】 【分析】根据()1n n S na n n =+-可得122n a a n =+-，从而可判断{}n a 为等差数列，若选①，则可得11112a <<，故可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项. 若选②，则可求出1a ，同样可判断出等差数列的通项何时变号，从而得到n S 的最大项.【详解】因为()1n n S na n n =+-，故()()11n n n S n S S n n -=-+-， 故()()111n n n S nS n n --=--. 当2n ≥时，111n n S S n n -=--即111n n S S n n --=--， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1S 为首项，1-为公差的等差数列，所以()()11111n S S n a n n =+-⨯-=+-，所以()11n S a n n =+-，故11,1,2n nn a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，也即是122n a a n =+-故12n n a a --=-，所以{}n a 为等差数列. 若选①，因为120S >，130S <，故11112a <<， 故61100a a =->，71120a a =-<，故6S 最大.若选②，则2526a a a =，故()()()21118210a a a -=--，解得111a =，故132n a n =-，故670,0a a ><，故6S 最大.【点睛】本题为数列中的补全条件解答题，考查数列{}n a 的通项与前n 项和n S 的关系以及等差数列前n 和的最值问题，后者常通过项何时开始变号来确定n S 何时取最值，本题属于中档题. 17.在如图所示的三棱锥A BCD -中，ABD ∆是边长为2的等边三角形，2BC DC ==，MN 是ABD∆的中位线，P 为线段BC 的中点.（1）证明：MN NP ⊥.（2）若二面角A BD C --为直二面角，求二面角A NP M --的余弦值. 【答案】（1）见解析；（227. 【解析】 【分析】（1）如图，由中位线可得//MN BD ，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE ，可证BD ⊥平面NEP ，从而可证MN NP ⊥.（2）建立如图所示的空间直角坐标系，计算出平面MNP 的法向量和平面ANP 的法向量的夹角的余弦值后可得二面角A NP M --的余弦值.【详解】（1）如图，取BD 的中点为O ，取BO 的中点E ，连接,,,AO CO EN PE .因为ABD ∆是边长为2的等边三角形，BO DO =，所以AO BD ⊥. 因为,AN BN BE EO ==，故//EN AO ，故EN BD ⊥. 因为2,2BC CD BD ===，所以222BD BC DC =+且CO BD ⊥，所以2BCD π∠=.因为,BP PC BE EO ==，故//EP CO ，所以EP BD ⊥.因为EN EP E ⋂=，EN ⊂平面ENP ,EP ⊂平面ENP ，故BD ⊥平面ENP ， 因为NP ⊂平面ENP ，BD ⊥NP .因为,AN NB AM MD ==，故//MN BD ，所以MN NP ⊥.（2）由（1）可得,AO BD CO BD ⊥⊥， 所以AOC ∠为二面角A BD C --的平面角， 因为二面角A BD C --为直二面角，所以2AOC π∠=即AO OC ⊥.建立如图所示的空间直角坐标系，则()(1313110,0,0,3,,0,,,0,,,,0222222O A N M P ⎛⎫⎛⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 故130,,22NP ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，13,0,22AN ⎛=- ⎝⎭u u u r ，()1,0,0MN =u u u u r .设平面MNP 的法向量为(),,m x y z =u r，则00NP m MN m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u u v v 即300y z x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，故0x =，取3y =1z =，所以()3,1m =u r.设平面ANP 的法向量为(),,n u v w =r，则00NP n AN n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v 即3030v w u w ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，取1w =，则3,3u v ==， 故()3,3,1n =r，所以27cos ,=47m n m n m n⋅==⨯u r ru r r u r r ，因为二面角A NP M --的平面角为锐角， 故二面角A NP M --的余弦值为277. 【点睛】本题考查线线垂直的证明以及二面角的平面角的计算，一般地，线线垂直的判定可由线面垂直得到，也可以由两条线所成的角为2π得到，而线面垂直又可以由面面垂直得到，解题中注意三种垂直关系的转化.空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.18.丑橘是人们日常生活中常见的营养型水果.某地水果批发市场销售来自5个不同产地的丑橘，各产地的包装规格相同，它们的批发价格（元/箱）和市场份额如下： 产地A BCDE批发价格 150 160140155170市场份额 15% 10% 25% 20% 30%市场份额亦称“市场占有率”.指某一产品的销售量在市场同类产品中所占比重.（1）从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，估计该箱丑橘价格低于160元的概率；（2）按市场份额进行分层抽样，随机抽取20箱丑橘进行检验，①从产地A ，B 共抽取n 箱，求n 的值；②从这n 箱中随机抽取三箱进行等级检验，随机变量X 表示来自产地B 的箱数，求X 的分布列和数学期望.（3）产地F 的丑橘明年将进入该地市场，定价160元/箱，并占有一定市场份额，原有五个产地的丑橘价格不变，所占市场份额之比不变（不考虑其他因素）.设今年丑橘的平均批发价为每箱1M 元，明年丑橘的平均批发价为每箱2M 元，比较1M ，2M 的大小.（只需写出结论） 【答案】（1）0.6；（2）①5， ②分布列见解析，65EX =；（3）21M M >.【解析】 【分析】（1）根据题设中的市场份额表可得所求的概率为0.6.（2）对于①，根据,A B 所占份额可得5n =，对于②，利用超几何分布可求X 的分布列，根据公式可求其数学期望.（3）算出12,M M 后可得12M M <.【详解】（1）根据市场份额表可知从该地批发市场销售的丑橘中随机抽取一箱，该箱丑橘价格低于160元的概率为0.150.250.0.206++=. （2）①200.255n =⨯=.②5箱中产地B 的有2箱，故X 可取0,1,2，又()3032351010C C P X C ===，()213235315C C P X C ===，()1232353210C C P X C ===， 所以X 的分布列为：1336012105105EX =⨯+⨯+⨯=. （3）11500.151600.11400.251550.21700.3155.5M =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，而2215031602140515541706160311016020202020202020a aa a a a a a M aM ⨯⨯⨯⨯⨯⨯+=+++++=+++++++， 其中3:2:5:4:6:a 为,,,,,A B C D E F 五个产地的丑橘所占市场份额之比， 则21 4.5020M aM a-=>+，故21M M >.【点睛】本题考查统计图表的应用、离散型随机变量的分布列及数学期望的求法，计算分布列时注意根据常见的分布（如二项分布、超几何分布）简化概率的计算，本题属于中档题. 19.已知函数()ln x xf x x a=+，其中0a >. （1）求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）若函数()f x 的最小值为-1，求实数a 的值. 【答案】（1）1111y x a a =-++；（2）2a e -=. 【解析】 【分析】（1）求出()()1,1f f '后可得曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程.（2）求出()f x '，令()ln x x a a x ϕ=++，利用导数和零点存在定理可得()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点0x ，该零点也是()f x 的最小值点，利用()f x 的最小值为1-及该零点满足的方程可求a 的值. 【详解】（1）()10f =，又()()()()()221ln ln ln x x a x x x a a xf x x a x a ++-++'==++， 故()111f a '=+，所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1111y x a a =-++.（2）令()ln x x a a x ϕ=++，则()10ax xϕ'=+>，所以()x ϕ为()0,∞+上的增函数. 取{}2min ,M a e-=，则当0x M <<时，则有()2ln 220x a a x a a ϕ<+<-<，又()110a ϕ=+>，由零点存在定理有()x ϕ在()0,∞+上有且只有一个零点. 设该零点为0x ，则当()00,x x ∈，()0x ϕ<即()0f x '<，所以()f x 在()00,x 为减函数； 当()0,x x ∈+∞，()0x ϕ>即()0f x '>，所以()f x 在()0,x +∞为增函数，所以()()000min 0ln 1x x f x f x x a===-+，又00ln 0x a a x ++=，所以00ln 1ln x x a x =--即0x a =，故2ln 0a +=，解得2a e -=.【点睛】本题考查导数的几何意义以及导数在函数最值中的应用，当导函数的零点不易求得时，可以采用虚设零点的方法来处理最值问题，本题属于中档题.20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，上下两个顶点分别为1B ，2B ，左右焦点分别为1F ，2F ，四边形1122B F B F是边长为()()0,2P n n >作直线l 交椭圆于D ，E 两点. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求证：四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【答案】（1）22184x y +=；（2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求出,,a b c 后可得椭圆的方程.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ，则可用,D E 的坐标表示直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标，再联立DE 的方程和椭圆的方程，消去x 后，利用韦达定理化简M y ，从而可得M y 为定值.【详解】（1）因为四边形1122B F B F是边长为2b c ==，所以a =所以椭圆方程为：22184x y +=.（2）设直线():DE x t y n =-，()()1122,,,D x y E x y ， 则直线1212:2y DB y x x +=-，2122:2y EB y x x -=+， 由11222222y y x x y y x x +⎧=-⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩可得直线2DB 与直线1EB 交点M 的纵坐标为()()()211221211221242M x y x y x x y x y x y x x ++-=-++()()()()122121212142422y y n y y y y n y y y y n -++-=-++-，由()22184x y x t y n ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()222222280t y t ny t n +-+-=， 所以22212122228,22t n t n y y y y t t -+==++，且222326480t t n ∆=+->， 又()()2222122221282424222222M t n t n n y y t t y t n n y y n t -⨯-⨯+-++==⎛⎫-+- ⎪+⎝⎭()()2122123244282y y t n n n y y t -+-+=--+， 故四边形12DB B E 对角线交点的纵坐标与D ，E 两点的位置无关.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的求法以及椭圆中的定点问题，前者只需求出,,a b c 即可，后者应把求解目标化为与交点坐标有关的代数式，再联立直线方程和椭圆方程，利用韦达定理化简代数式，从而可证定点定值问题，本题属于较难题.21.设n 为给定的大于2的正整数，集合{}1,2,,S n =⋅⋅⋅，已知数列n A ：1x ，2x ，…，n x 满足条件： ①当1i n ≤≤时，i x S ∈； ②当1i j n ≤<≤时，i j x x ≠.如果对于1i j n ≤<≤，有i j x x >，则称(),i j x x 为数列n A 的一个逆序对.记数列n A 的所有逆序对的个数为()n T A .（1）若()41T A =，写出所有可能的数列4A ； （2）若()2n T A =，求数列n A 的个数；（3）对于满足条件的一切数列n A ，求所有()n T A 的算术平均值.【答案】（1）不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4；（2）()()21212n n n --；（3）()14n n -. 【解析】 【分析】（1）根据()41T A =可列出满足条件的4A .（2）就构成逆序对的元素的个数分类计数可得满足条件的4A 的个数.（3）引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，可证明所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，从而可得逆序对的个数为()1!4n n n -⨯，故可求其平均值. 【详解】（1）因为()41T A =， 故1234,,,x x x x 只有一个逆序对， 则不同的4A 分别为：1,2,4,3;1,3,2,4;2,1,3,4.（2）因为()42T A =，故数列n A ：1x ，2x ，…，n x 有两种情况： ①2对逆序数由3个元素提供，即121212,,,i i i i i i i n x x x x x x x x x x ++++<<<>><<<L L ，这样的n A 共有()()3126n n n n C --=个.②2对逆序数由4个元素提供，即121212i i i j j j n x x x x x x x x x ++++<<<><<<><<<L L L .这样的n A 共有()()()4123212n n n n n C ---=.综上，满足()2n T A =的数列n A 的个数为()()21212n n n --.（3）对任意的n A ：1x ，2x ，…，n x ，其逆序对的个数为()n T A ，21我们引进一个定义：1i j n ≤<≤，有i j x x <，则称(),i j x x 为数列n A 的一个顺序对，则n A 中的顺序对个数为()()12n n n T A --. 考虑n A ：1x ，2x ，…，n x 与n B ：n x ，1n x -，…，1x ，n A 中的逆序对的个数为n B 中顺序对的个数，n A 中顺序对的个数为n B 中逆序对个数，把所有的n A 按如上形式两两分类，则可得所有的n A 中，逆序对的总数和顺序对的总数相等，而它们的和为()1!2n n n -⨯，故逆序对的个数为()1!4n n n -⨯， 所以所有()n T A 的算术平均值为()14n n -. 【点睛】本题考查排列中的新定义问题，注意根据逆序对的定义得到全排列的特征，计算所有全排列的逆序对的总数时，应构造顺序对来证明两者的总数相等，本题为难题.。
(带答案解析)2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)数学
2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1 3．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）A B C D 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．2ab >B ．2a b +<C ．11a b< D ．2b a a b+> 6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ） A ．5-B ．5C ．10-D ．107．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．②C ．③D ．①②10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = ．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y ，观影人数记为x ，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y 与x 的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本； ②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本； ③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变； ④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题14分）已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AB BC ⊥，24BC AB ==，3AD =，F 为BC 中点，//EF AB ，EF 与AD 交于点E ，沿EF 将四边形EFCD 折起，连接,,AD BC AC ．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从A市到B市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A市到B市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X．以频率作为概率，求X的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A市出发到B市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值．20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； 已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．*M N ⊆M n M a b c d ,,,a b c d +=+M {},,,a b c d M M M ()1{}2,4,6,8,10{}12,3,5,8，()2{}12345,,,,a a a a a {},i j a a M ⊆M A {},i j a a A ⊆12345a a a a a <<<<12345,,,,a a a a a ()3M x M ∈294n n x -+>2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A ．B．C．D ．【答案】A【解析】∵集合，∴，∵集合，∴，，故选A．2．若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为（）A．1 B．0 C．－D．－1【答案】D【解析】设且，则，得到，且，解得，故选D．3．双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】双曲线的标准方程为：，故实半轴长为，虚半轴长为，故半焦距，故离心率为，故选A．4．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是（）A ．B．C．D．【答案】B【解析】因为函数的定义域为且它是奇函数，故A错误；因为函数的定义域为，它是偶函数，在为偶函数，故B正确；因为函数的定义域为，它是偶函数，但在有增有减，故C错误；因为函数的定义域为，故函数不是偶函数，故D错误，故选B．5．若，则下列不等式一定正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为：，对于A：当，所以，故A错误；对于B：因为，所以，故B错误；对于C：因为，所以，故C错误；对于D：因为，所以，又因为，则，故不取等，即，故D正确，故选D．6．在的展开式中，的系数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】的展开式通项为，令，得．因此，的系数为，故选A．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台(即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm)，那么该壶的容量约为（）A．100B．C．300D．400【答案】B【解析】设大圆锥的高为，所以，解得，故，故选B．8．设为等差数列，p，q，k，l为正整数，则“”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为，或，显然由不一定能推出，由也不一定能推出，因此是的既不充分也不必要条件，故本题选D．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是；②当时，直线与黑色阴影部分有公共点；③当时，直线与黑色阴影部分有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（）A．①B．②C．③D．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为，故结论①正确；当时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为，半径为1，它到直线的距离为，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2．表1 田径综合赛项目及积分规则米跑以秒得分为标准，每少秒加分，每多秒扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分以米得分为标准，每多米加分，每少米扣分表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（）A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分）；则总分为（分）；乙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丙各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）；丁各项得分为：100米跑（分）；跳高（分）；掷实心球（分），则总分为（分）．综上，乙得分最多，故选B．第二部分（非选择题，共110分）二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量，且，则．【答案】【解析】由向量，若，可得，故答案为6．12．已知分别为内角的对边，且，则__________．【答案】【解析】由正弦得，故（为外接圆的半径），故，又，故，由余弦定理可得，故答案为．13．抛物线上一点到焦点的距离等于4，则点的坐标为．【答案】【解析】因为焦点，所以．设点，根据抛物线的定义得：，解得，所以点的坐标为．14．已知函数，其中，是这两个函数图像的交点，且不共线．①当时，面积的最小值为___________；②若存在是等腰直角三角形，则的最小值为__________．【答案】【解析】函数，其中，是这两个函数图象的交点，当时，，所以函数的交点间的距离为一个周期，高为，所以．如图所示：①当时，面积的最小值为；②若存在是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则，解得的最小值为，故答案为，．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为，观影人数记为，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后与的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额与观影人数的函数为，，即为票价，当时，，则为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，不变，即票价不变，变大，则变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与轴的交点不变，直线斜率变大，变大，即提高票价，不变，则不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知四边形为直角梯形，，，，，为中点，，与交于点，沿将四边形折起，连接．（1）求证：平面；（2）若平面平面，求二面角的平面角的大小．【答案】（1）见解析；（2）．【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结交于，则为中点，设为中点，连结，则，且．由已知且，∴且，所以四边形为平行四边形．∴，即．∵平面，平面，所以平面．（2）解：由已知为边长为2的正方形，∴，因为平面平面，又，∴两两垂直．以为原点，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则．可求得平面法向量为，平面法向量为，∴，所以二面角的平面角的大小为．17．（本小题14分）（数列开放题）在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列的公差为，前n项和为，等比数列的公比为q，且，____________．（1）求数列，的通项公式．（2）记，求数列，的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决．试题解析：方案一：选条件①（1），，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案二：选条件②（1），，，解得或（舍去），，，．（2），，，，，．方案三：选条件③，，解得或（舍去），，．（2），，，，．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统计，在2018年这一年内从市到市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为万人次．为了解乘客出行的满意度，现从中随机抽取人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，记其中老年人出行的人次为．以频率作为概率，求的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从市出发到市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由．【答案】（1）；（2）分布列见解析，数学期望；（3）建议甲乘坐高铁从市到市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知服从二项分布，先计算出随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，即，即可求出的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机．试题解析：（1）设事件：“在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人”为，由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为，，，所以在样本中任取个，这个出行人恰好不是青年人的概率．（2）由题意，的所有可能取值为：因为在2018年从市到市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取人次，此人为老年人概率是，所以，，，所以随机变量的分布列为：故．（3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下：由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：，乘坐飞机的人满意度均值为：，因为，所以建议甲乘坐高铁从市到市．19．（本小题15分）已知函数其中（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，求函数的单调区间；（3）若对于恒成立，求的最大值．【答案】（1）；（2）的单调递增区间为，单调递减区间为；（3）．【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据在上单调递增，且，分别解不等式以及，即可求出函数的单调增区间和减区间；（3）由题意得在上恒成立，设，用导数讨论函数的单调性，求出最小值，可得．再设，求出函数的最大值，即为的最大值．试题解析：（1）由，得，所以，．所以曲线在点处的切线方程为．（2）由，得．因为，且在上单调递增，所以由得，，所以函数在上单调递增，由得，，所以函数在上单调递减．综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．（3）由，得在上恒成立．设，则．由，得，（）．随着变化，与的变化情况如下表所示：所以在上单调递减，在上单调递增．所以函数的最小值为．由题意，得，即．设，则．因为当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，．所以当，，即，时，有最大值为．20．（本小题14分）已知点E在椭圆上，以E为圆心的圆与x轴相切于椭圆C的右焦点，与y轴相交于A，B两点，且是边长为2的正三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅰ）已知圆，设圆O上任意一点P处的切线交椭圆C于M、N两点，试判断以为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）（Ⅰ）以为直径的圆过原点，坐标为，且为定值【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C的方程；（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M、N两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M、N两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得轴，则，因为是边长为2的正三角形，所以，，且，解得，，所以椭圆方程为．（Ⅰ）当过点P且与圆O相切的切线的斜率不存在时，可设切线方程为，可得，，则，所以，此时以为直径的圆过原点，为定值；当过点P且与圆O相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，由直线和圆相切可得，即，联立直线方程和椭圆方程，可得，即有，，，，可得，此时．综上可得以为直径的圆过原点，且为定值．21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合，，且．记，进而利用反证法求解．试题解析：是“关联的”关联子集有；是“独立的”．记集合的含有四个元素的集合分别为：，，，，．所以，至多有个“关联子集”．若为“关联子集”，则不是“关联子集”，否则同理可得若为“关联子集”，则不是“关联子集”．所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．所以一定不是“关联子集”，同理一定不是“关联子集”．所以集合的“关联子集”至多为．若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾；所以都是“关联子集”，所以有，即，，即．，即，所以．所以是等差数列．不妨设集合，，且．记．因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．假设结论错误，即不存在，使得，所以任取，，因为，所以，所以，所以任取，，任取，所以，且中含有个元素．(i)若，则必有成立．因为，所以一定有成立．所以．所以，，所以，所以，有矛盾，(ii)若，，而中含有个元素，所以，所以，，因为，所以．因为，所以，所以，所以，矛盾．所以命题成立．。
2020年3月普通高考(北京卷)全真模拟卷(1)(解析版)
2020年3月普通高考（北京卷）全真模拟卷（1）数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 4．测试范围：高中全部内容．第一部分（选择题，共40分）一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}1,31xA x xB x =<=<，则（ ）A ．{}0AB x x =<I B ．A B =R UC ．{}1A B x x =>U D ．A B =∅I 【答案】A【解析】∵集合{|31}xB x =<，∴{}|0B x x =<，∵集合{}1A x x =<，∴{}0A B x x =<I ，{}1A B x x =<U ，故选A ．2．若复数z ＝11iai++为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．0 C ．－12D ．－1【答案】D【解析】设i z b b =∈R ,且0b ≠，则1ii 1ib a +=+，得到1i i 1ab b ab +=-+∴=-,，且1b =，解得1a =-，故选D ．3．双曲线2241x y -=的离心率为（ ）ABCD【答案】A【解析】双曲线2241x y -=的标准方程为：221114x y -=，故实半轴长为12a =，虚半轴长为1b =，故半焦距c ==，故离心率为e =A ． 4．下列函数中，既是偶函数又在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ）A ．y x =-B ．21y x =-C ．cos y x =D ．12y x =【答案】B【解析】因为函数y x =-的定义域为R 且它是奇函数，故A 错误；因为函数21y x =-的定义域为R ，它是偶函数，在(0,)+∞为偶函数，故B 正确；因为函数cos y x =的定义域为R ，它是偶函数，但在(0,)+∞有增有减，故C 错误；因为函数12y x =的定义域为[)0,+∞，故函数12y x =不是偶函数，故D 错误，故选B ．5．若1b a >>，则下列不等式一定正确的是（ ） A ．2ab > B ．2a b +< C ．11a b< D ．2b aa b+> 【答案】D【解析】因为：1b a >>，对于A ：当34,23a b ==，所以34223ab =?，故A 错误；对于B ：因为1b a >>，所以2a b +>，故B 错误；对于C ：因为1b a >>，所以1101b a<<<，故C 错误；对于D ：因为1b a >>，所以2b a a b +≥=，又因为1b a >>，则b a a b ≠，故不取等，即2b a a b +>，故D 正确，故选D ．6．在51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 的系数为（ ）A ．5-B ．5C ．10-D ．10【答案】A【解析】51x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式通项为()5525511kk kk k k C x C x x --⎛⎫⋅⋅-=⋅-⋅ ⎪⎝⎭，令523k -=，得1k =．因此，3x 的系数为()1515C ⋅-=-，故选A ．7．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间．紫砂壶的壶型众 多，经典的有西施壶、掇球壶、石瓢壶、潘壶等．其中，石瓢壶的壶体可以近似看成一 个圆台 (即圆锥用平行于底面的平面截去一个锥体得到的)．下图给出了一个石瓢壶的相关数据(单位：cm )，那么该壶的容量约为（ ）A ．1003cmB ．3200cmC ．3003cmD ．4003cm 【答案】B【解析】设大圆锥的高为h ，所以4610h h -=，解得10h =，故221119651036200333V πππ=⨯⨯-⨯⨯=≈3cm ，故选B ．8．设{}n a 为等差数列，p ，q ，k ，l 为正整数，则“p q k l +>+”是“p q k l a a a a +>+”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】D【解析】设等差数列的公差为d ，1111(1)(1)(1)(1)p q k l a p d a q d a a a a a k d a l d ⇒+-+++->+>++-+-[()()]0d p q k l ⇒+-+>0d p q k l >⎧⇒⎨+>+⎩或0d p q k l <⎧⎨+<+⎩，显然由p q k l +>+不一定能推出p q k l a a a a +>+，由p q k l a a a a +>+也不一定能推出 p q k l +>+，因此p q k l +>+是p q k l a a a a +>+的既不充分也不必要条件，故本题选D ．9．众所周知的“太极图”，其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，因而也被称为“阴阳鱼太极图”．如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，整个图形是一个圆形，其中黑色阴影区域在y 轴右侧部分的边界为一个半圆．给出以下命题：①在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率是12； ②当43a =-时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有公共点； ③当[0,1]a ∈时，直线(2)y a x =-与黑色阴影部分有两个公共点． 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．① B ．②C ．③D ．①②【答案】D【解析】因为阴影部分的面积是圆的面积一半，所以在太极图中随机取一点，此点取自黑色阴影部分的概率的大小为12，故结论①正确；当43a =-时，阴影部分在第一象限内半圆的圆心坐标为(0,1)，半径为1，它到直线(2),4380y a x x y =-+-=的距离为1d ==，所以直线与半圆相切，因此直线与黑色阴影部分有公共点，故结论②正确的；当0a =时，直线表示横轴，此时直线与阴影部分有无穷多个交点，故结论③错误的，因此只有结论①②是正确的，故本题选D ．10．已知某校运动会男生组田径综合赛以选手三项运动的综合积分高低决定排名．具体积分规则如表1所示，某代表队四名男生的模拟成绩如表2． 表1 田径综合赛项目及积分规则表2 某队模拟成绩明细根据模拟成绩，该代表队应选派参赛的队员是（ ） A ．甲 B ．乙C ．丙D ．丁【答案】B【解析】由题，甲各项得分为：100米跑601545-=（分）；跳高60464+=（分）；掷实心球601575+=（分）；则总分为456475184++=（分）；乙各项得分为：100米跑602080+=（分）；跳高601070+=（分）；掷实心球60555-=（分），则总分为807055205++=（分）；丙各项得分为：100米跑60565+=（分）；跳高60666+=（分）；掷实心球601070+=（分），则总分为656670201++=（分）；丁各项得分为：100米跑60555-=（分）；跳高60262+=（分）；掷实心球60565+=（分），则总分为556265182++=（分）． 综上，乙得分最多，故选B ．第二部分（非选择题，共110分） 二、填空题：本题共6个小题，每小题5分，共30分．11．已知向量()1,2,(3,)a b t ==vv，且//a b v v，则t = ． 【答案】6【解析】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=，故答案为6．12．已知,,a b c 分别为ABC V 内角,,A B C 的对边，22c ab =且1sin sin 2A C =，则cos A =__________．【答案】78【解析】由正弦得sin ,sin 22a c A C R R ==，故1222a c R R=⨯（R 为外接圆的半径），故2c a =，又22c ab =，故2b a =，由余弦定理可得2222277cos 288b c a a A bc a +-===，故答案为78．13．抛物线()220y px p =>上一点M 到焦点(1,0)F 的距离等于4，则点M 的坐标为 ．【答案】(3,±【解析】因为焦点()1,0F ，所以2p =．设点2,4y M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据抛物线的定义得：2144y +=，解得y =±，所以点M的坐标为(3,±．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________． 【答案】2π2π【解析】函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点， 当1ω=时，(),()f x x g x x ωω==，所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为2=，所以()121122ABC S ∆=⋅π+=⋅π．如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22ωπ⋅⎭＝，解得ω的最小值为2π，故答案为2π，2π．15．某部影片的盈利额（即影片的票房收入与固定成本之差）记为y，观影人数记为x，其函数图象如图（1）所示．由于目前该片盈利未达到预期，相关人员提出了两种调整方案，图（2）、图（3）中的实线分别为调整后y与x的函数图象．给出下列四种说法：①图（2）对应的方案是：提高票价，并提高成本；②图（2）对应的方案是：保持票价不变，并降低成本；③图（3）对应的方案是：提高票价，并保持成本不变；④图（3）对应的方案是：提高票价，并降低成本．其中，正确的说法是____________．（填写所有正确说法的编号）【答案】②③【解析】由图象(1)可设盈利额y与观影人数x的函数为y kx b=+，0,0k b><，即k为票价，当0k=时，y b=，则b-为固定成本，由图象(2)知，直线向上平移，k不变，即票价不变，b变大，则b-变小，成本减小，故①错误，②正确；由图象(3)知，直线与y轴的交点不变，直线斜率变大，k变大，即提高票价，b不变，则b-不变，成本不变，故③正确，④错误；故答案为②③．四、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（本小题14分）已知四边形ABCD为直角梯形，//AD BC，AB BC⊥，24BC AB==，3AD=，F为BC中点，//EF AB，EF与AD交于点E，沿EF将四边形EFCD折起，连接,,AD BC AC．（1）求证：//BE 平面ACD ；（2）若平面ABFE ⊥平面EFCD ，求二面角B AC D --的平面角的大小． 【答案】（1）见解析；（2）56π． 【解析】试题分析：（1）依据题设条件，运用线面平行的判定定理推证；（2）依据题设建立空间直角坐标系，运用向量的坐标形式进行分析探求．试题解析：（1）证明：连结AF 交BE 于O ，则O 为AF 中点，设G 为AC 中点，连结,OG DG ，则//OG CF ，且1=2OG CF ． 由已知//DE CF 且12DE CF =，∴//DE OG 且=DE OG ，所以四边形DEOG 为平行四边形． ∴//EO DG ，即//BE DG ．∵BE ⊄平面ACD ，DG ⊂平面ACD ，所以//BE 平面ACD ． （2）解：由已知ABFE 为边长为2的正方形，∴AD EF ⊥，因为平面ABEF ⊥平面EFCD ，又DE EF ⊥，∴,,EA EF ED 两两垂直． 以E 为原点，,,EA EF ED 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系， 则()()()()()()0,0,0,2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,1,0,2,2E A B F D C ．可求得平面ACF 法向量为()11,0,1n =u r ，平面ACD 法向量为()21,1,2n =-u u r，∴cos θ=，所以二面角B AC D --的平面角的大小为56π．17．（本小题14分）（数列开放题）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】试题分析：（1）三个条件都可以填入求解，总体思想就是代入通过基本公式求出首项，公差，公比即可；（2）数列{}n c 是一个等差乘以等比的式子求和，用错位相减法即可解决． 试题解析：方案一：选条件①（1）3252115,6,,,1a a a b a b d q d =+===>Q ，11125256a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或1256512a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧∴⎨=⎩,，()1–1n n d αα∴=＋21n =-，1112n n n b b q --==．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n n n T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212n nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案二：选条件②（1）2343112,3,,,1b a a b a b d q d =+===>Q ，12112253a d a d a d=⎧∴⎨+=⎩,，112256a d a d d =⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或112a d =-⎧⎨=-⎩,（舍去）， 112b q =⎧∴⎨=⎩,，1(1) =n a a n d ∴+-=2n-1，1112n n n b b q --== ． （2）n n n a c b =Q ，11211(21)()22n n n n c n ---∴==-⨯， 2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L111122112(21)1212n n n -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭-13(23)2n n ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭，116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．方案三：选条件③3452119,8,,,1S a a b a b d q d ∴=+===>，1113278a d a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,，解得112a d =⎧⎨=⎩,或121838a d ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,（舍去），112b q =⎧⎨=⎩,，1(1)n a a n d ∴=+-21n =-11n n b b q -=12n -=．（2）n n n a c b =Q ，11211(21)22n n n n c n ---⎛⎫∴==-⨯ ⎪⎝⎭，2211111135(23)(21)2222n n n T n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，23111111135(23)(21)222222n nn T n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L ，211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=++++--⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦L 111122112(21)1212m nn -⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+⨯--⨯ ⎪⎝⎭- 13(23)2nn ⎛⎫=-+⨯ ⎪⎝⎭116(23)2n n T n -⎛⎫∴=-+⨯ ⎪⎝⎭．18．（本小题14分）高铁和航空的飞速发展不仅方便了人们的出行，更带动了我国经济的巨大发展．据统 计，在2018年这一年内从A 市到B 市乘坐高铁或飞机出行的成年人约为50万人次．为了 解乘客出行的满意度，现从中随机抽取100人次作为样本，得到下表(单位：人次)：（1）在样本中任取1个，求这个出行人恰好不是青年人的概率；（2）在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取2人次，记其中老年人出行的人次为X ．以频率作为概率，求X 的分布列和数学期望；（3）如果甲将要从A 市出发到B 市，那么根据表格中的数据，你建议甲是乘坐高铁还是飞机? 并说明理由． 【答案】（1）2950；（2）分布列见解析，数学期望25；（3）建议甲乘坐高铁从A 市到B 市，见解析．【解析】试题分析：（1）根据分层抽样的特征可以得知，样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42，即可按照古典概型的概率计算公式计算得出；（2）依题意可知X 服从二项分布，先计算出随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=，所以12,5X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，即()2211155k kk P x k C -⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求出X 的分布列和数学期望；（3）可以计算满意度均值来比较乘坐高铁还是飞机． 试题解析：（1）设事件：“在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人”为M ， 由表可得：样本中出行的老年人、中年人、青年人人次分别为19，39，42， 所以在样本中任取1个，这个出行人恰好不是青年人的概率193929()10050P M +==． （2）由题意，X 的所有可能取值为：012.，，因为在2018年从A 市到B 市乘坐高铁的所有成年人中，随机选取1人次，此人为老年人概率是151755=， 所以022116(0)C (1)525P X ==⨯-=，12118(1)C (1)5525P X ==⨯⨯-=，22211(2)C ()525P X ==⨯=， 所以随机变量X 的分布列为：故16812()0122525255E X =⨯+⨯+⨯=． （3）答案不唯一，言之有理即可．如可以从满意度的均值来分析问题，参考答案如下： 由表可知，乘坐高铁的人满意度均值为：521012511011652121115⨯+⨯+⨯=++，乘坐飞机的人满意度均值为：410145702241475⨯+⨯+⨯=++，因为11622155>，所以建议甲乘坐高铁从A 市到B 市．19．（本小题15分） 已知函数()21,2xf x e ax x =-+其中1a >- （1）当0a =时，求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程； （2）当1a =时，求函数()f x 的单调区间； （3）若()212f x x x b ≥++对于x ∈R 恒成立，求b a -的最大值． 【答案】（1）10x y -+=；（2）()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞；（3）11e+． 【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；（2）求出导数，依据()e 1x f x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，且(0)0f '=，分别解不等式()0f x '>以及()0f x '<，即可求出函数()f x 的单调增区间和减区间；（3）由题意得e (1)0x a x b -+-≥在x ∈R 上恒成立，设()e (1)x g x a x b =-+-，用导数讨论函数的单调性，求出最小值(ln(1))0g a +≥，可得1(1)ln(1)b a a a --++≤．再设()1ln (0)h x x x x =->，求出函数()h x 的最大值，即为b a -的最大值．试题解析：（1）由21()e 2x f x x =+，得()e x f x x '=+，所以(0)1f =，(0)1f '=． 所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=． （2）由21()e 2x f x x x =-+，得()e 1x f x x '=-+． 因为(0)0f '=，且 ()e 1xf x x '=-+在(),-∞+∞上单调递增，所以由()e 10x f x x '=-+>得，0x >，所以函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，由()e 10xf x x '=-+<得，0x <，所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减．综上，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞．（3）由21()2f x x x b ++≥，得e (1)0xa xb -+-≥在x ∈R 上恒成立．设()e (1)xg x a x b =-+-，则()e (1)x g x a '=-+．由()e (1)0xg x a '=-+=，得ln(1)x a =+，（1a >-）．随着x 变化，()g x '与()g x 的变化情况如下表所示：所以()g x 在(,ln(1))a -∞+上单调递减，在(ln(1),)a ++∞上单调递增． 所以函数()g x 的最小值为(ln(1))(1)(1)ln(1)g a a a a b +=+-++-． 由题意，得(ln(1))0g a +≥，即 1(1)ln(1)b a a a --++≤． 设()1ln (0)h x x x x =->，则()ln 1h x x '=--．因为当10e x <<时，ln 10x -->； 当1e x >时，ln 10x --<， 所以()h x 在1(0,)e上单调递增，在1(,)e +∞上单调递减，所以当1e x =时，max 11()()1e e h x h ==+．所以当11e a +=，1(1)ln(1)b a a a =+-++，即11e a =-，2e b =时，b a -有最大值为11e+． 20．（本小题14分）已知点E 在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，以E 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆C 的右焦点2F ，与y 轴相交于A ，B 两点，且ABE ∆是边长为2的正三角形． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅰ）已知圆2218:5O x y +=，设圆O 上任意一点P 处的切线交椭圆C 于M 、N 两点，试判断以MN 为直径的圆是否过定点？若过定点，求出该定点坐标，并直接写出||||PM PN ⋅的值；若不过定点，请说明理由．【答案】（Ⅰ）22196x y +=（Ⅰ）以MN 为直径的圆过原点，坐标为()0,0，且||||PM PN ⋅为定值185 【解析】试题分析：（Ⅰ）根据圆的切线性质可以知道，这样可以求出点E 的坐标，利用等边三角形的性质，可以求出、的值，再根据，最后求出的值，也就求出椭圆C 的方程；（Ⅰ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时，设出直线方程，求出M 、N 两点的坐标，判断是否成立，可以判断以为直径的圆是否过定点，也就能求出的值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，设出直线的截距式方程，设出M 、N 两点的坐标，根据直线和圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，可得到一个等式，联立直线方程和椭圆方程，消去，得到一个关于的一元二次方程，利用根与系数关系，计算的值，最后可以求出的值．试题解析：（Ⅰ）由题意可得轴，则，因为是边长为2的正三角形，所以，且，解得，，所以椭圆方程为． （Ⅰ）当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率不存在时， 可设切线方程为，，则，所以，此时以为直径的圆过原点，为定值；当过点P 且与圆O 相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为，，，， 联立直线方程和椭圆方程，可得，2EF x ⊥c 2ba222c a b =-,a b 0OM ON ⋅=u u u u r u u u rMN ||||PM PN ⋅y kx m =+y kx m =+222318x y +=y x OM ON ⋅u u u u r u u u r||||PM PN ⋅2EF x ⊥2(,)bE c aABE ∆22c =⨯=22b a =223a b -=3a =b =22196x y +=x =M N 0OM ON ⋅=u u u u r u u u r OM ON ⊥MN 2218||||||5PM PN OP r ⋅===y kx m =+11(,)M x y 22(,)N x y =22(5181)m k =+y kx m =+222318x y +=222(23)63180k x kmx m +++-=即有，，， ， 可得，此时． 综上可得以为直径的圆过原点，且为定值． 21．（本小题14分）已知集合，且中的元素个数大于等于5．若集合中存在四个不同的元素，使得，则称集合是“关联的”，并称集合是集合的“关联子集”；若集合不存在“关联子集”，则称集合是“独立的”．分别判断集合和集合是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集；已知集合是“关联的”，且任取集合，总存在的关联子集，使得．若，求证：是等差数列；集合是“独立的”，求证：存在，使得．【答案】是关联的，关联子集有；是独立的；证明见解析；证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据题中所给的新定义，即可求解； （2）根据题意，，，，，，进而利用反证法求解； （3）不妨设集合，，且．记，进而利用反证法求解．>0∆122623km x x k +=-+212231823m x x k-=+12121212()()OM ON x x y y x x kx m kx m ⋅=+=+++u u u u r u u u r 221212(1)()k x x km x x m =++++222223186(1)()02323m km k km m k k-=+⋅+-+=++OM ON ⊥2218||||||5PM PN OP r ⋅===MN ||||PM PN ⋅185*M N ⊆M n M a b c d ,,,a b c d +=+M {},,,a b c d M M M ()1{}2,4,6,8,10{}12,3,5,8，()2{}12345,,,,a a a a a {},i j a a M ⊆M A {},ija a A ⊆12345aa a a a <<<<12345,,,,a a a a a ()3M x M ∈294n n x -+>()1{}2,4,6,8,10{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，{}1,2,3,5,8()2()3{}12345,,,A a a a a ={}21345 ,,,A a a a a ={}31245 ,,,A a a a a ={}41235 ,,,A a a a a ={}51234 ,,,A a a a a ={}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥*,1,2,...,i a N i n ∈=12...n a a a <<<{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈试题解析：是“关联的”关联子集有； 是“独立的”．记集合的含有四个元素的集合分别为：，，，，．所以，至多有个“关联子集”．若为“关联子集”，则不是 “关联子集”，否则 同理可得若为“关联子集”，则不是 “关联子集”． 所以集合没有同时含有元素的“关联子集”，与已知矛盾．所以一定不是“关联子集”， 同理一定不是“关联子集”． 所以集合的“关联子集”至多为．若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 若不是“关联子集”，则此时集合一定不含有元素的“关联子集”，与已知矛盾； 所以都是“关联子集”，所以有，即，，即．，即，所以．所以是等差数列．不妨设集合，，且．记．因为集合是“独立的”的，所以容易知道中恰好有个元素．()1{}2,4,6,8,10{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，{}1,2,3,5,8()2M {}12345,,,A a a a a ={}21345 ,,,A a a a a ={}31245 ,,,A a a a a ={}41235 ,,,A a a a a ={}51234 ,,,A a a a a =M 5{}21345,,,A a a a a ={}12345,,,A a a a a =12a a ={}21345,,,A a a a a =34,A A M 25,a a {}21345,,,A a a a a ={}41235,,,A a a a a =M 135,,A A A 1A M 35,a a 3A M 15,a a 5A M 13,a a 135,,A A A 2534a a a a +=+5432a a a a -=-1524a a a a +=+5421a a a a -=-1423a a a a +=+4321=a a a a --54433221a a a a a a a a -=-=-=-12345,,,,a a a a a ()3{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥*,1,2,...,i a N i n ∈=12...n a a a <<<{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈M T ()212n n n C -=假设结论错误，即不存在，使得，所以任取，，因为，所以，所以，所以任取，，任取，所以，且中含有个元素． (i )若，则必有成立．因为，所以一定有成立．所以．所以，，所以，所以，有矛盾，(ii )若，， 而中含有个元素，所以， 所以，，因为，所以．因为，所以，所以，x M ∈294n n x -+>x M ∈294n n x -+≤*x ∈N 284n n x -+≤22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+t T ∈232n nt -≤+,123t T t ∈≥+=23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭T ()212n n n C -=3T ∈121,2a a ==5n ≥121n n a a a a -->-12n n a a --≥22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭284n n a n -+=21824n n a n --+-=4T ∈33a =113n a a a a -+=+n 3T ∉23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭T ()212n n n C -=*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭284n n a n -+=21814n n a n --+-=4T ∈121,3a a ==222n n T -+∈2222n n n n a a --+=+22824n n a n --+-=所以，矛盾． 所以命题成立．123n a a a a -+=+n。
北京市北大附中2020届高三阶段性检测(三模)数学试题(含答案)
x
y
z0 0
令 x 1，得 y 1, z 1． 所以 n = (1,1,1) ．
………………………11 分
P B
A
y C
Dx
所以 cos n, BE n BE | n || BE |
1 2 1 ． ………………………13 分 3 3 3 4
所以直线 BE与平面 PBD所成角的正弦值为 1 ． ………………………14 分
AB 边上的高 h a sin B 7 3 21 3 3 ………………………………14 分 14 2
解：选择② ………………………………………………………………2 分
在△ABC 中，由 c b 2 ，得 c b 2 ，………………………………3 分
由余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A ，……………………………5 分
由题意可得： B(0,1, 0) ， D(1, 0, 0) ， C(1,1, 0) ， P(0, 0,1) , E(1 , 1 , 1 )． 222
所以 DP (1,0,1) ，BD (1, 1,0) ，
………………………9 分
设平面 PBD的一个法向量 n (x, y, z) ，
z
则
即
x
解：选择① ……………………………………………………………………2 分
写法二：
在△ABC 中， sin C 21 3 72
………………………………………3 分
C （0， ）或 C （2 ,） ………………………………………………5 分
3
3
因为 A ,所以 C （0， ） …………………………………………6 分
19．（本小题共 14 分）
已知椭圆 C
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2020年北京市清华附中高考数学三模试卷（一）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. （-∞，2]B. （-∞，0]∪（1，2]C. [0，2]D. （-∞，0]∪[1，2]5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则数列{a n}的通项公式为（）A. a n=nB. a n=n+1C. a n=D. a7.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A. B. 84 C. 3 D. 218.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量，若，则x=______．10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，sin（A+C）=，且A，B，C成等差数列，则C的大小为______．11.设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=______．12.已知，为单位向量且夹角为，设，，则在方向上的投影为________．13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．14.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C;（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．16.已知正项数列{a n}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．17.如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=45，AB=，BC=2，BE⊥AD于点E，将△ABE沿BE折起，使∠AED=90°，连接AC、AD，得到如图②所示的几何体．（1）求证：平面ACD⊥平面ABC；（2）若点P在线段AB上，直线PD与平面BCD所成角的正切值为，求三棱锥P-BCD的体积．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：女性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数2040805010男性用户分值区间[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数4575906030（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：P（K2≥k0）0.100.0500.0100.001k0 2.706 3.841 6.63510.828参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19.已知椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．20.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.答案：B解析：解：数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大，故A，C，D都错误，B正确．故选：B．年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.答案：A解析：解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a∴e==故选：A．根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c=a，然后根据离心率e=，即可得到答案．此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．4.答案：D解析：解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0]∪[1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.答案：D解析：解：根据三视图可知，该几何体是球替，挖去一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为V=••23-••4•2•2=-．故选：D．根据三视图可知该几何体是球，挖去一个三棱锥，把数据代入体积公式即可求解．本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．6.答案：D解析：解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，当n=2时，a2=a1+a1+1×1=3=1+2，当n=3时，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，所以：a n=1+2+3+…+n=．故选：D．直接利用赋值法和数列的通项公式的转换的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，赋值法的应用，属于基础题型．7.答案：D解析：【分析】设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．【解答】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|PF1|•|PF2|=21故选：D．8.答案：C解析：解：i=1，S＞1000否，i=2，S=2+1=3，i=2，S＞1000否，i=3，S=6+1=7，i=3，S＞1000否，i=4，S=14+1=15，i=4，S＞1000否，i=5，S=30+1=31，i=5，S＞1000否，i=6，S=62+1=63，i=6，S＞1000否，i=7，S=126+1=127，i=7，S＞1000否，i=8，S=254+1=255，i=8，S＞1000否，i=9，S=510+1=511，i=9，S＞1000否，i=10，S=1022+1=1023，i=10，S＞1000是，输出i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.答案：-10解析：解：；∵；∴；∴x=-10．故答案为：-10．可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．10.答案：解析：解：△ABC中，A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，即B=，sin（A+C）=，即为sin B=，即有b2=c2+ac，由余弦定理可得b2=a2+c2-2ac cos B=a2+c2-ac，即有a=2c，b=c，cos C===，由C为三角形的内角，可得C=．故答案为：．由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得B，再由余弦定理和面积公式，可得a=2c，b=c，再由余弦定理求得cos C，可得角C．本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.答案：-解析：解：∵tan（θ+）==，∴tanθ=-，而cos2θ==，∵θ为第二象限角，∴cosθ=-=-，sinθ==，则sinθ+cosθ=-=-．故答案为：-已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．12.答案：解析：解：根据题意得，•=9•+62=9×+6×1×1=-+6=；又∵||=3，∴在方向上的投影为==；故答案为．运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题．本题考查向量的夹角，投影的概念．13.答案：144解析：解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》，分别记为A，B，C，D，E，F，由已知有B排在D的前面，A与F不相邻且不排在最后．第一步：在B，C，D，E中选一个排在最后，共=4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A与F不相邻排序，共=72（种）排法，第三步：在前两步中B排在D的前面与后面机会相等，则B排在D的前面，只需除以=2即可，即六场的排法有4×72÷2=144（种）故答案为：144．由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共=4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A与F不相邻排序，共=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B排在D的前面，只需除以即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．14.答案：-1解析：解：设切点的横坐标为x0，f′（x）=1--==1⇒x0=-⇒-a=，则有：f（x0）=x0+-a ln x0=x0+1⇒ln x0-x0+1=0，令h（x）=ln x-x+1⇒h′（x）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．15.答案：解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．解析：（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cos C=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.答案：解：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1=+4n-1-[+4（n-1）-1]，化为：=，a n＞0．∴a n-a n-1=2，或a n+a n-1=2，a n-a n-1=2时，数列{a n}是等差数列，a n=1+2（n-1）=2n-1．a n+a n-1=2，∵a1=1，可得a n=1．（2）{a n}是递增数列，∴a n=2n-1．==，数列{b n}的前n项和T n==，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．解析：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1，化为：=，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n=2n-1．可得==，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：（1）证明：方法1：∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，，），∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），∴=0，=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．方法2：取AC的中点M，BC的中点N，连接DM，DN，MN．在平行四边形中，由AB=，∠BAE=45°，BE⊥AD可得AE=BE=1，又AD=BC=2，∴DE=1，∴BN=BE=DE，又BN∥DE，BE⊥DE，∴四边形BEDN是正方形，∴DN∥BE，BN⊥BE，又MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，又BE∩AB=B，DN∩MN=N，∴平面DMN∥平面ABE，∵BE⊥AE，DE⊥AE，BE∩DE=E，∴AE⊥平面BCDE，又BC⊂平面BCDE，∴AE⊥BC，又BC⊥BE，BE∩AE=E，∴BC⊥平面EAB，∴BC⊥平面DMN，∴BC⊥DM．∵AD==，CD=AB=，∴AD=CD，∴DM⊥AC，又AC∩BC=C，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD．（2）过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN=，∴tan∠PDN===，解得x=，即PN=．∵BD==，CD=AB=，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD==1，∴三棱锥P-BCD的体积V=S△BCD•PN==．解析：（1）取AC中点M，建系，利用向量证明DM⊥AB，DM⊥BC即可得出DM⊥平面ABC，故而平面ACD⊥平面ABC；（2）做出直线PD与平面BCD所成角，求出P到平面BCDE的距离，代入体积公式即可．本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题．18.答案：解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．…（4分）2×2女性用户男性用户合计“认可”手机140180320“不认可”手机60120180合计200300500K2=≈5.208＞2.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关．解析：（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小；（Ⅱ）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.答案：解：（1）∵椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆C的方程为．证明：（2）∵椭圆C的方程为=1，∴A（-2，0），B（0，-1），设M（m，n），（m＞0，n＞0），则=1，即m2+4n2=4，则直线BM的方程为y=，令y=0，得，同理，直线AM的方程为y=，令x=0，得，∴×|+2|×||====2，∴四边形ABCD的面积为定值2．解析：（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设M（m，n），（m＞0，n＞0），则m2+4n2=4，从而直线BM的方程为y=，进而，同理，得，进而×|+2|×|，由此能证明四边形ABCD的面积为定值2．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．20.答案：解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在上单调递减，在上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增．若≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在上单调递减，在上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．解析：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。