常微分方程期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4分，共80分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。

2、一阶微分方程2=dyx dx的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 21=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 24=+y x ，满足条件33ydx =⎰的解为 22=-y x 。

3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。

4、对方程2()dyx y dx=+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。

5、方程过点共有 无数 个解。

6、方程''21=-y x的通解为 4212122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为421912264=-++x x y x 。

7、方程无 奇解。

8、微分方程2260--=d y dyy dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dx dz z y dx。

9、方程的奇解是 y=0 。

10、35323+=d y dy x dx dx是 3 阶常微分方程。

11、方程22dyx y dx=+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。

12、微分方程22450d y dy y dx dx--=通解为 512-=+x xy C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组21d d y x y -=)1,2(πx x y xy+-=d d y xy=d d45⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩dyz dxdz z y dx。

13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ϕϕ==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。

14、设1342A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则线性微分方程组dXAX dt =有基解矩阵 25253()4φ--⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦t t t t e e t ee 。

二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、答案：方程化为令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为2、答案：特征方程为 即。

特征根为 ，对应特征向量应满足 可确定出同样可算出对应的特征向量为∴ 原方程组的通解为 。

3、0d d )2(=-+y x x y x xy x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u xux +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=y x ty y x tx4d d d d 01411=--=-λλλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--0031413111b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111b a 12-=λ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2122b a ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331x y xy2e 3d d =+答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原方程，确定出原方程的通解为+4、2-=x y dydx ； 答案：2-=x y dydx是一个变量分离方程 变量分离得22yxdy dx =两边同时积分得22y x c =+（其中c 为任意常数）5、答案：积分： 故通解为： 6、{}0)(22=-+-xdy dx y xx y答案：0)(22=+--dx y x x xdy ydx两边同除以22y x +得022=-+-xdx y x xdy ydx ，即021)(2=-dx y x arctg d ， 故原方程的解为C x y x arctg =-2217、2453dxx y dtdy x y dt⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩ .答案：方程组的特征方程为203A E λλλ---==--45即(2)(3)(4)(5)0λλ----⨯-=，即25140λλ--=xC y 3e-=xx C y 3e)(-=C x C x +=5e 51)(xC y 3e -=x2e51xy e xydx dy =+xy xe xy e dx dy xy xy-=-=dx y xe xdy xy )(-=dx xe ydx xdy xy =+dxxe dxy xy =xdx e dxyxy =c x e xy+=--2210212=++-c e x xy特征根为17λ=，22λ=- 对应特征向量应满足1127405370a b --⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，可得1145a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 同样可算出22λ=-时，对应特征向量为2211a b ⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∴ 原方程组的通解为72127245--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦t t t t x e e C C y e e 8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0不是特征根，原方程有特解代入原方程B=0所以原方程的解为9、0)2()122(=-++-+dy y x dx y x 答案：，令z=x+y ，则 所以 –z+3ln|z+1|=x+， ln =x+z+即10、220++=d x dx x dt dt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。

其特征方程为210λλ++=特征根为112λ=-，212λ=- sin cos2x x t t ''+=-0x x ''+=210λ+=i λ=±1()sin f t t =i λ=(cos sin )x t A t B t =+122()cos 2f t t =-2i λ=cos2sin 2x A t B t =+13A =1211cos sin cos cos223x c t c t t t t =+-+2)(1)(2-+-+-=y x y x dx dy dx dydx dz +=1,212121+-+=---=z z z z dx dz dx dz z z =++-121C 3|1|+z 1C yx Cey x +=++23)1(∴方程的通解为111()()2221212(sin )t t t x c e c ec c e ---=+=+11、312+++-=y x y x dx dy 答案： (x-y+1)dx-(x++3)dy=0xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0即d -d(xy)+dx--3dy=0 所以三、证明题（共160分）1、（12分）证明如果满足初始条件的解，那么 。

证明：设的形式为=（1）（C 为待定的常向量）则由初始条件得= 又= 所以C==代入（1）得= 即命题得证。

2、（12分）设在区间上连续．试证明方程的所有解的存在区间必为。

证明 ：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。

显然是方程的两个常数解。

任取初值，其中,。

记过该点的解为， 由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾； 故该解的存在区间必为。

3、（12分）设，是方程的解，且满足==0，，2y 2y 212x 331dy C y y x xy x =--+-3312132Ax x t =/）是（ϕηϕ=)(0t =)(t ϕ[]η)(0t t A e-)(t ϕ)(t ϕC e At )(0t ϕη=C e At 01)(0-At e0At e -1)(0-At e η0At e -η)(t ϕηη)(0t t A At Ate e e --=)(x ϕ),(∞+-∞y x xysin )(d d ϕ=),(∞+-∞xoy 1±=y ),(00y x ),(0∞+-∞∈x 10<y )(x y y =)(x y y =1=y 1-=y ),(∞+-∞)(1x y )(2x y 0)()(=+'+''y x q y x p y )(01x y )(02x y 0)(1≠x y这里在上连续，．试证明：存在常数C 使得=C ． 证明：设，是方程的两个解，则它们在上有定义，其朗斯基行列式为 由已知条件，得 故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数， 使得， 由于，可知．否则，若，则有，而，则， 这与，线性相关矛盾．故 4、（12分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。

定理：设00:||,||R x x a y y b -≤-≤.（1）(,)f x y 在R 上连续，（2）(,)f x y 在R 上关于y 满足利普希茨条件：120,(,),(,)L x y x y R ∃>∀∈，总有1212|(,)(,)|||f x y f x y L y y -≤-.则初值问题00(,)()dyf x y dx y x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩存在唯一的解()y x ϕ=，定义于区间0||x x h -≤上，连续且满足初值条件00()x y ϕ=，这里(,)min(,),max |(,)|x y R bh a M f x y M∈==.唯一性：设()x φ是积分方程在区间00[,]x h x h -+上的解，则()()x x φϕ=. 证明：00()(,())xx x y f d φξφξξ=+⎰，001()(,())xn n x x y f d ϕξϕξξ-=+⎰，1,2,......n =首先估计0x x ≥.00|()()||(,())|()xx x x f d M x x ϕφξφξξ-≤≤-⎰，)(),(x q x p ),(∞+-∞),(0∞+-∞∈x )(2x y )(1x y )(1x y )(2x y ),(∞+-∞)()()()()(2121x y x y x y x y x W ''=0)()(0)()()()()(0201020102010=''=''=x y x y x y x y x y x y x W 21αα，0)()(2211=+x y x y αα),(∞+-∞∈x 0)(1≠x y 02≠α02=α0)(11=x y α0)(1≠x y 01=α)(1x y )(2x y )()()(11212x Cy x y x y =-=αα10|()()||(,())(,())|xxx x f f d ϕφξϕξξφξξ-≤-⎰2000|()()|()()2!x xx x MLL d LM x d x x ϕξφξξξξ≤-≤-=-⎰⎰ 设10|()()|()(1)!nn n ML x x x x n ϕφ+-≤-+成立，则 001210|()()||(,())(,())||()()|()(2)!n xxn n n n x x ML x x f f d d x x n ϕφξϕξξφξξϕξφξξ+++-≤-≤-=-+⎰⎰这就证明了对任意的n ，总成立估计式：110|()()|()(1)!(1)!n n n n n ML ML x x x x h n n ϕφ++-≤-≤++. 因此，{()}n x ϕ一致收敛于()x φ，由极限的唯一性，必有00()(),[,]x x x x h x h φϕ=∈-+.5、（10分）求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。