专题05 相似三角形的判定(提高)(沪教版)
2相似三角形的判定PPT课件(沪科版)
B
两个三角形应具有哪些条件 才是类似的呢？你能给类似 三角形下个定义吗？
三个角对应相等,三条边对应 成比例的两个三角形, 叫做类似 三角形
D
A
B
CE
F
△ ABC与△ DEF类似，就记作： △ ABC∽ △DEF
注意：要把表示对应顶点的
字母写在对应的位置上！
A A'
B
C
B'
C'
A A,B B,C C
类似三角形的判定
胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被喻为“世 界古代七大奇迹之一”。据考证，为建成大金字塔，共动 用了１０万人花了２０年时间.原高１４６．５９米，但 由于经过几千年的风吹雨打,顶端被风化吹蚀.所以高度有 所降低 。
埃及著名的考古专家穆罕穆德， 在一个烈日高照的上午.和儿子小穆罕 穆德来到了金字塔脚下,他要他14岁的 儿子用一根1米高的木杆,一把皮尺测 出胡夫金字塔的高度.
类似三角形对应边的比，叫做两个三
角形的类似比。(或类似系数）
A
D
2cm
3cm
B
C E
F
已知△ABC∽△DEF，AC=2cm，DF=3cm
那么△ABC与△DEF对应边的比k1
△DEF与△ABC对应边的比k2=
3 2
=
2 3
三角形的前后次序不同，所得类似比不同。
K1与k2之间是什么关系？
A A'
B'
先证明两个三角形的对应角相等． 在△ADE与△ABC中，∠A＝∠A
பைடு நூலகம்
∵DE∥BC
A
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C 再证明两个三角形的对应边的比相等．
过点E作EF∥AB，EF交BC于点F．
22.2 相似三角形的判定 课件-2024-2025学年沪科版九年级上
＝
，即 ＝
，解得 CE=4.
综上所述， CE 的长为 4 或
答案： D
．
知3－练
感悟新知
5-1.如图， 在 △ ABC中，按如下步骤作图：
知3－练
(1) 以点 B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 于点 D；
(2)以点 C 为圆心，CA 长为半径画弧，交CB 于点
题是关键.
解：由题意知BD⊥AB，AC⊥AB，∴ BD∥AC.
∴△ACE∽△BDE.
∴
.－.
＝ ，即 ＝
.
. ∴ AC＝7 米.
感悟新知
知2－练
ABCD中， AC 与 BD 相 交 于点 O，
3-1.
E 为 OD 的 中点，连接 AE 并延长交DC 于 点 F，
∽ △A'B'C'表示顶点A与A'，B与B'，C与C' 分别对应；
如果仅说“△ABC与△A'B'C' 相似”，没有用“∽”连接，
则需要分类讨论它们顶点的对应关系.
感悟新知
知1－讲
特别提醒
1. 相 似 三 角 形 具 有 传 递 性 ， 即 若 △ ABC∽△A′ B′ C′ ，
△A′B′C′∽△A″B″C″，则△ABC∽△A″B″C″.
感悟新知
知4－练
解题秘方：先紧扣“两边成比例且夹角相等的两个三角形
相似”证明两个三角形相似，再根据相似三角
形的对应边成比例解决问题．
解：∵ BC＝ AB＝3BD，∴
＝ ＝3．
沪科版九年级数学上册相似三角形的判定课件
随堂练习
6. 如图，△ABC 和 △DEF 中，∠A=40°，∠B=80°，∠E=80 °， ∠F=60 ° ．求证：△ABC ∽△DEF.
证明：∵ 在△ ABC中，∠A=40 ° ，∠B=80 ° ， A
∴ ∠C=180 °－∠A－∠B=60 °. ∵ 在△DEF中，∠E=80 °，∠F=60 °. ∴ ∠B=∠E，∠C=∠F.
【分析】欲证AB·DE＝BC·CD， 可证 ＝ ，则证明 △ABC∽△CDE即可，由题意可
知∠1＋∠2＝90°，∠1＋∠A＝
90°，则∠2＝∠A.于是 Rt△ABC∽Rt△CDE.
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，AC⊥CE， ∴∠B＝∠D＝90°，又∠1＋∠A＝90°，Байду номын сангаас1＋∠2＝90°， ∴∠A＝∠2， ∴△ABC∽△CDE，
2．如图，等边三角形ABC的边长为3，P为BC上一点，且 BP＝1，D为AC上一点，当∠APD＝60°时，CD的长为 __________．
随堂练习
3.如图：点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上，AG交 BC、BD于点E、F，则△AGD∽_△__E__G_C___∽_△__E_A__B__．
探究新知
探究 如图在△A′B′C′和△ABC中，∠A′＝∠A，∠B′＝ ∠B.求证：△A′B′C′∽△ABC. 证明：在△ABC的AB上截BD＝B′A′，
过D作DE∥AC，交BC于E.
∴△ABC∽△DBE.
∵∠BDE＝∠A，∠A＝∠A′， ∴∠BDE＝∠A′. ∵∠B＝∠B′，BD＝B′A′， ∴△DBE≌△B′A′C′. ∴△ABC∽△A′B′C′.
定理：两角分别相等的两个 三角形类似
类似三角形的判定定理1的运用
∴ ＝ ，即AB·DE＝BC·CD.
相似三角形的判定(沪科版)
李村中学 王显亮
如图23.—16，△ABC与△A′B′C′相似， 记作“△ABC∽△A′B′C′”，读作“△ABC相似于 C′ △A′B′C′”
C
A
B
A′
B′
∠A=∠A′, ∠B=∠B′, ∠C=∠C′, 将△ ABC与△A′B′C′的相似比记为 K1, 两个三角形相似， △A′B′C′与△ ABC 的相似比记为 k2，一般 1 用字母表示时，与全等一 AB 。当且仅当这两个三角形全等时，才 BC CA k 1= k2 样，应把表示对应顶点的 ' 2=1 B，因此，三角形全等是三角形相似 ' C ' C ' A' 有A k'1B =k 字母写在对应位置上，这 的特例。 样便于找出相似三角形的 对应角与对应边。
D
A
E
B
C
Hale Waihona Puke A'B'C'
定理1 如果一个三角形的 两个角分别与另一个三角形的两 个角对应相等，那么这两个三角 形相似（可简单说成：两角对应 相等的三角形相似）
记住呦
例1 如图24．3．4所示，在两个直角三角形 △ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，∠A＝ ∠A′，证明△ABC∽△A′B′C′．
C
（2）
B
（1）
F
AD AE DB EC
AD DE DB BF
(3)
AE DE EC BC
(4)
DF BF AC BC
我们现在判定两个三角形是否相似，必须要知 道它们的对应角是否相等，对应边是否成比例．那 我们在判断两个 么是否存在判定两个三角形相似的简便方法呢？ 三角形全等时， 使用了哪些方法？ 判断三角形相似 是否有类似的方 观察你与你同伴的直角三角尺，同样角度（ 30° 法呢？ 与60°，或45°与45°）的三角尺看起来是相似 的．这样从直观来看，一个三角形的三个角分别与另 一个三角形的三个角对应相等时，它们就“应该”相 似了.确实这样吗？
相似三角形的判定压轴题型全攻略—2023-2024学年九年级数学上册(沪教版)(解析版)
相似三角形的判定压轴题型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一 相似三角形判定定理的识别】 (1)【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 (2)【考点三 相似三角形判定定理的应用】 (2)【考点四 相似三角形的拓展提高】 (3)【过关检测】 (4)【典型例题】【考点一 相似三角形判定定理的识别】 ，那么添加一个条件后，仍不能判定ABC 与V A ．C ADE ∠=∠ B ．B D ∠=∠C ． AD DE = D ． AD AE = 【答案】C【分析】根据12∠=∠得到DAE BAC ∠=∠，结合选项根据三角形相似的判定逐个判断即可得到答案；【详解】解：∵12∠=∠，∴DAE BAC ∠=∠，若添加C AED ∠=∠或B D ∠=∠或AB AC AD AE =都可以得到ABC 与ADE V 相似，故A 、B 、D 不符合题意，若添加AB BC AD DE =，不能得到ABC 与ADE V 相似， 故选：C ．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．【变式1】下列命题中假命题是（ ） A ．任意两个等腰直角三角形都相似B ．任意两个含36°内角的等腰三角形相似C ．任意两个等边三角形都相似D ．任意两个直角边之比为1:2的直角三角形相似【答案】B【分析】根据相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．【详解】解：A.任意两个等腰直角三角形中三组对应角均相等，符合相似三角形的判定条件，故相似，都相似B. 任意两个含36°内角的等腰三角形中没有确定顶角或底角，故不一定相似C. 等边三个角都相等，故两三角形相似；D. 任意两个直角边之比为1:2的直角三角形，符合相似三角形判定的条件，故相似故选：B【点睛】本题考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（3）三边对应成比例的两个三角形相似；（4）如果一个直角三角形的斜边和 【变式2】如图，在ABC 中，72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=.则图中相似三角形共有（ ）A ．2对B ．3对C ．4对D ．5对【答案】C 【分析】首先算出三角形中角的度数，即可得到答案．【详解】解：72ABC C BDC AED ∠=∠=∠=∠=，180180727236ABC C A =︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒∴∠，180180367272ADE A AED =︒∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，AED ABC ∠=∠，//ED BC ∴，36EDB DBC ∴∠=∠=︒，1801803636108BED EBD EDB ∴∠=−∠−∠=−︒−︒=︒，180180727236DBC C BDC ∴∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，7236108ADB ADE EDB ∠=∠+∠=︒+︒=︒， AED ABD ∠=∠，ADE ACB ∠=∠，AED ABC \，AED C ∠=∠，ADE BDC ∠=∠，AED BCD ∴，ABD C ∠=∠，ACB BDC ∠=∠，BCD ABC ∴，A EBD ∠=∠，ADB BED ∠=∠，EBD DAB ∴．故相似的三角形对数为4对：故选：C ．【考点二 相似三角形中有关直线个数的判断】 【例题2】如图，P 是Rt ABC △的斜边BC 上异于B 、C 的一点，过点P 作直线截Rt ABC △，使截得的三角形与Rt ABC △相似，则过点P 满足这样条件的直线最多有条（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】过点P 作直线与另一边相交，使所得的三角形与原三角形有一个公共角，只要再作一个直角就可以．【详解】解：由于ABC 是直角三角形，过P 点作直线截ABC ，则截得的三角形与ABC 有一公共角，所以只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt ABC △相似，如图，过点P 可作AB 的垂线、AC 的垂线、BC 的垂线，共3条直线．故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形相似判定定理及其运用，运用两角法(有两组角对应相等的两个三角形相似)来判定两个三角形相似是解题关键． 【变式1】ABC 中，D 是AB 上的一点，再在AC 上取一点E ，使得ADE V 与ABC 相似，则满足这样条件的E 点共有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【答案】C【分析】ADE V 与ABC 中，有公共角A ∠，因此只要作ADE B ∠=∠或ADE C ∠=∠，即可得出两三角形相似．【详解】解：根据题意得：当DE BC ∥时，ADE ABC △△∽；当ADE C ∠=∠时，由A A ∠=∠，可得ADE ACB ∽．所以有2个．故选：C ．【点睛】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答本题的关键．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 【变式2】在三边都不相等的ABC 的边AB 上有一点D ，过点D 画一条直线，与三角形的另一边相交所截得的三角形与ABC 相似，这样的直线最多可以画（ ）A ．5条B ．4条C ．3条D ．2条【答案】B 【分析】根据相似三角形的判定定理，即可求解．【详解】解：如图，画直线DE BC ∥交AC 于点E ，则ADE ABC △△∽；如图，画直线DE 交AC 于点E ，使AED B ∠=∠，∵A A ∠=∠，∴AED ABC ∽△△； 如图，画直线∥DE A C 交BC 于点E ，则BDE BAC △△∽；如图，画直线DE 交BC 于点E ，使BED A ∠=∠，∵B B ∠=∠，∴BDE BCA ∽；∴这样的直线最多可以画4条．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．【考点三 相似三角形判定定理的应用】 【例题3】在ABC 中，90ACB ∠︒＝，用直尺和圆规在AB 上确定点D ，使ACD CBD △∽△，根据作图痕迹判断，正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【分析】根据ACD CBD △∽△，可得90CDA BDC ∠=∠=︒，即CD 是AB 的垂线，根据作图痕迹判断即可．【详解】解：当CD 是AB 的垂线时，ACD CBD △∽△．CD AB ⊥，90CDA BDC ∴∠=∠=︒，90ACB ∠=︒，90A ACD ACD BCD ∴∠+∠=∠+∠=︒，A BCD ∴∠=∠，ACD CBD ∴△∽△．根据作图痕迹可知，A 选项中，CD 是ACB ∠的角平分线，不符合题意；B 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意；C 选项中，CD 是AB 的垂线，符合题意；D 选项中，CD 不与AB 垂直，不符合题意．故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．【变式1】如图，在ABC 中，78,6,9A AB AC ∠=︒==．将ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】根据相似三角形的判定定理：有两角对应相等的两个三角形相似；有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行求解即可．【详解】A 、有两边对应边成比例但是夹角不相等，故两三角形不相似，符合题意，B 、633972−=−，9362=，A A ∠=∠，两三角形有两边对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，不符合题意，C 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，不符合题意，D 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，，故两三角形相似，不符合题意，故选：A ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，两组角对应相等，两个三角形相似；两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似；三组边对应成比例，两个三角形相似．【变式2】如图，在ABC 中，AB AC =，点D 为线段BC 上一动点（不与点B ，C 重合），连接AD ，作40ADE B ∠=∠=︒，DE 交线段AC 于点E ．下面是某学习小组根据题意得到的结论：甲同学：ABD DCE △△；乙同学：若AD DE =，则BD CE =；丙同学：当DE AC ⊥时，D 为BC 的中点．则下列说法正确的是（ ）A ．只有甲同学正确B ．乙和丙同学都正确C ．甲和丙同学正确D ．三个同学都正确【答案】D 【分析】在ABC 中，依据三角形外角及已知可得BAD CDE ∠=∠，结合等腰三角形易证ABD DCE △△；结合AD DE =，易证ABD DCE ≌△△，得到BD CE =；当DE AC ⊥时，结合已知求得50EDC ∠=︒，易证AD BC ⊥，依据等腰三角形“三线合一”得BD CD =【详解】解：在ABC 中，AB AC =，40C B ∴∠=∠=︒，B BAD CDE ADE ∠+∠=∠+∠，40ADE B ∠=∠=︒，BAD CDE ∴∠=∠，ABD DCE ∴~，甲同学正确；C B ∠=∠，BAD CDE ∠=∠，AD DE =，ABD DCE ∴≌，BD CE ∴=，乙同学正确；当DE AC ⊥时，90DEC ∴∠=︒，9050EDC C ∴∠=︒−∠=︒，90ADC ADE EDC ∴∠=∠+∠=︒，AD BC ∴⊥，AB AC =，BD CD ∴=，D 为BC 的中点，丙同学正确；综上所述：三个同学都正确故选：D ．【点睛】本题考查了三角形外角、相似三角形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质；解题的关键是通过“三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和”得到BAD CDE ∠=∠．【考点四 相似三角形的拓展提高】【答案】3【分析】根据矩形性质得到OA OB OC ==，利用三角形的三线合一得AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，则有OQF AEF ∽，OQP BEP ∽，计算即可．【详解】解：∵ABCD 是矩形，∴OA OB OC ==，∵F 是OC 的中点，∴1122OF OC OA ==，又∵OA OB =，OE AB ⊥∴AE EB =，过O 作OQ AB 交EF 于点Q ，∴OQF AEF ∽，OQP BEP ∽， ∴13OP OQ OQ OF PB BE AE OA ====， 故答案为：13．【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，作辅助线构造三角形相似是解题的关键． A ．22B ．【答案】C 【分析】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，然后设=AB x ，AD y =， =BF k ， =2GC k ，得出1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y '，==BF FB k '，=AEF GEF ∠∠，求出==EG FG y k −3，接着推出CG GA CF FB =''，求出1=2ET k ，532EG k k k ＝﹣＝，最后利用勾股定理求出AB ，即可得出结果． 【详解】如图，连接CA '，过点G 作GT AD ⊥于点T ，设=AB x ，AD y =，12BF GC =，设=BF k ，则=2GC k ，点E 是AD 中点，∴1==2AE DE y ，由翻折的性质知1==2AE EA y'，==BF FB k'，=AEF GEF∠∠，//AD CB，∴=AEF EFG∠∠，∴=GEF GFE∠∠，∴==EG FG y k−3，∴()11=3322GA y y k k y'−−=−，C，A'，B'共线，//GA FB''，∴CG GACF FB=''，∴1322k yky k k−=−，∴227100y y k−+=，∴2y k=（舍去）或=5y k，∴5==2AE DE k，四边形CDTG是矩形，∴==2CG DT k，1=2ET k，∴532EG k k k＝﹣＝，∴==AB CD GT=，∴ADAB=．故答案为：C．【点睛】本题考查了翻折变换、矩形的性质、平行线分段成比例及勾股定理等知识，学会利用参数构建方程解决问题是解题的关键．【变式2】30．已知：如图，ABC是以AB，BC为腰的等腰直角三角形，现将ABC绕点A逆时针旋一个角度α得到Rt ADE△，连接BD，CE．(1)如图1，当045α︒<<︒时，求证：ABD ACE ∽．(2)如图2，当45α=︒时，点E 在AB 的延长线上，延长DB 交CE 于点F ，求证：BCF FBC ∠=∠．(3)如图3，当4590α︒<<︒时，延长DB 交CE 于点F ，求证：F 是CE 的中点．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，进而得到AD AB AE AC =，问题得证； （2）如图，根据等腰直角三角形性质得到45BAC BCA ∠=∠=︒，根据旋转的性质得到AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，进而得到4267.5∠=∠=︒，即可求出45BFE ∠=︒，再求得22.5BCF ∠=︒，22.5FBC ∠=︒即可得证；（3）如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，先证明DEM BCN △≌△，由全等三角形的性质得到EM CN =，进而证明FEM FCN △≌△，即可证明EF CF =．【详解】（1）证明：∵将ABC 绕点A 逆时针旋一个角度α得到Rt ADE △，∴AD AB =，AE AC =，BAD CAE ∠=∠，∴AD AB AE AC =， ∴ABD ACE ∽．（2）证明：如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=︒，AB BC =，则45BAC BCA ∠=∠=︒，由旋转的性质可知：AD AB =，AE AC =，45DAE BAC ∠=∠=︒，∴1267.5∠=∠=︒，367.5ACE ∠=∠=︒，∴2467.5∠=∠=︒，∴1803445BFE ∠=︒−∠−∠=︒，∴135BFC ∠=︒．∵67.54522.5BCF ACE ACB ∠=∠−∠=︒−︒=︒，∴在BFC △中，180********.522.5FBC BFC FCB ∠=︒−∠−∠=︒−︒−︒=︒，∴BCF FBC ∠=∠．（3）证明：如图，过点E 作EM DF ⊥于点M ，过点C 作CN DF ⊥，交DF 的延长线于点N ，∴90DME EMF BNC ∠=∠=∠=︒．由旋转的性质可知：DE BC =，AD AB =，90ADE ABC ∠=∠=︒，∴12∠=∠，1490∠+∠=︒，2318090ABC ∠+∠=︒−∠=︒，∴3=4∠∠，∴()AAS DEM BCN ≌△△，∴EM CN =，又∵56∠=∠，90EMF CNF ∠=∠=︒，∴()AAS FEM FCN ≌△△，∴EF CF =，即F 是CE 的中点．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定等知识，综合性较强，熟知相关知识并根据题意添加辅助线是解题关键．【过关检测】 1.如图，根据图中给出的数据，一定能得到（ ）AED CED ∽ B ．ABE ACB ∽ C ．ABC EDC ∽ D ．AED CBA ∽【答案】C【分析】先根据题意，推出BC AC CD CE =，再根据相似三角形的判定条件即可得到答案． 【详解】解：4BE =，18CE = ，21AD =，12CD =，22BC BE CE ∴=+=，33AC AD CD =+=，2211126BC CD ==，3311186AC CE ==，BC AC CD CE ∴=，ACB ECD ∠=∠，ABC EDC ∴∽，故选：C ．【点睛】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定条件是解题关键．2.如图，在ABC 中，AG 平分BAC ∠，点D 在边AB 上，线段CD 与AG 交于点E ，且ACD B ∠=∠，下列结论中，错误的是（ ）A ．ACD ABC △△∽B ．ADE ACG ∽C ．ACE ABG ∽△△ D ．ADE CGE ∽△△【答案】D【分析】由ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，可直接证明ACD ABC △△∽，即可判断A ；由角平分线的定义得出DAE CAG ∠=∠，再结合三角形外角的性质即可得出AED AGC ∠=∠，从而可证ADE ACG ∽，即可判断B ；由CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，可直接证明ACE ABG ∽△△，即可判断C ；没有条件证明ADE CGE ∽△△，即可判断D ．【详解】∵ACD B ∠=∠，DAC CAB ∠=∠，∴ACD ABC △△∽，故A 正确，不符合题意；∵AG 平分BAC ∠，∴DAE CAG ∠=∠．∵AED CAG ACD ∠=∠+∠，AGC DAE B ∠=∠+∠，∴AED AGC ∠=∠，∴ADE ACG ∽，故B 正确，不符合题意；∵CAE BAG ∠=∠，ACD B ∠=∠，∴ACE ABG ∽△△， 故C 正确，不符合题意； 在ADE V 和CGE 中只有AED CEG ∠=∠，不能证明ADE CGE ∽△△，故D 错误，符合题意． 故选D ．【点睛】本题考查三角形相似的判定，角平分线的定义，三角形外角的性质．掌握三角形相似的判定定理是解题关键． 3. 如图，ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，写出一个与ACD 相似的三角形，这个三角形可以是 ．【答案】AOE △（答案不唯一）【分析】根据已知条件得90ADC AEO ∠=∠=︒，CAD OAE ∠=∠，推出ACD AOE ∼，其他同理.【详解】解： ACD AOE ∼；证明：∵ABC 的高AD ，BE 相交于点O ，∴90ADC AEO ∠=∠=︒，∵CAD OAE ∠=∠，∴ACD AOE ∼；故答案为：AOE △（答案不唯一）.【点睛】本题考查相似三角形的判定，三角形的高的定义，解题的关键是掌握有两角对应的两个三角形相似. 4．如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，中线AD BE 、相交于点O ．若4AC =，3CB =，则OB 的长为 ．【分析】先运用勾股定理求出BE ，再根据三角形的中位线得到12DE AB DE AB =，，进而得到ODE OAB ∽解题即可．【详解】解：∵E 为AC 的中点，∴122CE AC ==∴BE =连接ED ，则ED 是ABC 的中位线，∴12DE AB DE AB =，， ∴OED EBA ∠=∠，ODE DAB ∠=∠，∴ODE OAB ∽∴12OE DE OB AB ==，∴23OB BE ==【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，掌握三角形的中位线定理是解题的关键． 5. 如图，在Rt ABC △中，CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ．除Rt ABC △自身外，图中与Rt ABC △相似的三角形的个数是 ．【答案】4【分析】根据CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，得90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，再根据相似三角形的判定，即可．【详解】∵CD 是斜边AB 上的高，DE BC ⊥于点E ，∴90CDA CDB ∠=∠=︒，90CED BED ∠=∠=︒，在Rt ABC △和Rt ACD △中，∵90A A ADC ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠=︒⎩，∴Rt Rt ABC ACD ；在Rt ABC △和Rt CBD △中，∵B B CDB ACB ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CBD ；∵DE BC ⊥，∴AC DE ∥，∴Rt Rt ABC DBE ；∵A B ∠∠=︒+90，90B DCB ∠+∠=︒，∴A DCB ∠=∠，在Rt ABC △和Rt CDE △中，A DCB ACB CED ∠=∠⎧⎨∠=∠⎩，∴Rt Rt ABC CDE ；∴图中与Rt ABC △相似的三角形有4个．故答案为：4．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理． 6．在如图所示的格点图中有5个格点三角形，分别是：①ABC ，②ACD ，③ADE V ，④AEF △，⑤AGH ，其中与⑤相似的三角形是 （只填序号）．【答案】①③/③①【详解】解：设每个小正方形的边长为1，则①ABC 的各边长分别为1②ACD 的各边长分别为1③ADE V 的各边长分别为2、④AEF △的各边长分别为6；⑤AGH 2∴ABC AGH V V ∽，ADE AGH V V ∽， 故答案为：①③．【点睛】此题主要考查学生对三组对应边的比相等的两个三角形相似的运用．正确掌握网格中求线段长度的方法及掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．7．如图，在ABC 中，AB AC >，过AC 边上一点D 作直线DE 交AB 边于点E ，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．【答案】2【分析】本题可分2种情况：①作ADE ABC =∠∠，则ADE ABC △△∽，因此DE 符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D 作DE BC '∥，那么DE '符合所求直线的要求．【详解】解：如图；①作ADE ABC =∠∠；∵ADE ABC =∠∠，A A ∠=∠，∴ADE ABC △△∽； ②作DE BC '∥．∵DE BC '∥，∵AE D ABC '∠=∠，A A ∠=∠∴AE D ABC '∽因此共有2种作法，故答案为：2．【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．与CMN 相似【答案】2或4/4或2【分析】根据AE EB =，AED △中2AD AE =，所以在MNC 中，分CM 与AE 和AD 是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM 与CN 的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．【详解】解：AE EB =，2AD AE ∴=，又AED 与以M 、N 、C 为顶点的三角形相似，∴分两种情况：①CM 与AD 是对应边时，2CM CN =，22220CM CN MN ∴+==，即221204CM CM +=，解得：4CM =；②CM 与AE 是对应边时，1CM CN ，22220CM CN MN ∴+==，即22420CM CM +=，解得：2CM =．综上所述：当CM 为4或2时，AED △与CMN 相似．故答案是：4或2．【点睛】本题考查了正方形的性质、勾股定理、相似三角形的判定；利用相似三角形对应边成比例的性质和直角三角形勾股定理求解是解题的关键．9．如图，在ABC 中，P 为AB 上的一点，补充条件，能使APC ACB V :V ，这个条件可以是 ．（写出一个即可）【答案】ACP B ∠=∠（答案不唯一）【分析】APC 和ACB 有公共角A ∠，则根据有两组角对应相等的两个三角形相似解答即可．【详解】解：PAC CAB ∠=∠，∴当ACP B ∠=∠时，APC ACB V :V ，故答案为：ACP B ∠=∠（答案不唯一）【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．充分利用APC ∆和ACB ∆的公共角是关键．．如图，在ABC 中，点中的一个，不能得出ABC 和△【答案】③【分析】根据相似三角形的判定定理可得结论．【详解】解：①2A ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故①不符合题意；②1CBA ∠=∠，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故②不符合题意；③BC CD AC AB =，C C ∠=∠时，不能推出ABC BDC ∆∆∽，故③符合题意； ④BC CD DB AC BC AB ==，C C ∠=∠时，ABC BDC ∆∆∽，故④不符合题意， 故答案为：③【点睛】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是掌握两组对应边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；有两角对应相等的两个三角形相似．11．如图，点E 在▱ABCD 的边CD 的延长线上，连接BE 分别交AD 、AC 于F 、G ．图中相似的两个三角形共有 对．答案】6 【分析】根据平行四边形的性质及相似三角形的判定方法进行分析即可．【详解】解：∵ABCD 是平行四边形∴AD ∥BC ，AB ∥DC∵△ABG ∽△CEG ，△AGF ∽△CGB ，△EFD ∽△EBC ，△ABF ∽△DEF ，△ABF ∽△EBC 五对，还有一对特殊的相似即△ABC ≌△ADC ，∴共6对．故答案为：6．【点睛】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握三角形的判断方法，属于中考常考题型．在ABC 中，【答案】见解析【分析】作BAC ∠的平分线，交BC 边于点M ，此时CMA CAB ∠=∠．【详解】解：点M 即为所作，∵AM 平分BAC ∠，∴BAM CAM ∠=∠，∵2BAC B ∠=∠，∴B CAM ∠=∠，∵MCA ACB ∠=∠，∴~CMA CAB ．【点睛】本题考查了作角平分线，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键． 13．如图，已知正方形ABCD 中，BE 平分DBC ∠且交CD 边于点E ，将BCE 绕点C 顺时针旋转到DCF 的位置，并延长BE 交DF 于点G ．求证：(1)BDG DEG ∽；(2)BG DF ⊥．【分析】（1）先判断出FDC EBC ∠=∠，再利用角平分线判断出FDC EBC ∠=∠，即可得出结论；（2）由三角形的内角和定理可求90DGE BCE ∠=∠=︒，可得结论．【详解】（1）证明：由旋转可知：BCE DCF ≅，FDC EBC ∴∠=∠．BE 平分DBC ∠，DBE EBC ∠=∠∴，FDC DBE ∴∠=∠，DGE DGB ∠=∠，BDG DEG ∴∽；（2）证明：EBC GDE ∠=∠，BEC DEG ∠=∠，90DGE BCE ∴∠=∠=︒．BG DF ∴⊥．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，旋转的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．14．如图，在AEC △中，B 为EC 上一点，且满足ABD C E ∠=∠=∠．(1)求证：AEB BCD ；(2)当AE BD ∥时，30C ∠=︒，10CD =，求AD 的长．【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）由三角形外角的性质和角的和差可得ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，再结合ABD E ∠=∠可得DBC EAB ∠=∠，然后结合C E ∠=∠运用两组对应角相等的三角形是相似三角形即可证明结论；（2）先根据直角三角形的性质可得152DH CD ==，再根据平行线的性质、等量代换可得30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线、60C ABD DBC ︒=+∠=∠∠，进而说明90BAD ∠=︒，最后根据角平分线的判定定理即可解答．【详解】（1）解：∵ABC ABD DBC E EAB ∠=∠+∠=∠+∠，ABD E ∠=∠，∴DBC EAB ∠=∠，∵C E ∠=∠，∴AEB BCD ．（2）解：作 DH BC ⊥ 于 H ．∵30C ∠=︒，10CD =，∴152DH CD ==，∵AE BD ∥，∴ CBD E ∠=∠，∵C E ∠=∠∴30DBC C ABD ∠=∠=∠=︒，即BD 是ABC ∠的角平分线，∴60C ADB DBC ︒=+∠=∠∠，∵30ABD ∠=︒∴90BAD ∠=︒,∵BD 是ABC ∠的角平分线，DA BA ⊥，DH BC ⊥，∴5DA DH ==．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定、三角形外角的性质、平行线的性质、角平分线的判定定理、30度所对的直角边等于斜边的一半等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键． ，ABC 为等边三角形， (1)求证：ABD DCE ∽△△； (2)如图2，当D 运动到BC 的中点时，求线段CE 的值；【答案】(1)见解析(2)5【分析】（1）利用三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，得到BAD CDE ∠=∠，再利用两角相等的三角形相似求解．（2）由题意易得AD BC ⊥，1102BD CD BC ===，然后可得30∠=︒CDE ，进而根据含30度直角三角形的性质可进行求解．【详解】（1）证明：三角形ABC 是等边三角形， 60B C ∠=∠=︒∴，ADC B BAD ∠=∠+∠，ADC ADE CDE ∠=∠+∠，B BAD ADE CDE ∴∠+∠=∠+∠，ADE B ∠=∠，BAD CDE ∴∠=∠，B C ∠=∠，ABD DCE ∴∽；（2）解：ABC 是等边三角形，点D 是BC 中点，AD BC ∴⊥，1102BD CD BC ===， 90ADC ∴∠=︒，60ADE ∠=︒，30CDE ∴∠=︒，60C ∠=︒，90DEC ∴∠=︒，152CE CD ∴==．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定、等边三角形的性质及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 边上一点，BCE 沿BE (1)求证：ABFDFE ； (2)若2sin 3DFE ∠=，6AF =【答案】(1)见解析(2)9【分析】（1）根据矩形的性质可知90A D ∠=∠=︒，在ABF △中可得90ABF AFB ∠+∠=︒，再由90BFE ∠=︒可得90AFB DFE ∠+∠=︒，进而可得ABF DFE =∠∠即可证明结论；（2）由ABFDFE 可得DFE ABF ∠=∠，然后说明2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=可得23AF BF =，然后将6AF =代入计算即可．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴90A D ∠=∠=︒．在ABF △中，90ABF AFB ∠+∠=︒，∵90BFE ∠=︒，∴90AFB DFE ∠+∠=︒，∴ABF DFE =∠∠，∴ABF DFE ．（2）解：∵ABF DFE ， ∴DFE ABF ∠=∠， ∵2sin 3DFE ∠=，6AF =， ∴2sin sin 3ABF DFE ∠=∠=， ∴23AF BF =， ∴623BF =，∴9BF =．【点睛】本题主要考查的是矩形的性质、相似三角形的判定和性质、锐角三角函数的概念等知识点，掌握有两个角相等的两个三角形相似是解题的关键． 18．如图1，在ABC 中，AC BC =，将线段CB 绕点C 逆时针旋转90︒，得到线段CD ，连接AD ，BD ．(1)求BAD ∠的度数；【答案】(1)45︒(2)①见解析；②见解析【分析】（1）由等腰三角形的性质及旋转的性质得902BAC α∠=︒−，452CAD α∠=︒−，即可得BAD ∠的度数；（2）①由题意可得45CBD BAD ∠=∠=︒，由等腰三角形的性质可得∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，进而可得45AEC ∠=︒，可证()SAS ACE DCE △≌△，易得45DEC AEC ∠=∠=︒，可得90AED BCD ∠=∠=︒，可证结论；②延长ED 至G ，使得DG BC =，先证CBE CDG ∠=∠，进而可证()SAS CBE CDG △≌△，可得45BEC G ∠=∠=︒，CEG 是等腰直角三角形，可得结论．【详解】（1）解：设ACB α∠=，∵AC BC =，∴180********ACB BAC ABC αα︒−∠︒−∠=∠===︒−， 由旋转可知，90BCD ∠=︒，AC BC DC ==，∴90ACD α∠=︒+∴1804522DCA CAD CDA α︒−∠∠=∠==︒−，∴45BAD BAC CAD ∠=∠−∠=︒；（2）①证明：∵AC BC DC ==，90BCD ∠=︒，∴45CBD BAD ∠=∠=︒，又∵CE 平分ACD ∠，∴∠=∠ACE DCE ，CE AD ⊥，则90AFE ∠=︒∴45AEC ∠=︒，又∵CE CE =，∴()SAS ACE DCE △≌△，∴45DEC AEC ∠=∠=︒，∴90AED BCD ∠=∠=︒，∴BCD AED ∽；②证明：延长ED 至G ，使得DG BE =，∵AC BC DC ==，∴BAC ABC ∠=∠，由①知ACE DCE ≌，∴EAC EDC ∠=∠，∴ABC EDC ∠=∠，∴CBE CDG ∠=∠，∴()SAS CBE CDG △≌△，∴45BEC G ∠=∠=︒，∴CEG 是等腰直角三角形，∴EG DE DG DE BE =+=+，DE BE =+．【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．。
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期2相似三角形的判定课件
课堂练习：
1、如图：E是平行四边形ABCD的边BA 延长线上的一点，CE交AD于点F．图中 有那几对类似三角形？
E
E
E
A
F
D
A
F
F
A
D
B
C
B
C
C
∵AD∥BC
∵AB∥CD
∴△AFE∽△BCE
∴△AFE∽△DFC
由类似传递性可得：△DFC∽△BCE
课堂练习：
2、如图： △ABC∽△AED,AG=3,AD=6,AF=2,EF=6, 则△AFG与△ABC类似吗？ 为什么？
∵ DE∥BC
ADE ∽ ABC
布置作业：练习册24.4(1)
A1B1 A1C1 B1C1
A1B1 A1C1 B1C1
A2 B2 A2C2 B2C2
A A1, B B1, C C1
类似三角形的定义
A1 A2 , B1 B2 , C1 C2
等量代换得
AB AC BC A2 B2 A2C2 B2C2
A A2 , B B2 , C C2
×可得： △ABC∽△A B C AB A1B1 AC A1C1 BC B1C1
A1B1 A2B2 A1C1 A2C22 B21C1 2 B2C2
类似三角形具有传递性（判定方法）
如果两个三角形分别与同一个三角形类似， 那么这两个三角形也类似． 符号语言：
∵ ABC ∽ A1B1C1 , A1B1C1 ∽ A2 B2C2 ∴ ABC ∽ A2B2C2 (类似三角形的传递性)
探究3 如图，点D、E分别在直线AB和AC 上，且DE∥BC ，那么△ADE 与
课堂小结： 本节课主要学习了什么，有何收获？
1、类似三角形的定义． 2、类似三角形的性质.
《相似三角形的判定》PPT课件 沪科版
2．作用：本定理是相似三角形判定定理的预备定理：
它通过平行证三角形相似，再由相似证对应角相等、
对应边成比例．
感悟新知
知2－练
例 3 如图，P是▱ABCD的边BC延长线上一点，AP分 别交BD和CD于点M和N. 求证：AM2＝MN·MP.
感悟新知
知2－练
导引：要证等积式AM2＝MN·MP，一般化为比例式 AMABMN∥DAMNM⇒P .△结A合M▱BA∽B△CDN中M所D⇒含平NAMM行线 DB可MM得；：
等， 三条边成比例； (2)两个三角形相似又为解题提供了条件； (3)相似三角形具有传递性：即若△ABC∽△A′B′C′，
△A′B′C′∽△A″B″C″，△ABC∽△A″B″C″； (4)相似比为1的两个相似三角形全等，反过来两个全等三角
形可以看作是相似比是1的相似三角形．
感悟新知
2．易错警示：
知1－导
感悟新知
知1－练
1．下列各组条件中，一定能推得△ ABC 与△ EFD 相似的是( C ) A．∠A＝∠E 且∠D＝∠F B．∠A＝∠B 且∠D＝∠F C．∠A＝∠E 且AABC＝EEDF D．∠A＝∠E 且ABBC＝DEDF
感悟新知
知识点 2 相似三角形判定定理的应用
知2－练
例2〈易错题〉如图，在△ABC中，AB＝16，AC＝8 ，
知1－练
导引：要证△ADQ与△QCP相似，已知这两个三角 形分别有一个角为直角，只需证明夹这个直角的两 条直角边的比相等即可．
感ห้องสมุดไป่ตู้新知
证明：设正方形ABCD的边长为4a， 则AD＝CD＝BC＝4a， ∵Q是CD的中点，BP＝3PC， ∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a. ∴ DQ AD 2.
相似三角形的判定-沪科版
24.2 相似三角形的判定[知识点1]相似三角形：1、两个三角形，如果各边对应成比例，各角对应相等，则这两个三角形相似。
2、各边对应成比例，各角对应相等是指三组对应角分别相等，三组对应边分别成比例。
3、△ABC与△A′B′C′相似记作“△ABC∽△A′B′C′”，书写时同三角形全等一样，要注意对应字母放在对应位置4、相似三角形的定义揭示了相似三角形的本质特性，即如果两个三角形相似，则各边对应成比例，各角对应相等，∴相似三角形的定义即是性质，又是判定。
5、全等三角形是相似比为1的相似三角形。
[知识点2]相似三角形判定方法：相似三角形的判定方法按照全等三角形的判定方法可记为“AA”、“SAS”、“SSS”和“HL”，只是这里对边要求是对应成比例，对角的要求是对应角相等。
1、“AA”：如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等；那么这两个三角形相似。
可简单的说成：两角对应相等的两个三角形相似。
2、“SAS”：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等，那么这两个三角形相似，可简单的说成：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、“SSS”：如果一个三角形的三条边为另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可以简单的说成：三边对应成比例的两个三角形相似。
4、“HL”：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三外形相似。
典型例题点拨例1、已知:如图，ΔABC中,AD＝DB，∠1＝∠2，求证:ΔABC∽ΔEAD。
例2、已知：如图，在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，ΔADQ与ΔQCP是否相似？为什么？例3、如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形。
（1）当AC、CD、DB满足怎样的关系时，△ACP∽△PDB？（2）当△ACP∽△PDB时，求∠APB的度数。
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专题05 相似三角形的判定（提高）【目标导向】1、了解相似三角形的概念，掌握相似三角形的表示方法及判定方法；2、进一步探索相似三角形的判定及其应用，提高运用“类比”思想的自觉性，提高推理能力.【知识点精讲】要点一、相似三角形在和中，如果我们就说与相似，记作∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”.要点诠释：(1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′；(2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等.要点二、相似三角形的判定定理1．判定方法（一）：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似；2．判定方法（二）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；3．判定方法（三）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的.4．判定方法（四）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.要点诠释：要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似.要点三、相似三角形的常见图形及其变换：【精讲例题】类型一、相似三角形1. 判断对错：(1)两个直角三角形一定相似吗？为什么？(2)两个等腰三角形一定相似吗？为什么？(3) 两个等边三角形一定相似吗？为什么？【思路点拨】注意相似三角形判定定理的灵活运用.【答案与解析】(1).不一定相似，反例：直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2)不一定相似，反例：等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 一定相似.因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.【总结升华】要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.举一反三：【变式】下列说法错误的是（）．A．有一对锐角对应相等的两个直角三角形相似B．全等的两个三角形一定相似C．对应角相等的两个多边形相似D．两条邻边对应成比例的两个矩形相似【答案】C.类型二、相似三角形的判定2.（2016•兴化市校级二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）若正方形的边长为4，求BG的长．【思路点拨】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．【答案与解析】（1）证明：∵ABCD为正方形，∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，∵AE=ED，∴，∵DF=DC，∴，∴，∴△ABE∽△DEF；（2）解：∵ABCD为正方形，∴ED∥BG，∴，又∵DF=DC，正方形的边长为4，∴ED=2，CG=6，∴BG=BC+CG=10．【总结升华】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．举一反三：【变式】（大庆模拟）如图，△ABC中，AB=5，BC=3，CA=4，D为AB的中点，过点D的直线与BC交于点E，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=．【答案】解：△D为AB的中点，△BD=AB=，△△DBE=△ABC，△当△DBE=△ACB时，△BDE△△BAC时，如图1，则=，即=，解得DE=2；当△BDE=△ACB时，如图2，DE交AC于F，△△DAF=△CAB，△△ADF△△ACB，△△BDE△△BCA，△DE BDAC BC=，即2.543DE=，解得DE=10.3综上所述，若直线DE截△ABC所得的三角形与△ABC相似，则DE=2或10. 33.如图，小正方形边长均为1，则图中的三角形（阴影部分）与相似的是哪一个？图（1）图（2）图（3）图（4）【答案与解析】图中的三角形为格点三角形，可根据勾股定理求出各边的长，然后根据三角形三边的长度的比是否相等来判断哪两个三角形相似．由勾股定理知，，．图（1）中，三角形的三边长分别为1，，．图（2）中，三角形的三边长分别为1，，．图（3）中，三角形的三边长分别为，，3．图（4）中，三角形的三边长分别为2，，．由于，故图（2）中的三角形和相似．【总结升华】判断三边是否成比例，应先将三边按大小顺序排列，然后分别计算它们对应边的比，最后由比值是否相等来确定两个三角形是否相似．4. 已知：如图，，，，当BD与a、b之间满足怎样的关系时，这两个三角形相似？【答案与解析】由于两个三角形是直角三角形，所以只要有夹直角两边的比相等，就有两个三角形相似．，∴（1）当时，∽．此时，，即，．即当时，∽．（2）当时，∽．此时，，即，．即当时，∽．综上所述，当或时，这两个三角形相似．【总结升华】本题仍是考虑两个三角形有一个角相等时，夹这两个角两边的比相等时有两种情况．举一反三：【变式】如图，正方形ABCD和等腰Rt，其中，G是CD与EF的交点．（1）求证：≌．（2）若，，，求的值．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，，．是等腰直角三角形，，，，≌．（2）解：在中，，，，．≌，∴DE=BF=4，∠DEC=∠BFC=90°.∵∠EDC+∠DCE=90°，∠FCD+∠DCE=90°.∴∠EDC=∠FCD.∴∴∽,．【精练巩固】一、选择题1. 已知△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为4：3，△A2B2C2与△A3B3C3的相似比为4：5，则△A1B1C1与△A3B3C3的相似比为( ).A.16：15B.15：16C.3：5D.16：15或15：162．（湘潭一模）如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A．B．C．D．3.如图，在△ABC中，M是AC边中点，E是AB上一点，且AE=AB，连结EM并延长，交BC的延长线于D，此时BC：CD为( ) .A. 2：1B. 3：2C. 3：1D. 5：24.下列各组条件中，一定能推出△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A=∠E且∠D=∠F B．∠A=∠B且∠D=∠FC．∠A=∠E且AB：AC=EF：ED D．∠A=∠E且AB：BC=DF：ED5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为D，则图中相似三角形有（）．A．4对B．3对 C．2对 D．1对6. 如图，ABCD是正方形，E是CD的中点，P是BC边上的一点，下列条件中，不能推出△ABP与△ECP相似的是( ) .A.∠APB=∠EPCB.∠APE=90°C.P是BC的中点D.BP：BC=2：3二、填空题7.（丹东模拟）如图，CD是Rt△ABC的斜边AB上的高，图中与△ADC相似的三角形为（填一个即可）．8.（六合区一模）如图，在Rt△ABC中，AC=8，BC=6，直线l经过C，且l△AB，P为l上一个动点，若△ABC与△PAC相似，则PC=．9.如图，是正方形ABCD的外接圆，点F是AB的中点，CF的延长线交于点E,则CF:EF的值是________________.10.如图，点M在BC上，点N在AM上，CM=CN,AM BMAN CM,则①△ABM∽△ACB,②△ANC∽△AMB,③△ANC∽△ACM,④△CMN∽△BCA中正确的有___________.11.如图，在平行四边形ABCD中，M,N为AB的三等分点，DM,DN分别交AC于P,Q两点，则AP：PQ:QC=____________.12.如图，正方形ABCD的边长为2，AE=EB,MN=1.线段MN的两端在CB,CD边上滑动，当CM=______时，△AED与以M、N、C为顶点的三角形相似.三、解答题13.（成武县期末）如图，已知△ABC中，AB=，AC=，BC=6，点M为AB的中点，在线段AC 上取点N，使△AMN与△ABC相似，求MN的长．14. 如图，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且BD＝CE，AD与BE相交于点F．（1）试说明△ABD≌△BCE；（2）△EAF与△EBA相似吗？说说你的理由．15.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；(2)如果AP=m(m是常数，且)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求的值(结果用含m的式子表示)；(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.【精练答案与解析】一．选择题1.【答案】A.2.【答案】B．【解析】∵小正方形的边长均为1∴△ABC三边分别为2，，同理：A中各边的长分别为：，3，；B中各边长分别为：，1，；C中各边长分别为：1、2，；D中各边长分别为：2，，；∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为3.【答案】A .【解析】如图，做CN∥AB,交ED于点N,∵M是AC边中点,△AEM≌△CNM,即CN=AE,∵AE=AB，∴AE:BE=1:3，即CN:BE=1:3.∵CN∥AB，∴△DCN∽△DBE,即CD:BD= CN:BE=1:3,∴CD:BC=1:2.4.【答案】C.5.【答案】B.【解析】△ABC∽△ACD; △ABC∽△CBD; △CBD∽△ACD.6.【答案】C.【解析】当P是BC的中点时，△EPC为等腰直角三角形.二. 填空题7.【答案】△ABC．【解析】∵∠ACD+∠BCD=90°∠BCD+∠B=90°，∴∠ACD=∠B，∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB（AA）.8.【答案】10或6.49．【答案】5：1.【解析】如图，连接AE,则△AEF∽△CBF,∵点F是AB的中点,正方形ABCD,∴EF:AE=BF:BC=1:2.设EF=K,则AE=2K,AF=5K,即BF=5K,BC=25K，CF=5K.∴CF:EF=5:1.10.【答案】②.11.【答案】5:3:12.【解析】∵平行四边形ABCD, M,N为AB的三等分点∴AM:CD=AP:PC=1:3，AN:CD=AQ:QC=2:3，即AP=14AC,AQ=25AC,∴QP=320AC,QC=35AC,∴AP：PQ:QC=14AC:320AC:35AC=5:3:12.12.【答案】525或.三综合题13.【解析】解：①图1，作MN△BC交AC于点N，则△AMN△△ABC，有，△M为AB中点，AB=，△AM=，△BC=6，△MN=3；②图2，作△ANM=△B，则△ANM△△ABC，有，△M为AB中点，AB=，△AM=，△BC=6，AC=，△MN=，△MN 的长为3或．14.【解析】（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB ＝BC，∠ABD＝∠BCE ＝∠BAC，又∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE；（2）相似；∵△ABD ≌△BCE，∴∠BAD ＝∠CBE，∴∠BAC －∠BAD＝∠CBA－∠CBE，∴∠EAF＝∠EBA，又∵∠AEF＝∠BEA，∴△EAF∽△EBA．15.【解析】（1）利用两边的比相等，夹角相等证相似.由已知AP=2PB，PB=BO,可推出，,∴△CAO∽△BCO.（2）设,∵是的比例中项，∴是的比例中项.即,∴,解得.又∵△COB∽△AOC,.（3）∵，，即,当时，两圆内切；当时，两圆内含；当时，两圆相交.。