沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第9讲 相似三角形的章节复习(解析版)

相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。

比例线段运算法则比例的性质向量的分解平行向量定理运算律实数与向量相乘向量的线性组合向量的线性运算相似三角形的概念相似三角形的预备定理 相似三角形的判定定理相似三角形的性质定理三角形一边的平行线性质定理及推论三角形一边的平行线判定定理及推论平行线分线段成比例定理相 似 形相似三角形 单元练习：相似三角形内容分析知识结构步同级年九2 / 17A B CDO【练习1】 下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（） A ．2组B ．3组C ．4组D ．5组【答案】A【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似．【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不可．【练习2】 若a cb d=，下列各式中正确的个数有（） ①a c d b =；②::d c b a =；③22a a b b =；④55a c b d +=+；⑤a a c b a d +=+；⑥c ma d mb=．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是0m ≠．【总结】考查比和比例的基本性质．【练习3】 已知AB //CD ，AD 、BC 相交于点O ，下列比例式中正确的是（）A ．AB OA CD AD = B ．OA OBOD BC= C ．AB OB CD OC= D ．BC OBAD OD= 【答案】C【解析】∵AB CD ，∴AB AO BODC DO CO ==,对应关系要弄清楚． 【总结】考查“平行型”的A 字模型．【练习4】 下列条件中能判定ABC ∆∽DEF ∆的有（ ）①45A ∠=︒，12AB =，15AC =，45D ∠=︒，16DE =，40DF =； ②12AB =，15BC =，24AC =，20DE =，25EF =，40DF =；选择题DA BCPA B C DE 1 2③47A ∠=︒，15AB =，20AC =，47E ∠=︒，28DE =，21EF =． A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】对应角相等，但对应边不成比例，①不成立；三边对应成比例，可以判定②成立；两边对应成比例及夹角相等判定③成立． 【总结】考查相似三角形的判定定理．【练习5】 如图，已知12∠=∠，那么添加一个条件后，仍无法判定ABC ∆∽ADE ∆的是（ ）A ．AB AC AD AE =B ．AB BCAD DE=C ．BD ∠=∠D ．C AED ∠=∠【答案】B【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成比例需要对应角的夹边成比例． 【总结】考查相似三角形判定定理．【练习6】 如图，已知，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，AB = 2m ，CD = 5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是（）A ．56mB ．67mC ．65mD ．103m【答案】C【解析】相似比等于对应高之比，设P 到AB 的距离为xcm ，列等量关系253x =，解得65x =．【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比．【练习7】 如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（）A ．14B ．41C ．13D【答案】CABCOAB CD E 【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是13．【总结】考查相似三角形的性质．【练习8】如图，在O中，向量OB，OC，AO是（）A．有相同起点的向量B．单位向量C．长度相等的向量D．相等的向量【答案】C【解析】同圆的半径相等，所以OB，OC，AO的长度是相等的．【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念．【练习9】若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式中，正确的是（）①a b>；②a//b；③0a>；④1b=±．A．①④B．③C．①②③D．②③【答案】B【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的，b是单位向量，但并没有讲是向量a方向上的单位向量，所以②是不对的．【总结】考查单位向量的概念．【练习10】如图，在ABC∆中，DE//BC，BC = 6cm，:1:4ADE ABCS S∆∆=，那么DE的长为（）A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm【答案】D【解析】∵:1:4ADE ABCS S∆∆=，∴12DEBC=，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．【总结】考查相似三角形性质的应用．a x cb A ．B ．a xc b C ．axc b D ．axc bAB CP【练习11】 已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使bx = ac ，以下方法中不正确的是（）【答案】B【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A 、C 、D 都成立，B 选项不成立的原因是从作图的角度看，不能保证延长线段a 与线段c 相交成的线段长度一定为所求作x ． 【总结】考查利用比例线段求作第四条线段的作图方法．【练习12】 如图，若P 为ABC ∆的边AB 上一点（AB >AC ），则下列条件不一定能保证ACP ∆∽ABC ∆的有（ ）A ．ACPB ∠=∠B ．APC ACB ∠=∠C ．AC AP AB AC =D ．PC AC BC AB=【答案】D【解析】如图，两个三角形已经有一组公共角，添加角度条件一定可以判定相似，若是添加对应边成比例不能使用到公共角的对边，所以D 选项不能判定ACP ∆∽ABC ∆． 【总结】考查相似三角形的判定定理．【练习13】 过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ） A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条【答案】D【解析】过三角形一边上一点画直线与另一边相交，截得的三角形与 原三角形相似，这样的直线最多可画4条，每条边上两条，其中 包括“平行型”和“斜交型”，如图所示．（当这个点是直角三角形斜边上一点时，最多可以画三条符合题意的直线）【总结】考查相似基本图形．【练习14】 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP <PB ，则（）A ．2AP AB PB = B ．2AB AP PB =C ．2PB AP AB =D ．222AP BP AB +=【答案】C【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系，=较短较长较长全长，即AP BPBP AB =,即2BP AP AB =． 【总结】考查线段的黄金分割．AB CDEOOB DC C 'A【练习15】 如图，在ABC ∆中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（）A ．CO CE CD CA =B ．AD AC AE AB = C ．OE OC OD OB =D ．CO DO BO EO =【答案】D【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似，都可以用“AA”来判定，ABD ACE OBE OCD ∆∆∆∆，对应边成比例换成等积式，其中D 选项比例关系不对． 【总结】考查相似模型之“双垂型”．【练习16】 如图，AD 是ABC ∆的中线，45ADC ∠=︒，把ADC ∆沿AD 对折，点C 落在'C 的位置，则'BC BC 的值为（）A ．14B ．13 CD ．1 【答案】C【解析】联结'CC ,因为翻折，所以'CC AD ⊥，设交点为O ，因为∠ADC ＝45°，所以∠OCD ＝45°，又因为',DB DC DC ==根据三角形内角和可以证明'90BC C ∠=，所以'BC C ∆为等腰直角三角形，即'BC BC =． 【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质．【练习17】 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段B ．一个圆面C ．圆上的一群孤点D ．一个圆【答案】D【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 【总结】考查单位向量的性质及圆的定义．【练习18】 下面几个命题中，真命题的个数是（）（1）若a b =，则a b =；（2）两个向量a 、b 相等，则a b =，a //b ； （3）若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； （4）若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =； （5）若a b =，b c =，则a c =； （6）若a //b ，b //c ，则a //c ． A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】B【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正确；若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A 、B 、C 、D 四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的． 【总结】考查平面向量的有关概念与性质．AB CP【练习19】 A 、B 两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1 : 1000000，则A 、B两地在地图上的距离是______厘米． 【答案】20厘米．【解析】厘米和千米的进率为：1100000km cm =，设图上距离为x 厘米，由题意，得1:1000000:20000000x =，解得20x =．【总结】考查比例尺的运用．【练习20】 2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______．【答案】152．【解析】设这个数为x ，若其它三个比例项分别为,,a b c ，且abx c=，要使x 最大，则ab 取最大值，c 取最小值，所以351522x ⨯==，若x 的取值没有要求，这样的x （与2、3、5组成比例式）有三个． 【总结】考查比例的基本性质．【练习21】 若x : y : z = 2 : 7 : 5，且x - 2y + 3z = 6，则x =____，y =____，z =____． 【答案】41410x y z ===，，．【解析】∵::2:7:5x y z =，设275x k y k z k ===，，，则227356k k k -⨯+⨯=，解得2k =，∴4,14,10x y z ===． 【总结】考查学生对设“k ”法的理解应用．【练习22】 已知线段a = 8厘米，b = 9厘米，则线段a 和b 的比例中项是______． 【答案】62cm ．【解析】a b ，的比例中项c ab =±，当a b ，为线段长时，c 取正值． 【总结】考查比例中项的定义．【练习23】 如图，已知ACP B ∠=∠，AC = 4，AP = 2，则AB = ______． 【答案】AB ＝8．【解析】∵ACP B ∠=∠，且A A ∠=∠，∴ACP ABC ∆∆填空题8米4米0．8米hABD 则AC APAB AC=,∵42AC AP==，，∴8AB=．【总结】考查相似三角形的判定与性质．【练习24】如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是0．8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米．【答案】2.4米．【解析】根据平行线分线段成比例，得0.8412h=，解得 2.4h=．【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解h．【练习25】如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，BD长55厘米，则梯子长为______．【答案】440厘米．【解析】设,AB x=根据平行线分线段成比例，得70,80ADAB=即5578xx-=，解得440x=，所以梯子的长为440厘米．【总结】考查平行线分线段成比例的应用．【练习26】若两个相似三角形的面积比为2 : 9，则这两个三角形的对应中线的比是______．3．．【总结】考查相似三角形的性质：面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比．【练习27】 在边长为1的正方形ABCD 中，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++=______；a c b +-=______；c a b --=______．【答案】20；．【解析】（1）2a b c AB BC AC AC ++=++=,因为正方形边长为1，所以AC =即a b c ++=（2）2a c b AB AC BC AB AC CB AB +-=+-=++=,即2a c b +-=； （3）0c a b AC AB BC BC BC --=--=-=，即0c a b --=． 【总结】考查平面向量的线性运算．【练习28】 计算：()()325232a b a b +--=______． 【答案】19b ．【解析】()()325232a b a b +--=6156419a b a b b +-+=． 【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算．【练习29】 若()()::a b x y x y =+-，则:x y =______． 【答案】a ba b+-． 【解析】设()()a b k x y a b k x y +=+-=-，，解得22a b x k a b y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以:a b x y a b +=-．【总结】考查设“k ”法的理解应用．【练习30】 点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP =2，则AB =______．31+．【解析】（1）当AP为较长的线段时，AP AB =1AB ； （2）当AP为较短的线段时，AP BP =解得1BP =，123AB =+=．【总结】考查线段的黄金分割，等量关系=短长长全，一条线段的黄金分割点有两个，需要学生具有分类讨论的思想．【练习31】 过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线． 【答案】3条；4条．【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示．【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”．ABCD EF KH【练习32】 如图，AD = DE = EC ，且AB // DF // EH ，AH 交DF 于K ，则EHKF=______． 【答案】23EH KF =． 【解析】∵DK EH ，∴AD DKAE EH =， ∵EH DF ，∴CE EHCD DF=, ∵AD DE EC ==, ∴1122DK EH EH DF ==，, 设DK k =，则24EH k DF k ==，， ∴23EH KF =． 【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用．【练习33】 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE // BC ，如果BC = 8厘米，AD : AB = 1 : 4，那么ADE ∆的周长为_________． 【答案】6厘米．【解析】∵DE BC ,∴ADE ABC ∆∆，∵:1:4AD AB =，∴:1:4ADE ABC C C ∆∆=,因为8BC =，所以24ABC C ∆=，12464ADE C ∆=⨯=．【总结】考查相似三角形的性质运用．【练习34】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离为______． 【答案】6．【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到直角顶点的距离是斜边中线的23．【总结】考查直角三角形重心的性质运用．AB CD【练习35】如图，在平行四边形ABCD中，AB a=，CB b=，则向量AO为______．（结果用a和b表示）【答案】1122a b-．【解析】∵平行四边形对角线互相平分，∴11()22AO AC AB BC==+，∵AB a CB b==，，∴1122AO a b=-．【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质．【练习36】如图，将①BAD C∠=∠；②ADB CAB∠=∠；③2AB BD BC=；④CA ABAD DB=；⑤BC ACBA DA=；⑥BC DABA AC=中的一个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号）【答案】答案不唯一，比如条件是①，结论是③．【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：（1）当条件为①时，结论可以是②③④⑤；（2）当条件为②时，结论可以是①③④⑤；（3）当条件为③时，结论可以是①②④⑤．【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用．A BCDOAB CD【练习1】已知23a c eb d f ===，18ac e =--，0bd f ++≠，求b d f ++的值． 【答案】27b d f ++=． 【解析】∵203a c e b d f b d f ===++≠，，∴23a c eb d f ++=++，又∵18ac e ++=， ∴27bd f ++=． 【总结】考查等比性质的运用．【练习2】已知b c c a a bx a b c+++===，求x 的值． 【答案】21x =-或．【解析】（1）当0a b c ++=时，b c a c a b a b c +=-+=-+=-，，，∴1ax a-==-； （2）当0a b c ++≠时，b c c a a bx a b c+++===，根据等比性质， 2()2b c c a a b a b c x a b c a b c+++++++===++++；综上，12x =-或．【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想．【练习3】如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求ACAB的值． 【答案】12AC AB =．【解析】∵,ACD B A A ∠=∠∠=∠,∴ACD ABC∆∆ ∵:1:3ACD BCD S S ∆∆=，∴:1:4ACD ABC S S ∆∆=，∴12AC AB =． 【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关系．【练习4】如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3cm ，AB = 6cm ，矩形ABCD 的周长为28cm ，求CF 的长．解答题AB CDEFAB CDE FOPAB CDEF【答案】52CF cm=．【解析】∵矩形ABCD，628AB C==，周长，∴8BC=，∵AE EF⊥,AB BC DC BC⊥⊥，，可证ABE ECF∆∆,∴AB BEEC EC=，∵63835AB BE EC===-=，，，∴52CF cm=．【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型．【练习5】如图，已知ABC∆中，AB = AC，CD是边AB上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF是正方形．CEF∆和BDC∆相似吗？试证明你的结论．【答案】CEF BDC∆∆，证明略．【解析】1290AD CD ADC AC==∠=∴=，，，1AB AC AB BD=∴==，，1ABCD BD DE EF∴===正方形，，∴21)3CE=-=∴BDEC==CDEF=，即BD CDEC EF=，又∵90BDC CEF∠=∠=，∴BDC CEF∆∆．【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底．【练习6】如图，D、E、F分别是ABC∆的边BC、AB、AC的中点，AD与EF相交于点O，线段CO的延长线交AB于点P．求证：AB = 3AP．【答案】证明略．【解析】∵E F AB AC、分别是、的中点，∴12EF BC EF BC=，，ABCEF∴12AE EO AB BD ==，∵D 是BC 的中点，∴14EO BC =， ∵EO BC ，∴14PE EO PB BC ==，设PE k =，则4PB k =，3BE k =，∴26AB EB k ==，2AP AB PB k =-=，∴:6:23AB AP k k ==，即3AB AP =． 【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用．【练习7】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3cm ． （1）求证：ECB ∆∽BCA ∆； （2）求斜边AB 的长．【答案】（1）证明略；（2）AB =【解析】（1）∵90,ACB ∠=D AB 为的中点，∴DA DC =，∴A ECF ∠=∠,∵BE CD ⊥,∴90FCB CFB ∠+∠=，∵90FCE ECF ∠+∠=，∴ECF CBF ∠=∠， ∴A CBE ∠=∠,∵ECB BCA ∠=∠,∴ECB BCA ∆∆；（2）∵ECB BCA ∆∆，∴EC CBBC CA=,∵14EC AC AE EC ==+=，，∴2BC =， ∵90ACB ∠=，∴AB = 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用．。