沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第9讲 相似三角形的章节复习(解析版)
相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了
比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。
比例线段
运算法则
比例的性质
向量的分解
平行向量定理
运算律
实数与向量相乘
向量的线性组合
向量的线性运算
相似三角形的概念
相似三角形的预备定理 相似三角形的判定定理
相似三角形的性质定理
三角形一边的平行线
性质定理及推论
三角形一边的平行线判定定理及推论
平行线分线段成比例定理
相 似 形
相似三角形 单元练习：相似三角形
内容分析
知识结构
步同级年九
2 / 17
A B C
D
O
【练习1】 下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩
形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（） A ．2组
B ．3组
C ．4组
D ．5组
【答案】A
【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长
和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似．
【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不
可．
【练习2】 若
a c
b d
=，下列各式中正确的个数有（） ①a c d b =；②::d c b a =；③2
2a a b b =；④55a c b d +=+；⑤a a c b a d +=+；⑥c ma d mb
=．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【答案】A
【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比
的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是
0m ≠．
【总结】考查比和比例的基本性质．
【练习3】 已知AB //CD ，AD 、BC 相交于点O ，下列比例式中正确的是（）
A ．A
B OA CD AD = B ．OA OB
OD BC
= C ．
AB OB CD OC
= D ．
BC OB
AD OD
= 【答案】C
【解析】∵AB CD ，∴
AB AO BO
DC DO CO ==
,对应关系要弄清楚． 【总结】考查“平行型”的A 字模型．
【练习4】 下列条件中能判定ABC ∆∽DEF ∆的有（ ）
①45A ∠=︒，12AB =，15AC =，45D ∠=︒，16DE =，40DF =； ②12AB =，15BC =，24AC =，20DE =，25EF =，40DF =；
选择题
D
A B
C
P
A B C D
E 1 2
③47A ∠=︒，15AB =，20AC =，47E ∠=︒，28DE =，21EF =． A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【答案】C
【解析】对应角相等，但对应边不成比例，①不成立；三边对应成比例，可以判定②成立；
两边对应成比例及夹角相等判定③成立． 【总结】考查相似三角形的判定定理．
【练习5】 如图，已知12∠=∠，那么添加一个条件后，仍无法判定ABC ∆∽ADE ∆的是
（ ）
A ．A
B A
C A
D A
E =
B ．AB BC
AD DE
=
C ．B
D ∠=∠
D ．C AED ∠=∠
【答案】B
【解析】已知一组对应角相等，再添加任意一组对应角相等都可以判定相似，添加对应边成
比例需要对应角的夹边成比例． 【总结】考查相似三角形判定定理．
【练习6】 如图，已知，电灯P 在横杆AB 的正上方，AB 在灯光下的影子为CD ，AB //CD ，
AB = 2m ，CD = 5m ，点P 到CD 的距离是3m ，则P 到AB 的距离是（）
A ．56m
B ．67m
C ．65m
D ．103m
【答案】C
【解析】相似比等于对应高之比，设P 到AB 的距离为xcm ，
列等量关系253x =，解得6
5x =．
【总结】考查相似三角形的性质，相似比等于对应高之比．
【练习7】 如图，厨房角柜的台面是三角形，如果把各边中点的连线所围成的三角形铺成
黑色的大理石（图中阴影部分），其余部分铺成白色大理石，那么黑色大理石的面积与白色大理石的面积之比是（）
A ．14
B ．41
C ．1
3
D
【答案】C
A
B
C
O
A
B C
D E 【解析】相似三角形面积之比是相似比的平方，联结三角形三边中点，将原三角形的面积四等分，所以黑色面积与白色面积之比是
1
3
．
【总结】考查相似三角形的性质．
【练习8】如图，在O中，向量OB，OC，AO是（）
A．有相同起点的向量B．单位向量
C．长度相等的向量D．相等的向量
【答案】C
【解析】同圆的半径相等，所以OB，OC，AO的长度是相等的．
【总结】考查向量的方向、长度及相等向量的概念．
【练习9】若a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式中，正确的是（）
①a b
>；②a//b；③0
a>；④1
b=±．
A．①④B．③C．①②③D．②③
【答案】B
【解析】单位向量的长度是单位1，方向是任意的，b是单位向量，但并没有讲是向量a方向上的单位向量，所以②是不对的．
【总结】考查单位向量的概念．
【练习10】如图，在ABC
∆中，DE//BC，BC = 6cm，:1:4
ADE ABC
S S
∆∆
=，那么DE的长为（）
A．1.5cm B．2cm C．2.5cm D．3cm
【答案】D
【解析】∵:1:4
ADE ABC
S S
∆∆
=，∴
1
2
DE
BC
=，∵BC＝6cm，∴DE＝3cm．
【总结】考查相似三角形性质的应用．
a x c
b A ．
B ．
a x
c b C ．
a
x
c b D ．
a
x
c b
A
B C
P
【练习11】 已知线段a ，b ，c ，求作线段x ，使bx = ac ，以下方法中不正确的是（）
【答案】B
【解析】利用平行线分线段成比例，可以验证A 、C 、D 都成立，B 选项不成立的原因是从
作图的角度看，不能保证延长线段a 与线段c 相交成的线段长度一定为所求作x ． 【总结】考查利用比例线段求作第四条线段的作图方法．
【练习12】 如图，若P 为ABC ∆的边AB 上一点（AB >AC ），则下列条件不一定能保证
ACP ∆∽ABC ∆的有（ ）
A ．ACP
B ∠=∠
B ．AP
C ACB ∠=∠
C ．AC AP AB AC =
D ．PC AC BC AB
=
【答案】D
【解析】如图，两个三角形已经有一组公共角，添加角度条件一定可以判定相似，若是添加
对应边成比例不能使用到公共角的对边，所以D 选项不能判定ACP ∆∽ABC ∆． 【总结】考查相似三角形的判定定理．
【练习13】 过三角形一边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角
形相似，那么最多可画这样的直线的条数是（ ） A ．1条
B ．2条
C ．3条
D ．4条
【答案】D
【解析】过三角形一边上一点画直线与另一边相交，截得的三角形与 原三角形相似，这样的直线最多可画4条，每条边上两条，其中 包括“平行型”和“斜交型”，如图所示．（当这个点是直角三角
形斜边上一点时，最多可以画三条符合题意的直线）
【总结】考查相似基本图形．
【练习14】 已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP A ．2AP A B PB = B ．2AB AP PB = C ．2PB AP AB = D ．222AP BP AB += 【答案】C 【解析】线段的黄金分割点有两个，是对称的，其中三条线段之间存在一个黄金比例关系， =较短较长较长全长，即AP BP BP AB = ,即2BP AP AB =． 【总结】考查线段的黄金分割． A B C D E O O B D C C ' A 【练习15】 如图，在ABC ∆中，高BD 、CE 交于点O ，下列结论错误的是（） A ．CO CE CD CA = B ．AD A C AE AB = C ．OE OC O D OB = D ．CO DO BO EO = 【答案】D 【解析】基本图形“双垂型”，图中有4个三角形两两相似， 都可以用“AA”来判定，ABD ACE OBE OCD ∆∆∆∆，对应边成比例换成等积式， 其中D 选项比例关系不对． 【总结】考查相似模型之“双垂型”． 【练习16】 如图，AD 是ABC ∆的中线，45ADC ∠=︒，把ADC ∆沿AD 对折，点C 落在' C 的位置，则' BC BC 的值为（） A ．14 B ．13 C D ．1 【答案】C 【解析】联结'CC ,因为翻折，所以'CC AD ⊥，设交点为O ，因为∠ADC ＝45°，所以∠ OCD ＝45°，又因为' ,DB DC DC ==根据三角形内角和可以证明'90BC C ∠=，所以 ' BC C ∆ 为等腰直角三角形，即'BC BC = ． 【总结】考查翻折的性质及等腰直角三角形的性质． 【练习17】 把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形 是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群孤点 D ．一个圆 【答案】D 【解析】单位向量的长度是一样的，方向是任意的，将同一平面内的单位向量的起点归为同 一点，它们的终点汇聚成了一个单位圆，到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆． 【总结】考查单位向量的性质及圆的定义． 【练习18】 下面几个命题中，真命题的个数是（） （1）若a b =，则a b =； （2）两个向量a 、b 相等，则a b =，a //b ； （3）若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形； （4）若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =； （5）若a b =，b c =，则a c =； （6）若a //b ，b //c ，则a //c ． A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个 【答案】B 【解析】长度相等的向量，方向不一定相同，所以（1）不正确；若AB DC =，则四边形 ABCD 是平行四边形，这句话也是有漏洞的，当A 、B 、C 、D 四点共线时，构不成平行四边形，不过它的逆命题是正确的；其它选项都是正确的． 【总结】考查平面向量的有关概念与性质． A B C P 【练习19】 A 、B 两地的实际距离是200千米，地图上的比例尺为1 : 1000000，则A 、B 两地在地图上的距离是______厘米． 【答案】20厘米． 【解析】厘米和千米的进率为：1100000km cm =，设图上距离为x 厘米，由题意，得 1:1000000:20000000x =，解得20x =． 【总结】考查比例尺的运用． 【练习20】 2、3、5再配上一个比它们都大的数组成比例式，这个数是______． 【答案】15 2． 【解析】设这个数为x ，若其它三个比例项分别为,,a b c ，且ab x c = ，要使x 最大，则ab 取最大值，c 取最小值，所以3515 22 x ⨯==，若x 的取值没有要求，这样的x （与2、3、5组成比例式）有三个． 【总结】考查比例的基本性质． 【练习21】 若x : y : z = 2 : 7 : 5，且x - 2y + 3z = 6，则x =____，y =____，z =____． 【答案】41410x y z ===，，． 【解析】∵::2:7:5x y z =，设275x k y k z k ===，，，则227356k k k -⨯+⨯=， 解得2k =，∴4,14,10x y z ===． 【总结】考查学生对设“k ”法的理解应用． 【练习22】 已知线段a = 8厘米，b = 9厘米，则线段a 和b 的比例中项是______． 【答案】62cm ． 【解析】a b ，的比例中项c ab =±，当a b ，为线段长时，c 取正值． 【总结】考查比例中项的定义． 【练习23】 如图，已知ACP B ∠=∠，AC = 4，AP = 2，则AB = ______． 【答案】AB ＝8． 【解析】∵ACP B ∠=∠，且A A ∠=∠，∴ACP ABC ∆∆ 填空题 8米4米 0．8米 h A B D 则 AC AP AB AC =,∵42 AC AP == ，，∴8 AB=． 【总结】考查相似三角形的判定与性质． 【练习24】如图，小智在打网球时，击球点距离球网的距离是8米，已知网高是0．8米，要使球恰好能打过网，且落在离网4米的位置，则球拍击球的高度h为______米． 【答案】2.4米． 【解析】根据平行线分线段成比例，得 0.84 12 h =， 解得 2.4 h=． 【总结】考查平行线分线段成比例的应用，也可以用相似三角形的性质求解h． 【练习25】如图，AB是斜靠在墙角的长梯，梯脚B距墙80厘米，梯上点D距墙70厘米，BD长55厘米，则梯子长为______． 【答案】440厘米． 【解析】设, AB x =根据平行线分线段成比例，得 70 , 80 AD AB = 即 557 8 x x - =，解得440 x=，所以梯子的长为440厘米． 【总结】考查平行线分线段成比例的应用． 【练习26】若两个相似三角形的面积比为2 : 9，则这两个三角形的对应中线的比是______． 3． ． 【总结】考查相似三角形的性质：面积比是相似比的平方比，相似比也是对应中线之比． 【练习27】 在边长为1的正方形ABCD 中，设AB a =，BC b =，AC c =，则a b c ++= ______；a c b +-=______；c a b --=______． 【答案】20；． 【解析】（1）2a b c AB BC AC AC ++=++=,因为正方形边长为1 ，所以AC = 即a b c ++ = （2）2a c b AB AC BC AB AC CB AB +-=+-=++=,即2a c b +-=； （3）0c a b AC AB BC BC BC --=--=-=，即0c a b --=． 【总结】考查平面向量的线性运算． 【练习28】 计算：()() 325232a b a b +--=______． 【答案】19b ． 【解析】()( ) 325232a b a b +--=6156419a b a b b +-+=． 【总结】考查实数与向量相乘及平面向量的加减运算． 【练习29】 若()()::a b x y x y =+-，则:x y =______． 【答案】 a b a b +-． 【解析】设()()a b k x y a b k x y +=+-=-，，解得2 2 a b x k a b y k +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，所以:a b x y a b +=-． 【总结】考查设“k ”法的理解应用． 【练习30】 点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP =2，则AB =______． 31+． 【解析】（1）当AP 为较长的线段时， AP AB = 1AB ； （2）当AP 为较短的线段时， AP BP = 解得1BP = ，123AB =+=． 【总结】考查线段的黄金分割，等量关系=短长长全，一条线段的黄金分割点有两个， 需要学生具有分类讨论的思想． 【练习31】 过直角三角形的斜边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与 原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线；过直角三角形的直角边上一点画直线，使直线与另一边相交，且截得的三角形与原三角形相似，那么最多可画______条这样的直线． 【答案】3条；4条． 【解析】当这个点在直角边上时，可以画4条这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似；当这个点在斜边上时，可以画3条（有2条重合在一起）这样的直线使得截得的三角形与原三角形相似，如图所示． 【总结】考查相似基本图形，结论是“直4斜3”． A B C D E F K H 【练习32】 如图，AD = DE = EC ，且AB // DF // EH ，AH 交DF 于K ，则EH KF =______． 【答案】 2 3 EH KF =． 【解析】∵DK EH ，∴ AD DK AE EH =， ∵EH DF ，∴CE EH CD DF = , ∵AD DE EC ==, ∴1122 DK EH EH DF ==，, 设DK k =，则24EH k DF k ==，， ∴ 2 3 EH KF =． 【总结】考查平行线分线段成比例的性质运用． 【练习33】 在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且DE // BC ，如果BC = 8 厘米，AD : AB = 1 : 4，那么ADE ∆的周长为_________． 【答案】6厘米． 【解析】∵DE BC ,∴ADE ABC ∆∆， ∵:1:4AD AB =，∴:1:4ADE ABC C C ∆∆=, 因为8BC =，所以24ABC C ∆=，1 2464 ADE C ∆=⨯=． 【总结】考查相似三角形的性质运用． 【练习34】 如果直角三角形的斜边长为18，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距 离为______． 【答案】6． 【解析】直角三角形的斜边长为18，则斜边上的中线为9，根据三角形重心的性质，重心到 直角顶点的距离是斜边中线的2 3． 【总结】考查直角三角形重心的性质运用． A B C D 【练习35】如图，在平行四边形ABCD中，AB a =，CB b =，则向量AO为______．（结果用a和b表示） 【答案】 11 22 a b -． 【解析】∵平行四边形对角线互相平分，∴ 11 () 22 AO AC AB BC ==+， ∵AB a CB b == ，，∴ 11 22 AO a b =-． 【总结】考查平面向量的线性分解及运算，结合平行四边形的性质． 【练习36】如图，将①BAD C ∠=∠；②ADB CAB ∠=∠；③2 AB BD BC =； ④ CA AB AD DB =；⑤ BC AC BA DA =；⑥ BC DA BA AC =中的一个作为条件，另一个作为结论，组 成一个真命题，则条件是______，结论是______．（只填序号） 【答案】答案不唯一，比如条件是①，结论是③． 【解析】这是一个典型的相似基本图形“母子型”，其中可以作为条件的选择不唯一，结论自然也不一，情况如下：（1）当条件为①时，结论可以是②③④⑤；（2）当条件为②时，结论可以是①③④⑤；（3）当条件为③时，结论可以是①②④⑤． 【总结】考查相似三角形的判定和性质运用以及对基本图形“母子型”的理解运用． A B C D O A B C D 【练习1】已知 2 3 a c e b d f ===，18a c e =--，0b d f ++≠，求b d f ++的值． 【答案】27b d f ++=． 【解析】∵ 203a c e b d f b d f ===++≠，，∴23 a c e b d f ++=++，又∵18a c e ++=， ∴27b d f ++=． 【总结】考查等比性质的运用． 【练习2】已知b c c a a b x a b c +++= == ，求x 的值． 【答案】21x =-或． 【解析】（1）当0a b c ++=时，b c a c a b a b c +=-+=-+=-，，，∴1a x a -==-； （2）当0a b c ++≠时，b c c a a b x a b c +++= == ，根据等比性质， 2()2b c c a a b a b c x a b c a b c +++++++===++++； 综上，12x =-或． 【总结】考查等比性质的运用，需要学生理解等比性质成立的条件，以及有分类的思想． 【练习3】如图，已知点D 在ABC ∆的边AB 上，且ACD B ∠=∠，:1:3ACD DBC S S ∆∆=．求 AC AB 的值． 【答案】1 2 AC AB =． 【解析】∵,ACD B A A ∠=∠∠=∠,∴ACD ABC ∆∆ ∵:1:3ACD BCD S S ∆∆=，∴:1:4ACD ABC S S ∆∆=，∴ 1 2 AC AB =． 【总结】考查相似三角形的判定与性质，需要理解相似三角形的相似比与面积比的关系． 【练习4】如图，已知点E 、F 分别在矩形ABCD 的边BC 和CD 上，EF AE ⊥，BE = 3cm ， AB = 6cm ，矩形ABCD 的周长为28cm ，求CF 的长． 解答题 A B C D E F A B C D E F O P A B C D E F 【答案】 5 2 CF cm =． 【解析】∵矩形ABCD，628 AB C == ，周长，∴8 BC=， ∵AE EF ⊥,AB BC DC BC ⊥⊥ ，，可证ABE ECF ∆∆, ∴ AB BE EC EC =，∵63835 AB BE EC ===-= ，，， ∴5 2 CF cm =． 【总结】本题在矩形背景下考查“一线三直角”模型． 【练习5】如图，已知ABC ∆中，AB = AC，CD是边AB上的高，且CD = 2，AD = 1，四边形BDEF是正方形．CEF ∆和BDC ∆相似吗？试证明你的结论． 【答案】CEF BDC ∆∆，证明略． 【解析】1290 AD CD ADC AC ==∠=∴= ，，， 1 AB AC AB BD =∴== ，， 1 ABCD BD DE EF ∴=== 正方形，， ∴21)3 CE=-= ∴ BD EC == CD EF =，即 BD CD EC EF =， 又∵90 BDC CEF ∠=∠=，∴BDC CEF ∆∆． 【总结】本题结合直角三角形的性质考查相似三角形的判定，同时需要学生扎实的运算功底．【练习6】如图，D、E、F分别是ABC ∆的边BC、AB、AC的中点，AD与EF相交于点O，线段CO的延长线交AB于点P．求证：AB = 3AP． 【答案】证明略． 【解析】∵E F AB AC 、分别是、的中点，∴ 1 2 EF BC EF BC = ，， A B C E F ∴ 12AE EO AB BD ==，∵D 是BC 的中点，∴1 4 EO BC =， ∵EO BC ，∴1 4 PE EO PB BC ==，设PE k =，则4PB k =，3BE k =， ∴26AB EB k ==，2AP AB PB k =-=，∴:6:23AB AP k k ==，即3AB AP =． 【总结】考查平行线分线段成比例的综合运用． 【练习7】如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，点D 为AB 的中点，BE CD ⊥，垂足为 点F ，BE 交AC 于点E ，CE = 1cm ，AE = 3cm ． （1）求证：ECB ∆∽BCA ∆； （2）求斜边AB 的长． 【答案】（1）证明略；（2 ）AB = 【解析】（1）∵90,ACB ∠=D AB 为的中点，∴DA DC =，∴A ECF ∠=∠, ∵BE CD ⊥,∴90FCB CFB ∠+∠=，∵90FCE ECF ∠+∠=，∴ECF CBF ∠=∠， ∴A CBE ∠=∠,∵ECB BCA ∠=∠,∴ECB BCA ∆∆； （2）∵ECB BCA ∆∆，∴EC CB BC CA = ,∵14EC AC AE EC ==+=，，∴2BC =， ∵90ACB ∠=， ∴AB = 【总结】考查相似三角形的判定和性质的综合运用． 相似三角形是初中数学九年级上学期第一章的内容，在本章中，我们学习了 比例线段的相关性质，相似三角形的概念、判定及性质和平面向量的线性运算．重点是灵活运用相似三角形的判定定理和性质定理，难点是利用辅助线解决相似三角形问题以及相似三角形与动点问题相结合的类型。 比例线段 运算法则 比例的性质 向量的分解 平行向量定理 运算律 实数与向量相乘 向量的线性组合 向量的线性运算 相似三角形的概念 相似三角形的预备定理 相似三角形的判定定理 相似三角形的性质定理 三角形一边的平行线 性质定理及推论 三角形一边的平行线判定定理及推论 平行线分线段成比例定理 相 似 形 相似三角形 单元练习：相似三角形 内容分析 知识结构 步同级年九 2 / 17 A B C D O 【练习1】 下列图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两个正方形；④两个矩 形；⑤两个菱形；⑥两个正五边形．其中一定相似的有（） A ．2组 B ．3组 C ．4组 D ．5组 【答案】A 【解析】判定相似有2个条件：对应角相等，且对应边成比例，两个矩形对应角相等，但长 和宽的不一定成比例，两个（等腰三角形）菱形对应边成比例，但对应角又不一定相等，只有③⑥一定相似． 【总结】考查学生对相似几何图形性质的理解，对应角相等和对应边成比例两个条件缺一不 可． 【练习2】 若 a c b d =，下列各式中正确的个数有（） ①a c d b =；②::d c b a =；③2 2a a b b =；④55a c b d +=+；⑤a a c b a d +=+；⑥c ma d mb =． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【答案】A 【解析】考查比和比例的基本性质，以“内项积等于外项积”检验①不成立，②是对的；比 的基本性质是前项和后项同时乘以（或除以）同一个不为零的数，比值不变，③是不成立的；比例线段的等比性质及合并性质也需要学生理解到位；其中⑥不正确的原因是 0m ≠． 【总结】考查比和比例的基本性质． 【练习3】 已知AB //CD ，AD 、BC 相交于点O ，下列比例式中正确的是（） A ．A B OA CD AD = B ．OA OB OD BC = C ． AB OB CD OC = D ． BC OB AD OD = 【答案】C 【解析】∵AB CD ，∴ AB AO BO DC DO CO == ,对应关系要弄清楚． 【总结】考查“平行型”的A 字模型． 【练习4】 下列条件中能判定ABC ∆∽DEF ∆的有（ ） ①45A ∠=︒，12AB =，15AC =，45D ∠=︒，16DE =，40DF =； ②12AB =，15BC =，24AC =，20DE =，25EF =，40DF =； 选择题 第 1 页 共 3 页 创新三维学习法，高效学习加速度 知识精要 一 比例的性质 1. 比例的基本性质:bc ad d c b a =?= 2. 合比性质:d d c b b a d c b a d d c b b a d c b a -= -?=+=+?=或 3. 等比性质:若 )0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++. 4. 比例中项:若c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. 二 平行线分线段成比例定理 1. 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 已知l 1∥l 2∥l 3, 可得 EF BC DE AB DF EF AC BC DF EF AB BC DF DE AC AB EF DE BC AB = ====或或或或等. 2．三角形一边平行线的性质定理: 平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例. 推论：平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例. 1. 三角形一边平行线的判定定理: 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 2. 推论: 如果一条直线所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比例, 那么这条直线平行于三角形的第三边. 如:如图（1），已知BD:CD=2:3,AE:ED=3:4 求 :AF:FC 辅助线当然是添加平行线. 但如图（2）, 如果过D作DG∥BF,则在FC中插入了G点,不利求结论AF:FC；如图（3）如果过F做FG∥AD交CD于G时,在CD上插入G,条件BD:DC=2:3就不好用了。因此应过D做DG∥AC 交BF于G,此辅助线做法既不破坏BD:DC,又不破坏AE:ED,还不破坏AE:FC. 解: 过D做DG∥AC交BF于G ∵BD:DC=2:3 ∴BD:BC=2:5 则DG:CF=2:5 设DG=2x CF=5 x AE:ED=3:4 AF:DG=3:4 AF:2x=3:4 AF=1.5x AF:FC=1.5x:5x=3:10 三相似三角形的判定及性质1. 相似三角形的判定 ①两角对应相等的两个三角形相似(此定理用的最多); ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似; ③三边对应成比例的两个三角形相似; ④直角边和斜边对应成比例的两个直角三角形相似. 2. 直角三角形斜边的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原直角三角形相似. 3. 相似三角形的性质 ①相似三角形对应角相等、对应边成比例. ②相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线、周长的比都等于相似比(对应边的比) 第 1 页共3 页创新三维学习法，高效学习加速度 一、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a与b相除，叫做a与b的比，记作:a b（或表示为a b ）； 如果:: a b c d =（或a c b d =），那么就说a、b、c、d成比例． 二、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 相似三角形知识结构 模块一：比例线段 知识精讲 2 / 34 如果 a c b d =，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2） 合比性质： 如果 a c b d =，那么a b c d b d ++= ； 如果 a c b d =，那么a b c d b d --= ． （3） 等比性质： 如果 a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+． 三、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d =） ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段． 四、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数． 五、三角形一边的平行线性质定理 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例． 如图，已知ABC ?，直线l // BC ，且与AB 、AC 所在直线交于点D 和点E ，那么 AD AE DB EC = ． A P B l A B C D E A B C D E A B C D E l l 一、知识要点： 1、相似三角形的性质： 相似三角形的对应角相等，对应边成比例 2、相似三角形的性质定理： 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； 相似三角形的性质定理2：相似三角形的周长的比等于相似比； 相似三角形的性质定理3：相似三角形的面积的比等于相似比的平方； 牛刀小试： 1、如果两个相似三角形的面积之比是4︰9，那么它们对应的角平分线之比是 ． 2、如果两个相似三角形对应高的比是3∶2，那么它们的面积比是 ． 3、如果两个相似三角形的面积之比是9∶16，那么它们对应的中线之比是 ． 4、已知两个相似三角形的相似比是3︰4，则这两个相似三角形的周长比是 ． 5、已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，相似比AB B A 11＝32 ．如果△ABC 的周长为12cm ，那么△A 1B 1C 1 的周长为 ． 6、如果两个相似三角形的周长比是2︰3，那么它们对应的面积比是 ． 7、甲、乙两个等边三角形的面积之比为16︰9，则甲、乙两个等边三角形的边长之比为 ． 8、两个相似三角形的相似比为2︰3，又它们其中一个周长为12，则另一个三角形的周长为 ． 9．把一个三角形变成和它相似的三角形，而面积扩大为原来的100倍，则边长扩大为原来 的 倍。 相似三角形中面积问题 有关三角形或其它图形面积的题目，常用到两个知识点： 一、三角形面积公式：S ＝ 2 1 底×高，这里特别注意图形中“同高”或“同底”这个隐含条件。若两个三角形同高，面积比为底之比；若两三角形同底，面积比为高之比； 思考：若既不同高又不同底呢？ 二、相似三角形的面积比等于相似比的平方。 小试牛刀： 1、在△ABC 中，DE ∥BC ， 2 1 AB AD ，且S △ABC ＝8cm 2，那么S △ADE ＝ cm 2 2、如图(3)，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则△ADE 与四边形DECB 的面积之比为 。 3、如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝3，BD ＝2，则△ADE 与四边形DBCE 的面积比是（ ） （A ）3︰2； （B ）3︰5； （C ）9︰16； （D ）9︰4． 4、如图(2)，C 为线段AB 上的一点，△ACM 、△CBN 都是等边三角形，若AC ＝3，BC ＝2，则△MCD 与△BND 的面积比为 。 5、如图(4)，DE ∥FG ∥BC ，且S △ADE ＝S 梯形DFGE ＝S 梯形FBCG ，则DE :FG: BC ＝ 。 6、如图(5)，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AC 、BD 交于O 点，S △AOD :S △COB ＝1:9，则S △AOD : S △AOB : S △DOC :S △BOC ＝ A B C D M N 图(2) A B D E 图(3) A B C D E F 图(4) G A B D 图(5) O B C A D E 沪教版九年级上册数学第二十四章相 似三角形含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）： ①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（） A.②④ B.②⑤ C.③④ D.④⑤ 2、如图，在正方形ABCD中，E、F分别在CD、AD边上，且CE=DF，连接BE、 CF相交于G点。则下列结论：①BE=CF；②S △BCG = S 四边形DFGE ；③CG2= BG·GE；④ 当E为CD中点时，连接DG，则∠FGD=45°。正确结论的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 3、△ABC中，∠C=90°，∠BAC的平分线交BC于D，且CD=15，AC=30，则AB 的长为（） A.30 B.40 C.50 D.60 4、如图，点F是口ABCD的边CD上一点，直线BF交AD的延长线与点E ，则下列结论错误的是（）. A. B. C. D. 5、如图，点D、E分别在AB、AC上，以下能推得DE∥BC的条件是（） A.AD：AB=DE：BC B.AD：DB=DE：BC C.AD：DB=AE： EC D.AE：AC=AD：DB 6、如图，在△ 中，D,E两点分别在边, 上，∥ .若 ，则为（） A. B. C. D. 7、如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若 AC=2，则AD的长是（） A. B. C. ﹣1 D. +1 8、如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD=6，BD=2，AE=9，则EC的长是( ) A.8 B.6 C.4 D.3 9、如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，分析下列四个结论： ①△AEF∽△CAB；②CF=2AF；③DF=DC；④tan∠CAD= ． 其中正确的结论有（） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 10、如图，矩形中，，以为圆心，3为半径作 ，为上一动点，连接，以为直角边作，使，，则点与点的最小距离为（） 相似三角形 知识点一：图形的相似： 1.相似图形： 相同的图形叫做相似图形。 2.相似多边形： 两个边数相同的多边形满足角分别，边，那么这两个多边形相似。 相似多边形的对应角，对应边，的比叫做相似比。相似多边形的周长比等于，相似多边形的面积比等于。 【类型一：判断相似图形与相似多边形】 1．下列各组图形，一定相似的是（） A．两个等腰梯形B．两个菱形 C．两个正方形D．两个矩形 2．下列图形，一定相似的是（） A．两个直角三角形B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形D．两个菱形 3．如图，在矩形、锐角三角形、正方形、直角三角形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边与原图形的对应边平行，则外框与原图不一定相似的是（） A．矩形B．锐角三角形C．正方形D．直角三角形 4．下列图形中，一定相似的是（） A．一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形 B．有一个内角为80°的两个等腰三角形 C．两个长方形 D ．有一个内角为80°的两个菱形 【类型二：相似多边形的性质】 5．如图所示的两个四边形相似，则下列结论不正确的是（ ） A ．a ＝22 B ．m ＝2n C ．x ＝2 D ．∠α＝60° 6．已知两个矩形相似，第一个矩形的两边长分别是3和4，第二个矩形较短的一边长是4，那么第二个矩形较长的一边长是 ． 7．如图，四边形ABCD ∽四边形A 'B 'C 'D '，若∠B ＝55°，∠C ＝80°，∠A '＝110°，则∠D ＝ ． 8．若两个相似多边形的面积比为4：9，则它们对应边的比是（ ） A ．3：2 B ．2：3 C ．9：4 D ．4：9 9．一个长8cm ，宽6cm 的长方形，按1：2缩小得到的长方形的周长和面积分别是（ ） A ．12cm 14cm 2 B ．14cm 28cm 2 C ．28cm 48cm 2 D ．14cm 12cm 2 知识点一：成比例线段： 1. 比例线段的定义： 对于四条线段d c b a ，，，，如果其中两条线断的比 另外两条线断的比，我们就说这地调线段成比例。即若b a d c ，则这四条线段成比例。 2. 比例线段的性质： ①若 d c b a =，则ad b c 。 ②若 d c b a =，则b b a ± d d c ±。 专项训练年度： 相似三角形的性质及应用--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算； 2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）. 【要点梳理】 要点一、相似三角形的应用 1.测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决. 要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法： 平面镜测量法影子测量法手臂测量法标杆测量法 2.测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 要点诠释： 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【典型例题】 类型一、相似三角形的应用 1. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？ 【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？ ∵AB⊥BC，CD⊥BC, ∴∠ABO=∠DCO=90°. 又∵∠AOB=∠DOC, ∴△AOB∽△DOC. ∴. ∵BO=50m，CO=10m，CD=17m, ∴AB=85m. 即河宽为85m． 【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条. 2. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是 精锐教育1对3辅导教案 相似三角形的判定定理： 相似三角形预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似。（平行即相似） 相似三角形判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似（两角对应相等，两个三角形相似）. 相似三角形判定定理2：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似（两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似） 相似三角形判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似（三边对应成比例，两个三角形相似） 相似三角形判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似（斜边和直角边对应成比例，两个直角三角形相似） 相似三角形的性质定理： 相似三角形的性质定理1：相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比. 例题1：如图，在△ABC 中，D 是AB 的中点，过点D 的直线交边AC 于点E ，交BC 的延长线于点F ， 求证： BF AE CF EC = ． 教学说明：此题考查三角形一边的平行线性质定理推论；注意讲解此类题作平行线的不同方法； 证明：如图，过点C 作CG ∥AB ，交DF 于点G ． ∵CG ∥AD ，∴CG CE AD AE =， 同理：CG CF BD BF =， 又∵AD =BD ， ∴ CG CG AD BD =，∴CE CF AE BF = ∴BF AE CF EC = 试一试：如图，直线BD 交AC 、AB 于D 、F ，交CB 的延长线于E ，且 23AD DC =，73AF FB =．求DF EF 的值． 参考答案：如图，过点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，则有 2 3 AG AD GB DC ==， 又∵ 7 3 AF FB =，∴设AF =7k ，FB =3k ，则AB =10k ， E B F A C D F E C A B D G E B F A C D G F E C A B D 24.4相似三角形的判定 一、单选题 1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是（） A．AB∥CD B．A D ∠=∠ C．OA OB OD OC =D． OA AB OD CD = 【答案】D 【解析】 本题中已知∠AOB＝∠DOC是对顶角，应用两三角形相似的判定定理，即可作出判断．解：A、由AB∥CD能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． B、由∠AOB＝∠DO C、∠A＝∠D能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． C、由OA OB OD OC =、∠AOB＝∠DOC能判定△AOB∽△DOC，故本选项不符合题意． D、已知两组对应边的比相等：OA AB OD CD =，但其夹角不一定对应相等，不能判定△AOB与△DOC相似，故本选 项符合题意． 故选：D 【点睛】 此题考查了相似三角形的判定：①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 2．在△ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出△ABC与△ADE相似的是（） A．AD AE BD EC =B．∠ADE=∠ACB C．AE﹒AC=AB﹒AD D．AD DE AB BC = 【答案】D 【解析】 由题意可得一组对角相等，根据相似三角形的判定：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似添加条件即可． 【详解】 解：有两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项A不符合题意； 两角对应相等，两三角形相似，故选项B不符合题意； 由AE﹒AC=AB﹒AD得AD AC AE AB =，且∠A=∠A，故可得△ABC与△ADE相似，所以选项C不符合题意； 而D不是夹角相等，故选项D符合题意； 故选：D 【点睛】 相似三角形的判定： （1）两角对应相等，两三角形相似； （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似； （3）三边对应成比例，两三角形相似； （4）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似． 3．下列各组图形中，不一定相似的是（） A．各有一个角是100°的两个等腰三角形 B．各有一个角是90°的两个等腰三角形 C．各有一个角是60°的两个等腰三角形 D．各有一个角是50°的两个等腰三角形 【答案】D 【解析】 根据相似图形的定义，以及等边三角形的性质对各选项分析判断求解． 【详解】 全等三角形和相似三角形复习考点攻略 考点一全等三角形的性质和判定 1．全等三角形的性质： （1）全等三角形的对应边相等.对应角相等； （2）全等三角形的周长相等.面积相等； （3）全等三角形对应的中线、高线、角平分线、中位线都相等． 2．三角形全等的判定定理： （1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边” 或“SAS”）； （2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角” 或“ASA”）； （3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）； （4）对于特殊的直角三角形.判定它们全等时.还有HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）． 3. 判定两个三角形全等的思路： （1）已知两边 SAS HL SSS ⎧ ⎪ ⎨ ⎪ ⎩ 找夹角→ 找直角→ 找第三边→ （2）已知一边、一角 AAS SAS ASA AAS ⎧ ⎪ ⎧ ⎪ ⎨⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ 一边为角的对边→找另一角→ 找夹角的另一边→ 一边为角的邻边找夹角的另一角→ 找边的对角→ （3）已知两角 ASA AAS ⎧ ⎨ ⎩ 找夹边→ 找其中一角的对边→ 【例1】如图.在Rt△ABC中.∠ACB=90°.点D.F分别在AB.AC上.CF=C B．连接CD.将线段CD绕点C按顺时针方向旋转90°后得CE.连接EF． （1）求证：△BCD≌△FCE； （2）若EF ∥C D ．求∠BDC 的度数． 【答案】（1）见解析；（2）90° 【解析】（1）∵将线段CD 绕点C 按顺时针方向旋转90°后得CE . ∴CD =CE .∠DCE =90°. ∵∠ACB =90° . ∴∠BCD =90° –∠ACD =∠FCE . 在△BCD 和△FCE 中.CB =CF . ∵BCD =∠FCE .CD =CE .CB =CF .∠BCD =∠FCE . ∴△BCD ≌△FCE ． （2）由（1）可知△BCD ≌△FCE . ∴∠BDC =∠E .∠BCD =∠FCE . ∴∠DCE =∠DCA +∠FCE =∠DCA +∠BCD =∠ACB =90°. ∵EF ∥CD . ∴∠E =180°–∠DCE =90°. ∴∠BDC =90°． 【例2】如图.已知AD BC =.BD AC =．求证：ADB BCA ∠=∠． 【答案】见解析． 【解析】证明：在△ADB 和△BCA 中.AD BC AB BA BD AC =⎧⎪ =⎨⎪=⎩ ∴△ADB ≌△BCA （SSS ）. ∴ADB BCA ∠=∠． 考点二 比例线段及其性质 沪教版初三数学上册 知识点梳理 重点题型（常考知识点）巩固练习 相似形及比例线段（基础）知识讲解 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质； 3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 要点二、相似多边形 【：图形的相似二、图形的相似 2】 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度 成比例，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 要点三、比例线段 【：图形的相似预备知识】 1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc； （2）合比性质：如果 如果 （3）等比性质：如果 （4）比例中项：若a:b=b:c，则=ac，b称为a、c的比例中项．要点诠释： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方 便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 要点四、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项，那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点.≈ 0.618AB(叫做黄金分割值). 要点诠释： 线段的黄金分割点有两个. 【典型例题】 类型一、相似图形 1. 下面给出了一些关于相似的命题，其中真命题有（） （1）菱形都相似；（2）等腰直角三角形都相似；（3）正方形都相似；（4）矩形都相似；（5）正六边形都相似． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C. 【解析】解：（1）所有菱形的对应角不一定相等，故菱形不一定都相似； （2）等腰直角三角形都相似，正确； （3）正方形都相似，正确； （4）矩形对应边比值不一定相等，不矩形不一定都相似； （5）正六边形都相似，正确， 故符合题意的有3个．故选：C． 【总结升华】此题主要考查了相似图形，应注意： ①相似图形的形状必须完全相同； ②相似图形的大小不一定相同； ③两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一 种特殊情况． 举一反三： 【变式】如图，左边是一个横放的长方形，右边的图形是把左边的 长方形各边放大两倍，并竖立起来以后得到的，这两个图形是相似 的吗？ 24.4-5相似三角形（2021上海各区一模和二模） 一、解答题 1． （2021·上海九年级一模）已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB ＝90°，CH△AB ，垂足为点H ．点D 在边BC 上，联结AD ，交CH 于点E ，且CE ＝CD ． （1）求证：△ACE∽△ABD ； （2）求证：△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 （1）先证ACH B ∠=∠，再证AEC ADB ∠=∠，利用相似三角形的判定求解即可； （2）根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出ACE ACD S AE S AD =和ACD ABD S CD S BD =，再根据△ACE∽△ABD ，得出结果． 【详解】 证明（1）∵∠ACB=90°，CH△AB ， ∴∠CHA=90°=∠ACB ， ∴∠ACH+∠CAH=∠CBH+∠CAH ， ∴ACH B ∠=∠， ∵CE CD =， ∴CED CDE ∠=∠， ∵∠CED+∠AEC=∠CDE+∠ADB=180°， ∴AEC ADB ∠=∠， ∴ACE ABD ∽； （2）∵△ACE 与△ACD 同高， ∴ACE ACD S AE S AD =， ∵△ACD 与△ABD 同高， ∴ACD ABD S CD S BD = ， ∵CD=CE ， ∴ACD ABD S CE S BD =， ∵△ACE∽△ABD ， ∴AE CE AD BD = ， ∴ACE ACD ACD ABD S S S S = ， ∴△ACD 的面积是△ACE 的面积与△ABD 的面积的比例中项． 【点睛】 本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质． 2． （2021·上海九年级一模）已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，对角线BD 、AC 相交于点E ，过点 2023年春九年级数学中考复习《相似三角形综合解答题》专题训练（附答案）1．在△ABC中，∠ABC＝120°，线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD，连接BD．（1）如图1，若AB＝BC，求证：BD平分∠ABC； （2）如图2，若AB＝2BC，①求的值； ②连接AD，当S△ABC＝时，直接写出四边形ABCD的面积为． 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC，BC于点D，E，过点B 作AB的垂线交AC的延长线于点F． （1）求证：＝； （2）过点C作CG⊥BF于G，若AB＝5，BC＝2，求CG，FG的长． 3．已知在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，点P是直线AB上任意一点，联结PC．在∠PCD内部作射线CQ与对角线BD交于点Q（与B、D不重合），且∠PCQ＝30°．（1）如图，当点P在边AB上时，如果BP＝3，求线段PC的长； （2）当点P在射线BA上时，设BP＝x，CQ＝y，求y关于x的函数解析式及定义域； （3）联结PQ，直线PQ与直线BC交于点E，如果△QCE与△BCP相似，求线段BP的长． 4．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，点M在BC上，连接AM，作∠AMN＝∠AMB，点N在直线AD上，MN交CD于点E． （1）求证：△AMN是等腰三角形； （2）求证：AM2＝2BM•AN； （3）当M为BC中点时，求ME的长． 5．在平面直角坐标系中，已知OA＝10cm，OB＝5cm，点P从点O开始沿OA边向点A以2cm/s的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1cm/s的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤5）， （1）用含t的代数式表示：线段PO＝cm；OQ＝cm． （2）当t为何值时，四边形P ABQ的面积为19cm2． （3）当△POQ与△AOB相似时，求出t的值． 6．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H．（1）求MH的长度； （2）求证：△MAH∽△MBA； （3）若D是边AB上的点，且△AHD为等腰三角形，直接写出AD的长．沪教版 九年级数学 暑假同步讲义 第9讲 相似三角形的章节复习(解析版)
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