高数下册试题库
高等数学下册试题库
一、填空题
1.
平面01=+++kz y x 与直线1
12z
y x =-=平行的直线方程是___________
2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________
3.
设
k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________
4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧
),(b a ____________
5.
设
平
面
=+++D z By Ax 通过原点，且与平面
526=+-z x 平行，则
__________________,_______,===D B A
6.
设
直
线
)1(2
2
1-=+=-z y m x λ与
平面
25363=+++-z y x 垂直，则
___________________,==λm
7.
直线???==0
1y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________
8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是__________
9.
曲面
222y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________
10. 幂级数
1
2n
n n n x ∞
=∑的收敛半径是____________ 11. 过直线
1 3222x z y --=+=-且平行于直线 1 1 3
023
x y z +-+==
的平面方程是_________________
12.
设),2ln(),(x y x y x f +=则__________)0,1('=y f
13.
设),arctan(xy z =则
____________,__________=??=??y z x z 14.
设,),(22y x y x xy f +=+则=),('
y x f x
____________________
15.
设,y
x z =则=dz _____________
16. 设,),(3
2y x y x f =则=-)
2,1(|dz ______________ 17.
曲线t t z t y t x cos sin ,sin ,cos +===，在对应的0=t 处的切线与平面0=-+z By x 平行，则=B __________
18.
曲面2
2y x z +=在点)2,1,1(处的法线与平面
01=+++z By Ax 垂直，则==B A ________,______________
19. 设}2,0,1{-=a ，}1,1,3{-=b ，则b a ?=________， b a ?=____________ 20.
求通过点)4,1,2(0-M 和z 轴的平面方程为________________
21. 求过点)0,1,0(0M 且垂直于平面023=+-y x 的直线方程为_______________ 22. 向量d ?垂直于向量]1,3,2[-=a ?和]3,2,1[-=b ?，且与]1,1,2[-=c ?
的数量积为6-，则向量d ?=___________________
23. 向量b a ??57-分别与b a ??27-垂直于向量b a ??3+与b a ??4-，则向量a ?与b ?
的夹角为_______________
24.
球面92
22=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上投影的方程为______________
25. 点)1,`
1,2(0-M 到直线l
：?
??=+-+=-+-0320
12z y x z y x 的距离d 是_________________
26.
一直线l 过点)0,2,1(0M 且平行于平面π：042=-+-z y x ，又与直线l ：1
2
2112-=
-=-x y x 相交，则直线l 的方程是__________________ 27.
设____________b 3a 2则,3πb a 2,b 5,a =-=???
? ???==∧?
?????
28.
设知量b ,a ??满足{}1,11,b a 3,b a -=?=??
???，则____________b ,a =???
? ??∧??
29. 已知两直线方程13z 02y 11x :
L 1--=-=-，1
z
11y 22x L :2=-=+，则过1L 且平行2L 的平面方程是__________________
30. 若
2=b a ，π()2
=$a,
b ，则=?b a 2 ，=?b a ____________ 31.
=??=x
z
,x z y 则______________. y z ??=_________________
32. 设 ()()()____________2,1z ,
x y x,sin x 11y z x 32='++-=则
33. 设 ()1ylnx x lny y x ,u
-+= 则 ______________________du =
34. 由方程2z y x xyz 2
22=+++确定()y x
,z z =在点()1,0,1-全微分=dz ______ 35.
()
2
22y x f y z -+= ，其中()u f
可微，则 ___________y
z x
z y =??+??
36.
曲线???=+=1
,
222z y x z 在xOy 平面上的投影曲线方程为 _________________
37. 过原点且垂直于平面022=+-z y 的直线为__________________
38. 过点)2,1,3(--和)5,0,3(且平行于x 轴的平面方程为 _________________ 39. 与平面062=-+-z y x 垂直的单位向量为______________
40.
)y
x (x z 2?=,(u)?可微，则 ____________y z
y x z 2=??+??
41. 已知2
2ln y x z +=，则在点)1,2(处的全微分_________________=dz
42. 曲面
32=+-xy e z z 在点)0,2,1(处的切平面方程为___________________
43.
设()y x z z .= 由方程02=+--z xy
e z e
，求x
z
??=________________ 44. 设
()()xy x g y x f z ,2+-=，其中()t f 二阶可导，()
v u g ,具有二阶连续偏导数 有y
x z
2???=___________________
45.
已知方程y z ln z x = 定义了()y x z z .=，求22x
z
??=_____________ 46. 设
()z y x f u ..=，()0..2
=Φz e x y
，x y sin =，其中
f ，Φ都具有一阶连续偏导数，且0z
≠???
，求
dx
dz
=______________________ 47.
交换积分次序=??-2
210),(y
y
dx y x f dy _______________________________
48. 交换积分次序dx y x f dy dx y x f dy y
y
??
??-+21
20
100
),(),(=___________________
49.
_________==??dxdy xe I D
xy 其中}1
0,10),({≤≤≤≤=y x y x D
50.
=I ________)23(=+??dxdy y x D
，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围
51.
=I ________11
2
2=++??dxdy y
x D
，其中D 是由422≤+y x 所确定的圆域 52.
=I ___________222=--??
dxdy y x a D
，其中D ：222a y x ≤+
53.
=I ________)6(=+??dxdy y x D
，其中D 是由1,5,===x x y x y 所围成的区域
54.
??
-2
2
02
x y dy e dx ＝ _____________________
55.
___________)(22
12
21
=+?
?-
x x dy y x dx
56. 设L 为92
2
=+y x ，则→
→
→-+-=j x x i y xy F )4()22(2
按L 的逆时针方向运动一周所作的功为.___________ 57.
曲线()???+==1,2,7y
3x z 2x y 2
2在点处切线方程为______________________
58.
曲面22
y 2x z +=在（2，1，3）处的法线方程为_____________________ 59.
∑∞
=1
1
n p n ，当p 满足条件 时收敛 60. 级数
()
∑
∞
=---1
2
2
1n n
n n 的敛散性是__________
61.
n
n n x
a
∑∞
=1
在x=-3时收敛，则
n
n n
x a
∑∞
=1
在3 () ∑∞=1 ln n n a 收敛，则a 的取值范围是_________ 63. 级数 )2 1 )1(1(1 n n n n -+∑∞=的和为 64. 求出级数的和()()∑∞ =+-112121 n n n =___________ 65. 级数∑ ∞ =0 2)3(ln n n n 的和为 _____ 66. 已知级数 ∑∞ =1 n n u 的前n 项和1 += n n s n ，则该级数为____________ 67. 幂级数n n n x n ∑∞ =12的收敛区间为 68. ∑∞ =--11 21 2n n n x 的收敛区间为 ，和函数)(x s 为 69. 幂级数∑∞ =≤<0)10(n p n p n x 的收敛区间为 70. 级数∑∞ =+0 11 n n a 当a 满足条件 时收敛 71. 级数 () 21 24 n n n x n ∞ =-∑ 的收敛域为 ______ 72. 设幂级数 n n n a x ∞ =∑的收敛半径为3，则幂级数 1 1 (1) n n n na x ∞ +=-∑的收敛区间为 _____ 73. 2 31 )(2 ++= x x x f 展开成x+4的幂级数为 ，收敛域为 74. 设函数 )21ln()(2x x x f --=关于x 的幂级数展开式为 __________，该幂级数的收敛区间为 ________ 75. 已知 1ln ln ln =++x z z y y x ，则=????????z y y x x z ______ 76. 设 xy y x z )1(22++= y ,那么 =??x z _____________，=??y z _____________ 77. 设 D 是由2=xy 及3=+y x 所围成的闭区域，则=??D dxdy _______________ 78. 设 D 是由1||=+y x 及1||=-y x 所围成的闭区域，则=??D dxdy _______________ 79. =+? C ds y x )(2 2________________,其中C 为圆周)20(sin ,cos π≤≤==t t a y t a x 80. =-?L dx y x )(22________________,其中L 是抛物线2 x y =上从点()0,0到点()4,2的一段弧。 二、选择题 1. 已知a 与b 都是非零向量，且满足 b a b a +=-，则必有（ ） (A)0=-b a ； (B)0=+b a ； (C)0=?b a (D)0=?b a 2. 当a 与b 满足（ ）时，有b a b a +=+； (A)⊥a b ； (B)λ=a b (λ为常数)； (C)a ∥b ； (D)?=a b a b ． 3. 下列平面方程中，方程( )过y 轴； (A) 1=++z y x ； (B) 0=++z y x ； (C) 0=+z x ； (D) 1=+z x ． 4. 在空间直角坐标系中，方程2 221y x z --=所表示的曲面是( )； (A) 椭球面； (B) 椭圆抛物面； (C) 椭圆柱面； (D) 单叶双曲面 5. 直线 1 1 121-+= =-z y x 与平面1=+-z y x 的位置关系是( )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 夹角为π4； (D) 夹角为π 4 -． 6. 若直线(2a +5)x +(a -2)y +4=0与直线(2-a )x +(a +3) y -1=0互相垂直，则（ ）： (A). a =2 (B). a =-2 (C). a =2或a =-2 (D). a =±2或a =0 7. 空间曲线???=-+=5 , 222z y x z 在xOy 面上的投影方程为( ) (A)72 2=+y x ； (B)???==+5722z y x ； (C) ???==+0722z y x ；(D)? ??=-+=0222z y x z 8. 设()21cos ,01,02 x x x f x x -?≠??=??=??，则关于()f x 在0点的6阶导数() ()60f 是（ ） (A)．不存在 (B)．16!- (C)．156- (D)．1 56 9. 设),(y x z z =由方程0),(=--bz y az x F 所确定，其中),(v u F 可微，b a ,为常数，则必有（ ） (A) 1=??+??y z b x z a (B) 1=??+??y z a x z b (C) 1=??-??y z b x z a (D) 1=??-??y z a x z b 10. 设函数()()()()()?? ??? =≠+=0,0,00,0,1sin ,2 2y x y x y x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ）(A)．不连续 (B)．连续但不可微 (C)．可微 (D)．偏导数不存在 11. 设函数 ()y x f ,在点()00,y x 处偏导数存在，则()y x f ,在点()00,y x 处 ( ) (A).有极限 (B).连续 (C).可微 (D).以上都不成立 12. 设 ()dt e x y x t ? -=22 0?，则 =??x ? ( ) (A).e -x 4y 2 (B).e -x 4y 2 2xy (C).e -x 4y 2 (-2t) (D).e -x 4y 2 (-2x 2 y) 13. 已知()y x f ,在()b a ,处偏导数存在，则 ()()()=--+→h b h a f b h a f h ,,lim 0 (A).0 (B).()b a f x ,2' (C).()b a f x ,' (D).()b a f x ,2' 14. 设 ?????=+≠++=0, 00,),(22222 2y x y x y x xy y x f ，则在)0,0(点关于),(y x f 叙述正确的是（ ） (A) 连续但偏导也存在 (B) 不连续但偏导存在 (C) 连续但偏导不存在 (D) 不连续偏导也不存在 15. 函数()() ()0,00 y x 0 y x 0x y y 4x y x,f 22222 2 4 42在=+≠+?? ???+=极限( ) (A).0 (B).不存在 (C).无法确定 (D).以上都不成立 16. 设 ?? ? ?? +=4arctan πxy z ，则( )=??x z (A) ) 4 (1π + +xy xy (B) 2 )4 (11π + ++xy x (C) 2 2)4 (1) 4 (sec π π + ++ xy xy xy (D) 2 )4 (1π + +xy y 17. 关于x 的方程 21x k x -=+有两个相异实根的充要条件是( ) (A).-2 2 (B). -2≤k ≤2 (C).1 2 18. 函数()()()()()?? ??? =≠+=0,0,00,0,1sin ,2 2y x y x y x xy y x f ，则函()y x f ,在()0,0处（ ） (A).不连续 (B)．连续但不可微 (C).可微 (D).偏导数不存在 19. 设 ?? ? ??x y x f ,= 2 2sin y x xy x + ，则 错误! = ( ) (A).22sin y x xy ++22cos y x xy x +( ) ( ) 2222 2y x x y y +-? (B)．2 1sin y y x + (C).2 1sin y y + (D). 2 1cos y y x + 20. 函数 2 2y x z +=在点 ()0,0处 ( ) (A).不连续 (B)．连续且偏导数存在 (C).取极小值 (D).无极值 21. 设 ??? ? ??+=y x xy z ln ,则 y x z ???2 = ( ) (A).0 (B)．1 (C).x 1 (D).12 +y y 22. 设 () 2 2z x yf z x -=+则 z 错误! + y 错误! = ( ) (A). x (B)．y (C).z (D).() 2 2z x yf - 23. 若函数()y x f ,在点()00,y x 处取极大值，则 ( ) (A).()0,00='y x f x ,()0,00='y x f y (B)．若 ()00,y x 是D 内唯一极值点，则必为最大值点 (C). ()[] ()()()0,,0,,,0000002 <''<''?''-''y x f y x f y x f y x f xx yy xx xy 且 D 、以上结论都不正确 24. 判断极限()=+→→y x x y x 0 0lim (A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 25. 判断极限()=+→→2 220 0lim y x y x y x (A).0 (B)．1 (C).不存在 (D).无法确定 26. 设 ()y x f ,可微，()43,x x x f =，则()( )='3,1x f (A).1 (B)．-1 (C).2 (D).-2 27. 设 ()x e yz z y x f 2,,=，其中()y x g z ,=是由方程0=+++xyz z y x 确定的隐函数，则 ()()=-'1,1,0x f (A).0 (B)．-1 (C).1 (D).-2 28. 设()z y x f ,,是k 次齐次函数，即()()z y x f t tz ty tx f k ,,,,=，其中k 为某常数，则下列结论正确的是（ ） (A)()z y x f k z f z y f y x f x t ,,=??+??+?? (B)．()z y x f t z f z y f y x f x k ,,=??+??+?? (C).()z y x kf z f z y f y x f x ,,=??+??+?? (D).()z y x f z f z y f y x f x ,,=??+??+?? 29. 已知 () σd x y I D ??+=22sin cos ，其中D 是正方形域：10,10≤≤≤≤y x ，则( ) (A). 21≤≤I B ．21≤≤I (C).20≤≤I (D).20≤≤I 30. 设()()dudv v u yf xy y x f D ??+=,4,2 ，其中D 是由,0,==x x y 以及1y =围成在，则()()=''y x f xy , (A).x 4 (B)．y 4 (C).x 8 (D).y 8 31. 设(){} ,|,222≥≤+=y a y x y x D ，(){} ,0,|,2221 ≥≥≤+=x y a y x y x D ，则下列命题不对的是：（ ） (A). ????=1 2 22D D yd x yd x σσ (B)． ????=1 2 22D D d xy yd x σ σ (C). ????=1 22 2D D d xy d xy σ σ (D). 02 =??D d xy σ 32. 设 ()y x f ,是连续函数，当0→t 时， ()() 2 2 22,t o dxdy y x f t y x =?? ≤+，则 ()()=0,0f (A).2 (B)．1 (C).0 (D). 2 1 33. 累次积分 ()rdr r r f d ? ? θπ θθθcos 0 20 sin ,cos 可写成（ ） (A). ()dx y x f dy y y ? ?-20 1 , (B)．()dx y x f dy y ? ?-210 1 , (C). ()dy y x f dx ??1 10 , (D).()dy y x f dx x x ? ?-20 1 , 34. 函数()()224,y x y x y x f ---=的极值为（ ） (A).极大值为8 (B)．极小值为0 (C).极小值为8 (D).极大值为0 35. 函数 xy z =在附加条件1=+y x 下的极大值为（ ） (A).21 (B)．21- (C).4 1 D ．1 36. ()=??+σd e D y x ，其中D 由1≤+y x 所确定的闭区域。 (A).1 -+e e (B)．1 --e e (C).2 --e e (D).0 37. ????+=+=D D dxdy y x I dxdy y x I 2231)()(与，其中2)1()2(22≤-+-y x D ：的大小关系为:（ ）。 (A). 21I I = (B). 21I I > (C). 21I I < (D). 无法判断 38. 设 ),(y x f 连续,且??+=D dudv v u f xy y x f ),(),(,其中D 由1,,02===x x y y 所围成,则)( ),(=y x f (A). xy (B). xy 2 (C). 1+xy (D). 8 1+ xy 39. σ d y x y x ?? ≤++1 5 222 2 的值是( ) (A) 35π (B) 65π (C) 710π (D) 11 10π 40. 设D 是 1≤+y x 所围成区域, 1D 是由直线1=+y x 和x 轴, y 轴所围成的区域，则 ()( )=++??dxdy y x D 1 (A) ()dxdy y x D ??++1 14 (B) 0 (C)()dxdy y x D ??++1 12 (D) 2 41. 半径为a 均匀球壳)1( =ρ对于球心的转动惯量为（ ） (A) 0 (B)42a π (C) 44a π (D) 4 6a π 42. 设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则?=+L ds y x 2)23(（ ） (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 43. 下列级数中收敛的是（ ） （A ） ∑∞ =+1 884n n n n （B ）∑ ∞=-1848n n n n （C ）∑ ∞ =+1 842n n n n (D)∑ ∞ =?1 842n n n n 44. 下列级数中不收敛的是（ ） （A ）)11(ln 1 n n +∑∞ = （B ） ∑ ∞ =131n n （C ） ∑∞ =+1) 2(1n n n （D ） ∑∞ =-+14)1(3n n n n 45. 下列级数中收敛的是（ ） （A ）∑∞ =11 n n n n （B ）∑∞ =++1 )2(1 n n n n （C ）∑∞ =?123n n n n （D ） ∑∞ =+-1) 3)(1(4 n n n 46. ∑∞ =1 n n u 为正项级数，下列命题中错误的是（ ） (A)如果1lim 1 <=+∞→ρn n n u u ，则∑∞ =1n n u 收敛。 (B) 1lim 1 >=+∞→ρn n n u u ，则∑∞ =1n n u 发散 (C) 如果 11 <+n n u u ，则∑∞=1 n n u 收敛。 (D)如果 11 >+n n u u ，则∑∞ =1n n u 发散 47. 下列级数中条件收敛的是（ ） （A ） n n n 1 ) 1(11 ∑∞ =+- （B ）21 1 ) 1(n n n ∑∞ =- (C ）1)1(1+-∑∞ =n n n n （D ）)1(1)1(1 +-∑∞ =n n n n 48. 下列级数中绝对收敛的是（ ） （A ）n n n 1 )1(1 ∑∞ =- （B ）∑ ∞ =+-21ln )1(n n n （C ） ∑ ∞ =+-1 1 )1(n n n n （D ）∑∞ =+-21 ln )1(n n n n 49. 当 )(1 ∑∞ =+n n n b a 收敛时，∑∞ =1 n n a 与 ∑∞ =1 n n b （ ） （A ）必同时收敛 （B ）必同时发散 （C ）可能不同时收敛 (D)不可能同时收敛 50. 级数 ∑∞ =1 2n n a 收敛是级数 ∑∞ =1 4n n a 收敛的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 51. ∑∞ =1 n n a 为任意项级数，若 +n a 且0lim =∞ →n n a ，则该级数（ ） （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不确定 52. 下列结论中，正确的为（ ） （A ）若∑∞ =1 n n u 发散，则∑ ∞ =11 n n u 发散)0(≠n u ； （B ）若∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =11 n n u 发散)0(≠n u （C ）若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+ 1 100)10 1 (n n u 收敛； （D ）若 ∑∞ =1 n n u 与∑∞ =1 n n v 发散，则 ∑∞ =+1 )(n n n v u 发散 53. 函数 x x f += 11)(的麦克劳林展开式前三项的和为（ ） （A ）24321x x +- ； （B ）24321x x ++； （C ）28321x x +-； （D ）28321x x ++ 54. 设||2n n n a a p +=，||,1,2,3,2 n n n a a q n -==???，则下列命题正确的是（ ） ． （A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞=∑与1n n q ∞ =∑都收敛； （B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与1n n q ∞ =∑都收敛； （C ）若 1 n n a ∞ =∑条件收敛，则 1 n n p ∞ =∑与1 n n q ∞ =∑的敛散性都不定； （D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞=∑与1 n n q ∞ =∑的敛散性都不定. 55. 设 , 则（ ） (A) 与 都收敛. (B) 与 都发散. (C) 收敛, 而 发散. (D) 发散, 收敛 56. 75、 若 在 处收敛, 则此级数在 处（ ） (A) 条件收敛, (B) 绝对收敛, (C) 发散, (D) 收敛性不确定 57. 设幂级数 的收敛半径为3, 则幂级数 的必定收敛的区间为 （ ） (A) (－2, 4) (B) [－2, 4] (C) (－3, 3) (D) (－4, 2) 58. 若幂级数n n n x a ∑∞ =1 的收敛半径为 R ，则幂级数() n n n x a 21 -∑∞ =的收敛开区间为（ ）（A ） ()R R ,- （B ）()R R +-1,1 （C ） ()∞+∞-, （D ）()R R +-2,2 59. 级数 ∑ ∞ =--1 )5(n n n x 的收敛区间（ ） （A ）（4，6） （B ） [)6,4 （C ）(]6,4 （D ）[4，6] 60. 若级数 ∑ ∞ =--1 1 2)2(n n n a x 的收敛域为[)4,3，则常数a =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）以上都不对 61. 若幂级数 () n n n x a 11 -∑∞ =在 1-=x 处收敛，则该级数在2=x 处（ ） （A ）条件收敛 （B ）绝对收敛 （C ）发散 （D ）敛散性不能确定 62. 函数 2 )(x e x f -=展开成x 的幂级数为（ ） （A ） ∑ ∞ =0 2! n n n x （B ）∑ ∞ =?-0 2!)1(n n n n x （C ）∑ ∞=0! n n n x （D ）∑ ∞ =?-0 !)1(n n n n x 63. 函数 ()2 4 1x x x f -= 展开成x 的幂级数是（ ） （A ） n n x 21 ∑ ∞ = （B ） n n n x 21 ) 1(∑∞ =- （C ） n n x 22 ∑ ∞ = （D ） n n n x 22 ) 1(∑∞ =- 64．下列各组角中，可以作为向量的方向角的是（ ） （A ）3π，4π，3 2π （B ）3π-，4π，3π （C ）6π，π，6π （D ）32π，3π，3 π 65．向量()z y x a a a ,,=与x 轴垂直，则（ ） （A ）0=x a （B ） 0=y a （C ）0=z a （D ） 0==x y a a 66．设 ()()1,1,1,1,1,1--=-=b a ，则有（ ） （A ）b a // （B ）b a ⊥ （C ）3,π=???? ??∧b a （D ）3 2,π =???? ??∧b a 67．直线? ??=+=+1212z y y x 与直线11 011--= -=z y x 关系是( )． (A) 垂直； (B) 平行； (C) 重合； (D) 既不平行也不垂直． 68．柱面02 =+z x 的母线平行于（ ） （A ）y 轴 （B ）x 轴 （C ） z 轴 （D ） zox 面 69．设c b a c a b a ,,,?=?均为非零向量，则（ ） （A ） c b = （B ）)//(c b a - （C ） )(c b a -⊥ （D ）c b = 70．函数 ()x y ln =z 的定义域为（ ） （A ）0,0≥≥y x （B ） 0,00,0≤≤≥≥y x y x 或 （C ） 0,0< 71．()2 2,y x xy y x f +=，则()=?? ? ??1,x y f （A ） 2 2y x xy + （B ） xy y x 2 2+ （C ） 1 2 +x x （D ） 421x x + 72．下列各点中，是二元函数()x y x y x y x f 933,233-+--=的极值点的是（ ） （A ） ()1,3-- （B ） ()1,3 （C ）()1,1-． （D ）()1,1-- 73． =--? ? -dy y x dx x 210 2210 1（ ） （A ） 2 3π （B ） 32π （C ） 34π （D ）6π 74．设 D 是由2=x ， 1=y 所围成的闭区域，则=??dxdy xy D 2（ ） （A ） 34 （B ） 38 （C ） 3 16 （D ）0 75．设D 是由π≤≤≤≤y x 0,10所确定的闭区域，则 ()=??dxdy xy y D cos （ ） （A ） 2 （B ） π 2 （C ） 1+π （D ）0 三、计算题 1、下列函数的偏导数 （1）62456y y x x z +-=； （2）)ln(222y x x z +=； （3）y x xy z +=； （4）)(cos )sin(2xy xy z +=； （5） )sin (cos e y x y z x +=； （6）??? ? ??=y x z 2tan ； （7） x y y x z cos sin ?=； （8） y xy z )1(+=； （9） )ln ln(y x z +=； （10）xy y x z -+=1arctan ； （11）) (222e z y x x u ++=； （12）z y x u = (13)2 2 2 1z y x u ++= ； （14）z y x u =； （15）∑==n i i i x a u 1 （i a 为常数）； （16）ji ij n j i j i ij a a y x a u == ∑=,1 ,且为常数。 （17）t y t x e z y x ===-, sin , 2 t y t x e z y x ===-, sin , 2；求 t z d d 2．设 2 2),(y x y x y x f +-+=，求 )4,3(x f 及)4,3(y f 。 3．设 2 e y x z =，验证02=??+??y z y x z x 。 4．求下列函数在指定点的全微分： （1）223),(xy y x y x f -=，在点)2,1(； （2）)1ln(),(22y x y x f ++=，在点)4,2(； （3） 2sin ),(y x y x f =，在点)1,0(和?? ? ??2,4π。 5．求下列函数的全微分： （1）x y z =； （2）xy xy z e =； （3）y x y x z -+= ； （4）2 2 y x y z += ； （5）2 22z y x u ++=； （6）)ln(222z y x u ++=。 6．验证函数 ?? ??? =+≠++=0,0,0,),(222222 y x y x y x xy y x f 在原点)0,0(连续且可偏导，但它在该点不可微。 7．验证函数 ?? ???=+≠+++=0,0,0,1sin )(),(222 22222y x y x y x y x y x f 的偏导函数),(),,(y x f y x f y x 在原点（0，0）不连续，但它在该点可微。 8．计算下列函数的高阶导数： （1）x y z arctan =，求2222 2,,y z y x z x z ???????； （2）)cos()sin(y x y y x x z +++=，求2222 2,,y z y x z x z ???????； （3）xy x z e =，求2 32 3,y x z y x z ??????； （4）)ln(cz by ax u ++=，求 2 2444,y x z x u ?????； （5）q p b y a x z )()(--=，求q p q p y x z ???+； （6）t y t x y x t z ==-+=,1), 23tan(2 2，求 r q p r q p z y x u ????++。 （7）x a y sin =，求u 3 d ； 第 八 章 测 验 题 一、选择题： 1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→ ?= ( ). (A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→ . 向量a b →→?与二向量a → 及b → 的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 . 3、设向量Q → 与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有( ) 5、2 () αβ→ → ±=( ) (A)2 2 αβ→→±； (B)2 2 2ααββ →→→ →±+； (C)2 2 αα ββ →→→ →±+； (D)2 2 2αα ββ →→→ →±+. 6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面( ). (A) 平行于轴； x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y . 7、设直线方程为111122 00A x B y C z D B y D +++=??+=?且 111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于 轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面2 50z xy yz x +--=与直线 5 13 x y -=- 10 7 z -= 的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)； (C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).-- 9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160 x y z ?+=?=?，则此球面的方程是( ). (A)222 6160x y z z ++++=； (B)2 2 2 160x y z z ++-=； (C)2 2 2 6160x y z z ++-+=； (D)2 2 2 6160x y z z +++-=. 10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ). (A)2221x y z ++=； (B)22 4x y z +=； (C)22 2 14y x z -+=； (D)2221916 x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3 π ，且2,5a b →→==，求 (2)(3)a b a b →→→→ -?+ . 三、求向量{4,3,4}a → =-在向量{2,2,1}b → =上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量 {1,3,1};{2,1,3}a b → → =-=-{}2,1,3b =-，求其面积 . 五、已知,,a b →→ 为两非零不共线向量，求证： ()()a b a b →→→→-?+2()a b →→ =?. 六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距 的一半，试求该动点轨迹曲面与 yoz 面的交线方程 . 高等数学下试题及参考 答案 内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128） 华南农业大学期末考试试卷（A 卷 ） 2016~2017学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．二元函数2ln(21)z y x =-+的定义域为 。 2. 设向量(2,1,2)a =，(4,1,10)b =-，c b a λ=-，且a c ⊥，则λ= 。 3．经过(4,0,2)-和(5,1,7)且平行于x 轴的平面方程为 。 4．设yz u x =，则du = 。 5．级数11 (1)n p n n ∞ =-∑，当p 满足 条件时级数条件收敛。 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．微分方程2()'xy x y y +=的通解是 （ ） A ．2x y Ce = B ．22x y Ce = C ．22y y e Cx = D ．2y e Cxy = 2 ．求极限(,)(0,0)lim x y →= （ ） A ．14 B ．12- C ．14- D ．12 3．直线:3 27 x y z L = =-和平面:32780x y z π-+-=的位置关系是 （ ） A ．直线L 平行于平面π B ．直线L 在平面π上 C ．直线L 垂直于平面π D ．直线L 与平面π斜交 4．D 是闭区域2222{(,)|}x y a x y b ≤+≤ ，则D σ= （ ） A ．33()2 b a π- B ．332()3 b a π- C ．334()3 b a π - D ． 3 33()2 b a π- 5．下列级数收敛的是 （ ） A ．11(1)(4)n n n ∞ =++∑ B ．2111n n n ∞=++∑ C ．1 1 21n n ∞ =-∑ D ．n ∞ = 三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程'x y y e +=满足初始条件0x =，2y =的特 解。 2. 计算二重积分22 D x y dxdy x y ++?? ，其中22 {(,):1,1}D x y x y x y =+≤+≥。 高等数学（下册）试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ； 《高等数学》试卷1（下） 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a +=++-=2,2，则有（ ）. A.a ∥b B.a ⊥b C.3,π=b a D.4 ,π=b a 3.函数11 22222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+ A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x -21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 23+--=xy xy y x z ，则=???y x z 2_____________________________. 4. x +21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ???? 3.计算σd y x D ??+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 四.应用题（10分?2） 1.要用铁板做一个体积为23 m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ . 试卷1参考答案 一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题 1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.1962 2--y y x . 4. ()n n n n x ∑∞=+-01 21. 一、填空题（共21分 每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为122++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ???+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为2π． 3．设函数22232),,(z y x z y x f ++=，则=)1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数∑∞=1n n u 收敛，则=∞→n n u lim 0． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于21π +． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式x axe y =*． 二、解答题（共18分 每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 2032z y x z y x 的平面方程． 解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(222y x z +-=及22y x z +=所围成的区域． 解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分) ???Ωv z y x f d ),,(???-=221020d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-=D y x y x e I d d )(22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-=2020d d 2r r e I r πθ??-- =-20220)(d d 212r e r πθ?-?-=202d 221r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分 每题7分） 1．设v ue z =，而22y x u +=，xy v =，求z d ． 解：)2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,． 解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分 ?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有 向弧段． 解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林 公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ=-? =022 (7分) 4．设曲线积分?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ， 《高等数学》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A )、必要条件 B )、充分条件 C )、充要条件 D )、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、 2arctan 1dx dx x x =+? D ）、2 11 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=???? ??'? 6. ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、 C bx bx b x +-sin cos B ） 、C bx bx b x +-cos cos C ）、C bx bx bx +-sin cos D ）、C bx b bx bx +-cos sin 南京工业大学继续教育学院南京高等职业技术学校函授站 《高等数学一》课程复习题库 选择题 sin3x / 、 1. Iim () x 0 x 1 A.0 B. C.1 D.3 3 sin ax 2. Iim 2,则 a =() x 0 2x 1 A.2 B. - C.4 D. 2 sin5x sin 3x Iim x 0 A.0 B. - C.1 D.2 2 4.极限Iim tan3x 1等于 （ ) x 0 x A 0 B 3 C 7 D 5 5.设 f x 2 x x,x 0 且f x 在x 0处连续，则a （） a,x 0 3. A.0 B. 1 C.1 D.2 6.设 f x a x x 1，x 1 ，且f x 在x 1处连续，则a A.1 B. 1 C.-2 D. 2 1 2 x , x 2 7.设 f x a,x 0 在x 0处连续，则a () x, x 0 A.1 B. 1 C.0 D. 2 8?设y COsx2，贝U y () 2 A. sin x B. sin x2 C. 2 2xsin x D. 2xsin x2 9.设 y x 2 1，则 y = () x A.2x 3 B. 2x 1 C. 2x 3 D. 2x 1 1 10.设 y x 5 'sin x 贝U y =( ) A. 5x 6 cosx B 5x 4 cosx C. 5x 4 cosx D. 5x 6 cosx 11.设 1 y 5 x ，则dy () A. 5x 4 . B. 5x 4dx C. 5x 4dx D. 5x 4dx 12.设 y 1 cos2x,则dy =() 13. 设 y In 14 .叽 A. e B. C. D. 15. lim 1 x 0 2x 丄 2x oo e 2 16. A. e B. C.0 D. 1 A. sin 2xdx sin 2xdx C. 2sin 2xdx D. 2sin 2xdx A.- 1 dx -2 x dx -2 C. 2xdx x 2 D. 2xdx 2" x 高等数学（下册）考试试卷（一） 一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++?? ∑ ds y x )12 2（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数 ∑∞ =+1 )1(1 n n n 的和为 。 二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续； （B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在； （C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小； （D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（ ） （A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（ ） （A ）4 ? ??2 201 3 cos sin π π ???θdr r d d ；（B ）???20 1 2 sin π π??θdr r d d ； 期末总复习题 一、填空题 1、已知向量2a i j k =+-r r r r ，2b i j k =-+r r r r ，则a b ?r r = -1 。 2、曲线2x z =绕z 轴旋转所得曲面方程为 z=x 2 + y 2 。 3、级数1113n n n ∞=?? + ???∑的敛散性为 发散 。 4、设L 是上半圆周222a y x =+（0≥y ），则曲线积分221L ds x y +?= a π 5．交换二重积分的积分次序：??--012 1),(y dx y x f dy ＝dy y x dx ),(f 0x -121?? 6．级数∑∞=+1)1(1 n n n 的和为 1 。 二、选择题 1、平面0)1(3)1(=+++-z y x 和平面02)1()2(=+--+z y x 的关系 （ B ） A 、重合 B 、平行但不重合 C 、一般斜交 D 、垂直 2. 下列曲面中为母线平行于z 轴的柱面的是 （ C ） A 、2221x z += B 、2221y z += C 、2221x y += D 、22221x y z ++= 3. 设)0(4:22>≤+y y x D ,则32222ln(1) 1D x x y dxdy x y ++=++??（ A ） A 、2π B 、0 C 、1 D 、4π 4、设)0(4:22>≤+y y x D ，则??=D dxdy （ A ） A 、π16 B 、π4 C 、π8 D 、π2 5、函数22504z x y =--在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ） A 、216i j -+ B 、216i j -- C 、216i j + D 、216i j - 6、微分方程222()()0y y y '''+-=的阶数为 （ B ） A 、1 B 、2 C 、4 D 、6 7．下列表达式中，微分方程430y y y ''-+=的通解为 （ D ） A 、3x x y e e C =++ B 、3x x y e Ce =+ C 、3x x y Ce e =+ D 、312x x y C e C e =+ 8．lim 0n n u →∞=为无穷级数1 n n u ∞=∑收敛的 （ B ） A 、充要条件 B 、 必要条件 C 、充分条件 D 、什么也不是 三、已知1=a ?，3=b ?，b a ??⊥，求b a ??+与b a ? ?-的夹角.P7 练习题： 一、填空 1、设)(32xy x y z ?+= ，其中有?连续导数，求y z xy x z x ??-??2= . 答案：2 y - 2、求由曲线? ??==+012 2322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点)2,3,0(处的指向外侧 的单位法向量是 。 答案： )3,2,0(5 1 3.已知级数 ∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和()Λ,2,1,1 3=+= n n n S n ,则此级数的通项n u = . 答案：() 13 += n n u n 4、L:沿椭圆122 22=+b y a x 逆时针方向绕一周，计算?--+L dy y x dx y x )4()23(= 。 答案： ab π3- 5、 设f(x)是以π2为周期的周期函数，它在区间],[ππ-上定义为???≤<-≤<=0 ,00,)(x x e x f x ππ ， 则f(x)的付里叶级数在π=x 收敛于________2 π e _______ 6、设2 2 2 z y x r ++=，则计算r grad 1= 答案：)(113k z j y i x r r grad ρ ρρ++-= 7、确定常数m,使 ??=+D dxdy y x m 2)cos(，其中D 是由直线2 ,2,π = ==x x y x y 所围成 的区域，则m= 。 答案 m=-3 8. 微分方程0152=-'+''y y y 的通解是x x e C e C y 2 5 231+=- 二、选择 1、曲面22y x z +=包含在圆柱x y x 222=+内部的那部分面积S=( B ) (A) π3 (B) π2 (C) π5 (D) π22 2、 ?? ?=++=++1 02 22z y x z y x 则dz dx =（ B ） 高等数学下册试题库 一、填空题 1. 平面01=+++kz y x 与直线 1 1 2 z y x = -= 平行的直线方程是___________ 2. 过点)0,1,4(-M 且与向量)1,2,1(=a 平行的直线方程是________________ 3. 设k i b k j i a λ+=-+=2,4，且b a ⊥，则=λ__________ 4. 设1)(,2||,3||-===a b b a ，则=∧ ),(b a ____________ 5. 设平面0=+++D z By Ax 通过原点，且与平面0526=+-z x 平行，则 __________________,_______,===D B A 6. 设直线 )1(2 21-=+= -z y m x λ与平面025363=+++-z y x 垂直，则 ___________________,==λm 7. 直线???==0 1 y x ，绕z 轴旋转一周所形成的旋转曲面的方程是_______________ 8. 过点)1,0,2(-M 且平行于向量)1,1,2(-=a 及)4,0,3(b 的平面方程是 __________ 9. 曲面2 22 y x z +=与平面5=z 的交线在xoy 面上的投影方程为__________ 10. 幂级数1 2 n n n n x ∞ =∑ 的收敛半径是____________ 11. 过直线 1 322 2 x z y --=+= -且平行于直线 1 1 3 0 2 3 x y z +-+= =的平面方程是 _________________ 12. 设),2ln(),(x y x y x f + =则__________ )0,1(' =y f 13. 设),arctan(xy z =则____________,__________ =??=??y z x z 14. 设,),(2 2 y x y x xy f +=+则=),(' y x f x ____________________ 高等数学(下册)试卷(一) 一、填空题(每小题3分,共计24分) 1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ,1=y 所围图形的面积用二重积分表示 为 ,其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧,则 =++??∑ds y x )122（ 。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为 。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为 。 8、级数∑∞ =+1)1(1n n n 的与为 。 二、选择题(每小题2分,共计16分) 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件就是( ) (A)),(y x f 在),(00y x 处连续; (B)),(y x f x ',),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在; (C) y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(22→?+?y x 时,就是无穷小; (D)0)()(),(),(lim 2200000 0=?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数,则2222y u y x u x ??+??等于( ) (A)y x +; (B)x ; (C)y ; (D)0 。 3、设Ω:,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分???Ω= zdV I 等于( ) (A)4 ???20201 03cos sin ππ ???θdr r d d ; 一、单项选择题（6×3分） 1、设直线，平面，那么与之间的夹角为 ( ) B. C. D. 2、二元函数在点处的两个偏导数都存在是在点处可微的（） A.充分条件 B.充分必要条件 C.必要条件 D.既非充分又非必要条件 3、设函数，则等于（） A. B. C． D. 4、二次积分交换次序后为（） A. B. C. D. 5、若幂级数在处收敛，则该级数在处（） A.绝对收敛 B.条件收敛 C.发散 C.不能确定其敛散性 6、设是方程的一个解，若，则在处（） A.某邻域内单调减少 B.取极小值 C.某邻域内单调增加 D.取极大值 二、填空题（7×3分） 1、设＝（4，-3，4），＝（2，2，1），则向量在上的投影 ＝ 2、设，，那么 3、D为，时， 4、设是球面，则＝ 5、函数展开为的幂级数为 6、＝ 7、为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为 三、计算题(4×7分) 1、设，其中具有二阶导数，且其一阶导数不为 1，求。 2、求过曲线上一点（1，2，0）的切平面方程。 3、计算二重积分，其中 4、求曲线积分，其中是沿曲线由点（0，1）到点（2，1）的弧段。 5、求级数的和。 四、综合题(10分) 曲线上任一点的切线在轴上的截距与法线在轴上的截距之比为3，求此曲线方程。 五、证明题 (6分) 设收敛，证明级数绝对收敛。 一、单项选择题（6×3分） 1、 A 2、 C 3、 C 4、 B 5、 A 6、 D 二、填空题（7×3分） 1、2 2、 3、 4 、 5、6、0 7、 三、计算题(5×9分) 1、解：令则，故 2、解：令 则 所以切平面的法向量为： 切平面方程为： 3、解：＝＝＝ 4、解：令，则 一.选择题（3分?10） 1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 2.向量j i b k j i a ρρρ ρρ??+=++-=2,2，则有（ ）. A.a ρ∥b ρ B.a ρ⊥b ρ C.3,π=b a ρρ D.4 ,π=b a ρρ 3.函数1 122 2 22-++ --= y x y x y 的定义域是（ ）. A.(){ }21,22≤+≤y x y x B.( ){} 21,22<+ 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）. A.x ce y = B.x e y = C.x cxe y = D.cx e y = 二.填空题（4分?5） 1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设133 2 3 +--=xy xy y x z ，则 =???y x z 2_____________________________. 4. x +21 的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分?6） 1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求 .,y z x z ???? 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程052422 2 2 =-+-+-z x z y x 确定，求 .,y z x z ???? 3.计算 σd y x D ?? +2 2sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-'在00 ==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分?2） 第二学期期末考试试卷 一、 填空题(每空 3 分，共 15 分) 1. 已知向量()1,1,4r a =-,()3,4,0r b =,则以r a ,r b 为边的平行四边形的面积等于. 2. 曲面sin cos z x y =在点1,,442ππ?? ??? 处 的切平面方程是. 3. 交换积分次序()22 0,x dx f x y dy = ??. 4. 对于级数11 n n a ∞ =∑（a ＞0），当a 满足条件 时收敛. 5. 函数1 2y x =-展开成x 的幂级数为 . 二、 单项选择题 (每小题3分,共15分) 1. 平面20x z -=的位置是 （ ） （A ）通过y 轴 （B ）通过x 轴 （C ）垂直于y 轴 （D ）平行于xoz 平面 2. 函数(),z f x y =在点()00,x y 处具有偏导数 ()00,x f x y '，()00,y f x y ',是函数在该点可微分的 （ ） （A ）充要条件 （B ）充分但非必要条件 （C ）必要但非充分条件 （D ）既非充分又非必要条件 3. 设()cos sin x z e y x y =+，则10 x y dz ===（ ） （A ）e （B ）()e dx dy + （C ）1()e dx dy -+ （D ）()x e dx dy + 4. 若级数()11n n n a x ∞ =-∑在1x =-处收敛， 则此级数在2x =处（ ） （A ）敛散性不确定 （B ）发散 （C ）条件收敛 （D ）绝对收敛 5. 微分方程y xy x '-=的通解是（ ） （A ）212 1x y e =- （B ）212 1x y e -=- （C ）212 x y Ce -= （D ）212 1x y Ce =- 三、(本题满分8分) 设平面通过点()3,1,2-，而且通过直线43521 x y z -+==， 求该平面方程． 四、(本题满分8分) 设(),z f xy x y =+，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数， 试求z x ??和2z x y ???． 五、(本题满分8分) 计算三重积分y zdxdydz Ω =???， 其中 (){},,01,11,12x y z x y z ≤≤-≤≤≤≤． 六、(本题满分8分) 计算对弧长的曲线积分L ?， 《高等数学》 专业 年级 学号 姓名 一、判断题. 将√或×填入相应的括号内.（每题2分，共20分） （ ）1. 收敛的数列必有界. （ ）2. 无穷大量与有界量之积是无穷大量. （ ）3. 闭区间上的间断函数必无界. （ ）4. 单调函数的导函数也是单调函数. （ ）5. 若)(x f 在0x 点可导，则)(x f 也在0x 点可导. （ ）6. 若连续函数)(x f y =在0x 点不可导，则曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点没有切线. （ ）7. 若)(x f 在[b a ,]上可积，则)(x f 在[b a ,]上连续. （ ）8. 若),(y x f z =在（00,y x ）处的两个一阶偏导数存在，则函数),(y x f z =在（00,y x ）处可微. （ ）9. 微分方程的含有任意常数的解是该微分方程的通解. （ ）10. 设偶函数)(x f 在区间)1,1(-内具有二阶导数，且 1)0()0(+'=''f f , 则 )0(f 为)(x f 的一个极小值. 二、填空题.（每题2分，共20分） 1. 设2 )1(x x f =-，则=+)1(x f . 2. 若1 212)(11+-= x x x f ，则=+→0 lim x . 3. 设单调可微函数)(x f 的反函数为)(x g , 6)3(,2)1(,3)1(=''='=f f f 则 =')3(g . 4. 设y x xy u + =, 则=du . 5. 曲线3 26y y x -=在)2,2(-点切线的斜率为 . 6. 设)(x f 为可导函数,)()1()(,1)1(2 x f x f x F f +==',则=')1(F . 7. 若 ),1(2)(0 2x x dt t x f +=? 则=)2(f . 8. x x x f 2)(+=在[0,4]上的最大值为 . 9. 广义积分 =-+∞? dx e x 20 . 10. 设D 为圆形区域=+≤+??dxdy x y y x D 5 2 2 1, 1 . 三、计算题（每题5分，共40分） 1. 计算)) 2(1 )1(11(lim 222n n n n ++++∞→Λ. 2. 求10 3 2 )10()3()2)(1(++++=x x x x y ΛΛ在（0，+∞）内的导数. 3. 求不定积分 dx x x ? -) 1(1. 4. 计算定积分 dx x x ? -π 53sin sin . 5. 求函数2 2 3 24),(y xy x x y x f -+-=的极值. 6. 设平面区域D 是由x y x y == ,围成，计算dxdy y y D ?? sin . 7. 计算由曲线x y x y xy xy 3,,2,1====围成的平面图形在第一象限的面积. 8. 求微分方程y x y y 2- ='的通解. 四、证明题（每题10分，共20分） 1. 证明：tan arc x = )(+∞<<-∞x . 2017学年春季学期 《高等数学Ⅰ（二）》期末考试试卷（A ） 注意： 1、本试卷共 3 页； 2、考试时间110分钟； 3、姓名、学号必须写在指定地方 一、单项选择题（8个小题，每小题2分，共16分）将每题的正确答案的代号A 、B 、C 或D 填入下表中． 1．已知a 与b 都是非零向量，且满足-=+a b a b ，则必有（ ）. (A)-=0a b (B)+=0a b (C)0?=a b (D)?=0a b 2.极限2 2 22 00 1 lim()sin x y x y x y →→+=+( ). (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在 3．下列函数中，d f f =?的是( ). （A ）(,)f x y xy = （B ）00(,),f x y x y c c =++为实数 （C ）(,)f x y = （D ）(,)e x y f x y += 4．函数(,)(3)f x y xy x y =--，原点(0,0)是(,)f x y 的( ). （A ）驻点与极值点 （B ）驻点，非极值点 （C ）极值点，非驻点 （D ）非驻点，非极值点 5．设平面区域2 2 :(1)(1)2D x y -+-≤，若1d 4D x y I σ+= ??，2D I σ=，3D I σ=，则有（ ）. （A ）123I I I << （B ）123I I I >> （C ）213I I I << （D ）312I I I << 6．设椭圆L ： 13 42 2=+y x 的周长为l ，则22(34)d L x y s +=?（ ）. (A) l (B) l 3 (C) l 4 (D) l 12 7．设级数 ∑∞ =1 n n a 为交错级数，0()n a n →→+∞，则（ ）. (A)该级数收敛 (B)该级数发散 (C)该级数可能收敛也可能发散 (D)该级数绝对收敛 8.下列四个命题中，正确的命题是（ ）. （A ）若级数 1 n n a ∞ =∑发散，则级数21 n n a ∞ =∑也发散 （B ）若级数21n n a ∞ =∑发散，则级数1n n a ∞ =∑也发散 （C ）若级数 21n n a ∞ =∑收敛，则级数 1n n a ∞ =∑也收敛 （D ）若级数 1 ||n n a ∞=∑收敛，则级数2 1 n n a ∞=∑也收敛 二、填空题(7个小题，每小题2分，共14分)． 1.直线34260 30 x y z x y z a -+-=?? +-+=?与z 轴相交，则常数a 为 . 2．设(,)ln(),y f x y x x =+则(1,0)y f '=______ _____. 3．函数(,)f x y x y =+在(3,4)处沿增加最快的方向的方向导数为 . 4．设2 2 :2D x y x +≤，二重积分 ()d D x y σ-??= . 5．设()f x 是连续函数，22{(,,)|09}x y z z x y Ω=≤≤--，22()d f x y v Ω +???在柱面坐标系下 的三次积分为 . 6.幂级数 1 1 (1) ! n n n x n ∞ -=-∑的收敛域是 . 7.将函数2 1,0 ()1,0x f x x x ππ--<≤??=?+<≤?? 以2π为周期延拓后，其傅里叶级数在点x π=处收敛 于 . 三峡大学 试卷纸 教学班号 序号 学号 姓名 ……………………．……答 题 不 要 超 过 密 封 线…………．………………………………同济版高等数学下册练习题附答案
高等数学下试题及参考答案
高等数学下册试题及答案解析word版本
最新高等数学下考试题库(附答案)
高等数学(下册)期末复习试题及答案
高等数学试题及答案91398
(完整版)高数一试题库
高等数学下册期末考试题及答案
大一高等数学试题及答案
(完整)高数下练习题
高数下册试题库
高等数学下册试题及答案解析
大一下高数练习题
大学高等数学下考试题库(及答案)
2019高数(下)试题及答案
(完整)高等数学练习题(附答案)
高数下期末考试试题及答案解析