11-12学年高二数学课件：111变化率问题
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5.1.1变化率问题课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第二册
4.8
.
计算运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度，发现了什么？ 49
用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？
运动员在 0 t 48 这段时间里的平均速度为 0. 显然，在这段时间内， 49
运动员并不处于静止状态. 因此，用平均速度不能准确反映运动员在这 一时间段里的运动状态.
1.瞬时速度的概念：
1.999999
x 0
x
k Δx 2
0.01
2.01
0.001
2.001
0.0001
2.0001
0.00001
2.00001
0.000001
2.000001
……
……
当 x 无限趋近于 0 时，即无论 x 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边
无限趋近于 1 时，割线 P0 P 的斜率 k 都无限趋近于 2.
给出 t 更多的值，利用计算工具计算对应的平均速度 v 的值. 当 t 无限趋近于 0 时，
即无论 t 从小于 1 的一边，还是从大于 1 的一边无限趋近于 1 时，平均速度 v 都无限
趋近于 5 .
由
v
h(1 Δt) h(1) (1 Δt) 1
4.9Δt
5
发现，当
t
无限趋近于
0
时，
4.9Δt
也无限趋近于
0，
所以 v 无限趋近于 5 ，这与前面得到的结论一致.
数学中，我们把
5
叫做“当
t
无限趋近于
0
时，
v
h(1
Δt) Δt
h(1)
的极限”，记为
h(1 Δt) h(1)
lim
5 .
最新人教版高中数学选修1.1.1变化率问题. (2)ppt课件
1.1 变化率与导数
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入
了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然 科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速 度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
v＝Δ Δst＝gt0Δt＋Δ 12gt（Δt）2＝g·t0＋12Δt
变式训练 本例条件不变,求: (1)物体在t＝10 s到t＝10.1 s,这段时间内的平均速度;
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-
2+Δy),则Δy/Δx=( )
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
v h h t2 h t1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知，
，
h( 65) h(0)
所以，
49 h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
t
虽然运动员在
98
0 这t 段46时95 间里的平均速度为
49
，
一．创设情景 为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入
了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然 科学中四类问题的处理直接相关：
一、已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速 度与加速度等;
二、求曲线的切线; 三、求已知函数的最大值与最小值; 四、求长度、面积、体积和重心等。 导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最 大（小）值等问题最一般、最有效的工具。 导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量 变化的快慢程度．
v＝Δ Δst＝gt0Δt＋Δ 12gt（Δt）2＝g·t0＋12Δt
变式训练 本例条件不变,求: (1)物体在t＝10 s到t＝10.1 s,这段时间内的平均速度;
练习
1.已知函数f(x)=-x2+x的图象上的一点A(-1,-2)及临近一点B(-1+Δx,-
2+Δy),则Δy/Δx=( )
里的平均速度,并思考下面的问题 :
1 运动员在这段时间里是静止的吗? 2 你认为用平均速 度描述 运动员运 动
状态有什么问题吗 ?
v h h t2 h t1
t
t2 t1
探究过程：如图是函数h(t)= -4.9t2+6.5t+10的图像，结合
图形可知，
，
h( 65) h(0)
所以，
49 h
h( 65) h(0)
v 49
0(s / m)
65 0
49
O t 65 65
t
虽然运动员在
98
0 这t 段46时95 间里的平均速度为
49
，
11-12学年高二数学课件：1[1]11变化率问题(新人教版选修2-2)
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f(22)－ －f1(1)＝8－1 3＝5.
• (2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15， • f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81， • ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
f(33.1.1)－ －f3(3)＝15.801.1－15＝8.1. (3)a＝－2，b＝1.5 时，f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＝0， f(1.5)＝1.52＋2×1.5＝5.25， ∴f(x)从－2 到 1.5 的平均变化率为 f(11..55)－－(f－(－2)2)＝5.235.5－0＝32.
• 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法．深刻体会“以直代曲”、“以不变 代变”和“无限逼近”的微积分的基本思想方 法．
• 导数概念的核心是变化率，学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义，对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数，导数是研究函数的有力工具．由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减，由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓．导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法，利用导数，我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)＝0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题．
• [点评] 本题的关系是将平均变化率的式 子进行变形，以便于判断k1与k2的大小．
已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2，求函数在 x0＝1,2,3 附近 Δx 取12时的平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小．
[解析] 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的 平均变化率为
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
• (2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15， • f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81， • ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
f(33.1.1)－ －f3(3)＝15.801.1－15＝8.1. (3)a＝－2，b＝1.5 时，f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＝0， f(1.5)＝1.52＋2×1.5＝5.25， ∴f(x)从－2 到 1.5 的平均变化率为 f(11..55)－－(f－(－2)2)＝5.235.5－0＝32.
• 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法．深刻体会“以直代曲”、“以不变 代变”和“无限逼近”的微积分的基本思想方 法．
• 导数概念的核心是变化率，学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义，对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数，导数是研究函数的有力工具．由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减，由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓．导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法，利用导数，我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)＝0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题．
• [点评] 本题的关系是将平均变化率的式 子进行变形，以便于判断k1与k2的大小．
已知函数 y＝f(x)＝3x2＋2，求函数在 x0＝1,2,3 附近 Δx 取12时的平均变化率 k1，k2，k3，并比较其大小．
[解析] 函数 y＝f(x)＝3x2＋2 在区间[x0，x0＋Δx]上的 平均变化率为
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
1.1.1和1.1.2变化率问题、导数的概念课件人教新课标1
x
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
【解析】(1)自变量x从1变到2时，函数f(x)=2x+1的函数值的
增量为Δy=5-3=2，故增量之比是2.
答案：2
(2)函数f(x)=x2在x=1处的瞬时变化率是 lim f (1 x) f (1)
x0
x
lim (1 x)2 12 lim (2 x) 2.
x0
x
x0
答案：2
(3)函数y=f(x)= 1 在x=-1处的导数可表示为f′(-1)或
【微思考】
(1)函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率的大小与曲线 y=f(x)在区间[x1，x2]上的“峻峭”程度有什么关系？ 提示：平均变化率的绝对值越大，曲线y=f(x)在区间[x1，x2]
上越“峻峭”，反之亦然. (2)平均变化率可以是零吗？ 举例说明. 提示：可以是零，如函数f(x)=a(a为常数).
Δx趋于0的距离要多近有多近，即|Δx-0|可以小于给定的任
意小的正数，且始终Δx≠0.
3.对导数概念的两点说明
(若1)当xy 的Δ极x≠限0不时存，在比，值则xyf的 (x极)在限点存x在0处，不则可f导(x或)在无点导x数0处.可导；
(2)在点x=x0处的导数的定义可变形为f′(x0)=
lim f (x0 x) f (x0 )
取定值，x1取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的.
特别地，当函数f(x)为常数函数时，Δy=0，则 y =0.
x
2.对平均变化率的三点说明 (1)y=f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率是曲线y=f(x)在 区间[x1，x2]上峻峭程度的“数量化”，曲线峻峭程度是平 均变化率的“视觉化”． (2)平均变化率的几何意义就是函数y=f(x)图象上两点P1(x1，
变化率问题 课件
解析：(1)∵Δt＝3，Δs＝s(3)－s(0)＝15， ∴该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度 v 1＝ΔΔst＝5(m/s)． (2)∵Δt＝3－2＝1，Δs＝s(3)－s(2)＝7， ∴该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度 v 2＝ΔΔst＝7(m/s)． (3)∵Δs＝s(t0＋Δt)－s(t0)＝(2t0＋2)·Δt＋(Δt)2， ∴该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度 v ＝ΔΔst ＝2t0＋2＋ Δt.
(3)注意自变量与函数值的对应关系，公式中若Δx＝x2－x1，则Δy ＝f(x2)－f(x1)；若Δx＝x1－x2，则Δy＝f(x1)－f(x2)．
(4)在平均变化率中，当x1取定值后，Δx取不同的数值时，函数的 平均变化率不一定相同；当Δx取定值后，x1取不同的数值时，函数的 平均变化率也不一定相同．
点评：求平均变化率的步骤： 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： ①先求出Δx＝x2－x1，再计算Δy＝f(x2)－f(x1)； ②对所求得的差作商，即得 ΔΔxy＝fxx22－－xf1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1.
考点二 求平均速度 例2 已知某物体的运动方程为s＝t2＋2t(s的单位：m，t的单位： s)．求： (1)该物体在0≤t≤3这段时间里的平均速度； (2)该物体在2≤t≤3这段时间里的平均速度； (3)该物体在t0≤t≤t0＋Δt这段时间里的平均速度．
π 2
附近的平均变化率．
解析：函数y＝f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为 fxx0＋ 0＋ΔΔxx－ －fxx00＝[3x0＋Δx2＋Δx2]－3x20＋2 ＝6x0·ΔxΔ＋x3Δx2＝6x0＋3Δx. 当x0＝2，Δx＝0.1时， 函数y＝3x2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为 6×2＋3×0.1＝12.3.
1.1 变化率问题 1.2 导数的概念
§3．1.1 变化率问题§3．1.2 导数的概念【学情分析】：本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。
【教学目标】：知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义. 【教学重点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学难点】：理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.【教学过程设计】：气球的平均膨胀率为)/(16.012)1()2(L dm r r ≈--可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了．思考：当空气容量从V 1增加到V 2时,气球的平均膨胀率是多少?1212)()(V V V r V r --问题2 高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h (单位：m )与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h (t )= -4.9t 2+6.5t +10.如何用运动员在某些时间段内的平均速v 度粗略地描述其运动状态?思考计算：5.00≤≤t 和21≤≤t 的平均速度v在5.00≤≤t 这段时间里，)/(05.405.0)0()5.0(s m h h v =--=；在21≤≤t 这段时间里，)/(2.812)1()2(s m h h v -=--=探究：计算运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度，并思考以下问题：（1）运动员在这段时间内使静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？ 探究过程：如图是函数h (t )= -4.9t 2+6.5t +10的图像，结合图形可知，)0()4965(h h =， 所以)/(004965)0()4965(m s h h v =--=， 虽然运动员在49650≤≤t 这段时间里的平均速度为)/(0m s ，但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态．（二）平均变化率概念:1．上述问题中的变化率可用式子1212)()(x x x f x f --表示,称为函数f (x )从x 1到x 2的平均变化率2．若设12x x x -=∆, )()(12x f x f f -=∆ (这里x ∆看作是对于x 1的一个“增量”可用x 1+x ∆代替x 2,同样)()(12x f x f y f -=∆=∆)hto时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．f附近的变化情况．注：一般地，'(。
变化率问题(教学课件)高二数学(人教A版2019选修第二册)
∴抛物线f ( x) x2+2x在点P(1,3)处的切线方程为
y 3 4( x 1),即4x y 1 0.
例3 求抛物线f(x)=2x2-1在x=1处的切线方程.
解1：由已知得,当x 1时,f (1) 1.
取点P(1,1),在点P附近任宋取老一点Q(1 x, f (1 x)),则
内并非静止,因此,用平均速度不能精确描述运动员在这一时间段的运动状态.
为了精确刻画运动员的运动状态，需要引入瞬时速度的概念. 我们把物体在 某一时刻的速度称为瞬时速度(instantaneous velocity).
探究 瞬时速度与平均速度有什么关系? 你能利用这种关系求运动员在t=1
s时的瞬时速度吗?
0.001 0.0001 0.00001 0.000001
∆x <0
∆x >0
k x 宋师2 老数
∆x
1.99学精
0.01
k x 2
2.01
1.999品工 宋老师0.001 宋老师1.数99学99作精室品工作数室学精0.0001
2.001 2.0001
1.99999 1.999999
品工0作.00001 室 0.000001
2.00001 2.000001
通过观察可得，当∆x无限趋近于0，即无论x从小于1的一边，还是从大 于1的一边无限趋近于1时，割线P0P的斜率k近都无限趋近于2.
切线的斜率：
事实上，由 k f (1 x) f (1) x 2 可以发现，当∆x在无限趋近于0时，
x x 2无限趋近于2，我们把2叫宋做老“当△x无限趋近于0时，k
y
P•
师数 学精
4
T
品工 宋老师
限趋我近们于发一现个，确当定点宋的P老无位师限置数趋，学作近这精室于个品点工确作数品室P定0室学工时位精作，置割的线直P线0P无 P0T称为抛物线f(x)=x2在点P0(1, 1)处的切线.
变化率问题PPT优秀课件
并思考下面的问题:
49
h(65) h(0) 10 v h 0
49
t
(1) 运动员在这段时间里是静止的吗? (2) 你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?
在高台跳水运动中,平均速度不能准确反映 他在这段时间里运动状态.
平均变化率定义:
上述问题中的变化率可用式子 f(x2 ) f ( x1) 表示 x2 x1
h(t)4.9t26.5t10 v
如果用运动员在某段时间内的平均速度 描述其运 动状态, 那么:
在0 ≤ t ≤0.5这段时间里, vh(0.5)h(0)4.0(5 m)/;s
0.50
在1≤ t ≤2这段时间里, vh(2)h(1)8.2(m)/;s
21
探 究:
计算运动员在 0 t 65 这段时间里的平均速度,
称为函数f(x)从x1到x2的平均变化率
若设Δx=x2-x1, Δf=f(x2)-f(x1)
这里Δx看作是对于x1的一个 “增量”可用x1+Δx代替x2
同样Δf=Δy=f(x2)-f(x1)
则平均变化率为
f f(x2 ) f (x1)
x
x2 x1
理解：
1，式子中△x 、△ f 的值可正、可负，但△x
(单位:dm)之间的函数关系是
V (r) 4 r3
3
在改变？变 量的变化情
如果将半径r表示为体积V的函数, 况？
那么 r (V ) 3 3V 4
我们来分析一下:
r (V ) 3 3V 4
当V从0增加到1时,气球半径增加了r(1 )r(0 )0 .6 2 (d m ) 气球的平均膨胀率为 r(1)r(0)0.62(dm/L)
最新111变化率问题课件选修2-3
20
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先 求出表达式，再直接代入数据可以求得相 应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化
率为f(x0＋Δx)－f Δx
(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x30＝3x20＋3x0Δx＋
(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
⑵已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= —2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f（x）及 g（x）的平均变化率.
（通过做练习⑵，你发现了什么？）
一次 函数 y=kx+b 在区间 [m ，n] 上的平 均变化率就 是直线 y=kx+b 的斜率.
练习3：
已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率． (1)a＝1，b＝2； (2)a＝3，b＝4； (3)a＝－2，b＝1.
y
f(x2 f()x2)-f(x1)=△y
y=f(x)
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x
x x1 x2
作业:
1. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的 平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； 2. 物 体 按 照 s(t) 3t2 t 4 的 规 律 作 直 线 运 动, 求 在 t 4s 附近的平均变化率. 3．过曲线 y=f(x)=x2 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 PQ 的斜率.
3×12＋3×1×1＋（1）2题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
四 当堂训练：
[分析] 本题直接利用概念求平均变化率．先 求出表达式，再直接代入数据可以求得相 应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均变化
率为f(x0＋Δx)－f Δx
(x0)＝(x0＋ΔΔxx)3－x30＝3x20＋3x0Δx＋
(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
⑵已知函数 f（x）=2x+1，g（x）= —2x，分别计算在区间[-3，-1]，[0，5]
上 f（x）及 g（x）的平均变化率.
（通过做练习⑵，你发现了什么？）
一次 函数 y=kx+b 在区间 [m ，n] 上的平 均变化率就 是直线 y=kx+b 的斜率.
练习3：
已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化率． (1)a＝1，b＝2； (2)a＝3，b＝4； (3)a＝－2，b＝1.
y
f(x2 f()x2)-f(x1)=△y
y=f(x)
B
f(x1)
O
A x2-x1=△x
x x1 x2
作业:
1. 已知函数 f (x) x2 ，分别计算 f (x) 在下列区间上的 平均变化率：（1）[1，3]；（2）[1，2]； 2. 物 体 按 照 s(t) 3t2 t 4 的 规 律 作 直 线 运 动, 求 在 t 4s 附近的平均变化率. 3．过曲线 y=f(x)=x2 上两点 P（1，1）和 Q (1+Δx,1+Δ y)作曲线的割线，求出当Δx=0.1 时割线 PQ 的斜率.
3×12＋3×1×1＋（1）2题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
四 当堂训练：
人教新课标版数学高二课件 变化率问题_ 导数的概念
跟踪训练2 甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系如图所示， 则在[0，t0]这个时间段内，甲、乙两人的平均速度v甲，v乙的关系是
A.v甲>v乙
√ B.v甲<v乙
C.v甲＝v乙
D.大小关系不确定
解析 设直线AC，BC的斜率分别为kAC，kBC，由平均变化率的几何意义
知，s1(t)在[0，t0]上的平均变化率v甲＝kAC，s2(t)在[0，t0]上的平均变化率
(3)求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于的常数 v 即为 瞬时速度，即 v＝s′(t0).
跟踪训练3 一质点M按运动方程s(t)＝at2＋1做直线运动(位移单位：m， 时间单位：s)，若质点M在t＝2 s时的瞬时速度为8 m/s，则常数a＝_2__.
解析 质点M在t＝2时的瞬时速度即为函数在t＝2处的瞬时变化率. ∵质点M在t＝2附近的平均变化率 ΔΔst＝s2＋ΔΔtt－s2＝a2＋ΔΔtt2－4a＝4a＋aΔt，
跟踪训练1 (1)已知函数f(x)＝x2＋2x－5的图象上的一点A(－1，－6)及 邻近一点B(－1＋Δx，－6＋Δy)，则ΔΔyx ＝_Δ_x_.
解析 ΔΔyx＝f－1＋ΔΔxx－f－1
－1＋Δx2＋2－1＋Δx－5－－6
＝
Δx
＝Δx.
解析 答案
(2)如图所示是函数y＝f(x)的图象，则函数f(x)在区间[－1,1]上的平均变化
A.4
B.4.1 √
C.0.41
D.3
3＋2.12－3＋22
解析 v ＝
0.1
＝4.1
12345
解析 答案
2.如图，函数y＝f(x)在A，B两点间的平均变D.－2
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11-12学年高二数学课件：
• (8)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在 给定区间上的不超过三次的多项式函数的最大 值、最小值．
• (9)了解导数在实际问题中的应用，结合给出的 实际问题(如使利润最大、效率最高、用料最省 等问题)，体会导数在解决实际问题中的作用．
[例 2] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
• [分析] 本题直接利用概念求平均变化 率．先求出表达式，再直接代入数据可以 求得相应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均
变
化
变化率为f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋Δx1]－(2x02＋1)
＝4x0＋2Δx.
• [点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形 式．
• 已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化 率．
• (1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1； • (3)a＝－2，b＝1.5. • [解析] (1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3， • f(2)＝22＋2×2＝8， • ∴f(x)从1到2的平均变化率为
• 2．能够利用公式求简单函数的导数及简 单复合函数的导数；
• 3．能利用导数研究函数的单调性，求函 数的极值和最值；
• 4．利用导数知识解决一些最优化问题； • 5．了解定积分的概念，了解微积分基本
定理的含义．
• 本章学习难点： • 1．导数概念的理解； • 2．用导数研究函数的单调性，求函数的
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
• [例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． • [分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
[解析] 当自变量从 x0 变到 x0＋Δx 时，函数的平均
2．在式子ΔΔyx＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(x1＋ΔΔxx)－f(x1)中，当 x1
取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；
当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也 是不同的．
3．函数平均变化率的几何意义和物理意义 平均变化率的几何意义是表示函数 y＝f(x)图象上割 线 P1P2 的斜率(其中 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2)))，即 kP1P2 ＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(x1＋ΔΔxx)－f(x1)；物理意义是把位移 s 看成 时间 t 的函数 s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即－v ＝ s(t2t)2－ －st1(t1).
• 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法．深刻体会“以直代曲”、“以不变 代变”和“无限逼近”的微积分的基本思想方 法．
• 导数概念的核心是变化率，学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义，对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数，导数是研究函数的有力工具．由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减，由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓．导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法，利用导数，我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)＝0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题．
• 1．1 变化率与导数 • 1．1.1 变化率问题
• 1．通过实例了解平均变化率的概念． • 2．会求一些简单函数的平均变化率．
• 本节重点：函数的平均变化率的概念． • 本节难点：函数平均变化率的求法． • 1．Δx是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，
也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数 值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以 等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.
率
为
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
＝
(x0＋Δx)3－x03 Δx
＝
3x
2 0＋3x0来自x＋(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
3×12＋3×1×12＋122＝149 .
• [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
[分析] 直线的斜率公式为 k＝yx22－ －yx11.
• 过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋ Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的 斜率．
• (10)通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例， 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定 积分的基本思想，了解定积分的概念．
• (11)通过实例了解微积分基本定理．
• (12)应用定积分解决一些简单的几何、物理 问题．
• ●重点难点
• 本章学习重点：
• 1．理解导数的概念及符号记法，体会导 数的思想及其内涵；
极值和最值；
• 3．利用导数知识解决一些最优化问题； • 4．定积分概念的理解．
• ●学法探究
• 导数是微积分的初步知识，是研究函数、 解决实际问题的有力工具．学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进 一步理解导数的概念和导函数的定义，掌 握导数的几何意义，掌握基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算法则，通过具 体实例，认识导数的工具性及其与实际问 题的联系，感受导数在解题中的作用，充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等 价转化思想及理论联系实际的思想方法．
f(22)－ －f1(1)＝8－1 3＝5.
• (2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15， • f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81， • ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
f(33.1.1)－ －f3(3)＝15.801.1－15＝8.1. (3)a＝－2，b＝1.5 时，f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＝0， f(1.5)＝1.52＋2×1.5＝5.25， ∴f(x)从－2 到 1.5 的平均变化率为 f(11..55)－－(f－(－2)2)＝5.235.5－0＝32.
• (8)结合函数的图象，了解函数在某点取得极值 的必要条件和充分条件；会利用导数求不超过 三次的多项式函数的极大值、极小值，以及在 给定区间上的不超过三次的多项式函数的最大 值、最小值．
• (9)了解导数在实际问题中的应用，结合给出的 实际问题(如使利润最大、效率最高、用料最省 等问题)，体会导数在解决实际问题中的作用．
[例 2] 求函数 y＝x3 在 x0 到 x0＋Δx 之间的平均变化 率，并计算当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值．
• [分析] 本题直接利用概念求平均变化 率．先求出表达式，再直接代入数据可以 求得相应的平均变化率的值．
[解析] 当自变量从 x0 变化到 x0＋Δx 时，函数的平均
变
化
变化率为f(x0＋ΔΔxx)－f(x0)＝[2(x0＋Δx)2＋Δx1]－(2x02＋1)
＝4x0＋2Δx.
• [点评] 这类题目的关键是熟记平均变化率公式的形 式．
• 已知函数f(x)＝x2＋2x，求f(x)从a到b的平均变化 率．
• (1)a＝1，b＝2；(2)a＝3，b＝3.1； • (3)a＝－2，b＝1.5. • [解析] (1)a＝1，b＝2时，f(1)＝12＋2×1＝3， • f(2)＝22＋2×2＝8， • ∴f(x)从1到2的平均变化率为
• 2．能够利用公式求简单函数的导数及简 单复合函数的导数；
• 3．能利用导数研究函数的单调性，求函 数的极值和最值；
• 4．利用导数知识解决一些最优化问题； • 5．了解定积分的概念，了解微积分基本
定理的含义．
• 本章学习难点： • 1．导数概念的理解； • 2．用导数研究函数的单调性，求函数的
• 2．求函数平均变化率的步骤
• 求函数y＝f(x)在点x0附近的平均变化率： • (1)确定函数自变量的改变量Δx＝x1－x0；
• [例1] 求y＝2x2＋1在x0到x0＋Δx之间的平均变化率． • [分析] 依据函数平均变化率的定义求解．
[解析] 当自变量从 x0 变到 x0＋Δx 时，函数的平均
2．在式子ΔΔyx＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(x1＋ΔΔxx)－f(x1)中，当 x1
取定值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；
当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也 是不同的．
3．函数平均变化率的几何意义和物理意义 平均变化率的几何意义是表示函数 y＝f(x)图象上割 线 P1P2 的斜率(其中 P1(x1，f(x1))，P2(x2，f(x2)))，即 kP1P2 ＝f(xx2)2－ －fx(1x1)＝f(x1＋ΔΔxx)－f(x1)；物理意义是把位移 s 看成 时间 t 的函数 s＝s(t)在时间段[t1，t2]上的平均速度，即－v ＝ s(t2t)2－ －st1(t1).
• 认真领会掌握依据定义求导数的方法、求定积 分的方法．深刻体会“以直代曲”、“以不变 代变”和“无限逼近”的微积分的基本思想方 法．
• 导数概念的核心是变化率，学习导数应从物理 和几何两方面去理解导数的意义，对很多运动 变化问题的研究最后都会归结为研究各式各样 的函数，导数是研究函数的有力工具．由f′(x)的 符号可知函数f(x)是增还是减，由f′(x)绝对值的大 小可知函数变化得急剧还是平缓．导数也是解 决函数极值问题从而是解决优化问题的一种通 法，利用导数，我们可以将求函数极值的问题 转化为求方程f′(x)＝0的解及研究在解的两侧导 函数的符号问题．
• 1．1 变化率与导数 • 1．1.1 变化率问题
• 1．通过实例了解平均变化率的概念． • 2．会求一些简单函数的平均变化率．
• 本节重点：函数的平均变化率的概念． • 本节难点：函数平均变化率的求法． • 1．Δx是自变量x在x0处的改变量，它可以为正，
也可以为负，但不能等于零，而Δy是相应函数 值的改变量，它可以为正，可以为负，也可以 等于零，特别是当函数为常数函数时，Δy＝0.
率
为
f(x0＋Δx)－f(x0) Δx
＝
(x0＋Δx)3－x03 Δx
＝
3x
2 0＋3x0来自x＋(Δx)2
当 x0＝1，Δx＝12时平均变化率的值为
3×12＋3×1×12＋122＝149 .
• [点评] 此类题易错之处容易将平均变化 率与平均数相混淆，关键是理解平均变化 率的概念．
[分析] 直线的斜率公式为 k＝yx22－ －yx11.
• 过曲线f(x)＝x3上两点P(1,1)和Q(1＋Δx,1＋ Δy)作曲线的割线，求出当Δx＝0.1时割线的 斜率．
• (10)通过求曲边梯形的面积、变力做功等实例， 了解定积分的实际背景；借助几何直观体会定 积分的基本思想，了解定积分的概念．
• (11)通过实例了解微积分基本定理．
• (12)应用定积分解决一些简单的几何、物理 问题．
• ●重点难点
• 本章学习重点：
• 1．理解导数的概念及符号记法，体会导 数的思想及其内涵；
极值和最值；
• 3．利用导数知识解决一些最优化问题； • 4．定积分概念的理解．
• ●学法探究
• 导数是微积分的初步知识，是研究函数、 解决实际问题的有力工具．学习本章要认 真理解平均变化率、瞬时速度的概念，进 一步理解导数的概念和导函数的定义，掌 握导数的几何意义，掌握基本初等函数的 导数公式和导数的四则运算法则，通过具 体实例，认识导数的工具性及其与实际问 题的联系，感受导数在解题中的作用，充 分体会数形结合思想、分类讨论思想、等 价转化思想及理论联系实际的思想方法．
f(22)－ －f1(1)＝8－1 3＝5.
• (2)a＝3，b＝3.1时，f(3)＝32＋2×3＝15， • f(3.1)＝3.12＋2×3.1＝15.81， • ∴f(x)从3到3.1的平均变化率为
f(33.1.1)－ －f3(3)＝15.801.1－15＝8.1. (3)a＝－2，b＝1.5 时，f(－2)＝(－2)2＋2×(－2)＝0， f(1.5)＝1.52＋2×1.5＝5.25， ∴f(x)从－2 到 1.5 的平均变化率为 f(11..55)－－(f－(－2)2)＝5.235.5－0＝32.