初中数学竞赛选拔试卷(含答案)

初中数学竞赛选拔试卷（含答案） （检测范围:初中数学竞赛大纲要求所有内容）一、单项选择题（本大题分4小题,每题5分,共20分）1、设二次函数y 1=a (x -x 1)(x -x 2)(a ≠0,x 1≠x 2)的图象与一次函数y 2=dx +e (d ≠0)的图象交于点(x 1,0),若函数y =y 2+y 1的图象与x 轴仅有一个交点,则( ).A ．a (x 1-x 2)=dB ．a (x 2-x 1)=dC ．a (x 1-x 2)2=dD ．a (x 1+x 2)2=d 2、如图,ΔABC 、ΔEFG 均是边长为2的等边三角形,点D 是边BC 、EF 的中点,直线AG 、FC 相交于点M ．当ΔEFG 绕点D 旋转时,线段BM 长的最小值是( ). A ．32- B ．13+ C ．2 D ．13-3、一名模型赛车手遥控一辆赛车,先前进1m,然后原地逆时针旋转α(0°<α<180°),被称为一次操作．若5次操作后,发现赛车回到出发点,则α为( ).A ．72°B ．108°C ．144°D ．以上选项均不正确 4、方程()y x y xy x +=++322的整数解有( ). A 、3组 B 、4组 C 、5组 D 、6组 二、填空题（本大题分16小题,每题5分,共80分）5、如图,在矩形ABCD 中,AB =64,AD =10,连接BD ,DBC ∠的角平分线BE 交DC 于点E ,现把BCE ∆绕点B 逆时针旋转,记旋转后的BCE ∆为''E BC ∆,当射线'BE 和射线'BC 都与线段AD 相交时,设交点分别为F ,G ,若BFD ∆为等腰三角形,则线段DG 长为 .6、如图,在平面直角坐标系中,点M 是第一象限内一点,过M 的直线分别交x 轴,y 轴的正半轴于A 、B 两点,且M 是AB 的中点.以OM 为直径的⊙P 分别交x 轴,y 轴于C 、D 两点,交直线AB 于点E (位于点M 右下方),连结DE 交OM 于点K .设x OBA =∠tan (0<x <1),y MKOK=,则y 关于x 的函数解析式为 .7、如图,梯形ABCD 的面积为34cm 2,AE=BF ,CE 与DF 相交于O ,OCD ∆的面积为11cm 2,则阴影部分的面积为______cm 2．第2题G FE'C'EADBC8、如图,四边形ABCD 为正方形,⊙O 过正方形的顶点A和对角线的交23,AB =2+1,点P ,分别交AB 、AD 于点F 、E ．若⊙O 的半径为则EDAE的值为 ． 9、已知一个正三角形的三个顶点在一个正方形的边上移动.如果这个内接三角形的最大面积是3.则该正方形的边长为 . 10、在四边形ABCD 中,边AB=x ,BC=CD =4,DA =5,它的对角线AC=y ,其中x ,y 都是整数,∠BAC =∠DAC ,那么x = ． 11、如果满足 ||x 2-6x -16|-10| = a 的实数x 恰有6个,那么实数a 的值等于 ．12、一批救灾物资分别随16列货车从甲站紧急调运到三百多千米以外的乙站,已知每列货车的平均速度都相等,且记为v 千米/小时．两列货车实在运行中的间隔不小于225v ⎛⎫⎪⎝⎭千米,这这批救灾物资全部运到目的地最快需要6小时,那么每隔 分钟从甲站向乙站发一趟货车才能使这批货物在6小时内运到.13、已知0≤a-b ≤1,1≤a+b ≤4,那么当a -2b 达到最大值时,8a +2015b 的值等于 . 14、在边长为l 的正方形ABCD 中,点M 、N 、O 、P 分别在边AB 、BC 、CD 、DA 上．如果AM=BM ,DP =3AP ,则MN+NO+OP 的最小值是 .15、如图,在四边形纸片ABCD中,AB=BC ,AD=CD ,∠A =∠C =90°,∠B =150°,将纸片先沿直线BD 对折,第5题第6题第7题第8题第10题再将对折后的图形沿从一个顶点出发的直线裁剪,剪开后的图形打开铺平,若铺平后的图形中有一个是面积为2的平行四边形,则CD =______________.16、从1,2,…,2008中选出总和为1009000的1004个数,并且这1004个数中的任意两数之和都不等于2009．则这1004个数的平方和为 ．17、已知直角三角形ABC 中,斜边AB 长为2,∠ACB =90°,三角形内一个动点到三个顶点的距离之和的最小值为7,则这个直角三角形的两个锐角大小分别为 , ． 18、若实数x 、y 满足:=+-13x xy y -+23,则若设p=x+y ,则p max = ,p min = ． 19、已知平面上有4个圆叠在一起形成10个区域,其中在外区域的三个圆每个圆有5个区域,在内区域的圆有7个区域．现将数字0,1,…,9分别放入10个区域,且使每个圆都有相同的数字和,则数字和S 的取值范围为 ．20、已知∠BAC =90°,四边形ADEF 是正方形且边长为1,则CABC AB 111++ 的最大值为 ,简述理由(可列式):. 三、分析解答题（本大题分5小题,分值依次为8分、10分、8分、14分、10分,共50分） 21、(8分)牛顿和莱布尼茨于17世纪分别独立地创立了积分学.其中有一个重要的概念:定积分.我们规定把函数()x f 中区间[]b a ，(包括a ,b )与x 轴围成的面积记作:()⎰ba x x f d .(1).试证:()()x x f k x x kf bab ad d ⎰⎰=；(2)．对于任意实数c b a ，，其中(a ＜c ＜b ),是否都有:()()()⎰⎰⎰+=bcc abax x f x x f x x f d d d .如没有请举出反例；如有,请证明之.第19题x 1x 2 x 3x 4 x 5x 6x 7x 8 x 9x 10C22、(10分)在正方形ABCD的AB、AD边各取点K、N,使得AK·AN=2BK·DN,线段CK、CN交对角线BD于点L、M,试证:∠BLK=∠DNC=∠BAM.23、(8分)设AB,CD为圆O的两直径,过B作PB垂直AB,并与CD延长线相交于点P,过P作直线PE,与圆分别交于E,F两点,连AE,AF分别与CD交于G,H两点(如图),求证:OG=OH.24、(14分)如图,点A 和动点P 在直线l 上,点P 关于点A 的对称点为Q ,以AQ 为边作Rt ABQ ∆,使∠BAQ =90°,AQ :AB =3:4,作ABQ ∆的外接圆O ．点C 在点P 右侧,PC =4,过点C 作直线m ⊥l ,过点O 作OD ⊥m 于点D ,交AB 右侧的圆弧于点E ．在射线CD 上取点F ,使DF=23CD ,以DE ,DF 为邻边作矩形DEGF ．设AQ =3x ． (1)用关于x 的代数式表示BQ ,DF ．(2)当点P 在点A 右侧时,若矩形DEGF 的面积等于90,求AP 的长． (3)在点P 的整个运动过程中,①当AP 为何值时,矩形DEGF 是正方形？ ②作直线BG 交⊙O 于点N ,若BN 的弦心距为1,求AP 的长．第23题25、(10分)有A、B、C三个村庄,各村分别有适龄儿童a、b、c人.今要建立一所小学,使各村学生到校总里程最短.试问:若三村人数不一定相等时学校应建在哪里？初 中 数 学 竞 赛 选 拔 试 卷参 考 答 案一、单项选择题(本大题分4小题,每题5分,共20分)二、填空题(本大题分10小题,5、17986、212xy -= 7、12 8、222或 9、332+ 10、4或511、10 12、12 13、8 14、 48515、 432+或32+ 16、1351373940 17、30°,60° 18、2213921539++或 19、21≤S ≤25 20、221+；理由:求式=1+BC1,又EFC BDE ∆∆∽⇒BD ·CF =1, BC 2≥2+2BD ·CF +CF BD •4=8∴计算可得为221+三、分析解答题(本大题分5小题,分值依次为8分、10分、14分、10分,共50分) 21、(8分)【解】(暂无解答,征求答案) 22、(10分)【解】连结KN 、KM ,将NDC ∆绕点C 顺时针旋转90°得EBC ∆. AB=AD ⇒AK+BK=AN+DN ⇒(AK-AN )2=(DN-BK )2⇒AK 2+AN 2-2AK ·AN =DN 2+BK 2-2ND ·BK (两边同加2AK ·AN )⇒AK 2+AN 2=(DN +BK )2(由AK ·AN =2BK ·DN 可知),结合图可知NK 2=KE 2 ∴EKC NKC ∆∆∽(SSS )∴∠DNC =∠KEC =∠KNC ,且∠KCN =45° ∴B 、C 、M 、K 四点共圆(∠KBN =45°) ∴KM ⊥CN ,∴A 、K 、M 、N 四点共圆∴∠KAM =∠KNM =∠DNC ,又∠MDN =45°=∠KCN ∴N 、L 、C 、D 四点共圆,∴∠DNC =∠DLC =∠KLB ∴∠DNC =∠KAM =∠KLB (即∠BLK =∠DNC =∠BAM )23、(8分)【解】24、(14分)【解】23、第23题解25、(10分)【解】(I)当三村人数相等时,分以下两种情形(如图):(1)ABC∆中最大角大于120°,不妨令∠A≥120°,则学校应建在A村；(2)ABC∆中最大角小于120°,则学校应建在X点(此点到三边的张角相等,亦称ABC∆的费马点)(II)当三村人数不一定相等时,则学校所在地X,可通过物理学的模拟方法求出:在平面上,用三ABC(1) (2)点A 、B 、C 模拟三村,用重物a 、b 、c 模拟相应各村人数,并用细线通过滑轮连接于X 点.当出现平衡时,平衡点X 就是学校该建的地方.由静力学势能原理可知:AX ·a +BX ·b +CX ·c 达最小值,即各村分别有适龄儿童到校总里程最短.当a=b=c 时,AX 、BX 、CX 三方向拉力相等且平衡.由对称关系,立得:∠AXB =∠BXC =∠CXA =90°.。