全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题
全国初中数学竞赛试题【试题一】：代数基础1. 已知 \( a, b, c \) 是一个三角形的三边长，且满足 \( a^2 + b^2 = c^2 \)，求证 \( a + b \geq c \)。
【试题二】：几何问题2. 给定一个圆，圆心为 \( O \)，半径为 \( r \)。
在圆上任取两点\( A \) 和 \( B \)，连接 \( OA \) 和 \( OB \)。
求证 \( \angle AOB \) 的度数小于 \( 180^\circ \)。
【试题三】：数列与级数3. 一个等差数列的首项是 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)。
求这个数列的第 \( n \) 项 \( a_n \) 的表达式，并计算前 \( n \) 项的和 \( S_n \)。
【试题四】：函数与方程4. 已知函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求该函数的最小值。
【试题五】：概率统计5. 一个袋子里有 \( 5 \) 个红球和 \( 3 \) 个蓝球。
随机抽取两个球，求两个球颜色相同的概率。
【试题六】：组合数学6. 有 \( 8 \) 个不同的球，需要将它们放入 \( 3 \) 个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球。
求不同的放法有多少种。
【试题七】：逻辑推理7. 在一个逻辑推理题中，有三个人分别说了以下的话：- 甲说：“乙是说谎者。
”- 乙说：“丙是说谎者。
”- 丙说：“甲和乙都是说谎者。
”如果三个人中只有一个人说谎，那么谁说的是真话？【试题八】：创新问题8. 一个正方体的体积是 \( 8 \) 立方厘米，求这个正方体的表面积。
【试题九】：应用题9. 一个水池可以以恒定的速率 \( r \) 进水，同时也以另一个恒定的速率 \( s \) 出水。
如果水池开始时是空的，求水池被填满的时间\( t \)。
【试题十】：综合题10. 一个圆的半径是 \( 5 \) 厘米，圆内接一个等边三角形。
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)
初中数学奥林匹克竞赛全真试题(全国联赛卷)(详解版)初中数学奥林匹克竞赛全真试题（全国联赛卷）（详解版）一、填空题1. 如果函数 f(x)=x^2-2x+1的根为 a,b，那么a + b 等于_____.答案：-12. 已知正整数 m、n 满足 mx+ny=1（m、n 都不为 0），若 m + n 等于 8，则 m - n 等于_____.答案：73. 若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1=3，Sn=15，则 n 的值是_____.答案：64. 在△ABC 中，已知 a=4，b=4，c=8，若 AB+AC=9，则∠B =_____.答案：45°二、选择题5. 已知 A、B 两点的坐标分别为（3，1）、（5，-1），则 AB 是_______.A. 水平的直线B. 斜率为 1 的直线C. 斜率为 -1/3 的直线D. 竖直的直线答案：B6. 若正方形的边长为 x，周长为 5x，则 x 的值等于_______.A. 4B. 5C. 8D. 10答案：A7. 已知tanα=2，cotβ=-3，则 tan（α-β）等于_______.A. 5B. -5C. -1/5D. 1/5答案：B8. 把一个正整数分成 K 份，第一份的数量是剩下的 K-1 份的总和的（）A. 1/2B. 3/2C. 2/3D. 3/4答案：B三、解答题9. 已知函数 f(x)=2x+1，若直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，求该曲线上点 P 的坐标答：设点 P 的坐标为 (x,y)，因为直线 4x+3y=37 与曲线 f(x) 相切，所以曲线上点 P 的 y 值可由 4x+3y=37 中求得，即 y=12-4/3x，由函数 f(x)可得 12-4/3x=2x+1，故 x=7，代入 y=12-4/3x 可得 y=12-4/3(7)=8。
点 P的坐标即为 (7, 8)。
10. 已知△ABC 中，a=3，b=3，∠A=120°，求 B 的坐标答：由△ABC 中 A 的坐标为（0，0），a=3，b=3 可知 C 的坐标为（3，0），∠A=120°，∠C=60°，因为∠B=60，则以 C 为外接圆圆心，半径为3 的圆○上可得点B，即B(√3，1)，综上所述，点B 的坐标为（√3，1）。
全国初中数学竞赛试题及解答
ABCD全国初中数学竞赛试卷及解析一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个是正确的。
请将正确答案的代号填在题后的括号里）1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若c b a ，则M 与P 的大小关系是（ ）A 、P MB 、P MC 、P MD 、不确定 答案：B 解析：∵3c b a M ，2b a N ，222c b a c N P ，122cb a P M ∵c b a ∴0122122c c c c b a P M ，即0 P M ，即P M 2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（a b ），再前进c 千米，则此人离起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（ ）答案：C解析：因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（ ） A 、甲比乙大5岁 B 、甲比乙大10岁 C 、乙比甲大10岁 D 、乙比甲大5岁 答案：A解析：由题意知3×（甲－乙）151025 ∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线49545x y 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25），则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（ ）A 、4个B 、5个C 、6个D 、7个 答案：B解析：在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是N x 41 ，N y 525 ，（N 是整数）．在线段AB 上这样的点应满足041 N ，且0525 N ，∴541N ，即1 N ，2，3，4，55、设a ，b ，c 分别是ABC 的三边的长，且cb a ba b a，则它的内角A 、B 的关系是（ ）A 、AB 2 B 、A B 2C 、A B 2D 、不确定 答案：B解析：由c b a b a b a得c a bb a ，延长CB 至D ，使AB BD ，于是c a CD 在ABC 与DAC 中，C C ，且DC ACAC BC∴ABC ∽DAC ，D BAC ∵D BAD∴BAC D BAD D ABC 226、已知ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，111C B A 的三边长分别为1a ，1b ，1c ，面积为1S ，且1a a ，1b b ，1c c ，则S 与1S 的大小关系一定是（ ）A 、1S SB 、1S SC 、1S SD 、不确定 答案：D解析：分别构造ABC 与111C B A 如下：①作ABC ∽111C B A ，显然1211a a S S ，即1S S ；②设101b a ，20c ，则1 c h ，10 S ，10111 c b a ，则10100431S ，即1S S ；③设101 b a ，20 c ，则1 c h ，10 S ，2911 b a ，101 c ，则2 c h ，101 S ，即1S S ；因此，S 与1S 的大小关系不确定。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是无理数？A. 0.33333...（循环）B. 根号2C. 1/3D. 4答案：B2. 一个等腰三角形的底边长为6，高为4，其周长是多少？A. 16B. 18C. 20D. 22答案：C3. 一个数的平方等于16，这个数是多少？A. 4B. -4C. 4或-4D. 以上都不是答案：C4. 以下哪个方程的解是x=2？A. x^2 - 4 = 0B. x^2 - 3x + 2 = 0C. x^2 - 5x + 6 = 0D. x^2 - x - 6 = 0答案：B5. 一个圆的直径为10，其面积是多少？A. 25πB. 50πC. 100πD. 200π答案：B二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个直角三角形的两个直角边长分别为3和4，其斜边长为________。
答案：52. 如果一个数的立方等于-8，那么这个数是________。
答案：-23. 一个数的绝对值是5，这个数可能是________或________。
答案：5 或 -54. 一个圆的周长是2πr，如果周长是12π，那么半径r是________。
答案：65. 如果一个二次方程ax^2 + bx + c = 0的判别式Δ=b^2-4ac小于0，那么这个方程的解是________。
答案：无实数解三、解答题（每题10分，共20分）1. 已知一个二次函数y=ax^2+bx+c，其中a=1，b=-3，c=2，求这个函数的顶点坐标。
答案：顶点坐标为(3/2, -1/4)。
2. 一个长方形的长是宽的两倍，如果周长是24，求长方形的长和宽。
答案：长为8，宽为4。
四、证明题（每题15分，共30分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
答案：略2. 证明平行四边形的对角线互相平分。
答案：略。
数学竞赛试题及答案初中
数学竞赛试题及答案初中试题一：代数问题题目：如果\( a \)和\( b \)是两个连续的自然数，且\( a^2 + b^2= 45 \)，求\( a \)和\( b \)的值。
解答：设\( a \)为较小的自然数，那么\( b = a + 1 \)。
根据题意，我们有：\[ a^2 + (a + 1)^2 = 45 \]\[ a^2 + a^2 + 2a + 1 = 45 \]\[ 2a^2 + 2a - 44 = 0 \]\[ a^2 + a - 22 = 0 \]分解因式得：\[ (a + 11)(a - 2) = 0 \]因此，\( a = -11 \)或\( a = 2 \)。
由于\( a \)是自然数，所以\( a = 2 \)，\( b = 3 \)。
试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，直角边的长度分别为3厘米和4厘米，求斜边的长度。
解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边\( c \)可以通过以下公式计算：\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]其中\( a \)和\( b \)是直角边的长度。
代入数值：\[ c = \sqrt{3^2 + 4^2} \]\[ c = \sqrt{9 + 16} \]\[ c = \sqrt{25} \]\[ c = 5 \]所以斜边的长度是5厘米。
试题三：数列问题题目：一个等差数列的前三项分别是2，5，8，求这个数列的第10项。
解答：等差数列的通项公式是：\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \]其中\( a_n \)是第\( n \)项，\( a_1 \)是首项，\( d \)是公差。
已知首项\( a_1 = 2 \)，公差\( d = 5 - 2 = 3 \)。
代入公式求第10项：\[ a_{10} = 2 + (10 - 1) \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 9 \times 3 \]\[ a_{10} = 2 + 27 \]\[ a_{10} = 29 \]所以这个数列的第10项是29。
全国初中数学联合 竞赛试题及详细解答(含一试二试)
全国初中数学联合竞赛试题第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4..2．若实数,,a b c 满足等式23||6a b +=，49||6a b c -=，则c 可能取的最大值为 （ ） A ．0. B ．1. C ．2. D ．3.3．若b a ,是两个正数，且 ,0111=+-+-ab b a 则 （ ）4．若方程2310x x --=的两根也是方程420x ax bx c +++=的根，则2a b c +-的值为 （ ） A ．－13. B ．－9. C ．6. D ． 0.5．在△ABC 中，已知︒=∠60CAB ，D ，E 分别是边AB ，AC 上的点，且︒=∠60AED ，CE DB ED =+，CDE CDB ∠=∠2,则=∠DCB ( )A ．15°.B ．20°.C ．25°.D ．30°.6．对于自然数n ，将其各位数字之和记为n a ，如2009200911a =+++=，201020103a =+++=，则12320092010a a a a a +++++= （ ）A ．28062.B ．28065.C ．28067.D ．28068.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知实数,x y 满足方程组3319,1,x y x y ⎧+=⎨+=⎩则22x y += .2．二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴正方向交于A ，B 两点，与y 轴正方向交于点C ．已知AC AB 3=，︒=∠30CAO ，则c = ．3．在等腰直角△ABC 中，AB ＝BC ＝5，P 是△ABC 内一点，且PA 5PC ＝5，则PB ＝______．4．将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行，要求两种颜色的球都要出现，且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放，最多可以摆放_______个球.第二试 （A ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c （a b c ≥≥）为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，___P_A_C_B求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.二．（本题满分25分）已知等腰三角形△ABC 中，AB ＝AC ，∠C 的平分线与AB 边交于点P ，M 为△ABC 的内切圆⊙I 与BC 边的切点，作MD//AC ，交⊙I 于点D.证明：PD 是⊙I 的切线.三．（本题满分25分）已知二次函数2y x bx c =+-的图象经过两点P (1,)a ，Q (2,10)a . （1）如果,,a b c 都是整数，且8c b a <<，求,,a b c 的值.（2）设二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴的交点为A 、B ，与y 轴的交点为 C.如果关于x 的方程20x bx c +-=的两个根都是整数，求△ABC 的面积._ Q_I _ P_ C_ A_M_B第二试 （B ）一．（本题满分20分）设整数,,a b c 为三角形的三边长，满足22213a b c ab ac bc ++---=，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（全等的三角形只计算1次）.二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试 （C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第二题相同.三．（本题满分25分）设p 是大于2的质数，k 为正整数．若函数4)1(2-+++=p k px x y 的图象与x 轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数，求k 的值．全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1. 若,,a b c 均为整数且满足1010()()1a b a c -+-=，则||||||a b b c c a -+-+-= （ B ） A ．1. B ．2. C ．3. D ．4. 解： 由已知可推得011a b b c a c -=⎧⇒-=±⎨-=±⎩ 或110a b b c a c -=±⎧⇒-=±⎨-=⎩，分别代入即得。
2024全国初中数学竞赛试题
1、已知直角三角形的两条直角边长度分别为3和4，则斜边上的高为：A. 2.4B. 1.2C. 5D. 不能确定（答案）A2、若a、b、c为三角形的三边长，且满足a² + b² + c² + 50 = 10a + 6b + 8c，则此三角形为：A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 不能确定（答案）A3、解方程组 { x + 2y = 5, 3x - 4y = -2 } 时，若先消去y，则得到的方程是：A. 5x = 14B. 5x = 10C. 7x = 16D. 7x = 22（答案）B4、在平行四边形ABCD中，若∠A : ∠B = 2 : 3，则∠C的度数为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 不能确定（答案）C5、已知 |x| = 5，y = 3，则x - y等于：A. 8或-2B. 2或-8C. -2或8D. -8或2（答案）D6、若关于x的一元二次方程x² - (k - 1)x - k = 0有两个相等的实数根，则k的值为：A. -3B. 3C. -1D. 1（答案）D7、在圆O中，弦AB的长度等于半径OA，则∠AOB的度数为：A. 30°B. 60°C. 120°D. 30°或150°（答案）B8、若a > b > 0，c < d < 0，则一定有：A. a² > b²B. c² > d²C. a/d > b/cD. a/d < b/c（答案）A9、已知一次函数y = kx + b的图像经过点(2, 3)和(-1, -3)，则它的图像不经过：A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（答案）C10、在△ABC中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°（答案）C。
全国初中数学竞赛试题及答案
全国初中数学竞赛试题及答案全国初中数学竞赛试题及答案一、选择题1、在一张纸上，我们画了一个圆和一条直径，直径与圆相交于A、B 两点。
如果我们在这张纸上连续地画了8个点，使得这些点都在圆上，那么这8个点的最密集分布是（）。
A. 像一个“十”字形，两边各4个点 B. 像一个“十”字形，两边各3个点 C. 像一个“米”字形，上面各4个点 D. 像一个“米”字形，上面各3个点答案：C 解析：根据圆的对称性，我们可以得知，直径两侧的点到圆心的距离相等，因此在一个“十”字形中，中间的交点是最密集的。
而在“米”字形中，上面的4个点距离交点的距离相等且最短，因此是最密集的。
2、在一个等边三角形ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点。
现在以D为圆心，DE为半径画圆弧，交AB于G。
则△DFE的面积是阴影部分面积的（）。
A. 2倍 B. 3倍 C. 4倍 D. 6倍答案：C 解析：由题意可知，DE是△ABC的中位线，因此DE=1/2AB。
而△DFE是直角三角形，斜边DE是直径，因此∠DFE=90°。
所以，△DFE的高是DE的一半，即1/4AB。
因此，△DFE的面积是1/2×1/2AB×1/4AB=1/8AB²。
而阴影部分的面积是△ABC面积的一半，即1/2×1/2AB×√3/2AB=√3/4AB²。
所以，△DFE的面积是阴影部分面积的4倍。
3、在一个等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AC=BC=1。
现在以这个三角形的顶点为圆心，1为半径画圆弧，则这三个圆弧的长度之和为（）。
A. 3π/2 B. π C. 2π D. 5π/2 答案：C 解析：根据题意，我们可以得到三个圆弧的半径都是1。
其中第一个圆弧的长度为1/4×2π×1=π/2，第二个圆弧的长度也为π/2，第三个圆弧的长度为1/4×2π×√2=π√2/2。
全国初中数学竞赛试题及答案
中国教育学会中学数学教学专业委员会全国初中数学竞赛试题一、选择题共5小题,每小题6分,共30分.1甲．如果实数a ,b ,c 在数轴上的位置如图所示,那么代数式22||()||a a b c a b c -++-++可以化简为 ．A 2c a -B 22a b -C a -D a 1乙．如果22a =-+那么11123a+++的值为 ．A 2-2222甲．如果正比例函数y = axa ≠ 0与反比例函数y =xbb ≠0 的图象有两个交点,其中一个交点的坐标为－3,－2,那么另一个交点的坐标为 ． A2,3 B3,－2 C －2,3 D3,22乙． 在平面直角坐标系xOy 中,满足不等式x 2＋y 2≤2x ＋2y 的整数点坐标x ,y 的个数为 ．A10 B9 C7 D53甲．如果a b ，为给定的实数,且1a b <<,那么1121a a b a b ++++，， ，这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是 ． A1 B214a - C 12 D 143乙．如图,四边形ABCD 中,AC ,BD 是对角线,△ABC 是等边三角形．30ADC ∠=︒,AD = 3,BD = 5, 则CD 的长为 ． A 23 B4 C 52 D4甲．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元,我的钱数将是你的n 倍”；小玲对小倩说：“你若给我n 元,我的钱数将是你的2倍”,其中n 为正整数,则n 的可能值的个数是 ． A1 B2 C3 D44乙．如果关于x 的方程 20x px q p q --=（，是正整数的正根小于3, 那么这样的方程的个数是 ．A 5B 6C 7D 85甲．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1,2,3,4,5,6．掷两次骰子,设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0,1,2,3的概率为0123p p p p ，，，,则0123p p p p ，，，中最大的是 ．A 0pB 1pC 2pD 3p5乙．黑板上写有111123100， ， ，， 共100个数字．每次操作先从黑板上的数中选取2个数a b ，,然后删去a b ，,并在黑板上写上数a b ab ++,则经过99次操作后,黑板上剩下的数是 ．A2012 B101 C100 D99二、填空题共5小题,每小题6分,共30分6甲．按如图的程序进行操作,规定：程序运行从“输入一个值x ”到“结果是否>487”为一次操作. 如果操作进行四次才停止,那么x的取值范围是 . 6乙.如果a ,b ,c 是正数,且满足9a b c ++=,111109a b b c c a ++=+++,那么OAB CE a b cb c c a a b+++++的值为 ． 7甲．如图,正方形ABCD 的边长为215E ,F 分别是AB ,BC 的中点,AF 与DE ,DB分别交于点M ,N ,则△DMN 的面积是 . 7乙.如图所示,点A 在半径为20的圆O 上,以OA 为一条对角线作矩形OBAC,设直线BC 交圆O 于D 、E 两点,若12OC =,则线段CE 、BD 的长度差是 ;8甲. 如果关于x 的方程x 2+kx +43k 2－3k +92= 0的两个实数根分别为1x ,2x ,那么2012220111x x 的值为 ．8乙．设n 为整数,且1≤n ≤2012. 若22(3)(3)n n n n -+++能被5整除,则所有n 的个数为 .9甲. 2位八年级同学和m 位九年级同学一起参加象棋比赛,比赛为单循环,即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分,负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后,所有同学的得分总和为130分,而且平局数不超过比赛局数的一半,则m 的值为 .9乙．如果正数x ,y ,z 可以是一个三角形的三边长,那么称x y z （，，）是三角形数．若a b c （，，）和111a b c （，，）均为三角形数,且a ≤b ≤c ,则ac的取值范围是 . 10甲如图,四边形ABCD 内接于⊙O ,AB 是直径,AD = DC . 分别延长BA ,CD ,交点为E . 作BF ⊥EC ,并与EC 的延长线 交于点F . 若AE = AO ,BC = 6,则CF 的 长为 .xyO ECABD10乙．已知n 是偶数,且1≤n ≤100．若有唯一的正整数对a b （，）使得22a b n =+成立,则这样的n 的个数为 ．三、解答题共4题,每题15分,共60分11甲．已知二次函数232y x m x m =++++（）,当13x -<<时,恒有0y <；关于x 的方程2320x m x m ++++=（）的两个实数根的倒数和小于910-．求m 的取值范围． 11乙. 如图所示,在直角坐标系xOy 中,点A 在y 轴负半轴上,点B 、C 分别在x 轴正、负半轴上,48,,sin 5AO AB AC C ==∠AB =;点D 在线段AB 上,连结CD交y 轴于点E,且COE ADE S S ∆∆=;试求图像经过B 、C 、E 三点的二次函数的解析式; 12甲. 如图,⊙O 的直径为AB ,1O 过点O ,且与⊙O 内切于点B ．C 为⊙O 上的点,OC 与1O 交于点D ,且OD CD >．点E 在OD 上,且DC DE =,BE 的延长线与1O 交于点F ,求证：△BOC ∽△1DO F ．12乙．如图,⊙O 的内接四边形ABCD 中,AC ,BD 是它的对角线,AC 的中点I 是△ABD 的内心. 求证： 1OI 是△IBD 的外接圆的切线； 2AB +AD = 2BD .13甲. 已知整数a ,b 满足：a －b 是素数,且ab 是完全平方数. 当a ≥2012时,求a 的最小值. 13乙．给定一个正整数n ,凸n 边形中最多有多少个内角等于150︒并说明理由．14甲. 求所有正整数n ,使得存在正整数122012x x x ，， ，,满足122012x x x <<<,且122012122012n x x x +++=. 14乙．将2,3,…,n n ≥2任意分成两组,如果总可以在其中一组中找到数a b c ，， 可以相同,使得b a c =,求n 的最小值．参考解答一、选择题1甲 .C解：由实数a ,b ,c 在数轴上的位置可知0b a c <<<,且b c >,所以||||()()()a b b c a a b c a b c ++=-+++--+a =-．1乙．B解：1111111223a+=+=++111=+=+=．2甲．D解：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性,可知两个交点关于原点对称,因此另一个交点的坐标为3,2.2乙．B解：由题设x 2＋y 2≤2x ＋2y , 得0≤22(1)(1)x y -+-≤2. 因为x y ，均为整数,所以有 解得以上共计9对x y （，）.3甲．D解：由题设知,1112a a b a b <+<++<+,所以这四个数据的平均数为1(1)(1)(2)34244a ab a b a b+++++++++=, 中位数为(1)(1)44224a ab a b ++++++=, 于是4423421444a b a b ++++-=. 3乙．B解：如图,以CD 为边作等边△CDE ,连接AE . 由于AC = BC ,CD = CE ,∠BCD =∠BCA +∠ACD =∠DCE +∠ACD =∠ACE , 所以△BCD ≌△ACE , BD = AE . 又因为30ADC ∠=︒,所以90ADE ∠=︒. 在Rt △ADE 中,53AE AD ==，，于是DE 224AE AD -=,所以CD = DE = 4. 4甲．D解：设小倩所有的钱数为x 元、小玲所有的钱数为y 元,x y ，均为非负整数. 由题设可得消去x 得 2y －7n = y +4, 2n =721517215)72(-+=-+-y y y .因为1527y -为正整数,所以2y －7的值分别为1,3,5,15,所以y 的值只能为4,5,6,11．从而n 的值分别为8,3,2,1；x 的值分别为14,7,6,7．4乙．C解：由一元二次方程根与系数关系知,两根的乘积为0q -<,故方程的根为一正一负．由二次函数2y x px q =--的图象知,当3x =时,0y >,所以2330p q -->,即39p q +<. 由于p q ，都是正整数,所以1p =,1≤q ≤5；或 2p =,1≤q ≤2,此时都有240p q ∆=+>. 于是共有7组p q （，）符合题意． 5甲．D解：掷两次骰子,其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个,其和除以4的余数分别是0,1,2,3的有序数对有9个,8个,9个,10个,所以01239891036363636p p p p ====，，，,因此3p 最大． 5乙．C解：因为1(1)(1)a b ab a b +++=++,所以每次操作前和操作后,黑板上的每个数加1后的乘积不变．设经过99次操作后黑板上剩下的数为x ,则1111(11)(1)(1)(1)23100x +=++++, 解得 1101x +=,100x =．二、填空题6甲．7＜x ≤19解：前四次操作的结果分别为3x －2,33x －2－2 = 9x －8,39x －8－2 = 27x －26,327x －26－2 = 81x －80.由已知得 27x －26≤487, 81x －80＞487.解得 7＜x ≤19.容易验证,当7＜x ≤19时,32x -≤487 98x -≤487,故x 的取值范围是 7＜x ≤19．6乙.7解：在910111=+++++a c c b b a 两边乘以9=++c b a 得 103=++++++a c b c b a b a c 即7=+++++ac b c b a b a c 7甲．8解：连接DF ,记正方形ABCD 的边长为2a . 由题设易知△BFN ∽△DAN ,所以21AD AN DN BF NF BN ===, 由此得2AN NF =,所以23AN AF =.在Rt △ABF 中,因为2AB a BF a ==，,所以225AF AB BF a =+=,于是 25cos 5AB BAF AF ∠==. 由题设可知△ADE ≌△BAF ,所以 AED AFB ∠=∠,0018018090AME BAF AED BAF AFB ∠=-∠-∠=-∠-∠=. 于是 25cos AM AE BAF =⋅∠, 2453MN AN AM AF AM =-=-=,415MND AFD S MN S AF ∆∆==. 又21(2)(2)22AFD S a a a ∆=⋅⋅=,所以2481515MND AFD S S a ∆∆==. 因为15a =所以8MND S ∆=. 7乙.285解：如图,设DE 的中点为M ,连接OM ,则OM DE ⊥．因为16OB =,所以161248205OB OC OM BC ⋅⨯===, 366455CM BM ===，． CE BD EM CM DM BM -=---（）（）643655BM CM =-=-285=． 8甲．32-解：根据题意,关于x 的方程有∆=k 2－4239(3)42k k -+≥0,由此得 k －32≤0．又k －32≥0,所以k －32=0,从而k =3. 此时方程为x 2+3x +49=0,解得x 1=x 2=32-. 故2012220111x x =21x =23-． 8乙.1610解：()()()953332422222++=-+=+++-n n n n n n n n因此45|(9)n +,所以)5(mod 14≡n ,因此25k ,15±±=或k n 所以共有2012-402=1610个数9甲．8解：设平局数为a ,胜负局数为b ,由题设知23130a b +=,由此得0≤b ≤43. 又 (1)(2)2m m a b +++=,所以22(1)(2)a b m m +=++. 于是 0≤130(1)(2)b m m =-++≤43,87≤(1)(2)m m ++≤130,由此得 8m =,或9m =.当8m =时,405b a ==，；当9m =时,2035b a ==，,5522a b a +>=,不合题设. 故8m =．9乙.1253≤<-ca解：依题意得：(1)111(2)a b c b c a +>⎧⎪⎨+>⎪⎩,所以a c b ->,代入2得 c a c c b a 11111+-<+<,两边乘以a 得 c a a c a +-<1,即a c ac a c -<-,化简得0322<+-c ac a ,两边除以2c 得 23()10a a c c ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以253253+<<-c a 另一方面：a ≤b ≤c,所以1≤ca综合得1253≤<-c a 另解：可令ak c=,由1得(1)b k c >-,代入2化简得2310k k -+<,解得3535k -+<<,另一方面：a ≤b ≤c,所以1k ≤, 综合得351k -<≤． 10甲．223 解：如图,连接AC ,BD ,OD .由AB 是⊙O 的直径知∠BCA =∠BDA = 90°.依题设∠BFC = 90°,四边形ABCD 是⊙O的内接四边形,所以∠BCF =∠BAD ,所以 Rt △BCF ∽Rt △BAD ,因此BC BACF AD=. 因为OD 是⊙O 的半径,AD = CD ,所以OD 垂直平分AC ,OD ∥BC , 于是2DE OEDC OB==. 因此 223DE CD AD CE AD ===，.由△AED ∽△CEB ,知DE EC AE BE ⋅=⋅．因为322BA AE BE BA ==，, 所以 32322BA AD AD BA ⋅=⋅,BA =22AD ,故AD CF BCBA =⋅=2=. 10乙.12 解：依题意得()()b a b a b a n -+=-=22由于n 是偶数,a+b 、a-b 同奇偶,所以n 是4的倍数,即4n k =,当1≤n ≤100时,4的倍数共有25个,但要满足题中条件的唯一正整数对a b （，）,则：2k p k p ==或,其中p 是素数,因此,k 只能取下列12个数：2、3、5、7、11、13、17、19、23、4、9、25,从而这样的n 有12个;三、解答题11甲．解： 因为当13x -<<时,恒有0y <,所以23420m m ∆=+-+>（）（）,即210m +>（）,所以1m ≠-．…………3分当1x =-时,y ≤0；当3x =时,y ≤0,即2(1)(3)(1)2m m -++-++≤0,且 233(3)2m m ++++≤0,解得m ≤5-．…………8分设方程()()2320x m x m ++++=的两个实数根分别为12x x ，,由一元二次方程根与系数的关系得()121232x x m x x m +=-+=+，．因为1211910x x +<-,所以121239210x x m x x m ++=-<-+, 解得12m <-,或2m >-．因此12m <-．…………15分11乙.解：因为sin ∠ABC =45AO AB =,8AO =, 所以AB = 10．由勾股定理,得262BO AB AO -=．易知ABO ACO △≌△, 因此 CO = BO = 6．于是(08)A -，,(60)B ，,(60)C -，．设点D 的坐标为()m n ，．由COE ADE S S =△△,得CDB AOB S S =△△．所以 1122BC n AO BO ⋅=⋅,1112()8622n ⨯-=⨯⨯． 解得 4n =-．因此D 为AB 的中点,点 D 的坐标为(34)-，．因此CD ,AO 分别为AB ,BC 的两条中线,点E 为△A BC 的重心,所以点E 的坐标为8(0)3-，．也可由直线CD 交y 轴于点E 来求得. 设经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为(6)(6)y a x x =-+．将点E 的坐标代入,解得a =272． 故经过B ,C ,E 三点的二次函数的解析式为228273y x =-． 12甲． 证明：连接BD ,因为OB 为1O 的直径,所以90ODB ∠=︒．又因为DC DE =,所以△CBE 是等腰三角形．…………5分设BC 与1O 交于点M ,连接OM ,则90OMB ∠=︒．又因为OC OB =,所以22BOC DOM DBC ∠=∠=∠12DBF DO F =∠=∠．…………10分又因为1BOC DO F ∠∠，分别是等腰△BOC ,等腰△1DO F 的顶角,所以△BOC ∽△1DO F ．…………15分12乙.证明：1如图,根据三角形内心的性质和同弧上圆周角相等 的性质知：CID IAD IDA ∠=∠+∠,CDI CDB BDI BAC IDA IAD IDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠．所以CID CDI ∠=∠, CI = CD ．同理,CI = CB ．故点C 是△IBD 的外心．连接OA ,OC ,因为I 是AC 的中点,且OA = OC ,所以OI ⊥AC ,即OI ⊥CI ．故OI 是△IBD 外接圆的切线． 2如图,过点I 作IE ⊥AD 于点E ,设OC 与BD 交于点F ．由BC CD =,知OC ⊥BD ．因为∠CBF =∠IAE ,BC = CI = AI ,所以Rt BCF Rt AIE △≌△．所以BF = AE ． 又因为I 是△ABD 的内心,所以22AB AD BD AE BD BD BF BD +-=+-==． 故2AB AD BD +=．也可由托勒密定理得：AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅=⋅,再将22AC BC CD ==代入即得结论2AB AD BD +=;13甲．解：设a －b = mm 是素数,ab = n 2n 是自然数.因为 a +b 2－4ab = a －b 2,所以 2a －m 2－4n 2 = m 2,2a －m +2n 2a －m －2n = m 2.…………5分1当1n ≥时,因为2a －m +2n 与2a －m －2n 都是正整数,且2a －m +2n ＞2a －m －2n m 为素数,所以 2a －m +2n =m 2,2a －m －2n =1.解得 a =2(1)4m +,n =214m -. 于是 b = a －m =214m -（）. …………10分又a ≥2012,即2(1)4m +≥2012. 又因为m 是素数,解得m ≥89. 此时,a ≥41)(892+=2025. 当2025a =时,89m =,1936b =,1980n =.此时,a 的最小值为2025.2当0n =时,因为a ≥2012,所以0b =,从而得a 的最小值为2017素数; 综上所述,所求的a 的最小值为2017;……15分13乙.解：设凸n 边形最多有k 个内角等于150°,则每个150°内角的外角 都等于30°,而凸n 边形的n 个外角和为360°,所以3601230k ≤=,只有当12n =时, k 才有最大值12. …………5分下面我们讨论12n ≠时的情况：1当12n >时,显然,k 的值是11；2当3,4,5,6,7n =时,k 的值分别为1,2,3,4,5；3当8,9,10,11n =时,k 的值分别为7,8,9,10. …………10分综上所述,当37n ≤≤时,凸n 边形最多有2n -个内角等于150°；当811n ≤≤时,凸n 边形最多有1n -个内角等于150°；当12n =时,凸n 边形最多有12个内角等于150°；当12n >时,凸n 边形最多有11个内角等于150°;. ……15分14甲．解：由于122012x x x ，， ，都是正整数,且122012x x x <<<,所以1x ≥1,2x ≥2,…,2012x ≥2012． 于是 122012122012n x x x =+++≤1220122012122012+++=． …………5分当1n =时,令12201220122201220122012x x x ==⨯=⨯，， ，,则1220121220121x x x +++=. …………10分当1n k =+时,其中1≤k ≤2011,令 1212k x x x k ===，， ，， 122012(2012)(1)(2012)(2)(2012)2012k k x k k x k k x k ++=-+=-+=-⨯,，,则1220121220121(2012)2012k k x x x k+++=+-⋅-1k n =+=． 综上,满足条件的所有正整数n 为122012， ， ， ．…………15分14乙.解：当1621n =-时,把23n ， ， ，分成如下两个数组：{}88162322121+-， ， ， ， ， 和{}84521-， ， ， ． 在数组{}88162322121+-， ， ， ， ， 中,由于38821632221<>-（，）,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．在数组{}84521-， ， ， 中,由于48421>-,所以其中不存在数a b c ，，,使得b a c =．所以,162n ≥．下面证明当162n =时,满足题设条件．不妨设2在第一组,若224=也在第一组,则结论已经成立．故不妨设224=在第二组． 同理可设4842=在第一组,8216(2)2=在第二组．此时考虑数8．如果8在第一组,我们取8282a b c ===，，,此时b a c =；如果8在第二组,我们取16482a b c ===，，,此时b a c =． 综上,162n =满足题设条件．所以,n 的最小值为162．注：也可以通过考虑2,4,16,256,65536的分组情况得到n最小值为65536．。
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全国初中数学竞赛试题及参考答案一．选择题（5×7'=35'）1.对正整数n ，记n ！=1×2×...×n,则1!+2!+3!+...+10!的末位数是( )．A ．0B ．1C ．3D ．5【分析】5≥n 时，n ！的个位数均为0，只考虑前4个数的个位数之和即可，1+2+6+4=13，故式子的个位数是3. 本题选C ．2.已知关于x 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x x x 235352恰好有5个整数解，则t 的取值范围是( )． 2116.-<<-t A 2116.-<≤-t B 2116.-≤<-t C 2116.-≤≤-t D 【分析】2023235352<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-+->-+x t x t x x x ，则5个整数解是15,16,17,18,19=x ．注意到15=x 时，只有4个整数解．所以2116152314-≤<-⇒<-≤t t ，本题选C 3.已知关于x 的方程xx x a x x x x 22222--=-+-恰好有一个实根，则实数a 的值有( )个． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【分析】422222222+-=⇒--=-+-x x a xx x a x x x x ，下面先考虑增根： ⅰ）令0=x ，则4=a ，当4=a 时，0,1,022212===-x x x x （舍）；ⅱ）令2=x ，则8=a ，当8=a 时，2,1,0422212=-==--x x x x （舍）；再考虑等根：ⅲ）对04222=-+-a x x ，270)4(84=→=--=∆a a ，当21,272,1==x a . 故27,8,4=a ，21,1,1-=x 共3个.本题选C ．4.如图，已知△ABC 的面积为24，点D 在线段AC 上，点F 在线段BC 的延长线上，且BC=4CF ，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为( )．A ．3B ．4C ．5D ．6【分析】设ABC ∆底边BC 上的高为h ，则DE CF CF BC h 121244848====，)(2121212121h h DE h DE h DE S S BDE ADE +⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅=+∆∆本题选D ．6122121=⋅⋅=⋅⋅=DE DE h DE5.在分别标有号码2,3,4,...,10的9个球中，随机取出两个球，记下它们的标号，则较大标号被较小标号整除的概率是( )．41.A 92.B 185.C 367.D 【分析】9236811291214==+++=C C C P 本题选B ．二．填空题（5×7'=35'）6.设33=a ，b 是a 2的小数部分，则3)2+b （的值为 ． 【分析】考虑到33=a ，则33333332292,29,327982，93=+-==<<===b b a 则9)9()2333==+b （7.一个质地均匀的正方体的六个面上分别标有数1、2、3、4、5、6．掷这个正方体三次，则其朝上的面的数的和为3的倍数的概率是 ．【分析】对第一次向上面为1时，后面两次所得数字与1的和是3的倍数有111，114，123，126，132，135，141，144，153，156，162，165共12种；对于首次掷得向上的面是2，3，4，5，6的，后面两次与首次的和为3的倍数是轮换对称的，故和为3的倍数共有612⨯，而总次数是666⨯⨯次，则其概率为31666612=⨯⨯⨯=P .8.已知正整数a 、b 、c 满足a +b 2-2c -2=0,3a 2-8b +c=0，则abc 的最大值为 ．【分析】先消去c ，再配方估算．24166)8()121(621662222+=-++⇒=-++b a b b a a 观察易知上式中3≤a ，故3,2,1=a ，经试算，2,1=a 时，b 均不是整数；当3=a 时，11,5=b ，于是有)61,11,3(),13,5,3(),,(=c b a ，故201361113m ax =⨯⨯=abc ．9. 实数a 、b 、c 、d 满足：一元二次方程x 2+cx +d=0的两根为a 、b ，一元二次方程x 2+ax +b=0的两根为c 、d ，则所有满足条件的数组（a 、b 、c 、d ）为 ．【分析】由根与系数关系知b cd d ab d b a d c c b a ===⇒=++=++,,0，然后可得 （a 、b 、c 、d ）=(1,-2,1,-2)本题在化简过程中，总感觉还有，此处仅给出一组，好像不严谨，期待官方答案．10.小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售4元，园珠笔每支售7元，开始时他有铅笔和圆珠笔共350支，当天虽然没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013元，则他至少卖出了 支圆珠笔．【分析】设4元的卖x 支，7元的卖y 支，则350,201374<+=+y x y x4125031820124201374++-=⇒++-=⇒=+y y x y y x y x 令1441-=⇒=+k y k y ，则k k k x 7505)14(2503-=+--=，又350≤+y x ，即523151350147505≥−−→−≥⇒≤-+-∈k k k k N k ，207152414=-⨯≥-=k y 即他至少卖了207支圆珠笔．三．解答题（4×20'=80'）11．如图，抛物线y =ax 2+bx -3，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OB=OC=3OA ．直线131+-=x y 与y 轴交于点D ，求∠DBC -∠CBE ．【分析】易知4)1(3222--=--=x x x y ，)4,1()3,0()0,3(),0,1(---D C B A ，，，作EF ⊥C O 于F ，连CE ，易知△OBC 、△CEF 都是等腰直角三角形，则△CBE 是直角三角形．分别在Rt△OBD 、Rt △BCE 中运用正切定义，即有31232tan 31tan =====BC CE ，OB OD βα，则βα= 从而可得∠DBC -∠CBE=45º．12．如图，已知AB 为圆O 的直径，C 为圆周上一点，D为线段OB 内一点(不是端点)，满足CD ⊥AB ，DE ⊥CO ，E 为垂足，若CE =10，且AD 与DB 的长均为正整数，求线段AD 的长．【分析】设圆O 半径为r ，则由相似或三角函数或射影定理可知，)10(1022-=⇒⋅=r DE OE CE DE ，又r r DE CE CD 10)10(10102222=-+=+=由相交弦定理（考虑垂径时）或连AC 、BC 用相似或三角函数，易知r CD BD AD 102==⋅①，而r BD AD 2=+②令y BD x AD ==,，①/②即155210-=⇒==+y x y r r y x xy ，显然有x y <<0，则10<<x y ，即1051150<<⇒<-<y y ，y 为正整数，故9,8,7,6=y ，又x 也为正整数，经逐一试算，仅当30,6==x y 这一组是正整数，故30=AD .13．设a 、b 、c 是素数，记c b a z b a c y a c b x -+=-+=-+=,,，当2,2=-=y x y z 时，a 、b 、c 能否构成三角形的三边长？证明你的结论． 【分析】281102222a z a z z y z a z y c b a z b a c y +±-=⇒=-+−−−→−==+⇒⎩⎨⎧-+=-+=a 、b 、c 是素数，则z c b a =-+为整数，则1281+=+k a ，k 为正整数．化简整理后，有a k k 2)1(=+⎩⎨⎧=+==+==⇒=+==+=⇒3121,2(121121,1a k k ）a a k k 非质数 2,332811-=−−→−=+±-=z a a z ⅰ)112,2529,9,3=⇒=-=⇒=-==b b z x x x y z ,c b a b =<=+=+=1720173,17不能围成三角形;ⅱ)是合数9,16,4,2====b x y z综上所述，以a 、b 、c 不能围成三角形．14．如果将正整数M 放在正整数m 左侧，所得到的新数可被7整除，那么称M 为m 的“魔术数”（例如，把86放在415的左侧，得到的数86415能被7整除，所以称86为415的魔术数) ．求正整数n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a 1，a 2，．．．，a n ，满足对任意一个正整数m ，在a 1，a 2，．．．，a n 中都至少有一个为m 的“魔术数”．【分析】考虑到魔术数均为7的倍数，又a 1，a 2，．．．，a n 互不相等，不妨设n a a a <<<...21，余数必为1、2、3、4、5、6，0，设t k a i i +=7，（6,5,4,3,2,1,0;,...,3,2,1==t n i ），至少有一个为m 的“魔术数”．因为m a k i +⋅10（k 是m 的位数)，是7的倍数，当6≤i 时，而k i a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6中的6个；当7=i 时，而ki a 10⋅除以7的余数都是0，1，2，3，4，5，6这7个数字循环出现，当7=i 时，依抽屉原理，k i a 10⋅与m 二者余数的和至少有一个是7，此时m a k i +⋅10被7整除，即n =7．。
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2000年全国初中数学竞赛试题解答一、选择题（只有一个结论正确）1、设的平均数为M，的平均数为N，N，的平均数为P，若，则M与P的大小关系是（）。
（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不确定。
答：（B）。
∵M＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。
2、某人骑车沿直线旅行，先前进了千米，休息了一段时间，又原路返回千米（），再前进千米，则此人离起点的距离S与时间t的关系示意图是（）。
答：（C）。
因为图（A）中没有反映休息所消耗的时间；图（B）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C）正确地表述了题意。
3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。
（A）甲比乙大5岁；（B）甲比乙大10岁；（C）乙比甲大10岁；（D）乙比甲大5岁。
答：（A）。
由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。
4、一个一次函数图象与直线平行，与轴、轴的交点分别为A、B，并且过点（－1，－25），则在线段AB上（包括端点A、B），横、纵坐标都是整数的点有（）。
（A）4个；（B）5个；（C）6个；（D）7个。
答：（B）。
在直线AB上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整数）．在线段AB上这样的点应满足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。
5、设分别是△ABC的三边的长，且，则它的内角∠A、∠B 的关系是（）。
（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不确定。
答：（B）。
由得，延长CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC与△DAC中，∠C为公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。
6、已知△ABC的三边长分别为，面积为S，△A1B1C1的三边长分别为，面积为S1，且，则S与S1的大小关系一定是（）。
（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不确定。
答：（D）。
分别构造△ABC与△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，显然，即S＞S1；②设，则，S＝10，，则S1＝×100＞10，即S＜S1；③设，则，S＝10，，则，S1＝10，即S＝S1；因此，S与S1的大小关系不确定。
二、填空题7、已知：，那么＝________。
答：1。
∵，即。
∴。
8、如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，则梯形ABCD的面积等于________。
答：66＋6（平方单位）。
作AE、BF垂直于DC，垂足分别为E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。
由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因为AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。
9、已知关于的方程的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。
答：5。
①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。
10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。
那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。
答：2.4米。
作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，两式相加得，由此得米。
即点P 离地面的高度为2.4米。
（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。
）11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。
答：。
直线通过点D（15，5），故BD＝1。
当时，直线通过，两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。
12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。
（注：×100％）答：17％。
设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得：×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为×100％＝17％。
三、解答题13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实数根。
（1）若，求的值。
（2）求的最大值。
解：因为方程有两个不相等的实数根，所以，∴。
根据题设，有。
（1）因为，即。
由于，故。
（2）。
设上是递减的，所以当时，取最大值10。
故的最大值为10。
14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四边形ABCD的面积。
解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。
连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝。
∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。
∴，∵E是AC的中点，∴，，∴，∴。
15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。
对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。
现在有32个人在第一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。
对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。
事实上，设住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，。
交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别考虑如下：设电梯停在第层。
①当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
②当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。
③当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
⑤当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多。
今设电梯停在第层，在第一层有人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：当＝27，＝6时，＝316。
所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。
有人问我，爱情是什么？我不知道，也无从回答，我只知道，为了遇到那个人，我等待了很多年，甚至快要忘了自己到底寻找的是什么？是心灵的寄托还是真实的感受，我不知道，也不在乎，我执着于这份寻觅，我也不怕世事沧桑，更不怕容颜老去，哪怕还有一丝微弱的光，我都会朝着光芒勇敢的追逐。
爱情的世界里，究竟是什么样子？我曾经问了自己无数遍，我想象着，却给不出任何答案。
我只知道：我要遇见你，我渴望见到你,我要把全部的爱给予你！我为什么如此渴望爱情？因为我相信我们的爱情早已命中注定。
都说，住在爱情世界里的人会变傻，她的欢喜和忧愁都会牵动着你的心，她哭了，你会心疼不已；她高兴，你会开心一整天。
你会无时无刻的关注她的喜怒哀乐，第一时间回复她的消息，只要有时间,你的脑海里都是她的影子，为了让她开心快乐，做什么都是值得的。
从此，你的世界里最重要的人就变成了她。
有时候，你们也会吵架，可你从来不生气，因为你爱她，换作别人你会置之不理，而她的一句玩笑话你都会深思半天，到底是自己哪里做的不够好。
因为你怕她生气，怕她伤身，怕她不够幸福，你只想把全世界的爱都给她，这样的吵架让你更心疼、更深爱她。
而他也和你一样，小心翼翼的呵护你们的爱情，都愿意为对方付出，都愿意对方是那个被爱多一点的人。
爱情的世界里，没有对与错，只有爱与被爱，两个人都想多爱对方一点点,都想做那个爱的最深的人,她会把你放在心底，让你聆听她想你时的心跳，让你感受连呼吸的空气都有你的味道。
有人说，爱情有保鲜期，哪怕两个深爱的人，也逃不了魔咒。
还有人说，男人比女人更容易动情，也更容易放弃爱情，甚至移情别恋,而我却笃定爱情的世界里只有你和我 .还记得吗？你曾经无数次问我，什么时候去看你，而我何尝不想时刻在你身边！或许我们的爱情就是适合天南海北各居一方，也许这才是我们爱情保鲜的秘籍，静静的欣赏，悄悄的守望，深深的爱着 .最美的爱情莫过于，一起漫步夕阳西下，看岁月写满人世繁华，一起欣赏落日余晖，听时光吟唱岁月静好。