一个高考热点问题的简洁化处理
高考数学热点难点突破技巧 三角函数的零点问题的处理
第09讲三角函数零点问题的处理【知识要点】三角函数的零点问题，是考试经常考察的重点、热点和难点.三角函数的零点问题的处理一般有以下三种方法：1、单调性+数形结合 .2、分离参数+数形结合. 3、方程+数形结合. 三种方法也不是绝对的，要注意灵活使用.【方法讲评】方法一单调性+数形结合解题步骤一般先研究三角函数的单调性，再数形结合分析.【例1】已知向量，，设函数．（1）若函数的图象关于直线对称，且时，求函数的单调增区间；（2）在（1）的条件下，当时，函数有且只有一个零点，求实数的取值范围．（1）∵函数图象关于直线对称，∴，解得：，∵，∴，∴，由，解得：，所以函数的单调增区间为．∴当或时函数有且只有一个零点．即或，所以满足条件的．【点评】（1）本题第2小问是在第1问的前提下进行的，第1问求出了函数的单调增区间，所以第2小问对零点问题的研究，可以利用单调性+数形结合方法分析解答.第2问首先求复合函数在上的单调性，再数形结合分析函数零点的个数. （2）在解答数学问题时，只要写不等式，一定要注意取等问题，本题第2问，左边可以取等，右边不能取等.【反馈检测1】设P是⊙O：上的一点，以轴的非负半轴为始边、OP为终边的角记为，又向量。
且.（1）求的单调减区间；（2）若关于的方程在内有两个不同的解，求的取值范围.方法二分离参数+数形结合解题步骤先分离参数，再画出方程两边的函数的图像，数形结合分析解答.【例2】已知函数的最大值为．（1）求函数的单调递增区间；（2）将的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若方程-＝0在∈上有解，求实数的取值范围．【解析】（1），由，解得，所以函数的单调递增区间当时，，取最小值-3．方程在∈上有解，即 -3≤≤【点评】(1)本题就是先分离参数，再分别画方程左右两边的函数的图像数形结合分析.(2)本题也可以单调性+数形结合的方法分析解答.它们之间不是绝对的，要注意灵活使用. 【反馈检测2】已知函数的周期为.（1）若，求它的振幅、初相；（2）在给定的平面直角坐标系中作出该函数在的图像；（3）当时，根据实数的不同取值，讨论函数的零点个数.方法三方程+数形结合解题步骤先解方程，再数形结合分析解答.【例3】已知函数.（Ⅰ）当时，求值；（Ⅱ）若存在区间(且)，使得在上至少含有6个零点，在满足上述条件的中，求的最小值.【点评】（1）本题就是先解方程，再数形结合分析解答.本题如果用前面的两种方法，也可以解答，不过比较复杂. （2）如果，所以它不是最小值.【反馈检测3】已知函数，其中常数；（1）若在上单调递增，求的取值范围；（2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．高中数学热点难点突破技巧第09讲：三角函数零点问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）的单调减区间是：、；（2），且.【反馈检测1详细解析】（2）因，则.设，所以有两个不同的解，由题得. 借助函数图象可知：，即所以得：，且【反馈检测2答案】（1），；（2）详见解析；（3）当或时，函数无零点；当时，函数仅有一个零点；当或时，函数有两个零点；当时，函数有三个零点.【反馈检测2详细解析】（1）化为，由得，即.（1）函数的振幅是，初相为（2）列表2 0 0【反馈检测3答案】（1）（2）【反馈检测3详细解析】(1)因为，根据题意有(2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．。
备战2021高考理数热点题型和提分秘籍 专题20 简单的三角恒等变换(解析版)
专题二十 简洁的三角恒等变换【高频考点解读】1.把握二倍角的正弦、余弦、正切公式．2.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简洁的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).【热点题型】题型一 已知三角函数值求值例1、已知角A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，OM →＝(sin B ＋cos B ，cos C )，ON →＝(sin C ，sin B －cos B )，OM →·ON →＝－15.(1)求tan2A 的值；(2)求2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4的值．(2)∵tan A ＝－34，∴2cos 2A2－3sin A －12sin A ＋π4＝cos A －3sin A cos A ＋sin A ＝1－3tan A1＋tan A＝1－3×－341＋－34＝13.【提分秘籍】对于条件求值问题，即由给出的某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变角”即使“目标角”变换成“已知角”．若角所在象限没有确定，则应分状况争辩，应留意公式的正用、逆用、变形运用，把握其结构特征，还要留意拆角、拼角等技巧的运用．【举一反三】已知α∈(π2，π)，且sin α2＋cos α2＝62.(1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈(π2，π)，求cos β的值．【热点题型】题型二 已知三角函数值求角例2、如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边做两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点，已知A 、B 两点的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．又∵α、β为锐角， ∴0＜α＋2β＜3π2，∴α＋2β＝3π4.【提分秘籍】(1)已知某些相关条件，求角的解题步骤： ①求出该角的范围；②结合该角的范围求出该角的三角函数值．(2)依据角的函数值求角时，选取的函数在这个范围内应是单调的． 【举一反三】已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)相互垂直，其中θ∈(0，π2)．(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若sin(θ－φ)＝1010，0<φ<π2，求φ的值．【热点题型】题型三 正、余弦定理的应用例3、在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知cos A －2cos C cos B ＝2c －ab .(1)求sin Csin A的值；(2)若cos B ＝14，b ＝2，求△ABC 的面积S .【解析】 (1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝k ，【提分秘籍】(1)利用正弦定理，实施角的正弦化为边时只能是用a 替换sin A ，用b 替换sin B ，用c 替换sin C . sin A ，sin B ，sin C 的次数要相等，各项要同时替换，反之，用角的正弦替换边时也要这样，不能只替换一部分；(2)以三角形为背景的题目，要留意三角形的内角和定理的使用．像本例中B ＋C ＝60°；(3)在求角的大小肯定要有两个条件才能完成：①角的范围；②角的某一三角函数值．在由三角函数值来推断角的大小时，肯定要留意角的范围及三角函数的单调性．【举一反三】在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，且3a ＝2c sin A . (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．解：(1)由3a ＝2c sin A ，依据正弦定理，sin C ＝c sin A a ＝32，又0<C <π2，则C ＝π3.【热点题型】题型四 解三角形与实际问题例4、如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点．现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船马上前往营救，其航行速度为30海里/时，该救援船到达D 点需要多长时间？又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝203(海里)，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBC ＝300＋1200－2×103×203×12＝900，∴CD ＝30(海里)，则需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点需要1小时.【提分秘籍】应用解三角形学问解决实际问题需要下列四步：(1)分析题意，精确 理解题意，分清已知与所求，尤其要理解题中的有关名词、术语，如坡度、仰角、俯角、视角、方位角等；(2)依据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出；(3)将所求问题归结到一个或几个三角形中，通过合理运用正、余弦定理等有关学问正确求解； (4)检验解出的结果是否具有实际意义，对结果进行取舍，得出正确答案． 【举一反三】如图所示，上午11时在某海岛上一观看点A 测得一轮船在海岛北偏东60°的C 处，12时20分测得船在海岛北偏西60°的B 处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km 的E 港口，假如轮船始终匀速直线前进，问船速为多少？在△ABE 中，由余弦定理，得BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos30°＝163＋25－2×433×5×32＝313，故BE ＝313. ∴船速v ＝BEt ＝31313＝93 (km/h)．故该船的速度为93 km/h. 【高考风向标】1．（2022·全国卷）直线l 1和l 2是圆x 2＋y 2＝2的两条切线．若l 1与l 2的交点为(1，3)，则l 1与l 2的夹角的正切值等于________．2．（2022·全国卷）若函数f (x )＝cos 2x ＋a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2是减函数，则a 的取值范围是________．3．（2022·福建卷）已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．【解析】方法一：(1)由于0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.所以f (α)＝22×⎝⎛⎭⎫22＋22－12＝12.4．（2022·四川卷）已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)若α是其次象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值． 【解析】(1)由于函数y ＝sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π2＋2k π，π2＋2k π，k ∈Z ， 由－π2＋2k π≤3x ＋π4≤π2＋2k π，k ∈Z ，得－π4＋2k π3≤x ≤π12＋2k π3，k ∈Z.所以，函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤－π4＋2k π3，π12＋2k π3，k ∈Z.5．（2022·天津卷）已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R. (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值．(2)由于f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数，在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数，f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12. 6．（2022·北京卷）如图1-2，在△ABC 中，∠B ＝π3，AB ＝8，点D 在BC 边上，且CD ＝2，cos ∠ADC ＝17.(1)求sin ∠BAD ； (2)求BD ，AC 的长．图1-27．（2022·福建卷）在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝4，BC ＝23，则△ABC 的面积等于________．【答案】23 【解析】 由BC sin A ＝AC sin B ，得sin B ＝4sin 60°23＝1，∴B ＝90°，C ＝180°－(A ＋B )＝30°，则S △ABC ＝12·AC ·BC sin C ＝12×4×23sin 30°＝23，即△ABC 的面积等于2 3.8．（2022·湖南卷）如图1-5所示，在平面四边形ABCD 中，AD ＝1，CD ＝2，AC ＝7.图1-5(1)求cos∠CAD的值；(2)若cos∠BAD ＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．9．（2022·四川卷）如图1-3所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)10．（2021·四川卷）设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．11．（2021·重庆卷）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋2ab＝c2.(1)求C；(2)设cos Acos B＝3 25，cos（α＋A）cos（α＋B）cos2α＝25，求tan α的值．【解析】(1)由于a2＋b2＋2ab＝c2，所以由余弦定理有cos C＝a2＋b2－c22ab＝－2ab2ab＝－22.故C＝3π4.(2)由题意得（sin αsin A－cos αcos A）（sin αsin B－cos αcos B）cos2α＝25，12．（2021·重庆卷）4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.2＋32C. 3 D ．2 2－1【随堂巩固】1．已知sin θ2＝45，cos θ2＝－35，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．其次象限C ．第三象限D ．第四象限解析：sin θ＝2sin θ2cos θ2＝2×45×(－35)<0.cos θ＝cos 2θ2－sin 2θ2＝925－1625＝－725<0，∴θ是第三象限角．答案：C2．已知sin α＝55，则cos4α的值是( ) A.425 B ．－725C.1225D ．－18253．若－2π<α<－3π2，则1－cos α－π2的值是( )A ．sin α2B ．cos α2C ．－sin α2D ．－cos α24．已知θ为其次象限角，sin(π－θ)＝2425，则cos θ2的值为( )A.35B.45 C ．±35D ．±455．已知x ∈(π2，π)，cos 2x ＝a ，则cos x ＝( )A.1－a2B ．－1－a2C.1＋a2D ．－1＋a2解析：依题意得cos 2x ＝1＋cos 2x 2＝1＋a 2；又x ∈(π2，π)，因此cos x ＝－1＋a2. 答案：D6．若cos α＝－45，α是第三象限角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12 C ．2D ．－27．已知cos 2α＝14，则sin 2α＝________.解析：sin 2α＝1－cos 2α2＝38.答案：388．sin 2B1＋cos 2B －sin 2B ＝－3，则tan 2B ＝________. 解析：sin 2B 1＋cos 2B －sin 2B＝2sin B cos B2cos 2B ＝tan B ＝－3.∴tan2B ＝2tan B 1－tan 2B ＝34.答案：349．设α是其次象限角，tan α＝－43，且sin α2<cos α2，则cos α2＝________.10．化简：2sin(π4－x )＋6cos(π4－x )11．求3tan 10°＋14cos 210°－2sin 10°的值．解：原式＝3sin 10°＋cos 10°cos 10°2cos 20°sin 10°＝2sin 10°＋30°2cos 20°sin 10°cos 10°＝2sin 40°sin 20°cos 20°＝2sin 40°12sin 40°＝4.12．已知函数f (x )＝3sin2x －2sin 2x . (1)求函数f (x )的最大值； (2)求函数f (x )的零点的集合．解：(1)由于f (x )＝3sin 2x －(1－cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π6)－1，所以，当2x ＋π6＝2k π＋π2，k ∈Z ，即x ＝k π＋π6，k ∈Z时，函数f (x )取得最大值1.。
2014年高考考前复习材料 长效热点问题举例
2014年高考考前复习材料长效热点问题举例长效热点问题举例1古今中外“民本”思想和“民生”问题民生问题自古有之，不同时期、不同国家解决方式不尽相同。
近年来，加快推进以改善民生为重点的社会建设，着力保障和改善民生，推进社会体制改革，扩大公共服务，完善社会管理，促进社会公平正义，构建和谐社会，成为中国共产党在新的历史时期奋力追求的理想和目标。
1．中国古代封建统治者试图通过轻徭薄赋的改革，减轻农民负担，解决民计民生问题，如北宋中期的王安石变法等，确保农民生产时间，减轻农民赋役负担。
2．孙中山为解决民生问题提出了平均地权的主张。
这一主张最终未能实现的根本原因是资产阶级的局限性，没有提出彻底的土地革命纲领。
3．美国罗斯福新政解决社会公共服务方面的民生问题的措施是推行“以工代赈”，建立社会保障制度。
在当时起到了缓和社会矛盾，稳定社会秩序；增加就业，改善人民生活历史作用。
4．中国共产党关注民生、重视民生、保障民生、改善民生的措施：（1）1949年新中国成立，结束了半殖民地半封建社会的屈辱历史。
建国初期，党和政府就着手恢复经济、发展生产，改善人民物质生活。
具体措施：没收官僚资本，土地改革，平抑物价，打击投机倒把，合理调整工商业等。
（2）新中国的成立，奠定了人民当家作主的政治基础。
党和政府为保障人民当家作主，采取的举措是：建立共产党领导下的多党合作与政治协商制度，实行人民代表大会制度，制定《中华人民共和国宪法》，实行民族区域自治制度；加强民主法制建设。
（3）在全面建设社会主义的头20年里，中国共产党在处理民生问题上存在的主要问题是政治、经济方面“左”倾错误的推行，生产遭到破坏，农轻重比例严重失调，人民生活长期得不到改善；高度集中的政治、经济体制束缚生产力的发展，人民生产积极性受挫。
后来解决这一问题的措施是改革开放后，我国实行经济体制改革，粮食产量提高；计划经济体制向社会主义市场经济体制过渡。
（4）20世纪70年代末以来，我国农村经济全面振兴，主要原因在于中央政府肯定并发展了“农民两大伟大创举”。
55高考热点问题分析
（2019江苏）图上是”护送2019奥运圣火登顶珠峰的 大本营”图片，图下是浙江”雁荡胜境”图片。读 图回答第1题。
1．形成珠峰大本营附近碎屑堆积物和雁荡山陡崖峡谷 的主要外力作用分别是（ ）
件及制约因素。
（区位分析）
两极地区
【命题观点与角度】（1）北极重要战略位置和交通位置； （2）两极地区丰富的自然资源开发；（3）两极的自然环境 特点；（4）全球变暖对两极的影响；（5）臭氧空洞问题； （6）地图上方向的判断。
2019的10月20日，我国第25次南极科考队从上海港出征。此次科考的任务之 一是在南极的最高点（ 80025′01"S，77006′58"E ）建设我国第三个南极科考 站——昆仑站。读图，回答1—4题。
水量（m3/万
（m3/亩·年） 元）
446
570
1352
4000
和年降雪等日数线图；
资料二：左图，宁夏沙坡 头经过50年不懈的治沙努 力，成果卓著，1994年被 联合国授予“全球环保500 佳单位”的光荣称号。
（（1）1）读贺资兰料山二，（Q2处分有）一；重该要山的削南落北了走向西山北脉风的侵袭，；阻挡了沙漠的东移； 在（主（（（（分23古要））234）代原）））Q；沙称因处①1A坡0之是年江—头为什降A苏1地.“么利雪5省区日朔？用日的治；方麦数沙生之地草的工活保、势范作障用稻围较卓，草水是高有沙等比，成漠材重气效之料比温，咽扎，宁下较喉设不夏列低”方同说大，，格于法（原状易周正因1的天产以气（削用（填减水正2风比分确速重）项，比；字截宁母留夏）水小。分（1 ②自然原因B.：方格宁状夏沙位障于能干大旱量、吸半收干地下旱水地，区促，使降植水物量生比长江，固苏定少沙得丘多，而蒸发又比 较旺盛（2C分.方）格；状沙障固沙成本低，费工小，应大规模推广 人为原因：D.灌利溉用麦方草式、不稻合草理等（材或料灌扎溉设方技格术状落的后挡、风或墙水，资属源于生利物用固率沙低），浪费严 （重4）（读2分表）1：；①比较两省区在水资源利用结构上有哪些差异及原因？
热点15 函数的零点问题处理策略与解题技巧-2022年高考数学核心热点突破
当 时， ，
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
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则 ，符合题意，
所以 ；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得则 ，（舍去）；
当 时， ，
则函数 的最大值 ，最小值 ，
则 ，解得 ，（舍去），
所以函数 ．当 时，函数 的最大值 与最小值 的差为2， 或 ，
综上： .
【点睛】函数零点的求解与判断方法：
(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．
(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．
(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．
在 时有2个交点,符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时有2个交点,不符合题意；
若 ,直线 与 的图象在 时有1个交点，
在 时无交点,不符合题意；
若 ,,直线 与 的图象至多有一个交点，不符合题意.
所以只有 符合题意.
故选：D.
7.函数 ， 的图象与直线 （ 为常数）的交点可能有（）
一、单选题
5.函数 的一个零点在区间 内，则实数 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断出 在 上是增函数，利用零点存在定理列不等式，即可求a的范围.
【详解】∵ 和 在 上是增函数，
关于高考填报志愿的8个热点问题
关于高考填报志愿的8个热点问题高考填报志愿的8个热点问题1。
若高校专项计划被录取，普通批志愿还可以被录取吗?各省专项计划的填报形式和填报批次不同，在一定的批次录取。
如果考生已被前一批次中的志愿录取，则不参加后续批次的录取。
2。
平行志愿105%投档，那剩余的5%就被退档了吗?高校录取是进行人才的选拔。
平行志愿105%投档，是全部录取还是将多余部分退掉，这要看高校招生章程中的录取规则。
如果院校在招生章程中承诺：“当考生所填报的专业都不能满足时，服从专业调剂，进档不退档”。
考生若符合院校的此规定，则不会被退档。
如果院校没有这种承诺，即使填报了服从专业调剂，因无计划无法调剂时，多余的比例会被退档。
高校遵循的是择优录取的原则，考生在填报志愿时，一定要认真研读高校招生章程。
如果被退档，则参加本批次征集志愿或下一批次录取。
3。
专业级差是每个学校都有吗?在哪里看?部分高校在分配专业时规定了专业级差，视院校而定。
具体高校有无专业级差和专业级差设置请查看高校招生章程，或直接联系高校招办。
4。
若第一志愿未被录取，第二志愿会被降分处理吗?能降多少分?平行志愿模式下不存在志愿级差。
所谓平行志愿，即一个志愿中包含若干所平行的院校，是指考生在填报高考志愿时，可在指定的批次同时填报若干个平行院校志愿。
录取时，按照“分数优先，遵循志愿”的原则进行投档，对同一科类分数线上未被录取的考生按总分从高到低排序进行一次性投档，即所有考生排一个队列，高分者优先投档。
每个考生投档时，根据考生所填报的院校顺序，投档到排序在前且有计划余额的院校。
5。
一批本科不服从调剂被退档，会影响二批本科录取吗?不会。
批与批之间没有联系，前一批次录取不结束，后一批次录取不开始。
6。
被某学校退档，还能进入本批次下一个志愿学校录取吗?目前，大多省实行的是平行志愿录取模式。
平行志愿录取模式有三个特点：1。
分数优先。
在检索考生志愿前，首先将所有考生分科类按总分从高到低排序。
历年高考数学个热点问题一：第炼利用数轴解决集合运算问题含解析
第3炼利用数轴解决集合运算问题数形结合是解决高中数学问题的常用手段，其优点在于通过图形能够直观的观察到某些结果，与代数的精确性结合，能够快速解决一些较麻烦的问题。
在集合的运算中，涉及到单变量的取值范围，数轴就是一个非常好用的工具，本文将以一些题目为例，来介绍如何使用数轴快速的进行集合的交并运算。
一、基础知识：1、集合运算在数轴中的体现：:A B I 在数轴上表示为,A B 表示区域的公共部分:A B U 在数轴上表示为,A B 表示区域的总和:U C A 在数轴上表示为U 中除去A 剩下的部分（要注意边界值能否取到）2、问题处理时的方法与技巧：（1）涉及到单变量的范围问题，均可考虑利用数轴来进行数形结合，尤其是对于含有参数的问题时，由于数轴左边小于右边，所以能够以此建立含参数的不等关系（2）在同一数轴上作多个集合表示的区间时，可用不同颜色或不同高度来区分各个集合的区域。
（3）涉及到多个集合交并运算时，数轴也是得力的工具，从图上可清楚的看出公共部分和集合包含区域。
交集即为公共部分，而并集为覆盖的所有区域（4）在解决含参数问题时，作图可先从常系数的集合（或表达式）入手，然后根据条件放置参数即可3、作图时要注意的问题：（1）在数轴上作图时，若边界点不能取到，则用空心点表示；若边界点能够取到，则用实心点进行表示，这些细节要在数轴上体现出来以便于观察（2）处理含参数的问题时，要检验参数与边界点重合时是否符合题意。
二、例题精析：例1：（2009 安徽）集合21213,03x Ax x B x x ，则A B I =_______思路：先解出,A B 的解集，11,2,,3,2A B U ，作出数轴，则A B I 即为它们的公共部分。
11,2A B I 答案：11,2A B I 例2：设集合23,|8,S x x T x ax a S T R U ，则a 的取值范围是____思路：可解出,15,S U ，而T 集合含有参数，作出数轴，先从容易作图的集合做起，即画出S 的范围，由于S T R U ，而数轴上有一部分区域没有被S 包含，那说明T 集合负责补S 空缺的部分，由于参数决定其端点位置，所以画出图像，有图像观察可得只需要：185aa 即可，解得：31a 答案：31a 小炼有话说：（1）含有参数的问题时，可考虑参数所起到的作用，在本题中参数决定T 区间的端点（2）含有参数的问题作图时可先考虑做出常系数集合的图像，再按要求放置含参的集合（3）注意考虑端点处是否可以重合，通常采取验证的方法，本题若3a 或1a ，则端点处既不在S 里，也不在T 里，不符题意。
高中政治2024届高考具体热点问题讲解与练习(推动大规模设备更新和消费品以旧换新)
高考政治具体热点问题讲解与练习（推动大规模设备更新和消费品以旧换新）【时政背景】2023年12月举行的中央经济工作会议提出，要以提高技术、能耗、排放等标准为牵引，推动大规模设备更新和消费品以旧换新。
2024年3月1日，国务院常务会议审议通过了《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》，指出要有序推进重点行业设备、建筑和市政基础设施领域设备、交通运输设备和老旧农业机械、教育医疗设备等更新改造，积极开展汽车、家电等消费品以旧换新。
2024年3月5日，《政府工作报告》提出稳定和扩大传统消费，鼓励和推动消费品以旧换新，提振智能网联新能源汽车、电子产品等大宗消费。
2024年3月18日，国务院印发《推动大规模设备更新和消费品以旧换新行动方案》。
【方案内容】一、意义：推动大规模设备更新和消费品以旧换新是加快构建新发展格局、推动高质量发展的重要举措，将有力促进投资和消费，既利当前、更利长远。
二、要求：统筹扩大内需和深化供给侧结构性改革，实施设备更新、消费品以旧换新、回收循环利用、标准提升四大行动，大力促进先进设备生产应用，推动先进产能比重持续提升，推动高质量耐用消费品更多进入居民生活，畅通资源循环利用链条，大幅提高国民经济循环质量和水平。
三、四大行动、五个方面、二十项重点任务（一）实施设备更新行动：1.推进重点行业设备更新改造；2.加快建筑和市政基础设施领域设备更新；3.支持交通运输设备和老旧农业机械更新；4.提升教育文旅医疗设备水平。
（二）实施消费品以旧换新行动：5.开展汽车以旧换新；6.开展家电产品以旧换新；7.推动家装消费品换新。
（三）实施回收循环利用行动：8.完善废旧产品设备回收网络；9.支持二手商品流通交易；10.有序推进再制造和梯次利用。
11.推动资源高水平再生利用。
（四）实施标准提升行动：12.加快完善能耗、排放、技术标准；13.强化产品技术标准提升；14加强资源循环利用标准供给；15强化重点领域国内国际标准衔接。
2021届高考数学热点题型训练：第5章 第1节 数列的概念与简单表示 Word版含解析
第一节 数列的概念与简洁表示考点一由数列的前几项归纳数列的通项公式[例1] 依据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式． (1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；(3)12，14，－58，1316，－2932，6164，….[自主解答] (1)数列中各项的符号可通过(－1)n表示，从第2项起，每一项的确定值总比它的前一项的确定值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n(6n －5)．(2)数列变为89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1102，89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1103，…， 故a n ＝89⎝⎛⎭⎪⎫1－110n .(3)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，原数列化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，故a n ＝(－1)n 2n－32n .【方法规律】求数列的通项公式应关注的四个特征 (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．依据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1，32，－13，34，－15，36，….解：(1)各项减去1后为正偶数，∴a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列21,22,23,24，…，∴a n ＝2n－12n .(3)数列的奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因式(－1)n，各项确定值的分母组成数列{n }，分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1.∴a n ＝(－1)n 2＋－1nn.考点二由递推关系式求通项公式[例2] 依据下列条件，确定数列{a n }的通项公式．(1)a 1＝1，a n ＝n －1na n －1(n ≥2)；(2)a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋3n ＋2； (3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2；(4)a 1＝56，a n ＋1＝5a n4a n ＋1.[自主解答] (1)∵a n ＝n －1na n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，…，a 2＝12a 1.以上(n －1)个式子相乘，得a n ＝a 1×12×23×…×n －1n ＝a 1n ＝1n.(2)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝n 3n ＋12(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n 2.(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3.又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2×3n －1.∴a n ＝2×3n －1－1.(4)∵a n ＋1＝5a n4a n ＋1，∴1a n ＋1＝45＋15a n ， ∴1a n ＋1－1＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1. 又1a 1－1＝15， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以15为首项，15为公比的等比数列，∴1a n －1＝15·15n －1＝15n ， ∴a n ＝5n 1＋5n .【方法规律】由递推关系式求通项公式的常用方法(1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；。
2011届高考物理学科热点问题：讲座2 图像问题的处理方法
v/m/s F/N
3
4
2 2 1
t／s
0 2 4 6 8 10 0 2 4 6 8 10
t／s
解析：4s-6s， 图像得F 解析：4s-6s，由F-t图像得 2=2N，由v-t图像得物体匀 - 图像得 =2N， - 图像得物体匀 速运动， 速运动，故F2=µmg。 。 2s-4s由 - 图像得 =3N， - 图像得物体做匀加速 图像得F 2s-4s由F-t图像得 1=3N，由v-t图像得物体做匀加速 运动， 运动， a=2m/s2,故F1-µmg=ma。 =2m/s = 。 解上述两方程得m=0.5kg, =0.4 故选A 解上述两方程得 =0.5kg,µ=0.4，故选A。 =0.5kg, =0.4，
一辆汽车在恒定的功率牵引下， 【典例导悟】1. 一辆汽车在恒定的功率牵引下，在平直 典例导悟】 公路上由静止出发， 4min的时间行驶1.行驶1.8km，则在4min 的时间行驶1.8km 末汽车的速度（ 末汽车的速度（ A、等于7.5m/s 等于7.5m/s C、等于15m/s 等于15m/s ） B、大于7.5m/s B、大于7.5m/s D、小于15m/s 小于15m/s
解析：根据点（1.0π， =2， 解析：根据点（1.0π，2）建立方程F1-F2=2，根据 建立方程 点（0.5π，10）建立 方程 0.5π，10） 解得F =8N， =6N,故选 故选C 解得 1=8N， F2=6N,故选C。
10 = F12 + F22
利用图像的斜率 【理论阐述】 理论阐述】 物理图像的斜率代表两个物理量增量的比值， 物理图像的斜率代表两个物理量增量的比值，其大小 往往代表另一物理量值．如ｓ-ｔ图像的斜率为速度， 图像的斜率为速度， 往往代表另一物理量值．
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一个高考热点问题的简洁化处理⏹“三步法”解答溶液中离子浓度的大小问题⏹番禺区石楼中学肖承明电解质溶液中离子浓度大小比较问题，是高考的“热点”之一，有较好的区分度，多年以来广东和全国高考化学试卷几乎年年涉及。
围绕这一热点问题很多老师都归纳出了很多方法，阐述的文章也很多。
而且每一位备考的化学老师都会作为一个重要的考点帮学生复习，但很多时候三个、四个轮次复习过去了，相关题目做了一大堆，学生还是照错不误，特别是中等偏下的学生，甚至会还是一头雾水还无从下手，老师也只有一旁感叹“不是自己没教好，是学生能力不及”。
笔者认为出现这种状况，除了与这种题型本身考查的知识点多，灵活性、综合性较强有关外，关键的是面对综合性强知识跨度大的考试难点，教者在帮学生将相关的知识梳理同时没有让学生掌握一种“简洁而又行之有效”解题方法，也即还没有做到将一复杂的问题最简洁化处理。
多年的教学中笔者在综合众多同行们研究成果的基础上整理出简洁易行的“三步法”解答这一高考难点，学生熟练掌握此法再复杂的离子浓度大小问题也有章可循引刃而解。
以下是关于离子浓度大小问题的阐述供同行们分享。
一、离子浓度大小问题的所涉的知识点（一）两个“微弱”观念1．弱电解质的电离平衡弱电解质电离的过程是可逆的、微弱的，在一定条件下达到电离平衡状态，对于多元弱酸的电离，可认为是分步电离，且以第一步电离为主。
如在H2S的水溶液中：H2S HS-+H+，HS-S2-+H+，H2O H++OH－，则离子浓度由大到小的顺序为c(H+)＞c(HS-) ＞c(S2-)＞c(OH－)。
2．盐的水解平衡在盐的水溶液中，弱酸根的阴离子或弱碱的阳离子都会发生水解反应，在一定条件下达到水解平衡。
在平衡时，一般来说发生水解反应是微弱的。
多元弱酸根的阴离子的水解，可认为是分步进行的，且依次减弱，以第一步为主。
如在NaCO3溶液中存在的水解平衡是：CO32－＋H2O HCO3－＋OH－，HCO3－＋H2O H2CO 2＋OH－，则c(Na+)＞c(CO32－)＞c(OH－)＞c(HCO3－)＞c（H+）。
3（二）要全面理解三种守恒关系1．电荷守恒：电解质溶液中所有阳离子所带有的正电荷数与所有的阴离子所带的负电荷数相等。
例如：NaHCO3溶液中：n(Na+)＋n(H+)＝n(HCO3－)＋2n(CO32－)＋n(OH－)推出：c(Na+)＋c(H+)＝c(HCO3－)＋2c(CO32－)＋c(OH－)2．物料守恒：电解质溶液中由于电离或水解因素，离子会发生变化变成其它离子或分子等，但离子或分子中某种特定元素的原子的总数是不会改变的。
例如：NaHCO3溶液中n(Na+)：n(C)＝1：1，推出：c(Na+)＝c(HCO3－)＋c(CO32－)＋c(H2CO3)3．质子守恒：电解质溶液中分子或离子得到或失去质子（H+）的物质的量应相等。
例如：在NH4HCO3溶液中H3O+、H2CO3为得到质子后的产物；NH3、OH－、CO32－为失去质子后的产物，故有以下关系：c(H3O+)+c(H2CO3)=c(NH3)+c(OH－)+c(CO32－)。
以上三种守恒是解题的关键，对于这一类题的如何切入、如何展开、如何防止漏洞的出现等只有通过平时的练习认真总结，形成技能，才能很好地解这一类型的题。
二、“三步法”解答步骤第一步：判断溶液中最终的溶质有些题中直接给的是单一溶质，有些题中是给的溶质是两种以上电解质的，两种电解质的电解质有些相互间不反应，有些电解质间还会发生反应。
有很多同学无从下手，屡做屡错的根由就在于没有理清溶液中溶质是什么（特别是发生了反应后的溶质），找到溶质后再根据弱电解质离子的性质，可电离的电离，会水解的要水解，新电离和水解都产生新的离子，找齐所有阴阳离子自然就得到第一个守恒：电荷守恒。
同时也就自然有了第二个守恒：物料守恒。
第二步：判断溶液的酸碱性c(H+)与c(OH－)的大小往往是解题关键的一环。
中性c(H+)＝c(OH－)，酸性c(H +)＞c(OH－)，碱性c(H+)＜c(OH－)，结合电荷守恒和物料守恒就能解答很多考题了。
第三步：综合应用“三守恒”任何电解质溶液都符合电荷守恒、物料守恒和质子守恒三大守恒。
在实际应用中，大部分题只要在一二步的基础上结合电荷守恒就可解答，少量题要用到物料守恒，要用到第三个守恒“质子守恒‘的题是较难的了所以质子守恒是比较少碰到的，其实质子守恒可用前两个守恒作减法推导而得。
例如2010广东理综12题： HA 为酸性略强与醋酸的一元弱酸.在0.1mol.1L - NaA 溶液中，离子浓度关系正确的是A. c （Na +）＞ c （A -）＞ c （H +）＞ c （OH -）B. c （Na +）＞c （OH -） ＞ c （A -） ＞ c （H +）C. c （Na +）+ c （OH -）= c （A - ）+ c （H +）D. c （Na +）+ c （H +）= c （A -）+ c （OH -）解答：第一步找溶质，溶质只有NaA ，A -是弱电解质离子会发生水解，溶液中所有阴阳离子是： Na +、H +、A -、OH -，由电荷守恒：c （Na +）+ c （H +）= c （A -）+ c （OH -），C 选项错而D 选项对。
第二步判断溶液的酸碱性，弱酸盐水解呈碱性有c (H +)＜c (OH －)，因此选项A 错，而选项B 中因水解是微弱的c （OH -） ＜ c （A -）对，选项B 也错，故正确答案为D 。
再如2010上海 16题：下列溶液中微粒浓度关系一定正确的是A ．氨水与氯化铵的pH=7的混合溶液中： 4Cl NH -+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦B ．pH=2的一元酸和pH=12的一元强碱等体积混合： OH H -+⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦C ．O.1 1mol L -⋅的硫酸铵溶液中： 244NH SO H ++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦D ．0.11mol L -⋅的硫化钠溶液中： [][]2OH H HS H S -+⎡⎤⎡⎤=⎣⎦⎣⎦解答：第一步找到溶质再第二步判断溶液的酸碱性，选项A ：溶质产生的阴阳离子是： Cl －、NH 4+、H +、OH -，因pH=7，得c (H +)＝c (OH －)再由电荷守恒可知选项A 错；选项B ：若为强酸强碱混合溶质为强酸强碱盐呈中性，但也可能是弱酸与强碱混合，这样溶质有酸过量则呈酸性，故B 错；选项D ：因溶质水解呈碱性c (H +)＜c (OH －)，选项D 也错，故C 选项为正确答案。
再如2009广东9题：下列浓度关系正确的是A.氯水中：c(Cl 2)=2{c(ClO -)+c(Cl -)+C(HClO)}B.氯水中：c(Cl -)＞c(H +)＞c(OH -)＞c(ClO -)C.等体积等浓度的氢氧化钠与醋酸混合：c （Na +）=c （3CH COO -）D ．23Na CO 溶液中：c （+233a )c()c()c()c()N CO OH HCO H ---+〉〉〉〉 解答：选项A ：溶质有Cl 2、HCl 、HClO,其中HCl 和HClO 是由Cl 2与水反应所产生，根据电离的物料守恒（Cl 原子守恒）可知：c(Cl 2)与水反应=2{c(ClO -)+c(Cl -)+C(HClO)}，但实际溶质中的Cl 2是指没有反应所剩余的，选项A 错；选项B ：溶质有Cl 2、HCl 、HClO, 电荷守恒可知c(H +)＝c(Cl -)＋c(OH -)＋c(ClO -)，故B 错；选项C ：因溶质为只有醋酸钠水解呈碱性c (H +)＜c (OH －)，再由电荷守恒可知，选项C 也错；选项D ：因溶质只有23Na CO ，溶液中所有阴阳离子是： Na +、HCO 3－、OH －、CO 32－、H +，水解呈碱性c (H +)＜c (OH －)，电荷守恒是c (Na +)＋c （H +）＝c (HCO 3－)＋c (OH －)＋2c (CO 32－)…①， 物料守恒是c (Na +)＝2c (HCO 3－)＋2c (CO 32－) ＋2c （H 2CO 3）…②，质子守恒是c （H +）＋c (HCO 3－)＋2c （H 2CO 3）＝c (OH －)…③，由①②可知c (Na +)最大而c (H +)最小，由③式可知c (HCO 3－)＜c (OH －)，再因为水解是微弱的故水解后剩余c (CO 32－)＞水解生成的c (OH －)，选项D 也正确，故D 选项为正确答案。
从上面的举例题解可看出，只要按照“三步法”：第一步找溶质，找齐溶液中所有微粒（包括所有阴阳离子），第二步判断溶液的酸碱性，第三步结合三守恒，对于所有电解质溶液中的离子大小问题可引刃而解，步骤简洁，学生一学就会。
三、 离子浓度大小问题的分类㈠．单一溶液中粒子浓度大小比较⑴仅含一种弱电解质的溶液中粒子浓度大小比较例1．在0.1mol/L 的NH 3·H 2O 溶液中，下列关系正确的是（ ）A 、[NH 3·H 2O]>[OH -]>[NH 4+]>[H +]B 、[NH 4+]> [NH 3·H 2O]>[ OH -]> [H +]C 、[NH3·H2O] >[ NH 4+]=[ OH -]>[ H +]D 、[NH 3·H 2O]> NH 4+]> [H +]> [OH -]解析：NH 3·H 2O 是一元弱碱，在水溶液中少部分发生电离（NH 3·H 2O ＝NH 4++ OH -）,溶质微粒有：NH 4+、NH 3·H 2O 、 OH -、H +、（这是第一步“找对溶质”）所以[NH 3·H 2O]必大于[NH 4+]和[OH -]。
因为电荷守恒是[OH -]＝[H +]+[ NH 4+],溶液呈碱性[ OH -]>[ H +]（这是第二步“判断酸碱性”），所以[OH -]>[ NH 4+],综合起来，[NH 3·H 2O]>[ OH -]>[ NH 4+]>[ H +],答案为A 。
⑵可水解盐溶液中粒子浓度大小比较例2．（01年全国春招题，第18题）在0.1 mol/L Na2CO3溶液中，下列关系正确的是（）A．c(Na+) = 2c(CO32－) B．c(OH－) = 2c(H+)C．c(HCO3－)＞c(H2CO3) D．c(Na+)＜c(CO32－)+c(HCO3－)解答：因溶质只有Na CO，溶液中所有阴阳离子是：Na+、HCO3－、OH－、23CO32－、H+（这是第一步“找对溶质”），水解呈碱性c(H+)＜c(OH－)（这是第二步“判断酸碱性”），电荷守恒是c(Na+)＋c（H+）＝c(HCO3－)＋c(OH－)＋2c(CO32－)…①，物料守恒是c(Na+)＝2c(HCO3－)＋2c(CO32－) ＋2c（H2CO3）…②，质子守恒是c（H+）＋c(HCO3－)＋2c（H2CO3）＝c(OH－)…③，由②可知A错误；又因为CO32－水解以第一步为主，故有c(HCO3－)＞c(H2CO3)，C正确（这是第三步“结合三守恒”）；依据物料守恒有c(Na+)=2[c(CO32-)+c(HCO3-)+ c(H2CO3)]，故c(Na+)＞c(CO32-)+c(HCO3-)，D错误；因由水电离出的H+和OH－的物质的量相等，可得c(OH－)= c(H+)+ c(HCO3-)+2c(H2CO3)，故c(OH-)≠2 c(H+)，B错误。