初中数学九年级上册《19.5相似三角形的判定》PPT课件 (4)
人教版初中九年级数学课精品PPT教学课件-相似三角形的判定
A
A1
即：
B
CB1Βιβλιοθήκη 如果∠A=∠A1，∠B=∠B1. 那么△ABC∽△A1B1C1. C1
如果两个三角形有一个内角对应相 等，那么这两个三角形一定相似吗？
一角对应相等的两个三角形不一定相似.
常用的相等的角：
∠A=∠DCB；∠B=∠ACD
一定需要三个角吗？
即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形 的三个角对应相等，那么这两个三角形_相__似____.
你能证明吗？
角边角 角角边
ASA
AAS
角角 AA
已知：∠A=∠A1，∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
A
B
C B1
C1
知识要点
角角 AA
√
判定三角形相似的定理之三 如果两个三角形的两个角与另一个三角形的
解：∵
AB AD
BC DE
AC ， AE
∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC A
即∠BAD=∠CAE.
E
D
C
B
探究2 边角边
SAS
A
已知：AB BC k, A1B1 B1C1
∠B=∠B1 . 求证：△ABC∽△A1B1C1.
A1
B
C B1
C1
你能证明吗？
A
证明：
12
D
E
∵DE∥BC ∴∠1=∠B，∠2=∠C且∠A=∠A，
B
C ∴△ADE与△ABC的对应角相等.
过E作EF∥AB交BC于F 又∵DE∥BC
相似三角形的判定 课件(共35张PPT)
AD AE DE AB AC BC
26
即:△ADE与△ABC中, ∠A=∠A,∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
AD AE DE AB AC BC
∴△ADE∽△ABC
27
相似三角形的预备定理
平行于三角形一边的直线和其他两边 相交，所构成的三角形与原三角形相似．
5
5
A
C E
21Biblioteka 练习二:(A组)1、如图: 已知 DE∥BC, AB = 14, AC = 18 ， D
AE = 10，
求：AD的长。
B
(B组)
A
2、如图: 已知AB⊥BD，
ED⊥BD，垂足分别为 B B、D。
求证：—AECC— ＝ —BDCC—
E C
C
D
E22
(A组)
DE
1、如图: 已知 DE∥BC,
19
练习一:
A
1、判断题:
如图:DE∥BC, 下列各式是否正确
A: —AA—DB ＝ —AAEC— ( )B: —ABDD—＝ —AC—EE ( ) D
E
C:—AA—CD ＝ —AA—BE ( ) D: —AA—ED ＝ —AA—CB ( )B
C
2、填空题:
ED
如图:DE∥BC,
已知:
—AACE—
D
l3
E
l4
AB 与 DE 相等吗？
C
BC EF
F l5
6
L1 L2
A
D
L3
B
E
L4
C
F
L5
7
L1 L2
A
D
L3
B
相似三角形的判定ppt课件
解 :∵∠C=90°，∠F=90°，∠A=∠D ，
∴ △ABC∽Rt△DEF ．
∴
A
AB BC
= .
DE EF
D
又AB=5，BC=4，DE=3，
∴ EF = 2.4.
C
BF
E
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.如图，在△ 中，为 上一点，且∠ = ∠ ， = 4，
3.4.1相似三角形的判定
（湘教版）九年级 上
内容总览
目录
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂总结
06
作业布置
教学目标
1.理解并掌握利用两角相等判定三角形相似的定理。
2.能够熟练运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决与相似三角
形相关的实际问题。
3.通过观察、分析、猜想和归纳等数学活动，培养学生的数学思维能
= 5，则 =（ A ）
A．6
B．5
C．2 5
D．3 5
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
2.如图，在△ABC中，∠ = ∠ ， = 1， = 3，则AC=
2
．
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.如图，要使Δ与Δ相似，则需添加一个适当的条件是
∠B=∠ADE（答案不唯一）
求证： △DEH∽△BCA.
D
证明 :
∵ ∠C = 90°， ∴ AC⊥BC.
∵ DF⊥BC， ∴ DF∥AC.
H
∴ ∠DHE = ∠A.
又 DE⊥AB， ∴ ∠DEH= 90° = ∠C，
相似三角形PPT课件
THANKS
感谢观看
利用相似三角形的性质，通过已知三 角形的面积和相似比求解未知三角形 的面积。
通过构造相似三角形，使得已知三角 形和未知三角形分别对应相似三角形 的对应边和对应高，从而求解未知三 角形的面积。
对于三维几何体，可以利用相似三角 形的性质求解其体积。例如，对于两 个相似的棱锥，其体积之比等于其对 应边长之比的立方。
1 2
练习1
已知△ABC和△A'B'C'中，AB=6cm，BC=8cm， AC=10cm，A'B'=12cm，B'C'=16cm， A'C'=20cm。求证：△ABC∽△A'B'C'。
练习2
已知△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB于D， AC=6cm，BC=8cm，求CD的长。
3
练习3
已知△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=AC， DE=4cm，DF=6cm。求证：△ABC∽△DEF并求 出它们的相似比。
05
拓展：全等三角形与相似 三角形关系
全等三角形定义及性质回顾
01
全等三角形的定义：两个三角形如果三边及三角分别对应相 等，则称这两个三角形为全等三角形。
02
全等三角形的性质
03
对应边相等；
04
对应角相等；
05
面积相等；
06
周长相等。
全等三角形与相似三角形联系和区别
联系
全等三角形是相似三角形的特例，即 相似比为1:1的情况；
项。
定理证明
通过构造相似三角形，利用相似 三角形的性质证明。
应用举例
求解直角三角形中的边长、角度 等问题。
相似三角形的判定ppt
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
两角对应相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
• 两边对应成比例且夹角相等，则两三角形相似。
总结相似三角形的判定方法及应用
应用
在几何图形中，利用相似三角形可以求解线段长度、角度大小等问题。
在物理、工程等领域，相似三角形的应用也十分广泛，如利用相似三角 形测量高度、距离等。
展望相似三角形在数学领域的发展前景
需要注意的是，必须 是两个对应的角分别 相等，而不是任意两 个角相等。
此判定方法基于角的 相等性，无需考虑三 角形的边长。
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
如果两个三角形的两边成比例，并且 夹角相等，则这两个三角形相似。
需要注意的是，必须是两边成比例且 夹角相等，而不是任意两边和任意夹 角。
此判定方法同时考虑了边长和角度的 因素。
定义上的联系
相似三角形和全等三角形都是基于三角形的形状和大小进行比较的概念。全等 三角形是形状和大小都完全相同的三角形，而相似三角形则是形状相同但大小 不一定相同的三角形。
性质上的联系
相似三角形和全等三角形都具有一些共同的性质。例如，它们都遵循三角形的 内角和为180°的规则，以及对应角相等、对应边成比例等性质。
三边成比例的两个三角形相似
如果两个三角形的三边成比例，则这两 个三角形相似。
此判定方法仅考虑三角形的边长，无需 考虑角度。
需要注意的是，必须是三边成比例，而 不是任意两边或一边。同时，由于浮点 数计算的精度问题，在实际应用中需要 设定一定的误差范围来判断三边是否成
比例。
03 相似三角形的应用
测量高度和距离
求解角度问题
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
5
相似三角形性质总结
对应边成比例
相似三角形的对应边之比等于相似比。
对应高、中线、角平分线成比例
相似三角形的对应高、中线、角平分线之 比也等于相似比。
周长比等于相似比
相似三角形的周长之比等于相似比。
2024/1/27
面积比等于相似比的平方
相似三角形的面积之比等于相似比的平方 。
6
02
相似三角形的判定全ppt课件
2024/1/27
1
目 录
2024/1/27
• 相似三角形基本概念及性质 • 判定方法一：两边成比例且夹角相等 • 判定方法二：三边成比例 • 判定方法三：直角三角形中斜边和一直角边成
比例 • 综合运用及拓展延伸 • 课堂小结与作业布置
2
01
相似三角形基本概念及性质
2024/1/27
判定方法一：两边成比例且夹角 相等
2024/1/27
7
定理内容阐述
01
02
03
定理描述
如果两个三角形有两边成 比例，并且夹角相等，则 这两个三角形相似。
2024/1/27
定理条件
两个三角形中，任意两边 长度之比等于另两边长度 之比，且这两边所夹的角 相等。
定理
8
18
05
综合运用及拓展延伸
2024/1/27
19
不同判定方法之间的联系与区别
角角角（AAA）相似
三个内角分别相等，则两个三角形相 似。此方法简单易行，但需注意AAA 相似不能推出边长成比例。
边角边（BAB）相似
两边成比例且夹角相等，则两个三角 形相似。此方法结合了边的长度和角 的大小，较为常用。
相似三角形判定定理的证明课件(共18张PPT)
课时导入知识讲解随堂小测1.会证明相似三角形判定定理；（重点）2.运用相似三角形的判定定理解决相关问题.（难点）相似三角形的判定方法有哪些？（1）两角分别相等的两个三角形相似（2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.（3）三边成比例的两个三角形相似.你能对它们进行证明吗？两角分别相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC与△A′B′C′中，∵∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′.知识点1 证明相似三角形的判定定理1已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.A BCA′B′C′D E证明：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠ADE ＝∠B ，∠AED ＝∠C ，.AD AE AB AC （平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）F过点D 作AC 的平行线，交BC 于点F ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，∠B =∠B′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'..AB AD CF CB =则（平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例）.AE CFAC CB∴=∵DE ∥BC ，DF ∥AC ，∴四边形DFCE 是平行四边形.∴DE ＝CF ..AE DE AC CB ∴=.AD AE DE AB AC BC∴==而∠ADE ＝∠B ，∠DAE ＝∠BAC ，∠AED ＝∠C ∴△ADE ∽△ABC∵∠A ＝∠A′，∠ADE ＝∠B ＝∠B′，AD ＝A′B′.∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'A BCA′B′C′DEF两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∠A ＝∠A′，∴△ABC ∽△A′B′C′.==''''AB ACk A B A C知识点2 证明相似三角形的判定定理2ABCA′B′C′D E证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，过点D 作BC 的平行线，交AC 于点E ，则∠B ＝∠ADE ，∠C ＝∠AED ，已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，∠A =∠A′，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'.AB ACA B A C =''''∴△ABC ∽△ADE.（两角分别相等的两个三角形相似）.AB AC AD AE∴=,,AB AC AD A B A B A C ''==''''.AB ACAD A C ∴=''.AC AC AE A C ∴=''AE A C ''∴=而∠A ＝∠A′，∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'知识点3 证明相似三角形的判定定理3三边成比例的两个三角形相似．数学表达：在△ABC 与△A′B′C′中，∵ ，∴△ABC ∽△A′B′C′.''===''''AB BC ACk A B B C ACA BCA′B′C′DE证明 ：在△ABC 的边AB （或它的延长线）上截取AD ＝A′B′，AE ＝A′C′,连接DE .已知：如图，△ABC 和△ A′B′C′中，求证 ：△ABC ∽△A'B'C'=.AB BC ACA B B C A C ='''''',,,AB AC AD A B AE A C A B A C ''''==='''' .AB AC AD AE∴=而∠BAC ＝∠DAE ，∴△ABC ∽△ADE （两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）.AB BC AD DE ∴=,,AB BCAD AB A B BC ''==''''又.AB BC AD B C ∴=''.BC BCDE B C ∴=''.DE B C ''∴=∴△ADE ≌△A′B′C′∴△ABC ∽△A'B'C'1.判断（1）所有的等边三角形都相似. ( )（2）所有的直角三角形都相似. ( )（3）所有的等腰三角形都相似. ( )（4）所有的等腰直角三角形都相似. ( )×√×√2. 如图4，AD ⊥BC 于点D ， CE ⊥AB 于点 E ，且交AD 于点F ， 你能从中找出几对相似三角形？BC A ED FB CA E D FBC ED FB AE DF B C A E DF D CF EA3.已知：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠ACD ， AB =6，BC =4，AC =5，CD = ，求AD 的长. 172A B CD 解: ∵ AB =6，BC =4，AC =5，CD = ∴ 又∠B =∠ACD ,∴△ABC ∽△DCA ，∴ ∴AD =17.2.AB CD BC AC =.BC AC AC AD =.254定理2:两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理1：两角分别相等的两个三角形相似.定理3：三边成比例的两个三角形相似.定理证明相似三角形判定定理的证明定理的运用1.从课后习题中选取；2.完成练习册本课时的习题。
相似三角形的判定 课件
如图 1－3－1，已知AADB＝DBCE＝AACE，求证：△ ABD∽△ACE.
图 1AACE，得 AABC＝AADE，则要 证明△ABD∽△ACE，只需证明∠DAB＝∠EAC 即可．
【自主解答】 因为AADB ＝DBCE＝AACE，所以△ABC∽△ ADE.
定理名 称 判定
定理 1
判定 定理 2
判定 定理 3
定理内容
简述
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的两个角与另一个三角形的两个 角对应相等 ，那么这两个三角形相似.
两角对应相等，两三 角形相似
对于任意两个三角形，如果一个三角形 两边对应成比例且夹
的两边和另一个三角形的两
角相等，两三角形相
边对应成比例，并且夹角相等，那么这 似．
两个三角形相似.
对于任意两个三角形，如果一个三角形 的三条边和另一个三角形的三条 边对应成比例，那么这两个三角形相似.
三边对应成比例，两 三角形相似.
4.引理 如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得 的 对应线段成比例 ，那么这条直线平行于三角形的 第三边．
5．直角三角形相似的判定 (1)上述所有的任意三角形相似的判定适用于直角三角 形． (2)定理 1：如果两个直角三角形 有一个锐角 对应相等， 那么它们相似． (3)定理 2：如果两个直角三角形的 两条直角边 对应成 比例，那么它们相似． (4)定理 3：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与 另一个三角形的斜边 和一条直角边 对应成比例，那么这两 个直角三角形相似．
长线交于 F.求证：AACB＝DAFF. 【思路探究】 由条件知：AB∶
AC＝BD∶AD，转证 BD∶AD＝DF∶
AF ， 变 为 证 △ FAD ∽ △ FDB. 其 中
初三九年级数学 《相似三角形的判定》 ppt课件
把你的结果与邻座的同学比较,你们的结 论一样吗?△ABC和△DEF相似吗?
BC ,你有什么发现? EF
DE DF
在△ABC 和△DEF中, 若∠A=∠D，∠B=∠E， 则△ABC与△ DEF 是否相似？
b A a
B
C
3、如图：在Rt △ ABC中， ∠ABC=900，BD⊥AC于D
E是BC中点，ED的延长线交BA的延长线于F， 求证：AB : BC=DF : BF
F A
1 2 3
D
4
E C
B
总结：
1、化归思想，将未知问题转化为已知问题 2、相似三角形的判定三：有两个角相等的两个三角形相似 3、直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形 相似 A ∵ ∠BAC= 900，BD⊥AC ∴ △ABC ∽ △DBA ∽ △DAC
A
D
利用相似三角形的 利用相似三角形的 条件不够 可以证明！ 定义？ 预备定理？
B
C
E
F
把小的三角形移动到大的三角形上。 怎样创造具备预备定理条件的图 形？
证明：在AB，AC上分别截取AM= DE ，AN = DF
∵ AM=DE,∠A=∠D，AN=DF ∴ ΔAMN≌ΔDEF，
∴ ∠AMN=∠E， 又∵ ∠B=∠E， ∴ ∠AMN=∠B，
∴ MN//BC， ∴ ΔAMN∽ΔABC。 ∴ ΔDEF∽ΔABC
M B
A D
N
C E F
判定定理3：如果一个三角形的两个角与另一个三角
形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。 可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
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∵∠1=∠B，∠B=∠B´， ∴∠1=∠B´ .
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC.
∵∠1=∠B，∠B=∠B´， ∴∠1=∠B´ . 又∠A=∠A´，AD=A´B´,
D
E
M
60°
D
E
N
M
60° 75°
D
E
N
M
F
60° 75°
D
E
小结
（1）判定三角形相似的判定方法:
定义、预备定理、定理1
（2）基本图形：
A
D
E
E
D ACB源自CB（3）学习方法：
CA D
B
类比旧知识学习新知识
60 ° 80 °
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°，
∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°.
求证：△ABC∽△DEF. 60°
60 °
40 °
80 °
80 °
证明：∵在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°， ∴∠C=60°. ∵在△DEF中，∠E=80°,∠F=60°，
∴∠B =∠E，∠C =∠F.
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC.
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC.
∵∠1=∠B，∠B=∠B´，
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
AD
B
∵∠B=∠B，
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D,
C
∴∠CDB=∠ACB=90°， A D
B
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD（两角对应相等，两
三角形相似）.
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D,
C
∴∠CDB=∠ACB=90°， A D
B
∵∠B=∠B，
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC.
∵∠1=∠B，∠B=∠B´， ∴∠1=∠B´ . 又∠A=∠A´，AD=A´B´, ∴△ADE≌△A´B´C´.
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.
过点D作DE∥BC，交AC于点E， 则有△ADE∽△ABC.
∵∠1=∠B，∠B=∠B´， ∴∠1=∠B´ . 又∠A=∠A´，AD=A´B´, ∴△ADE≌△A´B´C´.
判定定理1
如果一个三角形的两个角与另一个三 角形的两个角对应相等，那么这两个 三角两形角相对似应. 相等，两三角形相似.
用推理的形式来表达： 在△ABC 和△A´B´C´中， ∵∠A=∠A´，∠B=∠B´， (∴两△角A对BC应∽相△等A,´两B´三C´角. 形相似)
∴△ABC∽△DEF（ 两 角 对 应 相 等 ， 两 三 角 形
相似）. 40 °
60 ° 80 °
60 ° 80 °
判断正误，并说明理由：
• 任意等边三角形是相似三角形；
• 有一角对应相等的两等腰三角形是相 似三角形；
• 顶角对应相等的两等腰三角形是相似 三角形；
• 任意直角三角形都相似；
在Rt△ABC中，CD是斜边上的高，角形， 并说明理由.
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF.
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF.
40 °
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF.
C
A
D
B
Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD.
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D，
C
AD
B
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D,
C
∴∠CDB=∠ACB=90°.
AD
B
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D,
C
∴∠CDB=∠ACB=90°.
∴△ABC∽△CBD（两角对应相等，两
三角形相似）.
证明：∵在△ABC中，∠ACB=90°，
CD⊥AB于D.
C
∴∠CDB=∠ACB=90°， A D
B
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBD（两角对应相等，两
三角形相似）.
画一画
已知： ∠ A=60°， ∠B=75°， 请 你 画 一 个 △ DEF 与 △ ABC 相似.
40 °
80 °
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF.
40 °
80 °
80 °
例1 已知：△ABC和△DEF中，∠A=40°， ∠B=80°，∠E=80°，∠F=60°. 求证：△ABC∽△DEF.
40 °
80 °
复习
判(1定)定两义个三(2角)判类相形定比似相哪三平三三似些角行角角的方形形形方法全全判法?等等相定:有的似的判预备定理
基本图D形定的方判A 法定E 方,相法E似有三哪角A些D形?
B
CB
C
∵ DE∥BC
∴ ADE∽ ABC
全等三角形 的判定方法
相似三角形 的判定方法
全等三角形
的判定方法
•定义 •边角边公理 •角边角公理 •角角边定理 •边边边公理 •斜边、直角
相似三角形
的判定方法
•定义
•定理
如图，在△ABC和△A´B ´C ´中， ∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . △ABC与△A´B´C´ 是否相似？.
已知：如图，在△ABC和△A´B´C ´ 中，∠A=∠A´ ，∠B=∠B´ . 求证：△ABC∽△A´B´C´.
证明:在△ABC的边AB上，截取AD= A´B´.