【VIP专享】离散数学第七章

x,ySn, xy是lcm(x,y),即x与y的最小公倍数， xy是gcd(x,y), 即x与y的最大公约数。
<S8; |>
<S6; |>
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例5 试判断下列次序图给出的偏序集哪些是格？
e
e
e
h
30
e
f
g
d
15 10 6
d
e
e
b
c
532
b
c
e
e
a
a
1
(a)
(b)
(c)
(d)
解 (a)不是格， (b)不是格，
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3 最小元素和最大元素 定义7-4 设<L;>是一偏序集。 (1) 如果存在元素aL，使得对于所有的元素lL，有 a l ，则称a是<L;>的最小元素。 (2) 如果存在元素bL，使得对于所有的元素lL，有 l≤b，则称b是<L;>的最大元素。
定理7-2 如果偏序集<L;>有最小元素，则最小元素是唯一 的。如果<L;>有最大元素，则最大元素也是唯一的。
12 18 27
6
9
lub(2,3)=?，glb(12,18)=?，lub(18,27)=?
2
3
有26，36；212，312；218，318。
1
由于612，618，66，因此，lub(2,3)=6。
6 12, 6 18; 2 12, 2 18; 3 12, 3 18; 1 12, 1 18; 因1 6，2 6，3 6，所以glb(12,18)＝6。
证明 设a1和a2都是<L;>的最小元素，则有a1a2， 且a2a1，得a1＝a2。
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二、 格 1．格的定义 定义7-5 设<L;>是一个偏序集，如果L中任意两个元素 都存在着最大下界和最小上界，则称<L;>是格。 l1l2=glb(l1,l2), l1l2=lub(l1,l2)
(7 1) (7 2) (7 3)
l1 l1 若l1 l2 , l2 l1, 则有l1 l2 若l1 l2 , l2 l3, 则有l1 l3
(7 1') (7 2') (7 3')
注意在偏序集<L; >中，对任意元素l1,l2 L, 若l1l2，则必有l2l1， 若l2 l1，则必有l1l2，因此,l1l2等价于l2l1 。
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例3 设A={1,2,3,12,18,36}，整除关系是A上 的偏序关系，其次序图如下
试问 glb(18,12)=?, lub(2,3)=?
36
12
18
2
3
218，2 12；3 18，3 12，1 18，1 12。 1 但glb(18,12)不存在。
类似地，12，18 和 36 均是 2 和 3 的上界， 但 lub(2,3)不存在。
若<L;>是一个格，则意味着<L;>也是一个形为 <L;,>的代数系统,其中和是L上的两个二元运算, 对于 任意l1,l2L, l1l2表示在偏序“”意义下l1和l2的最小上界, l1l2表示l1和l2的最大下界。
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例4 设n是一正整数，Sn是n的所有正因子的集合，设“|”是 整除关系，则对于任意正整数，|是Sn上的偏序关系， <Sn;|>是格。
(c)是一个格， (d)是一个格
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在格＜L;>中有如下四个关系式成立:
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2．格的性质 定理7-3 在格<L;>中，对于任意l1, l2L, 以下三式中
若任意一式成立，那么其它两式也成立.
定义7-3 设l1和l2是偏序集<L;>中的两个元素, 元素bL, 如果 满足l1b, l2b,则称b是l1和l2的上界。如果元素b是l1和 l2的下界。且对于任意bL，若b也是l1和 l2的下界， 便有bb ,则称b是l1和l2的最小上界,简记作b=lub(l1,l2)。
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例2 设A={1,2,3,6,9,12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ18,27} “整除”关系是A 上的偏序关系，其次序图如下，因此，它们 构成一个偏序集<A; >。
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2．最大下界和最小上界
定义7-2 设l1和l2是偏序集<L;>中的两个元素, 元素aL, 如果 满足al1,al2 ,则称a是l1和l2的下界。如果元素a是l1和 l2的下界。且对于任意aL，若a也是l1和 l2的下界， 便有aa ,则称a是l1和l2的最大下界,简记作a=glb(l1,l2)。
则有(b,a) 且(a,b) ，必有a = b， 因此~是反对称的。
(3)．对任意a,b,c A, 若(a,b)~, (b,c)~，则有(c,b) 且(b,a)，必有(c,a), 于是(a,c)~ ，因此~
是可传递的。
由上证得~也是偏序关系。
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例1 设 A={1,2,3,6}，定义 A 上的整除关系：
第七章 格
本章在介绍代数系统格和布尔代数。
主要内容如下：
7.1 偏序集；
7.4 分配格和有补格；
7.2 格及其性质； 7.5 布尔代数；
7.3 格是一种代数系统；
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7.1 格
一 偏序集
1.偏序集 定义7-1 集合L和定义在 L 上的偏序关系 “≤” 一起称为
偏序集，用<L；≤ >表示。
<R;≤>, <I;≤>, <2U;>和<N;|>都是偏序集。
若 是集合A上的偏序关系，则 的逆关系 ~ 也
必是Ａ上的偏序关系，证明如下：
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(1)．对任意的 aＡ，因为 自反，所以有 (a,a) ,于是(a,a)~ ，因此~ 也是自反的。
(2)．对任意 a ,bA ，若(a,b)~ 且(b,a)~，
当旦仅当 a 整除 b 时，有ab。
由定义 根据逆关系的定义
的次序图如下
6
~的次序图如下
1
2
3
2
3
1
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若<L; >是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L， 有以下六个关系式成立：
l1 l1 若l1 l2 , l2 l1, 则有l1 l2 若l1 l2 , l2 l3, 则有l1 l3
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定理7-1 设l1和l2是偏序集<L;>的两个元素,如果l1和l2 有glb, 则glb是唯一的，如果l1和l2有lub,则lub 是唯一的。
证明 设a1和a2都是l1和l2的glb， 由定义7-2, 则a2a1, a1a2, 于是a1=a2
类似地可以证明, l1和l2若存在lub，则lub 也一定是唯一的。