《离散数学》刘任任版第七章

习题七
1．对图7.7中的两个图，各作出两个顶点割。
解： 对图7.7增加加节点标记如下图所示，
则(a)的两个顶点割为：V11={a,b} ； V12={c,d}
(b)的两个顶点割为： V21={u,v}； V12={y}
2．求图7.7中两个图的 和 .
解：如上两个图，有 k(G1)=λ(G1)=2, k(G2)=1, λ(G2)=2
如δ(G)= p-1,则G是一个完全图，根据书中规定，有k(G)=p-1=δ(G)；
如δ(G)= p-2,则从G中任取V（G）的子集V1，其中|V1|=3，则V(G)-V1的点导出子图是连通的，否则在V1中存在一个顶点v，与其他两个顶点都不连通。则在G中，顶点v最多与G中其他p-3个顶点邻接，所以d(v)≤p-3，与δ(G)= p-2矛盾。这说明了在G中，去掉任意p-3个顶点后G还是连通的，按照点连通度的定义有k(G)>k-3，又根据定义7.1.1， ，有k(G)=k-2。
（充分性）假设G不是一个2-边连通的，则G中有割边，设e=(u,v)为G中一割边，由已知条件可知，u与v处于同一简单回路C中，于是e处在C中，因而从G中删除e后G仍然连通，这与G中无割边矛盾。
9．举例说明：若在 连通图 中, 是一条 通路, 则 不一定包含一条与 内部不相交的 通路 。
解 如右图G，易知G是2—连通的，
证明： 设K是G的一个块，若k既不是K2也不是奇回路，则k至少有三个顶点，且存在割边e=uv,于是u,v中必有一个是割点，此与k是块相矛盾。
11．证明：不是块的连通图 至少有两个块, 其中每个块恰含一个割点.
分析：一个图不是块，按照块的定义，这个图肯定含有割点v，对图分块的时候也应该以割点为标准进行，而且分得的块中必定含这个割点，否则所得到的子图一定不是极大不可分子图，从而不会是一个块。
证明：(1)若 =0，则G不连通,所以λ(G)=K(G).
(2) 设 K(G)=1,且u 是G中的一个割点，G-u不连通,由于d(u)=3,从而至少存在一个分支仅一边与u相连,显然这边是G的割边,故λ(G)＝１，所以λ(G)=K(G)
(３) 设K(G)=2,且{v1,v2}为G的一个顶点割。G1=G-v1连通,则v2是G1的割点且v2在G1中的度小于等于３，类似于(2)知在G1中存在一割边e2(关联v2)使得G1-e2不连通．另一方面由于λ(G)>=K(G)=2故G-e2连通．由于G1-e2= (G-e2)-v1，故v1是G-e2的割点，且v1在G-e2中的度小于等于３，于是类似于(2)知，在G-e2中存在一割边e1，即(G-e2)-e1=G-{e1,e2}不连通，故λ(G)=2.所以λ(G)=K(G).
证明：因为G是简单图 ,所以d(v)≦p-1,v∈V(G),已知δ(G)≧p-2
（ⅰ）若δ(G)= p-1,则G=Kp（完全图），故k(G)=p-1=δ(G)。
（ⅱ）若δ(G)= p-2, 则 G≠Kp,设u,v不邻w ∈E(G).于是，对任意的V1 V(G),
证明：由块的定义知，若图G不是块且连通，则G有割点，依次在有割点的地方将G分解成块，一个割点可分成两块，每个块中含G中的一个割点。如下图G。
易知u,v是割点，G可分成四个块K1～K4。其中每个块恰含一个割点。
12．证明：图 中块的数目等于
其中, 表示包含 的块的数目.
分析：一个图G的非割点只能分布在G的一个块中，即 =1（当v是G的非割点时），且每个块至少包含一个割点。因此下面就从G的割点入手进行证明。证明中使用了归纳法。
(４) 设k(G)=3,于是，
有3=k（G） ≦≦δ(G)=3 ,知
8．证明：一个图 是 边连通的当且仅当 的任意两个顶点由至少两条边不重的通路所连通.
分析：这个题的证明关键是理解 边连通的定义。
证明：（必要性）因为G是 边连通的，所以G没有割边。设u，v是G中任意两个顶点，由G的连通性知u，v之间存在一条路径P1，若还存在从u到v的与P1边不重的路径P2，设C=P1∪P2，则C中含u,v的回路，若从u到v的任意另外路径和P1都有一条（或几条）公共边，也就是存在边e在从u到v的任何路径中，则从G中删除e，G就不连通了，于是e成了G中一割边，矛盾。
3．试作出一个连通图 , 使之满足：
解：做连通图G如下，于是有：
4．求证, 若 是 边连通的, 则 .
证明：设G是k—边连通的，由定义有λ(G)≧k. 又由定理7.1.2知λ(G)≦，因此有 k≦λ(G) ≦≦
即 k≦ ，从而
5．求证, 若 是 阶简单图, 且 , 则 .
分析：由G是简单图，且 ，可知G中的δ(G)只能等于p-1或p-2；
若取P为uv1v2v，
则G中不存在Q了。
10．证明：若 中无长度为偶数的回路, 则 的每个块或者是 , 或者是长度为奇数的回路.
分析：块是G的一个连通的极大不可分子图，按照不可分图的定义，有G的每个块应该是没有割点的。因此，如果能证明G的某个块如果既不是 ，也不是长度为奇数的回路，再由已知条件G中无长度为偶数的回路，则可得出G的这个块肯定存在割点，则可导出矛盾。本题使用反证法。
证明：先考虑G是连通的情况（ ），对G中的割点数n用归纳法。
由于对G的非割点v，b(v)=1，即b(v)-1 =0，故对n=0时，G的块数为1 结论成立。
假设G中的割点数n≤k（k≥0）时，结论成立。
对n=k+1的情况，任取G的一个割点a，可将G分解为连通子图Gi，使得a在Gi中不是割点，a又是Gi的公共点。这样，每一个Gi，有且仅有一个块含有a，若这些Gi共有r个，则b(a)=r，又显然Gi的块也是G的块，且Gi的割点数 ≤k。故由归纳法假设Gi的块的块数为1 ，这里 是Gi中含v的块的块数，注意到Gi中异于a的v，b(v)= ，而a在每一个Gi中均为非割点，故 。于是Gi的块数为1
|V1|=p-3 ,G-V1必连通.
因此必有k(G) ≧p-2=δ(G),但k(G) ≦δ(G)。
故k(G) =δ(G)。
6．找出一个 阶简单图, 使 , 但 .
解：
7．设 为 正则简单图, 求证 .
分析：G是一个 正则简单图，所以δ(G)=3，根据定理7.1.1有 ，所以 只能等于0，1，2，3这四种情况。下面的证明中分别讨论了这四种情况下 的关系。