离散数学-经典必看
离散数学知识点总结
离散数学知识点总结离散数学是一门重要的数学学科，它涉及到离散的对象和离散的结构，而不是连续的对象和结构。
以下是离散数学的几个重要知识点的总结：集合论- 集合：集合是由元素组成的对象的集合。
集合的运算包括并集、交集和差集等。
集合：集合是由元素组成的对象的集合。
集合的运算包括并集、交集和差集等。
- 子集和超集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集，反之则称后者为前者的超集。
子集和超集：如果一个集合的所有元素都是另一个集合的元素，则称前者为后者的子集，反之则称后者为前者的超集。
- 幂集：一个集合的幂集是所有可能的子集构成的集合。
幂集：一个集合的幂集是所有可能的子集构成的集合。
逻辑- 命题：一个命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
命题：一个命题是一个陈述句，可以被判断为真或假。
- 逻辑运算：逻辑运算包括与、或、非等，用来连接和否定命题，构成复合命题。
逻辑运算：逻辑运算包括与、或、非等，用来连接和否定命题，构成复合命题。
- 真值表：用来列出复合命题在各种可能情况下的真值。
真值表：用来列出复合命题在各种可能情况下的真值。
关系- 关系：关系用来描述元素之间的联系。
关系可以是二元的或多元的。
关系：关系用来描述元素之间的联系。
关系可以是二元的或多元的。
- 等价关系：等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的关系。
等价关系：等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的关系。
- 偏序关系：偏序关系是一种满足自反性、反对称性和传递性的关系。
偏序关系：偏序关系是一种满足自反性、反对称性和传递性的关系。
- 图的表示：图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
图的表示：图可以用邻接矩阵或邻接表来表示。
图论- 连通性：图中的连通性用来描述图中顶点之间是否存在路径。
连通性：图中的连通性用来描述图中顶点之间是否存在路径。
- 最短路径：最短路径问题是寻找两个顶点之间最短路径的问题。
最短路径：最短路径问题是寻找两个顶点之间最短路径的问题。
离散数学重要公式定理汇总分解
离散数学重要公式定理汇总分解离散数学是计算机科学领域中的一门基础课程，它主要研究离散结构和离散对象之间的关系。
离散数学中有许多重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学和其他领域中有广泛的应用。
下面是对离散数学中一些重要的公式和定理的汇总。
1.集合：-幂集公式：一个集合的幂集是所有它子集的集合。
一个集合有n个元素，那么它的幂集有2^n个元素。
-集合的并、交、差运算规则：并集运算满足交换律、结合律和分配律；交集运算也满足交换律、结合律和分配律；差集运算不满足交换律和结合律。
2.逻辑：-代数运算规则：多个逻辑表达式的与、或、非运算满足交换律、结合律和分配律。
-归结原理：对于一个给定的只包含“合取”和“析取”的合式公式集合，如果假设集合中的每个合式公式都为真，以及从这些前提出发，不能推导出这个集合中的一个假命题，则称这个假设集合是不一致的。
3.图论：-图的欧拉路径和欧拉回路：对于一个连通的图，如果它存在欧拉路径，那么这个图中最多只有两个度数为奇数的节点；如果一个连通的图存在欧拉回路，那么所有节点的度数都是偶数。
-图的哈密顿路径和哈密顿回路：对于一个图，如果它存在哈密顿路径，那么这个图中任意两个不相邻的节点u和v之间必然存在一条边；如果一个图存在哈密顿回路，那么从任意一个节点开始，可以经过图中的所有节点且最后回到起点。
4.代数结构：-子群定理：如果G是群H的一个子集，并且G是关于群H的运算封闭的，那么G是H的一个子群。
- 同态定理：如果f是从群G到群H的一个满射同态，那么G的核ker(f)是G的一个正规子群，而H是G/ker(f)的同构像。
5.排列组合：-排列公式：从n个元素中取出m个元素进行排列，有P(n,m)=n!/(n-m)!-组合公式：从n个元素中取出m个元素进行组合，有C(n,m)=n!/(m!*(n-m)!)以上只是离散数学中一小部分重要的公式和定理，这些公式和定理在计算机科学、密码学、图形学等领域中有广泛的应用。
离散数学 蝶形
离散数学蝶形
蝶形（Butterfly）图形是离散数学中最经典的图形之一，它也是一个最简单的数学公式所表现出的美妙。
蝶形图形的形状像一只展翅飞舞的蝴蝶，它的特点是由两个正弦
曲线的叠加形成的。
在图形中，我们可以看到两个上升的正弦曲线和
两个下降的正弦曲线。
每个正弦曲线的振幅和频率都是不同的，同时
它们也都是对称的，在中心处相交形成了蝶形图案。
蝶形图形是一种震荡现象的图象表示，它在信号分析，特别是在
滤波器设计、数字信号处理和通信系统中得到了广泛应用。
在实际应
用中，蝶形图形可以用于模拟混叠、减少噪声和恢复失真的方法。
除此之外，在数学教学中，蝶形图形也是离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，简称DFT）和快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，简称FFT）中的一个重要图形。
在教学过程中，通过蝶形图形的演示，学生们能够直观地理解傅里叶变换和频域分析
的基本概念。
总体来说，蝶形图形是离散数学中一个非常重要的图形，它不仅
能够用于信号处理和通信系统的优化，还能够用于数学教学中学习傅
里叶变换和频域分析的基本概念。
因此，对于离散数学学习者来说，
掌握蝶形图形的基本概念和应用方法是非常重要的。
离散数学图论(图、树)常考考点知识点总结
离散数学图论（图、树）常考考点知识点总结图的定义和表示1.图：一个图是一个序偶＜V , E ＞，记为G =< V ，E >，其中：① V ={V1,V2,V3,…, Vn}是有限非空集合，Vi 称为结点，V 称为节点集② E 是有限集合，称为边集，E中的每个元素都有V中的结点对与之对应，称之为边③与边对应的结点对既可以是无序的，也可以是有序的表示方法集合表示法，邻接矩阵法2.邻接矩阵：零图的邻接矩阵全零图中不与任何结点相邻接的结点称为孤立结点，两个端点相同的边称为环或者自回路3.零图：仅有孤立节点组成的图4.平凡图：仅含一个节点的零图无向图和有向图5.无向图：每条边都是无向边的图有向图：每条边都是有向边的图6.多重图：含有平行边的图(无向图中，两结点之间包括结点自身之间的几条边；有向图中同方向的边)7.线图：非多重图8.重数：平行边的条数9..简单图：无环的线图10.子图，真子图，导出子图，生成子图，补图子图：边和结点都是原图的子集，则称该图为原图的子图真子图（该图为原图的子图，但是不跟原图相等）11.生成子图：顶点集跟原图相等，边集是原图的子集12.导出子图：顶点集是原图的子集，边集是由顶点集在原图中构成的所有边构成的图完全图（任何两个节点之间都有边）13.完全图：完全图的邻接矩阵主对角线的元素全为0，其余元素都是114.补图：完全图简单图15.自补图：G与G的补图同构，则称自补图16.正则图：无向图G=<V,E>,如果每个顶点的度数都是k，则图G称作k-正则图17.结点的度数利用邻接矩阵求度数：18.握手定理：图中结点度数的总和等于边数的两倍推论：度数为奇数的结点个数为偶数有向图中，所有结点的入度=出度=边数19.图的度数序列：出度序列+入度序列20.图的同构：通俗来说就是两个图的顶点和边之间有双射关系，并且每条边对应的重数相同（也就是可任意挪动结点的位置，其他皆不变）21.图的连通性及判定条件可达性：对节点vi 和vj 之间存在通路，则称vi 和vj 之间是可达的22.无向图的连通性：图中每两个顶点之间都是互相可达的23..强连通图：有向图G 的任意两个顶点之间是相互可达的判定条件：G 中存在一条经过所有节点至少一次的回路24.单向连通图：有向图G 中任意两个顶点之间至少有一个节点到另一个节点之间是可达的判定条件：有向图G 中存在一条路经过所有节点25.弱连通图：有向图除去方向后的无向图是连通的判定条件：有向图邻接矩阵与转置矩阵的并是全一的矩阵26.点割：设无向图G=<V,E>为联通图，对任意的顶点w  V,若删除w及与w相关联的所有边后，无向图不再联通，则w称为割点；27.点割集：设无向图G=<V,E>为连通图，若存在点集 ，当删除 中所有顶点及与V1顶点相关联的所有边后，图G不再是联通的；而删除了V1的任何真子集 及与V2中顶点先关的所有边后，所得的子图仍是连通图，则称V1是G的一个点割集设无向图G=<V,E>为连通图，任意边e  E,若删除e后无向图不再联通，则称e 为割边，也成为桥28.边割集：欧拉图，哈密顿图，偶图（二分图），平面图29.欧拉通路（回路）：图G 是连通图，并且存在一条经过所有边一次且仅一次的通路（回路）称为拉通路（回路）30.欧拉图：存在欧拉通路和回路的图31.半欧拉图：有通路但没有欧拉回路32.欧拉通路判定：图G 是连通的，并且有且仅有零个或者两个奇度数的节点欧拉回路判定：图G 是连通的，并且所有节点的度数均为偶数有向欧拉图判定：图G 是连通的，并且所有节点的出度等于入度33.哈顿密图：图G 中存在一条回路，经过所有点一次且仅一次34..偶图：图G 中的顶点集被分成两部分子集V1,V2，其中V1nV2= o ,V1UV2= V ，并且图G 中任意一条边的两个端点都是一个在V1中，一个在V2中35.平面图：如果把无向图G 中的点和边画在平面上，不存在任何两条边有不在端点处的交叉点，则称图G 是平面图，否则是非平面图36.图的分类树无向树和有向树无向树：连通而不含回路的无向图称为无向树生成树：图G 的某个生成子图是树有向树：一个有向图，略去所有有向边的方向所得到的无向图是一棵树最小生成树最小生成树：设G -< V . E 是连通赋权图，T 是G 的一个生成树，T 的每个树枝所赋权值之和称为T 的权，记为W ( T . G 中具有最小权的生成树称为G 的最小生成树最优树（哈夫曼树）设有一棵二元树，若对所有的树叶赋以权值w1,w2… wn ，则称之为赋权二元树，若权为wi 的叶的层数为L ( wi )，则称W ( T )= EWixL ( wi ）为该赋权二元树的权，W ）最小的二元树称为最优树。
离散数学 经典教材
离散数学是计算机科学中的一门核心课程，它涉及到数学中的许多概念和方法。
以下是一些离散数学的经典教材：
1.《离散数学》（作者：Kozen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常丰富，而且语言通俗易懂，是学习离散数学的好教材。
2.《离散数学及其应用》（作者：Rosen）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
3.《离散数学教程》（作者：Kleitman）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
4.《离散数学精讲》（作者：Sipser）
这是一本非常经典的离散数学教材，涵盖了离散数学中的许多基本概念和方法，包括集合论、图论、数理逻辑、组合数学等。
这本书的内容非常详细，而且有很多例子和练习题，可以帮助读者更好地掌握离散数学的知识。
以上是一些离散数学的经典教材，每本书都有其独特的风格和特点，读者可以根据自己的需求和兴趣选择适合自己的教材。
考试必备离散数学定理总结
2.8、C1∧C2≈Res(C1,C2)2.10、（消解的完全性）一个合取范式是不可满足的当且仅当它有否证.3.1、由命题公式A1, A2, …, Ak推B的推理正确当且仅当A1∧A2∧…∧Ak→B为重言式.（推理正确不能保证结论一定正确）4.1、闭式在任何解释下都是命题5.1、（前束范式存在定理）一阶逻辑中的任何公式都存在与之等值的前束范式6.1、空集是任何集合的子集。
（推论：空集是唯一的）6.2、（包含排斥原理）设集合S上定义了n条性质，其中具有第i 条性质的元素构成子集Ai, 那么集合中不具有任何性质的元素数为：6.3、德摩根律：A-(B⋃C)=(A-B)⋂(A-C)A-(B⋂C)=(A-B)⋃(A-C)~(B⋃C)=~B~⋂C~(B⋂C)=~B~⋃C7.9、设R为A上的关系, 则(1) R 在A上自反当且仅当IA ⊆R(2) R 在A上对称当且仅当R=R^(-1)(3) R 在A上传递当且仅当R︒R ⊆R7.10、设R为A上的关系, 则有(1) r(R)=R∪R^0(2) s(R)=R∪R^(-1)(3) t(R)=R∪R^2∪R^3∪…9.1、设◦为S上的二元运算，el和er分别为S中关于运算的左和右单位元，则el = er = e为S上关于◦运算的惟一的单位元.9.2、设◦为S上的二元运算，θl和θr分别为S中关于运算的左和右单位元，则θl = θr = θ为S上关于◦运算的惟一的零元.9.3、设◦为S上的二元运算，e和θ分别为◦运算的单位元和零元，如果S至少有两个元素，则e≠θ.9.4、设◦为S上可结合的二元运算, e为该运算的单位元, 对于x∈S 如果存在左逆元yl 和右逆元yr, 则有yl = yr= y, 且y是x 的惟一的逆元.10.2、G为群，∀a,b∈G，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解. （G中适合消去律）10.3、G为群，a∈G且|a| = r. 设k是整数，则(1) a^k = e当且仅当r | k(r整除k)(2 )|a^-1| = |a|10.4、（子群判定定理一）设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群当且仅当(1) ∀a,b∈H有ab∈H(2) ∀a∈H有a^-1∈H.10.5、（子群判定定理二）设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab^-1∈H.10.6、（子群判定定理三）设G为群，H是G的非空有穷子集，则H是G的子群当且仅当∀a,b∈H有ab∈H.10.7、设H是群G的子群，则He=H，∀a∈G有a∈Ha10.8、设H是群G的子群，则∀a,b∈G有：a∈Hb ⇔ab-1∈H ⇔Ha=Hb10.9、设H是群G的子群，在G上定义二元关系R：∀a,b∈G, <a,b>∈R ⇔ab-1∈H则R是G上的等价关系，且[a]R = Ha.推论：设H是群G的子群, 则(1) ∀a,b∈G，Ha = Hb或Ha∩Hb = ∅(2) ∪{Ha | a∈G} = G10.10、（Lagrange）设G是有限群，H是G的子群，则：|G| = |H|·[G:H]其中[G:H] 是H在G中的不同右陪集(或左陪集) 数，称为H在G 中的指数.推论1：设G是n阶群，则∀a∈G，|a|是n的因子.推论2：对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>.10.11、（循环群的生成元）设G=<a>是循环群. ：(1) 若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a-1.(2) 若G是n 阶循环群，则G含有φ(n)个生成元. 对于任何小于n且与n 互质的数r∈{0,1,…,n-1}, ar是G的生成元.10.12、（循环群的子群）设G=<a>是循环群.(1) 设G=<a>是循环群，则G的子群仍是循环群.(2) 若G=<a>是无限循环群，则G的子群除{e}以外都是无限循环群.(3) 若G=<a>是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d 阶子群.14.1、（握手定理）在任何无向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍.14.2、（握手定理）在任何有向图中，所有顶点的度数之和等于边数的2倍；所有顶点的入度之和等于所有顶点的出度之和，都等于边数.推论：任何图(无向或有向) 中，奇度顶点的个数是偶数.14.5、在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1 的通路.推论：在n 阶图G中，若从顶点vi 到vj（vi≠vj）存在通路，则从vi 到vj 存在长度小于或等于n-1的初级通路（路径）.14.7、对任意无向图G中，有：κ(G)λ≤(G)δ≤(G)14.8、D强连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的回路14.9、D单向连通当且仅当D中存在经过每个顶点至少一次的通路14.10、无向图G=<V,E>是二部图当且仅当G中无奇圈15.1、无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.15.2、无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰有两个奇度顶点.15.5、G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且是若干个边不重的圈的并.15.6、设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1⊂V且V1∅≠，均有p(G-V1) ≤ |V1|设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1⊂V且V1∅≠均有p(G-V1) ≤ |V1|+1 15.7、设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n-1则G 中存在哈密顿通路.推论：设G为n(n≥3) 阶无向简单图，若对于G中任意两个不相邻的顶点vi,vj，均有d(vi)+d(vj) ≥n则G中存在哈密顿回路，从而G为哈密顿图.16.1、设G=<V,E>是n阶m条边的无向图，则下面各命题是等价的：(1) G 是树(2) G 中任意两个顶点之间存在惟一的路径.(3) G 中无回路且m=n-1.(4) G 是连通的且m=n-1.(5) G 是连通的且G 中任何边均为桥.(6) G 中没有回路，但在任何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到惟一的一个含新边的圈.16.2、设T是n阶非平凡的无向树，则T 中至少有两片树叶.16.3、无向图G具有生成树当且仅当G连通.推论1 ：G为n阶m条边的无向连通图，则m≥n-1.推论2 ：余树的边数为m-n+1.推论3 ：余树为G的生成树T的余树，C为G中任意一个圈，则C与余树一定有公共边17.3、平面图各面次数之和等于边数的两倍.17.4、极大平面图是连通的，并且n（n≥3）阶极大平面图中不可能有割点和桥.17.5、设G为n（n≥3）阶极大平面图，则G的每个面的次数均为3.17.6、（欧拉公式）设G为n阶m条边r个面的连通平面图，则n-m+r=217.7、（欧拉公式的推广）设G是具有k（k≥2）个连通分支的平面图，则n-m+r=k+117.8、设G为连通的平面图，且deg(Ri)≥l, l≥3，则m≤ l(n-2)/( l-2)推论：K5，K3,3不是平面图17.10、设G为n（n≥3）阶m条边的简单平面图，则m≤3n-6.17.11、设G为n（n≥3）阶m条边的极大平面图，则m=3n-6.17.12、设G 为简单平面图，则δ(G)≤5.17.13、G是平面图⇔G中不含与K5或K3,3同胚的子图.17.14、G是平面图⇔G中无可收缩为K5或K3,3的子图18.3、设n阶图G中无孤立顶点.(1) 设M为G中一个最大匹配，对于G中每个M非饱和点均取一条与其关联的边，组成边集N，则W=M⋃N为G中最小边覆盖.(2) 设W1为G中一个最小边覆盖；若W1中存在相邻的边就移去其中的一条，设移去的边集为N1，则M1=W1-N1为G中一个最大匹配.(3) G中边覆盖数α1与匹配数β1满足α1+β1=n.推论：设G是n阶无孤立顶点的图. M为G中的匹配，W是G中的边覆盖，则|M| ≤ |W|，等号成立时，M为G中完美匹配，W为G中最小边覆盖.18.4、M为G中最大匹配当且仅当G中不含M的可增广交错路径.18.5、（Hall定理）设二部图G=<V1,V2,E>中，|V1|≤|V2|. G中存在从V1到V2的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,…,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”.18.6、设二部图G=<V1,V2,E>中，V1中每个顶点至少关联t (t≥1)条边，而V2中每个顶点至多关联t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配.18.7、对于任意无向图G，均有χ(G) ≤∆(G)+1几个相关性质:χ(G)=1当且仅当G为零图χ(Kn)=n若G为奇圈或奇阶轮图，则χ(G)=3，若G为偶阶轮图，则χ(G)=4.若G的边集非空，则χ(G)=2当且仅当G为二部图18.8、（Brooks定理）若连通无向图G不是Kn,（n≥3），也不是奇数阶的圈，则χ(G) ≤∆(G) 18.10、（四色定理）任何平面图都是4-可着色的。
离散数学知识点总结及应用
离散数学知识点总结及应用
知识点1: 集合论
- 集合的定义和表示方法
- 集合的运算：并、交、差、补
- 集合的基本性质和定律
知识点2: 逻辑与命题
- 命题的定义和特性
- 命题的联结词：与、或、非
- 命题的真值表和逻辑运算
- 命题的充分条件和必要条件
知识点3: 关系与函数
- 关系的定义和性质
- 关系的类型：自反、对称、传递、等价
- 函数的定义和基本概念
- 函数的特性和图像
知识点4: 图论
- 图的基本概念和术语
- 图的存储结构：邻接矩阵、邻接表
- 图的遍历算法：深度优先搜索、广度优先搜索
- 最短路径算法：Dijkstra算法、Floyd-Warshall算法
知识点5: 组合数学
- 排列和组合的基本概念
- 排列和组合的计算方法
- 随机变量和概率分布
- 组合数学在密码学等领域的应用
知识点6: 布尔代数
- 布尔代数的基本运算：与、或、非
- 布尔函数的最小化方法
- 布尔代数的应用：逻辑电路设计、编码器等
知识点7: 计算理论
- 自动机的基本概念和分类
- 正则语言和正则表达式
- 文法的定义和性质
- 上下文无关文法和巴科斯范式
知识点8: 数论
- 整数的性质和基本运算
- 质数和分解定理
- 同余关系和同余方程
- 数论在加密算法中的应用
以上是离散数学中的一些主要知识点和应用场景的简要总结，希望对你的研究有所帮助。
离散数学沃舍尔算法
离散数学沃舍尔算法沃舍尔算法（Warshall's Algorithm）是一种经典的离散数学算法，用于寻找有向图的传递闭包。
它通过对图的邻接矩阵进行逐步的更新操作，最终得到传递闭包的结果。
在这篇文章中，我们将详细介绍沃舍尔算法的原理及应用。
首先，让我们先来了解一下什么是有向图的传递闭包。
对于一个有向图G=(V,E)，如果存在一个顶点vi到vj的路径，则称vj是vi的后继节点。
如果对于任意的vi,vj∈V，都存在一条从vi到vj的路径，则这个有向图被称为是传递闭的。
换句话说，传递闭包包含原图中所有可能的路径。
沃舍尔算法的基本思想是通过一系列的传递操作，将图中的传递闭包逐步构建出来。
算法的核心是一个二维的邻接矩阵，用来表示有向图的边。
假设邻接矩阵为A，A[i][j]=1表示存在从vi到vj的边，A[i][j]=0表示不存在。
算法的步骤如下：1. 初始化邻接矩阵A，将A[i][j]赋值为1当且仅当存在从vi到vj的边。
2. 对于每一个节点vk∈V，遍历所有的节点vi,vj∈V，如果发现存在路径vi→vk并且vk→vj，则将A[i][j]置为13.重复步骤2，直到没有新的节点对需要更新为止。
通过这样的传递操作，最终邻接矩阵A将表示有向图的传递闭包。
算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是图中节点的数量。
下面我们通过一个具体的例子来演示沃舍尔算法的运行过程。
考虑以下有向图：```V1→V4↓↑V2←V3```初始的邻接矩阵A为：```0011101001010001```按照算法的步骤，我们进行传递操作：```A[1][3]=A[1][3]OR(A[1][2]ANDA[2][3])=1A[2][1]=A[2][1]OR(A[2][3]ANDA[3][1])=1A[3][4]=A[3][4]OR(A[3][1]ANDA[1][4])=1A[4][1]=A[4][1]OR(A[4][3]ANDA[3][1])=1A[4][3]=A[4][3]OR(A[4][3]ANDA[3][3])=1```更新后的邻接矩阵A为：```0011101011011011```经过多次传递操作之后，邻接矩阵A表示的就是原图的传递闭包。
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2013-6-24
7、运算顺序 逻辑联结词也称逻辑运算符，以上五种最基本 的联结词组成了一个集合 {, , , , } ，称为 一个联结词集。规定优先级的顺序为, , , , ，若有括号时，先进行括号内运算。 例如： P (Q P ) (Q R ) Q 设P真值为1 ，Q真值为0，R真值为1
真值表：
P Q
0 0 0 1
PQ
1 0 0 1
1
1
0
1
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例1.16、春天到了，燕子南飞。 解： P : 春天到了; Q : 燕子南飞
PQ
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6、逻辑联结词与自然语言中联结词的关系。
否定——不是，没有，非，不。 合取——并且，同时，和，既…又…，不但 …而且…，虽然…但是…。
原子命题 例：4是合数。 例：4是合数，并且3是素数。 复合命题 例：4是合数，并且3是素数，但1既不是素数也 不是合数。 复合命题
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例： 2是有理数是不对的；2是偶素数；
2或4是素数；如果2是素数，则3也是 素数；2是素数当且仅当3也是素数。
解： : 2是有理数 P
Q : 2是素数
R : 2是偶数
S : 3是素数 T : 4是素数
“非 P”；“ Q 并且 R”；“ Q 或 T ”； “如果 Q ，则 S”；“ Q 当且仅当 S” .
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二、逻辑联结词。
常用的联结词有 , , , , 这五种
2013-6-24
P 1、“非 ”称为 p 的否定式，记作 P
例2、将下面命题符号化。 (1)小丽既聪明又用功。 (2)小丽聪明，但不用功。
(3)小丽不但聪明，而且用功。
PQ
P Q
PQ
(4) 小丽不是不聪明，是不用功。 (P ) Q
(5)小刚与小丽都是三好学生。 (6)小刚与王丽是同学。
RS
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T 解：设 P ：小丽聪明， Q ：小丽用功。 R:小刚是三好学生， S :小丽是三好学生。 T:小刚与王丽是同学
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例7、P：北京比天津人口多，
Q：2+2=4
R：乌鸦是白色的。求下列复合命题的真值。 (1).((P Q ) ( P Q )) R
(2).(Q R ) ( P R ) (3).(P R ) ( P R )
解：P,Q,R的真值分别为1，1，0，所以
PQ
(3) 因为天下雨，所以我在室内活动。 P Q (4) 除非天下雨，否则我不在室内活动。 Q P (5) 如果天不下雨，我就不在室内活动。P Q (6) 仅当天下雨，我才在室内活动。
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QP
5、“P 当且仅当 Q ”称 P, Q的等价式，记作 P Q 。
Q P 是 Q 的充要条件，也是 P 的充要条件。
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数理逻辑的研究内容
现代数理逻辑：逻辑演算、证明论、公理集 合论、递归论和模型论。 逻辑演算是数理逻辑中最成熟的部分，在计 算机科学中应用最为广泛，其中命题逻辑是 数理逻辑的最基础部分，谓词逻辑是在它的 基础上发展起来的，本门课研究命题逻辑与 谓词逻辑。
2013-6-24
第一章 命题逻辑 Proposition Logic
命题变元：真值可以变化的陈述句，也用 P,Q,R,…等表示。命题变元已不在是命题。
2013-6-24
2、命题公式(或合式公式)
定义1.1 通俗地说，命题公式是由命题变元，联结词，
圆括号按一定逻辑关系联结起来的字符串。 (1)单个命题变元是命题公式,并称为原子公式. (2)若A是命题公式,则￢A也称为命题公式. (3)若A，B是命题公式,则(A∧B), (A∨B), (A→B), (A B) 也是命题公式. (4)只有有限次地应用(1)～ (3)形成的符号串才是合式 公式.
真值表
P
0 1
P
1
0
例如： ：11是素数； P ：11不是素数 P
P 取值1， P 取值0。
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2、“ 并且Q ”称为 P, Q的合取式，记作 P Q 。 P 真值表
P Q
0 0 1 1 0 1 0 1
PQ
0 0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0 1
例1.1，小刚和小明都是大学生
解： ：小刚是大学生， P
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命题的记法
命题的符号化：P,Q,R,…,Pi, ,Qi ,Ri,… 真值的符号化：1/T表真，0/F表假 例：P: 2是素数，Q:雪是黑色的
2013-6-24
命题的分类
简单命题(原子命题）——不能再分解成更简单的命题 命题 复合命题——由简单命题用联结词联结而成的命题
P 3、“ 或者 Q ”称 P, Q的析取式，记作 P Q 。
真值表
P Q
0 0 1 1 0 1 0 1
PQ
0 1 1 1
例1.5，今晚我在家看电视或听音乐。
解： ：今晚我在家看电视， P
Q ：今晚我在家听音乐
2013-6-24
命题符号化为：
PQ
注意：
①“∨”的逻辑关系是明确的。即P、Q二命题中至少有
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离散数学的内容十分丰富，最重要，最 核心的是：数理逻辑、集合论、代数系统 和图论。本课程主要讲授以上四个方面的 内容。
2013-6-24
数理逻辑简介
2013-6-24
数理逻辑是用数学方法来研究推 理的形式结构和推理规律的数学学 科，这里所指的数学方法就是引进 一套符号体系的方法，所以数理逻 辑又称符号逻辑。它与数学的其它 分支、计算机科学、人工智能、语 言学等学科均有密切的联系。
2013-6-24
例3、将下列命题符号化
⑴张晓静爱唱歌或爱听音乐； 解：P：张晓静爱唱歌；Q:张晓静爱听音乐 符号化为P∨Q
(2)张晓静是江西人或安徽人； 解：R：张晓静是江西人；S:张晓静是安徽人 可符号化为(R∧￢ S)∨(S ∧￢ R)
(3)张晓静20多岁或30来岁. 解：这里的或是一个模糊的数据。
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2 、 用P表示命题“天下雪”， Q表示命题 “我将去镇上”，R表示命题“我有时间”。 以符号形式写出下列命题:
(a)如果天不下雪和我有时间,那么我将去镇上. (b)我将去镇上，仅当我有时间.
(c)天不下雪 (d)天下雪,那么我不去镇上
2013-6-24
第1.2节 命题公式及真值表
（1）的真值为1， （2）的真值为1， （3）的真值为0。
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习题解析
1、指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题， 如果是命题指出真值 a) 离散数学是计算机科学系的一门必修课 b) Π>2 吗？ c) 明天我去看电影 d) 请勿随地吐痰 ！ e) 不存在最大质数
2013-6-24
f) 如果我掌握了英语，法语，那么学习其他欧 洲的语言就容易多了 g) 9+5<12 h) x<3 i) 月球上有水
②数理逻辑中的联结词是对日常语言中的联结词的
一种逻辑抽象，自然语言中联结词所联结的句子 之间是有一定内在联系的，但在数理逻辑中，联 结词所联结的命题可以毫无关系。
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例、
P ：天下雨，Q ：我在室内活动。
(1) 如果天下雨，那么我在室内活动。 P Q
(2) 只要天下雨，我就在室内活动。
第1.1节 命题及联结词
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内容：命题，逻辑联结词，命题符号化 重点： (1)掌握命题概念 (2)掌握联结词含义及真值表 (3)掌握命题符号化方法
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一、命题的概念
命题是研究思维规律的科学中的一项基本要素， 它是一个判断的语言表达。 命题：能判断真假的陈述句。 说明：一切没有判断内容的句子，无所谓是非的 命题真值：命题所表达的判断结果。 句子，如感叹句、疑问句、祈使句等都不是命题。
2013-6-24
内容：命题公式，24组重要等值式，命题公式的类型
重点：(1) 掌握命题公式的定义及公式的真值表。 (2) 掌握两公式等值的定义；掌握24个重要 等值式，并能利用其进行等值演算。 (3) 掌握重言式和矛盾式的定义及使用真 值表进行判断。
2013-6-24
一、命题公式
1、命题常元、命题变元 命题常元：简单命题。
计算机软件 离散数学
Discrete Mathematics
主讲教师：任美睿
2013-6-24
离散数学是现代数学的一个重要分支。 是计算机科学中基础理论的核心课程，为 计算机科学提供了有力的理论基础和工具。 离散数学的基本思想、概念和方法广泛地 渗透到计算机科学与技术发展的各个领域， 而且其基本理论和研究成果更是全面而系 统地影响和推动着其发展。
(6) 地球外的星球上也有人。
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例1、判断下列句子中哪些是命题。 (7) 明天有课吗？ (9) 我正在说假话。
× √?
(8) 小明和小林都是三好生。 (10) 2020年春节是晴天。
×悖论,无法判断真值
√?
2013-6-24
命题的判断
判断一个语句是否为命题，关键： ①首先看是否为陈述句； ②再看其真值是否唯一。 要注意两点： ①一个陈述句在客观上能判断真假，而不受人的知识 范围的限制； ②一个陈述句暂时不能确定真值，但到了一定时候就 可以确定，与一个陈述句的真值不能唯一确定是不 结论:1、命题一定是陈述句，陈述句未必是命题。 同的。 2、命题的真值有时可以明确给出，但有时还需要依靠 环境、条件和实际环境时间才能确定其真值。